【人教A版】2015-2016学年高中数学 2.2.2等差数列的性质练习 新人教A版必修5

等差数列的性质(20分钟35分)1.(2020·榆林高二检测)已知数列{a n}是等差数列,a7+a13=20,则a9+a10+a11=( )A.36B.30C.24D.1〖解析〗选B.由于a7+a13=2a10=20,即a10=10,故a9+a10+a11=3a10=30.〖补偿训练〗已知等差数列{a n}中,a1+a5=10,a4=7,则数列{a n}的公差为( )A.1B.2C.3D.4〖解析〗选B.因为数列{a n}是等差数列,所以2a3=a1+a5=10,所以a3=5,又a4=7,所以数列{a n}的公差d=a4-a3=2.2.《九章算术》一书中有如下问题:今有女子善织,日增等尺,七日织28尺,第二日,第五日,第八日所织之和为15尺,则第十五日所织尺数为( )A.13B.14C.15D.16〖解析〗选 C.由题意可知,每日所织数量构成等差数列{a n},且a2+a5+a8=15,a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=28,设公差为d,由a2+a5+a8=15,得3a5=15,所以a5=5,由a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=7a4=28,得a4=4,则d=a5-a4=1,所以a15=a5+10d=5+10×1=15.3.已知等差数列{a n}的公差为d(d≠0),且a3+a6+a10+a13=32,若a m=8,则m的值为( )A.12B.8C.6D.4〖解析〗选B.由等差数列的性质,得a3+a6+a10+a13=(a3+a13)+(a6+a10)=2a8+2a8=4a8=32,所以a8=8,又d≠0,所以m=8.〖补偿训练〗在等差数列{a n}中,a1=,a2+a5=4,a n=33,则n是( )A.48B.49C.50D.51〖解析〗选C.a1=,a2+a5=2a1+5d=4,所以d=,所以a n=a1+(n-1)d=+(n-1)=33,所以n=50.4.已知等差数列{a n}:1,0,-1,-2,…;等差数列{b n}:0,20,40,60,…,则数列{a n+b n}是( )A.公差为-1的等差数列B.公差为20的等差数列C.公差为-20的等差数列D.公差为19的等差数列〖解析〗选D.(a2+b2)-(a1+b1)=(a2-a1)+(b2-b1)=-1+20=19.所以由等差数列性质知数列{a n+b n}是公差为19的等差数列.5.如果等差数列{a n}中,a1=2,a3=6,则数列{2a n-3}是公差为________的等差数列.〖解析〗因为a3-a1=6-2=4,所以2d=4,即d=2.所以{2a n-3}的公差为2d=4.答案:46.已知数列{a n}为等差数列,且公差为d.(1)若a15=8,a60=20.求a65的值;(2)若a2+a3+a4+a5=34,a2a5=52,求公差d.〖解析〗(1)等差数列{a n}中,a15=8,a60=20,则解得d=,a65=a60+5d=20+=.(2)数列{a n}为等差数列,且公差为d且a2+a3+a4+a5=34,a2a5=52,解得a2=4,a5=13或a2=13,a5=4.a5=a2+3d,即13=4+3d或4=13+3d,解得d=3或d=-3.(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知数列{a n}是等差数列,若a1-a9+a17=7,则a3+a15=( )A.7B.14C.21D.7(n-1)〖解析〗选B.因为a1-a9+a17=(a1+a17)-a9=2a9-a9=a9=7,所以a3+a15=2a9=2×7=14.2.数列{a n}满足3+a n=a n+1且a2+a4+a6=9,则log6(a5+a7+a9)的值是( )A.-2B.-C.2D.〖解析〗选C.因为a n+1-a n=3,所以{a n}为等差数列,设其公差为d,则d=3.a2+a4+a6=9=3a4,所以a4=3,a5+a7+a9=3a7=3(a4+3d)=3(3+3×3)=36,所以log6(a5+a7+a9)=log636=2.补偿训练〗在等差数列{a n}中,a2 000=log27,a2 022=log2,则a2 011=( )A.0B.7C.1D.49〖解析〗选A.因为数列{a n}是等差数列,所以由等差数列的性质可知2a2 011=a2 000+a2 022=log27+log2=log21=0,故a2 011=0.3.设等差数列{a n}的公差为d,若数列{2a1a n}为递减数列,则( )A.d<0B.d>0C.a1d<0D.a1d>0〖解析〗选C.因为数列{2a1a n}为递减数列,a1a n=a1〖a1+(n-1)d〗=a1dn+a1(a1-d),等式右边为关于n的一次函数,所以a1d<0.4.目前农村电子商务发展取得了良好的进展,若某家农村网店从第一个月起利润就成递增等差数列,且第2个月利润为2 500元,第5个月利润为4 000元,第m个月后该网店的利润超过5 000元,则m等于( )A.6B.7C.8D.10〖解析〗选B.设该网店从第一个月起每月的利润构成等差数列{a n},则a2=2 500,a5=4 000.由a5=a2+3d,即4 000=2 500+3d,得d=500.由a m=a2+(m-2)×500=5 000,得m=7.〖补偿训练〗《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题:把100个面包分给5个人,使每个人的所得成等差数列,且使较大的三份之和的是较小的两份之和,则最小的一份的量为( )A.个B.个C.个D.个〖解析〗选C.易得中间的一份为20个面包,设最小的一份的量为a1,公差为d(d>0),根据题意,有〖20+(a1+3d)+(a1+4d)〗×=a1+(a1+d),解得a1=.故最小一份的量为个.5.下面是关于公差d>0的等差数列{a n}的四个说法.(1)数列{a n}是递增数列;(2)数列{na n}是递增数列;(3)数列是递增数列;(4)数列{a n+3nd}是递增数列.其中正确的是( )A.(1)(2)B.(3)(4)C.(2)(3)D.(1)(4)〖解析〗选D.因为a n=a1+(n-1)d,d>0,所以a n-a n-1=d>0,说法(1)正确;na n=na1+n(n-1)d,所以na n-(n-1)a n-1=a1+2(n-1)d,与n的大小和a1的取值情况有关. 故数列{na n}不一定递增,说法(2)不正确;=+d,所以-=,当d-a1>0,即d>a1时,数列递增,但d>a1不一定成立,则(3)不正确;设b n=a n+3nd,则b n+1-b n=a n+1-a n+3d=4d>0.所以数列{a n+3nd}是递增数列,(4)正确.综上,正确的说法为(1)(4).〖补偿训练〗若{a n}是等差数列,则下列数列为等差数列的有( )①{a n+a n+1};②{};③{a n+1-a n};④{2a n};⑤{2a n+n}.A.1个B.2个C.3个D.4个〖解析〗选D.设等差数列{a n}的公差为d.对于①,(a n+a n+1)-(a n-1+a n)=(a n-a n-1)+(a n+1-a n)=2d(n≥2),所以{a n+a n+1}是以2d为公差的等差数列;对于②,-=(a n+1-a n)(a n+a n+1)=d(a n+a n+1)≠常数,所以{}不是等差数列;对于③,因为a n+1-a n=d,所以{a n+1-a n}为常数列;所以{a n+1-a n}为等差数列;对于④,因为2a n+1-2a n=2d,所以{2a n}为等差数列;对于⑤,(2a n+1+n+1)-(2a n+n)=2d+1,所以{2a n+n}为等差数列.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2020·成都高二检测)等差数列{a n}中,a1=1,a9=21,则a3与a7等差中项的值为________. 〖解析〗根据等差数列的性质可知,a3+a7=a1+a9=1+21=22,所以a3与a7的等差中项为(a3+a7)=11.答案:117.若三个数成等差数列,它们的和为9,平方和为59,则这三个数的积为________.〖解析〗设这三个数为a-d,a,a+d,则解得a=3,d=4或a=3,d=-4.所以这三个数为-1,3,7或7,3,-1.所以这三个数的积为-21.答案:-218.在等差数列{a n}中,已知a1+a4+a7=39,a2+a5+a8=33,则a3+a6+a9的值为________.〖解析〗方法一:因为(a2+a5+a8)-(a1+a4+a7)=3d,(a3+a6+a9)-(a2+a5+a8)=3d,所以a1+a4+a7,a2+a5+a8,a3+a6+a9成等差数列.所以a3+a6+a9=2(a2+a5+a8)-(a1+a4+a7)=2×33-39=27.方法二:因为a1+a4+a7=a1+(a1+3d)+(a1+6d)=3a1+9d=39,所以a1+3d=13,①因为a2+a5+a8=(a1+d)+(a1+4d)+(a1+7d)=3a1+12d=33.所以a1+4d=11,②联立①②解得所以a3+a6+a9=(a1+2d)+(a1+5d)+(a1+8d)=3a1+15d=3×19+15×(-2)=27.答案:27三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知数列{a n},a n=2n-1,b n=a2n-1.(1)求{b n}的通项公式;(2)数列{b n}是否为等差数列?说明理由.〖解析〗(1)因为a n=2n-1,b n=a2n-1,所以b n=a2n-1=2(2n-1)-1=4n-3.(2)由b n=4n-3,知b n-1=4(n-1)-3=4n-7.因为b n-b n-1=(4n-3)-(4n-7)=4,b1=4×1-3=1,所以{b n}是首项为1,公差为4的等差数列.10.已知数列a1,a2,…,a30,其中a1,a2,…,a10是首项为1,公差为1的等差数列;a10,a11,…,a20是公差为d的等差数列;a20,a21,…,a30是公差为d2的等差数列(d≠0).(1)若a20=30,求公差d;(2)试写出a30关于d的关系式,并求a30的取值范围.〖解析〗(1)a10=1+9=10,a20=10+10d=30,所以d=2.(2)a30=a20+10d2=10(1+d+d2)(d≠0),a30=10,当d∈(-∞,0)∪(0,+∞)时,a30∈.1.如果有穷数列a1,a2,…,a m(m为正整数)满足条件:a1=a m,a2=a m-1,…,a m=a1,那么称其为“对称”数列.例如数列1,2,5,2,1与数列8,4,2,4,8都是“对称”数列.已知在21项的“对称”数列{c n}中,c11,c12,…,c21是以1为首项,2为公差的等差数列,则c2=________.〖解析〗因为c11,c12,…,c21是以1为首项,2为公差的等差数列,所以c20=c11+9d=1+9×2=19. 又{c n}为21项的对称数列,所以c2=c20=19.答案:192.已知无穷等差数列{a n},首项a1=3,公差d=-5,依次取出项的序号被4除余3的项组成数列{b n}.(1)求b1和b2;(2)求数列{b n}的通项公式;(3)数列{b n}中的第110项是数列{a n}中的第几项?〖解析〗(1)由题意,等差数列{a n}的通项公式为a n=3-5(n-1)=8-5n,设数列{b n}的第n项是数列{a n}的第m项,则需满足m=4n-1,n∈N*.所以b1=a3=8-5×3=-7, b2=a7=8-5×7=-27.(2)由(1)知b n+1-b n=a4(n+1)-1-a4n-1=4d=-20,所以数列{b n}也为等差数列,且首项b1=-7,公差d′=-20,所以b n=b1+(n-1)d′=-7+(n-1)×(-20)=13-20n.(3)因为m=4n-1,n∈N*,所以当n=110时,m=4×110-1=439,所以数列{b n}中的第110项是数列{a n}中的第439项.。

