2019年高考数学一轮复习课时分层训练40简单几何体的结构及其三视图和直观图理北师大版

2019年高考数学大一轮总复习第7篇第1节空间几何体的结构、三视图和直观图课时训练理新人教A版一、选择题1．下列结论正确的是( )A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以正方形的一条对角线旋转一周围成的几何体叫圆锥C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长都相等，则此棱锥可能是正六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线解析：三棱锥的侧面是有公共顶点的三角形，选项A错；由正方形的一条对角线旋转一周围成的几何体为两个圆锥形成的一个组合体，选项B错；六棱锥的侧棱长大于底面多边形的边长，选项C错；选项D正确．故选D.答案：D2．已知一个几何体的三视图如图所示，分析此几何体的组成为( )A．上面为棱台，下面为棱柱B．上面为圆台，下面为棱柱C．上面为圆台，下面为圆柱D．上面为棱台，下面为圆柱解析：由俯视图可知，该几何体的上面与下面都不可能是棱台或棱柱，故排除选项A、B、D.故选C.答案：C3．如图所示的几何体的正视图和侧视图可能正确的是( )解析：由于几何体是规则的对称几何体，所以其正视图和侧视图是相同的．故选A. 答案：A4．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )A ．2＋ 2 B.1＋22C.2＋22D ．1＋ 2解析：由题意画出斜二测直观图及还原后原图，由直观图中底角均为45°，腰和上底长度均为1，得下底长为1＋2，所以原图上、下底分别为1,1＋2，高为2的直角梯形．所以面积S ＝12(1＋2＋1)×2＝2＋ 2.故选A.答案：A5．(xx 辽宁沈阳二检)一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是( )解析：若俯视图为选项C ，侧视图的宽应为俯视图中三角形的高32，所以俯视图不可能是选项C.答案：C6．(xx 河北保定一模)三棱锥V －ABC 的底面三角形ABC 为正三角形，侧面VAC 垂直于底面，VA ＝VC ，已知其正视图△VAC 的面积为23，则其侧视图的面积为( )A.32B.36C.34D.33解析：由题得几何体直观图如图，设底面△ABC 边长为a ，棱锥高为h ，S △VAC ＝12ah ＝23，即ah ＝43，取AC 的中点H ，连接VH ，BH ，△VHB 即侧视图，其面积为12×h ×a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＝34ah ＝33.故选D. 答案：D 二、填空题7．如图所示的Rt △ABC 绕着它的斜边AB 旋转一周得到的图形是________．解析：过Rt △ABC 的顶点C 作线段CD ⊥AB ，垂足为D ，所以Rt △ABC 绕着它的斜边AB 旋转一周后应得到是以CD 作为底面圆的半径的两个圆锥的组合体．答案：两个圆锥的组合体8．已知正三角形ABC 的边长为a ，那么△ABC 的平面直观图△A ′B ′C ′的面积为________．解析：如图①②所示的实际图形和直观图．由斜二测画法可知，A ′B ′＝AB ＝a ，O ′C ′＝12OC ＝34a ，在图②中作C ′D ′⊥A ′B ′于D ′，则C ′D ′＝22O ′C ′＝68a .∴S △A ′B ′C ′＝12A ′B ′·C ′D ′＝12×a ×68a ＝616a 2.答案：616a 2 9．(xx 北京房山一模)某三棱椎的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中，最大的面积为________．解析：由题中三视图可知该几何体是底面边长为4的正三角形，棱AD 垂直底的三棱锥，如图所示．其中三棱锥四个面中，最大的为△ABC ，AD ＝4，BD ＝4，EC ＝23，取BC 的中点F ，则AF ＝AD 2＋DF 2＝42＋232＝27，所以△ABC 的面积为12×4×27＝47.答案：4710.(xx 合肥三检)已知正四面体(所有棱长都相等的三棱锥)的俯视图如图所示，其中四边形ABCD 是边长为2 cm 的正方形，则这个正四面体的正视图的面积为______ cm 2.解析：构造一个边长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，在正方体内作出一个正四面体AB 1CD 1，易得该正四面体的正视图是一个底边长为22，高为2的等腰三角形．从而可得正视图的面积是22(cm 2)．答案：2 2 三、解答题11．(xx 银川调研)正四棱锥的高为3，侧棱长为7，求侧面上斜高(棱锥侧面三角形的高)为多少？解：如图所示，正四棱锥S －ABCD 中， 高OS ＝3，侧棱SA ＝SB ＝SC ＝SD ＝7， 在Rt △SOA 中，OA ＝SA 2－OS 2＝2， ∴AC ＝4.∴AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝2 2. 作OE ⊥AB 于E ，则E 为AB 中点． 连接SE ，则SE 即为斜高，在Rt △SOE 中，∵OE ＝12BC ＝2，SO ＝3，∴SE ＝5，即斜高为 5.12．已知正三棱锥VABC 的正视图、侧视图和俯视图如图所示．(1)画出该三棱锥的直观图； (2)求出侧视图的面积． 解：(1)直观图如图所示．(2)根据题中三视图间的关系可得BC ＝23， ∴侧视图中VA ＝42－⎝ ⎛⎭⎪⎫23×32×232＝23，∴S △VBC ＝12×23×23＝6.7 32401 7E91 纑T{26959 694F 楏30084 7584 疄?H20708 50E4 僤30977 7901 礁24449 5F81 征40800 9F60 齠。

课时分层训练(四十) 简单几何体构造及其三视图与直观图A组根底达标一、选择题1．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，那么这个几何体一定是( )A．圆柱B．圆锥C．球体D．圆柱、圆锥、球体组合体C[截面是任意且都是圆面，那么该几何体为球体．]2．以下说法正确是( )A．棱柱两个底面是全等正多边形B．平行于棱柱侧棱截面是矩形C．{直棱柱}⊆{正棱柱}D．{正四面体}⊆{正三棱锥}D[因为选项A中两个底面全等，但不一定是正多边形；选项B 中一般棱柱不能保证侧棱与底面垂直，即截面是平行四边形，但不一定是矩形；选项C中{正棱柱}⊆{直棱柱}，故A、B、C都错；选项D中，正四面体是各条棱均相等正三棱锥，故正确．] 3．(2021·河北石家庄质检)一个三棱锥主视图与俯视图如图7­1­8所示，那么该三棱锥左视图可能为( )图7­1­8A B C DD[由题图可知，该几何体为如下图三棱锥，其中平面ACD⊥平面BCD，所以该三棱锥左视图可能为选项D.]4．(2021·东北三省四市模拟(一))如图7­1­9，某几何体三视图如下图，那么该几何体各条棱中最长棱与最短棱长度之与为( )【导学号：79140221】图7­1­9A．6 B．42C．25＋2 D．26＋2D[由三视图知，该几何体是底面腰长为2等腰直角三角形、长为4侧棱垂直于底面(垂足为腰与底边交点)三棱锥，所以该三棱锥最长棱棱长为42＋(22)2＝26，最短棱棱长为2，所以该几何体中最长棱与最短棱长度之与为26＋2，应选D.]5．我国古代数学家刘徽在学术研究中，不迷信古人，坚持实事求是．他对?九章算术?中“开立圆术〞给出公式产生质疑，为了证实自己猜想，他引入了一种新几何体“牟合方盖〞：如图7­1­10以正方体相邻两个侧面为底做两次内切圆柱切割，然后剔除外部，剩下内核局部．如果“牟合方盖〞主视图与左视图都是圆，那么其俯视图形状为( )图7­1­10 B[由题意得在正方体内做两次内切圆柱切割，得到几何体直观图如下图，由图易得其俯视图为B，应选B.]二、填空题6．