新人教版九年级上册24.3正多边形和圆同步练习(有答案)

24.3正多边形和圆知识点1.________________ 相等， ______________也相等的多边形叫做正多边形.2．把一个圆分红几等份，连结各点所获得的多边形是________________ ，它的中心角等于______________________________________________.3.一个正多边形的外接圆的 ____________叫做这个正多边形的中心，外接圆的__________叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的__________ 叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的____________叫做正多边形的边心距.4.正 n 边形的半径为 R，边心距为 r ，边长为 a，（1）中心角的度数为： ______________.（2）每个内角的度数为： _______________________.（3）每个外角的度数为： ____________.（4）周长为： _________，面积为： _________.5. 正 n 边形都是轴对称图形，当边数为偶数时，它的对称轴有_______条，而且仍是中心对称图形；当边数为奇数时，它不过 _______________. （填“轴对称图形” 或“中心对称图形” ）一、选择题1. 以下说法正确的选项是（）A.各边相等的多边形是正多边形B.各角相等的多边形是正多边形C.各边相等的圆内接多边形是正多边形D.各角相等的圆内接多边形是正多边形2. （2013?天津）正六边形的边心距与边长之比为（）A．：3B．： 2C． 1：2D．： 23.(2013山东滨州) 若正方形的边长为6，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为()A．6，32B．3 2，3C．6，3D． 62，3 24.如下图，正六边形 ABCDEF内接于⊙ O，则∠ ADB的度数是（）．第 4 题A． 60°B．45°C．30°D．22．5°5. 半径相等的圆的内接正三角形，正方形，正六边形的边长的比为（）A.1: 2: 3B.3: 2:1C.3:2:1D.1:2:36.圆内接正五边形 ABCDE中，对角线 AC和 BD订交于点 P，则∠ APB的度数是（）．A． 36°B．60°C．72°D．108°第 6 题7.（2013?自贡）如图，点 O是正六边形的对称中心，假如用一副三角板的角，借助点 O（使该角的极点落在点 O处），把这个正六边形的面积 n 平分，那么 n 的全部可能取值的个数是（）第 7 题A.4B.5C.6D. 78.如图，△ PQR是⊙ O的内接正三角形，四边形 ABCD是⊙ O的内接正方形，BC∥QR，则∠ AOQ的度数是（）A.60 °B.65°C.72 °D.75°第 8 题二、填空题9.一个正 n 边形的边长为 a，面积为 S，则它的边心距为 __________.10. 正多边形的一其中心角为36 度 , 那么这个正多边形的一个内角等于__________ 度 .211. 若正六边形的面积是24 3 cm，则这个正六边形的边长是 __________.第 13题12.已知正六边形的边心距为3，则它的周长是_______.13. 点 M、 N分别是正八边形相邻的边AB、 BC上的点，且 AM=BN，点 O是正八边形的中心，则∠MON=_____________.14.边长为 a 的正三角形的边心距、半径（外接圆的半径）和高之比为_________________.15.要用圆形铁片截出边长为4cm 的正方形铁片，则采用的圆形铁片的直径最小要__________cm.16.若正多边形的边心距与边长的比为1:2 ，则这个正多边形的边数是 __________.17.一个正三角形和一个正六边形的周长相等，则它们的面积比为__________.18.(2013 ?徐州 ) 如图，在正八边形ABCDEFGH中，四边形 BCFG的面积为20cm2，则正八边形的面积为________cm2.第 18题三、解答题19. 比较正五边形与正六边形，能够发现它们的同样点与不一样点.正五边形正六边形比如它们的一个同样点：正五边形的各边相等，正六边形的各边也相等.它们的一个不一样点：正五边形不是中心对称图形，正六边形是中心对称图形. 请你再写出它们的两个同样点和不一样点.同样点：（ 1）____________________________________________________________________;（2） ___________________________________________________________________.不一样点：（ 1）____________________________________________________________________;（2）____________________________________________________________________. 20. 已知，如图，正六边形ABCDEF的边长为 6cm，求这个正六边形的外接圆半径R、边心距r 6、面积 S6.第 20题21. 如图，⊙ O的半径为 2 ，⊙O的内接一个正多边形，边心距为1，求它的中心角、边长、面积 .第 21题22.已知⊙ O和⊙ O上的一点 A.（1）作⊙ O的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH；（2）在（ 1）题的作图中，假如点 E 在弧 AD上，求证： DE是⊙ O内接正十二边形的一边.第 22题23.如 1、 2、 3、⋯、 n，M、 N 分是⊙O 的内接正三角形 ABC、正方形 ABCD、正五形 ABCDE、⋯、正 n 形ABCDE⋯的 AB、 BC上的点，且 BM=CN， OM、 ON.(1)求 1 中∠ MON的度数；(2)2 中∠ MON的度数是 _________， 3 中∠ MON的度数是 _________；(3)研究∠ MON的度数与正 n 形数 n 的关系 ( 直接写出答案 ).24.3正多边形和圆知识点1.各边各角2.正多边形正多边形每一边所对的圆心角3.圆心半径圆心角距离360(2)(n2) 180360(5)nar4. (1)n (3)(4)nan n25.n 轴对称图形一、选择题1.C2.B3.B4.C5.B6.C7.B解：依据圆内接正多边形的性质可知，只需把此正六边形再化为正多边形即可，即让周角除以 30 的倍数就能够解决问题．360÷30=12；360÷60=6；360÷90=4；360÷120=3；360÷180=2．所以 n 的全部可能的值共五种状况，应选 B．8.D二、填空题9. 2S10.14411.4cm 12.1213.45° 14.1:2:3 15.42 16.四 17.2:3na18.40三、解答题19.同样点：（ 1）每个内角都相等（或每个外角都相等或对角线都相等）；（ 2）都是轴对称图形（或都有外接圆和内切圆）.不一样点：（ 1）正五边形的每个内角是108°，正六边形的每个内角是120°；（ 2）正五边形的对称轴是 5 条，正六边形的对称轴是 6 条.20.解：连结OA,OB.过点 O作 OG AB于G.AOB =60， OA OBAOB 是等边三角形OA OB6即 R=6OA OB ,OG ABAG 1AB13 262在 Rt AOG 中， r 6OG OA 2AG 2 6 2 3 2 3 3S1663354362R 6 cm , r 6 3 3 cm , S654 3 cm 2 .21.解：连结 OB∵在 Rt △ AOC中， AC= OA2OC 2 2 1=1∴AC=OC∴∠ AOC=∠ OAC=45°∵OA=OB OC⊥ AB∴A B=2AC=2 ∠ AOB=2∠ OAC=2× 45° =90°∴这个内接正多边形是正方形 .∴面积为22=4∴中心角为90°，边长为2，面积为 4.22.(1) 作法：①作直径 AC; ②作直径BD⊥AC; ③挨次连结A、B、C、 D 四点 ,四边形 ABCD即为⊙O 的内接正方形 ;第 22题④分别以A、 C 为圆心，以OA长为半径作弧，交⊙O于E、H、F、G;⑤按序连结A、 E、 F、 C、 G、H 各点 .六边形 AEFCGH即为⊙O 的内接正六边形.(2)证明：连结 OE、DE.∵∠ AOD＝360＝90°，∠ AOE＝360＝60°，46∴∠ DOE ＝∠ AOD －∠ AOE ＝ 90° -60 ° =30°.∴DE 为⊙O 的内接正十二边形的一边.23.(1) 方法一：连结 OB 、 OC.∵正△ ABC 内接于⊙ O ，∴∠ OBM=∠OCN ＝30°，∠ B OC=120°.又∵ BM=CN ， OB=OC ，∴△ OBM ≌△ OCN （ SAS ） .∴∠ BOM ＝∠ CON.∴∠ MON=∠BOC=120°.方法二：连结 OA 、 OB.∵正△ ABC 内接于⊙ O ，∴ AB=AC ，∠ OAM=∠OBN=30°, ∠AOB=120°.又∵ BM ＝ CN ，∴ A M=BN.又∵ OA=OB,∴△ AOM ≌△ BON （ SAS ） .∴∠ AOM=∠BON.∴∠ MON=∠AOB=120°.(2)90 ° 72 °(3) ∠MON=360.n。

人教新版九年级上学期《24.3 正多边形和圆》同步练习卷一．选择题（共5小题）1．⊙O是△ABC的内切圆，∠C=90°，AB=10，⊙O的内接正六边形DGHUK的边长为2．则△ABC的面积是（）A．24B．48C．20D．182．如图，有一个边长为2cm的正六边形纸片，若在该纸片上剪一个最大圆形，则这个圆形纸片的直径是（）A．cm B．2cm C．2cm D．4cm3．已知圆的半径是2，则该圆的内接正六边形的面积是（）A．3B．9C．18D．364．正六边形的边心距为，则该正六边形的边长是（）A．B．2C．3D．25．如图，圆内接正五边形ABCDE中，∠ADB=（）A．35°B．36°C．40°D．54°二．填空题（共8小题）6．如图，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a的值应是．7．半径为2的圆的内接正方形的面积是．8．已知正六边形的边心距为，则这个正六边形的边长为．9．正六边形的周长为30cm，则其边长是，每个内角是°．10．正三角形的中心角等于°；若其半径为10，则其边长为（结果用根号表示）．11．已知半径为2的⊙O，圆内接△ABC的边AB=2，则∠C=．12．已知正三角形的外接圆的半径为R，则此正三角形的边长为．13．已知一个圆的半径为5cm，则它的内接正六边形的边长为．三．解答题（共2小题）14．如图，已知正方形的边长是4cm，求它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积．（答案保留π）15．（1）已知：如图1，△ABC是⊙O的内接正三角形，点P为弧BC上一动点，求证：PA=PB+PC；（2）如图2，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为弧BC上一动点，求证：；（3）如图3，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，点P为弧BC上一动点，请探究PA、PB、PC三者之间有何数量关系，并给予证明．