第 2 课时 等差数列的性质及应用课后篇 稳固研究A 组1 .在等差数列 {n }中 , 135 π, 则 cos3()a a +a +a = a =A. B. C.- D.分析 因为 { a } 是等差数列 , 所以 a +a +a =( a +a ) +a =3a =π, 所以 a = , 故 cos a =cos .n1 3 5 1 5 3 3 3 3答案 D2. 设数列 { a },{ b } 都是等差数列 , 且 a =25, b =75, a +b =100, 则由 a +b 所构成的数列的第 37nn1 12 2nn项的值为 ( )A.0B.37C.100D.-37分析 设 c =a +b ,{c } 也是等差数列 , 设其公差为d ,nnnn则 c 1=a 1+b 1=25+75=100, c 2=a 2+b 2 =100. *故 d=c 2-c 1=0. 故 c n =100( n ∈ N ) .进而 c 37 =100.答案 C3. 已知等差数列 { a n } 的公差为 d ( d ≠0), 且 a 3+a 6+a 10+a 13=32, 若 a m =8, 则 m 等于 ()A.8B.4C.6D.123610138分析 因为 a +a +a +a =4a =32,所以 a 8=8,即 8m= .答案 A4. (2017 · 江 西 九 江 一 中 月 考 ) 已 知 等 差 数 列 { a } 满 足 am-1+a -- 1=0, 且 m>1, 则nm+1a 1+a 2 m-1=()A.10B.9C.3D.2解 析 由等 差数 列的 性质知 , a m-1+a m+1=2a m , 则 2a m -- 1=0, 即 ( a m - 1) 2=0, 解得 a m =1. 所以12 m-1m应选 D .a +a=2a =2,答案 D5. 已知等差数列 { a n },{ b n } 的公差分别为 2 和 3, 且 b n ∈N * , 则数列 { } 是 ()A 等差数列 , 且公差为 5B 等差数列 , 且公差为 6..C . 等差数列 , 且公差为 8D . 等差数列 , 且公差为 9分析依题意,得=a 1+( b n - 1) ×2=2b n +a 1- 2=2b 1+2( n- 1) ×3+a 1- 2=6n+a 1+2b 1- 8, 故6, 即数列 {} 是等差数列 , 且公差为 6, 应选 B=.答案 B6.在等差数列 {a} 中 ,3, 8是方程23 5 0的两个根 ,110.n分析依意 , 得a3+a8=3, 所以a1+a10=a3+a8=3.答案 37.已知等差数列 { a n} 共有10, 其奇数之和10, 偶数之和30,公差是.答案 48.若数列 { a n} 是等差数列 , a3+a4+a5=12,a1+a2+⋯ +a7=.分析∵a3+a4+a5=3a4=12,∴a4=4,∴a1+a2+⋯ +a7=7a4=28.答案 289.已知等差数列2,6,10, ⋯,190, ⋯和等差数列2,8,14, ⋯,200, ⋯, 由两个等差数列的公共按从小到大的序成一个新数列{ a n}, 数列 { a n} 的通公式a n=.分析两个等差数列的公共2,14,26, ⋯,即新数列的首2,公差12, 故a n=2+( n- 1)×12=12n- 10.答案 12n- 1010.学号04994031 在数列 { a n} 中 , a1=1, a n+1=2a n+2n.b n=, 明 { b n} 是等差数列 , 并求数列 { a n} 的通公式.解由 a n+1=2a n+2n,得 b n+1=+1=b n+1.又 b1=a1=1,所以{ b n}是首1,公差1的等差数列,所以n n- 1=n,故 a =n·2 .B1.在等差数列n1324219){ a }中 , 若a=3, a +a =21, a =(A.11B.10C.9D.8分析因 a13+a2+a42=a13+a17+a27=a17+a19+a21=3a19=24,所以 a19=8.答案 D2. (2017 ·广中山一中月考n24若2 017=() ) 已知等差数列 { a }, a =2, a =8,=3n- 1, bA.2 016B.2 017C.2 018D.0分析由 a =2, a =8,得数列{ a} 的公差d==3,所以 a =2+( n- 2)×3=3n- 4,所以 a=3n- 1. 又数24n n n+1列{a n}的公差不0, 所以数列 { n} 数列 , 所以合31, 可得n1, 故 2 017 2 018.a= n- b =n+b=故 C.答案 C3.等差数列 { a } 的公差 d.若数列 {} 减数列 , ()nA0B0C10 D 10.d>.d<.a d>.a d<分析 b =, b=,因为{} 是减数列 ,n n+1所以 b n>b n+1,即.∵y=2x是单一增函数,∴a1a n>a1a n+1,∴a1a n-a 1( a n+d) >0,∴a1( a n-a n-d ) >0,即 a1( -d ) >0,∴a1d<0.答案 D4.已知△ABC的一个内角为120°, 而且三边长构成公差为 4 的等差数列 , 则△ABC的面积为.分析不如设角 A=120°,c<b,则 a=b+4, c=b- 4,于是 cos 120 °==- ,解得 b=10,所以 a=14, c=6.所以 S△ABC=bc sin 120° =15.答案 155.若x≠y, 数列x, a1, a2 , y和x, b1, b2, b3 , y各自成等差数列, 则=.分析由题意 , 得a1-a2=, b1-b2= , 所以.答案6.已知中位数为 1 010的一组数构成等差数列,其末项为 2017, 则该数列的首项为.分析设等差数列为 { a }, 若这组数有 (2 m+1)个 , 则am+1=1 010, a =2 017 . 又 a +a =2a, 即n2m+112m+1m+12 0172×1 010,所以3; 若这组数有2m个 , 则 1 010 2 2 020, 2 017.又11m m+12ma1+a2 =a +a 1,即 a1+2 017=2 020,所以 a1=3. 综上,该数列的首项为3.m m m+答案 37.古代中国数学绚烂绚烂 , 在《张丘建算经》中记录 : “今有十等人 , 大官甲等十人官赐金 , 以等次差降之 . 上三人先入,得金四斤持出;下四人后入,得金三斤持出;中央三人未到者,亦依等次更给 . 问:各得金几何及未到三人复应得金几何?”求该问题中未到三人共得金多少斤.解由题意 , 得 { a n} 为等差数列 , 则解得所以 a4+a5+a6=a1+a2 +a3+9d=4+9×.故未到三人共得金斤.8.学号04994032已知{a n}是等差数列,且a1+a2+a3=12,a8=16.(1)求数列 { a n} 的通公式 ;(2)若从数列 { a n} 中 , 挨次拿出第 2 、第 4 、第 6 、⋯、第 2n , 按本来序成一个新数列 { b n}, 求出 { b n} 的通公式.解 (1) ∵a1+a2+a3=12, ∴a2=4.∵a8=a2+(8 - 2) d,∴16=4+6d,∴d=2,∴a n=a2+( n- 2) d=4+( n- 2)×2=2n.(2)a2=4, a4=8, a6=12, a8=16,⋯,a2n=2×2n=4n.当 n>1 , a2n-a 2( n- 1) =4n- 4( n- 1) =4.∴{ b n} 是以 4 首 ,4 公差的等差数列.∴b n=b1+( n- 1) d=4+4( n- 1) =4n.。