(2021·福建龙岩联考)一水平放置平面四边形OABC，用斜二测画法画出它直观图O′A′B′C′如图7­1­11所示，此直观图恰好是一个边长为1正方形，那么原平面四边形OABC面积为________．图7­1­112 2 [因为直观图面积是原图形面积24倍，且直观图面积为1，所以原图形面积为2 2.]7．正方体棱长为1，其俯视图是一个面积为1正方形，左视图是一个面积为2矩形，那么该正方体主视图面积等于________．2 [由题意知此正方体主视图与左视图是一样，主视图面积与左视图面积相等为 2.]8．如图7­1­12所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点P是上底面A1B1C1D1内一动点，那么三棱锥P­ABC主视图与左视图面积比值为________.【导学号：79140222】图7­1­121 [三棱锥P­ABC主视图与左视图为底边与高均相等三角形，故它们面积相等，面积比值为1.]三、解答题9．某几何体三视图如图7­1­13所示．图7­1­13(1)判断该几何体是什么几何体？(2)画出该几何体直观图．[解] (1)该几何体是一个正方体切掉两个14圆柱后几何体． (2)直观图如下图．10．如图7­1­14，在四棱锥P ­ABCD 中，底面为正方形，PC 与底面ABCD 垂直，如图7­1­15为该四棱锥主视图与左视图，它们是腰长为6 cm 全等等腰直角三角形．图7­1­14 图7­1­15(1)根据图中所给主视图、左视图，画出相应俯视图，并求出该俯视图面积；(2)求PA .[解] (1)该四棱锥俯视图为(内含对角线)边长为6 cm 正方形，如图，其面积为36 cm 2.(2)由左视图可求得PD ＝PC 2＋CD 2＝62＋62＝6 2.由主视图可知AD ＝6，且AD ⊥PD ，所以在Rt△APD 中，PA ＝PD 2＋AD 2＝(62)2＋62＝6 3 cm.B 组 能力提升11．(2021·贵州适应性考试)如图7­1­16，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，点P 是线段A 1C 1上动点，那么三棱锥P­BCD俯视图与主视图面积之比最大值为( )图7­1­16A．1 B．2C. 3 D．2D[设正方体棱长为1，那么由题意得三棱锥主视图面积S主视图＝12×1×1＝12，而三棱锥俯视图面积最大值为S俯视图＝S四边形ABCD＝1×1＝1，所以三棱锥P­BCD俯视图与主视图面积之比最大值为S俯视图S主视图＝2，应选D.]12．正四棱锥V­ABCD中，底面面积为16，一条侧棱长为211，那么该棱锥高为________.【导学号：79140223】6 [如图，取正方形ABCD中心O，连接VO，AO，那么VO就是正四棱锥V­ABCD高．因为底面面积为16，所以AO＝2 2.因为一条侧棱长为211.所以VO＝VA2－AO2＝44－8＝6.所以正四棱锥V­ABCD高为6.]13．正三棱锥V­ABC主视图、左视图与俯视图如图7­1­17所示．图7­1­17(1)画出该三棱锥直观图；(2)求出左视图面积．[解] (1)直观图如下图．(2)根据三视图间关系可得BC ＝23， ∴左视图中VA ＝42－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23×32×232＝23，∴S △VBC ＝12×23×23＝6.。

学习资料专题第1节空间几何体的结构、三视图和直观图【选题明细表】1.给出以下命题,其中正确的是( B )①由五个平面围成的多面体只能是四棱锥;②多面体至少由四个面围成;③在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线;④圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线.(A)①④ (B)③④ (C)②③ (D)②④解析:三棱柱也是由五个平面围成的,因此①错误;三棱锥是最简单的多面体,由四个面围成,②正确;在圆柱的上下底面的圆周上所取两点连线与旋转轴不平行时,则不是圆柱的母线,③错误;由圆锥的定义知④正确.故选B.2.一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等,那么这个几何体不可以是( D )(A)球 (B)三棱锥(C)正方体(D)圆柱解析:球、正方体的三视图形状都相同、大小均相等,首先排除选项A和C.对于如图所示三棱锥OABC,当OA, OB,OC两两垂直且OA=OB=OC时,其三视图的形状都相同,大小均相等,故排除选项B.不论圆柱如何放置,其三视图的形状都不会完全相同,故选D.3.将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的侧视图为 ( D )解析:该几何体的侧视图是左下角与右上角连线为虚线的矩形,故选D.,则不是该三棱锥的三视图是( D )解析:易知该三棱锥的底面是直角边分别为1和2的直角三角形,注意到侧视图是从左往右看得到的图形,结合B,D选项知,D选项错误,故选D.5.如图所示是水平放置三角形的直观图,点D是△ABC的BC边中点,AB,BC分别与y′轴,x′轴平行,则三条线段AB,AD,AC中( B )(A)最长的是AB,最短的是AC(B)最长的是AC,最短的是AB(C)最长的是AB,最短的是AD(D)最长的是AC,最短的是AD解析:由条件知,原平面图形中AB⊥BC,从而AB<AD<AC.故选B.6.如图,三棱锥VABC的底面为正三角形,侧面VAC与底面垂直且VA=VC,已知其正视图的面积为,则其侧视图的面积为( B )(A)(B)(C)(D)解析:由题意知,该三棱锥的正视图为△VAC,作VO⊥AC于O,连接OB,设底面边长为2a,高VO=h,则△VAC的面积为×2a×h=ah=.又三棱锥的侧视图为Rt△VOB,在正三角形ABC中,高OB=a,所以侧视图的面积为OB·OV=×a×h=ah=×=.故选B.7.已知正三角形ABC的边长为2,那么△ABC的直观图△A′B′C′的面积为.解析:如图,图①、图②所示的分别是实际图形和直观图.从图②可知,A′B′=AB=2,O′C′=OC=,C′D′=O′C′sin 45°=×=.所以S△A′B′C′=A′B′·C′D′=×2×=.答案:,点O为正方体ABCDA′B′C′D′的中心,点E为四边形B′BCC′的中心,点F为B′C′的中点,则空间四边形D′OEF在该正方体的各个面上的投影可能是.(填出所有可能的序号)解析:空间四边形D′OEF在正方体的前后两个面投影是①,在左右两个面的投影是②,在上下两个面的投影是③,而不可能出现的投影为④的情况.答案:①②③9.一个几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形,且体积为,则这个几何体的俯视图可能是下列图形中的.(填入以下可能的图形前的编号)①锐角三角形;②直角三角形;③四边形;④扇形;⑤圆.解析:如图所示,①②③都符合题设要求,若俯视图是扇形或圆,体积中会含有π,故排除④⑤.答案:①②③能力提升(时间:15分钟)10.如图(1),将一个正三棱柱ABCDEF(侧棱垂直于底面,底面为正三角形)截去一个三棱锥ABCD后,得到几何体BCDEF,如图(2),则所得几何体的正视图是( C )解析:所得几何体中,由于棱BD被遮住,应为虚线,而棱CF,BE相互平行,所以其正视图应为C.11.(2017·湖南郴州二模)已知某三棱锥的三视图如图所示,正视图和俯视图都是等腰直角三角形,则该三棱锥中最长的棱长为( A )(A)2 (B)2 (C) (D)2解析:由三视图可知:该几何体为三棱锥PABC,其中侧面PAB⊥底面ABC,底面ABC为直角三角形,AB⊥BC,BC=2,AB=1.过点P作PO⊥AB,垂足为O,则PO⊥底面ABC,PO=2,AO=1.该三棱锥中最长的棱长为PC====2.故选A.12.