【优化探究】人教A版高一数学必修一书本讲解课件：第一章 章末优化总结

专题二
集合中的新定义问题
1．新定义下的试题在近几年高考中时有出现，本考向中采用新定义的形式使集 合中元素满足新条件，从而“构造”出新的集合，题型多以选择题形式出现，难 度不大． 2．解决此类问题的关键是抓住新定义的本质，紧扣新定义进行推理论证．
(1)对正整数元素 a， 整数集合 M， 若 a∈M， 当 a－1∉M 且 a＋1∉M 时， 则称 a 为集合 M 的“独立元素”．则集合 A ＝ {1,3,4,6,7} 的“独立元素”是 ________；集合 B＝{1,2,3,4,5,6}不含“独立元素”的非空子集有________个． (2)设＋是 R 上的一个运算，A 是 R 的非空子集，若对任意 a，b∈A 有 a＋b∈A， 则称 A 对运算＋封闭，下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则 运算都封闭的是( A．自然数集 C．有理数集 ) B．整数集 D．无理数集
)
解析：B＝{x|x＜1}，∴∁RB＝{x|x≥1}
如图所示，A∩(∁RB)＝{x|1≤x≤2}．
答案：D
2．已知集合 A＝{x|x<－1，或 x≥1}，B＝{x|2a<x≤a＋1，a<1}，B⊆A，则实数 a 的取值范围为________． 解析：∵a<1，∴2a<a＋1，∴B≠∅.
画数轴如图所示． 由 B⊆A 知，a＋1<－1，或 2a≥1. 1 即 a<－2，或 a≥ . 2 1 由已知 a<1，∴a<－2，或 ≤a＜1， 2
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专题一
集合运算
集合的运算有交、并、补这三种常见的运算，它是集合这一单元的核心内容 之一．在进行集合的交集、并集、补集运算时，往往由于运算能力差或考虑不全 面而极易出错，此时，数轴分析(或 Venn 图)是个好帮手，能将复杂问题直观化， 是数形结合思想具体应用之一．在具体应用时要注意检验端点值是否适合题意， 以免增解或漏解．
1 即所求 a 的取值范围是(－∞，－2)∪2，1. 1 答案：(－∞，－2)∪2，1
3．已知集合 A＝{x|－2≤x≤5}，集合 B＝{x|p＋1≤x≤2p－1}，若 A∩B＝B，求 实数 p 的取值范围．
解析：∵A∩B＝B，∴B⊆A， (1)当 B＝∅时，即 p＋1>2p－1. 故 p<2，此时满足 B⊆A； p＋1≤2p－1， (2)当 B≠∅时，又 B⊆A，易知－2≤p＋1， 2p－1≤5. 故 2≤p≤3. 由(1)(2)得 p≤3.
[解析] (1)由定义知集合 A＝{1,3,4,6,7}中的元素 1 是“独立元素”；对集合 B＝ {1,2,3,4,5,6}的子集进行分类，易知若不含“独立元素”，则其子集中的每个元素必 有“左邻”或“右邻”相伴，所以六个元素的子集符合；五个元素的子集符合条件 的是{1,2,3,4,5}，{1,2,3,5,6}，{1,2,4,5,6}，{2,3,4,5,6}；四个元素的子集符合条件的是 {1,2,3,4}，{1,2,4,5}，{1,2,5,6}，{2,3,4,5}，{2,3,5,6}，{3,4,5,6}；三个元素的子集符合 条件的是{1,2,3}， {2,3,4}， {3,4,5}， {4,5,6}； 两个元素的子集符合条件的是{1,2}， {2,3}， {3,4}，{4,5}，{5,6}，故符合条件的子集个数有 20 个． (2)A 中 1－2＝－1 不是自然数，即自然数集不满足条件；B 中 1÷ 2＝0.5 不是整数， 即整数集不满足条件；C 中有理数集满足条件；D 中 2× 2＝2 不是无理数，即无 理数集不满足条件． [答案] (1)1 20 (2)C
若集合 A＝{x|x≥1}，B＝{x|－2≤x≤2}，则 A∩B＝________.
[解析]
由 B＝{x|－2≤x≤2}，又 A＝{x|x≥1}，结合数轴知：
所以 A∩B＝{x|1≤x≤2}．
[答案]
{x|1≤x≤2}
1．集合 A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1}，则 A∩(∁RB)＝( A．{x|x>1} C．{x|1＜x≤2} B．{x|x≥1} D．{x|1≤x≤2}
4． 当 A， B 是非空集合， 定义运算 A－B＝{x|x∈A， 且 x∉B}， 若 M＝{x|y＝ 1－x}， N＝{y|y＝x2，－1≤x≤1}，则 M－N＝________.
解析：集合 M：{x|x≤1}，集合 N：{y|0≤y≤1}， ∴M－N＝{x|x∈M 且 x∉N}＝{x|x<0}．
答案：{x|x<0}
专题三
函数图象的应用
函数图象是变量间的直观反映， 能较形象地分析出变量间的变化规律， 更是 研究函数性质(最值、单调性)的有力工具，尤其是在新课标“多考一点想，少考 一点算”的指导下，函数图象将成为考查学生理性思维的一个切入口．
已知函数 f(x)＝x2－2|x|－1(－3≤x≤3)． (1)证明 f(x)是偶函数； (2)画出这个函数的图象； (3)指出函数 f(x)的单调区间，并说明在各个单调区间上 f(x)的单调性； (4)求函数 f(x)的值域．
[解析]
(1)∵f(－x)＝(－x)2－2|－x|－1
＝x2－2|x|－1＝f(x)， ∴f(x)为偶函数．
(2)当 x≥0 时，f(x)＝x2－2x－1＝(x－1)1)2－2. 即
2 x － 1 －2， f ( x) ＝ 2 x ＋ 1 －2，
x≥0， x＜0.
根据分段函数的作图方法，可得函数图象如图所示．
(3)函数 f(x)的单调区间为：[－3，－1)，[－1,0)，[0,1)，[1,3]． f(x)在[－3，－1)，[0,1)上为减函数，在[－1,0)，[1,3]上为增函数． (4)当 0≤x≤3 时， 函数 f(x)＝(x－1)2－2 的最小值为 f(1)＝－2， 最大值为 f(3)＝2. 当－3≤x＜0 时， 函数 f(x)＝(x＋1)2－2 的最小值为 f(－1)＝－2，最大值为 f(－3)＝2； 故函数 f(x)的值域为[－2,2]．