高中数学《平面向量的数量积及运算律的教案》优质课比赛教案设计

θab1.8平面向量的基本概念与线性运算（优质课）教案教学目标：1掌握平面向量数量积的概念、几何意义、性质、运算律及坐标表示. 2平面向量数量积的应用.教学过程：一、平面向量数量积的物理背景及定义：以物理学中的做功为背景引入问题：观察讨论做功的公式中左右两端的量分别是什么量？什么影响了功的大小？如何精确的给出数学中的定义？力做的功：W = |F |⋅|s |cos θ，θ是F 与s 的夹角1、两个非零向量夹角的概念：已知非零向量a 与b ，作OA ＝a ，OB ＝b ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫a 与b 的夹角说明：（1）当θ＝０时，a 与b 同向； （2）当θ＝π时，a 与b 反向； （3）当θ＝2π时，a 与b 垂直，记a ⊥b ； （4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的范围0︒≤θ≤180︒2、平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ叫a 与b 的数量积，记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a ||b |cos θ，（０≤θ≤π）并规定0与任何向量的数量积为03、两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量C①e⋅a = a⋅e =|a|cosθ②a⊥b⇔a⋅b = 0③a⋅a = |a|2或||aa a=④cosθ =||||a ba b⑤|a⋅b| ≤ |a||b|4、向量数量积满足的运算率：①a b b a=；②()a b c a c b c+=+；③()()()a b a b a bλλλ==二、向量数量积的坐标运算1、已知两个向量),(11yxa=，),(22yxb=,则ba⋅2121yyxx+=.2、设),(yxa=，则=||a.3、平面内两点间的距离公式如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11yx、),(22yx，那么=||a.4、向量垂直的判定两个非零向量),(11yxa=，),(22yxb=，则ba⊥⇔02121=+yyxx.5、两向量夹角的余弦co sθ ==⋅⋅||||baba222221212121yxyxyyxx+++=（πθ≤≤0）.6、向量在轴上的正射影：作图定义：|b|cosθ叫做向量b在a所在轴上的正射影正射影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时正射影为正值；当θ为钝角时正射影为负值；当θ为直角时正射影为0；当θ = 0︒时正射影为|b|；当θ = 180︒时正射影为-|b|类型一、平面向量数量积的运算： 例题1 已知下列命题:①()0a a +-=; ②()()a b c a b c ++=++; ③()()a b c a b c =; ④()a b c a c b c +=+ 其中正确命题序号是 ②、④ .点评: 掌握平面向量数量积的含义,平面数量积的运算律不同于实数的运算律.例题2 已知2,5,(1)||a b a b ==若; (2) a b ⊥;(3) a b 与的夹角为030,分别求a b .解(1)当 ||a b 时, a b =0cos025110a b =⨯⨯=或a b =0cos18025(1)10a b =⨯⨯-=-. (2)当a b ⊥时, a b =0cos902500a b =⨯⨯=.(3)当a b 与的夹角为030时, ab =0cos3025a b =⨯= 练习：已知0000(cos 23,cos 67),(cos 68,cos 22)a b ==,求a b解:0000cos 23cos68cos67cos 22a b =+= 00000cos 23sin 22sin 23cos 22sin 45+==点评: 熟练应用平面向量数量积的定义式求值,注意两个向量夹角的确定及分类完整. 类型二、夹角问题：例题3 (2005年北京)若1,2,a b c a b ===+,且c a ⊥,则向量a 与向量b 的夹角为 ( ) A. 030 B. 060 C. 0120 D. 0150 解:依题意2()0cos 0a a b a a b θ⋅+=⇒+= 1cos 2θ⇒=- 0120θ∴= 故选C 练习：① 已知2,3,7a b a b ==-=,求向量a 与向量b 的夹角.② 已知(1,2),(4,2)a b =-=,)a a b -与(夹角为θ,则cos θ= . 解: ① 7a b -=⇒ 2227a a b b -+= 31cos ,232a b a b a b⇒〈〉===⨯,故夹角为060. ②依题意得)(3,4)a b -=--(()cos 5a a b a a bθ-⇒===⨯-. 练习:已知,a b 是两个非零向量,同时满足a b a b ==-,求a a b +与的夹角.法一 解:将a b a b ==-两边平方得 221122a b a b ==, 2223a b a a b b a ∴+=++=则222221()32cos 23a aa ab a a b a a b a a b a aθ+++====++, 故a a b +与的夹角.为030.法二: 数形结合点评:注意两个向量夹角共起点,灵活应用两个向量夹角的两种求法. 类型三、向量模的问题例题4 已知向量,a b 满足6,4a b ==,且a b 与的夹角为060,求3a b a b +-和. 解:6,4a b ==,且a b 与的夹角为060 12a b ∴=22276a b a a b b ∴+=++==; 22369108a b a a b b -=-+==练习 :①(2005年湖北)已知向量(2,2),(5,)a b k =-=,若a b +不超过5,则k 的取值范围 ( ) A. [4,6]- B. [6,4]- C. [6,2]- D. [2,6]-②(2006年福建) 已知a b 与的夹角为0120,3a =,13a b += ,则b 等于( ) A 5 B. 4 C. 3 D. 1解: ①(3,2)5a b k +=+=≤,62k ⇒-≤≤ 故选C②2222a b a a b b +=++, 222cos12013a a b b ∴++=,解得4b =,故选B点评:涉及向量模的问题一般利用22a a a a ==,注意两边平方是常用的方法. 类型四、平面向量数量积的综合应用例题5 (2006年全国卷)已知向量(sin ,1),(1,cos ),22a b ππθθθ==-<<.(1) 若,a b θ⊥求 ; (2)求a b +的最大值 . 解:(1)若a b ⊥,则sin cos 0θθ+=,tan 1,()224πππθθθ⇒=--<<∴=-.(2) a b +==3,,22444πππππθθ-<<∴-<+<sin()(4πθ∴+∈4πθ∴=当时,a b +的最大值为1==.