如图,若Ω是长方体ABCDA1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHC1B1后得到的几何体,其中E为线段A1B1上异于B1的点,F为线段BB1上异于B1的点,且EH∥A1D1,则下列结论中不可能正确的是( D )(A)EH∥FG(B)四边形EFGH是矩形(C)Ω是棱柱(D)Ω是棱台解析:根据棱台的定义(侧棱延长之后,必交于一点,即棱台可以还原成棱锥)可知,几何体Ω不是棱台.,则该几何体中,面积最大的侧面的面积为.解析:由三视图可知,几何体的直观图如图所示.平面AED⊥平面BCDE,四棱锥ABCDE的高为1,四边形BCDE是边长为1的正方形,则S△AED=×1×1=,S△ABC=S△ABE=×1×=,S△ACD=×1×=.答案:14.空间中任意放置的棱长为2的正四面体ABCD.下列命题正确的是.(写出所有正确的命题的编号)①正四面体ABCD的正视图面积可能是;②正四面体ABCD的正视图面积可能是;③正四面体ABCD的正视图面积可能是;④正四面体ABCD的正视图面积可能是2;⑤正四面体ABCD的正视图面积可能是4.解析:对于四面体ABCD,如图1,当光线垂直于底面BCD时,正视图为△BCD,其面积为×2×=,③正确;当光线平行于底面BCD,沿CO方向时,正视图为以BD为底,正四面体的高AO为高的三角形,则其面积为×2×=,②正确;当光线平行于底面BCD,沿CD方向时,正视图为图中△ABE,则其面积为×2××=,①正确;将正四面体放入正方体中,如图2,光线垂直于正方体正对我们的面时,正视图是正方形,其面积为×=2,并且此时正视图面积最大,故④正确,⑤不正确.答案:①②③④。

第50讲 空间几何体的结构及三视图、直观图1．下列关于简单几何体的说法中： ①斜棱柱的侧面中不可能有矩形； ②侧面是等腰三角形的棱锥是正棱锥；③圆台也可看成是圆锥被平行于底面的平面所截，截面与底面之间的部分． 其中正确的个数为(B) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3①是错误的；②是错误的；③是正确的，故选B. 2．下图为一个平面图形水平放置的直观图．按斜二测画法的规则，平行于x 轴的线段的长度在新坐标系中不变，在y 轴上或平行于y 轴的线段长度在新坐标系中变为原来的12，并注意到∠xOy ＝90°，∠x ′O ′y ′＝45°，则还原图形知选C.3．(2017·北京卷)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为(B)A ．3 2B ．2 3C ．2 2D ．2在正方体中还原该四棱锥，如图所示，可知SD 为该四棱锥的最长棱． 由三视图可知正方体的棱长为2， 故SD ＝22＋22＋22＝2 3.4．(2016·郑州市二模)如图是正三棱锥V -ABC 的正视图、侧视图和俯视图，则其侧视图的面积是(C)A ．4B ．5C ．6D ．7如图，由三视图在长方体中作出正三棱锥的直观图V -ABC ，其中△VAD 为正视图，易知AD 为正三角形ABC 的高，AC ＝23， 故AD ＝23×32＝3， 过V 作VO ⊥AD 交AD 于O ，易知O 为正三角形ABC 的中心，所以AO ＝23AD ＝2，所以在Rt △VOA 中，VO ＝VA 2－AO 2＝23，正三棱锥V -ABC 的侧视图为△V ′BC ， 由高平齐得△V ′BC 的高h ＝VO ＝23， 因为△ABC 为正三角形，所以BC ＝AC ＝23，所以侧视图的面积S ＝12BC ×h ＝12×(23)2＝6.5．已知在斜二测画法下△ABC 的平面直观图(如图)是直角边长为a 的等腰直角三角形A 1B 1C 1(∠A 1B 1C 1＝90°)，那么原△ABC 的面积为2a 2 .△ABC 也是直角三角形，且两直角边AB ＝a ，AC ＝22a ，故面积为2a 2.6．若三棱锥的底面为正三角形，侧面为等腰三角形，侧棱长为2，底面周长为9，则棱锥的高为 1 .三棱锥P -ABC 中，设P 在底面ABC 的射影为O ，则PO 为所求．因为PC ＝2，底面边长AB ＝3，所以OC ＝32×23×3＝3，所以PO ＝22－(3)2＝1.7．某一简单几何体的实物图如下图所示，试根据实物图画出此几何体的三视图．三视图如下图所示．8．棱长为2所示，则图中三角形的面积是(C)A.22B.32C. 2D.3如图(1)中△ABE 为题中的三角形，图(2)为立体图．由已知，得AB ＝2，BE ＝2×32＝3，BF EF ＝33. 所以AF ＝AB 2－BF 2＝4－43＝83.所以S △ABE ＝12×BE ×AF ＝12×3×83＝ 2.9．若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的高和底面边长分别是 2,4 .三棱柱为正三棱柱，侧视图与过侧棱与相对的侧面垂直的截面相等，其高为2，设底面边长为a ，则32a ＝23， 所以a ＝4.10．如图是一个几何体的正视图和俯视图．(1)试判断该几何体是什么几何体；(2)画出其侧视图，并求该平面图形的面积．(1)由该几何体的正视图和俯视图可知该几何体是一个正六棱锥．(2)该几何体的侧视图如图所示．其中AB ＝AC ，AD ⊥BC ，且BC 的长是俯视图正六边形中对边的距离，即BC ＝3a . AD 是正六棱锥的高，即AD ＝3a . 所以该平面图形的面积 S ＝12·3a ·3a ＝32a 2.。

2019年高考数学一轮复习：空间几何体的结构、三视图和直观图空间几何体的结构、三视图和直观图1．棱柱、棱锥、棱台的概念(1)棱柱：有两个面互相______，其余各面都是________，并且每相邻两个四边形的公共边都互相______，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．※注：棱柱又分为斜棱柱和直棱柱．侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱；侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱；底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．(2)棱锥：有一个面是________，其余各面都是有一个公共顶点的__________，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．※注：如果棱锥的底面是正多边形，且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上，则这个棱锥叫做正棱锥．(3)棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，叫做棱台．※注：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．※2.棱柱、棱锥、棱台的性质(1)棱柱的性质侧棱都相等，侧面是______________；两个底面与平行于底面的截面是__________的多边形；过不相邻的两条侧棱的截面是______________；直棱柱的侧棱长与高相等且侧面、对角面都是________．(2)正棱锥的性质侧棱相等，侧面是全等的______________；棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影构成一个____________；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也构成一个____________；斜高、侧棱及底面边长的一半也构成一个____________；侧棱在底面上的射影、斜高在底面上的射影及底面边长的一半也构成一个____________．(3)正棱台的性质侧面是全等的____________；斜高相等；棱台的高、斜高和两底面的边心距组成一个____________；棱台的高、侧棱和两底面外接圆的半径组成一个____________；棱台的斜高、侧棱和两底面边长的一半也组成一个____________．