人教新版九年级上学期《24.3 正多边形和圆》同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．⊙O是△ABC的内切圆，∠C=90°，AB=10，⊙O的内接正六边形DGHUK的边长为2．则△ABC的面积是（）A．24B．48C．20D．18=•r•（AB+BC+AC），只要求出AB+BC+AC即可．【分析】根据S△ABC【解答】解：连接OD、OE．则四边形CDOE是正方形，∴CD=CE=OD=OE=2，∵⊙O是△ABC的内切圆，D、F、E是切点，∴AD=AF，BF=BE，CD=CE，∴AB+AC+BC=2AF+2BF+2CD=2（AB+CD）=24，∴S=•r•（AB+BC+AC）=×2×24=24，△ABC故选：A．【点评】本题考查正多边形与与圆、三角形的内切圆与内心等知识，解题的关键=•r•（AB+BC+AC）．是学会添加常用辅助线，记住三角形的面积公式S△ABC2．如图，有一个边长为2cm的正六边形纸片，若在该纸片上剪一个最大圆形，则这个圆形纸片的直径是（）A．cm B．2cm C．2cm D．4cm【分析】根据题意画出图形，再根据正多边形圆心角的求法求出∠AOB的度数，最后根据等腰三角形及直角三角形的性质解答即可．【解答】解：如图所示，正六边形的边长为2cm，OG⊥BC，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC=360°÷6=60°，∵OB=OC，OG⊥BC，∴∠BOG=∠COG==30°，∵OG⊥BC，OB=OC，BC=2cm，∴BG=BC=×2=1cm，∴OB==2cm，∴OG===，∴圆形纸片的直径为2cm，故选：B．【点评】本题考查的是正多边形和圆，根据题意画出图形，利用直角三角形的性质及正六边形的性质解答是解答此题的关键．3．已知圆的半径是2，则该圆的内接正六边形的面积是（）A．3B．9C．18D．36【分析】解题的关键要记住正六边形的特点，它被半径分成六个全等的等边三角形．【解答】解：连接正六边形的中心与各个顶点，得到六个等边三角形，等边三角形的边长是2，高为3，因而等边三角形的面积是3，∴正六边形的面积=18，故选：C．【点评】本题考查了正多边形和圆，正六边形被它的半径分成六个全等的等边三角形，这是需要熟记的内容．4．正六边形的边心距为，则该正六边形的边长是（）A．B．2C．3D．2【分析】运用正六边形的性质，正六边形边长等于外接圆的半径，再利用勾股定理解决．【解答】解：∵正六边形的边心距为，∴OB=，AB=OA，∵OA2=AB2+OB2，∴OA2=（OA）2+（）2，解得OA=2．故选：B．【点评】本题主要考查了正六边形和圆，注意：外接圆的半径等于正六边形的边长．5．如图，圆内接正五边形ABCDE中，∠ADB=（）A．35°B．36°C．40°D．54°【分析】圆内接正五边形ABCDE的顶点把圆五等分，即可求得五条弧的度数，根据圆周角的度数等于所对的弧的度数的一半即可求解．【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴=====72°，∴∠ADB=×72°=36°．故选：B．【点评】本题考查了正多边形的计算，理解正五边形的顶点是圆的五等分点是关键．二．填空题（共8小题）6．如图，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a的值应是2cm．【分析】a的值等于正六边形的边心距的2倍，过正六边形的中心作边的垂线，连接OA，在直角△OAB中，利用三角函数求得边心距OB即可求解．【解答】解：过正六边形的中心作边的垂线，连接OA．则∠O=30°，AB=1∴OB==cm．∴a=2OB=2cm．故答案是：2cm．【点评】正多边形的计算基本思路是转化为解直角三角形．7．半径为2的圆的内接正方形的面积是8．【分析】根据圆内接正方形的性质，得出∠BOA=90°，以及AB2即正方形的面积，求出即可．【解答】解：过圆心O作OM⊥AB，∵圆的半径为2，内接四边形是正方形，∴∠BOA=90°，OB=OA，∴∠OBA=∠OAB=45°，∴22+22=AB2，∴AB2=8，即正方形的面积为：8．故答案为：8．【点评】此题主要考查了圆内接正方形的性质，正方形与圆的有关计算，经常在中考中出现．8．已知正六边形的边心距为，则这个正六边形的边长为2．【分析】运用正六边形的性质，正六边形边长等于外接圆的半径，再利用勾股定理解决．【解答】解：∵正六边形的边心距为，∴OB=，∠OAB=60°，∴AB===1，∴AC=2AB=2．故答案为：2．【点评】此题主要考查正多边形和圆，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．9．正六边形的周长为30cm，则其边长是5cm，每个内角是120°．【分析】根据正六边形的周长，先求出边长，再用内角和除以6即可得出答案．【解答】解：正六边形的边长：30÷6=5cm，（6﹣2）×180°÷6=120°．故答案为：5cm，120．【点评】本题考查了正多边形和圆，正六边形的每条边都相等，每个内角都相等．10．正三角形的中心角等于120°；若其半径为10，则其边长为10（结果用根号表示）．【分析】利用正三角形的性质得出正三角形的中心角，再利用过圆心作一边的垂线，根据勾股定理可以计算出正三角形的边长．【解答】解：过点O作OE⊥BC于点E，正三角形的中心角等于：=120°，当正三角形的半径为10，即BO=CO=10，由题意可得出：∠OCB=30°，∴EO=5，∴EC=5，∴则其边长为：2×5=10．故答案为：120，10．【点评】此题考查了三角形外接圆以及利用勾股定理简单计算的能力．注意：根据等边三角形的三线合一，可以发现其内切圆的半径、外接圆的半径和半边正好组成了一个30°的直角三角形．11．已知半径为2的⊙O，圆内接△ABC的边AB=2，则∠C=60°或120°．【分析】连接AO并延长交于圆于点D，连接BD．所以∠ABD=90°，∠ADB=∠ACB，则sin∠D===而求得角度．【解答】解：如图：连接AO并延长交于圆于点D，连接BD．∴∠ABD=90°，∠ADB=∠ACB则sin∠D==，∴∠D=60°或120°．故答案为：60°或120°．【点评】本题考查了正多边形和圆，根据题意画出图形，作出辅助线，利用圆周角定理求解是解答此题的关键．12．已知正三角形的外接圆的半径为R，则此正三角形的边长为．【分析】作出正三角形的边心距，连接正三角形的一个顶点和中心可得到一直角三角形．解直角三角形即可．【解答】解：在中心的直角三角形的角为360°÷3÷2=60°，∴正三角形的边长的一半为：R×sin60°，那么正三角形的边长=R．【点评】解正多边形和圆的问题时，应连接圆心和正多边形的顶点，作出边心距，得到和中心角一半有关的直角三角形进行求解．13．已知一个圆的半径为5cm，则它的内接正六边形的边长为5cm．【分析】首先根据题意画出图形，六边形ABCDEF是正六边形，易得△OAB是等边三角形，又由圆的半径为5cm，即可求得它的内接六边形的边长．【解答】解：如图，连接OA，OB，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠AOB=×360°=60°，∴△OAB是等边三角形，∴AB=OA=OB=5cm，即它的内接六边形的边长为：5cm．故答案为：5cm．【点评】此题考查了正多边形与圆的性质．此题难度不大，注意根据题意得到△OAB是等边三角形是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．三．解答题（共2小题）14．如图，已知正方形的边长是4cm，求它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积．（答案保留π）【分析】设正方形外接圆，内切圆的半径分别为R，r，根据圆环的面积等于大圆的面积减去小圆的面积即可．【解答】解：设正方形外接圆，内切圆的半径分别为R，r，如图，连接OE、OA，则OA2﹣OE2=AE2，即R2﹣r2=（）2=（）2=4，S圆环=S大圆﹣S小圆=πR2﹣πr2，（2分）=π（R2﹣r2），（3分）∵R2﹣r2=（）2=4，（5分）∴S=4π（cm2）．（6分）【点评】此题比较简单，解答此题的关键是作出辅助线，找出两圆半径之间的关系，根据圆的面积公式列出关系式即可．15．（1）已知：如图1，△ABC是⊙O的内接正三角形，点P为弧BC上一动点，求证：PA=PB+PC；（2）如图2，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为弧BC上一动点，求证：；（3）如图3，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，点P为弧BC上一动点，请探究PA、PB、PC三者之间有何数量关系，并给予证明．【分析】（1）延长BP至E，使PE=PC，连接CE，证明△PCE是等边三角形．利用CE=PC，∠E=∠3=60°，∠EBC=∠PAC，得到△BEC≌△APC，所以PA=BE=PB+PC；（2）过点B作BE⊥PB交PA于E，证明△ABE≌△CBP，所以PC=AE，可得PA=PC+ PB．（3）在AP上截取AQ=PC，连接BQ可证△ABQ≌△CBP，所以BQ=BP．又因为∠APB=30°．所以PQ=PB，PA=PQ+AQ=PB+PC．【解答】证明：（1）延长BP至E，使PE=PC，连接CE．∵A、B、P、C四点共圆，∴∠BAC+∠BPC=180°，∵∠BPC+∠EPC=180°，∴∠BAC=∠CPE=60°，PE=PC，∴△PCE是等边三角形，∴CE=PC，∠E=60°；又∵∠BCE=60°+∠BCP，∠ACP=60°+∠BCP，∴∠BCE=∠ACP，∵△ABC、△ECP为等边三角形，∴CE=PC，AC=BC，∴△BEC≌△APC（SAS），∴PA=BE=PB+PC．（2分）（2）过点B作BE⊥PB交PA于E．∵∠1+∠2=∠2+∠3=90°∴∠1=∠3，∴∠APB=45°，∴BP=BE，∴；又∵AB=BC，∴△ABE≌△CBP，∴PC=AE．∴．（4分）（3）答：；证明：过点B，作BM⊥AP，在AP上截取AQ=PC，连接BQ，∵∠BAP=∠BCP，AB=BC，∴△ABQ≌△CBP，∴BQ=BP．∴MP=QM，又∵∠APB=30°，∴cos30°=，∴PM=PB，∴∴（7分）【点评】本题考查三角形全等的性质和判定方法以及正多边形和圆的有关知识．要熟悉这些基本性质才能灵活运用解决综合性的习题．。

