2020高二数学10月月考试题文无答案

2024年10月深圳市盐田高级中学高二年级月考数学试卷班级：高二（ ）班 姓名： 命题人：俞兴保 审题人：陈斌一、单选题（共40分，每题5分）1．在空间直角坐标系中，点()2,1,4-关于y 轴对称的点坐标是（ ） A ．()2,1,4-B ．()2,1,4--C ．()2,1,4---D ．()2,1,4-2．已知正方体ABCD A B C D -''''的棱长为1，且AB a =，AD b =，AA c '=， 则()()4+223a b c a b c -⋅-+=（ ） A ．1B ．2C ．3D ．1-3．平行六面体1111ABCD A B C D -中，O 为11AC 与11B D 的交点，设1,,AB a AD b AA c ===，用,,a b c 表示BO ，则（ ） A ．12BO a b c =-+B ．12BO a b c =+-C ． 12BO a b c =-++D ．1122BO a b c =-++4．若平面,αβ的法向量分别为()()2,1,0,1,2,0a b =-=--，则α与β的位置关系是（ ）A ．平行B ．垂直C ．相交但不垂直D ．无法确定5．已知()()()1231,9,1,,3,2,0,2,1n n m n =-=-=，若{}123,,n n n 不能构成空间的一个基底，则m =（ ） A ．1B ．3C ．5D ．76．已知()()1,1,0,2,,a t b t t =-=，则b a -的最小值是（ ）A．1BC D 7．四棱锥P ABCD -，底面是平行四边形，(2,1,3),(2,1,0),(3,1,4)AB AD AP =-=-=-， 则这个四棱锥的底面积为（ ）A B ．C ．52D ．58．已知直线1l ，2l 的斜率分别为1k ，2k ，倾斜角分别为1α，2α，则“()12cos 0αα->”是“120k k >”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．充分必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件二、多选题（共18分，每题6分）9．已知向量()1,1,0a =，()0,1,1b =，()1,2,1c =，则下列结论正确的是（ ） A ．向量a 与向量b 的夹角为π6B ．()c a b ⊥-C ．向量a 在向量b 上的投影向量为110,,22⎛⎫⎪⎝⎭D ．向量c 与向量a ，b 共面 10．如图，直线1l ，2l ，3l 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，倾斜角分别为1α，2α，3α，则下列选项一定正确的是（ ）A ．132k k k <<B ．321ααα<<C ．231cos s c s co o ααα<<D ．321sin n s n si i ααα<<11．下列命题正确的是（ ）A ．若p 是平面α的一个法向量，,AB 是直线b 上不同的两点，则b α的充要条件 是0p AB ⋅=B ．已知,,A BC 三点不共线，对于空间中任意一点O ，若212555OP OA OB OC =++，则,,,P A B C 四点共面C ．已知()()1,1,2,0,2,3a b =-=，若ka b +与2a b -垂直，则34k =-D ．已知ABC 的顶点分别为()()()1,1,2,4,1,4,3,2,2A B C --，则AC 边上的高BD 的三、填空题（共15分，每题5分）12. 已知空间中的单位向量,,a b c ，其两两夹角均为60︒，则2a b c +-=_______ 13.如图,在平行四边形ABCD 中,AB=AC=1,∠ACD=90°,沿着它的对角线AC 将△ACD 折起, 当二面角B-AC-D 的大小是600时，则B 、D 的两点间距离为_______.14．下列说法正确的是 ．①直线()24y ax a a =-+∈R 恒过定点()2,4-；②若直线l 50my ++=的倾斜角为π3，则实数m 的值为1-； ③已知直线l 过点()2,4P ，且在x ，y 轴上截距相等，则直线l 的方程为60x y +-=或2y x =；④设过原点的直线l 的倾斜角为α，如果将l 绕坐标原点按逆时针方向旋转45︒，得到直线1l 的倾斜角是45α+︒或135α-︒．四、解答题（共77分）15．（13分）如图所示，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱AB 上的动点. （1）求证：11DA ED ⊥; （2）当1=2AE AB 时，求直线1DA 与平面1CED 成角的大小.16．（15分）在平面直角坐标系中有()0,3A ，()3,3B ，()2,0C ， (1)求直线AC 的一般方程；(2)在三角形ABC 中，求AB 边的高线方程； (3)若直线x m =将△ABC 面积两等分，求m 的值17．（15分）已知三棱柱ABC-A 1B 1C 1的所有棱长都为2,∠A 1AC=60°, 且平面A 1ACC 1⊥平面ABC ,点P ,Q 又分别是AB ,A 1C 1的中点, (1)求证：//PQ 平面11BCC B ； (2) 求点B 1到平面1A PQ 的距离.18. （17分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中， 190,1ABC AB BC BB ∠=︒===，E ，F ，G 分别是棱AB ，BC ，1BB 上的动点，且1AE BF B G ==． (1)求证：11A F C G ⊥；(2)若平面1EGC 与平面11AA B B 的夹角的余弦值为13，求BF ．19．（17分）如图，平行六面体1111ABCD A B C D -的所有棱长均为2，底面ABCD 为正方形，11π3D DA D DC ∠=∠=，点E 为1BB 的中点，点F 为1CC 的中点，动点P 在平面ABCD 内.(1)若AC 中点为O ，求证：1D O ⊥平面ABCD ；(2)若//FP 平面1D AE ，求线段CP 长度的最小值.1．A 2．C【分析】根据空间向量的数量积公式及运算律计算即可.【详解】根据题意知,,,90a b a c b c ===，则0a b a c b c ⋅=⋅=⋅=，所以原式=8a ⃗2−3b ⃗⃗2−2c ⃗2=8−3−2=3故选：C 3．D【分析】由平行六面体的性质和空间向量的线性运算即可求解； 【详解】如图： 由平行六面体的性质可得 ()()11111111122222BO BB B O AA BD AA AD AB c b a a b c =+=+=+-=+-=-++，故选：D. 4．B【分析】先判断法向量的位置关系，进而判断两平面的位置关系.【详解】∵()()2,1,0,1,2,0ab =-=--，则()()()2112000a b ⨯-+--==⨯+⨯⋅，∴a b ⊥，故αβ⊥.故选：B.5．A【分析】直接利用基底的定义和共面向量求出结果.【详解】若{}123,,n n n 不能构成空间的一个基底，123,,n n n ∴共面，∴存在,λμ，使123n n n λμ=+， 即1093212m λλμλμ-=+⎧⎪=-+⎨⎪=+⎩，解得131m λμ=-⎧⎪=⎨⎪=⎩，故选：A. 6．D【分析】根据空间向量的坐标运算，表示出b a -的坐标，再根据模的计算公式，即可求得答案.【详解】由题意知()()1,1,0,2,,a t b t t =-=，故()()2,,1,1,0(1,1,)b a t t t t t t -=--=+-，则(1)t b a +==-b a -的最小值是故选：D 7．B【分析】平行四边形面积公式，S =AB ∙AD ∙sin∠BAD ，利用向量数量积，求解cos∠BAD ，进而转换成sin∠BAD【详解】利用向量的数量积公式转换的夹角公 cos∠BAD =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗∙AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗||AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|∙|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√14∙√5=√5√14，sin∠BAD =√1−514=√914S =AB ∙AD ∙sin∠BAD =√14∙√5∙√914=3√5故选：B ．【点睛】本题考查了空间向量在立体几何中的应用，属于基础题． 8．C【分析】由题意首项得12ππ,0,,π22αα⎡⎫⎛⎫∈⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭，再结合必要不充分条件的定义、斜率与倾斜角的关系，两角差的余弦公式即可得解.【详解】由题意两直线均有斜率，所以12ππ,0,,π22αα⎡⎫⎛⎫∈⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭，若取122ππ,33αα==，则有()1202ππ1332cos cos αα⎛=⎫-= ⎪⎭->⎝，但122ππtan tan 3033k k ==-<；若12121212sin sin tan tan 0cos cos k k αααααα==>，又12sin sin 0αα>， 所以12cos cos 0αα>，而()121212cos cos cos sin sin 0αααααα-=+>， 综上所述，“()12cos 0αα->”是“120k k >”的必要而不充分条件. 故选：C. 9．BCD【分析】利用向量数量积的坐标表示得出向量夹角可判断A ；由向量相乘为0可得向量垂直B 正确；根据投影向量的定义可计算出投影向量为所以C 错误，c a b =+得出向量共面判断D.【详解】因为1011101b a ⋅=⨯+⨯+⨯=，所以cos ,1b a b a =， 可得221cos ,211b a ==++，则向量a 与向量b 的夹角为π3，故A 错误； 因为()()()()1,2,11,0,11120110c a b ⋅-=⋅-=⨯+⨯+⨯-=，所以()c a b ⊥-，即B 正确；根据投影向量的定义可知，向量a 在向量b 上的投影向量为()2111cos ,0,1,10,,222b a b a a b b b b⋅⎛⎫⋅⋅=== ⎪⎝⎭，所以C 正确； 由向量()1,1,0a =，()0,1,1b =，()1,2,1c =，可知c a b =+，向量c 与向量a ，b 共面， 所以D 正确.故选：BCD 10．ABC【分析】利用斜率与倾斜角的定义，结合图象判断即可得.【详解】由图可得1320k k k <<<，321ααα<<，cosα1<0<cosα2<cosα3故ABC 正确.故选：ABC. 11．BCD【分析】直接利用法向量和向量垂直的充要条件的应用判定A 的结论，利用共面向量的充要条件判断B 的结论，利用向量垂直的充要条件判定C 的结论，利用空间坐标中点到之直线的距离求解高BD 的值判定D 的结论．【详解】若p 是平面α的一个法向量，直线b 上有不同的两点A ，B ，当b α⊂时， 即使0p AB ⋅=，也不能说明//b α，故A 错误；若212555OP OA OB OC =++，则212()()()555OP OA OB OP OC OP -=-+-，所以12AP PB PC =+，所以,,,P A B C 四点共面，故B 正确； 由题意可得()(),2,23,22,0,1ka b k k k a b +=-++-=-，若ka b +与2a b -垂直，则()()22230ka b a b k k +⋅-=++=，解得34k =-，故C 正确；由题意可得(5,0,2),(4,3,0)AB AC ==-，则AC 边上的高BD 的长即为点B 到直线AC 的距离22AC BD AB AB AC ⎛⎫ ⎪=-⋅= ⎪⎝⎭D 正确． 故选：BCD. 12. √5【分析】利用模长公式，集合数量积的计算，平方后再开根号【详解】|a ⃗+2b ⃗⃗−c ⃗|=√(a ⃗+2b ⃗⃗−c ⃗)2=√a ⃗2+4b ⃗⃗2+c ⃗2+4a ⃗∙b ⃗⃗−2a ⃗∙c ⃗−4b ⃗⃗∙c ⃗=√1+4+1+4×12−2×12−4×12=√513．√2【分析】理解异面直线夹角与方向向量之间的关系，结合基底转换和模长公式即可计算结果.【详解】根据垂直关系，AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗与CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗的夹角，即为二面角B-AC-D 的平面角，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗+CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗所以|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√(BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)2=√1+1+1+2×(−12)=√214．②③④【分析】根据直线方程可得直线恒过定点判断①，由直线的斜截式可判断②，根据直线的斜率可判断③，分截距为0或不为0可求出直线方程判断④.【详解】直线()24R y ax a a =-+∈即直线()()24R y a x a =-+∈，当2x =时，4y =， 即直线()24R y ax a a =-+∈恒过定点()2,4，①错误；直线√3x +my +5=0，倾斜角为π3，斜率为k =−√3m =tan π3=√3，所以m =−1,②正确；因为直线l 过点()2,4P ，且在x ，y 轴上截距相等，当截距都为0时，直线l 方程为2y x =，当截距不为0时，可设直线方程为1x ya a +=，则241a a +=，即6a =，则直线方程为60x y +-=，所以直线l 的方程为2y x =或60x y +-=，③错正确.若倾斜角小于135°，逆时针旋转，倾斜角加45°，即α+45°；若倾斜大于135°，逆时针旋转45°，α＋45°大于180°，倾斜角为45°-（135°-α）=α-135° 故答案为：②③④ 15．（1）证明见解析；（2）12； 【分析】（1）连接1AD ，通过证明1DA ⊥平面1AED ，则可证明11DA ED ⊥； （2）建立空间直角坐标系，根据AEAB的值，计算平面1CED 的法向量，结合点到面的距离公式即可得出答案【详解】（1）如图所示：连接1AD ，因为AB ⊥平面11ADD A ，所以1AB DA ⊥，所以1AE DA ⊥， 又因为四边形11ADD A 为正方形，所以11AD DA ⊥，且1AE AD A =，所以1DA ⊥平面1AED ，所以11DA ED ⊥；（2）建立空间直角坐标系如图所示：E （1，12，0） 设平面1CED 一个法向量为(),,n x y z =， 又()()()()110,0,0,1,0,1,0,1,0,0,0,1D A C D ，所以()11,0,1DA =，CE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,−12,0), CD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,−1,1)，因为100CE n CD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，{x −12y =0−y +z =0,所以取x =1,所以法向量n ⃗⃗=(1,2,2) 所以|cos 〈DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,n⃗⃗〉|=|√2∙3|=√22，所以向量夹角为45°，所以线面夹角为45° 16．（1）3x+2y-6=0;；（2）x=2；（3）m =√3【分析】（1）斜截式求直线方程，化简即可（2）利用垂直关系，得出高线的斜率，再用点斜式方程求解（3）先由两直线的交点坐标的求法求得,D E 的坐标， 再结合三角形的面积公式求解即可. 【详解】解：（1）由题意的，直线AC 在x 轴和y 轴的截距分别为2和3，由截距式方程x2+y3=1，化简得3x +2y −6=0（2）直线AB 的斜率k AB =3−33−0=0 ，根据垂直关系可得，边AB 上的高线，斜率不存在，由于高线过点C （2，0），所以边AB 上的高线方程为x=2 （3）设直线x m =与边AB ，AC 分别交于点,D E ．由92ABCS=，得94AEDS =． 又直线AC 的方程为123x y +=，而点E 在边AC 上，故可设3,32m E m ⎛⎫- ⎪⎝⎭．因此，3||02mDE =>． 139224AEDm Sm =⋅⋅=，m ∴=17.（1）略；（2）2√155【分析】（1）利用中位线，判定面面平行关系，再转换成线面平行关系；（2）构建空间直角坐标系，计算平面A 1PQ 的法向量，结合点到面的距离公式进行求解 【详解】（1）取A 1B 1的中点M ，连接MQ ，MP在△A1B 1C 1中，A 1Q=QC 1，A 1M=MB 1，∴QM ∥B 1C 1在四边形MPBB 1中，MB 1=PB 且MB 1∥PB ，∴四边形MPBB 1是平行四边形，∴MP ∥BB 1，∵BB 1∩B 1C 1=B 1，BB 1⊆面BCC 1B 1，B 1C 1⊆面BCC 1B 1又∵MP ∩MQ=M ，MP ⊆面MQP ，MQ ⊆面MQO∴面MQP ∥面BCC 1B 1又∵PQ ⊆面MQP ，∴PQ ∥面BCC 1B 1（2）取AC 中点O ，连接A 1O ，BO△ABC 为等腰三角形，∴BO ⊥AC∵面ACC 1A 1⊥面ABC ，面ACC 1A 1∩面ABC=AC ，∴BO ⊥面ACC 1A 1，∴BO ⊥A 1O在△A 1OA ，∠A 1AO=60°，A 1A=2，OA=1，易得AC ⊥A 1O以O 为原点，OA ，OB ，OA 1分别为x,y,z 轴，以建立空间直角坐标系 A 1(0,0,√3)，A(1,0,0)，B(0,√3,0)，C(-1,0,0)，P(12,√32,0)，Q(-1,0,√3)，∵AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，∴B 1(-1,√3,√3)，∴A 1Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−1,0,0)，A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(12,√32,−√3)，A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−1,√3,0)设平面A 1PQ 的法向量为 n ⃗⃗=（x,y,z ），∴{n ⃗⃗∙A 1Q⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−x =0n ⃗⃗∙A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12x +√32y −√3z =0，设y=2，取 n ⃗⃗=（0,2,1）d =|n ⃗⃗∙A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|n ⃗⃗||=|2√3√5=2√15518.(1)证明过程见解析；(2)12【分析】（1）证明线线垂直，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，计算出110A F C G ⋅=，得到垂直关系；（2）在（1）的基础上，得到10A F EG ⋅=，故1A F EG ⊥，从而得到线面垂直，故()11,1,A F m =--为平面1EGC 的一个法向量，结合平面11AA B B 的法向量，利用向量夹角余弦公式得到方程，求出m ，从而求出BF .【详解】（1）因为1B B ⊥平面ABC ，,AB BC ⊂平面ABC ， 所以1B B AB ⊥，1B B BC ，又90ABC ∠=︒，故1,,B B AB BC 两两垂直，以B 为坐标原点，1,,BA BB BC 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系， 因为11AB BC BB ===，1AE BF B G ==，设1AE BF B G m ===，01m ≤≤， 所以()()()()111,1,0,0,0,,0,1,1,0,1,0A F m C G m -，则()()()()()()110,0,1,1,01,1,,0,1,00,1,10,,1A F m m C G m m =-=--=--=--，则()()111,1,0,,10A F C G m m m m ⋅=--⋅--=-=，故11A F C G ⊥；（2）()1,0,0E m -，则()()()0,1,01,0,01,1,0EG m m m m =---=--，则()()11,1,1,1,0110A F EG m m m m m ⋅=--⋅--=-+-=，则1A F EG ⊥，又1C G EG G ⋂=，1,C G EG ⊂平面1EGC ，所以1A F ⊥平面1EGC ，故()11,1,A F m =--为平面1EGC 的一个法向量，又平面11AA B B 的法向量为()0,0,1n =，则平面1EGC 与平面11AA B B 的夹角的余弦值为(1111,1,cos ,A F nA F n A F n m ⋅--==⋅又平面1EGC 与平面11AA B B 的夹角的余弦值为13， 13=，解得12m =，故12BF =. 19.(1)略 【分析】（1）利用几何关系求出1OD OD ==22211+OD OD DD =，得到线线垂直关系，进而得到面面垂直关系；（2）构造平面//DFH 平面1DAE ，从而确定点P 必在DH 上，然后利用等面积法求解即可；或者利用空间向量结合二次函数求最值.【详解】（1）连接OD 、1OD 、1D C ，11π2,3D D DA D DA ==∠=， 12D A ∴=，同理12D C =，O 是正方形对角线AC 中点，1D O AC ∴⊥，且AC =1OD OA OD ∴===即22211+OD OD DD =，则1OD OD ⊥，∵AC=AD,11π3D DA D DC ∠=∠=∴△ADD 1≌△CDD 1，∴AD 1=CD 1，∴△ACD 1为等腰△，∴D 1O ⊥AC ∵AC ∩DO=O ，AC ⊆面ABCD ，DO ⊆面ABCD ∴D 1O ⊥面ABCD（2）法一：取BC 中点H ，连接HD ，HF ，DF ，易得//,DA E EF F DA =，故四边形EFDA 是平行四边形， //DF AE ∴，又DF ⊄ 平面1,D AE AE ⊂ 平面1D AE ，//DF ∴平面1D AE ，同理11////FH BC D A ， FH ⊄平面 11D AE D A ⊂， 平面1D AE ， //FH ∴平面 1D AE ，且FH DF F ⋂=都在面DFH 内， 故平面//DFH 平面1D AE ，则点P 必在DH 上，且当CP DH ⊥时取得CP 的最小长度，DH CD ==由等面积法得：1122CP DH DC CH ⨯=⨯，解得CP =故CP法二：取1,,DA DC DD 为一组空间基底，则11D A DD DA =-+，112AE DC DD =+， //FP 平面1D AE ，1FP mD A nAE ∴=+，代入整理得12n FP m DD mDA nDC =++（-）， 故1111222n CP FP CF FP DD m DD mDA nDC =+=+=+++（-）， 动点P 在平面ABCD 内，1022n m ∴+=-， 122n m ∴=+，故2||4CP mDA nDC =+=（）当且仅当15n =-时，||CP 法三：由第一问知11,,D O AC D O OD OD AC ⊥⊥⊥，如图建立空间直角坐标系，则1D （，D ），(0,C，），(B ， 11DD CC =，1(C ∴，(F ， 同理11DD BB =，1(B ∴-，(E ，1(0,D A =，1(D E =， 设平面1D AE 的法向量为(,,)n x y z=，则11000022n DA n D E x z =⎧⋅=⎪⇒⎨⎨⋅=--=⎪⎪⎩⎩，令1x =-，得(1,3,3)n =-， 设点(,,0)Pm n，(FP m n =，0n FP⋅=，即3m n =故||CP m =当且仅当n =||CP。

深泉高级技工2021-2021学年度第一学期月度质量检测创作人：历恰面日期：2020年1月1日高二数学试题第一卷一、单项选择题〔一共60分，每一小题4分〕每一小题都有ABCD四个备选答案，只许从中选取一个最正确答案。