3．圆柱、圆锥、圆台(1)圆柱、圆锥、圆台的概念分别以______的一边、__________的一直角边、________中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的曲面所围成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台．(2)圆柱、圆锥、圆台的性质圆柱、圆锥、圆台的轴截面分别是________、________、________；平行于底面的截面都是________．4．球(1)球面与球的概念以半圆的______所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球．半圆的圆心叫做球的________．(2)球的截面性质球心和截面圆心的连线________截面；球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r的关系为______________．5．平行投影在一束平行光线照射下形成的投影，叫做__________．平行投影的投影线互相__________．6．空间几何体的三视图、直观图(1)三视图①空间几何体的三视图是用正投影得到的，在这种投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是完全相同的．三视图包括__________、__________、__________．②三视图尺寸关系口诀：“长对正，高平齐，宽相等．”长对正指正视图和俯视图长度相等，高平齐指正视图和侧(左)视图高度要对齐，宽相等指俯视图和侧(左)视图的宽度要相等．(2)直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：①在已知图形所在空间中取水平面，在水平面内作互相垂直的轴Ox，Oy，再作Oz轴，使∠xOz＝________且∠yOz＝________．②画直观图时，把Ox，Oy，Oz画成对应的轴O′x′，O′y′，O′z′，使∠x′O′y′＝____________，∠x′O′z′＝____________．x′O′y′所确定的平面表示水平面．③已知图形中，平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成____________x′轴、y′轴或z′轴的线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同．④已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的__________．⑤画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图．自查自纠1．(1)平行四边形平行(2)多边形三角形2．(1)平行四边形全等平行四边形矩形(2)等腰三角形直角三角形直角三角形直角三角形直角三角形(3)等腰梯形直角梯形直角梯形直角梯形3．(1)矩形直角三角形直角梯形(2)矩形等腰三角形等腰梯形圆4．(1)直径球心(2)垂直于d＝R2－r25．平行投影平行6．(1)①正(主)视图侧(左)视图俯视图(2)①90°90°②45°(或135°)90°③平行于④一半以下关于几何体的三视图的论述中，正确的是()A．球的三视图总是三个全等的圆B．正方体的三视图总是三个全等的正方形C．水平放置的正四面体的三视图都是正三角形D．水平放置的圆台的俯视图是一个圆解：几何体的三视图要考虑视角，只有球无论选择怎样的视角，其三视图总是三个全等的圆．故选A.(2017·全国卷Ⅱ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为()A．90πB．63πC．42πD．36π解法一：由三视图知，该几何体可以看作由底面半径为3，高为10的圆柱截去底面半径为3，高为6的圆柱的一半所得，故其体积V＝π×32×10－12×π×32×6＝63π.解法二：该几何体可以看作由底面半径为3，高为10的圆柱截去底面半径为3，高为6的圆柱的一半所得，其体积等于底面半径为3，高为7的圆柱的体积，所以其体积V＝π×32×7＝63π.故选B.(2017·全国卷Ⅰ)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为()A．10 B．12 C．14 D．16解：由三视图可知该多面体是一个组合体，下面是底面为等腰直角三角形的直三棱柱，上面是底面为等腰直角三角形的三棱锥，等腰直角三角形的腰长、直三棱柱的高、三棱锥的高均为2，易知该多面体有2个面是梯形，这2个梯形的面积之和为（2＋4）×22×2＝12，故选B.(2017·北京)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为________．解：由三视图还原为如图所示的四棱锥A -BCC 1B 1，易得，最长的棱为AC 1，且AC 1＝AC 2＋CC 21＝（22＋22）＋22＝2 3.故填23.(2017·山东)由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为________．解：由三视图可知V ＝1×2×1＋2×14×π×12×1＝2＋π2.故填2＋π2.类型一 空间几何体的结构特征给出下列四个命题：①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱； ②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥； ③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；④若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱．其中所有错误命题．．．．的序号是( ) A ．②③④ B. ①②③C ．①②④ D. ①②③④解：认识棱柱一般要从侧棱与底面的垂直与否和底面多边形的形状两方面去分析，故①③错误，对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明，故②错误，平行六面体的两个相对侧面也可能与底面垂直且互相平行，故④错误．故选D .【点拨】解决该类题目需要准确理解几何体的定义，要真正把握几何体的结构特征，并且学会通过反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，设法举出一个反例即可．下面是关于四棱柱的四个命题：①若有一个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；②若过两个相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱； ④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱．其中，真命题的编号是________．解：①显然错；②正确，因两个过相对侧棱的截面都垂直于底面可得到侧棱垂直于底面；③错，可以是斜四棱柱；④正确，对角线两两相等，则此两对角线所在的平行四边形为矩形．故填②④.类型二 空间几何体的三视图已知三棱锥的正视图与俯视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，则该三棱锥的侧视图可能为()解：三视图中正侧高平齐，排除A ，俯侧宽相等，排除C ，D.故选B .【点拨】根据几何体的直观图画三视图，要根据三视图的画法规则进行．要严格按以下几点执行：①三视图的安排位置，正视图、侧视图分别放在左、右两边，俯视图放在正视图的下边．②正俯长对正，正侧高平齐，俯侧宽相等．③注意实虚线的区别．如图，几何体的正视图与侧视图都正确的是()解：侧视时，看到一个矩形且不能有实对角线，故A 、D 排除．