例题6已知向量(cos ,sin ),(cos ,sin )a b ααββ==,且,a b 满足3ka b a kb +=-,k R +∈ (1) 求证()()a b a b +⊥- ; (2)将a 与b 的数量积表示为关于k 的函数()f k ; (3)求函数()f k 的最小值及取得最小值时向量a 与向量b 的夹角θ. 解:(1)(cos ,sin ),(cos ,sin )a b ααββ==2222()()||||110a b a b a b a b ∴+-=-=-=-=, 故 ()()a b a b +⊥-(2)3ka b a kb +=-,2222223,121363,ka b a kb a b k ka b ka b k ∴+=-∴==∴++=-+又21,(0)4k a b k k +∴=> 故21(),(0)4k f k k k+=>.(3) 21111()2444442k k k f k k k k +==+≥=,此时当1,()k f k =最小值为12. 1cos 2a b a bθ∴==,量a 与向量b 的夹角θ 3π=一、选择题1．若a ·c ＝b ·c (c ≠0)，则( ) A ．a ＝b B ．a ≠b C ．|a |＝|b |D ．a 在c 方向上的正射影的数量与b 在c 方向上的正射影的数量必相等 [答案] D[解析] ∵a ·c ＝b ·c ，∴|a |·|c |cos<a ，c >＝|b |·|c |cos<b ，c >， 即|a |cos<a ，c >＝|b |cos<b ，c >，故选D.2．若|a |＝4，|b |＝3，a ·b ＝－6，则a 与b 的夹角等于( ) A ．150° B ．120° C ．60° D ．30°[答案] B[解析] cos θ＝a ·b |a ||b |＝－64×3＝－12.∴θ＝120°.3．若|a|＝4，|b|＝2，a 和b 的夹角为30°，则a 在b 方向上的投影为( ) A ．2 B ． 3 C ．2 3 D ．4 [答案] C[解析] a 在b 方向上的投影为|a |cos<a ，b >＝4×cos30°＝2 3. 4．|m |＝2，m·n ＝8，<m ，n >＝60°，则|n |＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8[答案] D[解析] ∵m·n|m|·|n|＝cos<m ，n >，∴82|n |＝12，∴|n |＝8. 5．向量a 的模为10，它与x 轴的夹角为150°，则它在x 轴上的投影为( ) A ．－5 3 B ．5 C ．－5 D ．5 3[答案] A[解析] a 在x 轴上的投影为|a |·cos150°＝－5 3.6．若向量a 、b 满足|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则b·b ＋a·b 等于( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 [答案] C[解析] b·b ＋a·b ＝|b|2＋|a|·|b |cos<a ，b >＝4＋1＝5. 二、填空题7．已知向量a 和向量b 的夹角为30°，|a |＝2，|b |＝3，则向量a 和向量b 的数量积a ·b ＝____. [答案] 3[解析] a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝2×3×cos30° ＝2×3×32＝3. 8．若|a |＝6，|b |＝4，a 与b 的夹角为135°，则a 在b 方向上的投影为________． [答案] －3 2[解析] ∵|a|＝6，|b|＝4，a 与b 的夹角为135°， ∴a 在b 方向上的投影为|a|cos135°＝6×(－22)＝－3 2. 三、解答题9．已知正六边形P 1P 2P 3P 4P 5P 6的边长为2，求下列向量的数量积． (1)P 1P 2→·P 1P 3→； (2)P 1P 2→·P 1P 4→； (3)P 1P 2→·P 1P 5→； (4)P 1P 2→·P 1P 6→.[解析] (1)∵<P 1P 2→，P 1P 3>＝π6，|P 1P 3→|＝2 3.∴P 1P 2→·P 1P 3→＝|P 1P 2→|·|P 1P 3→|cos π6＝2×23×32＝6. (2)∵<P 1P 2→，P 1P 4→>＝π3，|P 1P 4→|＝4，∴P 1P 2→·P 1P 4→＝2×4×cos π4＝4 2.(3)∵<P 1P 2→，P 1P 5→>＝π2，∴P 1P 2→·P 1P 5→＝0.(4)∵<P 1P 2→，P 1P 6→>＝2π3，∴P 1P 2→·P 1P 6→＝2×2×cos 2π3＝－2._________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固一、选择题1．已知a ＝(2,1)、b ＝(1，－2)，则向量a 与b 的夹角为( ) A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2[答案] D[解析] 由a ·b ＝2×1＋1×(－2)＝0，∴a ⊥b .2．已知点A (1,2)、B (2,3)、C (－2,5)，则AB →·AC →等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 [答案] B[解析] AB →＝(1,1)，AC →＝(－3,3)，AB →·AC →＝1×(－3)＋1×3＝0.3．已知A 、B 、C 是坐标平面上的三点，其坐标分别为A (1,2)、B (4,1)、C (0，－1)，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．以上均不正确[答案] C[解析] AB →＝(3，－1)，AC →＝(－1，－3)， AB →·AC →＝3×(－1)＋(－1)×(－3)＝0，且|AB →|＝|AC →|＝10.∴△ABC 为等腰直角三角形．4．已知a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ的值为( ) A ．－17B ．17C ．－16D ．16[答案] A[解析] ∵a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)， ∴λa ＋b ＝(－3λ－1,2λ)a －2b ＝(－3,2)－2(－1,0)＝(－1,2)， 由(λa ＋b )⊥(a －2b )， 得4λ＋3λ＋1＝0，∴λ＝－17.5．已知向量a ＝(2,1)，a ·b ＝10，|a ＋b |＝52，则|b |＝( ) A ． 5 B ．10 C ．5 D ．25 [答案] C[解析] ∵|a ＋b|2＝a 2＋2a·b ＋b 2 ＝5＋20＋b 2＝50，∴b 2＝25，∴|b |＝5.6．