正多边形和圆1．正六边形的边心距与边长之比为( B ) A.3∶3 B.3∶2 C ．1∶2 D.2∶2【解析】 如图：设正六边形的边长是a ，则半径长也是a ；经过正六边形的中心O 作边AB 的垂线OC ，则AC ＝12AB ＝12a ， ∴OC ＝OA 2－AC 2＝32a ， ∴正六边形的边心距与边长之比为：32a ∶a ＝3∶2. 3－1，在⊙O 中，OA ＝AB ，OC ⊥AB ，则下列结论错误的是( D ) 图24－3－1A ．弦AB 的长等于圆内接正六边形的边长B ．弦AC 的长等于圆内接正十二边形的边长C.AC ︵＝BC ︵D ．∠BAC ＝30°【解析】 因为OA ＝AB ＝OB ，所以△OAB 是等边三角形，又OC ⊥AB ，所以∠AOC ＝∠BOC ＝30°，所以∠BAC ＝15°，D 不正确．3．如图24－3－2，点O 是正六边形的对称中心，如果用一副三角板的角，借助点O (使该角的顶点落在点O 处)，把这个正六边形的面积n 等分，那么n 的所有可能取值的个数是( B )图24－3－2A ．4B ．5C ．6D ．7【解析】 360÷30＝12；360÷60＝6；360÷90＝4；360÷120＝3；360÷180＝2.因此n 的所有可能的值共五种情况．4．如图24－3－3，要拧开一个边长为a ＝6 mm 的正六边形螺帽，扳手张开的开口b 至少为( C )图24－3－3 A ．6 2 mm B ．12 mmC ．6 3 mmD ．4 3 mm5．已知正六边形的边心距为3，则它的周长是( B )A ．6B ．12C ．6 3D ．12 3【解析】 正六边形的边长等于半径，设半径为R ，则⎝⎛⎭⎫12R 2＋(3)2＝R 2，∴R ＝2，它的周长是6R＝6×2＝12，故选B.6．若正六边形的边长为4 cm ，那么正六边形的中心角是__60__度，半径是__4__cm ，边心距是__23__cm ，它的每一个内角是__120°__．7．[2012·巴中]已知一个圆的半径为5 cm ，则它的内接正六边形的边长为__5__cm.8．已知一个正n 边形的中心角是它的一个内角的三分之一，则n ＝__8__．【解析】 由360n ＝180（n －2）n ×13，得n ＝8. 9．已知⊙O 和⊙O 上的一点A ，如图24－3－4所示．图24－3－4(1)作⊙O 的内接正方形ABCD 和内接正六边形AEFCGH ；(2)在(1)题所作的图中，如果点E 在AB ︵上，试证明EB 是⊙O 的内接正十二边形的一边．【解析】 (1)根据正四边形和正六边形的作图方法分别作出⊙O 的内接正方形ABCD 和内接正六边形AEFCGH ；(2)计算EB 所对的圆心角的度数．解：(1)如图所示，在⊙O 中，用直尺和圆规作两条互相垂直的直径AC 和BD ，连接AB ，BC ，CD ，DA ，得⊙O 的内接正方形ABCD ；按正六边形的作法用直尺和圆规在⊙O 中作出正六边形AEFCGH . (2)如图，连接OE .∵AE 是正六边形的一边，∴∠AOE ＝360°6＝60°.∵AB 是正方形的一边，∴∠AOB ＝360°4＝90°，∴∠BOE ＝∠AOB －∠AOE ＝90°－60°＝30°.设EB 是⊙O 的内接正n 边形的一边，则360°n＝30°，∴n ＝12， ∴EB 是⊙O 的内接正十二边形的一边．10．小敏在作⊙O 的内接正五边形时，先做了如下几个步骤：(1)作⊙O 的两条互相垂直的直径，再作OA 的垂直平分线交OA 于点M ，如图1；(2)以M 为圆心，BM 长为半径作圆弧，交CA 于点D ，连接BD ，如图2.若⊙O 的半径为1，则由以上作图得到的关于正五边形边长BD 的等式是( C )图24－3－5 A ．BD 2＝5－12OD B ．BD 2＝5＋12OD C ．BD 2＝5ODD ．BD 2＝52OD 11．[2013·徐州]如图24－3－6，在正八边形ABCDEFGH 中，四边形BCFG 的面积为20 cm 2，则正八边形的面积为____________cm 2.图24－3－6【解析】连接HE ，AD ，在正八边形ABCDEFGH 中，可得：HE ⊥BG 于点M ，AD ⊥BG 于点N ，∵正八边形每个内角为：（8－2）×180°8＝135°， ∴∠HGM ＝45°，∴MN ＝MG ，设MH ＝MG ＝x ，则HG ＝AH ＝AB ＝GF ＝2x ，∴BG ×GF ＝2(2＋1)x 2＝20，四边形ABGH 面积＝12(AH ＋BG )×HM ＝(2＋1)x 2＝10， ∴正八边形的面积为：10×2＋20＝40(cm 2)．12．将固定宽度的纸条打个简单的结，然后系紧，使它成为平面的结(如图24－3－7)，求证：五边形ABCDE 是正五边形．图24－3－7第13题答图证明：如图所示，连接BE ，AD ，设纸条的宽度为h ，则S △ABE ＝12AB ·h ＝12AE ·h ， ∴AB ＝AE ，同理得AB ＝BC ，BC ＝CD ，∴AE ＝AB ＝BC ＝CD .∵纸条的宽度固定，∴AE ∥BD ，CD ∥BE ，∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝∠5.由折叠性质得∠ABD ＋∠ABC ＝180°，从而得∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝∠5＝36°，由此易得∠ABC ＝∠BCD ＝∠CDE ＝∠DEA ＝∠EAB ，AE ＝AB ＝BC ＝CD ＝DE ，∴五边形ABCDE 是正五边形．13．如图24－3－8所示，已知△ABC 是⊙O 的内接等腰三角形，顶角∠BAC ＝36°，弦BD ，CE 分别平分∠ABC ，∠ACB ，求证：五边形AEBCD 是正五边形．图24－3－8 【解析】 要证明五边形AEBCD 是正五边形，只需证AE ︵＝EB ︵＝BC ︵＝CD ︵＝DA ︵即可．证明：∵△ABC 是等腰三角形，且∠BAC ＝36°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝72°.又∵BD 平分∠ABC ，CE 平分∠ACB ，∴∠ABD ＝∠CBD ＝∠BCE ＝∠ACE ＝36°，即∠BAC ＝∠ABD ＝∠CBD ＝∠BCE ＝∠ACE ，∴BC ︵＝AD ︵＝CD ︵＝BE ︵＝AE ︵，∴A ，E ，B ，C ，D 是⊙O 的五等分点，∴五边形AEBCD 是正五边形．14．如图24－3－9，正五边形ABCDE ，连接对角线AC ，BD ，设AC 与BD 相交于O .(1)写出图中所有的等腰三角形；(2)判断四边形AODE 的形状，并说明理由．:学科图24－3－9解：(1)△ABO ，△ABC ，△BOC ，△DOC ，△BCD .(2)四边形AODE 是菱形，理由如下：∵AB ＝BC ，∠ABC ＝（5－2）×180°5＝108°， ∴∠BAC ＝∠BCA ＝12×(180°－108°)＝36°，同理得∠CBD ＝∠CDB ＝36°，∴∠ABO ＝∠ABC －∠CBD ＝72°，∠AOB ＝180°－∠ABO －∠BAC ＝72°，∴AB ＝AO ，同理得DO ＝DC ，∴OA ＝AE ＝ED ＝DO ，∴四边形AODE 是菱形．15．小刚现有一边长为a m 的正方形花布，准备做一个形状为正八边形的风筝，参加全校组织的风筝比赛，问：在这样的花布上怎样裁剪，才能得到一个面积最大的风筝？解：如图所示，在正方形ABCD 中，△DEF ，△CGH ，△BOP ，△AMN 为全等的等腰直角三角形，八边形EMNOPHGF 为正八边形．设直角边DE ＝DF ＝CG ＝CH ＝x .在Rt △DEF 中，EF ＝2x . ∵EF ＝FG ，且DC ＝DF ＋FG ＋CG ，∴x ＋x ＋2x ＝a ，解得x ＝2－22a ≈0.3a ， 因此，从四个角上各剪去一个直角边长约为0.3a m 的等腰直角三角形，即可得到一个面积最大的正八边形风筝．16．小赵对芜湖科技馆富有创意的科学方舟形象设计很有兴趣，他回家后将一正五边形纸片沿其对称轴对折，旋转放置，做成科学方舟模型，如图24－3－10所示，该正五边形的边心距OB 长为2，AC 为科学方舟船头A 到船底的距离，请你计算AC ＋12AB ＝__522__． 图24－3－10【解析】 设正五边形的边长为a ，根据正五边形的面积等于科学方舟面积的2倍列方程求解，依题意，有12×2×a ×5＝⎝⎛⎭⎫12×AB ×a 2＋12×a ×AC ×2， 即522a ＝⎝⎛⎭⎫12AB ＋AC ×a ，∴12AB ＋AC ＝522.。

人教版九年级数学上册《24.3 正多边形和圆》同步练习题-附答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________考点 正多边形与圆1.定义：正多边形的 圆的圆心叫做这个正多边形的中心 圆的半径叫做正多边形的半径 正多边形每一边所对的 角叫做正多边形的中心角 到正多边形的一边的距离 叫做正多边形的边心距。

2.公式：正多边形的有关概念：边长（a ） 中心（O ） 中心角（∠AOB ） 半径（R ）） 边心距（r ） 如图所示①．边心距222a r R ⎛⎫=- ⎪⎝⎭中心角360n ︒=关键点:三角形的内切圆与外接圆 关系定义圆心 实质半径图示外接圆经过三角形各顶点的圆外心三角形各边垂直平分线的交点交点到三角形三个顶点的距离相等内切圆与三角形各边都相切的圆内心三角形各内角平分线的交点交点到三角形各边的距离相等名校提高练习:一选择题：本题共10小题每小题3分共30分。

在每小题给出的选项中只有一项是符合题目要求的。

1.(2024·四川省泸州市·月考试卷)已知圆内接正三角形的面积为√ 3则该圆的内接正六边形的边心距是( )A. 2B. 1C. √ 3D. √ 322.同一个圆的内接正三角形正方形正六边形的边心距分别为r3r4r6则r3：r4：r6等于( )A. 1:√2:√3B. √3:√2:1C. 1：2：3D. 3：2：13.如图若干个全等的正五边形排成环状图中所示的是前3个正五边形要完成这一圆环还需正五边形的个数为( )A. 10B. 9C. 8D. 74.(2024·贵州省黔东南苗族侗族自治州·月考试卷)正六边形ABCDEF内接于⊙O正六边形的周长是12则⊙O的半径是( )A. √ 3B. 2C. 2√ 2D. 2√ 35.(2024·山东省·单元测试)《几何原本》中记载了用尺规作某种六边形的方法其步骤是：①在⊙O上任取一点A连接AO并延长交⊙O于点B②以点B为圆心BO为半径作圆弧分别交⊙O于C D两点③连接CO DO并延长分别交⊙O于点E F④顺次连接BC CF FA AE ED DB得到六边形AFCBDE.再连接AD EF AD EF交于点G.则下列结论不正确的是( )A. GF=GDB. ∠FGA=60°C. EFAE=√ 2 D. AF⊥AD6.(2024·江苏省·同步练习)以半径为2的圆的内接正三角形正方形正六边形的边心距为三边作三角形则该三角形的面积是( )A. √ 22B. √ 32C. √ 2D. √ 37.(2024·江苏省·同步练习)如图正十二边形A1A2…A12连接A3A7A7A10则∠A3A7A10的度数为( )A. 60°B. 65°C. 70°D. 75°8.(2024·江苏省·同步练习)如图若干个全等的正五边形排成环状．图中所示的是前3个正五边形要完成这一圆环还需正五边形的个数为( )A. 6B. 7C. 8D. 99.(2024·北京市市辖区·期末考试)如图正方形ABCD的边长为6且顶点A B C D都在⊙O上则⊙O 的半径为()．A. 3B. 6C. 3√ 2D. 6√ 210.(2024·广东省广州市·月考试卷)如图已知⊙O的周长等于4πcm则圆内接正六边形的边长为()cm．A. √ 3B. 2C. 2√ 3D. 4二填空题：本题共6小题每小题3分共18分。