人教A版高中数学必修五第二章2.2等差数列的性质同步检测题一、选择题1．在等差数列{a n}中，若a2＝4，a4＝2，则a6＝()A．－1B．0C．1 D．62．已知等差数列{a n}，则使数列{b n}一定为等差数列的是() A．b n＝－a n B．b n＝a2nC．b n＝a n D．b n＝1 a n3．在等差数列{a n}中，若a2＝1，a6＝－1，则a4＝() A．－1 B．1C．0 D．－1 24．等差数列{a n}的公差d<0，且a2·a4＝12，a2＋a4＝8，则数列{a n}的通项公式是()A．a n＝2n－2(n∈N*) B．a n＝2n＋4(n∈N*)C．a n＝－2n＋12(n∈N*) D．a n＝－2n＋10(n∈N*)5．如果数列{a n}是等差数列，则下列式子一定成立的有()A．a1＋a8<a4＋a5B．a1＋a8＝a4＋a5C．a1＋a8>a4＋a5D．a1a8＝a4a56．已知数列{a n}为等差数列且a1＋a7＋a13＝4π，则tan(a2＋a12)的值为() A． 3 B．±3C．－33D．－ 37．等差数列{a n}中，a5＋a6＝4，则log2(2a1·2a2·…·2a10)＝() A．10 B．20C．40 D．2＋log25二、填空题8．等差数列{a n}中，a15＝33，a25＝66，则a35＝________.9．在等差数列{a n}中，a3＋a7＝37，则a2＋a4＋a6＋a8＝________.10．在等差数列{a n }中，若a 5＝a ，a 10＝b ，则a 15＝________.11．数列{a n }满足递推关系a n ＝3a n －1＋3n －1(n ∈N *，n ≥2)，a 1＝5，则使得数列 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n n m a 3为等差数列的实数m 的值为________． 12．若m ≠n ，两个等差数列m ，a 1，a 2，n 与m ，b 1，b 2，b 3，n 的公差分别为d 1和d 2，则d 1d 2的值为________． 三、解答题13．梯子的最高一级宽33 cm ，最低一级宽110 cm ，中间还有10级，各级宽度依次成等差数列，计算中间各级的宽度．14．若三个数a －4，a ＋2,26－2a 适当排列后构成递增等差数列，求a 的值和相应的数列．15．两个等差数列5,8,11，…和3,7,11，…都有100项，问它们有多少个共同的项？16．已知数列{a n}的通项公式为a n＝pn2＋qn(常数p，q∈R)．(1)当p和q满足什么条件时，数列{a n}是等差数列？(2)求证：对任意的实数p和q，数列{a n＋1－a n}都是等差数列．人教A 版高中数学必修五第二章2.2等差数列的性质同步检测题解析一、选择题1．在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．6解析：由等差数列的性质得a 6＝2a 4－a 2＝2×2－4＝0，选B.答案：B2．已知等差数列{a n }，则使数列{b n }一定为等差数列的是( )A ．b n ＝－a nB ．b n ＝a 2nC ．b n ＝a nD ．b n ＝1a n解析：∵数列{a n }是等差数列，∴a n ＋1－a n ＝d (常数)．对于A ，b n ＋1－b n ＝a n －a n ＋1＝－d ，正确；对于B 不一定正确，如a n ＝n ，则b n＝a 2n ＝n 2，显然不是等差数列；对于C 和D ，a n 及1a n不一定有意义，故选A. 答案：A3．在等差数列{a n }中，若a 2＝1，a 6＝－1，则a 4＝( )A ．－1B ．1C ．0D ．－12解析：∵2a 4＝a 2＋a 6＝1－1＝0，∴a 4＝0.答案：C4．等差数列{a n }的公差d <0，且a 2·a 4＝12，a 2＋a 4＝8，则数列{a n }的通项公式是( )A ．a n ＝2n －2(n ∈N *)B ．a n ＝2n ＋4(n ∈N *)C ．a n ＝－2n ＋12(n ∈N *)D ．a n ＝－2n ＋10(n ∈N *)解析：由⎪⎩⎪⎨⎧<=+=∙，，，08124242d a a a a ⇒⎩⎨⎧==，，2642a a ⇒⎩⎨⎧-==，，281d a ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝8＋(n －1)·(－2)＝－2n ＋10.5．如果数列{a n }是等差数列，则下列式子一定成立的有( )A ．a 1＋a 8<a 4＋a 5B ．a 1＋a 8＝a 4＋a 5C ．a 1＋a 8>a 4＋a 5D ．a 1a 8＝a 4a 5解析：由等差数列的性质有a 1＋a 8＝a 4＋a 5，故选B.答案：B6．已知数列{a n }为等差数列且a 1＋a 7＋a 13＝4π，则tan(a 2＋a 12)的值为() A ． 3 B ．±3C ．－33 D ．－ 3解析：由等差数列的性质得a 1＋a 7＋a 13＝3a 7＝4π，∴a 7＝4π3.∴tan(a 2＋a 12)＝tan(2a 7)＝tan 8π3＝tan 2π3＝－ 3.答案：D7．等差数列{a n }中，a 5＋a 6＝4，则log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝( )A ．10B ．20C ．40D ．2＋log 25解析：由等差数列的性质知a 1＋a 2＋…＋a 10＝5(a 5＋a 6)＝5×4＝20，从而log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝log 2220＝20.答案：B二、填空题8．等差数列{a n }中，a 15＝33，a 25＝66，则a 35＝________.解析：由a 25是a 15与a 35的等差中项知2a 25＝a 15＋a 35，∴a 35＝2a 25－a 15＝2×66－33＝99.答案：999．在等差数列{a n }中，a 3＋a 7＝37，则a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝________.解析：由等差数列的性质可知，a 2＋a 8＝a 4＋a 6＝a 3＋a 7，∴a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝37×2＝74.10．在等差数列{a n }中，若a 5＝a ，a 10＝b ，则a 15＝________.解析：设数列{a n }的公差为d .法一：由题意知⎩⎨⎧=+==+=，，b d a a a d a a 9411015 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=，，55491a b d b a a∴a 15＝a 1＋14d ＝9a －4b 5＋14×b －a 5＝2b －a .法二：d ＝a 10－a 510－5＝b －a 5， ∴a 15＝a 10＋5d ＝b ＋5×b －a 5＝2b －a .法三：∵a 5，a 10，a 15成等差数列，∴a 5＋a 15＝2a 10.∴a 15＝2a 10－a 5＝2b －a .答案：2b －a11．数列{a n }满足递推关系a n ＝3a n －1＋3n －1(n ∈N *，n ≥2)，a 1＝5，则使得数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n n m a 3为等差数列的实数m 的值为________． 解析：由题设知a n ＋m 3n －a n －1＋m 3n －1＝3a n －1＋3n －1＋m 3n －a n －1＋m 3n －1 ＝3n －1－2m 3n＝1－1＋2m 3n 为常数， 则1＋2m ＝0，故m ＝－12.答案：－1212．若m ≠n ，两个等差数列m ，a 1，a 2，n 与m ，b 1，b 2，b 3，n 的公差分别为d 1和d 2，则d 1d 2的值为________． 解析：n －m ＝3d 1，d 1＝13(n －m )．又n －m ＝4d 2，d 2＝14(n －m )．∴d 1d 2＝13·(n －m )14·(n －m )＝43. 答案：43三、解答题13．梯子的最高一级宽33 cm ，最低一级宽110 cm ，中间还有10级，各级宽度依次成等差数列，计算中间各级的宽度．解析：由题意可设最低一级宽度为a 1，梯子的宽度依次成等差数列，设为{a n }，依题意a 12＝33，由a 12＝a 1＋(12－1)d ⇒33＝110＋11d ，∴d ＝－7，∴a n ＝110＋(n －1)×(－7)，∴a 2＝103，a 3＝96，a 4＝89，a 5＝82，a 6＝75，a 7＝68，a 8＝61，a 9＝54，a 10＝47，a 11＝40，故梯子中间各级的宽度依次为103,96,89,82,75,68,61,54,47,40.14．若三个数a －4，a ＋2,26－2a 适当排列后构成递增等差数列，求a 的值和相应的数列．解析：显然a －4<a ＋2，(1)若a －4，a ＋2,26－2a 成等差数列，则(a －4)＋(26－2a )＝2(a ＋2)，∴a ＝6，相应的等差数列为：2,8,14.(2)若a －4,26－2a ，a ＋2成等差数列，则(a －4)＋(a ＋2)＝2(26－2a )，∴a ＝9，相应的等差数列为：5,8,11.(3)若26－2a ，a －4，a ＋2成等差数列，则(26－2a )＋(a ＋2)＝2(a －4)，∴a ＝12，相应的等差数列为：2,8,14.15．两个等差数列5,8,11，…和3,7,11，…都有100项，问它们有多少个共同的项？解析：设两个数列分别为{a n }与{b k }．则a 1＝5，d 1＝8－5＝3，通项公式a n ＝5＋(n －1)·3＝3n ＋2；b 1＝3，d 2＝7－3＝4，通项公式b k ＝3＋(k －1)·4＝4k －1.设数列{a n }的第n 项与{b k }的第k 项相同， 即a n ＝b k ，也就是3n ＋2＝4k －1，∴n ＝43k －1，而n ∈N *，k ∈N *，∴k 必须为3的倍数，设k ＝3r (r ∈N *)，得n ＝4r －1.由条件知⎩⎨⎧≤-≤≤≤，，10014110031r r 解得12≤r ≤1014.又r ∈N *，∴1≤r ≤25(r ∈N *)．∴共有25个共同的项．16．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝pn 2＋qn (常数p ，q ∈R)．(1)当p 和q 满足什么条件时，数列{a n }是等差数列？(2)求证：对任意的实数p 和q ，数列{a n ＋1－a n }都是等差数列． 解析：(1)设数列{a n }是等差数列，则a n ＋1－a n ＝[p (n ＋1)2＋q (n ＋1)]－(pn 2＋qn )＝2pn ＋p ＋q ， 若2pn ＋p ＋q 是一个与n 无关的常数，则2p ＝0，即p ＝0，q ∈R.∴当p ＝0，q ∈R 时，数列{a n }是等差数列．(2)证明：∵a n ＋1－a n ＝2pn ＋p ＋q ，∴a n ＋2－a n ＋1＝2p (n ＋1)＋p ＋q ，∴(a n ＋2－a n ＋1)－(a n ＋1－a n )＝[2p (n ＋1)＋p ＋q ]－(2pn ＋p ＋q )＝2p (常数)． ∴对任意的实数p 和q ，数列{a n ＋1－a n }都是等差数列．。