(2014·重庆理，4)已知向量a ＝(k,3)、b ＝(1,4)、c ＝(2,1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝( ) A ．－92B ．0C ．3D ．152[答案] C[解析] 本题考查了平面向量的坐标运算与向量的垂直，因为2a －3b ＝(2k －3，－6)，又因为(2a －3b )⊥c ，所以，(2a －3b )·c ＝0，即(2k －3，－6)·(2,1)＝0，∴4k －6－6＝0，解得k ＝3，本题根据条件也可以转化为2a ·c －3b ·c ＝0化简求解．二、填空题7．(2014·安徽宿州市朱仙庄煤矿中学高一月考)已知向量a ＝(－4,3)、b ＝(－3,4)，b 在a 方向上的投影是________．[答案]245[解析] b 在a 方向上的投影为|b |cos 〈b ，a 〉＝a ·b |a |＝(－4)×(－3)＋3×45＝245.8．设向量a ＝(1,2m )，b ＝(m ＋1,1)，c ＝(2，m )，若(a ＋c )⊥b ，则|a |＝________. [答案]2[解析] a ＋c ＝(3,3m )，∵(a ＋c )⊥b ， ∴(a ＋c )·b ＝0，即(3,3m )·(m ＋1,1)＝0， ∴3(m ＋1)＋3m ＝0,6m ＋3＝0，∴m ＝－12，∴a ＝(1，－1)，∴|a |＝ 2. 三、解答题9．已知A (2,3)、B (5,1)、C (9,7)、D (6,9)四点，试判断四边形ABCD 的形状． [解析] ∵AB →＝(3，－2)，DC →＝(3，－2)，∴AB →＝DC →. 又BC →＝(4,6)，∴AB →·BC →＝3×4－2×6＝0，∴AB →⊥BC →.∵|AB →|＝9＋4＝13，|BC →|＝16＋36＝213，∴|AB →|≠|BC →|， 故四边形ABCD 是矩形．能力提升一、选择题1．(2014·山东文，7)已知向量a ＝(1，3)、b ＝(3，m )，若向量a 、b 的夹角为π6，则实数m ＝( )A ．2 3B ． 3C ．0D ．－ 3[答案] B[解析] 本题考查向量的坐标运算及数量积． a ·b ＝3＋3m ＝|a |·|b |·cos π6＝2×9＋m 2×32.解得，m ＝ 3. 2．已知m ＝(1,0)、n ＝(1,1)，且m ＋k n 恰好与m 垂直，则实数k 的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．1或－1 D ．以上都不对[答案] B[解析] m ＋k n ＝(1,0)＋k (1,1)＝(1＋k ，k )， ∵m ＋k n 与m 垂直，∴(1＋k )×1＋k ×0＝0，得k ＝－1.3．若向量a ＝(1,2)、b ＝(1，－1)，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于( )A ．－π4B ．π6C ．π4D ．3π4[答案] C[解析] 本题考查了向量的坐标运算．∵a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)，则2a ＋b ＝(3,3)，a －b ＝(0,3)，则cos<2a ＋b ，a －b >＝3×0＋932·3＝22，∴2a ＋b ，a －b ＝π4.4．已知a ＝(2,4)，则与a 垂直的单位向量的坐标是( ) A ．⎝⎛⎭⎫55，－255或⎝⎛⎭⎫－55，－255 B ．⎝⎛⎭⎫55，－255或⎝⎛⎭⎫－55，255 C ．⎝⎛⎭⎫255，－55或⎝⎛⎭⎫－255，－55 D ．⎝⎛⎭⎫－255，55或⎝⎛⎭⎫255，－55 [答案] D[解析] 设与a 垂直的单位向量的坐标是(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝12x ＋4y ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－255y ＝55，或⎩⎨⎧x ＝255y ＝－55.二、填空题5．(2014·湖北理，11)设向量a ＝(3,3)、b ＝(1，－1)，若(a ＋λb )⊥(a －λb )，则实数λ＝________. [答案] ±3[解析] 因为a ＋λb ＝(3＋λ，3－λ)，a －λb ＝(3－λ，3＋λ)，又(a ＋λb )⊥(a －λb )，所以(a ＋λb )·(a －λb )＝(3＋λ)(3－λ)＋(3－λ)(3＋λ)＝0，解得λ＝±3.6．(2014·四川文，14)平面向量a ＝(1,2)、b ＝(4,2)、c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________.[答案] 2[解析] 本题考查了平面向量的坐标运算、数量积等基础知识c ＝m a ＋b ＝(m ＋4,2m ＋2)，由题意有：a·c |a||c |＝b·c|b||c|即：a·c |a|＝b·c|b|，代入得：m ＋4＋4m ＋45＝4m ＋16＋4m ＋420，解得m ＝2.三、解答题7．设a ＝(4，－3)、b ＝(2,1)，若a ＋t b 与b 的夹角为45°，求实数t 的值．[解析] a ＋t b ＝(4，－3)＋t (2,1)＝(4＋2t ，t －3)，(a ＋t b )·b ＝(4＋2t ，t －3)·(2,1)＝5t ＋5，|a ＋t b |＝(4＋2t )2＋(t －3)2＝5(t ＋1)2＋20，由(a ＋t b )·b ＝|a ＋t b ||b |cos45°，得5t ＋5＝522(t ＋1)2＋4， 即t 2＋2t －3＝0，解得t ＝－3或t ＝1.经检验知t ＝－3不符合题意，舍去．所以t ＝1.8．已知a ＝(1,2)，b ＝(1，λ)分别确定λ的取值范围，使得：(1)a 与b 夹角为90°；(2)a 与b 夹角为钝角；(3)a 与b 夹角为锐角．[解析] 设<a ，b >＝θ，(1)由a ⊥b 得λ＝－12. (2)cos θ＝1＋2λ5(1＋λ2)，由cos θ<0且 cos θ≠－1得λ<－12. (3)由cos θ>0且cos θ≠1，得λ>－12，且λ≠2. 9．已知a ＝(3,4)、b ＝(4,3)，求x 、y 的值使(x a ＋y b )⊥a ，且|x a ＋y b |＝1.[解析] ∵a ＝(3,4)，b ＝(4,3)，∴x a ＋y b ＝(3x ＋4y,4x ＋3y )．又(x a ＋y b )⊥a ，∴(x a ＋y b )·a ＝0，∴3(3x ＋4y )＋4(4x ＋3y )＝0，即25x ＋24y ＝0，①又|x a ＋y b |＝1，∴|x a ＋y b |2＝1，∴(3x ＋4y )2＋(4x ＋3y )2＝1.整理得25x 2＋48xy ＋25y 2＝1，即x (25x ＋24y )＋24xy ＋25y 2＝1.② 由①②有24xy ＋25y 2＝1，③ 将①变形代入③可得y ＝±57. 当y ＝57时，x ＝－2435， 当y ＝－57时，x ＝2435.所以⎩⎨⎧ x ＝2435y ＝－57或⎩⎨⎧ x ＝－2435y ＝57.。