1．某林场有树苗30 000棵，其中松树苗4 000棵，为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，那么样本中松树苗的数量为( )A．30 B．25C．20 D．152．根据?HY道路交通平安法?规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20～80 mg/100 mL(不含80)之间，属于酒后驾车，处暂扣一个月以上三个月以下驾驶证，并处200元以上500元以下罚款；血液酒精浓度在80 mg/100 mL(含80)以上时，属醉酒驾车，处十五日以下拘留和暂扣三个月以上六个月以下驾驶证，并处500元以上2 000元以下罚款．据?法制晚报?报道，2009年8月15日至8月28日，全国查处酒后驾车和醉酒驾车一共28 800人，如图是对这28 800人血液中酒精含量进展检测所得结果的频率分布直方图，那么属于醉酒驾车的人数约为( )A．2 160 B．2 880C．4 320 D．8 6403．以下说法正确的选项是( )A．任何事件的概率总是在(0,1)之间B．频率是客观存在的，与试验次数无关C．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率D．概率是随机，在试验前不能确定4．经过下面程序，变量y的值是( )A．3 B．6 C．9 D．275．在120个零件中，一级品24个，二级品36个，三级品60个，用分层抽样的方法从中抽取容量为20的样本，那么每个个体被抽取的可能性占总体的〔〕A.124B.136C.160D.166．假如执行下边的程序框图，输入x＝－2，h＝，那么输出的各个数的和等于( )A．3 B．3.5 C．4 D．7．在频率分布直方图中，各个长方形的面积表示( )8．如图是根据某校10位高一同学的身高(单位：cm)画出的茎叶图，其中左边的数字从左到右分别表示学生身高的百位数字和十位数字，右边的数字表示学生身高的个位数字，从图中可以得到这10位同学身高的中位数是( )A．161 cm B．162 cmC．163 cm D．164 cm9．如下图是一样本的频率分布直方图，那么由图形中的数据，可以估计众数与中位数分别是( ) A．B ． 13C ．13D ．13 1310．甲、乙两位同学在高三的5次月考中数学成绩统计如茎叶图所示，假设甲、乙两人的平均成绩分别是x 甲，x 乙，那么以下表达正确的选项是( )A ．x 甲>x 乙；乙比甲成绩稳定B ．x 甲>x 乙；甲比乙成绩稳定C ．x 甲<x 乙；乙比甲成绩稳定D ．x 甲<x 乙；甲比乙成绩稳定11．废品率x%和每吨生铁本钱y(元)之间的回归直线方程为y ^＝256＋2x ，说明( ) A ．废品率每增加1%，生铁本钱增加258元 B ．废品率每增加1%，生铁本钱增加2元 C ．废品率每增加1%，生铁本钱每吨增加2元 D ．废品率不变，生铁本钱为256元12．在如下图的程序框图中，假如输入的n ＝5，那么输出的i 等于( )A ．3B ．4C ．5D ．6 13．a ，中位数为b ，众数为c ，那么有： A.a b c >> B.b c a >> C.c a b >> D.c b a >> 14．样本中一共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.假设该样本的平均值为1，那么样本方差为( ) A.65 B.65C. 2 D ．215．一次选拔运发动，测得7名选手的身高(单位：cm)分布茎叶图为⎪⎪⎪1817⎪⎪⎪0 10 3 x 8 9记录的平均身高为177 cm ，有一名候选人的身高记录不清楚，其末位数记为x ，那么x 的值是( )A ．5B ．6C ．7D ．8第二卷二、填空题〔一共20分，每空4分〕16．从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，那么与事件“两球都为白球〞互斥而非对立的事件是以下事件“①两球都不是白球；②两球恰有一白球；③两球至少有一个白球〞中的是_________.17．从含有4个次品的10000个螺钉中任取1个，它是次品的概率为__________．18．以下程序运行后输出的x－y和y－x结果分别为________．x＝5；y＝－20；if x<0x＝y－3；elsey＝y＋3；endprint(%io(2)，x－y，y－x)；19．某中学高中部有三个年级，其中高一年级有学生400人，采用分层抽样法抽取一个容量为45的样本，高二年级抽取15人，高三年级抽取10人，那么高中部的学生数为________．20．从2 006名世博会志愿者中选取50名组成一个志愿者团，假设采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2 006人中剔除6人，余下的2 000人再按系统抽样的方法进展，那么每人入选的时机________．〔不全相等，均不相等，相等，无法确定〕三、简答题〔一共70分〕21. (8分)请写出长为a，宽为b的长方形的面积算法。

2024~2025学年高二10月质量检测卷数学（A 卷）考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。

选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。

4.本卷命题范围：人教A 版选择性必修第一册第一章～第二章。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知直线经过，两点，则的倾斜角为（）A.B.C.D.2.已知圆的方程是，则圆心的坐标是（ ）A. B. C. D.3.在长方体中，为棱的中点.若，，，则（）A. B. C. D.4.两平行直线，之间的距离为（ ）B.3D.5.曲线轴围成区域的面积为（ ）l (A (B l 6π3π23π56πC 2242110x y x y ++--=C ()2,1-()2,1-()4,2-()4,2-1111ABCD A B C D -M 1CC AB a = AD b =1AA c = AM =111222a b c -+ 111222a b c ++12a b c-+12a b c++ 1:20l x y --=2:240l x y -+=y =xA. B. C. D.6.已知平面的一个法向量，是平面内一点，是平面外一点，则点到平面的距离是（ ）A. B.D.37.在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上存在点，使以点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则实数的取值范围是（ ）A. B.C. D.8.在正三棱柱中，，，为棱上的动点，为线段上的动点，且，则线段长度的最小值为（ ）A.2二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

2024~2025学年度高二上学期10月月考数学全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区战内作答，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.选择题用2B 铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设直线的倾斜角为，则（ ）A.B.C.D.2.已知平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，若，则（ ）A.B.C.1D.23.已知直线与平行，且过点，则（ ）A.B.3C.D.24.如图，在正三棱锥中，点为的重心，点是线段上的一点，且，记，则（ ）A. B.:80l x +=αα=30 60 120 150α()4,2,n m =- l ()1,3,2u =--l ∥αm =2-1-1:250l x y ++=2:30l x ay b ++=2l ()3,1-ab=3-2-P ABC -G ABC V M PG 3PM MG =,,PA a PB b PC c === AM =311444a b c -++ 311434a b c-++C. D.5.已知从点发出的一束光线，经过直线反射，反射光线恰好过点，则反射光线所在的直线方程为（）A. B.C. D.6.如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，，则点到直线的距离为（）7.已知实数满足，且，则的取值范围为（）A. B.C. D.8.在正三棱锥中，，点满足，则的最小值为（）D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知空间向量，且，则下列说法正确的是（）111444a b c-++111434a b c-++()1,5-220x y-+=()2,72110x y+-=410x y--=4150x y+-=90x y+-=111ABC A B C-ABCV1AA=2AB=C1AB ,x y21y x=-12x-……63yx--[)9,3,4∞∞⎛⎤--⋃+⎥⎝⎦93,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦[)9,3,4∞∞⎛⎤-⋃+⎥⎝⎦9,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦P ABC-3PA AB==M()2PM xPA yPB x y PC=++--AM ()()()1,2,3,23,0,5,2,4,a abc m=+=-=a ∥cA.B.C. D.10.已知直线和直线，下列说法正确的是（ ）A.始终过定点B.若，则或C.若，则或2D.当时，始终不过第三象限11.如图，在棱长为2的正方体中，点是底面内的一点（包括边界），且，则下列说法正确的是（）A.点的轨迹长度为B.点到平面的距离是定值C.直线与平面D.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知过点的直线在轴上的截距是其在轴上截距的3倍，则满足条件的一条直线的方程为__________.13.已知向量，若共面，则__________.14.如图，在正三棱柱中，为棱上的动点（包括端点），为b = 6m =()2b c a +⊥cos ,b c <>= 1:0l x ay a +-=()2:2310l ax a y ---=2l 21,33⎛⎫⎪⎝⎭1l ∥2l 1a =3-12l l ⊥0a =0a >1l 1111ABCD A B C D -,P M 1111A B C D AP BM AC =⊥P πM 1A BD CP ABCD PM 1()3,1P l x y l ()()()3,2,3,1,3,2,7,0,a b c λ=-=--= ,,a b cλ=111ABC A B C -12,AB AA M ==11B C N的中点，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.15.（本小题满分13分）已知的顶点坐标为.（1）若点是边上的中点，求直线的方程；（2）求边上的高所在的直线方程.16.（本小题满分15分）如图，在直三棱柱中，，点分别为棱的中点.（1）求证：平面；（2）求直线与直线的夹角的余弦值.17.（本小题满分15分）如图，在直四棱柱中，四边形是矩形，，点是棱上的一点，且.AM CN 11ABB A ABC V ()()()1,6,3,1,4,2A B C ---D AC BD AB 111ABC A B C -1,AB AC AB AC AA ⊥==,E F 11,AB A B AF ∥1B CE 1C E AF 1111ABCD A B C D -ABCD 11,2AC DB AA ⊥==P 1DD 12DP PD =（1）求证：四边形为正方形；（2）求直线与平面所成角的正弦值.18.（本小题满分17分）已知直线过定点.（1）求过点且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线的方程；（2）若直线交轴正半轴于点，交轴负半轴于点的面积为（为坐标原点），求的最小值，并求此时直线的方程.19.（本小题满分17分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，且平面平面，在平面内过作，交于，连接.（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）在线段上存在一点，使直线与平面，求的长.ABCD 1AD PAC ()1:340l kx y k k ---=∈R P P 2l 1l x A y ,B ABO V S O S 1l P ABCD -ABCD 90,1,2,60,30ADC BCD BC CD PD PDA PAD ∠∠∠∠======= PAD ⊥ABCD ABCD B BO AD ⊥AD O PO PO ⊥ABCD A PB C --PA M BM PAD PM2024~2025学年度高二上学期10月月考·数学参考答案、提示及评分细则1.A 因为直线的斜率为，又，.故选A.2.B 因为，所以，所以，解得.故选B.3.D 因为直线与直线平行，，解得，直线过，则得，经验证与不重合，.故选D.4.A 因为为的重心，所以，又点是线段上的一点，且，所以.故选A.5.C 点关于对称的点设为，则，反射光线经过点，则反射光线所在的直线方程为，即，故选C.6.C 取的中点，则，建立如图所示的空间直角坐标系，所以，所以，所以在上的投影的长度为，:80l x +=k =tan α=0180α< …30α= l ∥αn u ⊥ 4620n u m ⋅=-++= 1m =-1:250l x y ++=2:30l x ay b ++=12121313,,22k k k k a a=-=-=⇒-=-6a =2:l ()3,1-960b -++=3b =1l 2l 2ab∴=G ABC V ()()()1112333AG AB AC PB PA PC PA b c a =+=-+-=+-M PG 3PM MG =()()1131311132444443444AM AG GM AG GA AP PA AG a b c a b c a =+=++=-+=-+⨯+-=+-()1,5-220x y -+=(),x y ()51312351202y x x y y x -⎧=-⎪=⎧⎪+⇒⎨⎨=+⎩⎪--+=⎪⎩()()733,3,2,7,423k -==--()433y x =--+4150x y +-=AC O ,BO AC BO ⊥=O xyz -()()10,1,0,,0,1,0A B C -()1,0,2,0AB CA ==-CA 1AB11CA AB AB ⋅==故点到直线的距离为.故选C.7.D 由于点满足关系式，且，可知在线段上移动，且，，设，则，因为点在线段上，所以的取值范围是，故选D.8.B 延长至点，使得，所以，又由，所以四点共面，所以的最小值为点到平面的距离，又点是的中点，所以点到平面的距离是点到平面的距离的一半，又，易得点到平面的距离为，所以.故选B.9.ABD ，故A 正确；，设，故B 正确；，故C 错误；，故D正确.故选ABD.10.ACD11.BCD 因为，所以，即点在底面C 1AB d ==(),x y 21y x =-12x -……(),x y AB ()1,3A --()2,3B ()3,6Q ()()63963,331432QA QB k k ---====---(),x y AB 63y x --9,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦,,PA PB PC ,,D E F 2,2,2PD PA PE PB PF PC ===()()22222x y x y PM xPA yPB x y PC PD PE PF --=++--=++ ()21222x y x y --++=,,,M D E F AM A DEF A PD A DEF P DEF 6PD PE PF DE DF EF ======P DEF AM ()()()1,2,3,23,0,5,2,1,1,a a b b b =+=-∴=--∴== ()2,4,,c m a = ∥c 121,24263a c m m λλλλλ=⎧⎧=⎪⎪=∴=⇒⎨⎨⎪⎪==⎩⎩()()22,2,8,2212283260b c a b c +=-⋅+=-⨯+⨯+⨯=≠cos ,b c b c b c⋅<>===⋅AP ===11A P =E内是以为圆心､半径为1的圆上，所以点的轨迹长度为，故A 错误；在正方体中，，又平面，所以平面，所以点的轨迹为线段，又平面，所以点到平面的距离是定值，故B 正确；因为点到的距离为定值2，记点在平面的投影为，所以当取得最小值时，直线与平面所成角的正切值最大，又，所以直线与平面所成角的正切，故C 正确；到直线的距离为落在上时，，故D 正确.故选BCD.12.答案见错题集13.5 因为共面，所以存在实数，使得，即，即14. 取中点，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设，且，因为为的中点，故，于是，平面的一个法向量为，1111A B C D 1A 14P π21111ABCD A B C D -AC BD ⊥,,,AC BM BD BM B BD BM ⊥⋂=⊂DBM AC ⊥DBM M 11B D 11B D ∥1A BD M 1A BD P ABCD P ABCD P 'P C 'CP ABCD min 1P C ='CP ABCD 1A 11B D d =,P M 11A C min 1PM =-,,a b c ,x y c xa yb =+ ()()()7,0,3,2,31,3,2x y λ=-+--73023,3,2, 5.32x yx y x y x y λλ=-⎧⎪=-+===⎨⎪=-⎩解得AB O O ()0,1,0A )CM a a ⎛- ⎝a ⎡∈⎣N AM 2a N ⎛ ⎝2a CN a ⎛= ⎝ 11ABB A )OC =cos ,OC CN OC CN OC CN⋅<>==⋅设，则，，故.15.（1）因为点是边上的中点，则，所以，所以直线的方程为，即；（2）因为，所以边上的高所在的直线的斜率为，所以边上的高所在的直线方程为，即.16.（1）证明：由于三棱柱是直三棱柱，所以，因为点分别为棱的中点，所以，则四边形是平行四边形，所以，又因为平面平面，所以平面（2）解：因为直三棱柱，所以以为原点，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，则，于是，设直线与直线的夹角为，则2a t t ⎡=∈⎢⎣cos ,OC CN <>==1t ⎡∈⎢⎣cos ,OC CN <>∈ D AC 3,42D ⎛⎫⎪⎝⎭14103932BD k --==--BD ()10139y x +=+109210x y -+=167312AB k --==-+AB 27-AB ()2247y x -=--27220x y +-=111ABC A B C -11AB A B ∥,E F 11,AB A B 1AE B F ∥1AEB F AF ∥1B E AF ⊄11,B CE B E ⊂1B CE AF ∥1;B CE 111,ABC A B C AB AC -⊥A 1,,AB AC AA x y z 12AA =()()()10,2,2,1,0,0,1,0,2C E F ()()11,2,2,1,0,2C E AF =--=1C E AF θ11cos C E AF C E AFθ⋅==⋅所以直线与直线17.（1）证明：连接，如图所示，在直四棱柱中，平面，又平面，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，又四边形是矩形，所以四边形为正方形；（2）解：以为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示，所以，所以，设平面的一个法向量为，所以，令，解得，所以平面的一个法向量为，设直线与平面所成角的大小为，1C E AF DB 1111ABCD A B C D -1BB ⊥ABCD AC ⊂ABCD 1BB AC ⊥111111,,,AC DB BB DB B BB DB ⊥⋂=⊂1BDB AC ⊥1BDB BD ⊂1BDB AC BD ⊥ABCDABCD D 1,,DA DCDD x y z )()()14,,0,0,2,0,0,3AC D P ⎛⎫ ⎪⎝⎭()144,,233PA PC AD ⎫⎛⎫=-=-=⎪ ⎪⎭⎝⎭PAC (),,n xy z =403403n EA z n EC z ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=-=⎪⎩3z =x y ==PAC ()n =1AD PAC θ所以，即直线与平面.18.答案见错题集19.答案见错题集111sin cos ,||n AD n AD n AD θ⋅==== 1AD PAC。