第2课时等差数列的性质[目标] 1.记住等差数列的一些常见性质；2.会用等差数列的性质解答一些简单的等差数列问题．[重点] 等差数列性质的应用．[难点] 等差数列性质的理解．知识点一等差数列的重要性质[填一填]1．a n＝a m＋(n－m)d(m,n∈N*)．2．若m＋n＝p＋q(m,n,q,p∈N*),则a m＋a n＝a p＋a q.[答一答]1．在等差数列{a n}中,若a m＋a n＝a p＋a q(m,n,p,q∈N*),则m＋n＝p＋q成立吗？提示：不一定．若数列{a n}是常数列,则m＋n＝p＋q不一定成立．2．在公差为d的等差数列{a n}中,若m＋n＝2p(m,n,p∈N*),则2a p与a m,a n有何关系？提示：2a p＝a m＋a n.3．在等差数列{a n}中,若m＋n＝p,则a m＋a n＝a p成立吗？提示：不成立．知识点二等差数列的其他性质[填一填]1．若{a n}是公差为d的等差数列,则下列数列：(1){c＋a n}(c为任一常数)是公差为d的等差数列；(2){ca n}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列；(3){a n＋a n＋k}(k为常数,k∈N*)是公差为2d的等差数列．2．若{a n},{b n}分别是公差为d1,d2的等差数列,则数列{pa n＋qb n}(p,q是常数)是公差为pd1＋qd2的等差数列．[答一答]4．在等差数列中,如何判断数列的单调性？提示：在等差数列{a n}中,a n＝a1＋(n－1)d.当d>0时,{a n}是递增数列；当d＝0时,{a n}是常数列；当d<0时,{a n}是递减数列．5．判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”． (1)等差数列去掉前面若干项后,剩下的项仍构成等差数列．( √ ) (2)摆动数列不可能是等差数列．( √ )(3)在等差数列{a n }中,若m ＋n ＋p ＝3t ,则a m ＋a n ＋a p ＝3a t .( √ )类型一 等差数列的性质应用[例1] (1)已知等差数列{a n },a 5＝10,a 15＝25,求a 25的值； (2)已知等差数列{a n },a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝70,求a 1＋a 9的值；(3)已知数列{a n },{b n }都是等差数列,且a 1＝2,b 1＝－3,a 7－b 7＝17,求a 19－b 19的值． [分析] 分析题目,可利用等差数列的性质,也可利用通项公式求解． [解] (1)方法一：设{a n }的公差为d ,则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝10，a 1＋14d ＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，d ＝32，故a 25＝a 1＋24d ＝4＋24×32＝40.方法二：因为5＋25＝2×15,所以在等差数列{a n }中有a 5＋a 25＝2a 15,从而a 25＝2a 15－a 5＝2×25－10＝40.方法三：因为5,15,25成等差数列,所以a 5,a 15,a 25也成等差数列,因此a 25－a 15＝a 15－a 5,即a 25－25＝25－10,解得a 25＝40.(2)由等差数列的性质,得a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝2a 5＝a 1＋a 9,所以a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝70,于是a 5＝14,故a 1＋a 9＝2a 5＝28.(3)令c n ＝a n －b n ,因为{a n },{b n }都是等差数列,所以{c n }也是等差数列,设其公差为d ,由已知,得c 1＝a 1－b 1＝5,c 7＝17,则5＋6d ＝17,解得d ＝2,故a 19－b 19＝c 19＝5＋18×2＝41.在等差数列中,一般存在两种运算方法：一是利用基本量运算,借助于a 1,d 建立方程组进行运算,这是最基本的方法；二是利用性质运算,运用等差数列的性质可简化计算,往往会有事半功倍的效果.[变式训练1] (1)在等差数列{a n }中,a 2＝－5,a 6＝a 4＋6,则a 1等于( B ) A ．－9 B ．－8 C ．－7 D ．－4解析：∵{a n }是等差数列,∴a 6－a 4＝6＝2d . ∴d ＝3.∴a 1＋d ＝－5.∴a 1＝－8.(2)若数列{a n }的公差为2,则数列{3a n －2}的公差为( D ) A ．3 B ．4C．5 D．6解析：∵数列{a n}的公差为2,∴数列{3a n－2}的公差为3×2＝6.(3)设数列{a n},{b n}都是等差数列,且a1＝25,b1＝75,a2＋b2＝100,那么由a n＋b n所组成的数列的第37项的值为( C )A．0 B．37C．100 D．－37解析：设c n＝a n＋b n,则c1＝a1＋b1＝25＋75＝100,c2＝a2＋b2＝100.故d＝c2－c1＝0.故c n＝100(n∈N*)．从而c37＝100.类型二等差数列的实际应用[例2] 有一批影碟机原销售价为每台800元,在甲、乙两家商场均有销售．甲商场用如下方法促销：买一台单价为780元,买两台单价为760元,以此类推,每多买一台则所买各台单价均减少20元,但每台最低不低于440元；乙商场一律都按原价的75%销售．某单位需购买一批此类影碟机,问去哪一家商场购买花费较少？[分析] 先求出购买n台时甲商场的售价,再与购买n台时乙商场的售价作差比较．[解]设该单位需购买影碟机n台,在甲商场购买单价为a n元,当a n不低于440时,a1,a2,…,a n构成等差数列,则a n＝780＋(n－1)(－20)＝800－20n,解不等式a n≥440,即800－20n≥440,得n≤18.当购买台数小于或等于18台时,每台售价为(800－20n)元,当购买台数大于18台时,每台售价为440元．到乙商场购买,每台售价为800×75%＝600(元)．又(800－20n)n－600n＝20n(10－n),所以,当n<10时,600n<(800－20n)n；当n＝10时,600n＝(800－20n)n；当10<n≤18时,(800－20n)n<600n；当n>18时,440n<600n.