高一数学平面向量的数量积和运算律［教学目标］ 使学生掌握数量积和几何意义正确灵活运用数量积的运算律。

［重点］ 数量积的定义和几何意义。

［难点］ 向量的夹角、数量积的性质 ［教学过程］ 一. 向量的夹角设OA a OB b →=→→=→，都是非零向量，称∠AOB 为a b →→与夹角θπ∈[]0，θ＝0°时，a b →→与方向相同 θ=→→180°时，与a b 方向相反θ=→→→→90°时，与垂直，记作：⊥a b a b二. 向量积已知非零a b →→、夹角为θ，则数量|→→a b |||cos ··α叫做a b →→与的数量积。

记作：a b a b →→=→→··||||cos α规定：0→的任一a →的数量积为0，即00→→=·a几何意义：把||cos b →·θ叫做b a →→在方向上的投影。

几何意义：a →的长度与b →在a →方向上投影的乘积。

四. 性质：设a b →→、为非零向量，夹角为θe →是与b →同向的单位向量1. a e e a a →→=→→=→···||cos θ2. a b a b →→⇔→→=⊥·03. a b →→与同向，a b a b →→=→→·||||反向 a b a b →→=-→→·|||| a a a a →→=→=→·||22||a a →=→24. cos ||||θ=→→→→a ba b ·5. ||||||a b a b →→≤→→·五. 运算律1. a b b a →→=→→··2. ())()λλλa b a b a b →→=(→→=→→···设a b →→、夹角为θ，λθa b →→与夹角为'①λ>0，θθ'=()||||cos 'λλθa b a b →→=→→··· =→→λθ(||||cos )a b②λλ=→→=00()a b ·③λθπθλλπθ<=-→→=→→-0，，···'()||||cos()a b a b=-→→=→→||||||cos ||||cos λθλθa b a b ····设a b b a →→→→、夹角为，与夹角为θλθ'①λθθ>=0，'a b a b →→=→→···()||||cos 'λλθ =→→=→→λθλ||||cos ()a b a b ··②λλ=→→=00，·()b a③λθπθ<=-0，'()||||cos()λλπθb a b a →→=→→-···=-→→=→→=→→||||||cos ||||cos ()λθλθλa b a b a b ···cos ||||||||θ=→→→→=→→=a ba b a a ··121222∴θπ=3例1. ||||a b a b →=→=→→2345，，、夹角为° 求a b a b →+→→+→λλ与夹角为锐角时，λ的范围。

●（一）、新课引入——为什么定义平面向量数量积 在物理学中学过功的概念，一个物体在力F 的作用下产生位移S ，那么力F 所作的功W=FScos θ。

思考：W 是什么量？F 和S 是什么量？和向量有什么关系？W 是标量（实数），F 和S 是矢量（向量）这个式子建立了实数和向量之间的关系，是实数和向量互相转化的桥梁。

我们学过的向量运算a b,a b,a +-λ结果都是向量。

因此定义一个新的运算，不仅是物理学的需要，也是数学建立起实数和向量两个不同领域关系的需要。

●（二）、新课学习★新课学习阶梯一 ——怎么定义平面向量数量积 思考：模仿物理学功的定义：a b a b cos ⋅=θ思考：由数学中对称的思想，有余弦出没的地方就少不了正弦的陪伴，可否定义 a *b a b sin =θ，有什么几何意义？引导学生阅读课本P118，找出数学定义的特点：针对两个非零向量定义，规定零向量与任意向量的数量积为0。

1．两个非零向量夹角的概念 已知非零向量a 与b ，作OA ＝a ，OB ＝b ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫a 与b 的夹角（右图的夹角分别是什么） 2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ 叫a 与b 的数量积，记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a ||b |cos θ，（０≤θ≤π）并规定0与任何向量的数量积为0 思考：功怎么用数量积表示：F S ⋅数学的定义从实践中来，又回到实践指导实践。

★新课学习阶梯二 ——怎么全方位认识这个定义学习数学两手都要硬，一手抓代数、一手抓几何，渗透数形结合的思想方法，而向量恰好是用量化的方法研究几何问题的最佳工具。

1几何意义：“投影”的概念：作图A BO ab θ AB O a b θ定义：|b |cos θ 叫做向量b 在a 方向上的投影思考：投影是否是长度？投影是否是向量？投影是否是实数？投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ = 0︒时投影为 |b |；当θ = 180︒时投影为 -|b |几何意义：数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积2．代数性质（两个向量的数量积的性质）：（1）两个非零向量a 与b ，a ⊥b ⇔ a ⋅b= 0（此性质可以解决几何中的垂直问题）；（2）两个非零向量a 与b ，当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |（此性质可以解决直线的平行、点共线、向量的共线问题）；（3）cos θ =||||a b a b ⋅（此性质可以解决向量的夹角问题）； （4）a ⋅a = |a |2，||a a a =⋅，a ba b cos ⋅=θ（此性质可以解决长度问题即向量的模的问题）；（5）|a ⋅b | ≤ |a ||b |（此性质要注意和绝对值的性质区别，可以解决不等式的有关问题）；3．任何一种运算都满足一定的运算律，以方便运算，数量积满足哪些算律？ 实数的运算律向量数量积运算律 （交换律） ab=baa b?b a ⋅⋅ √ （结合律）(ab)c=a(bc)(a b)c?a (b c)⋅⋅⋅⋅ × （分配律）a(b+c)=ab+aca (b c)?a b ac ⋅+⋅+⋅ √ (a)b?(a b)?a (b)λ⋅λ⋅⋅λ √思考：运用对比联想的思想方法猜测向量数量积保留了实数哪些运算律，变异了哪些运算律？课下对成立的运算律给出证明，对不成立的运算律举出反例。

