下载文档原格式
第二章 平面向量2.4 平面向量的数量积2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角一、平面向量数量积的物理背景及其含义 1．平面向量数量积的物理背景物理中的功是一个与力及这个力作用下的物体产生的位移有关的量，并且这个量是一个标量，即： 如果一个物体在力F 的作用下产生位移s ，那么力F 所做的功||||cos W θ=⋅=⋅⋅F s F s ，其中θ为力F 与位移s 之间的夹角．而力与位移都是矢量，这说明两个______________也可以进行运算． 2．平面向量数量积的概念（1）数量积的概念已知两个非零向量,a b ，我们把数量||||cos θa b 叫做向量a 与b 的______________(inner product)(或内积)，记作⋅a b ，即⋅=a b ______________，其中θ是a 与b 的夹角． 我们规定，零向量与任一向量的数量积为0． （2）投影的概念设非零向量a 与b 的夹角是θ，则||cos θa (||cos θb )叫做向量a 在b 方向上(b 在a 方向上)的______________(projection)．如图（1）（2）（3）所示，分别是非零向量a 与b 的夹角为锐角、钝角、直角时向量a 在b 方向上的投影的情形，其中1OB =___________，它的意义是，向量a 在向量b 方向上的投影长是向量1OB 的长度．（3）数量积的几何意义由向量投影的定义，我们可以得到⋅a b 的几何意义：数量积⋅a b 等于a 的长度||a 与b 在a 方向上的投影||cos θb 的______________． 3．平面向量数量积的性质与运算律（1）平面向量数量积的性质由向量数量积的定义，设,a b 都是非零向量，则有： ①⊥⇔a b ______________； ②22||⋅==a a a a 或||=⋅a a a ；③当a 与b 同向时，||||⋅=a b a b ；当a 与b 反向时，⋅=a b ______________； ④cos ||||θ⋅=a ba b ，其中θ是非零向量a 与b 的夹角；⑤||||||⋅≤a b a b ，当且仅当向量,a b 共线，即∥a b 时等号成立． （2）平面向量数量积的运算律由于数量积是完全不同于数与向量乘法的一种运算，并且这种运算涉及长度、角度等的运算，因此有如下三条运算律：已知向量,,a b c 和实数λ，则 ①交换律：⋅=⋅a b b a ；②数乘结合律：()()λλ⋅=⋅a b a b =______________； ③分配律：()+⋅⋅+⋅a b c =a c b c ． （3）两个结论①222()2+=+⋅+a b a a b b ； ②()()+-=a b a b ______________． 二、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 1．平面向量数量积的坐标表示在平面直角坐标系中，设,i j 分别是x 轴，y 轴上的单位向量．由于向量1122(,),(,)x y x y ==a b 分别等价于1122,x y x y =+=+a i j b i j ，根据向量数量积的运算，有1212212()()x y x y x x ⋅=+⋅+=+a b i j i j i1221122x y x y y y ⋅⋅+i j +j i j ，由于,i j 为正交单位向量，故221==i j ，0⋅=⋅=i j j i ，从而12x x ⋅=+a b12y y ．即⋅=a b ____________，其含义是：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的____________．2．平面向量的模的坐标表示（1）平面向量的模的坐标公式若向量(,)x y =a ，由于2||=a a ，所以||=a ______________． 其含义是：向量的模等于向量坐标平方和的算术平方根． （2）平面内两点间的距离公式已知原点(0,0)O ，点1122(,),(,)x y A x y B ，则22112121(,)(,)(,)x y x y x x y A OA y B OB =-=-=--，于是||AB =______________．其含义是：向量AB 的模等于A ，B 两点之间的距离． 3．平面向量垂直的坐标表示已知非零向量1122(,),(,)x y x y ==a b ，则0⊥⇔⋅=⇔a b a b ______________． 4．平面向量夹角的坐标表示已知非零向量1122(,),(,)x y x y ==a b ，θ是a 与b 的夹角，则cos ||||θ⋅==a ba b ______________．