24.3 正多边形和圆同步练习一、选择题1．一个正多边形的一个内角为120°，则这个正多边形的边数为( ) A．9 B．8 C．7 D．62．如图所示，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a的值应是( )A．23 cm B．3 cm C．233cm D．1 cm第2题图第5题图3．已知圆的半径是2，则该圆的内接正六边形的面积是（）A．3B．9C．18D．364．正三角形、正方形、圆三者的周长都等于l，它们的面积分别为S1，S2、S3，则( )． A．S1＝S2＝S3 B．S3＜S1＜S2 C．S1＜S2＜S3 D．S2＜S1＜S35．中华人民共和国国旗上的五角星的画法通常是先把圆五等分，然后连接五个等分点而得到的(如图所示)．五角星的每一个角的度数是( )．A．30° B．35° C．36° D．37°第6题图第7题图第9题图6．如图所示，是由5把相同的折扇组成的“蝶恋花”（如图①）和梅花图案（如图②）（图中的折扇无重叠），则梅花图案中的五角星的五个锐角均为（）A．36° B．42° C．45° D．48°二、填空题7．如图所示，平面上两个正方形与正五边形都有一条公共边，则∠ 等于________．8．要用圆形铁片裁出边长为4的正方形铁片，则选用的圆形铁片的直径最小是________． 9．如图所示，等边△ABC 内接于⊙O ，AB ＝10cm ，则⊙O 的半径是________． 10.如图，点O 是正五边形ABCDE 的中心，则∠BAO 的度数为 ．11．正六边形的半径是5cm ，则边长6a =________，周长6P =________ ，边心距6r =________，面积6S =________．12. 正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为 .三、解答题13．如图所示，正△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为2，求△ABC 的边长a ，周长P ，边心距r ，面积S ．14. 如图所示，半径为R 的圆绕周长为10πR 的正六边形外边作无滑动滚转，绕完正六边形后，圆一共转了多少圈？一位同学的解答过程：圆的周长为2πR ，所以它绕完正六边形后一共转了102RRππ圈，结果一共转了5圈．你认为这位同学的解答有无错误？如有错误，请更正．15．如图，已知等边△ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一边，CD=5cm，求⊙O的半径R．答案与解析一、选择题1.【答案】D；【解析】可求每个外角为60°，∴ 360÷60＝6或(2)180120nn-⨯=°°∴ n＝6．2.【答案】A；【解析】较长对角线与较短对角线及一边长构成一直角三角形，用勾股定理求解．3.【答案】C；【解析】连接正六边形的中心与各个顶点，得到六个等边三角形，等边三角形的边长是2，高为3，因而等边三角形的面积是3，∴正六边形的面积=18，故选C．4.【答案】C；【解析】当周长一定时，边数越多的正多边形其面积越大，当它成为圆时面积最大．5.【答案】C；【解析】五角星的每一个角所对的弧为圆的15，∴弧的度数为72°，因而每个角的度数为36°，故选C．6.【答案】D.【解析】如图③所示，正五边形ABCDE的中心角为72°，各内角为108°，故五角星五个锐角均为48°．二、填空题 7．【答案】72°；【解析】α＝360°－90°－90°－108°＝72°． 8．【答案】42；【解析】如图所示，△ABC 为等腰Rt△，242AC AB ==．9．【答案】1033cm ； 【解析】过O 作OD ⊥BC 于D ，连接OB ，在Rt △BOD 中，BD ＝12BC ＝1102⨯＝5(cm)． ∠BOD ＝180603=°°， ∴3BD OB =． ∴ BO ＝10333=(cm)．10．【答案】54°； 【解析】连接OB ，则OB=OA ，∴∠BAO=∠ABO，∵点O 是正五边形ABCDE 的中心，∴∠AOB==72°，∴∠BAO=（180°﹣72°）=54°； 故答案为：54°．11．【答案】6a =5cm ，666P a ==30cm ，6532r =cm ，26753cm 2s =； 12．【答案】2：．【解析】设正六边形的半径是r ，则外接圆的半径r ，内切圆的半径是正六边形的边心距，因而是，因而正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为2：．三、解答题13.【答案与解析】作AD ⊥BC 于D ．∵ △ABC 是正三角形，∴ 点O 在AD 上，a ＝BC ＝2CD ，∠OCD ＝30°，在Rt △COD 中，112r OD OC ===， 2222213CD OC OD =-=-=，∴ 223a BC CD ===，363P a ==． 又∵ AD ＝OA+OD ＝2+1＝3， ∴ 112333322S BC AD ==⨯⨯=， ∴ 23a =，63P =，1r =，33S =．14.【答案与解析】有错误，由正六边形的每个顶点外圆要转60°角，应转了10162RRππ+=（圈）． 15.【答案与解析】解：连接OB ，OC ，OD ，∵等边△ABC 内接于⊙O，BD 为内接正十二边形的一边，∴∠BOC=×360°=120°，∠BOD=×360°=30°，∴∠COD=∠BOC﹣∠BOD=90°，∵OC=OD，∴∠OCD=45°，∴OC=5×=5（cm）．即⊙O的半径R=5cm．。

九年级数学上册第二十四章圆：24.3 正多边形和圆一、选择题（共15小题）1．已知圆的半径是2，则该圆的内接正六边形的面积是（）A．3 B．9 C．18D．362．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（）A．2，B．2，π C．，D．2，3．如图，已知点A，B，C，D，E，F是边长为1的正六边形的顶点，连接任意两点均可得到一条线段．在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为的线段的概率为（）A．B．C．D．4．已知圆内接正三角形的边心距为1，则这个三角形的面积为（）A．2 B．3 C．4 D．65．如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为2，正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切，正六边形A3B3C3D3E3F3的外接圆与正六边形A2B2C2D2E2F2的各边相切，…按这样的规律进行下去，A10B10C10D10E10F10的边长为（）A． B．C．D．6．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，这个正五边形的边长为a，半径为R，边心距为r，则下列关系式错误的是（）A．R2﹣r2=a2B．a=2Rsin36°C．a=2rtan36°D．r=Rcos36°7．正六边形的边心距为，则该正六边形的边长是（）A．B．2 C．3 D．28．如图，边长为a的正六边形内有一边长为a的正三角形，则=（）A．3 B．4 C．5 D．69．如图，边长为a的正六边形内有两个三角形（数据如图），则=（）A．3 B．4 C．5 D．610．如图，在正五边形ABCDE中，连接AC、AD、CE，CE交AD于点F，连接BF，下列说法不正确的是（）A．△CDF的周长等于AD+CD B．FC平分∠BFDC．AC2+BF2=4CD2D．DE2=EF•CE11．一元钱硬币的直径约为24mm，则用它能完全覆盖住的正六边形的边长最大不能超过（）A．12mm B．12mm C．6mm D．6mm12．蜂巢的构造非常美丽、科学，如图是由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网络，正六边形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上．设定AB边如图所示，则△ABC是直角三角形的个数有（）A．4个B．6个C．8个D．10个13．一张圆心角为45°的扇形纸板和圆形纸板按如图方式分别剪成一个正方形，边长都为1，则扇形和圆形纸板的面积比是（）A．5：4 B．5：2 C．：2 D．：14．如图，正方形ABCD和正△AEF都内接于⊙O，EF与BC、CD分别相交于点G、H，则的值是（）A．B．C．D．215．阅读理解：如图1，在平面内选一定点O，引一条有方向的射线Ox，再选定一个单位长度，那么平面上任一点M的位置可由∠MOx的度数θ与OM的长度m确定，有序数对（θ，m）称为M点的“极坐标”，这样建立的坐标系称为“极坐标系”．应用：在图2的极坐标系下，如果正六边形的边长为2，有一边OA在射线Ox上，则正六边形的顶点C的极坐标应记为（）A．（60°，4）B．（45°，4）C．（60°，2）D．（50°，2）二、填空题（共14小题）16．已知正六边形ABCDEF的边心距为cm，则正六边形的半径为cm．17．如图，在正六边形ABCDEF中，连接对角线AC，CE，DF，EA，FB，可以得到一个六角星．记这些对角线的交点分别为H，I，J，K，L、M，则图中等边三角形共有个．18．已知⊙O的内接正六边形周长为12cm，则这个圆的半径是cm．19．圆内接正六边形的边心距为2，则这个正六边形的面积为cm2．20．如图，AD是正五边形ABCDE的一条对角线，则∠BAD= ．21．半径为1的圆内接正三角形的边心距为．22．如图，将正六边形ABCDEF放在直角坐标系中，中心与坐标原点重合，若A点的坐标为（﹣1，0），则点C的坐标为．23．如图，⊙O的半径为1cm，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则图中阴影部分面积为cm2．（结果保留π）24．如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，若正方形的面积等于4，则⊙O的面积等于．25．如图，点O是正五边形ABCDE的中心，则∠BAO的度数为．26．如图，正方形ABCD的边长为1，中心为点O，有一边长大小不定的正六边形EFGHIJ绕点O可任意旋转，在旋转过程中，这个正六边形始终在正方形ABCD内（包括正方形的边），当这个正六边形的边长最大时，AE的最小值为．27．正六边形ABCDEF的边长为2，则对角线AE的长为．28．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的半径为4，则阴影部分的面积等于．29．如图，正六边形ABCDEF的边长为2，延长BA，EF交于点O．以O为原点，以边AB所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，则直线DF与直线AE的交点坐标是（，）．三、解答题（共1小题）30．图①是我们常见的地砖上的图案，其中包含了一种特殊的平面图形﹣正八边形．（1）如图②，AE是⊙O的直径，用直尺和圆规作⊙O的内接正八边形ABCDEFGH（不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的前提下，连接OD，已知OA=5，若扇形OAD（∠AOD＜180°）是一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径等于．2016年人教版九年级数学上册同步测试：24.3 正多边形和圆参考答案与试题解析一、选择题（共15小题）1．已知圆的半径是2，则该圆的内接正六边形的面积是（）A．3 B．9 C．18D．36【考点】正多边形和圆．【分析】解题的关键要记住正六边形的特点，它被半径分成六个全等的等边三角形．【解答】解：连接正六边形的中心与各个顶点，得到六个等边三角形，等边三角形的边长是2，高为3，因而等边三角形的面积是3，∴正六边形的面积=18，故选C．【点评】本题考查了正多边形和圆，正六边形被它的半径分成六个全等的等边三角形，这是需要熟记的内容．2．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（）A．2，B．2，π C．，D．2，【考点】正多边形和圆；弧长的计算．【专题】压轴题．