2023高中数学平面向量的数量积教案范文2020高中数学平面向量的数量积教案范文一一、教学内容分析1、教学主要内容(1)平面向量数量积及其几何意义(2)用平面向量处理有关长度、角度、直垂问题2、教材编写特点本节是必修4第二章第3节的内容，在教材中起到层上启下的作用。

3、教学内容的核心教学思想用数量积求夹角，距离及平面向量数量积的坐标运算，渗透化归思想以及数形结合思想。

4、我的思考本节数学的目标为让学生掌握平面向量数量积的定义，及应用平面向量数量积的定义处理相关夹角距离及垂直的问题。

因此，让学生们学会把数学问题转化到图形中，及能在图形中把图形转化成相关的数学问题尤其重要。

二、学生分析1、在学平面向量的数量积之前，学习已经认识并会找向量的夹角，及用坐标表示向量的知识。

因此，对于a·b=∣b∣︳a︴cosθ(θ=)，容易进行相应的简单计算，但对于理解这个式子上存在一定的问题，因此，需把a·b=∣a∣∣b∣ cosθ转化到图形a·b=∣OM∣·∣OB∣=∣b∣cosθ∣a∣即a·b=∣a∣∣b∣cosθ理解并记忆。

对于cosθ= ，等的变形应用，同学们甚感兴趣。

2、我的思考对于基础薄弱的学生而言，学习本节知识，在处理例题成练习上，计算量不易过大。

三、学习目标1、知识与技能(1)掌握平面向量数量积及其几何意义。

(2)平面向量数量积的应用。

2、过程与方法通过学生小组探究学习，讨论并得出结论。

3、情感态度与价值观培养学生运算推理的能力。

四、教学活动内容师生互动设计意图时间 1、课题引入师：请同学请回忆我们所学过的相关同里的运算。

生：加法、减法，数乘师：这些运算所得的结果是数还是向量。

生：向量。

师：今天我们来学习一种有关向量的新的运输，数里积(板书课题) 由旧知引出新知，让学生知道我们学习是层层深入，知识永不止境，从而把学生引入到新的课程学习中来。

3min 2、平面向里的数量积定义师：平面向星数量积(内积或点积)的定义：已知两个非零向星a·b，它们的夹角是θ，则数量∣a∣·∣b∣cosθ叫a与b的数量积，记作a·b，即a·b=∣a∣∣b∣cosθ，注：①a·b≠a×b≠ab②O与任何向量的数里积为O。