K 知识参考答案：一、1．矢量2．（1）数量积 ||||cos θa b （2）投影 ||cos θa （3）乘积 3．（1）0⋅=a b ||||-a b（2）()λ⋅a b（3）22-a b二、1．1212x x y y +和 2．（1）22x y + （2）222121()()x x y y -+- 3．12120x x y y +=4．121212122222x x y y x y x y ++⋅+K —重点 向量的数量积、模、夹角． K —难点 数量积的综合应用．K —易错对向量的夹角、向量共线等理解不正确导致错误．1．平面向量数量积的概念已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫作a 与b 的数量积，记作a ·b ， 即a ·b =|a ||b |cos θ．规定：零向量与任一向量的数量积为零． 【例1】下列判断： ①220+=a b ，则0==a b ； ②已知,,a b c 是三个非零向量，若0+=a b ，则||||⋅=⋅a c b c ； ③,a b 共线||||⇔⋅=a b a b ； ④||||<⋅a b a b ；⑤3||⋅⋅=a a a a ；⑥非零向量,a b 满足：0⋅>a b ，则a 与b 的夹角为锐角；⑦若,a b 的夹角为θ，则||cos θb 表示向量b 在向量a 方向上的投影长． 其中正确的是 ． 【答案】①②【名师点睛】对于这类概念、性质、运算律的问题的解答，关键是要对相关知识深刻理解．特别是那些易与实数运算相混淆的运算律，如消去律、乘法结合律等，当然还有向量的数量积中有关角的概念以及数量积的性质等．2．求向量的数量积、投影、模、夹角 （1）向量的夹角①定义：已知两个非零向量a 和b ，如图所示，作=a ，=b ，则∠AOB=θ（0°≤θ≤180°）叫作向量a 与b 的夹角，记作<a ，b >．②范围：夹角θ的范围是[0，180°]． 当θ=0°时，两向量a ，b 共线且同向；当θ=90°时，两向量a ，b 相互垂直，记作a ⊥b ； 当θ=180°时，两向量a ，b 共线但反向．③只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，∠BAC 不是与的夹角，∠BAD 才是与的夹角．（2）向量的投影设非零向量a 与b 的夹角是θ，则||cos θa （||cos θb ）叫做向量a 在b 方向上（b 在a 方向上）的投影．如图（1）（2）（3）所示，分别是非零向量a 与b 的夹角为锐角、钝角、直角时向量a 在b 方向上的投影的情形，其中1OB =||cos θa ，它的意义是，向量a 在向量b 方向上的投影长是向量1OB 的长度．（3）向量的模若向量(,)x y =a ，则||=a若点1122(,),(,)x y A x y B ，则||AB =【例2】（1）已知单位向量e 1，e 2的夹角为α，且1cos 3α=，若向量a =3e 1－2e 2，则|a |=________． （2）已知15,||52AB CD CD ⋅==，则向量AB 在CD 方向上的投影为________． （3）若||1,||2==a b ，=+c a b 且⊥c a ，则向量a 与b 的夹角为________． （4）已知||2,||3==a b ，a 与b 的夹角为120°，则(2)(3)-⋅+=a b a b ________．【答案】（1）3；（23）120°；（4）34-． 【解析】（1）因为a 2=(3e 1−2e 2)2=9−2×3×2×cos α＋4=9，所以|a |=3．（2）因为15,||52AB CD CD ⋅==，所以AB 在CD 方向上的投影为||5AB CD CD ⋅==．（3）由⊥c a ，得0⋅=a c ，又=+c a b ，所以()0⋅=⋅+=a c a a b ，即20+⋅=a a b ，设向量a 与b 的夹角为θ，则21cos ||||||||2θ⋅-===-a b a a b a b ，所以θ=120°，即向量a 与b 的夹角为120°． （4）2222(2)(3)2532||5||||cos1203||8152734-⋅+=+⋅-=+︒-=--=-a b a b a a b b a a b b ． 【名师点睛】（1）已知向量,a b 的模及它们的夹角可求1234()()x x x x +⋅+a b a b 的数量积，反之知道1234()()x x x x +⋅+a b a b 的数量积及,a b 的模则可求a 与b 的夹角．（2）求较复杂的数量积运算时，可先利用向量数量积的运算律或相关公式进行化简． 3．