而正视时，有半个平面是没有的，所以应该有一条实对角线，且其对角线位置应为B 中所示．故选B .类型三 空间多面体的直观图已知几何体的三视图如图所示，用斜二测画法画出它的直观图．(单位：cm)解：由三视图可知该几何体是底面边长为2 cm ，高为3 cm 的正六棱锥，其直观图如图①所示，画法如下：(1)画轴：画底面中心O ′，画x ′轴，y ′轴和z ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°，∠x ′O ′z ′＝90°.(2)画底面：在水平面x ′O ′y ′内画边长为2 cm 正六边形的直观图．(3)画高线：在O ′z ′上取点P ′，使O ′P ′＝3 cm. (4)成图：连接P ′A ′，P ′B ′，P ′C ′，P ′D ′，P ′E ′，P ′F ′，去掉辅助线，并将遮住部分改为虚线，就得到如图②所示的直观图．【点拨】①根据三视图可以确定一个几何体的长、宽、高，再按照斜二测画法，建立x 轴、y 轴、z 轴，使∠xOy ＝45°，∠xOz ＝90°，确定几何体在x 轴、y 轴、z 轴方向上的长度，最后连线画出直观图．②平行于x轴和z 轴的线段长度不变，平行于y 轴的线段，长度为原来的一半，且平行于轴的线段平行关系不变．③原图形面积S 与其直观图面积S ′之间的关系为S ′＝24S .已知一个四棱锥的高为3，其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个边长为1的正方形，则此四棱锥的体积为( )A. 2 B ．6 2 C.13D ．2 2解：因为四棱锥的底面直观图是一个边长为1的正方形，该正方形的对角线长为2，根据斜二测画法的规则，原图底面的底边长为1，高为直观图中正方形的对角线长的两倍，即22，则原图底面积为S ＝2 2.因此该四棱锥的体积为V ＝13Sh ＝13×22×3＝2 2.故选D .类型四 空间旋转体的直观图一个圆台的母线长为12 cm ，两底面面积分别为4π cm 2和25π cm 2.求：(1)圆台的高；(2)截得此圆台的圆锥的母线长．解：(1)O 1A 1＝2，OA ＝5，所以圆台的高h ＝122－32＝315 cm.(2)由SA －12SA ＝25，得SA ＝20 cm. 【点拨】用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的轴截面(经过旋转轴的截面)的几何性质，利用相似三角形中的相似比，设相关几何变量列方程求解．一个直角梯形上底、下底和高之比为2∶4∶5，将此直角梯形以垂直于底的腰为轴旋转一周形成一个圆台，求这个圆台上底面积、下底面积和侧面积之比．解：由题意可设直角梯形上底、下底和高为2x ，4x ，5x ，它们分别为圆台的上、下底半径和高．如图示，过点B 作BC ⊥OA 于C ，则Rt △ABC 中，AC ＝OA －OC ＝OA －O ′B ＝4x －2x ＝2x ，BC ＝O ′O ＝5x ，所以AB ＝AC 2＋BC 2＝（2x ）2＋（5x ）2＝3x .所以S 上∶S 下∶S 侧＝[π(2x )2]∶[π(4x )2]∶[π(2x ＋4x)×3x ]＝2∶8∶9.1．在研究圆柱、圆锥、圆台的相关问题时，主要方法就是研究它们的轴截面，这是因为在轴截面中容易找到这些几何体的有关元素之间的位置关系以及数量关系．2．建议对下列一些具有典型意义的重要空间图形的数量关系予以推证并适当记忆．(1)正多面体①正四面体就是棱长都相等的三棱锥，正六面体就是正方体，连接正方体六个面的中心，可得到一个正八面体，正八面体可以看作是由两个棱长都相等的正四棱锥拼接而成．棱长为a 的正四面体中：a ．斜高为32a ；b ．高为63a ； c ．对棱中点连线长为22a ；d ．外接球的半径为64a ，内切球的半径为612a ；e ．正四面体的表面积为3a 2，体积为212a 3.②如图，在棱长为a 的正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，连接A 1B ，BC 1，A 1C 1，DC 1，DA 1，DB ，可以得到一个棱长为2a 的正四面体A 1­BDC 1，其体积为正方体体积的13.③正方体与球有以下三种特殊情形：一是球内切于正方体；二是球与正方体的十二条棱相切；三是球外接于正方体．它们的相应轴截面如图所示(正方体的棱长为a ，球的半径为R )．(2)长方体的外接球①长、宽、高分别为a ，b ，c 的长方体的体对角线长等于外接球的直径，即a 2＋b 2＋c 2＝2R .②棱长为a 的正方体的体对角线长等于外接球的直径，即3a ＝2R .3．三视图的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线，主视图反映了物体的长度和高度；俯视图反映了物体的长度和宽度；左视图反映了物体的宽度和高度．由此得到：主俯长对正，主左高平齐，俯左宽相等．4．一个平面图形在斜二测画法下的直观图与原图形相比，有“三变、三不变”．三变：坐标轴的夹角改变，与y 轴平行线段的长度改变(减半)，图形改变．三不变：平行性不变，与x 轴平行的线段长度不变，相对位置不变．5．对于直观图，除了了解斜二测画法的规则外，还要了解原图形面积S 与其直观图面积S′之间联系：S ′＝24S ，并能进行相关的计算．1．一图形的投影是一条线段，这个图形不可能是( )①线段；②直线；③圆；④梯形；⑤长方体 A ．①③ B ．②④ C ．④⑤ D ．②⑤ 解：线段、圆、梯形都是平面图形，且在有限范围内，投影都可能为线段；长方体是三维空间图形，其投影不可能是线段；直线的投影，只能是直线或点．故选D .2．下列命题：①若一个几何体的三视图是完全相同的，则这个几何体是正方体；②若一个几何体的正视图和俯视图都是矩形，则这个几何体是长方体；③若一个几何体的三视图都是矩形，则这个几何体是长方体；④若一个几何体的正视图和侧视图都是等腰梯形，则这个几何体是圆台．其中真命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 解：①假命题，也可以是球；②假命题，也可以是横放的圆柱；③是真命题；④是假命题，也可以是棱台．故选B.3．四个正方体按如图所示的方式放置，其中阴影部分为我们观察的正面，则该物体的三视图正确的为( )解：正视图、侧视图、俯视图分别从几何体的正面、左边和上面正投影即可知B 正确．故选B .4．某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是( )解：D 选项的正视图应为如图所示的图形．故选D .5．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面中面积最大的是( )A ．8B ．6 2C ．10D ．8 2解：由三视图可知，该几何体的四个面都是直角三角形，面积分别为6，62，8，10，所以面积最大的是10.故选C .6．如图，正方形O ′A ′B ′C ′的边长为1 cm ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是( )A ．8 cmB ．6 cmC ．2(1＋3) cmD ．2(1＋2) cm 解：根据直观图的画法可知，在原几何图形中，OABC为平行四边形，且有OB ⊥OA，OB ＝22，OA ＝1，所以AB ＝3.从而原图的周长为8.故选A .7．一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的________．(填入所有可能的几何体前的编号)①三棱锥 ②四棱锥 ③三棱柱 ④四棱柱 ⑤圆锥 ⑥圆柱解：三棱锥、四棱锥和圆锥显然合要求，当三棱柱的一个侧面平行于水平面，底面对着观测者时其正视图是三角形，其余的正视图均不是三角形．故填①②③⑤.8．有一枚正方体骰子，每一个面都有一个英文字母，如图所示的是从3种不同角度看同一枚骰子的情况，则与H 相对的字母是________．