所以当购买台数少于10台时,到乙商场购买花费较少；当购买10台时,到两商场购买花费相同；当购买台数多于10台时,到甲商场购买花费较少．1.在实际问题中,若涉及一组与顺序有关的数的问题,可考虑利用数列方法解决,若这组数依次成直线上升或下降,则可考虑利用等差数列方法解决.2.在利用数列方法解决实际问题时,一定要分清首项、项数等关键问题.[变式训练2] 有一个很神秘的地方,那里有很多的雕塑,每个雕塑都是由蝴蝶组成的．第一个雕塑有3只蝴蝶,第二个雕塑有5只蝴蝶,第三个雕塑有7只蝴蝶,第四个雕塑有9只蝴蝶,以后的雕塑按照这样的规律一直延伸到很远的地方,学学和思思看不到这排雕塑的尽头在哪里,那么,第102个雕塑是由多少只蝴蝶组成的呢？由999只蝴蝶组成的雕塑是第多少个呢？解：由题知：a 1＝3,a 2＝5,a 3＝7,a 4＝9,…,可知其是以3为首项,2为公差的等差数列,则a n ＝2n ＋1,当n ＝102时,a 102＝205,当a n ＝999时,2n ＋1＝999,n ＝499.答：第102个雕塑是由205只蝴蝶组成的；由999只蝴蝶组成的雕塑是第499个． 类型三 等差数列的综合应用[例3] 已知两个等差数列5,8,11,…和3,7,11,…都是100项,求它们有多少个共同的项．[分析] 先写出两数列的通项公式,利用两通项公式寻找共同的项． [解] 解法一：设两个数列分别为{a n }与{b k }, 则a 1＝5,d 1＝8－5＝3,通项a n ＝5＋(n －1)·3＝3n ＋2；b 1＝3,d 2＝7－3＝4,通项b k ＝3＋(k －1)·4＝4k －1. 设数列{a n }的第n 项与{b k }的第k 项相同, 即a n ＝b k ,即3n ＋2＝4k －1. ∵n ＝43k －1,而n ∈N *,k ∈N *,∴k 必须为3的倍数,设k ＝3r (r ∈N *),得n ＝4r －1,由条件知⎩⎪⎨⎪⎧1≤3r ≤100，1≤4r －1≤100，解得12≤r ≤1014,又∵r ∈N *,∴1≤r ≤25(r ∈N *)． ∴共有25个共同的项．解法二：由解法一知两数列的通项分别为a n ＝3n ＋2,b k ＝4k －1,设共同项构成新数列{c n },则c 1＝11,∵数列{a n },{b n }均为等差数列,∴数列{c n }仍为等差数列,且公差为d ＝12. ∴c n ＝11＋(n －1)·12＝12n －1. 又∵a 100＝302,b 100＝399, ∴c n ＝12n －1≤302,∴n ≤25.25,∴两数列有25个共同项．本题是探求两个数列的公共项问题,解法一是常规解法,解法二利用了最小公倍数．通常是从通项公式入手,建立a n ＝b m 这样的方程,再求其一定范围内的整数解．本题常见的错误是求得数列a n ＝3n ＋2,b n ＝4n －1,即令3n ＋2＝4n －1,解得n ＝3,所以有一个公共项11,这显然是错误的．[变式训练3] 把数列{2n ＋1}中的项依次按第一个括号一个数,第二个括号两个数,第三个括号三个数,第四个括号四个数,第五个括号一个数,…循环,为：(3),(5,7),(9,11,13),(15,17,19,21),(23),(25,27),(29,31,33),(35,37,39,41),(43),…,则第104个括号内的各数之和为( D )A ．2 036B ．2 048C ．2 060D ．2 072解析：由观察发现,每四个括号是一个循环,一个循环由10个数组成,104个括号有26个循环,则第104个括号内有四个数,这四个数为数列3,5,7,9,…的第257项、第258项、第259项、第260项,分别为3＋(257－1)×2,3＋(258－1)×2,3＋(259－1)×2,3＋(260－1)×2,即515,517,519,521,其和为2 072.故选D.1．等差数列{a n }中,若a 2＋a 4 024＝4,则a 2 013＝( A ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．－2解析：∵2a 2 013＝a 2＋a 4 024＝4,∴a 2 013＝2.2．已知等差数列{a n }中,a 7＝π4,则tan(a 6＋a 7＋a 8)等于( C )A ．－33B ．－ 2C ．－1D ．1解析：∵在等差数列{a n }中,a 6＋a 7＋a 8＝3a 7＝3π4,∴tan(a 6＋a 7＋a 8)＝tan 3π4＝－1.3．如果等差数列{a n }中,a 1＝2,a 3＝6,则数列{2a n －3}是公差为4的等差数列． 解析：设数列{a n }的公差为d ,则a 3－a 1＝2d ＝4, 即d ＝2.故数列{2a n －3}的公差为4.4．在等差数列{a n }中,a 3＝7,a 5＝a 2＋6,则a 6＝13. 解析：设等差数列{a n }的公差为d . ∵a 5＝a 2＋6,∴a 5－a 2＝6,即3d ＝6,d ＝2. ∴a 6＝a 3＋3d ＝7＋3×2＝13. 5．在等差数列{a n }中： (1)若a 5＝a ,a 10＝b ,求a 15； (2)若a 3＋a 8＝m ,求a 5＋a 6； (3)若a 5＝6,a 8＝15,求a 14. 解：(1)∵a 5＋a 15＝2a 10,∴a 15＝2a 10－a 5＝2b －a .(2)解法一：∵a 3＋a 8＝(a 1＋2d )＋(a 1＋7d ) ＝2a 1＋9d ＝m ,∴a 5＋a 6＝(a 1＋4d )＋(a 1＋5d )＝2a 1＋9d ＝m . 解法二：∵5＋6＝3＋8, ∴a 5＋a 6＝a 3＋a 8＝m .(3)解法一：∵a 8＝a 5＋(8－5)d , 即15＝6＋3d ,∴d ＝3.∴a 14＝a 8＋(14－8)d ＝15＋6×3＝33. 解法二：∵数列{a n }是等差数列,∴数列a 5,a 8,a 11,a 14,…是等差数列,首项a 5＝6,公差d ＝a 8－a 5＝15－6＝9, ∴第四项a 14＝6＋3×9＝33.——本课须掌握的问题运用等差数列的性质,能够简化问题,提高准确性．常用的性质主要有： (1)d ＝a m －a n m －n(m ,n ∈N *,且n ≠m )； (2)a n ＝a m ＋(n －m )d (n ,m ∈N *)； (3)若m ＋n ＝p ＋q (m ,n ,p ,q ∈N *), 则a m ＋a n ＝a p ＋a q .特别地,若m ＋n ＝2p (m ,n ,p ∈N *), 则a m ＋a n ＝2a p .在解决等差数列问题时要注意项数(即项的下标)之间的关系．。