2024-2025学年武昌实验中学高二数学上学期10月考试卷一､单选题1.已知()()1,2,,,1,2a y b x =-=，且()2a b+ ∥()2a b- ，则（）A.1,13x y == B.1,42x y ==-C.12,4x y ==D.1,1x y ==-2.已知空间向量()1,1,2a =- ，()1,2,1b =- ，则向量b 在向量a上的投影向量是（）A.,,663⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭B.()1,1,1-C.555,,663⎛⎫- ⎪⎝⎭D.111,,424⎛⎫- ⎪⎝⎭3.将一枚质地均匀的骰子连续抛掷8次，得到的点数分别为1,2,3,,4,5,5,6x ，则这8个点数的中位数为4的概率为（）A.23 B.12C.13D.164.如图，空间四边形OABC 中，OA a = ，OB b =，OC c = ，点M 在OA 上，且23OM OA = ，点N 为BC中点，则MN等于（）A.111222a b c +-B.211322a b c-++C.221332a b c +-D.221332a b c-+- 5.如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，侧面11A ADD 是正方形，且1120A AB ∠=︒，60DAB ∠=︒，2AB =，若P 是1C D 与1CD 的交点，则异面直线AP 与DC 的夹角的余弦值为（）A.3714B.64C.74D.6146.小刚参与一种答题游戏，需要解答A ，B ，C 三道题.已知他答对这三道题的概率分别为a ，a ，12，且各题答对与否互不影响，若他恰好能答对两道题的概率为14，则他三道题都答错的概率为（）A.12B.13C.14D.167.阅读材料：数轴上，方程()00Ax B A +=≠可以表示数轴上的点；平面直角坐标系xOy 中，方程0Ax By C ++=（A B ､不同时为0）可以表示坐标平面内的直线；空间直角坐标系O xyz -中，方程0Ax By Cz D +++=（A B C ､､不同时为0)可以表示坐标空间内的平面.过点()000,,P x y z 一个法向量为(),,n a b c =平面α方程可表示为()()()0000a x x b y y c z z -+-+-=.阅读上面材料，解决下面问题：已知平面α的方程为10x y z -++=，直线l 是两平面20x y -+=与210x z -+=的交线，则直线l 与平面α所成角的正弦值为（）A.1035B.23C.715D.758.三棱锥A BCD -满足4+=+=BC AC BD AD ，二面角C AB D --的大小为60︒，CD AB ⊥，22AB =，1CD =，则三棱锥A BCD -外接球的体积为（）A.7πB.28π3C.2821π27D.287π3二､多选题9.已知事件A 、B 发生的概率分别为()13P A =，()14P B =，则下列说法正确的是（）A.若A 与B 相互独立，则()12P A B =B.若()14P AB =，则事件A 与B 相互独立C.若A 与B 互斥，则()12P A B =D.若B 发生时A 一定发生，则()14P AB =10.若三棱锥M ABC -的体积是三棱锥P ABC -体积的13，且23PM PA PB PC λ=-+ ，则λ的值可能为（）A.13 B.23C.13-D.32-11.如图，四棱锥P ABCD -中，面PAB ⊥面ABCD ，且AD ∥,22BC AD BC ==，1,AP BP Q ==是棱PD 的中点，π2APB ADC BCD ∠∠∠===，则（）A.CQ ∥平面PABB.CQ ⊥平面PADC.CQ 和平面PBC 所成角的正弦值为15D.四面体Q BCD -外接球的表面积为5π2三､填空题12.直线1l 过点()4,A a ，()1,3B a -两点，直线2l 过点()2,3C ，()1,2D a --两点，若12l l ⊥，则a =______.13.已知集合{}1,3M =，在M 中可重复地依次取出三个数,,a b c ，则“以,,a b c 为边长恰好构成三角形”的概率是________．14.已知21,e e 是空间单位向量，1212e e ⋅= .若空间向量b满足1252,2b e b e ⋅=⋅= ，且对于任意,R x y ∈，()()()120102001,R b xe ye b x e y e x y -+≥-+=∈ ，则0y =__________，b =__________.四､解答题15.已知平面内两点()6,6A -，()2,2B ．（1）求过点()1,3P 且与直线AB 垂直的直线l 的方程．（2）若ABC V 是以C 为顶点的等腰直角三角形，求直线AC 的方程．16.在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为()1101p p <<，收到0的概率为11p -；发送1时，收到0的概率为()2201p p <<，收到1的概率为21p -．现有两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码（例如，若收到1，则译码为1，若收到0，则译码为0）；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1,0,1，则译码为1，若依次收到1,1,1，则译码为1）．（1）已知1223,34p p ==．①若采用单次传输方案，重复发送信号0两次，求至少收到一次0的概率；②若采用单次传输方案，依次发送0,0,1，证明：事件“第三次收到的信号为1”与事件“三次收到的数字之和为2”相互独立．（2）若发送1，采用三次传输方案时译码为0的概率大于采用单次传输方案时译码为0的概率，求2p 的取值范围．17.如图，已知斜三棱柱111ABC A B C -中，π2BAC ∠=，12π3BAA ∠=，1π3CAA ∠=，1AB AC ==，12AA =，点O 是1B C 与1BC 的交点．（1）用向量AB ，AC，1AA 表示向量AO ；（2）求异面直线AO 与BC 所成的角的余弦值；（3）判定平面ABC 与平面11B BCC 的位置关系．18.如图1，直角梯形ABED 中，1,2,,AB AD DE AD DE BC DE ===⊥⊥，以BC 为轴将梯形ABED 旋转180︒后得到几何体W ，如图2，其中,GF HE 分别为上下底面直径，点,P Q 分别在圆弧,GF HE 上，直线//PF 平面BHQ .（1）证明：平面BHQ ⊥平面PGH ；（2）若直线GQ 与平面PGH 所成角的2，求P 到平面BHQ 的距离；（3）若平面BHQ 与平面BEQ 夹角的余弦值为13，求HQ ．19.球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球O 的半径为R ．A 、B 、C 为球面上三点，劣弧BC 的弧长记为a ，设0O 表示以O 为圆心，且过B 、C 的圆，同理，圆32,O O 的劣弧AC 、AB 的弧长分别记为b ，c ，曲面ABC （阴影部分）叫做球面三角形．若设二面角,,C OA B A OB C B OC A ------分别为α，β，γ，则球面三角形的面积为()2πABC S R αβγ=++- 球面．（1）若平面OAB 、平面OAC 、平面OBC 两两垂直，求球面三角形ABC 的面积；（2）若平面三角形ABC 为直角三角形，AC BC ⊥，设123,,AOC BOC AOB θθθ∠=∠=∠=．则：①求证：123cos cos cos 1θθθ+-=；②延长AO 与球O 交于点D ，若直线DA ，DC 与平面ABC 所成的角分别为ππ,43，(],0,1BE BD λλ=∈，S 为AC 中点，T 为BC 中点，设平面OBC 与平面EST 的夹角为θ，求sin θ的最小值，及此时平面AEC 截球O 的面积．2024-2025学年武昌实验中学高二数学上学期10月考试卷一､单选题1.已知()()1,2,,,1,2a y b x =-=，且()2a b+ ∥()2a b- ，则（）A.1,13x y == B.1,42x y ==-C.12,4x y ==D.1,1x y ==-【答案】B【解析】【分析】运用空间向量平行坐标结论，结合坐标运算即可解.【详解】向量()()1,2,,,1,2a y b x =-= ，则()()212,4,4,22,3,22a b x y a b x y +=+--=---，因()2//a b + ()2a b - ，于是得12442322x y x y +-==---，解得1,42x y ==-，所以1,42x y ==-.故选：B.2.已知空间向量()1,1,2a =- ，()1,2,1b =- ，则向量b 在向量a上的投影向量是（）A.,,663⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭B.()1,1,1-C.555,,663⎛⎫-⎪⎝⎭ D.111,,424⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】C【解析】【分析】本题运用投影向量的定义即可解题.【详解】因为()()1,1,21,2,1a b =-=-，，则()()·1112215a b =⨯+-⨯-+⨯=a ==故向量b 在向量a上的投影向量是·5555,,6663b a a a aa ⎛⎫⨯==- ⎪⎝⎭，故选：C.3.将一枚质地均匀的骰子连续抛掷8次，得到的点数分别为1,2,3,,4,5,5,6x ，则这8个点数的中位数为4的概率为（）A.23 B.12C.13D.16【答案】D 【解析】【分析】分情况讨论1,2,3,4,5,6x =时对应的中位数，从而可求解.【详解】由题意，当1,2,3x =时，8个点数的中位数为3.5；当4x =时，8个点数的中位数为4；当5,6x =时，8个点数的中位数为4.5，则8个点数的中位数为4的概率为16.故选:D.4.如图，空间四边形OABC 中，OA a = ，OB b =，OC c = ，点M 在OA 上，且23OM OA = ，点N 为BC中点，则MN等于（）A.111222a b c +-B.211322a b c-++C.221332a b c +-D.221332a b c-+- 【答案】B【解析】【分析】利用空间向量的线性运算法则求解.【详解】()()()1111121132322322MN MA AN OA AB AC OA OB OA OC OA OA OB OC=+=++=+-+-=-++211322a b c =-++ .故选：B.5.如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，侧面11A ADD 是正方形，且1120A AB ∠=︒，60DAB ∠=︒，2AB =，若P 是1C D 与1CD 的交点，则异面直线AP 与DC 的夹角的余弦值为（）A.3714B.64C.74D.614【答案】A 【解析】【分析】根据平行六面体的结构特征及向量对应线段位置关系，结合向量加法、数乘的几何意义,将AP、DC，用基底1,,AA AB AD 表示出来，在应用向量数量积的运算律即可.【详解】在平行六面体1111ABCD A B C D -中,四边形11DD C C 是平行四边形,侧面11A ADD 是正方形,又P 是11,C D CD 的交点,所以P 是1CD 的中点,因为DC AB =,1120A AB ∠=,60,2DAB AB ∠== ,所以()(()111111)2222AP AD AC AA AD AD AB AA AB AD =+=+++=++，所以()22221111||42444AP AA AB AD AA AB AA AD AB AD =+++⋅+⋅+⋅111444422204227422⎡⎛⎫⎤=++⨯+⨯⨯⨯-++⨯⨯⨯= ⎪⎢⎥⎝⎭⎦⎣，所以7,AP =又2DC =，所以()()11112·222AP DC AA AB AD DC AA AB AD AB ⋅=++=++⋅()21122AA AB AB AD AB =⋅++⋅()211cos120||2|cos602AA AB AB AD AB =⋅++⋅∣21112222223222⎡⎤⎛⎫=⨯⨯-++⨯⨯⨯= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，可得cos AP <,14AP DC DC AP DC⋅>==⋅，所以异面直线AP 与DC的夹角的余弦值为cos ,14AP DC =.故选：A.6.小刚参与一种答题游戏，需要解答A ，B ，C 三道题.已知他答对这三道题的概率分别为a ，a ，12，且各题答对与否互不影响，若他恰好能答对两道题的概率为14，则他三道题都答错的概率为（）A.12B.13C.14D.16【答案】C 【解析】【分析】根据条件，先求a 的有关值，再求对应事件的概率.【详解】记小刚解答A ，B ，C 三道题正确分别为事件D ，E ，F ，且D ，E ，F 相互独立，且()()(),12P D P E a P F ===.恰好能答对两道题为事件,,DEF DEF DEH ，且,,DEF DEF DEH 两两互斥，所以()()()()P DEF DEF DEF P DEF P DEF P DEF ++=++()()()()()()()()()P D P E P F P D P E P F P D P E P F =++()()11111112224a a a a a a ⎛⎫=⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯= ⎪⎝⎭，整理得()2112a -=，他三道题都答错为事件DEF ，故()()()()()()22111111224P DEF P D P E P F a a ⎛⎫==--=-= ⎪⎝⎭.故选：C.7.阅读材料：数轴上，方程()00Ax B A +=≠可以表示数轴上的点；平面直角坐标系xOy 中，方程0Ax By C ++=（A B ､不同时为0）可以表示坐标平面内的直线；空间直角坐标系O xyz -中，方程0Ax By Cz D +++=（A B C ､､不同时为0)可以表示坐标空间内的平面.过点()000,,P x y z 一个法向量为(),,n a b c =平面α方程可表示为()()()0000a x x b y y c z z -+-+-=.阅读上面材料，解决下面问题：已知平面α的方程为10x y z -++=，直线l 是两平面20x y -+=与210x z -+=的交线，则直线l 与平面α所成角的正弦值为（）A.35B.3C.15D.5【答案】B 【解析】【分析】先求直线l 的方向向量及平面α的法向量，再结合空间向量的数量积求直线与平面所成角的正弦值.【详解】根据材料可知，由平面α的方程为10x y z -++=，得()11,1,1=-n 为平面α的法向量，同理可知，()21,1,0n =- 与()32,0,1n =-分别为平面20x y -+=与210x z -+=的法向量.设直线l 的方向向量(),,a x y z = ，则230n a n a ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即020x y x z -=⎧⎨-=⎩，取1x =，则()1,1,2a = .设直线l 与平面α所成角为θ，则11sin 3n a n aθ⋅==⋅ .故选：B.8.三棱锥A BCD -满足4+=+=BC AC BD AD ，二面角C AB D --的大小为60︒，CD AB ⊥，AB =，1CD =，则三棱锥A BCD -外接球的体积为（）A.7πB.28π3C.2821π27D.287π3【答案】C 【解析】【分析】设,AC m AD n ==，根据对角线向量的性质列方程求,m n 关系，从而可得线线垂直，过C 作CE AB ⊥，连接DE ，结合勾股定理，得线线关系，从而可得二面角C AB D --的平面角，可将三棱锥B CAD -补充直棱柱，从而可确定外接球球心位置得外接球半径，即可得球的体积.【详解】设,AC m AD n ==，则4,4BC m BD n =-=-，因为()CD AB AD AC AB AD AB AC AB⋅=-⋅=⋅-⋅cos cos AD AB BAD AC AB BAC=⋅∠-⋅∠22222222AD AB BD AC AB BC AD AB AC AB AD AB AC AB +-+-=⋅⋅-⋅⋅⋅⋅ 2222AD BC BD AC+--=，所以()()22224402n m n m CD AB +----⋅== ，解得：m n =，即,AC AD BC BD ==，可知ABC ABD ≅V V ，过C 作CE AB ⊥，连接DE ，则DE AB ⊥，可知CE DE =，且二面角C AB D --的平面角为60CED ∠=︒，则CDE 为等边三角形，即1CE DE ==，设AE x =，因为2222AC AE BC BE -=-，即()()222241m x m x-=--=，解得：10m x =⎧⎨=⎩或3m x =⎧⎪⎨=⎪⎩可知点E 与点A 重合或与点B 重合，两者是对称结构，不妨取点E 与点A 重合，则AC AB ⊥，AD AB ⊥，由AC AD A = ，,AC AD ⊂平面ACD ，则AB ⊥平面ACD ，且CAD ∠为二面C AB D --的平面角，可知CAD 为等边三角形，可将三棱锥B CAD -补充直棱柱，如图所示，1O 为底面正ACD 的外心，即1323233AO =⨯=，O 为A BCD -的外接球球心，可知1//OO AB，且112OO AB ==则三棱锥A BCD -的外接球半径213R =，所以外接球的体积34π327V R ==.故选：C.【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.二､多选题9.已知事件A 、B 发生的概率分别为()13P A =，()14P B =，则下列说法正确的是（）A.若A 与B 相互独立，则()12P A B = B.若()14P AB =，则事件A 与B 相互独立C.若A 与B 互斥，则()12P A B =D.若B 发生时A 一定发生，则()14P AB =【答案】ABD 【解析】【分析】根据互斥事件和独立事件的概率公式逐项判断.【详解】对于A ，若A 与B 相互独立，则()()()1113412P AB P A P B ===，所以()()()()111134122P A B P A P B P AB ⋃=+-=+=，故A 对；对于B ，因为()13P A =，()14P B =，则()()131144P B P B =-=-=，因为()()()131344P A P B P AB =⨯==，所以事件A 与B 相互独立，故B 对；对于C ，若A 与B 互斥，则()()()1173412P A B P A P B ⋃=+=+=，故C 错；对于D ，若B 发生时A 一定发生，则B A ⊆，则()()14P AB P B ==，故D 对．故选：ABD10.若三棱锥M ABC -的体积是三棱锥P ABC -体积的13，且23PM PA PB PC λ=-+ ，则λ的值可能为（）A.13 B.23C.13-D.32-【答案】AC 【解析】【分析】根据三棱锥M ABC -的体积是三棱锥P ABC -体积的13，则平面ABC 内存在一点Q ，使得23PM PQ = 或43PM PQ =，再根据空间向量的基本定理及已知条件即可求解.【详解】因为三棱锥M ABC -的体积是三棱锥P ABC -体积的13，所以在平面ABC 内存在一点Q ，使得23PM PQ = 或43PM PQ =，如图①②所示，当23PM PQ = 时，则2233PQ PA PB PC λ=-+，得39322PQ PA PB PC λ=-+ ．因为点Q 在平面ABC 内，所以根据空间向量基本定理可得393122λ-+=，解得13λ=-．当43PM PQ = 时，则4233PQ PA PB PC λ=-+，得339424PQ PA PB PC λ=-+ ．因为点Q 在平面ABC 内，所以根据空间向量基本定理可得3391424λ-+=，解得13λ=．故选：AC.11.如图，四棱锥P ABCD -中，面PAB ⊥面ABCD ，且AD ∥,22BC AD BC ==，1,AP BP Q ==是棱PD 的中点，π2APB ADC BCD ∠∠∠===，则（）A.CQ ∥平面PABB.CQ ⊥平面PADC.CQ 和平面PBC所成角的正弦值为15D.四面体Q BCD -外接球的表面积为5π2【答案】ACD 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断A ，B ，利用线面角的向量求法判断C ，利用球的方程求解出半径，再求表面积即可.【详解】如图，作PG AB ⊥，因为面PAB ⋂面ABCD AB =，面PAB ⊥面ABCD ，所以PG ⊥面ABCD ，且作DH ⊥ABCD ，因为1AP BP ==，π2APB ∠=，所以AP BP ⊥，G 是AB的中点，AB =，2PG =，对于A ，以D 为原点，DH 为z 轴，DA 为x 轴，DC 为y 轴建立空间直角坐标系，所以(0,1,0)C ，(1,1,0)B ，(2,0,0)A ，31(,,0)22G ，312(,,222P ，(0,0,0)D ，因为Q 是棱PD的中点，所以31(,,)444Q ，所以33(,,)444CQ =-，(1,1,0)BA =- ，11(,,)222BP =- ，设面PAB 的法向量(,,)n x y z = ，所以01120222BA n x y BP n x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令1x =，解得1,0y z ==，所以(1,1,0)n =，可得0CQ n ⋅=，故CQ ∥平面PAB 成立，故A 正确，对于B ，(2,0,0)DA =，31(,,)222DP = ，设面PAD 的法向量为(,,)m a b c = ，所以203120222DA m a DP m a b c ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩，令b =，解得0,1a c ==，得到(0,m = ，故CQ不平行于m ，所以CQ ⊥平面PAD 不成立，故B 错误，对于C ，(1,0,0)CB = ，31(,,)222CP =- ，设面PBC 的法向量为000),,(a x y z = ，所以000020310222CB a x CP a x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令0y =，解得000,1x z ==，故a = ，设CQ 和平面PBC 所成角为θ，且π0,,sin 02θθ⎡⎤∈>⎢⎥⎣⎦，所以22sin 15a CQCQ aθ⋅==⋅ ，故C 正确，对于D ，设四面体Q BCD -外接球的方程为2222111111()()()a x b y c z R -+-+-=，将,,,Q B C D 四点代入球的方程，可得22222221111121(1)(1),a b c R a b c R -+-+=++=，2222221111212131()()()(,1)444a b c a b c R R -+-+-=+-+=，利用加减消元法得到222222111111(1)(1)(1)a b c a b c -+-+=+-+，解得112a =，再利用加减消元法得到222222111111(1)a b c a b c ++=+-+，解得112b =，现在将112a =，112b =代入方程组，得到2211221111(4416,164c c R R ++=++-=，此时解得14104c R ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故原方程解得11111,,,2442b c a R =-===，故球的方程为222111115228()()()4a b c -+-++=，设球的表面积为S ，则π2455π8S =⨯⨯=，故D 正确.故选：ACD【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何，解题关键是建立空间直角坐标系，然后将点代入球的方程求出半径，再得到所要求的表面积即可．三､填空题12.直线1l 过点()4,A a ，()1,3B a -两点，直线2l 过点()2,3C ，()1,2D a --两点，若12l l ⊥，则a =______.【答案】0或5【解析】【分析】根据1l 斜率是否存在分类讨论，再利用直线位置关系列方程求解即可.【详解】当直线1l 斜率不存在，直线2l 斜率为0时，满足12l l ⊥，此时1432a a -=⎧⎨=-⎩，解得5a =；当直线1l 斜率存在时，因为12l l ⊥，所以()()()23314112a a a ---⨯=-----，解得0a =；综上，0a =或5a =.故答案为：0或513.已知集合{}1,3M =，在M 中可重复地依次取出三个数,,a b c ，则“以,,a b c 为边长恰好构成三角形”的概率是________．【答案】58##0.625【解析】【分析】先得到基本事件数，再得到不能构成三角形的事件数，利用古典概型公式结合对立事件概率公式求解即可.【详解】从两个数里取三次，共有328=种情况，只有(1,1,3),(1,3,1),(3,1,1)三种情况无法构成三角形，且设概率为P ，所以335128P =-=.故答案为：5814.已知21,e e 是空间单位向量，1212e e ⋅= .若空间向量b满足1252,2b e b e ⋅=⋅= ，且对于任意,R x y ∈，()()()120102001,R b xe ye b x e y e x y -+≥-+=∈ ，则0y =__________，b =__________.【答案】①.2②.【解析】【分析】问题等价于()12b xe ye -+当且仅当00,x x y y ==时取到最小值1，通过平方的方法，结合最值的知识求得正确答案.【详解】12112122co 1,,o 2s c s e e e e e e e e ⋅=⋅⋅== ，由于12,0πe e ≤≤ ，所以12π3,e e = ，问题等价于()12b xe ye -+当且仅当00,x x y y ==时取到最小值1，()()()2221212122b xe ye b b xe ye xe ye -+=-⋅⋅+++()()2221212222b xb e yb e x y xy e e =-⋅++⋅++⋅⋅ ()()22245b x y x y xy =-++++ 22245b x y xy x y =++--+ ()22245b x y y x y+=++-- ()222432724y b x y -⎛⎫=+++-- ⎪⎝⎭ .则00024022071y x y b -⎧+=⎪⎪-=⎨⎪-=⎪⎩，解得001,2,x y b === 故答案为：2；【点睛】求解空间向量模有关的问题，可以考虑通过平方的方法进行求解，即利用= a ，将问题转化为利用数量积的运算进行解题.含有多个平方的代数式的最小值，是平方的式子为0的时候最小.四､解答题15.已知平面内两点()6,6A -，()2,2B ．（1）求过点()1,3P 且与直线AB 垂直的直线l 的方程．（2）若ABC V 是以C 为顶点的等腰直角三角形，求直线AC 的方程．【答案】（1）250x y -+=（2）3240x y --=或3120x y ++=【解析】【分析】（1）利用斜率公式求出直线AB 的斜率，再根据直线AB 的斜率与直线AB 垂直的直线l 的斜率乘积为1-和点斜式求解即可；（2）求出线段AB 垂直平分线的方程为280x y --=，故点C 在直线上，设点C 为()28,a a +，根据等腰直角三角形两直角边垂直，所在直线斜率存在，斜率之积为1-建立等式求解即可．【小问1详解】由题意得62262AB k --==--，则直线l 的斜率为12，所以过点()1,3P 且与直线AB 垂直的直线l 的方程为：()1312y x -=-，即250x y -+=．【小问2详解】AB 的中点坐标为()4,2-，由（1）可知线段AB 垂线的斜率为12，所以线段AB 垂直平分线的方程为()1242y x +=-，即280x y --=．因为ABC V 是以C 为顶点的等腰直角三角形，所以点C 在直线280x y --=上，故设点C 为()28,a a +，由⊥CB CA 可得：621286282a a a a +-⋅=-+-+-，解得0a =或4a =-，所以点C 坐标为()8,0或()0,4-，则直线AC 的方程为3240x y --=或3120x y ++=．16.在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为()1101p p <<，收到0的概率为11p -；发送1时，收到0的概率为()2201p p <<，收到1的概率为21p -．现有两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码（例如，若收到1，则译码为1，若收到0，则译码为0）；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1,0,1，则译码为1，若依次收到1,1,1，则译码为1）．（1）已知1223,34p p ==．①若采用单次传输方案，重复发送信号0两次，求至少收到一次0的概率；②若采用单次传输方案，依次发送0,0,1，证明：事件“第三次收到的信号为1”与事件“三次收到的数字之和为2”相互独立．（2）若发送1，采用三次传输方案时译码为0的概率大于采用单次传输方案时译码为0的概率，求2p 的取值范围．【答案】（1）①59；②证明见解析（2）1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）①记事件A 为“至少收到一次0”，利用相互独立事件、互斥事件的概率公式计算可得；②记事件B 为“第三次收到的信号为1”，事件C 为“三次收到的数字之和为2”，证明()()()P BC P B P C =即可；（2）记事件M 为“采用三次传输方案时译码为0”，事件N 为“采用单次传输方案时译码为0”，根据题意可得()()P M P N >，解不等式可解.【小问1详解】①记事件A 为“至少收到一次0”，则()12115233339P A =⨯⨯+⨯=．②证明：记事件B 为“第三次收到的信号为1”，则()31144P B =-=．记事件C 为“三次收到的数字之和为2”，则()22321112143343343349P C =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=．因为()()()21112113343349P BC P B P C =⨯⨯+⨯⨯==，所以事件“第三次收到的信号为1”与事件“三次收到的数字之和为2”相互独立．【小问2详解】记事件M 为“采用三次传输方案时译码为0”，则()()2322231P M p p p =-+．记事件N 为“采用单次传输方案时译码为0”，则()2P N p =．根据题意可得()()P M P N >，即()23222231p p p p -+>，因为201p <<，所以()2222222311,2310p p p p p -+>-+<，解得2112p <<，故2p 的取值范围为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】关键点点睛：利用相互独立事件、互斥事件的概率公式计算各事件的概率.17.如图，已知斜三棱柱111ABC A B C -中，π2BAC ∠=，12π3BAA ∠=，1π3CAA ∠=，1AB AC ==，12AA =，点O 是1B C 与1BC 的交点．（1）用向量AB ，AC，1AA 表示向量AO ；（2）求异面直线AO 与BC 所成的角的余弦值；（3）判定平面ABC 与平面11B BCC 的位置关系．【答案】（1）()112AB AC AA ++（2）3（3）平面ABC ⊥平面11B BCC 【解析】【分析】（1）根据题意结合空间向量的线性运算分析求解；（2）根据空间向量的数量积结合夹角公式运算求解；（3）根据题意结合空间向量可得AE BC ⊥，1AE BB ⊥，结合线面垂直、面面垂直的判定定理分析证明.【小问1详解】由题意可知：点O 是1B C 的中点，则()112BO BC BB =+uu u r uu u r uuu r，所以()()111122AO AB BO AB BC BB AB AC AB AA =+=++=+-+()112AB AC AA =++．【小问2详解】设1,,AB a AC b AA c ===，则111,2,0,121,12122a b c a b b c a c ⎛⎫===⋅=⋅=⨯⨯=⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，()()222221122224AO a b c a b c a b b c a c⎡⎤=++=+++⋅+⋅+⋅⎢⎥⎣⎦()1311402242=++++-=．所以2AO = ．又因为BC b a =-，所以()()112AO BC a b c b a ⋅=++-=，BC = ．所以cos ,3AO BC AO BC AO BC⋅==．所以异面直线AO 与BC所成的角的余弦值为3．【小问3详解】取BC 的中点E ，连接AE ，则()()1122AE AB AC a b =+=+．因为AB AC =，E 为BC 的中点，则AE BC ⊥．又()()111022AE BB a b c a c b c ⋅=+⋅=⋅+⋅=，即1AE BB ⊥．且1BC BB B = ，1,BC BB ⊂平面11B BCC ，所以AE ⊥平面11B BCC ．因为AE ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面11B BCC ．18.如图1，直角梯形ABED 中，1,2,,AB AD DE AD DE BC DE ===⊥⊥，以BC 为轴将梯形ABED 旋转180︒后得到几何体W ，如图2，其中,GF HE 分别为上下底面直径，点,P Q 分别在圆弧,GF HE 上，直线//PF 平面BHQ .（1）证明：平面BHQ ⊥平面PGH ；（2）若直线GQ 与平面PGH 2，求P 到平面BHQ 的距离；（3）若平面BHQ 与平面BEQ 夹角的余弦值为13，求HQ ．【答案】（1）证明见解析（2）33（32【解析】【分析】（1）设平面BHQ 与几何体W 的上底面交于点M ，利用面面平行的性质，得到//BM HQ ，再由//PF 平面BHQ ，证得//PF HQ ，进而得到HQ PG ⊥和GH HQ ⊥，证得HQ ⊥平面PHG ，即可证得平面BHG ⊥平面PGH .（2）连接CQ ，由HQ ⊥平面PGH ，得到tan 2HGQ ∠=，由//PF 平面BHQ ，将问题转化为F 到平面BHQ 的距离，再利用F BHQ Q BFH V V --=，即可求解.（3）分别取,BH HQ 的中点,I N ，连接,,IN CI CN ，利用平面//ICN 平面BEQ ，将问题转化为平面BHQ 与平面ICN 夹角的余弦值为13，过点O 作OK IN ⊥，得到则OKC ∠为平面BHQ 与平面ICN 夹角，结合等面积法和射影定理，即可求解.【小问1详解】证明：设平面BHQ 与几何体W 的上底面交于点M ，即平面BHQ 平面PGF BM =，因为平面//PGF 平面EHQ ，平面BHQ 平面EHQ HQ =，所以//BM HQ ，又因为//PF 平面BHQ ，PF⊂平面PGF ，BHQ 平面PGF BM =，所以//PF BM ，所以//PF HQ ，因为PF PG ⊥，所以HQ PG ⊥，又因为GH ⊥平面EHQ ，且HQ ⊂平面EHQ ，所以GH HQ ⊥，因为PG GH G = ，且,PG GH ⊂平面PHG ，所以HQ ⊥平面PHG ，又因为HQ ⊂平面BHG ，所以平面BHG ⊥平面PGH .【小问2详解】解：连接CQ ，由（1）知HQ ⊥平面PGH ，所以HGQ ∠就是直线GQ 与平面PGH所成的角，即tan HGQ ∠=，因为1GH =，所以HQ ==，所以CHQ 为直角三角形，又BH BQ ==242BHQS =⋅=，又因为平面EFGH ⊥平面EHQ，所以点Q 到平面EFGH 的距离为1h CQ ==，因为//PF 平面BHQ ，所以点P 到平面BHQ 的距离等于点F 到平面BHQ 的距离，设为d ，因为F BHQ Q BFH V V --=，所以1133BHQ BFH S d S h ⋅=⋅ ，因为11111222BFHS BF GH =⋅=⨯⨯=，所以11232d ⨯==，即点P 到平面BHQ 的距离为33.【小问3详解】解：分别取,BH HQ 的中点,I N ，连接,,IN CI CN ，则//,//IN BQ CI BE ，因为IN CI I = 且,IN CI ⊂平面ICN ，BQ BE B = ，且,BQ BE ⊂平面BEQ ，所以平面//ICN 平面BEQ ，若平面BHQ 与平面BEQ 夹角余弦值为13，则平面BHQ 与平面ICN 夹角的余弦值也为13，因为N 为HQ 的中点，,CH CQ BH BQ ==，所以,CN HQ BN HQ ⊥⊥，又因为CN BN N =I 且,CN BN ⊂平面BCN ，所以HQ ⊥平面BCN ，因为HQ ⊂平面BHQ ，所以平面BHQ ⊥平面BCN ，连接BN ，过点C 作⊥OC BN 于点O ，因为平面BHQ 平面BCN BN =，且OC ⊂平面BCN ，所以OC ⊥平面BHQ ，过点O 作OK IN ⊥于点K ，连接CK ，则OKC ∠即为平面BHQ 与平面ICN 夹角，即为1cos 3OKC ∠=，所以tan OKC ∠=设(0)CN t t =>，则BN ==，因为1122BCNS CN BC OC BN =⋅=⋅，所以CN BC CO BN ⋅===，又因为//IN BQ，所以cos cos BNINO NBQ BQ∠=∠==，sin INO ∠=，在直角BCN △中，由射影定理知2CN ON BN =⋅，所以22CN ON BN ==，在直角OKN △中，sin OKINO ON ∠==，所以2OK ON ==，在直角OCK △中，tan OCOKC OK∠==，整理得221(1)4t t -=，解得212t =，即2t =，所以2HQ HN ==.19.球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球O 的半径为R ．A 、B 、C 为球面上三点，劣弧BC 的弧长记为a ，设0O 表示以O 为圆心，且过B 、C 的圆，同理，圆32,O O 的劣弧AC 、AB 的弧长分别记为b ，c ，曲面ABC （阴影部分）叫做球面三角形．若设二面角,,C OA B A OB C B OC A ------分别为α，β，γ，则球面三角形的面积为()2πABC S R αβγ=++- 球面．（1）若平面OAB 、平面OAC 、平面OBC 两两垂直，求球面三角形ABC 的面积；（2）若平面三角形ABC 为直角三角形，AC BC ⊥，设123,,AOC BOC AOB θθθ∠=∠=∠=．则：①求证：123cos cos cos 1θθθ+-=；②延长AO 与球O 交于点D ，若直线DA ，DC 与平面ABC 所成的角分别为ππ,43，(],0,1BE BD λλ=∈，S 为AC 中点，T 为BC 中点，设平面OBC 与平面EST 的夹角为θ，求sin θ的最小值，及此时平面AEC 截球O 的面积．【答案】（1）2π2R （2）①证明见解析；②10sin 5θ=，253π78R 【解析】【分析】（1）根据题意结合相应公式分析求解即可；（2）①根据题意结合余弦定理分析证明；②建系，利用空间向量求线面夹角，利用基本不等式分析可知点2,0,6E ，再利用空间向量求球心O 到平面AEC 距离，结合球的性质分析求解.【小问1详解】若平面OAB ，OAC ，OBC 两两垂直，有π2αβγ===，所以球面三角形ABC 面积为()22ππ2ABC S R αβγ=++-=球面.【小问2详解】①证明：由余弦定理有：222212222222223222AC R R R cos BC R R R cos AB R R R cos θθθ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩，且222AC BC AB +=，消掉2R ，可得123cos cos cos 1θθθ+-=；②由AD 是球的直径，则,AB BD AC CD ⊥⊥，且AC BC ⊥，CD BC C ⋂=，,CD BC ⊂平面BCD ，所以AC ⊥平面BCD ，且BD ⊂平面BCD ，则AC BD ⊥，且AB AC A ⋂=，,AB AC ⊂平面ABC ，可得BD ⊥平面ABC ，由直线DA ，DC 与平面ABC 所成的角分别为ππ,43，所以ππ,43DAB DCB ∠=∠=，不妨先令R =2AD AB BD BC AC =====，由AC BC ⊥，AC BD ⊥，BC BD ⊥，以C 为坐标原点，以CB ，CA 所在直线为x ，y 轴，过点C 作BD 的平行线为z 轴，建立如图空间直角坐标系，设(,BE t t =∈，则())()0,2,0,,0,0,0,A BC D，可得()0,1,0,2S T ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，),,1,22Et O ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，则)26,22CB CO ⎛== ⎝⎭，22,1,0,22ST TE t ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设平面OBC 法向量 =1,1,1，则1111026022m CB m CO x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩，取12z =-，则110y x ==，可得()2m =-，设平面EST法向量 =2,2,2，则22222202n ST x yn TE x tz⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩，取2x=，则22,1y t z==-，可得),,1n t=-，要使sinθ取最小值时，则cosθ取最大值，因为cos cos,m nm nm nθ⋅====，令(]1,1,13m m=+∈，则()2218mt t-==，可得()2221888293129621218m mt m mm mm+===≤= +-+--+-+，当且仅当3,m t==取等．则cosθ，sin5θ==为最小值，此时点E，可得CE=，()0,2,0CA=，设平面AEC中的法向量(),,k xy z=，则20k CE zk CA y⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅==⎩，取1x=，则0,y z==-，可得(1,0,k=-，可得球心O到平面AEC距离为AO kdk⋅==设平面AEC截球O圆半径为r，则2225326r R d=-=，所以截面圆面积为225353πππ2678r R==.【点睛】方法点睛：1.利用空间向量求线面角的思路直线与平面所成的角θ主要通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角ϕ求得，即sin cos θϕ=；2.利用空间向量求点到平面距离的方法设A 为平面α内的一点，B 为平面α外的一点，n为平面α的法向量，则B 到平面α的距离AB n d n⋅= .。

