压杆的临界应力

4PB应力计算公式
临界应力的计算公式就是欧拉公式：r+ v- e= 2。

具体情况介绍：
1、压杆处于临界平衡状态时(fp=fpcr )，其横截面上的正应力称为临界应力。

材料在力的作用下将发生变形。

通常把满足虎克定律规定的区域称弹性变形区。

把不满足虎克定律和过程不可逆的区域称塑性变形区。

由弹性变形区进入塑性变形区称之为屈服。

其转折点称为屈服点。

该点处的应力称为屈服应力或临界应力。

2、确定压杆的临界力是计算稳定问题的关键，临界力既不是外力，也不是内力。

它是压杆在一定条件下所具有的反映它承载能力的一个标志。

不同的压杆具有不同的临界力，它的大小与压杆的长度、截的形状和尺寸、两端的支承情况以及材料的性质有关。

细长杆（λ≥λ1）的临界力计算式——欧拉公式
长度系数μ：两端固定μ=0.5
一端固定，另一端铰支：μ=0.7
两铰支：μ=1
一端固定，另一端自由：μ=2
3、临界力计算的一般步骤：
①确定长度系数μ。

若压杆两端的支承情况在四周相同，则μ值相同。

若压杆的支承在两个形心主惯性平面内的约束条件不同，则应分别选用相应的长度系数μ（μx或μy）的值。

②计算柔度l。

根据压杆的实际尺寸，及两端的约束情况，分别计算出在两个形心主惯性平面内的柔度，从而得到lmax。

③确定临界力的计算式。

根据最大的柔度λmax，确定压杆的类型及临界力的计算公式。

细长压杆的临界⼒公式—欧拉公式.10.2 细长压杆的临界⼒公式—欧拉公式⼀、两端铰⽀压杆的临界⼒图9—4为两端受压杆件，⼈们经过对不同长度（l ），不同截⾯（I ），不同材料（E ）的压杆在内⼒不超过材料的⽐例极限时发⽣失稳的临界⼒P cr 研究得知： 22lPcr EI=π（9—1）式中：π—圆周率；E —材料的弹性摸量；l —杆件长度；I —杆件截⾯对⾏⼼主轴的惯性矩。

图9-4当杆端在各⽅向的约束情况相同时，压杆总是在抗弯刚度最⼩的纵向平⾯内失稳，所以（9-1）式中的惯性矩应取截⾯最⼩的形⼼惯性矩I min 。

瑞⼠科学家欧拉（L.Eular ）早在18世纪，就对理想细长压杆在弹性范围的稳定性进⾏了研究。

从理论上证明了上述（9-1）式是正确的，因此（9-1）式⼜称为计算临界⼒的欧拉公式。

⼆、杆端⽀承对临界⼒的影响图9-5（a）（b）（c）（d）⼯程上常见的杆端⽀承形式主要有四种，如图9-5所⽰，欧拉进⼀步研究得出各种⽀承情况下的临界⼒。

如⼀端固定，⼀端⾃由的杆件，这种⽀承形式下压杆的临界⼒，只要在（9-1）式中以2l 代替l 即可。

()222l P cr EI=π（a ）同理，可得两端固定⽀承的临界⼒为()225.0l P cr EI=π（b ）⼀端固定，⼀端铰⽀压杆的临界⼒为 ()227.0l P cr EIπ（c ）式（a ），(b)，(c)和（9-1）可归纳为统⼀的表达式()22l P cr µπEI = （9-2）式中l µ称为压杆计算长度，µ称为长度系数，⼏种不同杆端⽀承的各µ值列于表9—1中，µ反映了杆端⽀承情况对临界⼒的影响。

表9-1 各种杆端⽀承压杆的长度系数图例9.1 图⽰轴⼼受压杆，截⾯⾯积为10mm ?20mm 。

已知其为细长杆，弹性模量E=200GPa ，试计算其临界⼒。

2m20图9-6单位：mm解：由杆件的约束形式可知：7.0=µ4333min1067.112102012mm hb I I y ?=?===临界⼒：223320010 1.67101076.2 1.076()(0.7 2.510)cr EI P N kN l ππµ====?? 三、临界应⼒和柔度在临界⼒的作⽤下，细长压杆横截⾯上的平均应⼒叫做压杆的临界应⼒，⽤cr σ表⽰。

压杆临界力的计算公式1.欧拉公式：欧拉公式是压杆稳定性分析中最常用的一种方法。

根据欧拉公式，压杆的临界力可以通过以下公式计算：Pcr = ((π^2)EI) / ((KL)^2)其中，Pcr表示压杆的临界力，E表示材料的弹性模量，I表示压杆的截面面积惯性矩，K表示杆的端部支座的系数，L表示杆的长度。

欧拉公式适用于较细长的压杆，在其它条件相同的情况下，杆的截面越大，临界力就越大；杆的长度越长，临界力就越小。

同时，欧拉公式适用于直线变形的杆，不能用于弯曲变形。

2.莱昂哈德公式：莱昂哈德公式是考虑了杆的端部支座的影响，在欧拉公式的基础上进行修正的公式。

该公式计算压杆的临界力如下：Pcr = ((KLEI) / (r + ((2L)/π)) ^ 2)其中，Pcr表示压杆的临界力，E表示材料的弹性模量，I表示压杆的截面面积惯性矩，K表示杆的端部支座的系数，L表示杆的长度，r表示杆的端部支座的半径。