第二课时等差数列的性质及简单应用【选题明细表】知识点、方法题号等差数列性质的简单应用1、2、3、6、10、13 巧用“对称”解等差数列问题8等差数列性质的综合应用4、5、7、9、11实际应用题12基础巩固1.（2015葫芦岛六校协作体第二次考试)如果等差数列｛a n｝中，a2+a8=10,那么a3+a4+a5+a6+a7等于（ C )（A)15 （B）20 （C)25 （D）30解析:因为a2+a8=2a5=10,所以a5=5，所以a3+a4+a5+a6+a7=5a5=25.2.已知等差数列{a n}的公差为d（d≠0),且a3+a6+a10+a13=32,若a m=8,则m为（ B )(A）12 (B）8 (C)6 (D）4解析:因为a3+a6+a10+a13=32，所以4a8=32，所以a8=8，又d≠0，a m=8，所以m=8。

3。

若｛a n｝是等差数列，且a1+a4+a7=45，a2+a5+a8=39，则a3+a6+a9等于( D ）(A）39 （B）20 （C）19.5 （D)33解析：因为a1+a4+a7=3a4=45,所以a4=15.因为a2+a5+a8=39，所以3a5=39,所以a5=13,所以d=a5-a4=-2，所以a6=a5+d=11，a3+a6+a9=3a6=3×11=33.4。

等差数列｛a n}中,a2+a5+a8=9,那么关于x的方程x2+(a4+a6）x+10 =0（ A ）（A)无实根（B)有两个相等实根（C）有两个不等实根（D)不能确定有无实根解析:由a2+a5+a8=9得3a5=9,a5=3,所以a4+a6=2a5=6，于是方程的判别式Δ=(a4+a6）2-4×10=62-4×10<0，故方程无实根，故选A.5。

下面是关于公差d〉0的等差数列｛a n}的四个说法。

p1:数列{a n}是递增数列;p2:数列{na n}是递增数列；p3:数列｛｝是递增数列;p4:数列{a n+3nd｝是递增数列.其中正确的为( D )（A）p1，p2（B）p3，p4(C）p2，p3（D）p1,p4解析：因为a n=a1+（n-1)d,d〉0,所以a n—a n—1=d>0,命题p1正确.na n=na1+n（n—1)d，所以na n—(n—1）a n-1=a1+2（n-1)d与0的大小和a1的取值情况有关。