解：正方体的骰子共有6个面，每个面都有一个字母，从每一个图，都可看到有公共顶点的三个面，与标有S 的面相邻的面共有四个，由这三个图知这四个面分别标有字母H ，E ，O ，d ，翻转图②，使S 面调整到正前面，则O 为正下面，所以与H 相对的是O .故填O .9．如图是截去一个角的长方体，试按图示的方向画出其三视图．解：图中几何体的三视图如图所示：10．用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3cm ，求圆台的母线长．解：设圆台的母线长为l ，截得圆台的上、下底面半径分别为r ，4r .根据相似三角形的性质得，33＋l ＝r4r，解得 l ＝9. 所以，圆台的母线长为9cm.11．在四棱锥P -ABCD 中，底面为正方形，PC 与底面ABCD 垂直．该四棱锥的正视图和侧视图如图所示，它们是腰长为6 cm 的全等的等腰直角三角形．(1)根据所给的正视图、侧视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积；(2)求P A 的长度．解：(1)该四棱锥的俯视图为边长为6 cm 的正方形，如图，其面积为36cm 2.(2)在正方形ABCD 中，易得AC ＝62cm ，因为PC ⊥面ABCD ，所以PC ⊥AC .在Rt △ACP中，P A ＝PC 2＋AC 2＝62＋（62）2＝63cm.某长方体的一条体对角线长为7，在该长方体的正视图中，这条对角线的投影长为6，在该长方体的侧视图与俯视图中，这条体对角线的投影长分别为a 和b ，求ab 的最大值．解：如图，则有AC 1＝7，DC 1＝6， BC 1＝a ，AC ＝b ，设AB ＝x ，AD ＝y ，AA 1＝z ，有 x 2＋y 2＋z 2＝7，x 2＋z 2＝6，所以y 2＝1.因为a 2＝y 2＋z 2＝z 2＋1，b 2＝x 2＋y 2＝x 2＋1，所以a ＝z 2＋1，b ＝x 2＋1.所以ab ＝（z 2＋1）（x 2＋1）≤z 2＋1＋x 2＋12＝4，当且仅当z 2＋1＝x 2＋1，即x ＝z ＝3时，ab 的最大值为4.2019年高考数学一轮复习第9 页共9 页。

课时规范练 A 组 基础对点练1．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正三角形，则侧视图的面积为( )A ．8B ．4 3C ．4 2D ．4解析：由三视图可知，该几何体是一个正三棱柱，高为4，底面是一个边长为2的正三角形．因此，侧视图是一个长为4，宽为3的矩形，其面积S ＝3×4＝4 3. 答案：B2．如图是一个空间几何体的三视图，其中正视图、侧视图都是由边长为4和6的矩形以及直径等于4的圆组成，俯视图是直径等于4的圆，该几何体的体积是( )A.41π3B.62π3C.83π3D.104π3解析：由题意得，此几何体为球与圆柱的组合体，其体积V ＝43π×23＋π×22×6＝104π3.答案：D3．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．12＋4 2B ．18＋8 2C ．28D ．20＋8 2解析：由三视图可知该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱，如图．则该几何体的表面积为S ＝2×12×2×2＋4×2×2＋22×4＝20＋82，故选D.答案：D4．已知某锥体的正视图和侧视图如图所示，其体积为233，则该锥体的俯视图可能是( )解析：由正视图得该锥体的高是h ＝22－12＝3，因为该锥体的体积为233，所以该锥体的底面面积是S ＝23313h ＝23333＝2，A 项的正方形的面积是2×2＝4，B 项的圆的面积是π×12＝π，C 项的大三角形的面积是12×2×2＝2，D 项不可能是该锥体的俯视图，故选C.答案：C5．已知四棱锥P ABCD 的三视图如图所示，则四棱锥P ABCD 的四个侧面中面积最大的是( )A ．3B ．2 5C ．6D ．8解析：四棱锥如图所示，取AD 的中点N ，BC 的中点M ，连接PM ，PN ，则PN ＝5，PM ＝3，S △P AD ＝12×4×5＝25，S △P AB ＝S △PDC ＝12×2×3＝3，S △PBC ＝12×4×3＝6.答案：C6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．16＋8πB ．8＋8πC ．16＋16πD ．8＋16π解析：由三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，如图．其中长方体的长、宽、高分别是4,2,2，半个圆柱的底面半径为2，母线长为4.∴长方体的体积V 1＝4×2×2＝16， 半个圆柱的体积V 2＝12×22×π×4＝8π.∴这个几何体的体积是16＋8π. 答案：A7．一个半径为2的球体经过切割之后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．16πB ．12πC ．14πD ．17π解析：根据三视图可知几何体是一个球体切去四分之一，则该几何体的表面是四分之三球面和两个截面(半圆)． 由题意知球的半径是2，∴该几何体的表面积S ＝34×4π×22＋π×22＝16π.答案：A8．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为9π2，则正方体的棱长为________．解析：设正方体棱长为a ，球半径为R ，则43πR 3＝9π2，∴R ＝32，∴3a ＝3，∴a ＝ 3.答案： 39．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．解析：由题意得到几何体的直观图如图，即从四棱锥P ABCD 中挖去了一个半圆锥．其体积V ＝13×2×2×2－12×13×π×12×2＝8－π3. 答案：8－π310.某零件的正(主)视图与侧(左)视图均是如图所示的图形(实线组成半径为2 cm 的半圆，虚线是等腰三角形的两腰)，俯视图是一个半径为2 cm 的圆(包括圆心)，则该零件的体积是________．解析：依题意得，零件可视为从一个半球中挖去一个小圆锥所剩余的几何体，其体积为12×4π3×23－13×π×22×1＝4π(cm 3)．答案：4π cm 3B 组 能力提升练1．已知圆锥的表面积为a ，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径是( ) A.a 2 B.3πa3πC.23πa 3πD.23a 3π解析：设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，由题意知2πr ＝πl ，∴l ＝2r ，则圆锥的表面积S表＝πr 2＋12π(2r )2＝a ，∴r 2＝a 3π，∴2r ＝23πa3π.答案：C2．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.163 B.203 C.152D.132解析：该几何体可视为正方体截去两个三棱锥所得，如图所示，所以其体积为23－13×12×2×2×2－13×12×1×1×1＝132.故选D.答案：D3.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为( ) A ．6B ．9C ．12D ．18解析：由三视图可知该几何体是一个三棱锥，其底面是斜边为6的等腰直角三角形，高为3，则体积为13×12×6×3×3＝9.答案：B4．下图是一个几何体的三视图，则该几何体任意两个顶点间距离的最大值是( )A ．4B ．5C ．3 2D ．3 3解析：作出直观图如图所示，通过计算可知AF 最长且|AF |＝|BF |2＋|AB |2＝3 3.答案：D5.