平面向量数量积及运算律教案一、教学目标1. 理解平面向量的概念，掌握向量的表示方法。

2. 掌握平面向量的数量积运算，了解数量积的性质和运算律。

3. 能够运用数量积解决实际问题，提高解决问题的能力。

二、教学重点与难点1. 教学重点：平面向量的概念，数量积的运算律。

2. 教学难点：数量积的计算和应用。

三、教学方法1. 采用讲授法，讲解平面向量的概念和数量积的运算律。

2. 利用多媒体演示向量的图形，帮助学生直观理解向量的概念。

3. 运用例题解析，引导学生掌握数量积的计算方法。

四、教学准备1. 教学课件：平面向量数量积及运算律相关内容。

2. 练习题：针对本节课内容的练习题。

3. 投影仪：展示课件和例题。

五、教学过程1. 导入新课：回顾平面向量的概念，引导学生思考向量的数量积。

2. 讲解向量的表示方法，介绍向量的图形表示。

3. 讲解数量积的定义和计算方法，引导学生理解数量积的意义。

4. 讲解数量积的性质和运算律，引导学生掌握数量积的运算规则。

5. 例题解析：运用数量积解决实际问题，巩固所学知识。

6. 课堂练习：学生自主完成练习题，检验学习效果。

7. 总结本节课内容，布置课后作业。

8. 课后反思：根据学生反馈，调整教学方法，提高教学质量。

六、课后作业1. 复习平面向量的概念和数量积的运算律。

2. 完成练习题，巩固所学知识。

3. 思考实际问题，运用数量积解决。

七、教学评价1. 学生课堂参与度：观察学生在课堂上的发言和提问情况。

2. 学生练习题完成情况：检查学生的作业，评估掌握程度。

3. 课后反馈：了解学生对课程内容的掌握情况，发现问题及时调整。

八、教学反思根据学生的学习情况和反馈，对教学方法进行调整，以提高教学效果。

在讲解过程中，尽量生动形象，便于学生理解和记忆。

关注学生的个体差异，因材施教，使每个学生都能在课堂上得到充分的锻炼。

九、课时安排本节课计划用2课时完成，第一课时讲解平面向量的概念和数量积的运算律，第二课时进行例题解析和课堂练习。

《向量的数乘运算及其几何意义》教学设计一、教学分析向量具有丰富的实际背景和几何背景，向量既有大小，又有方向.本节学习向量的数乘运算及其几何意义.向量数乘运算以及加法、减法统称为向量的三大线性运算，向量的数乘运算其实是加法运算的推广及简化.教学时从加法入手，引入数乘运算，充分体现了数学知识之间的内在联系.实数与向量的乘积仍然是一个向量，既有大小，又有方向.特别是方向与已知向量是共线向量，进而引出共线向量定理.这样平面内任意一条直线l 就可以用点A和某个向量a 表示了.共线向量定理是本章节的重要的内容，应用相当广泛，且容易出错，尤其是定理的前提条件：向量a 是非零向量.共线向量的应用主要用于证明点共线或线平行等，且与后学的知识有着密切的联系.二、教学目标1、知识与技能通过经历探究数乘运算法则及其几何意义的过程，掌握实数与向量积的定义；理解实数与向量积的几何意义；掌握实数与向量积的运算律.2、过程与方法通过师生互动理解两个向量共线的等价条件，能够运用两向量共线条件判定两向量是否平行，进而判定点共线或直线平行.3、情感态度与价值观通过探究，体会类比迁移的思想方法，渗透研究新问题的思想和方法（从特殊到一般、分类讨论、转化化归、观察、猜想、归纳、类比、总结等）；培养创新能力和积极进取精神；通过解决具体问题，体会数学在实际生活中的重要作用.四、教学重难点教学重点：1．实数与向量积的意义及其几何意义； 2．实数与向量积的运算律；3．两个向量共线的等价条件及其运算. 教学难点：对向量共线的等价条件的理解以及运用. 五、教具选取三角板、投影仪、多媒体辅助教学. 六、教学过程 1、导入新课：一条细绳东西方向摆放，一只蚂蚁在细绳上做匀速直线运动，若蚂蚁向东方向一秒钟的位移对应的向量为a，那么它在同一方向上3秒钟的位移对应的向量怎样表示？是a 3吗？若蚂蚁向西3秒钟的位移对应的向量又怎样表示？是a3-吗?你能用图形表示吗？学生活动：独立思考.教师活动：提问、引导学生作答.设计意图：向量具有丰富的实际背景和几何背景，并且兼具“数”与“形”的特点，它在物理和几何中具有广泛的应用，故本节通过位移的实际背景引入新课. 2、推进新课：探究：已知非零向量a ，试作出a a a ++和)()()(a a a-+-+-，你能说明它的几何意义吗？学生活动：独立观察、思考、总结. 教师活动：提问、引导学生.设计意图：认识和理解向量数乘的几何意义必须从几何直观入手，即通过学生自己作出向量a a a++和)()()(a a a-+-+-，以及独立观察、思考，让学生对向量的伸缩有一个初步的感性认识，进而为下一步对向量的数乘的定义及其几何意义的理性aa a认识做好铺垫.问题1：你能通过上述的具体实例总结出更具一般性的向量数乘的定义吗？ 从而推广到一般的向量数乘的定义.我们规定实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作aλ，它的长度与方向规定如下：（1）a aλλ=；（2）当0>λ时，a λ的方向与a 一致；当0<λ时，a λ的方向与a的方向相反.由（1）可知当0=λ时，0=a λ.设计意图：通过引出向量的数乘的定义，让学生体会从特殊到一般的思想方法. 问题2：你能说明它的几何意义吗？ 学生活动：小组合作交流，学生单独作答.设计意图：从数学学科这个整体来看，数学的高度抽象性造就了数学的难懂、难学，解决这一问题的基本途径是顺应学习者的认知规律，在可能的情况下，尽量做到从直观入手，从具体开始，逐步抽象.通过师生互动，得到向量数乘的几何意义是把向量a 沿a 的方向或a的反方向放大λ倍或缩小λ倍.问题3：C 在线段AB 上，且25=CB AC ，则=AC AB ；=BC AB . 学生活动：独立思考并踊跃回答. 教师活动：评价.设计意图：通过简单口答题来巩固学生对向量数乘定义的理解及运用.通过活动过程的成功体验提高学生学习的积极性.问题4：数的运算和运算律是紧密相连的，运算律可以有效地简化运算.类比数的乘法的运算律，你能说出数乘向量的运算律吗？归纳总结： （1）a a)()(λμμλ=（2）a a aμλμλ+=+)(（3）b a b aλλλ+=+)(问题5：你能解释上述运算律的几何意义吗？归纳总结：)()(a a a-=-=-λλλ， b a b a λλλ-=-)(.问题6：你能从形式上描述向量数乘运算律与思考向量线性运算与以前学习过的哪些运算相类似？师生活动：通过类比得到向量数乘运算律；并且通过师生活动得到向量数乘运算、向量的加法、减法可以进行综合运算；实数运算中去括号、移项、提取公因式等可类比进行向量的线性运算.设计意图：数学中引进一个新的量，自然要看看它的运算及其运算律的问题.向量运算可以与学生熟悉的数的运算进行类比，从中得到启发.而数的运算和运算律是紧密相连的，运算律可以有效地简化运算.类比数的乘法的运算律引出数乘向量的运算律.向量具有明显的几何背景，所以向量的运算及运算律也具有明显的几何意义，尤其是涉及到长度、夹角的几何问题可以通过向量及其运算得到解决.这样了解向量数乘运算律的几何意义就有必要了. 3、例题讲解:例1．计算： 1.a 4)3(⨯-；2.)23()32(c b a c b a +---+. 变式练习：（1）计算：---+)(2)(3；（2）已知：0)(4)2(2)(3 =+---++b a x a x a x 求x.学生活动：独立完成，学生单独回答. 教师活动：提问、及时评价.设计意图：心理学认为：概念一旦形成，必须及时加以巩固，通过例1及巩固练习加深学生对数乘向量运算律的理解.解以向量作为未知数的方程可与求解实数方程类比.归纳总结：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意的向量b a ,，以及任意实数21,,μμλ，恒有b a b a2121)(λμλμμμλ±=±.设计意图：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.本节作为向量线性运算的最后一节，有必要综合认识向量线性运算.问题7：引入向量数乘运算后，你能发现数乘向量与原向量之间的位置关系吗？ 师生活动：（分析总结）对于向量)0(≠a a 、b ，如果有一个实数λ，使a b λ=，那么由向量数乘的定义知a与b 共线，且向量b 是向量)0( ≠a a 模的λ倍，而λ的正负由向量)0( ≠a a 、b 的方向所决定.反过来，已知向量a 与b 共线，0 ≠a ，且向量b 的长度是向量a的长度的μ倍，即a b μ=，那么当a 与b 同方向时，有a b μ=；当a与b 反方向时，有a b μ-=.从上述两方面可知归纳总结：共线向量定理：向量)0(≠a a 、b 共线，当且仅当有一个实数λ，使得a b λ=.问题8:1) a为什么要是非零向量?2) b可以是零向量吗?3) 怎样理解向量平行？与两直线平行有什么异同？ 学生活动：合作交流，独立作答. 教师活动：提问、引导、及时评价.设计意图：师生共同活动引出向量共线的定理；引导学生理解向量共线只需看这两个向量的方向相同或是相反，在向量)0( ≠a a 的前提下，向量)0(≠a a 、b 共线，当且仅当有一个实数λ，使得a b λ=；且实数λ的唯一性是由向量a和b 的模和方向同时决定.通过学生合作交流，促进学生合作的集体意识；通过学生独立作答，提高学生分析问题、解决问题的能力. 例2.如图，ABCD 的两条对角线相交于点M ，且b a==,，你能用b a ,表示,,,吗？师生互动：利用向量共线的定理及平行四 边形的性质定理，即平行四边形的对角线互相平分.∵b a AC AB AC+=+=， .b a-=-=结合平行四边形的性质：b a b a AC MA2121)(2121--=+-=-=，,212121b a +==.212121b a+-=-=-=设计意图：综合运用向量的加、减、数乘等向量的线性运算.尤其是应当注意到-=，-=从而可简化解题过程，并且在实际的解题中做到举一反三、融会贯通；通过例3的教学使学生明确：有了向量的线性运算，平面中的点、线段（直线）就可以得到向量表示，这是利用向量解决几何问题的重要步骤. 4、课堂作业（1）.在△ABC 中，已知D 是AB 边上的一点，若DB AD 2=，CB CA CD λ+=31，则λ的值为（ ）32.A31.B31.-C32.-D ,2121)(2121b a b a -=-==Aa（2.）计算：=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+)24()82(2131b a b a.（3）.若向量方程0)2(32 =--a x x ，则向量=x.（4）.根据下列各小题中的条件，分别判断四边形ABCD 的形状，并给出证明.（1）=； （2）BC AD 31=； （3）==,5、课堂小结一、①aλ的定义及运算律；②向量共线定理)0( ≠a ，⇔=a b λ 向量a与b 共线.二、定理的应用：（1）证明向量共线；（2）证明三点共线：⇒=λA 、B 、C 三点共线； （3）证明两直线平行. 三、你体会到了那些数学思想.特殊到一般，归纳，猜想，类比，分类讨论，等价转化等数学思想. 设计意图：1.知识性内容的总结，可以把课堂教学传授的知识尽快转化为学生的素质.2.运用数学方法，创新素质的小结能让学生更系统，更深刻地理解数学理想方法在解题中的地位和作用，并且逐渐培养学生的良好个性品质.3.由学生口头表述，不仅可以提高学生的综合概括能力，还能提高学生的口头表达能力. 6、课后作业P92 A 组习题11、12题。