【2019最新】精选高二数学10月月考试题（时间120分钟 满分150分）一、填空题(本大题满分54分)本大题共有12题，其中第1题至第6题每小题4分，第7题至第12题每小题5分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分．1．不等式的解集为 。

21≥-xx 2．如果行列式中元素1的代数余子式为5，则 。

12334152--=a D =a3．已知=(1,2)，=(x,1)，且与平行，则x= 。

a b a b 2+-a 2b4．直线与直线的夹角为 。

5=x 062=-+y x5．已知=(,），=(1,),则向量在方向上的投影为 。

31-3-6．等比数列的公比,若=1，，则的前10项和 。

}{n a 0q >2a 216n n n a a a +++=}{n a =10S7．若扇形的圆心角弧度数为2，其所对的弦长也是2，则此扇形的弧长是 。

8．若一条直线过点(－2,－1），且在两坐标轴上的截距相等，则此直线方程为 。

9．如图，四个边长为1的小正方形构成一个大正方形，是大正方形的一条边，AB )7,6,5,4,3,2,1(=i P i 是小正方形的其余顶点，则的不同值的个数为 。

i ⋅10．若关于的方程有实根，则实数的取值范围为 。

x 09222=-+⋅+a a x x a11. 在平行四边形中，，则线段的长为_______。

ABCD 3=⋅=⋅AC 12．已知函数，正实数成公差为正数的等差数列，满足：21()()log 3x f x x =-a b c 、、 ()()()0f a f b f c <，且实数是方程的一个解。

给出下列四个不等式：d ()0f x =① ；②；③；④，其中有可能成立的不等式的个数是 。

d a <d b >d c <d c >二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13．下列命题正确的个数是（ ）（1）单位向量都相等； （2）若与是非零平行向量，与是平行向量，则与是平行向量。

滨城高中联盟2024-2025学年度上学期高二10月份考试数学试题（时间：120分钟，满分：150分）第I 卷（选择题）一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在四面体中，已知点是的中点，记，则等于（ ）A. B.C. D.2.若平面的法向量为，直线的方向向量为，直线与平面的夹角为，则下列关系式成立的是（ ）A. B.C. D.3.若直线的一个法向量是，则该直线的倾斜角为（ ）A. B. C. D.4.已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（ ）A. B. C. D.5.设是的二面角内一点，是垂足，，则的长度为（ ）A.B.56.对于空间一点和不共线三点，且有，则（ ）A.四点共面B.四点共面ABCD E CD ,,AB a AC b AD c === BE 1122a b c -++ 1122a b c -+ 1122a b c -+ 1122a b c -++ αμ l vl αθcos v v μθμ⋅= cos v v μθμ⋅=sin v v μθμ⋅= sin v vμθμ⋅= AB )1a =- 30 60 120 150()()1,1,2,1,2,1a b =-=- a b ()1,1,1-555,,663⎛⎫- ⎪⎝⎭555,,636⎛⎫- ⎪⎝⎭111,,424⎛⎫- ⎪⎝⎭P 120 l αβ--,,,PA PB A B αβ⊥⊥4,3PA PB ==AB O ,,A B C 2OP PA OB OC =-+ ,,,O A B C ,,,P A B CC.四点共面D.五点共面7.将正方形沿对角线折成直二面角，下列结论不正确的是（）A.B.，所成角为C.为等边三角形D.与平面所成角为8.正方形的边长为12，其内有两点，点到边的距离分别为3，2，点到边的距离也分别是3和2.如图，现将正方形卷成一个圆柱，使得和重合.则此时两点间的距离为（ ）二､多项选择题：体题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的按部分得分，有选错的得0分.9.下列说法中，正确的有（ ）A.直线必过定点B.方程是直线的一般式方程C.直线的斜率为D.点到直线的距离为110.已知空间单位向量两两垂直，则下列结论正确的是（ ）A.向量与共线B.问量C.可以构成空间的一个基底,,,O P B C ,,,,O P A B C ABCD BD AC BD⊥AB CD 60︒ADC V AB BCD 60︒11ABB A ,P Q P 111,AA A B Q 1,BB AB AB 11A B ,P Q ()32y ax a a =-+∈R ()3,20Ax By C ++=10x ++=()5,3-20y +=,,i j k i j + k j - i j k ++ {},,i j i j k +-D.向量和11.如图，已知正六棱柱的底面边长为2，所有顶点均在球的球面上，则下列说法错误的是（ ）A.直线与直线异面B.若是侧棱上的动点，则C.直线与平面D.球的表面积为第II 卷（非选择题）三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知点关于直线对称的点是，则直线在轴上的截距是__________.13.若三条直线相交于同一点，则点到原点的距离的最小值为__________.14.已知正三棱柱的底面边长为是其表面上的动点，该棱柱内切球的一条直径是，则的取值范围是__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知直线与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线的方程：（1）过定点；（2）斜率为.16.（本小题满分15分）如图，在四面体中，面是的中点，是i j k ++ k ABCDEF A B C D E F ''''-''O DE 'AF 'M CC 'AM MD +'AF 'DFE 'O 18π()1,2A -y kx b =+()1,6B --y kx b =+x 2,3,100y x x y mx ny =+=++=(),m n ABC A B C '-''P MN PM PN ⋅ l l ()3,4A -16ABCD AD ⊥,2,BCD AD M =AD P的中点，点在棱上，且.请建立适当的空间直角坐标系，证明：面.17.（本小题满分15分）如图所示，平行六面体中.（1）用向量表示向量，并求；（2）求18.（本小题满分17分）如图，在五棱锥中，平面是等腰三角形.（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成角的大小.19.（本小题满分17分）如图，在三棱柱中，棱的中点分别为在平面内的射影为是边长为2的等边三角形，且，点在棱上运动（包括端点）.请建立适当的空间直角坐标系，解答下列问题：BM Q AC3AQ QC=PQ∥BCD1111ABCD A B C D-111ππ1,2,,23AB AD AA BAD BAA DAA∠∠∠======1,,AB AD AA1BD1BD1cos,BD ACP ABCDE-PA⊥,ABCDE AB∥,CD AC∥,ED AE∥,45,24,BC ABC AB BC AE PAB∠====VPCD⊥PACPB PCD111ABC A B C-1,AC CC1,,D E CABC,D ABCV12AA=F11B C（1）若点为棱的中点，求点到平面的距离；（2）求锐二面角的余弦值的取值范围.F 11B C F BDE F BD E --滨城高中联盟2024-2025学年度上学期高二10月份考试数学试题参考答案一､单选题1.A2.D3.B4.C5.D6.B7.D8.【答案】B【详解】解法一：如图建系设圆柱底面半径为，则，所以，则所以.解法二：如图，设过点且平行底面的截面圆心为，过点且平行底面的截面圆心为，设圆柱底面半径为，则，所以，则，.r 2π12r =6πr =33,3,,9ππQ P ⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭PQ =P 1O Q 2O r 2π12r =6πr =121122222π,,63πO P O Q PQ PO O O O Q +===++222211221212||22PQ PO O O O Q r O O PO O Q∴=++=++⋅ 222266π36262cos 336,ππ3πPQ ⎛⎫⎛⎫=⋅++⋅⋅=⋅+∴= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭9.AD 10.BCD.11.【答案】AC【详解】对于A ，如图①，连接，则，所以，所以直线与直线共面，故A 错误；对于B ，将平面沿着翻折到与平面共面的位置，得到矩形，如图②所示.因为底面边长为，所以则的最小值为，故B 正确；对于C ，以为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴，建立如图①所示的空间直角坐标系，则，所以.设平面的法向量为，则，即，令，得，所以平面的一个法向量为.设直线与平面所成角为，则，故C 错误；对于D ，如图③，设球的半径为，根据对称性可知，正六棱柱的外接球的球心在上下底面的中心的连线的中点处.，则，所以球的表面积，故D 正确.,AD A D ''AD ∥,A D A D ''''∥E F ''AD ∥E F ''DE 'AF 'ACC A ''CC 'CDD C ''ADD A ''2π2,3ABC ∠=AC =AM MD +'AD =='F ,,FA FD FF 'x y z ()(()()(2,0,0,,0,0,0,0,,A F F D E '-'(()(,0,,AF FD FE =''=-=- DFE '(),,m x y z = 00FD m FE m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪'⎩ 00y x =⎧⎪⎨-++=⎪⎩1z =x =DFE ')m = AF 'DFE 'θ1sin 3θO R 12O O 1122,O C O O ==22222211922R OC O C O O ==+=+=O 294π4π18π2S R ==⨯=12.13.【答案】【详解】由解得把代入可得，所以，所以点到原点的距离当时等号成立，此时.所以点到原点的距离的最小值为14.【答案】【详解】由题意知内切球的半径为1，设球心为，则.因为.四､解答题15.【答案】（1）或.（2）或.【详解】（1）由题意知直线的斜率存在，设为则直线的方程为，它在轴，轴上的截距分别是，由已知，得，解得或.故直线的方程为或.（2）设直线在轴上的截距为，则直线的方程是，它在轴上的截距是，8-2,3,y x x y =⎧⎨+=⎩1,2.x y =⎧⎨=⎩()1,240mx ny ++=2100m n ++=102m n =--(),m n d ==4n =-2m =-(),m n []0,4O ()()PM PN PO OM PO ON ⋅=+⋅+ ()2OP PO OM ON OM ON =+⋅++⋅ 2||1PO =- []0,4PM PN ⋅∈ 2360x y +-=83120x y ++=660x y -+=660x y --=l kl ()34y k x =++x y 43,34k k--+()43436k k ⎛⎫+⨯+=± ⎪⎝⎭123k =-283k =-l 2360x y +-=83120x y ++=l y b l 16y x b =+x 6b -由已知，得，所以.所以直线的方程为或.16.解法一：以为坐标原点，所在直线为z 轴，线段的延长线为y 轴，建立如图所示空间直角坐标系，设，由题意得，因为，所以即即所以，所以又因为面BCD 的一个法向量为所以所以又因为面所以面.解法二：66b b -⋅=1b =±l 660x y -+=660x y --=D DA BD 2BD a =()()()10,2,0,0,0,2,0,0,1,0,,2B a A M P a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭3AQ QC =34AQ AC = ()()3,,2,,24Q Q Q x y z x y -=-331,,442Q Q Q x x y y z ===331,,442Q x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭33,,044PQ x y a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()0,0,1n =0PQ n ⋅= PQ n⊥ PQ ⊄BCDPQ ∥BCD取的中点，连接，因为为BM 的中点，所以，所以平面，过作，交BC 于以为坐标原点，的方向分别为x 轴､y 轴､z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.因为为中点，设则设点的坐标为.因为，所以.因为为的中点，故，又为的中点，故，所以又平面BCD 的一个法向量为，故，所以又平面BCD ，所以平面BC D.17.【答案】（1）2【详解】（1），BD O OP P OP ∥MD OP ⊥BCD O OE BD ⊥,E O ,,OE OD OP2,AD M =AD 2BD a=()()0,,2,0,,0A a B a -C ()00,,0x y 3AQ QC = 003131,,4442Q x a y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭M AD ()0,,1M a P BM 10,0,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭00313,,0444PQ x a y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()0,0,1n =0PQ n ⋅= PQ n⊥ PQ ⊄PQ ∥111,BD AD AA AB BD =+-= 111BD AD AB AD AA AB =-=+-则，所以.（2）由空间向量的运算法则，可得，因为且，因为是正方形，所以，则.18.【答案】（1）见详解（2）【详解】（1）证明：在中，因为，所以，因此故，所以，即又平面，所以.又平面，且，所以平面.又平面，所以平面平面.（或者建系求法向量，证明法向量垂直，略）（2）由（1）知两两相互垂直，分别以的方向为轴､轴､轴正方向，建立()2222211111222BD AD AA AB AD AA AB AD AA AD AB AB AA =+-=+++⋅-⋅-⋅ 111412*********=+++⨯⨯⨯--⨯⨯⨯=1BD = AC AB AD =+ 11,2AB AD AA ===11ππ,23BAD BAA DAA ∠∠∠===ABCD AC = ()()221111BD AC AD AA AB AB AD AD AB AD AA AB AA AD AB AD AB ⋅=+-⋅+=⋅++⋅+⋅--⋅ 22ππππ11cos121cos 21cos 111cos 22332=⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯--⨯⨯=111cos ,BD AC BD AC BD AC ⋅===⋅ π6ABC V 45,4,ABC BC AB ∠=== 2222cos458AC AB BC AB BC =+-⋅⋅= AC =222BC AC AB =+90BAC ∠= AB AC⊥PA ⊥,ABCDE AB ∥CD ,CD PA CD AC ⊥⊥,PA AC ⊂PAC PA AC A ⋂=CD ⊥PAC CDC PCD PCD ⊥PAC ,,AB AC AP ,,AB AC AP x y z如图所示的空间直角坐标系，由于是等腰三角形，所以.又，因此，.因为，所以四边形是直角梯形.因为，所以，因此，故，所以.因此.设是面的一个法向量，则，解得.取，得.又，设表示向量与平面的法向量所成的角，则，又因为，所以，因此直线与平面所成的角为.PAB V PA AB ==AC =()()0,0,0,A B ()(0,,0,0,C P AC ∥,ED CD AC ⊥ACDE 2,45,AE ABC AE ∠== ∥BC 135BAE ∠= 45CAE ∠= sin452CD AE =⋅== ()D (()0,,CP CD =-= (),,m x y z =PCD 0,0m CP m CD ⋅=⋅= 0,x y z ==1y =()0,1,1m =(BP =- θBP PCD m1cos 2m BP m BP θ⋅==⋅ π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π3θ=PB PCD π619.【答案】（1（2）解法一：连接，因为在平面内的射影为，所以平面，由于平面，所以，由于三角形是等边三角形，所以，以为原点，分别以的方向为轴､轴､轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，则，因为所以又因为为中点，所以所以设面的一个法向量为则令，则所以所以点到平面的距离为（2）因为在棱上（包括端点）设12⎡⎢⎣1DC 1C ABC D 1DC ⊥ABC ,AC BD ⊂ABC 11,DC AC DC BD ⊥⊥ABC BD AC ⊥BD ==1DC ==D 1,,DB DA DC x y z (())11,0,1,0,,0,2C C B E ⎛-- ⎝)11C B CB == 1B F 11B C 12F 12BF ⎛= ⎝ BDE ()111,,m x y z =1(0,,2BD ED ⎛== ⎝ 111000x BD m y ED m ⎧=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨=⋅=⎪⎪⎩⎩ 11z =1y =()m = F BDE BF m m ⋅== F 11B C ()111,01C F C B λλ= ……因为，所以设平面的法向量为，令所以，设锐二面角为，则令，所以，设则二次函数的开口向上，对称轴为，所以当时，该二次函数单调递增，所以当时，该二次函数有最小值，当时，该二次函数有最大值，，即.所以锐二面角的余弦值的取值范围.解法二：（1）连接，因为在平面内的射影为，所以平面，由于平面，所以，)11C B = )1,,0C F λ=BDF ()222,,n x y z = 11,,0),DF DC C F λλ=+=+= 22220000DF n x y x DB n λ⎧⋅=++=⎪⇒⎨=⋅=⎪⎪⎩⎩ 2y =2z λ=-()m λ=- F BD E --θ1cos 2θ=[]()32,3t t λ-=∈cos θ==111,,32s s t ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭cos θ=221112611244y s s s ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭14s =11,32s ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦13s =21111261333⎛⎫⨯-⨯+= ⎪⎝⎭12s =2111261122⎛⎫⨯-⨯+= ⎪⎝⎭⎡⎣1cos 2θ⎡∈⎢⎣F BD E --12⎡⎢⎣1DC 1C ABC D 1DC ⊥ABC ,AC BD ⊂ABC 11,DC AC DC BD ⊥⊥由于三角形是等边三角形，所以，又以为原点，分别以的方向为轴､轴､轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，则，又，故，则设平面的法向量为，则，故可设，又，所以点到平面的距离为.（2）设，则，设平面的法向量为，则令，所以，所以，设锐二面角为，ABC ,BD AC BD ⊥==1DC ==D 1,,DCDB DCx yz (()()11,1,0,0,,2C C E B ⎛ ⎝()11C B CB ==-(11,2B F ⎛-- ⎝()1,,2DE DB ⎛== ⎝ BDE ()111,,m x y z =1111020m DE x z m DB ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅==⎩ ()m = 1,2BF ⎛=- ⎝ F BDE BF m m ⋅== ()()1111101,C F C B C B λλ=≤≤=- (()(11111DF DC C F DC C B λλλ=+=+=+-=- BDF ()222,,n x y z =22220000DF n x y y DB n λ⎧⎧⋅=-++=⎪⎪⇒⎨⎨=⋅=⎪⎪⎩⎩ 2x =2z λ=)n λ=F BD E --θ则令，所以，设则二次函数的开口向上，对称轴为，所以当时，该二次函数单调递增，所以当时，该二次函数有最小值，当时，该二次函数有最大值，，即.所以锐二面角的余弦值的取值范围.1cos 2θ=[]()32,3t t λ-=∈cos θ==111,,32s s t ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭cos θ=221112611244y s s s ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭14s =11,32s ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦13s =21111261333⎛⎫⨯-⨯+= ⎪⎝⎭12s =2111261122⎛⎫⨯-⨯+= ⎪⎝⎭⎡⎣1cos 2θ⎡∈⎢⎣F BD E --12⎡⎢⎣。