【分析】正六边形的边长与外接圆的半径相等，构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系即可求出OM，再利用弧长公式求解即可．【解答】解：连接OB，∵OB=4，∴BM=2，∴OM=2，==π，故选D．【点评】本题考查了正多边形和圆以及弧长的计算，将扇形的弧长公式与多边形的性质相结合，构思巧妙，利用了正六边形的性质，是一道好题．3．如图，已知点A，B，C，D，E，F是边长为1的正六边形的顶点，连接任意两点均可得到一条线段．在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为的线段的概率为（）A．B．C．D．【考点】正多边形和圆；勾股定理；概率公式．【分析】利用正六边形的性质以及勾股定理得出AE的长，进而利用概率公式求出即可．【解答】解：连接AF，EF，AE，过点F作FN⊥AE于点N，∵点A，B，C，D，E，F是边长为1的正六边形的顶点，∴AF=EF=1，∠AFE=120°，∴∠FAE=30°，∴AN=，∴AE=，同理可得：AC=，故从任意一点，连接两点所得的所有线段一共有15种，任取一条线段，取到长度为的线段有6种情况，则在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为的线段的概率为：．故选：B．【点评】此题主要考查了正多边形和圆，正确利用正六边形的性质得出AE的长是解题关键．4．已知圆内接正三角形的边心距为1，则这个三角形的面积为（）A．2 B．3 C．4 D．6【考点】正多边形和圆．【分析】作AD⊥BC与D，连接OB，则AD经过圆心O，∠ODB=90°，OD=1，由等边三角形的性质得出BD=CD，∠OBD=∠AB C=30°，得出OA=OB=2OD，求出AD、BC，△ABC的面积=BC•AD，即可得出结果．【解答】解：如图所示：作AD⊥BC与D，连接OB，则AD经过圆心O，∠ODB=90°，OD=1，∵△ABC是等边三角形，∴BD=CD，∠OBD=∠ABC=30°，∴OA=OB=2OD=2，∴AD=3，BD=，∴BC=2，∴△ABC的面积=BC•AD=×2×3=3；故选：B．【点评】本题考查了圆内接正三角形的性质、解直角三角形、三角形面积的计算；熟练掌握圆内接正三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．5．如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为2，正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切，正六边形A3B3C3D3E3F3的外接圆与正六边形A2B2C2D2E2F2的各边相切，…按这样的规律进行下去，A10B10C10D10E10F10的边长为（）A． B．C．D．【考点】正多边形和圆．【专题】压轴题；规律型．【分析】连结OE1，OD1，OD2，如图，根据正六边形的性质得∠E1OD1=60°，则△E1OD1为等边三角形，再根据切线的性质得OD2⊥E1D1，于是可得OD2=E1D1=×2，利用正六边形的边长等于它的半径得到正六边形A2B2C2D2E2F2的边长=×2，同理可得正六边形A3B3C3D3E3F3的边长=（）2×2，依此规律可得正六边形A10B10C10D10E10F10的边长=（）9×2，然后化简即可．【解答】解：连结OE1，OD1，OD2，如图，∵六边形A1B1C1D1E1F1为正六边形，∴∠E1OD1=60°，∴△E1OD1为等边三角形，∵正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切，∴OD2⊥E1D1，∴OD2=E1D1=×2，∴正六边形A2B2C2D2E2F2的边长=×2，同理可得正六边形A3B3C3D3E3F3的边长=（）2×2，则正六边形A10B10C10D10E10F10的边长=（）9×2=．故选D．【点评】本题考查了正多边形与圆的关系：把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．记住正六边形的边长等于它的半径．6．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，这个正五边形的边长为a，半径为R，边心距为r，则下列关系式错误的是（）A．R2﹣r2=a2B．a=2Rsin36°C．a=2rtan36°D．r=Rcos36°【考点】正多边形和圆；解直角三角形．【分析】根据圆内接正五边形的性质求出∠BOC，再根据垂径定理求出∠1=36°，然后利用勾股定理和解直角三角形对各选项分析判断即可得解．【解答】解：∵⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，∴∠BOC=×360°=72°，∴∠1=∠BOC=×72°=36°，R2﹣r2=（a）2=a2，a=Rsin36°，a=2Rsin36°；a=rtan36°，a=2rtan36°，cos36°=，r=Rcos36°，所以，关系式错误的是R2﹣r2=a2．故选A．【点评】本题考查了圆内接四边形，解直角三角形，熟练掌握圆内接正五边形的性质并求出中心角的度数是解题的关键．7．正六边形的边心距为，则该正六边形的边长是（）A．B．2 C．3 D．2【考点】正多边形和圆；勾股定理．【专题】几何图形问题．【分析】运用正六边形的性质，正六边形边长等于外接圆的半径，再利用勾股定理解决．【解答】解：∵正六边形的边心距为，∴OB=，AB=OA，∵OA2=AB2+OB2，∴OA2=（OA）2+（）2，解得OA=2．故选：B．【点评】本题主要考查了正六边形和圆，注意：外接圆的半径等于正六边形的边长．8．如图，边长为a的正六边形内有一边长为a的正三角形，则=（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】正多边形和圆．【分析】根据边长为a的正六边形的面积是边长是a的等边三角形的面积的6倍即可得出结论．【解答】解：∵边长为a的正六边形的面积是边长是a的等边三角形的面积的6倍，∴设S空白=x，则S阴影=6x﹣x=5x，∴=5．故选C．【点评】本题考查的是正多边形和圆，熟知边长为a的正六边形的面积是边长为a的等边三角形的面积的6倍是解答此题的关键．9．如图，边长为a的正六边形内有两个三角形（数据如图），则=（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】正多边形和圆．【分析】先求得两个三角形的面积，再求出正六边形的面积，求比值即可．【解答】解：如图，∵三角形的斜边长为a，∴两条直角边长为a， a，∴S空白=a•a=a2，∵AB=a，∴OC=a，∴S正六边形=6×a•a=a2，∴S阴影=S正六边形﹣S空白=a2﹣a2=a2，∴==5，法二：因为是正六边形，所以△OAB是边长为a的等边三角形，即两个空白三角形面积为S△OAB，即=5 故选：C．【点评】本题考查了正多边形和圆，正六边形的边长等于半径，面积可以分成六个等边三角形的面积来计算．10．如图，在正五边形ABCDE中，连接AC、AD、CE，CE交AD于点F，连接BF，下列说法不正确的是（）A．△CDF的周长等于AD+CD B．FC平分∠BFDC．AC2+BF2=4CD2D．DE2=EF•CE【考点】正多边形和圆；全等三角形的判定与性质．【分析】首先由正五边形的性质可得AB=BC=CD=DE=AE，BA∥CE，AD∥BC，AC∥DE，AC=AD=CE，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证得四边形ABCF为菱形，得CF=AF，即△CDF的周长等于AD+CD，由菱形的性质和勾股定理得出AC2+BF2=4CD2，可证明△CDE∽△DFE，即可得出DE2=EF•CE．【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴AB=BC=CD=DE=AE，BA∥CE，AD∥BC，AC∥DE，AC=AD=CE，∴四边形ABCF是菱形，∴CF=AF，∴△CDF的周长等于CF+DF+CD，即△CDF的周长等于AD+CD，故A选项正确；∵四边形ABCF是菱形，∴AC⊥BF，设AC与BF交于点O，由勾股定理得OB2+OC2=BC2，∴AC2+BF2=（2OC）2+（2OB）2=4OC2+4OB2=4BC2，∴AC2+BF2=4CD2．故C选项正确；由正五边形的性质得，△ADE≌△CDE，∴∠DCE=∠EDF，∴△CDE∽△DFE，∴=，∴DE2=EF•CE，故D选项正确；故选：B．【点评】本题考查了正五边形的性质，全等三角形的判定，综合考察的知识点较多，解答本题注意已经证明的结论，可以直接拿来使用．11．一元钱硬币的直径约为24mm，则用它能完全覆盖住的正六边形的边长最大不能超过（）A．12mm B．12mm C．6mm D．6mm【考点】正多边形和圆．【专题】计算题．【分析】理解清楚题意，此题实际考查的是一个直径为24mm的圆内接正六边形的边长．【解答】解：已知圆内接半径r为12mm，则OB=12，∴BD=OB•sin30°=12×=6，则BC=2×6=12，可知边长为12mm，就是完全覆盖住的正六边形的边长最大．故选A．【点评】此题所求结果比较新颖，要注意题目问题的真正含义，即求圆内接正六边形的边长．12．蜂巢的构造非常美丽、科学，如图是由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网络，正六边形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上．设定AB边如图所示，则△ABC是直角三角形的个数有（）A．4个B．6个C．8个D．10个【考点】正多边形和圆．【分析】根据正六边形的性质，分AB是直角边和斜边两种情况确定出点C的位置即可得解．【解答】解：如图，AB是直角边时，点C共有6个位置，即，有6个直角三角形，AB是斜边时，点C共有4个位置，即有4个直角三角形，综上所述，△ABC是直角三角形的个数有6+4=10个．故选：D．【点评】本题考查了正多边形和圆，难点在于分AB是直角边和斜边两种情况讨论，熟练掌握正六边形的性质是解题的关键，作出图形更形象直观．13．一张圆心角为45°的扇形纸板和圆形纸板按如图方式分别剪成一个正方形，边长都为1，则扇形和圆形纸板的面积比是（）A．5：4 B．5：2 C．：2 D．：【考点】正多边形和圆；勾股定理．【专题】计算题；压轴题．【分析】先画出图形，分别求出扇形和圆的半径，再根据面积公式求出面积，最后求出比值即可．【解答】解：如图1，连接OD，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCB=∠ABO=90°，AB=BC=CD=1，∵∠AOB=45°，∴OB=AB=1，由勾股定理得：OD==，∴扇形的面积是=π；如图2，连接MB、MC，∵四边形ABCD是⊙M的内接四边形，四边形ABCD是正方形，∴∠BMC=90°，MB=MC，∴∠MCB=∠MBC=45°，∵BC=1，∴MC=MB=，∴⊙M的面积是π×（）2=π，∴扇形和圆形纸板的面积比是π÷（π）=．故选：A．【点评】本题考查了正方形性质，圆内接四边形性质，扇形的面积公式的应用，解此题的关键是求出扇形和圆的面积，题目比较好，难度适中．14．如图，正方形ABCD和正△AEF都内接于⊙O，EF与BC、CD分别相交于点G、H，则的值是（）A．