平面向量的坐标运算（1）已知a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），则a +b =（x 1+x 2，y 1+y 2），a –b =（x 1–x 2，y 1–y 2）．λa =（λx 1，λy 1），其中λ是实数．这就是说，两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）．实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．（2）已知A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则AB =（x 2–x 1，y 2–y 1）．这就是说，一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标． 【例3】（1）设向量a =(x ，x +1)，b =(1，2)，且a ⊥b ，则x =________． （2）已知向量a =(m ，4)，b =(3，−2)，且a ∥b ，则m =________．（3）已知向量13(,)22BA = ，31(,),22BC = 则ABC ∠=________．（4）设平面向量(1,2),(2,)y ==-a b ，若∥a b ，则|3|+a b 等于________． 【答案】（1）23-；（2）6-；（3）30°；（4）5．【名师点睛】（1）进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．（2）对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，只需把握图形的特征，并写出相应点的坐标即可求解．4．平面向量数量积的综合应用【例4】已知三点A (2，1)，B (3，2)，D (−1，4)． （1）求证：AB ⊥AD ;（2）要使四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标并求矩形ABCD 的对角线的长度． 【答案】（1）答案详见解析；（2）(0)5，，25． 【解析】（1）∵A (2，1)，B (3，2)，D (−1，4)， ∴(1,1),(3,3)AB AD ==-． 则1(3)130AB AD ⋅=⨯-+⨯=， ∴AB AD ⊥，即AB ⊥AD ．（2）∵AB AD ⊥，四边形ABCD 为矩形， ∴AB DC =．设C 点的坐标为(x ，y )，则()1,4x C y D =+-，从而有1141x y +=-=⎧⎨⎩，即05x y ==⎧⎨⎩，∴C 点的坐标为(0)5，． 又(4,2)BD =-，||25BD =， ∴矩形ABCD 的对角线的长度为25．【名师点睛】利用向量的坐标运算解决图形问题，常见的题型有：（1）求点的坐标：设出所求点的坐标，利用终点坐标与始点坐标的差得到向量的坐标，根据向量间的关系求解．（2）证明两线段垂直：求证两线段所对应的向量的数量积为0即可． （3）求线段的长度：求出线段所对应的向量的模即可． 5．对向量的夹角理解不正确致误【例5】已知ABC △中，||5,||8,60BC CA C ===︒，则BC CA ⋅= ． 【错解】如图，因为||5,||8,60BC CA C ===︒， 所以||||cos6058cos6020BC CA BC CA ⋅=⋅︒=⨯⨯︒=．【正解】因为||5,||8BC CA ==，,180120BC CA C =︒-=︒， 所以||||cos ,58cos12020BC CA BC CA BC CA ⋅=⋅=⨯⨯︒=-．【错因分析】错解的原因在于没能正确地理解向量夹角的含义，题干中向量,BC CA 的起点不相同，所以它们的夹角并非角C ．如上图所示，其夹角应该是角C 的补角，即,BC CA =120°．【误区警示】在图形中求两个向量的数量积时，注意依据图形特点，分析向量夹角是相应线段所成的角还是该角的补角(以向量共起点为切入点)．6．对向量关系式表达的向量之间的相互关系判断错误【例6】已知向量(2,1),(,1)λ=--=a b ，且a 与b 的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是 ． 【错解】∵a 与b 的夹角为钝角，∴0⋅<a b ，即(2,1)(,1)210λλ--⋅=--<， ∴12λ>-．【正解】∵a 与b 的夹角为钝角，∴0⋅<a b ，即(2,1)(,1)210λλ--⋅=--<， ∴12λ>-．又当a 与b 反向时，夹角为180°，即||||⋅=-a b a b ，则22151λλ+=⋅+，解得2λ=． 应该排除反向的情形，即排除2λ=， 于是实数λ的取值范围为1(,2)(2,)2-+∞．