高二10月月考（数学）（考试总分：150 分）一、 单选题 （本题共计8小题，总分40分）1.（5分）1．已知()3,1A ，()1,2B -，()1,1C ，则过点C 且与线段AB 平行的直线方程为（ ）A ．3250x y +-=B ．3210x y --=C ．2310x y -+=D ．2350x y +-=2.（5分）2． “方程x 2+y 2-4y+k=0表示一个圆”是“0<k<4”的 ( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件3.（5分）3．若方程20x x m ++=有两个虚根,αβ，且||3αβ-=，则实数m 的值为（ ）A ．52B ．52-C ．2D ．2-4.（5分）4．袋中有a 个白球b 个黑球，不放回摸球两次，问第二次摸出白球的概率为（ ）A ．a a b +B ．b a b +C ．a bD ．b a5.（5分）5．对于命题“正三角形内任意一点到各边的距离之和为定值”推广到空间是“正四面体内任意一点到各面的距离之和为（ ）”.A ．定值B ．变数C ．有时为定值、有时为变数D ．与正四面体无关的常数6.（5分）6．已知圆22:42150C x y x y +---=上有两个不同的点到直线():76l y k x =-+则k 的取值范围是（ ）A ．1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．12,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．11(,2),(2,)22∞∞⎛⎫--⋃-⋃+ ⎪⎝⎭D ．1,(2,)2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭7.（5分）7．在锐角ABC 中，若cos cos sin sin 3sin A C B C a c A +=cos 2C C +=，则a b +的取值范围是（ ）A ．(B ．(0,C ．(D ．(6, 8.（5分）8．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，过点C 做直线l ，使得直线l 与直线BA 1和B 1D 1所成的角均为70，则这样的直线l （ ）A ．不存在B ．有2条C ．有4条D ．有无数条二、 多选题 （本题共计3小题，总分15分）9.（5分）9．下列命题中假命题的是（ ）A ．向量a 与向量b 共线，则存在实数λ使()a b R λλ=∈B ．a ，b 为单位向量，其夹角为θ，若||1a b ->，则ππ3θ<≤ C ．若0a b ⋅=，则a b ⊥D ．已知1e 与2e 是互相垂直的单位向量，若向量12e ke +与12ke e +的夹角为锐角，则实数k 的取值范围是0k >. 10.（5分）10．直线2326023180x y x m y ++=-+=，和23120mx y -+=围成直角三角形，则m 的值可为（ ）A ．0B ．1C ．1-D ．49- 11.（5分）12．设10AB =，若平面上点P 满足对任意的R λ∈，恒有28AP AB λ-≥，则下列一定正确的是（ ） A ．4PA ≥ B ．10PA PB +≥ C ．9PA PB ⋅-≥ D ．90APB ∠≥︒三、 填空题 （本题共计5小题，总分25分）12.（5分）11．已知平行六面体1111ABCD A B C D -的体积为24，任取其中四个不共面的顶点构成四面体，则该四面体的体积可能取值为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．1613.（5分）13．某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：9，8，8，9，7，8，9，10，7，5，估计该学员射击一次命中环数为___________.14.（5分）14.假设()0.7,()0.8,P A P B ==且A 与B 相互独立，则()P A B ⋃=___________.15.（5分）15．如图，在ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，2AC =，2BE EA =，AD 与CE 的交点为O ．若2AO BC ⋅=-，则AB 的长为______．16.（5分）16．在平面直角坐标系中，给定()()1,2,3,4M N 两点，点P 在x 轴的正半轴上移动，当MPN ∠最大值时，点P 的横坐标为_______.四、 解答题 （本题共计6小题，总分70分）17.（10分）17．已知复数z 满足234i z =+，且z 在复平面内对应的点位于第三象限. （1）求复数z ；（2）求20211()1z z++的值. 18.（12分）18.已知ABC 的面积为212sin b B ，cos cos 13A C =-. （1）求B 的大小；（2）若6b =，求该三角形内切圆半径r .19.（12分）19．已知圆()()22:1216C x y ++-=，直线()():211710l m x m y m ++--+=，m R ∈.（1）证明：不论m 取任何实数，直线l 与圆C 恒交于两点；（2）当直线l 被圆C 截得的弦长最短时，求此最短弦长及直线l 的方程. 20.（12分）20．在一个文艺比赛中，10名专业评委和10名观众代表各组成一个评委小组．给参赛选手甲，乙打分如下：（用小组A ，小组B 代表两个打分组）小组A ：甲：7.5 7.5 7.8 7.8 8.0 8.0 8.2 8.3 8.4 9.5乙：7.0 7.8 7.8 7.8 8.0 8.0 8.3 8.3 8.5 8.5小组B ：甲：7.4 7.5 7.5 7.6 8.0 8.0 8.2 8.9 9.0 9.0乙：6.9 7.5 7.6 7.8 7.8 8.0 8.0 8.5 9.0 9.9（1）选择一个可以度量打分相似性的量，并对每组评委的打分计算度量值，根据这个值判断小组A 与小组B 那个更专业？（2）根据（1）的判断结果，计算专业评委打分的参赛选手甲、乙的平均分；（3）若用专业评委打分的数据．选手的最终得分为去掉一个最低分和一个最高分之后．剩下8个评委评分的平均分．那么，这两位选手的最后得分是多少？若直接用10位评委评分的平均数作为选手的得分，两位选手的排名有变化吗？你认为哪种评分办法更好？（只判断不说明）．（以上计算结果保留两位小数）21.（12分）21．已知圆M 过A ，(10,4)B ，且圆心M 在直线y x =上. （1）求圆M 的标准方程；（2）过点(0,4)-的直线m 截圆M 所得弦长为m 的方程；（3）过直线l: x+y+4=0上任意一点P 向圆M 作两条切线，切点分别为C ，D.记线段CD的中点为Q ，求点Q 到直线l 的距离的取值范围.22.（12分）22．在三棱柱111ABC A B C -中，1,,AB BC AB AA ⊥⊥12π,3A AC ∠=点M 为棱1CC 的中点，点T 是线段BM 上的一动点，12 2.AA AC AB ===（1）证明：1CC BM ⊥；（2）求平面11B BCC 与平面11A ACC 所成的二面角的正弦值；（3）设直线AT 与平面11B BCC 、平面11A ABB 、平面ABC 所成角分别为123,,.θθθ求123sin sin sin θθθ++的取值范围.答案一、 单选题 （本题共计8小题，总分40分）1.（5分）1.B2.（5分） 2．B3.（5分） 3．A4.（5分） 4．A5.（5分）5．A6.（5分）6.【答案】C 【详解】由圆22:(2)(1)20,C x y -+-=():76l y k x =-+过定点()7,6,C R ∴=C 上有两个不同点到l即~∈C l d，<k 的取值范围为()()11,2,2,22∞∞⎛⎫--⋃-⋃+ ⎪⎝⎭故选：C. 7.（5分）7．Dcos 2sin()26C C C π+=+=，得262C k πππ+=+，k Z ∈， (0,)2C π∈，3C π∴=． 由正弦定理知，sin sin B b A a =， 由余弦定理知，222cos 2b c a A bc +-=， cos cos sin sin 3sin A C B C a c A +=，∴22211223b c a b bc a c a +-⨯+=)0b c =， 0b≠，c ∴=由正弦定理，有4sin sin sin a b c A B C ====，4sin a A ∴=，4sin b B =， 锐角ABC ∆，且3C π=，(0,)2A π∴∈，2(0,)32B A ππ=-∈，解得(6A π∈，)2π，214(sin sin )4[sin sin()]4(sin sin ))326a b A B A A A A A A ππ∴+=+=+-=+=+， (6A π∈，)2π，(63A ππ∴+∈，2)3π，sin()6A π+∈1]， a b ∴+的取值范围为(6，．8.（5分）8．C 在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，连接1,A D BD ，如图，则有11//BD B D ，显然11A B A D BD ==，即直线BA 1和B 1D 1所成角160∠=A BD ， 过点C 做直线l 与直线BA 1和B 1D 1所成的角均为70可以转化为过点B 做直线l '与直线BA 1和BD 所成的角均为70，A BD '∠的平分线AO 与直线BA 1和BD 都成30的角，让l '绕着点B 从AO 开始在过直线AO 并与平面A BD '垂直的平面内转动时，在转动到l '⊥平面A BD '的过程中，直线l '与直线BA 1和BD 所成的角均相等，角大小从30到90，由于直线l '的转动方向有两种，从而得有两条直线与直线BA 1和BD 所成的角均为70，又A BD '∠的邻补角大小为120，其角平分线与直线BA 1和BD 都成60的角， 当直线l '绕着点B 从A BD '∠的邻补角的平分线开始在过该平分线并与平面A BD '垂直的平面内转动时，在转动到l '⊥平面A BD '的过程中，直线l '与直线BA 1和BD 所成的角均相等，角大小从60到90，由于直线l '的转动方向有两种，从而得有两条直线与直线BA 1和BD 所成的角均为70， 综上得，这样的直线l '有4条，所以过点C 与直线BA 1和B 1D 1所成的角均为70的直线l 有4条.二、 多选题 （本题共计3小题，总分15分）9.（5分）9．ACD10.（5分） 10．ACD 由题意，若3260x y ++=和223180x m y -+=垂直可得： ()232230m ⨯+⨯-=，解得1m =±，经验证当1m =时，后面两条直线平行，构不成三角形，故1m =-；同理，若3260x y ++=和23120mx y -+=垂直可得：660m -=，解得1m =，应舍去；若223180x m y -+=和23120mx y -+=垂直可得：2490m m +=，解得0m =或49m =-，经验证均符合题意，故m 的值为：0，1-，49-． 11.（5分）12．AC 以直线AB 为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则(5,0),(5,0)A B -，设(,)P x y ，则(5,)AP x y =+，(10,0)AB =，2(21010,2)AP AB x y λλ-=+-，由28AP AB λ-≥得22(21010)464x y λ+-+≥，22(55)16x y λ+-+≥，对任意λ，22(55)16x y λ+-+≥恒成立，则216y ≥，即4y ≤-或4y ≥，此时min 4AP =（当5,4x y =-=±时取得），A 正确；若(0,4)P ，则(0,8)PA PB +=，8PA PB +=，B 错；22(5,)(5,)25025169PA PB x y x y x y ⋅=+⋅-=-+≥-+=-（20,4x y ==时等号成立），C正确；例如P 点坐标是(5,4)-时， 90PAB ∠=︒，APB ∠90<︒，D 错，故选：AC ．三、 填空题 （本题共计5小题，总分25分）12.（5分）11．AC设平行六面体的体积为24V =如左图，当取顶点1,,,A A B D 时，则该四面体体积11124466V V ==⨯=； 如右图，当取顶点11,,,A B C D 时，则该四面体体积21424448V V V =-=-⨯=.13.（5分）13．814.（5分） 14. 0.9415.（5分）15． ∵D 是BC 的中点，2BE EA =， ∵23BE BA =，2BC BD =． ∵E ，O ，C 三点共线，设()()21213BO BE BC BA BD λλλλ=+-=+-，且A ，O ，D三点共线， ∵()22113λλ+-=，解得34λ=， ∵1124BO BA BC =+． ∵()111244AO AB BO AB BA BC AB AC =+=++=+， ∵()()()()22211142444AO BC AB AC AC AB AC AB AB ⋅=+⋅-=-=-=-，∵212AB =，23AB =16.（5分）16．3 过点,,M N P 三点的圆的圆心在线段MN 的中垂线5y x =-上，其中MPN ∠为弦MN 所对的圆周角，所以当圆的半径最小时，MPN ∠最大，设圆心坐标为(,5)E a a -，又由点P 在x 轴上移动，当圆和x 轴相切时，MPN ∠取得最大值，设切点为(,0)P a ，圆的半径为5a -，所以圆的方程为222()(5)(5)x a y a a -++-=-，代入点(1,2)M 代入圆的方程，可得222(1)(25)(5)a a a -++-=-，整理得2250a a +-=，解得3a =或5a =-（舍去）， 所以点P 的横坐标的为3.四、 解答题 （本题共计6小题，总分70分）17.（10分）17．（1）2i z =--；（2）i .（1）设i z a b =+，,0a b <， 则2222i 34i z a b ab =-+=+，22,0232i 124a b a a b z b ab <⎧=-⎧⎪∴-=⇒⇒=--⎨⎨=-⎩⎪=⎩； （2）202120212021202111i 1i i i 1i 1i 1z z +--+⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 18.（12分）18.【详解】（1）21sin 212sin ABC b S ac B B ==， 由正弦定理得：21sin sin sin sin 212sin B A C B B=，又sin 0B ≠，1sin sin 6A C ∴=， ()111cos cos cos cos sin sin 362B A C A C A C ∴=-+=-+=+=，又()0,B π∈，3B π∴=；（2）3612sin 3ABC S π===1sin 2ac B ∴==，解得：8ac =；由余弦定理得：()()222222cos 22cos 24363b a c ac B a c ac ac a c π=+-=+--=+-=，a c ∴+=6a b c ∴++=+()(132ABC S a b c r r =++⋅==r ∴= 19.（12分）19.【详解】（1）证明：因为()():211710l m x m y m ++--+=，所以()()2710m x y x y +-+-+=，因为m R ∈，所以2702103x y x x y y +-==⎧⎧⇒⎨⎨-+==⎩⎩故直线l 过定点()2,3A .因为圆C 的圆心为()1,2C -，4r =，4AC ，则点A 在圆内.所以直线l 与圆C 恒交于两点.（2）由（1）知直线l 过定点()2,3A ，所以当直线l 被圆C 截得的弦长最短时有l AC ⊥， 弦心距d ====因为321213AC k -==+，所以13k =-，故直线l 的方程为390x y +-=. 20.（12分）20．（1）小组A 更专业；（2）甲均分8.1，乙均分8；（3）甲均分8，乙均分8.06，两位选手排名有变化，我认为去掉一个最高分，一个最低分后更合理 （1）小组A 的打分中，甲的均值： 17.57.57.87.8888.28.38.49.5108.1X +++++++++== 甲的方差： 210.360.360.090.090.010.010.010.040.09 1.96100.302s +++++++++== 乙的均值： 277.87.87.8888.38.38.58.5108X +++++++++== 乙的方差： 2210.040.040.040.090.090.250.25100.18s +++++++== 小组B 的打分中，甲的均值： 37.47.57.57.6888.28.999108.11X +++++++++==甲的方差： 2222222222230.710.610.610.510.110.110.090.790.890.89100.3749s +++++++++== 乙的均值： 4 6.97.57.67.87.8888.599108.01X +++++++++== 乙的方差： 2222222222240.710.610.610.510.110.110.090.790.890.89100.3949s +++++++++== 由以上数据可得，在均值均差0.01的情况下，小组B 的打分方差较大，所以，小组A的打分更专业（2）由（1）可得：小组A 为专业评委，所以： 选手甲的平均分18.1X = 选手乙的平均分28X =（3）由专业评委的数据，去掉一个最高分，去掉一个最低分后，甲乙的均值分别为： 7.57.87.8888.28.38.488X +++++++==甲 7.87.87.8888.38.38.588.06X +++++++=≈乙 去掉一个最低分，一个最高分之后，乙的均值高于甲，按照10个数据计算时，甲的均值高于乙的均值，排名不同。