高为4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体，它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的( ) A.34 B.14 C.12D.38解析：由侧视图、俯视图知该几何体是高为2、底面积为12×2× (2＋4)＝6的四棱锥，其体积为4.易知直三棱柱的体积为8，则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的48＝12，故选C.答案：C6．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为( )A.16π3B.8π3 C ．4 3D ．23π解析：由题意可得该几何体是有一个侧面P AC 垂直于底面ABC ，高为3，底面是一个等腰直角三角形的三棱锥，如图．则这个几何体的外接球的球心O 在高线PD 上，且是等边三角形P AC 的外心．这个几何体的外接球的半径R ＝23PD ＝233.则这个几何体的外接球的表面积S ＝4πR 2＝4π×⎝⎛⎭⎫2332＝16π3.答案：A7．(2018·郑州质量预测)如图是一个四面体的三视图，这三个视图均是腰长为2的等腰直角三角形，正视图和俯视图中的虚线是三角形的中线，则该四面体的体积为( )A.23B.43C.83D ．2解析：由三视图可知，此四面体如图所示，其高为2，底面三角形的一边长为1，对应的高为2，所以其体积V ＝13×12×2×1×2＝23，故选A.答案：A8．(2018·天津测试)若一个几何体的表面积和体积相同，则称这个几何体为“同积几何体”．已知某几何体为“同积几何体”，其三视图如图所示，则a ＝( )A.14＋223B.8＋223C.12＋223D ．8＋2 2解析：根据几何体的三视图可知该几何体是一个四棱柱，如图所示，可得其体积为12(a ＋2a )·a ·a ＝32a 3，其表面积为12·(2a ＋a )·a ·2＋a 2＋a 2＋2a ·a＋2a ·a ＝7a 2＋2a 2，所以7a 2＋2a 2＝32a 3，解得a ＝14＋223，故选A. 答案：A9．在三棱锥A BCD 中，侧棱AB ，AC ，AD 两两垂直，△ABC ，△ACD ，△ADB 的面积分别为22，32，62，则该三棱锥外接球的表面积为________． 解析：设相互垂直的三条侧棱AB ，AC ，AD 分别为a ，b ，c ，则12ab ＝22，12bc ＝32，12ac＝62，解得a ＝2，b ＝1，c ＝ 3. 所以三棱锥A BCD 的外接球的直径2R ＝a 2＋b 2＋c 2＝6，则其外接球的表面积S ＝4πR 2＝6π. 答案：6π10．一个直三棱柱被削去一部分后的几何体ABCDE 及其侧视图、俯视图如图所示，其中侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形．设M 是BD 的中点，点N 在棱DC 上，且MN ⊥平面BDE ，则CN ＝______________________________________________________.解析：由题意可得，DC ⊥平面ABC ，所以DC ⊥CB .若MN ⊥平面BDE ，则MN ⊥BD .又因为∠MDN ＝∠CDB ，所以△DMN ∽△DCB ，所以DN DB ＝DM DC ，故DN 26＝64，解得DN ＝3，所以CN ＝CD －DN ＝1.答案：1。

第九单元　立体几何初步与空间向量 1.(2012·湖北省黄冈中学高三五月模拟)下列关于斜二测画法下的直观图的说法正确的是( D ) A．互相垂直的两条直线的直观图一定是互相垂直的两条直线 B．梯形的直观图可能是平行四边形 C．矩形的直观图可能是梯形 D．正方形的直观图可能是平行四边形 解析：由斜二测画法的规则可知答案为D. 2.(2012·山东省济宁第三次质检)在一个倒置的正三棱锥容器内放入一个钢球，钢球恰与棱锥的四个面都接触，过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是 ( B ) 解析：由于球与侧棱不相交，因此截面图不可能存在截面圆与三角形都相切，排除A，D，又圆锥的高一定过球心，因此在截面图中三角形的高一定过截面圆的圆心，排除C，故选B. 3.(2013·昌平二模)已知空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的各侧面图形中，是直角三角形的有( C ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 解析：由三视图知几何体是一个四棱锥，它的一个侧面与底面垂直，且此侧面的顶点在底面上的射影为对应底边的中点，易知其有两个侧面是直角三角形，故选C. 4.已知正三角形ABC的边长为a，那么ABC的平面直观图A′B′C′的面积为　a2　. 5.(2012·福建省泉州市3月质量检查)一个三棱锥的正视图和侧视图及其尺寸如图所示，则该三棱锥俯视图的面积为　1　. 解析：该三棱锥俯视图为直角三角形，两直角边分别为1,2，其面积为×1×2＝1. 6.(2013·广东佛山市质检)一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能为长方形；正方形；圆；椭圆．其中满足条件的序号是 . 解析：由三视图的成图原则可知，正视图的长度、侧视图的宽度不一样，故俯视图不可能为正方形和圆． 7.如图，四边形ABCD在斜二测画法下的直观图是下底角为45°的等腰梯形，其下底长为5，一腰长为，则原四边形的面积是　8　. 8.如图是一个几何体的正视图和俯视图． (1)试判断该几何体是什么几何体； (2)画出其侧视图，并求该平面图形的面积． 解析：(1)由该几何体的正视图和俯视图可知该几何体是一个正六棱锥． (2)该几何体的侧视图如右图． 其中AB＝AC，ADBC，且BC的长是俯视图正六边形对边的距离，即BC＝a. AD是正六棱锥的高，即AD＝a， 所以该平面图形的面积S＝·a·a＝a2. 9.某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，求a＋b的最大值． 解析：如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA＝，PC平面ABCD，则PD为PA的正视图，AC为俯视图，PB为侧视图，由PD＝知AD＝1. 设PC＝h，由，得a2＋b2＝8. 因为≥()2，所以a＋b≤2＝4.。

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课时分层作业四十一空间几何体的结构及其三视图和直观图一、选择题(每小题5分,共35分)1.下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是( )A.①②B.①③C.①④D.②④【解析】选 D.①中正、侧、俯三视图均相同,不符合题意;②中正、侧视图均相同,符合题意;③中正、侧、俯三视图均不相同,不符合题意;④中正、侧视图均相同,符合题意.2.对于用“斜二测画法”画平面图形的直观图,下列说法正确的是( )A.等腰三角形的直观图仍为等腰三角形B.梯形的直观图可能不是梯形C.正方形的直观图为平行四边形D.正三角形的直观图一定为等腰三角形【解析】选 C.根据“斜二测画法”的定义可得正方形的直观图为平行四边形.3.(2018·南昌模拟)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是(0,0,0),(1,0,1),(0,1,1),,绘制该四面体三视图时,按照如图所示的方向画正视图,则得到的侧视图可以为( )【解析】选B.将四面体放在如图正方体中,得到如图四面体ABCD,得到如图的侧视图.【变式备选】在空间直角坐标系O-xyz中,一个四面体的顶点坐标分别为(0,0,2),(2,2,0),(0,2,0),(2,2,2).画该四面体三视图中的正视图时,以xOz平面为投影面,则得到正视图可以为 ( )【解析】选A.