B．C．D．2【考点】正多边形和圆．【专题】压轴题．【分析】首先设⊙O的半径是r，则OF=r，根据AO是∠EAF的平分线，求出∠COF=60°，在Rt△OIF中，求出FI的值是多少；然后判断出OI、CI的关系，再根据GH∥BD，求出GH的值是多少，再用EF的值比上GH的值，求出的值是多少即可．【解答】解：如图，连接AC、BD、OF，，设⊙O的半径是r，则OF=r，∵AO是∠EAF的平分线，∴∠OAF=60°÷2=30°，∵OA=OF，∴∠OFA=∠OAF=30°，∴∠COF=30°+30°=60°，∴FI=r•sin60°=，∴EF=，∵AO=2OI，∴OI=，CI=r﹣=，∴，∴，∴=，即则的值是．故选：C．【点评】此题主要考查了正多边形与圆的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确正多边形的有关概念：①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．15．阅读理解：如图1，在平面内选一定点O，引一条有方向的射线Ox，再选定一个单位长度，那么平面上任一点M的位置可由∠MOx的度数θ与OM的长度m确定，有序数对（θ，m）称为M点的“极坐标”，这样建立的坐标系称为“极坐标系”．应用：在图2的极坐标系下，如果正六边形的边长为2，有一边OA在射线Ox上，则正六边形的顶点C的极坐标应记为（）A．（60°，4）B．（45°，4）C．（60°，2）D．（50°，2）【考点】正多边形和圆；坐标确定位置．【专题】新定义．【分析】设正六边形的中心为D，连接AD，判断出△AOD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得OD=OA，∠AOD=60°，再求出OC，然后根据“极坐标”的定义写出即可．【解答】解：如图，设正六边形的中心为D，连接AD，∵∠ADO=360°÷6=60°，OD=AD，∴△AOD是等边三角形，∴OD=OA=2，∠AOD=60°，∴OC=2OD=2×2=4，∴正六边形的顶点C的极坐标应记为（60°，4）．故选：A．【点评】本题考查了正多边形和圆，坐标确定位置，主要利用了正六边形的性质，读懂题目信息，理解“极坐标”的定义是解题的关键．二、填空题（共14小题）16．（2015•达州）已知正六边形ABCDEF的边心距为cm，则正六边形的半径为 2 cm．【考点】正多边形和圆．【分析】根据题意画出图形，连接OA、OB，过O作OD⊥AB，再根据正六边形的性质及锐角三角函数的定义求解即可．【解答】解：如图所示，连接OA、OB，过O作OD⊥AB，∵多边形ABCDEF是正六边形，∴∠OAD=60°，∴OD=OA•sin∠OAB=AO=，解得：AO=2．．故答案为：2．【点评】本题考查的是正六边形的性质，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．17．如图，在正六边形ABCDEF中，连接对角线AC，CE，DF，EA，FB，可以得到一个六角星．记这些对角线的交点分别为H，I，J，K，L、M，则图中等边三角形共有8 个．【考点】正多边形和圆；等边三角形的判定．【分析】在正六边形ABCDEF的六个顶点是圆的六等分点，即可求得图中每个角的度数，即可判断等边三角形的个数．【解答】解：等边三角形有△AML、△BHM、△CHI、△DIJ、△EKJ、△FLK、△ACE、△BDF共有8个．故答案是：8．【点评】本题考查了正六边形的性质，正确理解正六边形ABCDEF的六个顶点是圆的六等分点是关键．18．已知⊙O的内接正六边形周长为12cm，则这个圆的半径是 2 cm．【考点】正多边形和圆．【分析】首先求出∠AOB=×360°，进而证明△OAB为等边三角形，问题即可解决．【解答】解：如图，∵⊙O的内接正六边形ABCDEF的周长长为12cm，∴边长为2cm，∵∠AOB=×360°=60°，且OA=OB，∴△OAB为等边三角形，∴OA=AB=2，即该圆的半径为2，故答案为：2．【点评】本题考查了正多边形和圆，以正多边形外接圆、正多边形的性质等几何知识点为考查的核心构造而成；灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答是关键．19．（2015•营口）圆内接正六边形的边心距为2，则这个正六边形的面积为24cm2．【考点】正多边形和圆．【分析】根据正六边形的特点，通过中心作边的垂线，连接半径，结合解直角三角形的有关知识解决．【解答】解：如图，连接OA、OB；过点O作OG⊥AB于点G．在Rt△AOG中，OG=2，∠AOG=30°，∵OG=OA•cos 30°，∴OA===4，∴这个正六边形的面积为6××4×2=24cm2．故答案为：24．【点评】此题主要考查正多边形的计算问题，根据题意画出图形，再根据正多边形的性质及锐角三角函数的定义解答即可．20．如图，AD是正五边形ABCDE的一条对角线，则∠BAD= 72°．【考点】正多边形和圆．【分析】利用多边形内角和公式求得∠E的度数，在等腰三角形AED中可求得∠EAD的读数，进而求得∠BAD的度数．【解答】解：∵正五边形ABCDE的内角和为（5﹣2）×180°=540°，∴∠E=×540°=108°，∠BAE=108°又∵EA=ED，∴∠EAD=×（180°﹣108°）=36°，∴∠BAD=∠BAE﹣∠EAD=72°，故答案是：72°．【点评】本题考查了正多边形的计算，重点掌握正多边形内角和公式是关键．21．半径为1的圆内接正三角形的边心距为．【考点】正多边形和圆．【专题】几何图形问题．【分析】作出几何图形，再由外接圆半径、边心距和边长的一半组成的三角形中，已知外接圆半径和特殊角，可求得边心距．【解答】解：如图，△ABC是⊙O的内接等边三角形，OB=1，OD⊥BC．∵等边三角形的内心和外心重合，∴OB平分∠ABC，则∠OBD=30°；∵OD⊥BC，OB=1，∴OD=．故答案为：．【点评】考查了等边三角形的性质．注意：等边三角形的外接圆和内切圆是同心圆，圆心到顶点的距离等于外接圆半径，边心距等于内切圆半径．22．如图，将正六边形ABCDEF放在直角坐标系中，中心与坐标原点重合，若A点的坐标为（﹣1，0），则点C的坐标为（，﹣）．【考点】正多边形和圆；坐标与图形性质．【专题】计算题．【分析】先连接OE，由于正六边形是轴对称图形，并设EF交Y轴于G，那么∠GOE=30°；在Rt△GOE中，则GE=，OG=．即可求得E的坐标，和E关于Y轴对称的F点的坐标，其他坐标类似可求出．【解答】解：连接OE，由正六边形是轴对称图形知：在Rt△OEG中，∠GOE=30°，OE=1．∴GE=，OG=．∴A（﹣1，0），B（﹣，﹣），C（，﹣）D（1，0），E（，），F（﹣，）．故答案为：（，﹣）【点评】本题利用了正六边形的对称性，直角三角形30°的角所对的边等于斜边的一半，勾股定理等知识．23．如图，⊙O的半径为1cm，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则图中阴影部分面积为cm2．（结果保留π）【考点】正多边形和圆．【专题】计算题．【分析】根据图形分析可得求图中阴影部分面积实为求扇形部分面积，将原图阴影部分面积转化为扇形面积求解即可．【解答】解：如图所示：连接BO，CO，∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，∴AB=BC=CO=1，∠ABC=120°，△OBC是等边三角形，∴CO∥AB，在△COW和△ABW中，∴△COW≌△ABW（AAS），∴图中阴影部分面积为：S扇形OBC==．故答案为：．【点评】此题主要考查了正多边形和圆以及扇形面积求法，得出阴影部分面积=S扇形OBC是解题关键．24．如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，若正方形的面积等于4，则⊙O的面积等于2π．【考点】正多边形和圆．【分析】根据正方形的面积公式求得半径，然后根据圆的面积公式求解．【解答】解：正方形的边长AB=2，则半径是2×=，则面积是（）2π=2π．故答案是：2π．【点评】本题考查了正多边形的计算，根据正方形的面积求得半径是关键．25．如图，点O是正五边形ABCDE的中心，则∠BAO的度数为54°．【考点】正多边形和圆．【分析】连接OB，则OB=OA，得出∠BAO=∠ABO，再求出正五边形ABCDE的中心角∠AOB的度数，由等腰三角形的性质和内角和定理即可得出结果．【解答】解：连接OB，则OB=OA，∴∠BAO=∠ABO，∵点O是正五边形ABCDE的中心，∴∠AOB==72°，∴∠BAO=（180°﹣72°）=54°；故答案为：54°．【点评】本题考查了正五边形的性质、等腰三角形的性质、正五边形中心角的求法；熟练掌握正五边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．26．如图，正方形ABCD的边长为1，中心为点O，有一边长大小不定的正六边形EFGHIJ绕点O可任意旋转，在旋转过程中，这个正六边形始终在正方形ABCD内（包括正方形的边），当这个正六边形的边长最大时，AE的最小值为（﹣1）/2 ．【考点】轨迹．【专题】压轴题．【分析】当正六边形EFGHIJ的边长最大时，要使AE最小，六边形对角线EH与正方形对角线AC重合就可解决问题．【解答】解：如图所示，当EH=AB时，正六边形自由旋转且始终在正方形里，此时正六边形的边长最大，再当EH与正方形对角线AC重合时，AE最小∵正方形ABCD的边长为1；∴AC=∴而EH=1∴AE=，则AE的最小值为AE=．故答案为【点评】本题考查了正多边形的性质与运动的轨迹问题，解决本题的关键是首先找到正六边形的边长最大时正六边形在正方形内的位置，再旋转正六边形使得AE最小．27．正六边形ABCDEF的边长为2，则对角线AE的长为2．【考点】正多边形和圆．【分析】根据题意画出图形，过点F作FG⊥AE于点G，先根据正六边形的性质得出∠AFE的度数，再由AF=EF 可知FG是AE的垂直平分线，∠GAF=30°，根据锐角三角函数的定义即可得出AG的长，进而得出结论．【解答】解：如图所示，过点F作FG⊥AE于点G，∵多边形ABCDEF是正六边形，∴∠AFE=120°，AF=EF，∴FG是AE的垂直平分线，∠GAF=30°，∴A G=AF•cos30°=2×=，∴AE=2AG=2．故答案为：2．【点评】本题考查的是正多边形和圆，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．28．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的半径为4，则阴影部分的面积等于π．【考点】正多边形和圆；扇形面积的计算．【专题】压轴题．【分析】先正确作辅助线，构造扇形和等边三角形、直角三角形，分别求出两个弓形的面积和两个三角形面积，即可求出阴影部分的面积．【解答】解：连接OC、OD、OE，OC交BD于M，OE交DF于N，过O作OZ⊥CD于Z，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴BC=CD=DE=EF，∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=60°，由垂径定理得：OC⊥BD，OE⊥DF，BM=DM，FN=DN，∵在Rt△BMO中，OB=4，∠BOM=60°，∴BM=OB×sin60°=2，OM=OB•cos60°=2，∴BD=2BM=4，∴△BDO的面积是×BD×OM=×4×2=4，同理△FDO的面积是4；∵∠COD=60°，OC=OD=4，∴△COD是等边三角形，∴∠OCD=∠ODC=60°，在Rt△CZO中，OC=4，OZ=OC×sin60°=2，∴S扇形OCD﹣S△COD=﹣×4×2=π﹣4，∴阴影部分的面积是：4+4+π﹣4+π﹣4=π，故答案为：π．