2024年湖北云学名校联盟高二年级10月联考数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项考试时间：2024年10月15日15：00-17：00 时长：120分钟满分：150分是符合题目要求的．1. 已知i 为虚数单位，20253i 1i ++的虚部为（ ）A. i −B. iC. 1−D. 1【答案】C 【解析】【分析】根据复数乘方、乘法、除法运算法则结合复数的概念运算即可得出结果.【详解】根据复数的乘方可知()50620254i i i i =⋅=，则()()()()20253i 1i 3i 3i32i 12i 1i 1i1i 1i 2+−++−+====−+++−，其虚部为1−. 故选：C2. 已知一组数据：2，5，7，x ，10的平均数为6，则该组数据的第60百分位数为（ ） A. 7 B. 6.5C. 6D. 5.5【答案】B 【解析】【分析】先根据平均数求x 的值，然后将数据从小到大排列，根据百分位数的概念求值. 【详解】因为2571065x ++++=⇒6x =.所以数据为：2，5，6，7，10.又因为560%3×=，所以这组数据的第60百分位数为：676.52+=. 故选：B3. 直线1l ：20250ax y −+=，2l ：()3220a x ay a −+−=，若12l l ⊥，则实数a 的值为（ ） A 0 B. 1C. 0或1D.13或1 【答案】C.【分析】根据两直线垂直的公式12120A A B B +=求解即可. 【详解】因为1l ：20250ax y −+=，2l ：()3220a x ay a −+−=垂直， 所以()()3210a a a −+−=， 解得0a =或1a =，将0a =，1a =代入方程，均满足题意， 所以当0a =或1a =时，12l l ⊥. 故选：C .4. 为了测量河对岸一古树高度AB 的问题（如图），某同学选取与树底B 在同一水平面内的两个观测点C 与D ，测得15BCD ∠=°，30BDC ∠=°，48m CD =，并在点C 处测得树顶A 的仰角为60°，则树高AB 约为（ ）1.4≈1.7≈）A. 100.8mB. 33.6mC. 81.6mD. 57.12m【答案】D 【解析】【分析】先在BCD △中，利用正弦定理求出BC ，再在Rt ABC △中求AB 即可.【详解】在BCD △中，15BCD ∠=°，30BDC ∠=°，所以135CBD ∠=°，又48CD =，由正弦定理得：sin sin CD CBCBD CDB=∠∠⇒12CB=⇒CB =在Rt ABC △中，tan 60AB BC =°=24 1.4 1.7≈××57.12=. 故选：D5. 如果直线ax ＋by ＝4与圆x 2＋y 2＝4有两个不同的交点，那么点P (a ，b )与圆的位置关系是( ) A. P 在圆外 B. P 在圆上D. P 与圆的位置关系不确定 【答案】A 【解析】224a b ∴+，所以点(),a b 在圆外考点：1．直线与圆的位置关系；2．点与圆的位置关系6. 在棱长为6的正四面体ABCD 中，点P 与Q 满足23AP AB = ，且2CD CQ =，则PQ 的值为（ ）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】以{},,AB AC AD 为基底，表示出PQ，利用空间向量的数量积求模.【详解】如图：以{},,AB AC AD 为基底，则6AB AC AD ===，60BAC BAD CAD ∠=∠=∠=°，所以66cos 6018AB AC AB AD AC AD ⋅=⋅=⋅=××°=.因为()1223PQ AQ AP AC AD AB =−=+− 211322AB AC AD =−++. 所以22211322PQ AB AC AD =−++222411221944332AB AC AD AB AC AB AD AC AD =++−⋅−⋅+⋅ 169912129=++−−+19=.所以PQ =.故选：D7. 下列命题中正确的是（ ）A. 221240z z +=，则120z z ==； B. 若点P 、Q 、R 、S 共面，点P 、Q 、R 、T 共面，则点P 、Q 、R 、S 、T 共面；C. 若()()1P A P B +=，则事件A 与事件B 是对立事件； D. 从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为310； 【答案】D 【解析】【分析】举反例说明ABC 不成立，根据古典概型的算法判断D 是正确的.【详解】对A ：若1i z =，22z =，则221240z z +=，但120z z ==不成立，故A 错误； 对B ：如图：四面体S PRT −中，Q 是棱PR 上一点，则点P 、Q 、R 、S 共面，点P 、Q 、R 、T 共面，但点P 、Q 、R 、S 、T 不共面，故B 错误； 对C ：掷1枚骰子，即事件A ：点数为奇数，事件B ：点数不大于3， 则()12P A =，()12P B =，()()1P A P B +=，但事件A 、B 不互斥，也不对立，故C 错误； 对D ：从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，有35C 10=种选法， 这三条线段能构成一个三角形的的选法有：{}3,5,7，{}3,7,9，{}5,7,9共3种， 所以条线段能构成一个三角形的的概率为：310P =，故D 正确. 故选：D8. 动点Q 在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D −侧面11BCC B 上，满足2QA QB =，则点Q 的轨迹长度为（ ）A. 2πB.4π3C.D.【解析】【分析】结合图形，计算出||BQ =，由点Q ∈平面11BCC B ，得出点Q 的轨迹为圆弧 EQF，利用弧长公式计算即得.【详解】如图，易得AB ⊥平面11BCC B ,因BQ ⊂平面11BCC B ，则AB BQ ⊥，不妨设||BQ r =，则||2AQ r =, ||3AB ==，解得r =又点Q ∈平面11BCC B ，故点Q 的轨迹为以点B EQF,故其长度为π2. 故选：D.二、选择题：本题共36分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 在平面直角坐标系中，下列说法正确的是（ ） A. 若两条直线垂直，则这两条直线的斜率的乘积为1−；B. 已知()2,4A ，()1,1B ，若直线l ：20kx y k ++−=与线段AB 有公共点，则21,32k∈−； C. 过点()1,2，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线l 的方程为10x y −+=；D. 若圆()2214x y −+=上恰有3个点到直线y x b =+的距离等于1，则1b =−±． 【答案】BD 【解析】【分析】根据直线是否存在斜率判断A 的真假；数形结合求k 的取值范围判断B 的真假；根据截距的概念判断真假；转化为点（圆心）到直线的距离求b 判断D 的真假.【详解】对A ：“若两条直线垂直，则这两条直线的斜率的乘积为1−”成立的前提是两条直线的斜率都存若两条直线1条不存在斜率，另一条斜率为0，它们也垂直.故A 是错误的. 对B ：如图：对直线l ：20kx y k ++−=⇒()21y k x −=−+，表示过点()1,2P −，且斜率为k −的直线， 且()422213APk −==−−，()121112BP k −==−−−， 由直线l 与线段AB 有公共点，所以：203k ≤−≤或102k −≤−<，即203k −≤≤或102k <≤，进而得：2132k −≤≤.故B 正确； 对C ：过点()1,2，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线l 的方程为10x y −+=或2y x =，故C 错误； 对D ：“圆()2214x y −+=上恰有3个点到直线y x b =+的距离等于1”可转化为“圆心(1,0)到直线y x b =+的距离等于1”.1⇒1b =−±.故D 正确.故选：BD10. 如图所示四面体OABC 中，4OB OC ==，3OA =，OB OC ⊥，且60AOB AOC ∠=∠=°，23CD CB =，G 为AD 的中点，点H 是线段OA 上动点，则下列说法正确的是（ ）A. ()13OG OA OB OC =++ ；B. 当H 是靠近A 的三等分点时，DH ，OC ，AB共面；C. 当56OH OA = 时，GH OA ⊥ ；D. DH OH ⋅的最小值为1−．【答案】BCD 【解析】【分析】以{},,OA OB OC为基底，表示出相关向量，可直接判断A 的真假，借助空间向量共面的判定方法可判断B 的真假，利用空间向量数量积的有关运算可判断CD 的真假.【详解】以{},,OA OB OC 为基底，则3OA = ，4OB OC == ，6OA OB OA OC ⋅=⋅= ,0OB OC ⋅=.对A ：因为23AD AC CD AC CB =+=+ ()23AC AB AC =+−2133AB AC +()()2133OB OA OC OA =−+−2133OA OB OC =−++ . 所以12OG OA AG OA AD =+=+ 121233OA OA OB OC =+−++111236OA OB OC =++ ，故A 错误；对B ：当H 是靠近A 的三等分点，即23OH OA =时，DH AH AD =− 121333OA OA OB OC =−−−++221333OA OB OC =−− ，又AB OB OA =−，所以13DH AB OC − .故DH ，AB ，OC 共面.故B 正确；对C ：因为HG OG OH OA AG OH =−=+− 1526OA AD OA =+−12152336OA OA OB OC OA =+−++− 111336OA OB OC =−++，所以：HG OA ⋅= 111336OA OB OC OA −++⋅ 2111336OA OB OA OC OA =−+⋅+⋅1119660336=−×+×+×=，所以HG OA ⊥ ，故GH OA ⊥，故C 正确；对D ：设OH OA λ=，()01λ≤≤.因为：DH OH OD =−()OA OA AD λ=−+ 2133OA OA OA OB OC λ =−−++2133OA OB OC λ=−− .所以DH OH ⋅ 2133OA OB OC OAλλ =−−⋅()2233OA OA OB OA OCλλλ−⋅−⋅296λλ−，()01λ≤≤.当13λ=时，DH OH ⋅ 有最小值，为：1196193×−×=−，故D 正确. 故选：BCD11. 已知()2,3P 是圆C ：22810410x y x y a +−−−+=内一点，其中0a >，经过点P 的动直线l 与C 交于A ，B 两点，若|AAAA |的最小值为4，则（ ） A. 12a =；B. 若|AAAA |=4，则直线l 的倾斜角为120°；C. 存在直线l 使得CA CB ⊥；D. 记PAC 与PBC △的面积分别为PAC S ，PBC S ，则PAC PBC S S ⋅△△的最大值为8． 【答案】ACD 【解析】【分析】根据点()2,3P 在圆内，列不等式，可求a 的取值范围，在根据弦|AAAA |的最小值为4求a 的值，判断A 的真假；明确圆的圆心和半径，根据1l CP k k ⋅=−，可求直线AB 的斜率，进而求直线AB 的倾斜角，判断B 的真假；利用圆心到直线的距离，确定弦长的取值范围，可判断C 的真假；由三角形面积公式和相交弦定理，可求PAC PBC S S ⋅△△的最大值，判断D 的真假. 【详解】对A ：由222382103410a +−×−×−+<⇒8a >. 此时圆C ：()()2245x y a −+−=.因为过P 点的弦|AAAA |的最小值为4，所以CP=又CP =⇒12a =.故A 正确；对B ：因为53142CP k −==−，1l CP k k ⋅=−，所以直线l 的斜率为1−，其倾斜角为135°，故B 错误； 对C ：当|AAAA |=4时，如图：sin ACP ∠==，cos ACP ∠==41cos 1033ACB ∠=−=>， 所以ACB ∠为锐角，又随着直线AB 斜率的变化，ACB ∠最大可以为平角， 所以存在直线l 使得CA CB ⊥.故C 正确； 对D ：如图：直线CP 与圆C 交于M 、N 两点，链接AM ，BN ，因为MAP BNP ∠=∠，APM NPB ∠=∠，所以APM NPB .所以AP MP NPBP=⇒(4AP BP MP NP ⋅=⋅=−+=.又1sin 2PACS PA PC APC APC =⋅⋅∠=∠ ，PBCS BPC =∠ ，且sin sin APC BPC ∠=∠.所以22sin PAC PBC S S PA PB APC⋅=⋅⋅∠ 28sin APC ∠8≤，当且仅当sin 1APC ∠=，即AB CP ⊥时取“=”.故D 正确. 故选：ACD【点睛】方法点睛：在求PAC PBC S S ⋅△△的最大值时，应该先结合三角形相似（或者蝴蝶定理）求出AP BP ⋅为定值，再结合三角形的面积公式求PAC PBC S S ⋅△△的最大值. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 实数x 、y 满足224x y +=，则()()2243x y −++的最大值是______． 【答案】49 【解析】【分析】根据()()2243x y −++几何意义为圆上的点(),x y 与()4,3−距离的平方，找出圆上的与()4,3−的最大值，再平方即可求解.【详解】解：由题意知：设(),p x y ，()4,3A −，则(),p x y 为圆224x y +=上的点， 圆224x y +=的圆心OO (0,0),半径2r =， 则()()2243x y −++表示圆上的点(),p x y 与()4,3A −距离的平方，又因为max 27PA AO r=+=+=, 所以22max749PA==； 故()()2243x y −++的最大值是49. 故答案为：49.13. 记ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()cos2cos a B c b A =−，其中π2B ≠，若ABC 的面积S =，2BE EC = ，且AE = ，则BC 的长为______．【解析】【分析】利用正弦定理对()cos 2cos a B c b A =−化简，可得π3A =，再由三角形面积公式求出8bc =，根据题意写出1233AE AB AC =+，等式两边平方后，可求出,b c 的值，由余弦定理2222cos a b c bc A =+−，求出BC 的长.【详解】()cos 2cos a B c b A =−,由正弦定理可得:sin cos 2sin cos sin cos A B C A B A =−，sin cos cos sin 2sin cos A B A B C A +=， ()sin 2sin cos A B C A +=，()sin πC 2sin cos C A −=,sin 2sin cos (sin 0)C C A C >，即1cos 2A =,π3A =，1sin 2ABC S bc A == ,得8bc =， ∵2BE EC = ，∴1233AE AB AC =+ ，221233AE AB AC =+， 即2228144cos 3999c b bc A =++，由8bc =，解得42b c = = 或18b c = = ， 根据余弦定理2222cos a b c bc A =+−，当42b c = =时，a =，此时π2B =，不满足题意， 当18b c = =时，a =..14. 如图，已知四面体ABCD 的体积为9，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，G 、H 分别在CD 、AD 上，且G 、H 是靠近D 的三等分点，则多面体EFGHBD 的体积为______．【答案】72##3.5 【解析】 【分析】多面体EFGHBD 的体积为三棱锥G DEH −与四棱锥E BFGD −的体积之和，根据体积之比与底面积之比高之比的关系求解即可.【详解】连接ED ，EG ，因为H 为AAAA 上的靠近D 的三分点，所以13DH AD =， 因为E 为AAAA 的中点，所以点E 到AAAA 的距离为点B 到AAAA 的距离的一半， 所以16DEH BAD S S = ， 又G 为CCAA 上靠近D 的三分点，所以点G 到平面ABD 的距离为点C 到平面ABD 的距离的13， 所以111119663182G DEH G BAD C BAD V V V −−−==×=×=， 1233BCD FCG BCD BCD BCD BFGD S S S S S S =−=−= 四边形， 所以2211933323E BFGD E BCD A BCD V V V −−−==×=×=， 所以多面体EFGHBD 的体积为17322G DEH E BFGD V V −−+=+=. 故答案为：72. 【点睛】关键点点睛：将多面体转化为两个锥体的体积之和，通过体积之比与底面积之比高之比的关系求解.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在对某高中1500名高二年级学生的百米成绩的调查中，采用按学生性别比例分配的分层随机抽样抽取100人，已知这1500名高二年级学生中男生有900人，且抽取的样本中男生成绩的平均数和方差分别为13.2秒和13.36，女生成绩的平均数和方差分别为15.2秒和17.56．（1）求抽取的总样本的平均数；（2）试估计高二年级全体学生的百米成绩的方差．【答案】（1）14 （2）16【解析】【分析】（1）先确定样本中男生、女生的人数，再求总样本的平均数.（2）根据方差的概念，计算总样本的方差.【小问1详解】 样本中男生的人数为：100900601500×=；女生的人数为：1006040−=. 所以总样本的平均数为：6013.24015.214100x ×+×=. 【小问2详解】记总样本的方差为2s ， 则()(){}22216013.3613.2144017.5615.214100s =×+−+×+− 16=. 所以，估计高二年级全体学生的百米成绩的方差为16.16. 在平面直角坐标系xOy 中，ABC 的顶点A 的坐标为()4,2−，ACB ∠的角平分线所在的直线方程为10x y −+=，AC 边上中线BM 所在的直线方程为220x y +−=． （1）求点C 的坐标；（2）求直线BC 的方程．【答案】（1）(3,4)C ；（2）72130x y −−=【解析】【分析】（1）设(,1)C m m +，则43(,)22m m M −+，代入220x y +−=，求解即可； （2）设直线BC 的方程为：340x ny n +−−=，在直线10x y −+=取点(0,1)P ，利用点P 到直线AC 的距离等于点P 到直线BC 的距离，求解即可.【小问1详解】解：由题意可知点C 在直线0x y −+=上， 所以设(,1)C m m +，所以AC 中点43(,)22m m M −+， 又因为点43(,)22m m M −+在直线220x y +−=上， 所以34202m m +−+−=，解得3m =， 所以(3,4)C ；【小问2详解】解：因为(3,4)C ，设直线BC 的方程为：340x ny n +−−=， 又因为(4,2)A −，所以直线AC 的方程为：27220x y −+=， .又因为ACB ∠的角平分线所在的直线方程为10x y −+=， 在直线10x y −+=取点(0,1)P ，则点P 到直线AC 的距离等于点P 到直线BC 的距离，=，整理得21453140n n ++=， 解得：72n =−或27n =−， 当72n =−时，所求方程即为直线AC 的方程， 所以27n =−， 所以直线BC 的方程为： 72130x y −−=. 17. 直三棱柱111ABC A B C −中，12AB AC AA ===，其中,,E F D 分别为棱111,,BC B A B C 的中点，已知11AF A C ⊥，（1）求证：AF DE ⊥；（2）设平面EFD 与平面ABC 的交线为直线m ，求直线AC 与直线m 所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）取AB 的中点G ，连接1,EG A G 证得四边形ADEG 为平行四边形，得到1//DE A G ，利用1A AG ABF ≌，证得90AHG ∠= ，得到1AF A G ⊥，即可证得AF DE ⊥；（2）根据题意，证得11A C ⊥平面11ABB A ，得到1111A C A B ⊥，以A 为原点，建立空间直角坐标系，求得(0,2,0)AC = ，再取AC 的中点M ，延长,MB DF 交于点N ，得到直线AC 与直线m 所成角，即为直线AC 与直线EN 所成角，求得(4,1,0)N −，得到(3,2,0)EN =− ，结合向量的夹角公式，即可求解.【小问1详解】证明：取AB 的中点G ，连接1,EG A G ，因为E 的中点，可得//EG AC ，且12EG AC =， 又因为1//A D AC ，且112A D AC =，所以1//EG A D ，且1EG A D =， 所以四边形ADEG 平行四边形，所以1//DE A G ，在正方形11ABB A 中，可得1A AG ABF ≌，所以1A GA AFB ∠=∠， 因为90AFB AFB ∠+∠= ，所以190AFB A GA ∠+∠= ，AGH 中，可得90AHG ∠= ，所以1AF A G ⊥，又因为1//DE A G ，所以AF DE ⊥.【小问2详解】解：在直三棱柱111ABC A B C −中，可得1AA ⊥平面111A B C ，因为11AC ⊂平面111AB C ，所以111AA A C ⊥， 又因为11AF A C ⊥，且1AA AF A ∩=，1,AA AF ⊂平面11ABB A ，所以11A C ⊥平面11ABB A ， 因为11A B ⊂平面11ABB A ，所以1111A C A B ⊥，即直三棱柱111ABC A B C −的底面为等腰直角三角形，以A 为原点，以1,,AB AC AA 所在的直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，因为12AB AC AA ===，可得(0,0,0),(0,2,0)A C ，则(0,2,0)AC =， 为在取AC 的中点M ，连接,MB DM ，可得1//DM CC 且1DM CC =，因为11//BB DD 且11BB DD =，所以//BF DM ，且12BF DM =， 延长,MB DF 交于点N ，可得B 为MN 的中点，连接EN ，可得EN 即为平面DEF 与平面ABC 的交线，所以直线AC 与直线m 所成角，即为直线AC 与直线EN 所成角，又由(0,1,0),(2,0,0),(1,1,0)M B E ， 设(,,)N x y z ，可得MB BN =，即(2,1,0)(2,,)x y z −=−， 可得4,1,0x y z ==−=，所以(4,1,0)N −，可得(3,2,0)EN =− ，设直线EN 与直线AC 所成角为θ，可得cos cos ,AC EN AC EN AC EN θ⋅=== 即直线AC 与直线m18. 已知圆C ：22430x y y +−+=，过直线l ：12y x =上的动点M 作圆C 的切线，切点分别为P ，Q ．（1）当π3PMQ ∠=时，求出点M 的坐标； （2）经过M ，P ，C 三点的圆是否过定点？若是，求出所有定点的坐标；（3）求线段PQ 的中点N 的轨迹方程．【答案】（1）(0,0)或84(,)55（2）过定点(0,2)或42(,)55（3）22173042x y x y +−−+= 【解析】【分析】（1）点M 在直线l 上，设(2,)M m m ，由对称性可知30CMP ∠= ，可得2MC =，从而可得点M 坐标．（2）MC 的中点,12m Q m+，因为MP 是圆P 的切线，进而可知经过C ，P ，M 三点的圆是以Q 为圆心，以MC 为半径的圆，进而得到该圆的方程，根据其方程是关于m 的恒等式，进而可求得x 和y ，得到结果；（3）结合（2）将两圆方程相减可得直线PQ 的方程，且得直线PQ 过定点13,42R，由几何性质得MN RN ⊥，即点N 在以MR 为直径的圆上，进而可得结果.【小问1详解】（1）直线l 的方程为20x y −=，点M 在直线l 上，设(2,)M m m ， 因为π3PMQ ∠=，由对称性可得：由对称性可知30CMP ∠= ，由题1CP =所以2MC =，所以22(2)(2)4+−=m m ， 解之得：40,5==m m 故所求点M 的坐标为(0,0)或84(,)55． 【小问2详解】 设(2,)M m m ，则MC 的中点(,1)2m E m +，因为MP 是圆C 的切线， 所以经过,,C P M 三点的圆是以Q 为圆心，以ME 为半径的圆，故圆E 方程为：2222()(1)(1)22m m x m y m −+−−=+−化简得：222(22)0x y y m x y +−−+−=，此式是关于m 的恒等式，故2220,{220,x y y x y +−=+−=解得02x y = = 或4525x y = = , 所以经过,,C P M 三点的圆必过定点(0,2)或42(,)55．【小问3详解】 由()22222220,430x y mx m y m x y y +−−++= +−+=可得PQ ：()22320mx m y m +−+−=，即()22230m x y y +−−+=， 由220,230x y y +−= −=可得PQ 过定点13,42R . 因为N 为圆E 的弦PQ 的中点，所以MN PQ ⊥，即MN RN ⊥，故点N 在以MR 为直径的圆上，点N 的轨迹方程为22173042x y x y +−−+=. 19. 四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 为等腰梯形，224AB BC CD ===，侧面PAD 为正三角形；（1）当BD PD ⊥时，线段PB 上是否存在一点Q ，使得直线AQ 与平面ABCD所成角的正弦值为若存在，求出PQ QB 的值；若不存在，请说明理由． （2）当PD 与平面BCD 所成角最大时，求三棱锥P BCD −的外接球的体积．【答案】（1）存在；1.（2【解析】【分析】（1）先证平面PAD ⊥平面ABCD ，可得线面垂直，根据垂直，可建立空间直角坐标系，用空间向量，结合线面角的求法确定点Q 的位置.（2）根据PD 与平面BCD 所成角最大，确定平面PAD ⊥平面ABCD ，利用（1）中的图形，设三棱锥P BCD −的外接球的球心，利用空间两点的距离公式求球心和半径即可.【小问1详解】因为底面ABCD 为等腰梯形，224AB BC CD ===，所以60BAD ∠=°，120BCD ∠=°，30CBD ABD ∠=∠=°，所以90ADB ∠=°. 所以BD AD ⊥，又BD PD ⊥，,AD PD ⊂平面PAD ，且AD PD D = ，所以BD ⊥平面PAD .又BD ⊂平面ABCD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD .取AD 中点O ，因为PAD △是等边三角形，所以PO AD ⊥，平面PAD ∩平面ABCD AD =，所以⊥PO 平面ABCD .再取AB 中点E ，连接OE ，则//OE BD ，所以OE AD ⊥.所以可以O 为原点，建立如图空间直角坐标系.则()0,0,0O ，()1,0,0A ，()1,0,0D −，()E ，()1,B −，(P ，()C −.(1,PB =−− .设PQ PB λ= ，可得)()1Q λλ−−所以)()1,1AQ λλ=−−− ，取平面ABCD 的法向量()0,0,1n = .因为AQ 与平面ABCD ，所以AQ nAQ n ⋅⋅ ，解得12λ=或5λ=（舍去）. 所以：线段PB 上存在一点Q ，使得直线AQ 与平面ABCD ，此时1PQ QB =. 【小问2详解】当平面PAD ⊥平面ABCD 时, PD 与平面BCD 所成角为PDA ∠.当平面PAD 与平面ABCD 不垂直时，过P 做PH ⊥平面ABCD ，连接HD ，则PDH ∠为PD 与平面BCD 所成角，因为PH PO <，sin PH PDH PD ∠=，sin PO PDA PD∠=，s s n i i n PDA PDH ∠∠<，所以A PDH PD ∠∠<. 故当平面PAD ⊥平面ABCD 时，PD 与平面BCD 所成角最大.此时，设棱锥P BCD −的外接球球心为(),,G x y z ，GP GB GC GD R====,所以(()(()(()2222222222222222121x y z R x y z R x y z R x y z R ++= ++−+= ++−+=+++=，解得20133x y z R = = = = 所以三棱锥P BCD −的外接球的体积为：34π3V R ==. 【点睛】方法点睛：在空间直角坐标系中，求一个几何体的外接球球心，可以利用空间两点的距离公式，根据球心到各顶点的距离相等列方程求解..。