高中数学 2.2等差数列（1）学案新人教A 版必修5学习目标1. 理解等差数列的概念，了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列；2. 探索并掌握等差数列的通项公式；3. 正确认识使用等差数列各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定项.学习重难点1.重点： 等差数列的通项公式2.难点： 灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定项一、课前准备 （预习教材P 36 ~ P 39 ，找出疑惑之处）复习1：什么是数列？ 复习2：数列有几种表示方法？分别是哪几种方法？二、试一试问题一：等差数列的概念1：请同学们仔细观察，看看以下四个数列有什么共同特征？① 0，5，10，15，20，25，… ② 48，53，58，63③ 18，15.5，13，10.5，8，5.5 ④ 10072，10144，10216，10288，10366 新知：1.等差数列：一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它 一项的 等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的 ， 常用字母 表示.2.等差中项：由三个数a ，A ， b 组成的等差数列，这时数 叫做数 和 的等差中项，用等式表示为A =问题二：等差数列的通项公式2：数列①、②、③、④的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？若一等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则据其定义可得：21a a -= ，即：21a a =+ 32a a -= ， 即：321a a d a =+=+ 43a a -= ，即：431a a d a =+=+ ……由此归纳等差数列的通项公式可得：n a =∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项1a 和公差d ，便可求得其通项n a .※ 学习探究探究1 ⑴求等差数列8，5，2…的第20项；⑵ －401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？变式：（1）求等差数列3，7，11，……的第10项.（2）100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.小结：要求出数列中的项，关键是求出通项公式；要想判断一数是否为某一数列的其中一项，则关键是要看是否存在一正整数n 值，使得n a 等于这一数. 探究 2 已知数列{n a }的通项公式n a pn q =+，其中p 、q 是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是多少？变式：已知数列的通项公式为61n a n =-，问这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？小结：要判定{}n a 是不是等差数列，只要看1n n a a --（n ≥2）是不是一个与n 无关的常数. ※ 模仿练习练1. 等差数列1，－3，－7，－11，…，求它的通项公式和第20项.练2.在等差数列{}n a 的首项是51210,31a a ==， 求数列的首项与公差.三、总结提升 ※ 学习小结1. 等差数列定义： 1n n a a d --= (n ≥2)；2. 等差数列通项公式：n a =1(1)a n d +- (n ≥1).※ 知识拓展1. 等差数列通项公式为1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d =+-. 分析等差数列的通项公式，可知其为一次函数，图象上表现为直线1(1)y a x d =+-上的一些间隔均匀的孤立点.2. 若三个数成等差数列，且已知和时，可设这三个数为,,a d a a d -+. 若四个数成等差数列，可设这四个数为3,,,3a d a d a d a d --++.当堂检测1. 等差数列1，－1，－3，…，－89的项数是（ ）. A. 92 B. 47 C. 46 D. 452. 数列{}n a 的通项公式25n a n =+，则此数列是（ ）.A.公差为2的等差数列B.公差为5的等差数列C.首项为2的等差数列D.公差为n 的等差数列3. 等差数列的第1项是7，第7项是－1，则它的第5项是（ ）. A. 2 B. 3 C. 4 D. 64. 在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 成等差数列，则∠B ＝ .5. 等差数列的相邻4项是a +1，a +3，b ，a +b ，那么a ＝ ，b ＝ .课后作业1. 在等差数列{}n a 中，⑴已知12a =，d ＝3，n ＝10，求n a ； ⑵已知13a =，21n a =，d ＝2，求n ；⑶已知112a=，627a=，求d；⑷已知d＝－13，78a=，求1a.2. 一个木制梯形架的上下底边分别为33cm，75cm，把梯形的两腰各6等分，用平行木条连接各分点，构成梯形架的各级，试计算梯形架中间各级的宽度.课后反思。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作2.2 等差数列(人教A 版必修5)建议用时 实际用时满分 实际得分45分钟100分一、选择题（每小题3分，共30分）1.在等差数列{}n a 中，已知48a a ＋＝16，则210a a ＋＝( )A.12B.16C.20D.242.已知等差数列{}n a 的公差为d (d ≠0)，且36a a ＋＋1013a a ＋＝32，若m a ＝8，则m 的值为( )A.12B.8C.6D.43.已知不等式2230x x <－－的整数解构成等差数列{}n a 的前三项，则数列{}n a 的第四项为()A.3B.－1C.2D.3或－14.已知数列{}n a 为等差数列且17134πa a a ＋＋＝，则212tan()a a ＋的值为( )A. 3B.± 3C.－33D.－ 3 5.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3 L ，下面3节的容积共4 L ，则第5节的容积 A.1 L B.6766 LC.4744 LD.3733L6.将正偶数集合{2,4,6，…}从小到大按第n 组有2n 个偶数进行分组，第一组：{2,4}，第二组{6,8,10,12}，第三组：{14,16,18,20,22,24}，则2 010位于第( ) A.30组 B.31组 C.32组 D.33组7.已知方程22(2)(2)x x m x x n －＋－＋＝0的四个根组成一个首项为14的等差数列，则|m －n |＝( )A.1B.34C.12D.388.在等差数列{}n a 中，若18152a a a ＋＋＝96，则9102a a －＝( )A.24B.22C.20D.－8 9.已知等差数列{}n a 中有两项m a 和k a 满足m a ＝1k，k a ＝1m，则该数列前mk 项之和是( ) A.2m k + B.12mk + C.2m k + D.21mk +10.若动点P 的横坐标x 、纵坐标y 使得lg lg y x ，， lg 2y x-成等差数列，则点P 所表示的图形是( )二、填空题（每小题4分，共16分）11.设等差数列{}n a 的公差为正数，若123a a a ＋＋＝15，123a a a ＝105，则111213a a a ＋＋＝________. 12.将正偶数按下表排成5列： 第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 第1行 2 4 6 8 第2行 16 14 12 10 第3行 18 20 22 24 ……2826那么2 014应该在第________行第________列． 13.若数列{}n x 满足1n n x x d －－＝(n ∈*N ，n ≥2)，其中d 为常数，1220x x x ＋＋＋＝80，则516x x ＋＝_____. 14.已知函数()sin tan f x x x ＝＋，项数为27的等差数列{}n a 满足ππ,22n a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，且公差d ≠0.若1()f a ＋227()()f a f a ＋＋＝0，则当k ＝_____时，()k f a ＝0.三、解答题（共54分）15.（12分）求等差数列8，5，2，…的第20项. 16.（14分）已知等差数列{}n a 前三项的和为－3，前三项的积为8.求等差数列{}n a 的通项公式.17.（14分）某市出租车的计价标准为1.2元/千米，起步价为10元，即最初的4千米（不含4千米）计费为10元，如果某人乘坐该市的出租车去往14千米处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，那么需要支付多少车费？18.（14分）数列{}n a 满足14a =，144n n a a -=-（n ≥2），设n b =12n a -. （1）判断数列{}n b 是否为等差数列并试证明； （2）求数列{}n a 的通项公式.2.2 等差数列(人教A 版必修5)答题纸得分：一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案二、填空题11. 12. 13. 14. 三、解答题 15.16.17.18.2.2 等差数列(人教A 版必修5)答案一、选择题1.B 解析：由等差数列的性质，得2104816a a a a ＋＝＋＝，故选B ．2.B 解析：由等差数列的性质知361013313610888()()22432a a a a a a a a a a a ＋＋＋＝＋＋＋＝＋＝＝，∴ 88a ＝.∴ 8m ＝.3.D 解析：由2230x x <－－及x ∈Z ，得x ＝0,1,2.故该数列可以为0,1,2,3或2,1,0,－1. ∴ 4a ＝3或4a ＝－1.故选D.4.D 解析：由题意可得734πa ＝，∴ 7a ＝4π3，∴ 2127tan()tan(2)a a a ＋＝＝8πtan 3＝2πtan 3＝－ 3. 5.B 解析：设该等差数列为{}n a ，公差为d ，则12347893,4,a a a a a a a +++=⎧⎨++=⎩即11463,3214,a d a d +=⎧⎨+=⎩解得113,227.66a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以第5节的容积为514a a d ＝＋＝1322＋766×4＝6766. 6.C 解析：因为第n 组有2n 个正偶数，故前n 组共有2＋4＋6＋…＋2n ＝(2n ＋n )个正偶数.因为2 010是第1005个正偶数，若n ＝31，则2n ＋n ＝992，而第32组中有64个偶数，992＋64＝1 056，故2 010在第32组． 7.C 解析：设220x x m －＋＝的根为12x x ,且12x x <，220x x n －＋＝的根为34x x ,且34x x <，不妨设1x ＝14. ∵ 122x x ＋＝，∴ 2x ＝74.又∵ 342x x ＋＝，且1342x x x x ,,,成等差数列，∴ 公差d ＝171344⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭＝12，∴ 3x ＝34， 4x ＝54.∴|m n －|＝17354444⨯-⨯＝12，故选C.8.A 解析：因为1815296a a a ＋＋＝，所以8496a ＝，所以 8a ＝24.又因为91082a a a ＝＋，所以9108224a a a －＝＝.9.B 解析：设数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则111(1),1(1),m k a a m d ka a k d m ⎧=+-=⎪⎪⎨⎪=+-=⎪⎩解得11,1.a mk d mk ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以11111()(1)222mk mk mk mk mk S a a mk mk mk mk +⎡⎤=+=++-=⎢⎥⎣⎦. 10.C 解析：由题意可知2lg lg lg2y x x y -＝＋，即22y x x y -⎛⎫⎪⎝⎭＝.整理，得222x y xy ＝－. 化简可知(2)()0x y x y －＋＝，即20x y －＝或0x y ＋＝，且满足0,0,0.2x y y x ⎧⎪≠⎪>⎨⎪-⎪>⎩二、填空题11.75 解析：∵ 12312315,105,a a a a a a ++=⎧⎨=⎩∴ 2135,21,a a a =⎧⎨=⎩∴ 1115,(2)21.a d a a d +=⎧⎨+=⎩∵ 0d >，∴ 13,2.a d =⎧⎨=⎩∴ 111213133375a a a a d ＋＋＝＋＝.12.252 2 解析：通项2n a n ＝，故2 014为第1007项.∵ 1 007＝4×251＋3，又251为奇数，因此2 014应排在第252行从右向左排第3个数，即第252行第2列．13.8 解析：由1n n x x d －－＝知{}n x 是公差为d 的等差数列，∴ 122080x x x ＋＋＋＝⇒12010()80x x ＋＝⇒1208x x ＋＝，∴ 5161208x x x x ＋＝＋＝.14.14 解析：∵ ()sin tan f x x x ＝＋为奇函数，且在0x ＝处有定义，∴ (0)0f ＝. ∵ {}n a 为等差数列且0d ≠，1227()()()0f a f a f a ＋＋＋＝，∴ *(127)n a n n ≤≤∈，N 对称分布在原点及原点两侧.∴ 14()0f a ＝，∴ k ＝14. 三、解答题15.解：由18a =，583d =-=-，20n =，得208(201)(3)49a =+-⨯-=-. 16.解：设等差数列{}n a 的公差为d ，则21312a a d a a d ＝＋，＝＋.由题意得1111333,()(2)8,a d a a d a d +=-⎧⎨++=⎩解得12,3a d =⎧⎨=-⎩或14,3.a d =-⎧⎨=⎩所以由等差数列的通项公式可得23(1)35n a n n ＝－－＝－＋或43(1)37n a n n ＝－＋－＝－. 故35n a n ＝－＋或37n a n ＝－.17.解：可以抽象为等差数列的数学模型，4 千米处的车费记为111.2a =，公差 1.2d =. 当出租车行至目的地即14 千米处时，11n =，求11a .11a =11.2+（11-1）×1.2=23.2.答：需要支付车费23.2元. 18.解：（1）∵ 1112422n n n n n a b b a a +-=-=--，∴ 数列{}n b 是公差为12的等差数列. （2）∵ 111122b a ==-，11(1)222n n b n =+-⨯=，∴ 122n n a =-，∴ 2(1)n n a n +=.。