【错因分析】a 与b 的夹角为钝角并不等价于0⋅<a b ，0⋅<a b 等价于a 与b 的夹角为钝角或180°．事实上，由a 与b 的夹角θ为钝角应得出1cos 0||||θ⋅-<=<a ba b ． 【误区警示】依据两向量夹角θ的情况，求向量坐标中的参数时，需注意当夹角为0°时，cos 10θ=>;当夹角为180°时，cos 10θ=-<，这是容易忽略的地方．1．已知平面向量a =（1，1），b =（x ，–3），且a ⊥b ，则|2a +b |=A 26B ．32C ．35D 172．已知向量a ，b 满足|a |=1，a ⊥b ，则a –2b 在向量a 上的投影为A ．–1B ．1C ．277 D ．773．若|a |=|b |=|a •b |，则b 与a +b 的夹角为A ．30°B ．60°C ．150°D ．120°4．设|a |=4，|b |=3，夹角为60°，则|a +b |等于A ．37B ．13C 37D 135．已知向量a ，b 的夹角为60°，且21==，a b ，则-a b 与2+a b 的夹角等于A ．150°B ．90°C ．60°D ．30°6．若向量a ，b 的夹角为π3，且|a |=4，|b |=1，则|4-a b |= A ．2 B ．3C ．4D ．57．已知a 与b 均为单位向量，它们的夹角为60°，则|a –3b |=A ．23B ．13C ．6D ．78．已知向量AB =（1，1），AC =（2，3），则下列向量中与BC 垂直的是A ．a =（3，6）B ．b =（8，–6）C ．c =（6，8）D ．d =（–6，3）9．已知向量a =（1，x ），b =（2x +3，–x ）（x ∈R ）． （1）若a ⊥b ，求x 的值； （2）若a ∥b ，求|a –b |．10．在直角△ABC 中，AB =（2，3），AC =（1，k ），求实数k 的值．11．已知向量a=（λ，–2），b=（–3，5），若向量a与b的夹角为钝角，求λ的取值范围．12．（2018•新课标Ⅱ）已知向量a，b满足|a|=1，a·b=–1，则a•（2a–b）= A．4 B．3C．2 D．013．（2018•浙江）已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为π3，向量b满足2b–4e•b+3=0，则|a–b|的最小值是A3 1 B3 C．2 D．2314．（2018•天津）如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=120°，AB=AD=1．若点E 为边CD上的动点，则AE BE⋅的最小值为A．2116B．32C．2516D．315．（2017•新课标Ⅱ）设非零向量a，b满足|a+b|=|a–b|则A．a⊥b B．|a|=|b| C．a∥b D．|a|>|b|16．（新课标Ⅲ）已知向量BA=（123），BC=3，12），则∠ABC=A．30°B．45°C．60°D．120°17．（新课标Ⅱ）已知向量a=（1，m），b=（3，–2），且（a+b）⊥b，则m= A．–8 B．–6C．6 D．818．（山东）已知非零向量m，n满足4|m|=3|n|，cos<m，n>=13．若n⊥（t m+n），则实数t的值为A．4 B．–4C．94D．–9419．（2018•上海）在平面直角坐标系中，已知点A（–1，0）、B（2，0），E、F是y轴上的两个动点，且|EF|=2，则AE BF⋅的最小值为___________．20．（2018•江苏）在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y=2x上在第一象限内的点，B（5，0），以AB为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若AB CD ⋅=0，则点A 的横坐标为___________． 21．（2018•北京）设向量a =（1，0），b =（–1，m ）．若a ⊥（m –a b ），则m =___________． 22．（2017•新课标Ⅰ）已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则|a +2b |=__________．23．（2017•山东）已知e 1，e 2是互相垂直的单位向量，若123-e e 与e 1+λe 2的夹角为60°，则实数λ的值是__________．1 2 3 4 5 6 7 8 12 13 14 15 16 17 18 ABBCCCDDBAAAADB1．