2019-2020年高二10月月考数学试题本试卷分第1卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答第1卷前，考生务必将自己的姓名、学号、考试科目涂写在答题卡上．2．每题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂在其它答案标号.第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分.共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知是等比数列，，则公比=( )A．B．C．2 D．2. 在中，已知，则( )A． B． C． D．3. 等比数列中，,,,则( )A.6B.7C. 8D.94. 设是等差数列的前n项和，已知，，则等于（）A．13 B．35 C．49 D． 635. 公差不为0的等差数列的第二、三、六项构成等比数列，则公比为（）A．1 B.2 C.3 D.46. 在中,,则此三角形解的情况是( B )A．一解 B．两解 C．一解或两解 D．无解7. 已知分别是三个内角的对边，且，则一定是（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等边三角形 D．等腰三角形或直角三角形8．在ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，则角B的值为 ( )A．B．C．或D．或9．某船开始看见灯塔在南偏东30方向，后来船沿南偏东60的方向航行45km后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是( )A．15km B．30km C．15 km D．15 km10.下列命题中正确的是( )A．若a，b，c是等差数列，则，，是等比数列B．若a，b，c是等比数列，则，，是等差数列C．若a，b，c是等差数列，则，，是等比数列D．若a，b，c是等比数列，则，，是等差数列11. 两个等差数列和,其前项和分别为,且则等于( )A. B. C. D.12.已知等比数列满足，且，则当时，( )A. B. C. D.第Ⅱ卷 (非选择题共90分)二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分．把各题答案填写在答题纸相应位置．）13. 若数列满足：，则 .14. 在中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若角A、B、C依次成等差数列，且a=1，等于.15. 设等差数列的前项和为，且，则 .16. 在数列{a n}中，其前n项和S n＝，若数列{a n}是等比数列，则常数a的值为．三、解答题（本大题共6小题，共74分.将每题答案写在答题纸相应位置，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．(本小题满分12分)等比数列{}的前n 项和为，已知,,成等差数列.（Ⅰ）求{}的公比q；（Ⅱ）若－＝3，求.18．(本小题满分12分)在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且.(Ⅰ)确定角C的大小；（Ⅱ）若c＝,且△ABC的面积为,求a＋b的值.19.（本小题满分12分）已知等差数列中，公差又.（I）求数列的通项公式；（II）记数列，数列的前项和记为，求.20．(本小题满分12分)如图，海中小岛A周围40海里内有暗礁，一船正在向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30°，航行30海里后，在C处测得小岛在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，继续向南航行，问有无触礁的危险?21. (本小题满分12分)在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，C=2A,，.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求b的值.22．(本小题满分14分)已知点（1，2）是函数的图象上一点，数列的前项和．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，求数列的前项和．高二数学10月份阶段性检测题参考答案一、选择题：1—5 DBACC 6—10 BDDCC 11—12 DC二、填空题：13. 16 14． 15． 16． -1三、解答题：17．（新学案P39 ，T1）解：（Ⅰ）依题意有. 由于 ，故 . 又，从而（Ⅱ）由已知可得，故.从而141281113212n n n S ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==--⎢⎥ ⎪⎛⎫⎝⎭⎢⎥⎣⎦-- ⎪⎝⎭18.解：（Ⅰ）由及正弦定理得，，，是锐角三角形，.（Ⅱ）由面积公式得，1sin 623ab ab π==即 ① 由余弦定理得，22222cos7,73a b ab a b ab π+-=+-=即 ②由②变形得.19．20. 解: 在△ABC 中,BC =30,∠B =30°,∠C =135°,所以∠A =15°. ．．．．．．．．．．．．．2分由正弦定理知 即所以．．．．．．．．．．７分于是，A 到BC 边所在直线的距离为：(海里)，．．．．．．．．．．．．．10分由于它大于40海里，所以船继续向南航行没有触礁的危险. ．．．．．．．．．． ．．．11分 答：此船不改变航向，继续向南航行，无触礁的危险.．．．．．．．．．． ．．．12分21.（新学案P17， T4）解：（Ⅰ）.（Ⅱ）由及可解得a=4,c=6.30sin 3060cos1560cos(45-30)sin1560(cos 45cos30sin 45sin 30)15(62).AC ︒==︒=︒︒︒=︒︒+︒︒=2sin 4562)15(31)40.98AC ︒==≈由化简得，.解得b=4或b=5.经检验知b=4不合题意，舍去.所以b=5.22．解：（Ⅰ）把点代入函数得.所以数列的前项和为.．．．．．．．．．．．．．．．3分当时，当时， 对时也适合 .．．．．．．．．．．．．．．．６分（Ⅱ）由得，所以.．．．．．．．．．．．8 分 ， ①12312122232(1)22n n n T n n -=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅ ， ② 由① - ② 得，, ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 所以 .．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分。

××市第六中学2020届10月阶段性总结 高二文科数学试题 考试时间：150分钟 满分：150分一、选择题（共12小题，共60分）1．若直线//a 直线b ，且直线//a 平面α，则b 与α的位置关系是( )A ．一定平行B ．不平行C ．平行或相交D ．平行或在平面内2．如图，在正方体1111D C B A ABCD -中， F E ,分别为平面ABCD 和平面1111D C B A 的中心，则正方体的六个表面中与EF 平行的平面有( )A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个3. 在正方体1111D C B A ABCD - 中，两条面对角线D A 1 与 AC 所成角的大小等于( )A. ︒45B. ︒60C. ︒90D. ︒1204．一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a 的正方形，则原平面四边形的面积等于( )．A.422a B ．222a C.222a D.3222a5. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是( )A.52+B.54+C.522+D.56. 已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )A. βαββαα////,//,,⇒⊂⊂n m n mB. n m n m //,,//⇒⊂⊂βαβαC. αα//,n n m m ⇒⊥⊥D. αα⊥⇒⊥m n m n ,//7．如图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图所对应的三角形是边长为2的正三角形，俯视图对应的四边形为正方形，则这个几何体的体积( )A ．324 B ．24 C ．334 D ．348. 如图，四棱锥ABCD S -的底面为正方形，⊥SD 底面ABCD ，则下列结论中不正确的是( )A. SB AC ⊥B. //AB 平面SCDC. SA AB ⊥D. AB 与 SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角9. 设m ，n 是两条不同的直线，α，β 是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )A. 若 βα⊥，α⊂m ，β⊂n ，则 n m ⊥B. 若n m // ，α⊂m ，β⊂n ，则 βα//C. 若 n m ⊥，α⊂m ，β⊂n ，则βα⊥D. 若α⊥m ，n m //，n //β，则 βα⊥10．如图，已知四棱锥ABCD P -，底面ABCD 是边长为2的菱形，︒=∠60BAD ，2==PD PA ，平面⊥PAD 平面ABCD ，则它的正视图的面积为( )A.3B. 23C. 233 D.33 11. 在正方体1111D C B A ABCD -中，E 为棱CD 的中点，则( )A ．11DC E A ⊥B ．DB E A ⊥1C ．11BC E A ⊥D ．ACE A ⊥112.如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，121===AA BC AB ，，则 1BC 与平面D D BB 11所成角的正弦值为( )A. 36B. 562C. 515D. 510 二、填空题（共4小题，共20分）13.一个六棱锥的体积为32，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为14. 如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是边长2的菱形，︒=∠60BAD ，侧棱⊥PA 底面ABCD ，E PA ,2=为AB 的中点，则四面体BCE P -的体积为15．已知长方体1111D C B A ABCD -的三条棱3,5,111===AB AD AA ，则此长方体的外接球的表面积为16. 如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，⊥MD 平面ABCD ，⊥NB 平面ABCD ，且G NB MD ,1==为MC 的中点，则下列结论中正确的是 ．（填序号）①AN MC ⊥；②//GB 平面AMN ；③平面⊥CMN 平面AMN ；④ 平面//DCM 平面ABN ．三、解答题（共6题，共70分）17. (本小题10分)如图， ,E F 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱11,AA CC 的中点.求证：平面BDF ∥平面11B D E18. (本小题12分)如图，在三棱锥ABC V -中，平面⊥VAB 平面ABC ，VAB ∆为等边三角形，BC AC ⊥且 2==BC AC ，M O ,分别为VA AB ,的中点．（1）求证：//VB 平面MOC ；（2）求三棱锥ABC V -的体积．如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，12AB BC AD ==，90BAD ABC ∠=∠=o 。