一、本节学习目标掌握等差数列的定义，通项公式及有关性质．二、重难点指引1.重点：等差数列的概念及通项公式．2.难点：等差数列的性质三、学法指导等差数列是一类重要的特殊数列，在学习时一定要注意它相对一般数列所独有特征．四、教材多维研读▲ 一读教材1． 等差数列的定义：一般地，如果一个数列＿＿＿＿＿，每一项与它前一项的差等于 ，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d ”表示）．用符号语言可表示为 ．其中，若{}n a d ,0>是 ；{}n a d ,0=是 ； {}n a d ,0< ． 2．等差数列的通项公式： 或 ． 3．等差中项：a ，A ，b 成等差数列，A 为a ,b 等差中项．即 ．4．等差数列的性质：在等差数列中，若()*∈+=+N q ,p ,n ,m q p n m ，则 ．▲ 二读教材1．求等差数列3，7，11，……的第4项与第10项.2．求等差数列10，8，6，……的第20项.3．100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.4．在等差数列{}n a 中，若1a +6a =9, 4a =7, 求3a , 9a .▲ 三读教材1．在等差数列{}n a 中，已知90,104515==a a ，求60a2．首项为24-的等差数列，从第10项开始为正数，则公差d 的取值范围是 ( )A.d ＞83B.d ＞3C.83≤d ＜3D.83＜d ≤3 五、典型例析例1 ⑴求等差数列8，5，2…的第20项；⑵ -401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？例2 已知数列{n a }的通项公式q pn a n +=，其中p 、q 是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？六、课后自测◆ 基础知识自测1.设数列11,22,5,2，……则25是这个数列的 ( )A.第六项B.第七项C.第八项D.第九项2．若b a ≠,数列b x x a ,,,21和数列b y y y a ,,,,321都是等差数列，则=--1212y y x x ( ) A ．32 B ．43 C ．1 D ．34 3.在-1和8之间插入两个数b a ,，使这四个数成等差数列，则( )A. 5,2==b aB. 5,2=-=b aC. 5,2-==b aD.5,2-=-=b a 4.已知等差数列{}n a 中，79416,1a a a +==，则16a 的值是 ．5.在等差数列{}n a 中，已知48111032=+++a a a a ，则=+76a a ．◆ 能力提升自测1.等差数列{}n a 中，1a =-5，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项，余下的10项的平均值是4，则抽取的是（ ）A.11aB. 10aC.9aD.8a 2.设函数)(x f 满足)1(+n f =2)(2n n f +(n ∈N *)且2)1(=f ,则)20(f 为 ( ) A.95 B.97C.105D.192 3．若关于x 的方程02=+-m x x 和),,(02n m R n m n x x ≠∈=+-的四个根组成首项为41的等差数列，求=+n m ◆ 智能拓展训练已知数列3021,,,a a a Λ，其中1021,,,a a a Λ是首项为1，公差为1的等差数列，201110,,,a a a Λ是公差为d 的等差数列，302120,,,a a a Λ是公差为2d 的等差数列（0≠d ）.(Ⅰ)若4020=a ，求d ；(Ⅱ)试写出30a 关于d 的关系式，并求102030a a a ++的取值范围.2.2等差数列答案▲ 一读教材1．从第二项起，同一个常数，n a －1-n a =d ，n ≥2，n ∈N +，递增数列，常数列，递减数列2．d n a a n )1(1-+=，=n a d m n a m )(-+3．2b a A +=4．q p n m a a a a +=+▲ 二读教材1． 分析：根据所给数列的前3项求得首项和公差，写出该数列的通项公式，从而求出所求项.解：根据题意可知：1a =3,d =7－3=4.∴该数列的通项公式为：n a =3+（n －1）×4,即n a =4n－1（n ≥1,n ∈N *）∴4a =4×4－1=15, 10a =4×10－1=39.评述：关键是求出通项公式.2．解：根据题意可知：1a =10,d =8－10=－2.∴该数列的通项公式为：n a =10+（n －1）×（－2）,即：n a =－2n +12,∴20a =－2×20+12=－28.评述：要注意解题步骤的规范性与准确性.3．分析：要想判断一数是否为某一数列的其中一项，则关键是要看是否存在一正整数n 值，使得n a 等于这一数.解：根据题意可得：1a =2,d =9－2=7. ∴此数列通项公式为：n a =2+（n －1）×7=7n －5.令7n －5=100,解得：n =15, ∴100是这个数列的第15项.4．分析：要求一个数列的某项，通常情况下是先求其通项公式，而要求通项公式，必须知道这个数列中的至少一项和公差，或者知道这个数列的任意两项（知道任意两项就知道公差），本题中，只已知一项，和另一个双项关系式，想到从这双项关系式入手……解：∵ {}n a 是等差数列∴ 1a +6a =4a +3a =9⇒3a =9－4a =9－7=2∴ d=4a －3a =7－2=5∴ 9a =4a +(9－4)d=7+5*5=32∴ 3a =2, 9a =323▲ 三读教材 1．方法一：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧=+==+=38382904410141145115d a d a a d a a ∴a 60＝a 1＋59d ＝130． 方法二：3815451545=--=--=a a m n a a d m n ，由=n a d m n a m )(-+ ⇒4560a a =＋(60－45)d ＝90＋15×38＝130．2．D课后自测◆ 基础知识自测1. B ；2.D ；3.A ；4.22 ；5.24． ◆ 能力提升自测1.A ；2.B ；3.7231． ◆ 智能拓展训练（Ⅰ）3,401010.102010=∴=+==d d a a . （Ⅱ）())0(11010222030≠++=+=d d d d a a ,()22210203010202010103210[2(1)]a a a a a a d d d d ++=+++=++=++ 当),0()0,(∞+∞-∈Y d 时，[)10203020,a a a ++∈+∞。

学习资料等差数列的性质[A组学业达标]1．已知｛a n}为等差数列,若a1＋a5＋a9＝4π,则cos a5的值为(）A．－错误!B．－错误!C.错误!D.错误!解析：因为｛a n｝为等差数列,a1＋a5＋a9＝4π，所以3a5＝4π，解得a5＝错误!。

所以cos a5＝cos 错误!＝－错误!。

答案:A2．在等差数列｛a n｝中，a3＋3a8＋a13＝120，则a3＋a13－a8＝（）A．24 B．22C．20 D．－8解析：因为数列｛a n}为等差数列，所以a3＋3a8＋a13＝5a8＝120，所以a8＝24，所以a3＋a13－a8＝a8＝24。

答案:A3．设e，f,g,h四个数成递增的等差数列，且公差为d，若eh＝13，f＋g＝14，则d 等于（）A．1 B．2C．3 D．4解析：e，f,g，h四个数成递增的等差数列，且eh＝13，e＋h＝f＋g＝14，解得e＝1，h＝13或e＝13，h＝1（不合题意，舍去）；所以公差d＝错误!（h－e)＝错误!×(13－1）＝4。

答案:D4．已知等差数列｛a n｝的公差为d(d≠0），且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若a m＝8，则m为（)A．12 B．8C．6 D．4解析:由等差数列性质得,a3＋a6＋a10＋a13＝(a3＋a13)＋(a6＋a10)＝2a8＋2a8＝4a8＝32,∴a8＝8，又d≠0，∴m＝8。

答案：B5．若等差数列{a n｝和{b n}的公差均为d（d≠0），则下列数列中不为等差数列的是(）A．｛λa n｝（λ为常数) B．｛a n＋b n｝C．{a错误!－b错误!｝D．{a n·b n}解析：等差数列｛a n｝和｛b n}的公差均为d(d≠0)，对于A,由λa n＋1－λa n＝λ（a n＋1－a n）＝λd为常数，则该数列为等差数列；＋b n＋1－a n－b n＝（a n＋1－a n）＋(b n＋1－b n）＝2d为常数,则该数列为对于B,由a n＋1等差数列;对于C，由a2，n－b2，n＋1－(a错误!－b错误!)＝（a n＋1－a n)(a n＋1＋a n）－(b n＋1－b n)＋1＋b n)（b n＋1＝d(2a1＋（2n－1)d)－d(2b1＋（2n－1)d）＝2d(a1－b1)为常数,则该数列为等差数列;b n＋1－a n b n＝(a n＋d）(b n＋d)－a n b n＝d2＋d(a n＋b n)不为常数,则该数对于D，由a n＋1列不为等差数列．答案：D6．在等差数列{a n}中，若a5＝a，a10＝b，则a15＝________.解析：法一：d＝错误!＝错误!,∴a15＝a10＋5d＝b＋5×错误!＝2b－a.法二：∵a5，a10，a15成等差数列，∴a5＋a15＝2a10.∴a15＝2a10－a5＝2b－a。