平面向量的数量积及运算律一、教学目标1.正确理解平面向量的数量积的概念，能够运用这一概念求两个向量的数量积，并能根据条件逆用等式求向量的夹角；2.掌握平面向量的数量积的5条重要性质及运算律，并能运用这些性质解决有关问题；3.通过平面向量的数量积的概念，几何意义，重要性质及运算律的应用，培养学生的应用意识.二、教学重点，教学难点教学重点平面向量的数量积的概念、重要性质及运算律教学难点平面向量的数量积的重要性质及运算律的理解和应用.三、教具三角尺，实物投影仪，多媒体四、教学方法启发引导式本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的性质及运算律，然后通过习题加深学生对于平面向量数量积的认识.五、教学过程（一）设置情境复习：前面我们已经学过：向量的加法，减法，实数与向量的积。

它们有一个共同的特点，即运算的结果还是向量，但这些运算与实数的运算已有了很大的区别。

引入：在物理课中，我们学过功的概念，即如果一个物体在力F的作用下产生位移S，那么力F所做的功W可由下式计算：W＝｜F｜｜S｜cosθ（其中θ是F与S的夹角.)问：力F和位移S分别是什么量？功W呢?从力所做的功出发，我们引入向量数量积的概念.（二）讲授新课师：我们首先来学习平面内两个向量的夹角.1．平面向量的夹角： 已知非零向量a 与，作=，=，则∠AOB ＝θ(0≤θ≤π)叫向量a 与的夹角.θ A特殊：(1)当θ＝0时，a 与b 同向； (2)当θ＝π时，a 与反向； （3)当θ＝2π时，a 与b (4)注意在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的.（教师用教具演示）2、平面向量数量积定义：师：已知两个非零向量与，它们的夹角为θ，我们把θ叫做与b 的数量积（或内积），记作：b a ⋅，即：θb a =⋅规定：零向量与任意向量的数量积为0，即：00=⋅a注意：（1）b a ⋅表示数量而不表示向量，符号由θcos 决定；（2）符号“⋅”在数量积运算中既不能省略也不能用“⨯”代替（3）在运用数量积公式解题时,一定要注意向量夹角的取值范围是：1800≤≤θ 3、平面向量数量积的几何意义：θθ表示的几何意义是什么？生：如图①，过b 的终点B 作OA =a 的垂线段BB 1，垂足为B 1，则由直角三角形① 1 ② O AB (B 1) ab ③ O B OA B的性质得：|OB 1θ；同理：θ为钝角或直角也可作（如图②，③ ）。