【点评】本题考查了正多边形与圆及扇形的面积的计算的应用，解题的关键是求出两个弓形和两个三角形面积，题目比较好，难度适中．29．如图，正六边形ABCDEF的边长为2，延长BA，EF交于点O．以O为原点，以边AB所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，则直线DF与直线AE的交点坐标是（2， 4 ）．【考点】正多边形和圆；两条直线相交或平行问题．【专题】压轴题．【分析】首先得出△AOF是等边三角形，利用建立的坐标系，得出D，F点坐标，进而求出直线DF的解析式，进而求出横坐标为2时，其纵坐标即可得出答案．【解答】解：连接AE，DF，∵正六边形ABCDEF的边长为2，延长BA，EF交于点O，∴可得：△AOF是等边三角形，则AO=FO=FA=2，∵以O为原点，以边AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，∠EOA=60°，EO=FO+EF=4，∴∠EAO=90°，∠OEA=30°，故AE=4cos30°=6，∴F（，3），D（4，6），设直线DF的解析式为：y=kx+b，则，解得：，故直线DF的解析式为：y=x+2，当x=2时，y=2×+2=4，∴直线DF与直线AE的交点坐标是：（2，4）．故答案为：2，4．【点评】此题主要考查了正多边形和圆以及待定系数法求一次函数解析式等知识，得出F，D点坐标是解题关键．三、解答题（共1小题）30．图①是我们常见的地砖上的图案，其中包含了一种特殊的平面图形﹣正八边形．（1）如图②，AE是⊙O的直径，用直尺和圆规作⊙O的内接正八边形ABCDEFGH（不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的前提下，连接OD，已知OA=5，若扇形OAD（∠AOD＜180°）是一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径等于．【考点】正多边形和圆；圆锥的计算；作图—复杂作图．【专题】作图题．【分析】（1）作AE的垂直平分线交⊙O于C，G，作∠AOG，∠EOG的角平分线，分别交⊙O于H，F，反向延长 FO，HO，分别交⊙O于D，B顺次连接A，B，C，D，E，F，G，H，八边形ABCDEFGH即为所求；。

人教版九年级数学24.3 正多边形和圆课后训练一、选择题1. 下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是()A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形2. 2019·安徽月考如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，过点A作⊙O的切线交对角线DB的延长线于点F，则下列结论不成立的是()A．AE∥BF B．AF∥CDC．DF＝3AF D．AB＝BF3. 一元硬币的直径约为24 mm，则用它能完全覆盖住的正六边形的边长最大为()A．12 mm B．12 3 mm C．6 mm D．6 3 mm4. 如图，边长为3的正五边形ABCDE的顶点A，B在半径为3的圆O上，其他各点在圆内，将正五边形ABCDE绕点A逆时针旋转，当点E第一次落在圆O 上时，点C转过的度数为()A．12°B．16°C．20°D．24°5. 如图，将两张完全相同的正六边形纸片(边长为2a)重合在一起，下面一张纸片保持不动，将上面一张纸片沿水平方向向左平移a个单位长度，则空白部分与阴影部分的面积之比是()A．5∶2 B．3∶2 C．3∶1 D．2∶16. 如图是由7个全等的正六边形组成的网格，正六边形的顶点称为格点，△ABC 的顶点都在格点上，设定AB边如图所示，则使△ABC是直角三角形的格点有()A．10个B．8个C．6个D．4个7. 正方形ABCD与正八边形EFGHKLMN的边长相等，初始位置如图所示，将正方形绕点F顺时针旋转使得BC与FG重合，再将正方形绕点G顺时针旋转使得CD与GH重合……按这样的方式将正方形ABCD旋转2020次后，正方形ABCD 中与正八边形EFGHKLMN的边重合的边是()A．AB B．BC C．CD D．DA8. 下列用尺规等分圆周的作法正确的有()①在圆上依次截取等于半径的弦，就可以六等分圆；②作相互垂直的两条直径，就可以四等分圆；③按①的方法将圆六等分，六个等分点中三个不相邻的点三等分圆；④按②的方法将圆四等分，再平分四条弧，就可以八等分圆．A．4个B．3个C．2个D．1个二、填空题9. 如图①，小敏利用课余时间制作了一个脸盆架，图②是它的截面图，垂直放置的脸盆与架子的交点为A，B，AB＝40 cm，脸盆的最低点C到AB的距离为10 cm，则该脸盆的半径为________cm.10. (2019•海南)如图，O与正五边形ABCDE的边AB、DE分别相切于点B、D，的大小为__________度．则劣弧BD所对的圆心角BOD11. 如图，在边长为2的正八边形中，把其不相邻的四条边均向两边延长相交成一个四边形ABCD，则四边形ABCD的周长是________．12. 如图，取两根等宽的纸条折叠穿插，拉紧，可得边长为2的正六边形，则原来的纸带宽为________．13. 如图，AB，AC分别为⊙O的内接正四边形与内接正三角形的一边，而BC恰好是⊙O内接正n边形的一边，则n等于________．14. 如图为一个半径为4 m 的圆形场地，其中放有六个宽为1 m 的长方形临时摊位，这些摊位均有两个顶点在场地边上，另两个顶点紧靠相邻摊位的顶点，则每个长方形摊位的长为__________m.15. 佳佳对科技馆富有创意的科学方舟形象设计很有兴趣，他回家后将一正五边形纸片沿其对称轴对折(如图①所示)，旋转放置，做成科学方舟模型(如图②所示)．图①中正五边形的边心距OB 为2，图②中AC 为科学方舟船头A 到船底的距离，请你计算AC ＋12AB ＝________．三、解答题16. 如图，在正六边形ABCDEF 中，点O 是中心，AB ＝10，求这个正六边形的半径、边心距、周长、面积．17. 如图，P是⊙O 上的一点．(1)在⊙O 上求作一点B ，使PB 是⊙O 的内接正三角形的一边；(2)在BP ︵上求作一点A ，使P A 是⊙O 的内接正方形的一边； (3)连接OB ，求∠AOB 的度数； (4)求作⊙O 的内接正十二边形．18. 如图，A ，B ，C ，D ，E是⊙O 上的五等分点，连接AC ，CE ，EB ，BD ，DA ，得到一个五角星图形和五边形MNFGH. (1)计算∠CAD 的度数； (2)连接AE ，求证：AE ＝ME.人教版 九年级数学 24.3 正多边形和圆 课后训练-答案一、选择题1. 【答案】A[解析] ∵正三角形一条边所对的圆心角是360°÷3＝120°，正方形一条边所对的圆心角是360°÷4＝90°， 正五边形一条边所对的圆心角是360°÷5＝72°， 正六边形一条边所对的圆心角是360°÷6＝60°， ∴一条边所对的圆心角最大的图形是正三角形． 故选A.2. 【答案】C3. 【答案】A[解析] 正六边形外接圆的直径等于正六边形边长的2倍．4. 【答案】A[解析] 设点E第一次落在圆上时的对应点为E′，连接OA，OB，OE′，如图．∵五边形ABCDE为正五边形，∴∠EAB＝108°.∵正五边形ABCDE绕点A逆时针旋转，点E第一次落在圆O上的点E′处，∴AE′＝AE＝3.∵OA＝AB＝OB＝OE′＝3，∴△OAE′，△OAB都为等边三角形，∴∠OAB＝∠OAE′＝60°，∴∠E′AB＝120°，∴∠EAE′＝12°，∴当点E第一次落在圆O上时，点C转过的度数为12°.5. 【答案】C[解析] 正六边形的面积＝6×34×(2a)2＝6 3a2，阴影部分的面积＝a·2 3a＝2 3a2，∴空白部分与阴影部分的面积之比是＝6 3a2∶2 3a2＝3∶1.6. 【答案】A[解析] 如图，当AB是直角边时，点C共有6个位置，即有6个直角三角形；当AB是斜边时，点C共有4个位置，即有4个直角三角形．综上所述，使△ABC是直角三角形的格点有6＋4＝10(个)．故选A.7. 【答案】A[解析] 由题意可得正方形每旋转8次则回到原来的位置．∵2020÷8＝252……4，∴正方形ABCD 旋转2020次后，AB 与正八边形EFGHKLMN 的边重合．8. 【答案】A二、填空题9.【答案】25 【解析】如解图，取圆心为O ，连接OA 、OC ，OC 交AB 于点D ，则OC ⊥AB.设⊙O的半径为r ，则OA ＝OC ＝r ，又∵CD ＝10，∴OD ＝r －10，∵AB ＝40，OC ⊥A B ，∴AD ＝20.在Rt △ADO 中，由勾股定理得：r 2＝202＋(r －10)2，解得r ＝25，即脸盆的半径为25 cm .10. 【答案】144【解析】五边形ABCDE 是正五边形，∴(52)1801085E A -⨯︒∠=∠==︒．∵AB 、DE 与O 相切，∴90OBA ODE ∠=∠=︒，∴(52)1809010810890144BOD ∠=-⨯----=︒︒︒︒︒︒，故答案为：144．11. 【答案】8＋82 [解析] 易证四边形ABCD 是正方形．由题意可得AD ＝2＋222×2＝2＋2 2， ∴四边形ABCD 的周长是4×(2＋2 2)＝8＋8 2. 故答案为8＋8 2.12. 【答案】3 [解析] 边长为2的正六边形由6个边长为2的等边三角形组成，其中等边三角形的高为原来的纸带宽度，所以原来的纸带宽度为 3.13. 【答案】12[解析] 连接OA ，OB ，OC ，如图．∵AB ，AC 分别为⊙O 的内接正四边形与内接正三角形的一边， ∴∠AOB ＝90°，∠AOC ＝120°， ∴∠BOC ＝∠AOC －∠AOB ＝30°，∴n ＝360°30°＝12，即BC 恰好是⊙O 内接正十二边形的一边．14. 【答案】－3＋3 72[解析] 设圆心是O ，连接OA ，OB ，过点O 作OC ⊥BC 于点C ，交AD 于点D .设长方形摊位的长是2x m ．在Rt △OAD 中，∠AOD ＝30°，AD ＝x m ，则OD ＝3x m.在Rt △OBC 中，由勾股定理，得OC ＝16－x 2 m.∵OC －OD ＝CD ＝1 m ， ∴16－x 2＝3x ＋1， 解得x ＝－3＋3 74(负值已舍去)， 则2x ＝－3＋3 72，∴长方形摊位的长为－3＋3 72 m.15. 【答案】52 2 [解析] 如图①，连接OF ，OE .由题意，知AB ⊥EF ，则S 正五边形AGFED ＝5×S △OEF ＝5×(12EF ·OB )＝2.5×2EF ＝5 2BE .如图②，连接AE .S 正五边形AGFED ＝2×S 四边形ABED ＝2×(S △ABE ＋S △ADE )＝2×(12AB ·BE ＋12DE ·AC )＝AB ·BE ＋DE ·AC ＝AB ·BE ＋2BE ·AC ＝BE ·(AB ＋2AC )，∴5 2BE ＝BE ·(AB ＋2AC )． ∴AB ＋2AC ＝5 2，∴AC ＋12AB ＝522.三、解答题16. 【答案】解：连接OB ，OC ，过点O 作OH ⊥BC 于点H.∵正六边形的中心角为360°6＝60°，OB ＝OC ，∴△OBC 是等边三角形，∴半径R ＝OB ＝BC ＝AB ＝10.∵OH ⊥BC ，∴∠BOH ＝30°，∴BH ＝12OB ＝5. 在Rt △OBH 中，边心距r ＝OH ＝102－52＝5 3，周长l ＝6AB ＝6×10＝60. ∵S △OBC ＝12BC·OH ＝12×10×5 3＝25 3，∴正六边形的面积S ＝6S △OBC ＝6×25 3＝150 3.17. 【答案】解：(1)如图①，以点P 为圆心，OP 长为半径画圆弧交⊙O 于点M ，再以点M 为圆心，OM 长为半径画圆弧交⊙O 于点B ，连接PB ，则PB 即为所求． (2)如图①，作直径PH ，再过圆心作直径PH 的垂线交BP ︵于点A ，连接P A ，则P A 即为所求．(3)∵P A 是⊙O 的内接正方形的一边， ∴∠AOP ＝90°.∵PB 是⊙O 的内接正三角形的一边， ∴∠BOP ＝120°，∴∠AOB ＝30°.(4)如图②，以点P 为圆心，OP 长为半径在⊙O 上依次截取5个点，这5个点连同点P 是⊙O 的六等分点，再作各弧的中点，顺次连接12个点，得到⊙O 的内接正十二边形．18. 【答案】解：(1)∵A ，B ，C ，D ，E 是⊙O 上的五等分点， ∴∠COD ＝360°5＝72°，∴∠CAD ＝12∠COD ＝36°.(2)证明：∵A ，B ，C ，D ，E 是⊙O 上的五等分点，∴CD ︵＝DE ︵＝AE ︵＝AB ︵＝BC ︵， ∴∠DAE ＝∠AEB ＝∠CAD ＝36°， ∴∠MAE ＝72°，∴∠AME ＝180°－∠MAE －∠AEB ＝72°＝∠MAE ，∴AE ＝ME.。