3. Adomian分解法：Adomian分解法是一种近似求解非线性微分方程的方法，在压杆临界力的计算中也有应用。

该方法通过将非线性方程分解为无穷级数的形式，然后将其逐级近似求解。

Adomian分解法的具体步骤如下：-(1)将压杆的平衡方程进行分解：Mx''(x)+f(x)=0，其中，M表示压杆的弯矩，f(x)表示外力。

-(2)将平衡方程表示为无穷级数的形式：x''(x)=∑An(x)。

-(3)通过逐级近似求解无穷级数，得到压杆临界力。

Adomian分解法的优点是可以处理非线性问题，但是在具体应用中需要取不同级数的项进行求解，并选择适当的近似方法。

4.极限平衡法：极限平衡法是一种通过平衡条件来确定压杆临界力的方法，它适用于复杂的压杆分析问题。

该方法的基本思想是，在压杆失稳之前，杆的初始形状必须满足平衡条件。

具体步骤如下：-(1)假设杆的初始形状（如弯曲、扭转等）。

-(2)根据平衡条件计算外力和内力。

怎样推导压杆的临界力和临界应力公式压杆（也称为压杆杆件或柱件）是一种承受压力的结构元素，常见于建筑、机械以及其他工程领域。

为了确定压杆在受力时的安全性，需要推导出压杆的临界力和临界应力公式。

首先，需要理解压杆在受力时的基本概念。

假设有一根长度为L、截面积为A的无限细长压杆，其两端受到等大反向的压力P。

压杆在受到压力时会发生弯曲，压杆的形状会发生改变。

当压力达到一定临界值时，压杆将完全失去稳定，从而发生屈曲（即压杆产生弯曲形变）。

临界力和临界应力是指当压力达到一定临界值时，压杆发生屈曲的压力和应力。

推导过程如下：1. 经典欧拉公式（Euler公式）欧拉公式是分析以柱轴为边界的理想无限长压杆屈曲的基本公式。

该公式基于以下假设：-压杆是均质、各向同性的杆件；-杆件的材料性质可用弹性线性理论描述；-压杆长度远大于其最小截面尺寸，即L>>d(d为压杆的最小截面尺寸)。

欧拉公式表达式如下：Pcr = (π²EI) / L²其中，Pcr为压杆的临界力，E为杨氏模量，I为压杆截面的惯性矩，L为压杆长度。

2. 完整欧拉公式（Timoshenko-Bazant公式）欧拉公式只适用于边界条件为完全铰接（即不受弯曲力矩）的压杆。

然而，在实际情况中，压杆的边界条件一般为受到端部弯曲力矩的约束。

在这种情况下，完整欧拉公式（Timoshenko-Bazant公式）需要被使用。

完整欧拉公式修正了边界条件的影响，并考虑到了剪切变形和截面的非对称性。

完整欧拉公式的表达式如下：Pcr = (π²EI) / [L²(1 + αL / r)^²]其中，α为修正系数，考虑了压杆的边界条件，r为截面回转半径。

3.临界应力临界应力的定义是在压杆屈曲时，杆件中最大的应力值。

根据杆件截面受到均匀分布的压力P，应力σ可以表示为：σ=P/A将欧拉公式（或完整欧拉公式）中的临界力Pcr代入上述表达式可得到临界应力的表达式。

两根材料和柔度都相同的压杆临界应力和临界压力
标题:两根材料和柔度都相同的压杆临界应力和临界压力
正文:
压杆是指一根两端固定且被施加压力的杆件,通常用于支撑重物或进行结构工程等应用。

压杆的临界应力和临界压力是研究压杆稳定性的重要问题。

如果两根材料和柔度都相同的压杆受到相同的力,那么它们是否会发生破裂或弯曲,取决于它们的形状和尺寸。

在这种情况下,我们可以使用以下公式来计算压杆的临界应力和临界压力:
临界应力= (1.385 * F_p / L^2) * A^3 / (4 * π * L^4)
其中,F_p是压杆的施加压力,L是压杆的长度,A是压杆的截面面积。

临界压力= 2 * F_p / (3 * π * L^2)
其中,F_p是压杆的施加压力,L是压杆的长度。

需要注意的是,上述公式仅适用于形状和尺寸相同的压杆。

如果两根压杆的形状和尺寸不同,那么它们的临界应力和临界压力也会不同。

此外,压杆的临界应力和临界压力也取决于压杆的材料和强度。

对于不同的材料,它们的临界应力和临界压力也会有所不同。

例如,对于钢,它们的临界应力和临界压力通常在200MPa以上;而对于铜,它们的临界应力和临界压力通常在50MPa左右。

压杆的临界应力和临界压力是研究压杆稳定性的重要问题,可以帮助我们更好地设计和控制结构的稳定性。