平面向量的数量积教案一、教学目标：1. 理解平面向量的数量积的定义及其几何意义。

2. 掌握平面向量的数量积的计算公式及运算性质。

3. 学会运用平面向量的数量积解决实际问题。

二、教学内容：1. 平面向量的数量积的定义向量的数量积又称点积，是指两个向量在数量上的乘积。

对于平面向量a和b，它们的数量积定义为：a·b = |a||b|cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和b的模长，θ表示向量a和b之间的夹角。

2. 平面向量的数量积的几何意义（1）向量a和b的夹角为θ时，它们的数量积|a||b|cosθ表示在平行四边形法则下，向量a和b共同作用于某一点产生的合力的大小。

（2）向量a和b的夹角为90°时，它们的数量积为0，表示向量a和b垂直。

3. 平面向量的数量积的计算公式及运算性质（1）计算公式：a·b = |a||b|cosθ（2）运算性质：①交换律：a·b = b·a②分配律：a·(b+c) = a·b + a·c③数乘律：λa·b = (λa)·b = λ(a·b)三、教学重点与难点：1. 教学重点：平面向量的数量积的定义、几何意义、计算公式及运算性质。

2. 教学难点：平面向量的数量积的几何意义的理解及应用。

四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解平面向量的数量积的定义、几何意义、计算公式及运算性质。

2. 利用多媒体课件，展示平面向量的数量积的图形演示，增强学生的直观感受。

3. 结合例题，引导学生运用平面向量的数量积解决实际问题。

五、课后作业：1. 理解并掌握平面向量的数量积的定义、几何意义、计算公式及运算性质。

2. 完成课后练习题，巩固所学知识。

3. 思考如何运用平面向量的数量积解决实际问题。

六、教学案例与分析：1. 案例一：在平面直角坐标系中，有两个向量a = (3, 2)和b = (4, -1)，求向量a和b的数量积。

芯衣州星海市涌泉学校平面向量的数量积及运算律〔2〕教学目的：1.掌握平面向量数量积运算规律；2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算律解决有关问题；3.掌握两个向量一一共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题.教学重点：平面向量数量积及运算规律.教学难点：平面向量数量积的应用教学过程：一、复习引入：1．两个非零向量夹角的概念2．平面向量数量积〔内积〕的定义：3．“投影〞的概念：定义：|b|cos 叫做向量b 在a 方向上的投影。

4．向量的数量积的几何意义：数量积a b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b|cos 的乘积。

5．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量。

〔1〕e a=a e=|a|cos ； 〔2〕a b a b=0〔3〕当a 与b 同向时，ab=|a||b|；当a 与b 反向时，a b=|a||b|。

特例：a a=|a|2或者者a a a ⋅=||〔4〕cos =||||b a b a ⋅； C〔5〕|a b|≤|a||b|6．判断以下各题正确与否：1假设a=0，那么对任一向量b，有a b=0。

()2假设a0，那么对任一非零向量b，有a b0。

()3假设a0，a b=0，那么b=0。

()4假设a b=0，那么a、b至少有一个为零。

()5假设a0，a b=a c，那么b=c。

()6假设a b=a c，那么b=c当且仅当a0时成立。

()7对任意向量a、b、c，有(a b)c a(b c)。

()8对任意向量a，有a2=|a|2。

()二、讲解新课：平面向量数量积的运算律1．交换律：a b=b a2．数乘结合律：(λa)b=λ(a b)=a(λb)3．分配律：(a+b)c=a c+b c说明：〔1〕一般地，(a·ｂ)с≠a〔ｂ·с〕〔2〕a·с＝ｂ·с，с≠0a＝ｂ〔3〕有如下常用性质：a２＝｜a｜２，〔a＋ｂ〕〔с＋ｄ〕＝a·с＋a·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ(a＋ｂ)２＝a２＋2a·ｂ＋ｂ２三、讲解范例：例1a、b都是非零向量，且a+3b与7a5b垂直，a4b与7a2b垂直，求a与b的夹角。

§5.9 平面向量的数量积及运算律（一）教学目标：1．掌握两向量夹角概念及其取值范围； 2．掌握平面向量数量积的概念及重要性质；3．掌握向量a 在b 方向上的投影是|a |cos θ及a ·b 的几何意义； 4．掌握两向量共线及垂直的充要条件．教学重点：掌握平面向量数量积的概念及性质，两向量共线，垂直的充要条件． 教学难点：平面向量数量积的理解及简单运用．教学过程知识平台阅读教材P 116-117，理解任意两向量夹角的概念及平面向量数量积的几何意义，熟练理解向量数量积的重要性质．情景平台1．什么叫两向量的夹角？试作出下列每一组向量的夹角．2．已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，我们把 叫做a 和b 的数量积（或 ）记作 即 ，规定零向量与任一向量的数量积为 ．3．已知|p |=8，|q |=6，当p 和q 夹角60θ=时，p ·q = ，向量p 在q 方向上的投影为 ；当150θ=时，p ·q = ，向量p 在q 方向上的投影为 ；当0θ=时，p ·q = ，当90θ=时，p ·q = ，当180θ=时，p ·q = ． 【小结】1°两非零向量夹角的概念及范围（[0,]θπ∈）； 2°数量积定义．a ·b =|a ||b |cos θ（a ，b ≠0）注：①其结果是数量，不是向量，正负由θ的大小决定；②“·”不能省略，也不能用“×”代替； ③规定0与任一向量的数量积为0；④几何意义：表示a 的模与b 在a 上的投影的积．3°投影的定义．能力平台4．已知非零向量a 、b 共线，则a 与b 的夹角的余弦值是 ，且a ·b = ． 5．已知a ·b =6且向量a 在b 方向上的投影为3，则|b |= ． 6．若a ·b <0，则a 与b 的夹角范围是 ． 7．已知等边ABC △的边长为1，求AB BC AC BC +的值．8．如图，向量|a |=2，|b |=1，它们的夹角135θ=，求出a 在b 方向上的投影，并画图说明．【小结】1°进一步熟练掌握数量积的定义及夹角概念； 2°进一步理解投影的几何意义．作业：教材P 121习题5.6 T3，T4后记:aaabbbab a b。