第24章 24.3《正多边形和圆》同步练习及答案 (2)1．下列边长为a 的正多边形与边长为a 的正方形组合起来，不能镶嵌成平面的是( )(1)正三角形 (2)正五边形 (3)正六边形 (4)正八边形A ．(1)(2)B ．(2)(3)C ．(1)(3)D ．(1)(4)2．以下说法正确的是A ．每个内角都是120°的六边形一定是正六边形．B ．正n 边形的对称轴不一定有n 条．C ．正n 边形的每一个外角度数等于它的中心角度数．D ．正多边形一定既是轴对称图形，又是中心对称图形．(3)(2006年天津市)若同一个圆的内角正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为r 3，r 4，r 6，则r 3：r 4：r 6等于( )A ．BC ．1:2:3D ． 3:2:14． 已知正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，图中阴影部分的面积为312，则⊙O 的半径为______________________．5．如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点E 在»AD 上，则∠BEC= ． 6．将一块正六边形硬纸片（图1），做成一个底面仍为正六边形且高相等的无盖纸盒（侧面均垂直于底面，见图2），需在每一个顶点处剪去一个四边形，例如图中的四边形AGA /H ，那么∠GA /H 的大小是 度．7．（2006年威海市）如图，若正方形A 1B 1C 1D 1内接于正方形ABCD 的内接圆，则ABB A 11的值为（ ） A ．21 B ．22 C ．41 D ．42 8．从一个半径为10㎝的圆形纸片上裁出一个最大的正方形，则此正方形的边长为 ．9．如图五边形ABCDE 内接于⊙O,∠A=∠B=∠C=∠D=∠E ．求证：五边形ABCDE 是正五边形10．如图，10－1、10－2、10－3、…、10－n 分别是⊙O 的内接正三角形ABC ，正四边形ABCD 、正五边形ABCDE 、…、正n 边形ABCD …，点M 、N 分别从点B 、C 开始以相同的速度在⊙O 上逆时针运动。

24.3 正多边形和圆一．选择题1．边长为2的正六边形的面积为（）A．6B．6C．6D．2．如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是上不同于点C的任意一点，则∠BPC的大小是（）A．22.5°B．45°C．30°D．50°3．如图，△ABD是⊙O的内接正三角形，四边形ACEF是⊙O的内接正四边形，若线段BC 恰是⊙O的一个内接正n边形的一条边，则n＝（）A．16B．12C．10D．84．如图，把边长相等的正六边形ABCDEF和正五边形ABGHI的AB边重合叠放在一起，连接EB，交HI于点K，则∠BKI的大小为（）A．90°B．85°C．84°D．80°5．如图，等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于⊙O，则AD：AB＝（）A．2：B．：C．：D．：26．如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，AF是⊙O的直径，则∠BDF的度数是（）A．18°B．36°C．54°D．72°7．已知圆内接正六边形的边长是1，则该圆的内接正三角形的面积为（）A．B．2C．D．8．如图，AB、AC分别为⊙O的内接正方形、内接正三边形的边，BC是圆内接正n边形的一边，则n等于（）A．8B．10C．12D．169．如图，P，Q分别是⊙O的内接正五边形的边AB，BC上的点，BP＝CQ，则∠POQ＝（）A．75°B．54°C．72°D．60°10．如图，AB，AC分别为⊙O的内接正三角形和内接正四边形的一边，若BC恰好是同圆的一个内接正n边形的一边，则n的值为（）A．8B．10C．12D．15二．填空题11．正方形的边长为6，则该正方形的边心距是．12．如图，在正六边形ABCDEF中，连接BD、BE、DF，则的值为．13．已知正五边形ABCDE内接于⊙O，连接BD，则∠ABD的度数是．14．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O且半径为3，则AB的长为．15．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的半径为2，则△ADE的周长是．16．如图，AB是⊙O的内接正方形一边，点C在弧AB上，且AC是⊙O的内接正六边形的一边，若将BC看作是⊙O的内接正n边形的一边，则n的值是．17．如图，⊙O半径为，正方形ABCD内接于⊙O，点E在上运动，连接BE，作AF ⊥BE，垂足为F，连接CF．则CF长的最小值为．18．已知：圆内接正方形ABCD，∠DAC的平分线交圆于E，交CD于P，若EP＝1，AP ＝3，则圆的半径r＝．三．解答题19．如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为的中点，连接AM，BM．（1）求证：；（2）求的度数．20．如图，正方形ABCD内接于⊙O，P为上一点，连接DE，AE．（1）∠CPD＝°；（2）若DC＝4，CP＝，求DP的长．21．如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．（1）求证：△ABC是等边三角形．（2）若⊙O的半径为2，求等边△ABC的边心距．22．（1）已知：如图1，△ABC是⊙O的内接正三角形，点P为劣弧BC上一动点．求证：P A＝PB+PC；（2）已知：如图2，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为劣弧BC上一动点．求证：P A＝PC+PB．23．如图正方形ABCD内接于⊙O，E为CD任意一点，连接DE、AE．（1）求∠AED的度数．（2）如图2，过点B作BF∥DE交⊙O于点F，连接AF，AF＝1，AE＝4，求DE的长度．24．如图1，△ABC为等边三角形，图2为正方形，图3为正五边形，图4为正多边形．（1）如图1当BP＝CQ时，请求出∠AOQ的度数，并说明理由（2）如图2，在正方形中，当BP＝CQ时∠AOQ＝；如图3，在正五边形中，当BP＝CQ时，∠AOQ＝；（3）如图4，在正n边形中，当BP＝CQ时，∠AOQ是否有什么规律？如果有请用含有n的式子直接表示；如果没有规律，请说明理由．参考答案一．选择题1．A．2．B．3．B．4．C．5．B．6．C．7．C．8．C．9．C．10．C．二．填空题11．3．12．．13．72°．14．3．15．6+2．16．12；17．﹣1．18．．三．解答题19．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝BC，∴＝，∵M为的中点，∴＝，∴+＝+，∴；（2）解：连接OM，OA，OB，∵正方形ABCD内接于⊙O，∴∠AOB＝90°，∴∠AOM＝∠BOM＝（360°﹣90°）＝135°，∴的度数时135°．20．（1）如图，连接BD，∵正方形ABCD内接于⊙O，P为上一点，∴∠DBC＝45°，∵∠CPD＝∠DBC，∴∠CPD＝45°．故答案为：45；（2）如图，作CH⊥DP于H，∵CP＝2，∠CPD＝45°，∴CH＝PH＝2，∵DC＝4，∴DH＝＝＝2，∴DP＝PH+DH＝2+2．21．（1）证明：在⊙O中，∵∠BAC与∠CPB是对的圆周角，∠ABC与∠APC是所对的圆周角，∴∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，又∵∠APC＝∠CPB＝60°，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，∴△ABC为等边三角形；（2）过O作OD⊥BC于D，连接OB，则∠OBD＝30°，∠ODB＝90°，∵OB＝2，∴OD＝1，∴等边△ABC的边心距为1．22．证明：（1）延长BP至E，使PE＝PC，连接CE，如图1，∵A、B、P、C四点共圆，∴∠BAC+∠BPC＝180°，∵∠BPC+∠EPC＝180°，∴∠BAC＝∠CPE＝60°，∵PE＝PC，∴△PCE是等边三角形，∴CE＝PC，∠E＝60°；又∵∠BCE＝60°+∠BCP，∠ACP＝60°+∠BCP，∴∠BCE＝∠ACP，∵△ABC、△ECP为等边三角形，∴CE＝PC，AC＝BC，在△BEC和△APC中，，∴△BEC≌△APC（SAS），∴P A＝BE＝PB+PC；（2）过点B作BE⊥PB交P A于E，连接OA，OB．如图2，∵∠1+∠2＝∠2+∠3＝90°∴∠1＝∠3，∵∠APB＝∠AOB＝45°，∴BP＝BE，∴PE＝PB，在△ABE和△CBP中，，∴△ABE≌△CBP（SAS），∴PC＝AE，∴P A＝AE+PE＝PC+PB；23．（1）如图1中，连接OA、OD．∵四边形ABCD是正方形，∴∠AOD＝90°，∴∠AED＝∠AOD＝45°．（2）如图2中，连接CF，CE，CA，BD，作DH⊥AE于H．∵BF∥DE，AB∥CD，∴∠BDE＝∠DBF，∠BDC＝∠ABD，∴∠ABF＝∠CDE，∵∠CF A＝∠AEC＝90°，∴∠DEC＝∠AFB＝135°，∵CD＝AB，∴△CDE≌△ABF，∴AF＝CE＝1，∴AC＝＝，∴AD＝AC＝，∵∠DHE＝90°，∴∠HDE＝∠HED＝45°，∴DH＝HE，设DH＝EH＝x，在Rt△ADH中，∵AD2＝AH2+DH2，∴＝（4﹣x）2+x2，解得x＝或（舍弃），∴DE＝DH＝24．（1）∠AOQ＝60°．在△ABP和△BCQ中，．∴△ABP≌△BCQ（SAS）．∴∠BAP＝∠CBQ．∴∠AOQ＝∠ABO+∠BAP＝∠ABO+∠CBQ＝∠ABC＝60°；（2）理由同（1）：正方形∠AOQ＝90°，正五边形∠AOQ＝108°，（3）正n边形∠AOQ＝．故答案为：90°，108°．。