【答案】A【解析】∵平面向量a =（1，1），b =（x ，–3），且a ⊥b ，∴a ·b =x –3=0，解得x =3，2a +b =（5，–1），|2a +b 25126+A ． 2．【答案】B【解析】设向量2-a b 与a 的夹角为θ，则：cos θ=()21|2||||2|-⋅=--a a b a b a b a，∴2-a b 在向量a 上的投影为：2cos 1θ-=a b ．故选B ． 3．【答案】B【解析】∵|a |=|b |=|a +b |，∴由向量加法平行四边形法则得到由两个向量为邻边组成的四边形是菱形，菱形的一条对角线同边相等，∴夹角是π3，故选B ． 4．【答案】C【解析】∵|a |=4，|b |=3，夹角为60°，∴()22+=a b a +2a •b +2b =42+2×4×3×cos60°+32=37，∴|a +b 37．故选C ．6．【答案】C【解析】向量a ，b 的夹角为π3，且|a |=4，|b |=1，可得a •b =4×1×cos π3=4×12=2，则|4-a b |=222(4)816-=-⋅+a b a a b b =168216-⨯+，故选C ． 7．【答案】D【解析】∵a 与b 均为单位向量，它们的夹角为60°，∴23-=a b 2269-⋅+=a a b b 11611972-⨯⨯⨯+=，∴|a –3b 7，故选D ．8．【答案】D【解析】根据题意，向量AB =（1，1），AC =（2，3），则–BC AC AB ==（1，2）．对于A ，a =（3，6），a •BC =1×3+2×6=15≠0，即a 与BC 不垂直，A 不符合题意；对于B ，a =（8，–6），a •BC =1×8+2×（–6）=–4≠0，即a 与BC 不垂直，B 不符合题意；对于C ，a =（6，8），a •BC =1×6+2×8=22≠0，即a 与BC 不垂直，C 不符合题意；对于D ，a =（–6，3），a •BC =1×（–6）+2×3=0，即a 与BC 垂直，D 符合题意．故选D ．9．【解析】（1）∵a ⊥b ，∴a ·b =2x +3–x 2=0，解得x =–1，3． （2）∵a ∥b ，∴x （2x +3）+x =0，解得x =0，–2．x =0时，a =（1，0），b =（3，0），a –b =（–2，0），则|a –b |=2．x =–2时，a =（1，–2），b =（–1，2），a –b =（2，–4），则|a –b 222(4)+-5． 10．【解析】∵AB =（2，3），AC =（1，k ），∴BC =（–1，k –3）．若A 为直角，则AB •AC =2+3k =0，解得k =–23．若B 为直角，则AB •BC =–2+3（k –3）=0，解得k =113． 若C 为直角，则AC •BC =–1+k （k –3）=0，解得k =3132±． 综上可得，k =–23或113或313±．11．【解析】由题意可得a 与b 不共线且⋅a b <0，∴235λ-≠-，且–3λ–10<0，求得λ≠65且λ>–103，即λ的取值范围为{λ|λ>–103，且λ≠65}．12．【答案】B【解析】向量a ，b 满足|a |=1，a ·b =–1，则a •（2-a b ）=22–⋅a a b =2+1=3，故选B ． 13．【答案】A【解析】由2b –4e •b +3=0，得()()30-⋅-=b e b e ，∴（-b e ）⊥（3-b e ），如图，不妨设()10=，e ，则b 的终点在以（2，0）为圆心，以1为半径的圆周上，又非零向量a 与e 的夹角为π3，则a 的终点在不含端点O 的两条射线y =3x ±（x >0）上．不妨以y =3x 为例，则|a –b |的最小值是（2，0）到直线30x y -=的距离减1．即2313131-=-+．故选A ．14．【答案】A【解析】如图所示，以D 为原点，以DA 所在的直线为x 轴，以DC 所在的直线为y 轴，过点B 做BN ⊥x 轴，过点B 做BM ⊥y 轴，∵AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD =120°，AB =AD =1，∴AN =AB cos60°=12，BN =AB sin60°=32，∴DN =1+1322=，∴BM =32，∴CM =MB tan30°=32，∴DC =DM +MC =3，∴A （1，0），B （32，3），C （0，3），设E （0，m ），∴AE =（–1，m ），BE =（–32，m –3），0≤m ≤3，∴32AE BE ⋅=+m 2–3m =（m –3）2+33–216=（m –3）2+2116，当m =3时，取得最小值为2116．故选A ．15．【答案】A【解析】∵非零向量a ，b 满足|a +b |=|a –b |，∴22()()+=-a b a b ，解得a ·b =0，∴a ⊥b ．