因为一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是(0,0,2),(2,2,0),(0,2,0),(2,2,2).几何体的直观图如图(1),所以以xOz平面为投影面如图(2),则得到正视图为:4.如图,在空间直角坐标系中,已知直三棱柱的顶点A在x轴上,AB平行于y轴,侧棱AA1平行于z轴.当顶点C在y轴正半轴上运动时,以下关于此直三棱柱三视图的表述正确的是( )A.该三棱柱正视图的投影不发生变化B.该三棱柱侧视图的投影不发生变化C.该三棱柱俯视图的投影不发生变化D.该三棱柱三个视图的投影都不发生变化【解析】选B.A:该三棱柱正视图的长度是AB或者AC在y轴上的投影,随C点的运动发生变化,故错误;B:设O1是z轴上一点,且AA1=OO1,则该三棱柱侧视图就是矩形AOO1A1,图形不变,故正确;C:该三棱柱俯视图就是△ABC,随C点的运动发生变化,故错误.故D也错误.【一题多解】选B.三视图主要刻画几何体的长宽高,在C点运动过程中,只有高和宽一定不会发生改变,所以侧视图的投影不发生改变. 5.圆环内圆半径为4,外圆半径为5,则圆环绕其对称轴旋转一周形成的几何体的体积为( )A. B.C. D.【解析】选 A.该旋转体是球体中挖掉一个球体,该旋转体体积为V=×53-×43=.6.已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是( )A.88 cm3B.104 cm3C.98 cm3D.134 cm3【解析】选D.由三视图可得,原几何体为一个长宽高分别为6 cm、4cm、6 cm的长方体砍去一个三棱锥,且三棱锥的底面是直角边分别为3 cm、5 cm的直角三角形,高为 4 cm,如图.所以该几何体的体积V=4×6×6-××3×5×4= 134(cm3).【题目溯源】本考题来源于人教A版教材必修2 P6的图1.1-11.割和补是得到简单组合体的重要方法,对组合体进行适当割补成为简单的组合体,进而进行求解.【变式备选】如图为蛋筒冰激凌的三视图,蛋筒是一个底面半径为3 cm,高为20 cm的圆锥,上方为一个半球体,则该冰激凌的体积为______________.【解析】由圆锥的体积公式可得,V圆锥=×πr2×h=×π×9×20=60π(cm3),V半球体=××πr3=18π(cm3),所以所求体积为78π cm3.答案:78π cm37.一个几何体的三视图如图所示,该几何体从上到下由四个简单几何体组成,其体积分别记为V1, V2,V3,V4,上面两个简单几何体均为旋转体,下面两个简单几何体均为多面体,则有( )A.V1<V2<V4<V3B.V1<V3<V2<V4C.V2<V1<V3<V4D.V2<V3<V1<V4【解析】选 C.由题意可知,由于上面两个简单几何体均为旋转体,下面两个简单几何体均为多面体.根据三视图可知,最上面一个简单几何体是上底面圆的半径为2,下底面圆的半径为1,高为1的圆台,其体积V1=π×(12+22+1×2)×1=π;从上到下的第二个简单几何体是一个底面圆半径为1,高为2的圆柱,其体积V2=π×12×2=2π;从上到下的第三个简单几何体是棱长为2的正方体,其体积V3=23=8;从上到下的第四个简单几何体是一个棱台,其上底面是边长为2的正方形,下底面是边长为4的正方形,棱台的高为1,故体积V4=×(22+2×4+42)×1=,比较大小可知答案选C.二、填空题(每小题5分,共15分)8.如图,BD是边长为3的正方形ABCD的对角线,将△BCD绕直线AB旋转一周后形成的几何体的体积等于____________.【解析】对角线BD绕着AB旋转,形成圆锥的侧面;边BC绕着AB旋转形成圆面;边CD绕着AB旋转,形成圆柱的侧面,所以该几何体是由圆柱挖去一个同底面的圆锥,所以V=π·32·3-·π·32·3=18π.答案:18π9.已知某几何体的三视图如图所示,则它的外接球表面积为______________.【解析】由三视图可知该几何体是三棱锥,且三棱锥的高为1,底面为一个直角三角形,由于底面斜边上的中线长为1,则底面的外接圆半径为1,顶点在底面上的投影落在底面外接圆的圆心上,由于顶点到底面的距离与底面外接圆的半径相等,则三棱锥的外接球半径R为1,则三棱锥的外接球表面积S=4πR2=4π.答案:4π【方法点晴】空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时,一般过球心及接、切点作截面,把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题,再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解.(2)若球面上四点P,A,B,C构成的三条线段PA,PB,PC两两互相垂直,且PA=a,PB=b,PC=c,一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体,利用4R2=a2+b2+c2求解.10.如图是一个棱长为1的无盖正方体盒子的平面展开图,A,B,C,D为其上四个点,以A,B,C,D为顶点的三棱锥的体积为______________.【解析】根据图示可知三棱锥的底面积为,高为1,进而得到三棱锥的体积为.答案:1.(5分)如图,△A′B′C′是△ABC用“斜二测画法”画出的直观图,其中O′B′=O′C′=1,O′A′=,那么△ABC是一个 ( )A.等边三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.三边互不相等的三角形【解析】选A.由图形知,在原△ABC中,AO⊥BC,因为A′O′=,所以AO=.因为B′O′=C′O′=1,所以BC=2.所以AB=AC=2.所以△ABC为等边三角形.2.(5分)已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形,记该正方体的正视图与侧视图的面积分别为S1,S2,则( )A.-为定值B.为定值C.+为定值D.+为定值【解析】选 A.设投影面与侧面所成的角为α⇒S1=sin α+cosα,S2=sin(90°-α)+cos(90°-α)=sin α+cos α,S1=S2⇒-为定值.3.(5分)(2018·贵阳模拟)如图,点O为正方体ABCD-A′B′C′D′的中心,点E为面B′BCC′的中心,点F为B′C′的中点,则空间四边形D′OEF在该正方体的各个面上的正投影可能是________(填出所有可能的序号).【解析】空间四边形D′OEF在正方体的面DCC′D′及其对面ABB′A′上的正投影是①;在面BCC′B′及其对面ADD′A′上的正投影是②;在面ABCD及其对面A′B′C′D′上的正投影是③.答案:①②③4.(5分)一个透明密闭的正方体容器中,恰好盛有该容器一半容积的水,任意转动这个正方体,则水面在容器中的形状可以是:①三角形;②长方形;③正方形;④正六边形.其中正确的结论是________________.(把你认为正确的序号都填上)【解析】因为正方体容器中盛有一半容积的水,无论怎样转动,其水面总是过正方体的中心,三角形截面不过正方体的中心,故①不正确;过正方体的一对棱和中心可作一截面,截面形状为长方形,故②正确; 过正方体四条互相平行的棱的中点得截面形状为正方形,该截面过正方体的中心,故③正确;过正方体一面上相邻两边的中点以及正方体的中心得截面形状为正六边形,故④正确.答案:②③④5.(10分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面为正方形,PC与底面ABCD垂直,如图为该四棱锥的正视图和侧视图,它们是腰长为6 cm的全等的等腰直角三角形.(1)根据图中所给的正视图、侧视图,画出相应的俯视图,并求出该俯视图的面积.(2)求PA.【解析】(1)该四棱锥的俯视图为(内含对角线)边长为6 cm的正方形,如图,其面积为36 cm2.(2)由侧视图可求得PD===6.由正视图可知AD=6,且AD⊥PD,所以在Rt△APD中,PA===6(cm).关闭Word文档返回原板块。