故选A ． 16．【答案】A【解析】333BA BC ⋅==1BA BC ==，∴3cos BA BC ABC BA BC⋅∠==．又0°≤∠ABC ≤180°，∴∠ABC =30°．故选A ．19．【答案】–3【解析】根据题意，设E （0，a ），F （0，b ），∴2EF a b =-=，∴a =b +2，或b =a +2，且()()12AE a BF b ==-，，，，∴2AE BF ab ⋅=-+，当a =b +2时，()22222AE BF b b b b ⋅=-++⋅=+-，∵b 2+2b –2的最小值为8434--=-，∴AE BF ⋅的最小值为–3，同理求出b =a +2时，AE BF ⋅的最小值为–3．故答案为：–3． 20．【答案】3【解析】设A （a ，2a ），a >0，∵B （5，0），∴C （52a +，a ），则圆C 的方程为（x –5）（x –a ）+y （y –2a ）=0．联立()()()2520y x x x a y y a =⎧⎨--+-=⎩，解得D （1，2）．∴()22321552224022a a a AB CD a a a a a ----⎛⎫⋅=--⋅-=+-= ⎪⎝⎭，，．解得a =3或a =–1．又a >0，∴a =3．即A 的横坐标为3．故答案为：3． 21．【答案】–1【解析】向量a =（1，0），b =（–1，m ）．m –a b =（m +1，–m ）．∵a ⊥（m –a b ），∴m +1=0，解得m =–1．故答案为：–1． 22．【答案】3【解析】解法一：向量a ，b 的夹角为60°，且|a |=2，|b |=1，∴()222+=a b a +4a •b +42b =22+4×2×1×cos60°+ 4×12=12，∴|a +2b 3解法二：根据题意画出图形，如图所示．结合图形OC OA =+OB =a +2b ；在△OAC 中，由余弦定理得|OC 2222222cos120+-⨯⨯⨯︒3|a +2b 33233 【解析】解法一：由题意，设e 1=（1，0），e 2=（0，1123-e e =3–1），e 1+λe 2=（1，λ）；又夹角为60°123-e e ）•（e 1+λe 2）3λ=2×21λ+cos60°3λ21λ+λ3． 解法二：e 1，e 2是互相垂直的单位向量，∴|e 1|=|e 2|=1，且e 1•e 2=0123-e e 与e 1+λe 2的夹角为60°， ∴（123-e e ）•（e 1+λe 2）=|123-e e |×|e 1+λe 2|×cos60°，即123e +（3λ–1）e 1•2e –λ22222112323=-⋅+e e e e e ×22211222λλ+⋅+e e e e ×123λ31+×21λ+×12，即3λ21λ+λ33．。
平面向量的数量积平面向量的数量积，也叫点积或内积，是向量运算中的一种重要操作。
它与向量的夹角以及向量的长度有着密切的关系。
在本文中，我们将详细介绍平面向量的数量积的概念、计算方法以及一些应用。
一、概念平面向量的数量积是指将两个向量的对应分量相乘，并将所得乘积相加而得到的数值。
设有两个平面向量A和A，它们的数量积记作A·A，计算公式为：A·A = AAAA + AAAA其中，AA和AA分别是向量A在A轴和A轴上的分量，AA和AA分别是向量A在A轴和A轴上的分量。
二、计算方法要计算平面向量的数量积，需要先求出两个向量在A轴和A轴上的分量，然后按照数量积的计算公式进行计算。
假设有两个向量A = (A, A)和A = (A, A)，它们的数量积为A·A，计算步骤如下：1. 计算A和A在A轴上的分量AA和AA，分别为A和A；2. 计算A和A在A轴上的分量AA和AA，分别为A和A；3. 将AA和AA、AA和AA进行相乘得到AA和AA；4. 将AA和AA相加，得到平面向量的数量积A·A。
三、性质平面向量的数量积具有以下性质：1. 交换律：A·A = A·A2. 数乘结合律：(AA)·A = A(A·A) = A·(AA)3. 分配律：(A + A)·A = A·A + A·A其中，A为任意实数，A、A和A为任意向量。
四、夹角与数量积的关系两个非零向量A和A的数量积A·A与它们夹角A的余弦函数之间存在着如下关系：A·A = ‖A‖‖A‖cosA其中，‖A‖和‖A‖分别为向量A和A的长度。
五、应用平面向量的数量积在几何和物理学中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用：1. 判断两个向量是否垂直：如果两个向量的数量积为零，即A·A = 0，那么它们是垂直的。
2. 计算向量的模：根据数量积的性质，向量的模可以通过向量与自身的数量积来计算。