2024-2025学年牡丹江市一中高二数学上学期10月考试卷考试时间:120分钟分值:150分一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在x 轴与y 轴上截距分别为2,2的直线的倾斜角为（）A.150︒B.135︒C.90︒D.45︒2.若直线210x y +-=是圆()221x y a ++=的一条对称轴，则圆心坐标为（）A.(0,1)B.(0,1)- C.1(0,)2 D.1(0,2-3.直线:10l x y -+=与圆22:230O x y x +--=交于,A B 两点，则AOB V 的面积为（）A.B.2C. D.24.直线1l ：()2410a x y -+-=，直线2l ：()230x a y +-+=，则直线12l l ⊥是3a =-的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知两点()3,2A -，()2,1B ，过点()0,1P -的直线l 与线段AB （含端点）有交点，则直线l 的斜率的取值范围为（）A.(][),11,-∞-+∞ B.[]1, 1- C.[)1,1,5⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭D.1,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦6.已知空间中三点()()()0,0,0,1,,2,1,2,1A B m C --，平面ABC 的一个法向量为()1,1,1n =-，则以,AB AC 为邻边的平行四边形的面积为（）A.32B.2C.3D.7.已知正四面体ABCD 的棱长为2，E 是BC 的中点，F 在AC 上，且3AF FC = ，则AE DF ⋅=（）A .53-B.14-C.14D.538.在下图所示直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，π1,3AB DAB =∠=，12AA =，动点P 在体对角线1BD 上，则顶点B 到平面APC 距离的最大值为（）A.12B.22C.32D.2二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知直线l 310y -+=，则下列结论正确的是（）A.直线l 的一个法向量为)3,1B.若直线m ：310x -+=，则l m⊥C.点)3,0到直线l 的距离是2D.过()23,2与直线l 平行的340x y --=10.如图，正方体1111ABCD A B C D -的边长为2,M 为11A D 的中点，动点P 在正方形ABCD 内（包含边界）运动，且5MP =.下列结论正确的是（）A.动点P 的轨迹长度为π；B.异面直线MP 与1BB 所成角的正切值为2；C.MP AB ⋅的最大值为2；D.三棱锥P MAD -的外接球表面积为25π4.11.已知直线:10l kx y k +--=过定点P ，且与圆22:4O x y +=相交于,A B 两点，则（）A.点P 的坐标为()1,1 B.AB 的最小值是23C.OA OB ⋅的最大值是0D.2PA PB ⋅=-三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知向量(0,1,1),(2,1,2)OA OB ==-，则点A 到直线OB 的距离为___________．13.17世纪,笛卡尔在《几何学》中,通过建立坐标系,将代数对象与几何对象建立关系,从而实现了代数问题与几何问题的转化,创立了新分支——解析几何,我们知道,方程1x =在一维空间中,表示一个点;在二维空间中,它表示一条直线;在三维空间中,它表示一个平面,过点()1,1,2P -,法向量为()1,2,3v =的平面的方程是_________.14.设R m ∈，过定点A 的动直线()270x m y ++-=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(),P x y ，则PA PB +的取值范围是___________.四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知以点−1,2为圆心的圆与直线1270:l x y ++＝相切，过点()2,0B -的动直线l 与圆A 相交于,M N（1）求圆A 的方程；（2）当MN =l 的方程．16.如图，边长为2的等边PDC △所在的平面垂直于矩形ABCD 所在的平面，BC =M 为BC 的中点．（1）求证：PD BC ⊥；（2）若N 为直线PA 上一点，且MN PA ⊥，求直线DN 与平面PAM 所成角的正弦值．17.已知ABC V 的顶点()1,2,A AB 边上的中线CM 所在直线的方程为210,x y ABC +-=∠的平分线BH 所在直线的方程为y x =.（1）求直线BC 的方程和点C 的坐标；（2）求ABC V 的面积．18.如图1，在平行四边形ABCD 中，60,22D DC AD =︒==，将ADC △沿AC 折起，使点D 到达点P 位置，且PC BC ⊥，连接PB 得三棱锥P ABC -，如图2．（1）证明：平面PAB ⊥平面ABC ；（2）在线段PC 上是否存在点M ，使平面AMB 与平面MBC 的夹角的余弦值为58，若存在，求出||||PM PC 的值，若不存在，请说明理由．19.已知圆22:1O x y +=和点()1,4M --.（1）过点M 向圆O 引切线，求切线的方程；（2）求以点M 为圆心，且被直线212y x =-截得的弦长为8的圆M 的方程；（3）设P 为（2）中圆M 上任意一点，过点P 向圆O 引切线，切点为Q ，试探究：平面内是否存在一定点R ，使得PQPR为定值？若存在，请求出定点R 的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由.2024-2025学年牡丹江市一中高二数学上学期10月考试卷考试时间:120分钟分值:150分一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在x 轴与y 轴上截距分别为2,2的直线的倾斜角为（）A.150︒B.135︒C.90︒D.45︒【答案】B 【解析】【分析】由截距式确定直线方程即可求解.【详解】由题意可得直线方程为221x y+=，化简可得：2y x =-+，所以1k =-，即倾斜角为135︒.故选:B2.若直线210x y +-=是圆()221x y a ++=的一条对称轴，则圆心坐标为（）A.(0,1)B.(0,1)-C.1(0,)2D.1(0,2-【答案】A 【解析】【分析】首先得到圆心坐标，即可得到圆心在直线上，从而求出参数的值.【详解】圆()221x y a ++=的圆心为()0,a -，因为直线210x y +-=是圆的一条对称轴，所以圆心()0,a -在直线210x y +-=上，所以()2010a ⨯+--=，解得1a =-，故圆心坐标为(0,1).故选：A.3.直线:10l x y -+=与圆22:230O x y x +--=交于,A B 两点，则AOB V 的面积为（）A.B.2C. D.2【答案】B 【解析】【分析】依题意，作出图形，求出圆心坐标和半径，过圆心()1,0O 作OD AB ⊥于D ，分别计算OD 和||AB ，即可求得AOB V 的面积.【详解】如图，由圆22:230O x y x +--=配方得，22(1)4x y -+=，知圆心为()1,0O ,半径为2，过点()1,0O 作OD AB ⊥于D ，由()1,0O 到直线:10l x y -+=的距离为OD ==,则||2||AB AD ==故AOB V 的面积为11222AB OD ⋅=⨯.故选：B.4.直线1l ：()2410a x y -+-=，直线2l ：()230x a y +-+=，则直线12l l ⊥是3a =-的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】假设12l l ⊥成立，去推导3a =-是否成立，假设3a =-去推导12l l ⊥是否成立即可得.【详解】若12l l ⊥，由()2410a x y -+-=，可得214k a =-，若240a -=，即2a =±，则需20a -=，即2a =，即可得2a =时，12l l ⊥，故12l l ⊥不是3a =-的充分条件；若3a =-，则1495k =-=-，211325k =-=---，此时121k k =-，故12l l ⊥，综上，直线12l l ⊥是3a =-的必要不充分条件.故选：B.5.已知两点()3,2A -，()2,1B ，过点()0,1P -的直线l 与线段AB （含端点）有交点，则直线l 的斜率的取值范围为（）A.(][),11,-∞-+∞ B.[]1, 1- C.[)1,1,5⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭ D.1,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】A【分析】求出直线PA 、PB 的斜率后可求直线l 的斜率的范围.【详解】12103PA k --==-+，而11102PB k --==-，故直线l 的取值范围为(],1(1,)∞∞--⋃+，故选：A.6.已知空间中三点()()()0,0,0,1,,2,1,2,1A B m C --，平面ABC 的一个法向量为()1,1,1n =-，则以,AB AC 为邻边的平行四边形的面积为（）A.32B.2C.3D.【答案】D【分析】运用法向量求出()1,,2B m 坐标，再求出平行四边形边长和夹角余弦值，进而求出正弦值，再用面积公式即可.【详解】平面ABC 的一个法向量为()1,1,1n =- ，则()1,1,1(1,,2)0n AB m ⋅=-⋅=，解得1m =-，故()1,1,2B -.()()1,1,2,1,2,1AB AC =-=--，则1cos 2||||AB ACA AB AC ⋅===⋅，则3sin 2A ==.则平行四边形面积为11||||sin 22222AB AC A ⋅⨯=⨯= .故选：D.7.已知正四面体ABCD 的棱长为2，E 是BC 的中点，F 在AC 上，且3AF FC =，则AE DF ⋅=（）A.53-B.14-C.14D.53【答案】C【分析】取AB ，AC，AD 为基底，表示出AE ，DF ，再利用向量数量积的运算求解.【详解】如图：取AB ，AC，AD 为基底，则2AB AC AD === ，,,,60AB AC AB AD AC AD ===︒ ，所以22cos 602AB AC AB AD AC AD ⋅=⋅=⋅=⨯⨯︒=.又1122AE AB AC =+ ，34DF AF AD AC AD =-=- .所以113224AE DF AB AC AC AD ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 231318282AB AC AB AD AC AC AD=⋅-⋅+-⋅313122428282=⨯-⨯+⨯-⨯14=.故选：C8.在下图所示直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，π1,3AB DAB =∠=，12AA =，动点P 在体对角线1BD 上，则顶点B 到平面APC 距离的最大值为（）A.12B.C.2D.【答案】A 【解析】【分析】连接AC 交BD 于点O ，由题意得AC BD ⊥，接着建立空间直角坐标系求出向量AB和平面APC的法向量n即可根据向量法的点到平面距离公式AB n d n⋅=求解.【详解】连接AC 交BD 于点O ，由题意，得AC BD ⊥，1122OB OD AB ===，2OA OC ===，如图，以O 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则1110,,0,,0,0,0,,0,,0,22222A B C D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()()11,,1,0,222AC AB BD ⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭，设()101BP BD λλ=≤≤ ，所以()111,,01,0,2,,22222AP AB BP AB BD λλλλ⎛⎫⎛⎫=+=+=+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设平面APC 的一个法向量为(),,n x y z = ，则n ACn AP⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ ，所以00113202222y n AC x n AP x y z z λλλλ=⎧⎧⋅==⎪⎪⎪⎛⎫⇒-⎨⎨⎛⎫ ⎪⋅=-+++=⎝⎭⎪⎪ ⎪=⎝⎭⎩⎪⎩ ，取4x λ=，则()4,0,21n λλ=-，设顶点B 到平面APC 距离为d ，则AB n d n⋅==当0λ=时0d =，当01λ<≤时，d ==所以当12λ=即12λ=时点B 到平面APC 距离最大为12=.故选：A.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知直线l 10y -+=，则下列结论正确的是（）A.直线l 的一个法向量为)B.若直线m ：10x -+=，则l m⊥C.点)到直线l 的距离是2D.过()2与直线l 40y --=【答案】CD 【解析】【分析】对于A ：根据直线方向向量与斜率之间的关系分析判断；对于B ：根据直线垂直分析判断；对于C ：根据点到直线的距离公式运算求解；对于D ：根据直线平行分析求解.【详解】对于A ，因为直线l 10y -+=的斜率k =11=≠-，可知)不为直线l 的一个法向量，故A 错误；对于B ，因为直线m：10x -+=的斜率3k '=，且11kk '=≠-，所以直线l 与直线m 不垂直，故B 错误；对于C，点)到直线l 的距离2d ==，故C 正确；对于D ，过()2与直线l平行的直线方程是2yx -=-，即40y --=，故D 正确．故选：CD.10.如图，正方体1111ABCD A B C D -的边长为2,M 为11A D 的中点，动点P 在正方形ABCD 内（包含边界）运动，且MP =.下列结论正确的是（）A.动点P 的轨迹长度为π；B.异面直线MP 与1BB 所成角的正切值为2；C.MP AB ⋅的最大值为2；D.三棱锥P MAD -的外接球表面积为25π4.【答案】ACD 【解析】【分析】取AD 的中点N ，分析可知MN ⊥平面ABCD .对于A ：分析可知动点P 的轨迹是以点N 为圆心，半径为1的半圆，即可得结果；对于B ：分析可知异面直线MP 与1BB 所成角即为PMN ∠，即可得结果；对于C ：根据数量积的几何意义分析判断；对于D ：分析可知O MN ∈，进而求球的半径和表面积.【详解】取AD 的中点N ，连接,MN NP ，因为,M N 分别为11,A D AD 的中点，则MN ∥1AA ，且12MN AA ==，又因为1AA ⊥平面ABCD ，则MN ⊥平面ABCD ，由NP ⊂平面ABCD ，可得MN NP ⊥.对于选项A ：在Rt MNP △中，1NP ==，可知动点P 的轨迹是以点N 为圆心，半径为1的半圆，所以动点P 的轨迹长度为12π1π2⨯⨯=，故A 正确对于选项B ：因为MN ∥1AA ，1BB ∥1AA ，则MN ∥1BB ，可知异面直线MP 与1BB 所成角即为PMN ∠，其正切值为1tan 2NP PMN MN ∠==，故B 错误；对于选项C ：因为线段MP 在平面ABCD 内的投影为NP ，结合选项A 可知：MP 在AB方向上的投影数量的最大值为1，所以MP AB ⋅的最大值为12AB ⨯= ，故C 正确；对于选项D ：设三棱锥P MAD -的外接球的球心为O ，半径为R ，因为MN ⊥平面ABCD ，且N 为PAD 的外接圆圆心，可知O MN ∈，则()2221R R =-+，解得54R =，所以三棱锥P MAD -的外接球表面积为225π4π4R =，故D 正确；故选：ACD.11.已知直线:10l kx y k +--=过定点P ，且与圆22:4O x y +=相交于,A B 两点，则（）A.点P 的坐标为()1,1 B.AB 的最小值是C.OA OB ⋅的最大值是0D.2PA PB ⋅=-【答案】ACD 【解析】【分析】将直线l 的方程化简为点斜式，判断出A 项的正误；根据OP l ⊥时l 被圆O 截得弦长最短，算出||AB 的最小值，从而判断出B 项的正误；利用平面向量数量积的定义与运算性质，结合圆的性质求出OA OB ⋅ 的最大值与PA PB ⋅的大小，从而判断出CD 两项的正误．【详解】根据题意，圆22:4O x y +=的圆心为(0,0)O ，半径2r =．对于A ，直线10kx y k +--=，可化为1(1)y k x -=--，所以直线l 经过点(1,1)，斜率为k -，因此直线:10l kx y k +--=过定点(1,1)P ，A 项正确；对于B ，当OP l ⊥时，直线l 到圆心O的距离||d OP ==此时||AB ==，可知||AB的最小值是，故B项不正确；对于C ，()22212cos 4cos 412sin 4124124AB AB OA OB OA OB AOB AOB BOM r ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪⋅=⋅∠=∠=-∠=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于||AB的最小值是，此时24124AB OA OB ⎛⎫⎛⎫⋅=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 取最大值，故最大值为0，故C 项正确；对于D ，设AB 的中点为M ，连接OM ，则OM AB ⊥，可得22()()()()||||PA PB PM MA PM MB PM MA PM MA PM MA ⋅=+⋅+=+⋅-=-2222222(||||)(||||)||||242OP OM OA OM OP OA r =---=-=-=-=-，故D 项正确．故选：ACD ．三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知向量(0,1,1),(2,1,2)OA OB ==-，则点A 到直线OB 的距离为___________．【答案】1【解析】【分析】根据点到直线距离公式求出答案.【详解】OA 在OB方向上投影向量的模为||1OA OB d OB⋅== ，所以点A 到直线OB1==．故答案为：113.17世纪,笛卡尔在《几何学》中,通过建立坐标系,将代数对象与几何对象建立关系,从而实现了代数问题与几何问题的转化,创立了新分支——解析几何,我们知道,方程1x =在一维空间中,表示一个点;在二维空间中,它表示一条直线;在三维空间中,它表示一个平面,过点()1,1,2P -,法向量为()1,2,3v =的平面的方程是_________.【答案】2350x y z ++-=【解析】【分析】在空间直角坐标系中,若法向量为(),,n A B C =,且平面过点()000,,x y z ,那么平面方程为()()()0000A x x B y y C z z -+-+-=计算可得.【详解】过点()1,1,2P -,法向量为()1,2,3v =的平面的方程为()()()1121320x y z -+++-=,即2350x y z ++-=.故答案为:2350x y z ++-=.14.设R m ∈，过定点A 的动直线()270x m y ++-=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(),P x y ，则PA PB +的取值范围是___________.【答案】⎡⎣【解析】【分析】可得直线分别过定点()2,7-和()1,3且垂直，可得22||25.PA PB +=设ABP θ∠=，则5sin PA θ=，5cos PB θ=,π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,则π4PA PB θ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，利用正弦函数的性质求值域即可．【详解】由题意可知，动直线()270x m y ++-=，经过定点()2,7A -，动直线30mx y m --+=即()130m x y --+=，经过定点()1,3B ，0m ≠ 时，动直线()270x m y ++-=和动直线30mx y m --+=的斜率之积为1-，0m =时，也垂直，所以两直线始终垂直，又P 是两条直线的交点，PA PB ∴⊥，222||||25PA PB AB ∴+===．设ABP θ∠=，则5sin PA θ=，5cos PB θ=，由0PA ≥且0PB ≥，可得π0,2θ⎡⎤∈⎢⎣⎦，()π5sin cos4PA PB θθθ⎛⎫∴+=+=+ ⎪⎝⎭，π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ，ππ3π,444θ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦，πsin ,142θ⎤⎛⎫∴+∈⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，π4θ⎛⎫⎡∴+∈ ⎪⎣⎝⎭，故答案为：⎡⎣.【点睛】关键点点睛：因为222||||25PA PB AB +==，设ABP θ∠=，则5sin PA θ=，5cos PB θ=，则π4PA PB θ⎛⎫+=+⎪⎝⎭，即可求得PA PB +的取值范围.四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知以点−1,2为圆心的圆与直线1270:l x y ++＝相切，过点()2,0B -的动直线l 与圆A 相交于,M N（1）求圆A 的方程；（2）当MN =l 的方程．【答案】（1）()()221220x y ++-=（2）3460x y -+=或2x =-【解析】【分析】(1)由题意知点到直线距离公式可确定圆A 半径r ，带入到圆的标准方程可求得圆的方程；(2)过A 做AQ MN ⊥，由垂径定理可知圆心到直线l ，设出直线l ，可分为斜率存在和斜率不存在两种情况，解之可得直线方程【小问1详解】易知−1,2到直线270x y ++＝的距离为圆A 半径r ，所以r ==，则圆A 方程为()()221220x y ++-=【小问2详解】过A 做AQ MN ⊥,由垂径定理可知90MQA ∠︒＝，且MQ =，在Rt AMQ 中由勾股定理易知1AQ ==当动直线l 斜率不存在时，设直线l 的方程为2x =-，经检验圆心到直线l 的距离为1，且根据勾股定理可知MN =，显然2x =-合题意，当动直线l 斜率存在时，l 过点()2,0B -，设l 方程为：()2y k x =+，由−1,2到l 距离为11=得34k =，代入解之可得3460x y -+=，所以3460x y -+=或2x =-为所求l 方程．16.如图，边长为2的等边PDC △所在的平面垂直于矩形ABCD 所在的平面，BC =M 为BC 的中点．（1）求证：PD BC ⊥；（2）若N 为直线PA 上一点，且MN PA ⊥，求直线DN 与平面PAM 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）223【解析】【分析】（1）利用面面垂直的性质证明线面垂直进而得到线线垂直;（2）建立空间直角坐标系，求出平面PAM 的法向量，利用向量夹角余弦公式求出直线DN 与平面PAM 所成角的正弦值.【小问1详解】因为平面PDC ⊥平面ABCD ，平面PDC 平面ABCD DC =，BC CD ⊥，⊂BC 平面ABCD ，所以⊥BC 平面PDC ，又因为PD ⊂平面PDC 所以.PD BC ⊥【小问2详解】如图，以D 点为原点，分别以直线,DA DC 为x 轴，y 轴，依题意，可得()0,0,0D ，(3P ，()0,2,0C ，()2,0,0A ，)2,2,0M ，所以2,1,3PM =，()2,2,0AM =-，222(2)1(3)6PM ∴=++-6AM =，又MN PA ⊥ ，N ∴为PA 的中点.132,,22N ⎫∴⎪⎪⎝⎭，所以132,,22DN ⎫=⎪⎪⎝⎭，设 =s s 为平面PAM 的法向量，因为2,1,3PM =，()2,2,0AM =-，则00n PM n AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即230220y z x y +-=+=⎪⎩，取1y =，可得2,3x z ==所以2,1,3n =为平面PAM 的一个法向量，设直线DN 与平面PAM 所成角为θ，则2sin cos ,336DN nDN n DN nθ⋅===⨯⋅，所以直线DN 与平面PAM 所成角的正弦值为2.317.已知ABC V 的顶点()1,2,A AB 边上的中线CM 所在直线的方程为210,x y ABC +-=∠的平分线BH 所在直线的方程为y x =.（1）求直线BC 的方程和点C 的坐标；（2）求ABC V 的面积．【答案】（1）2310x y --=，51(,77，（2）107.【解析】【分析】（1）设点B 的坐标是(,)m m ，由AB 的中点在直线CM 上，求得点B 的坐标，再求出点A 关于直线y x =的对称点即可求得直线BC 的方程，联立方程组求出点C 坐标.（2）利用两点间距离公式及点到直线距离公式求出三角形面积.【小问1详解】由点B 在y x =上，设点B 的坐标是(,)m m ，则AB 的中点12(,22m m ++在直线CM 上，于是1221022m m +++⨯-=，解得1m =-，即点(1,1)B --，设A 关于直线y x =的对称点为00(,)A x y '，则有00002112122y x y x -⎧=-⎪-⎪⎨++⎪=⎪⎩，解得0021x y =⎧⎨=⎩，即(2,1)A '，显然点(2,1)A '在直线BC 上，直线BC 的斜率为1(1)22(1)3k --==--，因此直线BC 的方程为21(1)3y x +=+，即2310x y --=，由2310210x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得51,77x y ==，则点51(,)77C ，所以直线BC 的方程为2310x y --=，点C 的坐标为51(,)77.【小问2详解】由（1）得413||7BC ==，点A 到直线BC的距离d ==，所以ABC V 的面积110||27S BC d =⋅=.18.如图1，在平行四边形ABCD 中，60,22D DC AD =︒==，将ADC △沿AC 折起，使点D 到达点P 位置，且PC BC ⊥，连接PB 得三棱锥P ABC -，如图2．（1）证明：平面PAB ⊥平面ABC ；（2）在线段PC 上是否存在点M ，使平面AMB 与平面MBC 的夹角的余弦值为58，若存在，求出||||PM PC 的值，若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）存在；23【解析】【分析】（1）推导出PA AC ⊥，证明出⊥BC 平面PAB ，可得出PA BC ⊥，利用面面垂直的判定定理可证得结论成立；（2）以点A 为坐标原点，BC 、AC、AP 的方向分别为x 、y 、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设PM PC λ=，其中01λ≤≤，利用空间向量法可得出关于λ的等式，结合01λ≤≤求出λ的值，即可得出结论.【小问1详解】证明：翻折前，因为四边形ABCD 为平行四边形，60D ∠= ，则60B ∠= ，因为22DC AD ==，则2AB DC ==，1BC AD ==，由余弦定理可得22212cos 4122132AC AB BC AB BC B =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯=，所以，222AC BC AB +=，则BC AC ⊥，同理可证AD AC ⊥，翻折后，则有BC AC ⊥，PA AC ⊥，因为PC BC ⊥，AC PC C = ，AC 、PC ⊂平面PAC ，所以，⊥BC 平面PAC ，因为PA ⊂平面PAC ，则PA BC ⊥，因为AC BC C = ，AC 、⊂BC 平面ABC ，所以，PA ⊥平面ABC ，所以平面PAB ⊥平面ABC .【小问2详解】因为PA ⊥平面ABC ，BC AC ⊥，以点A 为坐标原点，BC 、AC、AP 的方向分别为x 、y 、z 轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，则0,0,0、0,0,1、()3,0C 、()3,0B -，设()()3,13,PM PC λλλλ==-=-，其中01λ≤≤，则()()()0,0,13,0,3,1AM AP PM λλλλ=+=+-=-，()3,0AB =-，设平面ABM 的法向量为(),,m x y z = ，则()30310m AB x m AM y z λλ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩ ，取1y λ=-，则3z λ=，)31x λ=-，所以，))31,1,3m λλλ=--，平面MBC 的一个法向量为(),,n a b c =，()3,1PB =-- ，()3,1PC =-，则3030n PB a b c n PC b c ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令3b =，可得()3,3n = ，则()224335cos ,823413m n m n m n λλλ-⋅==⋅⨯-+ ，整理可得23λ=，因此，线段PC 上存在点M ，使平面AMB 与平面MBC 的夹角的余弦值为58，且23PM PC =.19.已知圆22:1O x y +=和点()1,4M --.（1）过点M 向圆O 引切线，求切线的方程；（2）求以点M 为圆心，且被直线212y x =-截得的弦长为8的圆M 的方程；（3）设P 为（2）中圆M 上任意一点，过点P 向圆O 引切线，切点为Q ，试探究：平面内是否存在一定点R ，使得PQPR为定值？若存在，请求出定点R 的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）1x =-或158170x y --=；（2）()()221436x y +++=；（3）存在；定点()1,4R 时，定值为22或定点14,1717R ⎛⎫⎪⎝⎭时，定值为346.【解析】【分析】（1）讨论斜率是否存在：当斜率不存在时，易判断1x =-为圆O 的切线；当斜率存在时，设出直线方程，由圆心到直线距离等于半径，即可求得斜率，进而确定直线方程.（2）由点到直线距离公式可先求得点M 到直线2120x y --=的距离，再根据所得弦长和垂径定理，即可确定半径，进而得圆M 的方程；（3）假设存在定点R ，使得PQ PR 为定值，设(,)R a b ，(,)P x y ，22PQPRλ=，根据切线长定理及两点间距离公式表示出22,PQ PR，代入22PQ PRλ=并结合圆M 的方程，化简即可求得144,a b λλλλ--==，进而代入整理的方程可得关于λ的一元二次方程，解方程即可确定,,a b λ的值，即可得定点坐标及PQPR的值.【详解】（1）若过点M 的直线斜率不存在，直线方程为1x =-，为圆O 的切线；当切线O 的斜率存在时，设直线方程为()41y k x +=+，即40kx y k -+-=，∴圆心O1=，解得158k =，∴直线方程为158170x y --=综上切线的方程为1x =-或158170x y --=.（2）点()1,4M --到直线2120x y --=的距离为d ==，∵圆被直线212y x =-截得的弦长为8，∴6r ==，∴圆M 的方程为()()221436x y +++=.（3）假设存在定点R ，使得PQ PR 为定值，设(),R a b ，(),P x y ，22PQPRλ=∵点P 在圆M 上，∴()()221436x y +++=，则222819x y x y +=--+∵PQ 为圆O 的切线，∴OQ PQ ⊥，∴222211PQ PO x y =-=+-，()()222PR x a y b =-+-，∴()()22221x y x a y b λ⎡⎤+-=-+-⎣⎦21即()2228191281922x y x y ax by a b λ--+-=--+--++整理得()()()()2222288218190*a x b y a b λλλλλλλ-+++-+++---=若使()*对任意x ，y 恒成立，则222220882018190a b a b λλλλλλλ-++=⎧⎪-++=⎨⎪---=⎩，∴144a b λλλλ-⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，代入得2214418190λλλλλλλ--⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简整理得23652170λλ-+=，解得12λ=或1718λ=，∴1214a b λ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩或1718117417a b λ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩∴存在定点()1,4R ，此时PQ PR为定值2或定点14,1717R ⎛⎫ ⎪⎝⎭，此时PQ PR为定值6.【点睛】本题考查了过圆外一点的切线方程求法，注意斜率不存在的情况，由几何关系确定圆的方程，圆中定点和定值问题的综合应用，属于难题.。

重庆市万州第二高级中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________三、填空题四、解答题17．已知ABC V 的三个顶点为()4,0A ，()8,7B ，()4,6C .(1)求过点A 且平行于BC 的直线方程；(2)求AC 上的中线所在直线方程.18．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，5AB =，3AD =，14AA =，90DAB Ð=°，1160BAA DAA Ð=Ð=°，E 是1CC 的中点，设AB a uuu r r=，AD b uuu r r =，1AA c =uuur r .(1)用a r ，b r ，c r 表示AE uuu r ；(2)求AE ，1BD 所成角的余弦值.19．我们学习了空间向量基本定理：如果三个向量a r ，b r ，c r 不共面，那么对任意一个空间向量p u r ，存在一个唯一的有序实数对(),,x y z ，使得p xa yb zc =++u r r r r.其中，{},,a b c r r r叫做空间的一个基底．a r ，b r 不共线，非零向量m u r ，n r 满足0m a ×=u r r ，0m b ×=u r r ，0n a =×r r，0n b ×=r r .(1)以{},,m a b u r r r为基底证明：m n u r r ∥：(2)用向量证明：若两相交平面同时垂直另一平面，则这两平面的交线也垂直这个平面.20．如图，PA ^平面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，PA AD a ==，M 、N 分别是AB 、PC 的中点.(1)求证：平面MND ^平面PCD ；面与平面C GH的夹角的余弦值.1．A【详解】以D 为坐标原点，以1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()2,0,0A ，()2,4,0B ，()0,4,0C ，()2,2,0E ，()0,2,0F ，设()2,,2P t ，04t <<，则()2,,2DP t =uuu r ，()0,2,2EP t =-uuu r ，()0,2,0DF =uuu r ，()2,2,0DE =uuu r ，()2,2,2FP t =-uuu r ，()0,4,2BP t =-uuu r ，取平面PEB 的一个法向量为()2,0,0m DA ==uuu r r ，设平面PDF 的法向量为()111,,n x y z =r ，则00n DF n DP ì×=ïí×=ïîuuu r r uuu r r ，11100y x z =ìí+=î，取()2,0,2n =-r ，设平面PDE 的法向量为()222,,p x y z =r ，则22222220000x ty z p DP x y p DE ì++=×=ìïÞíí+=×=îïîuuu r r uuu r r ，取()2,2,2p t =--r ，设平面PFB 的法向量为()333,,q x y z =r ，∴11EF A C ∥，GH AC ∥，∴EF GH ∥，∵,EF OF Ì平面OEF ，1,GH HC Ë平面OEF ，∴GH ∥平面OEF ，1HC ∥平面OEF ，∵1GH HC H Ç=，1,GH HC Ì平面1C GH ，∴平面OEF ∥平面1C GH .（2）。

上海复旦附属中学2021-2021学年高二年级第一学期10月份月考数学试卷答案时间：120分钟；总分值：150分一、 填空题：54分2310x y +-=的倾斜角为 【答案】2arctan 3π- 3162223x y z x ay z x y z -+=⎧⎪++=⎨⎪+-=⎩有无穷多解，那么a =【答案】2-1:320l x y ++=与直线2:230l x y --=的夹角α= 【答案】4π 4.如图，在ΔABC 中，2,CD DA E =是BD 上一点，且1()7AE AB AC R λλ=+∈, 那么λ的值等于 【答案】47 1,2,,a b a b ==的夹角为060,那么a b +在a 上的投影是【答案】2P 在直线1:210l x y +-=上，点Q 在直线2:230,l x y PQ ++=的中点为00(,)M x y ,且0017y x ≤-≤,那么00y x 的取值范围是 【答案】2,05⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1:260l ax y ++=与直线22:(1)(1)0l x a y a +-+-=平行，那么a =【答案】1-,a b R ∈假设直线230x y ++=与直线(1)2a x by -+=互相垂直，那么ab 的最大值等于【答案】18(5,2)到直线(1)(21)5m x m y m -+-=-的距离的最大值为【答案】13111011n n n n x x y y ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭为向量(,)n n n OP x y =到向量111(,)n n n OP x y +++=的一个矩阵变换，其中n N ,O +∈是坐标原点，1(2,0)OP =,那么2020OP 的坐标为 【答案】(2,4038)2(2)0x y y λ++-=与两坐标轴围成一个三角形，该三角形的面积记为()S λ;当(1,)λ∈+∞时，()S λ的最小值为【答案】8ABC ∆中，3,4,5,AB AC BC I ===是ABC ∆的内心〔即三个内角平分线所在直线的交点〕，P 是C IB ∆内部〔不含边界〕的动点，假设(,)AP AB AC R λμλμ=+∈, 那么λμ+的取值范围是 【答案】2(,1)3二、 选择题：20分 ,a b 是非零向量，“a b a b ⋅=〞是“//a b 〞的〔 )条件．【答案】A{}n a 的通项公式2019(1)(12019)1()(2019)2n n n n a n -⎧-≤≤⎪=⎨>⎪⎩，前n 项和为n S , 那么关于数列{}n a 的极限，下面判断正确的选项是〔 〕{}n a 的极限不存在，{S }n 的极限存在；{}n a 的极限存在，{}n a 的极限不存在；{},{S },n n a 的极限均存在，但极限值不相等；{},{S },n n a 的极限均存在，且极限值相等；【答案】C(1,3)P 作直线,l l 经过点(,0)A a 和(0,)B b ,且,a b N +∈,那么这样的直线l 的条数为〔 ) A. 1 B. 2 C 【答案】B 16.在某型号的图像计算器中，输入曲线方程28(165)0y x x -+-+--=,计算器显示下列图中的线段AB ,那么线段CD 的曲线方程为〔 ) A. 23(242)0x y x x -++-+--=； B. 23(242)0x y x x +++-+--=；C.23(242)0x y x x -++-+-+= ；D. 23(242)0x y x x +++++--=； 【答案】A三、解答题：76分〔1)求不等式()0f x ≤的解集；〔2)假设不等式()f x a x ≥-在[]2,3x ∈上恒有解，求实数a 的取值范围．【答案】〔1)1(,0),2x ⎡⎫∈-∞+∞⎪⎢⎣⎭；〔2〕43a ≤ (3,1),5,(1)a a b c xa x b=-⋅==+-； 〔1)假设a c ⊥，求实数x 的值； 〔2)假设5b =,求c 的最小值．【答案】〔1)13x =；〔2〕1c = XOY 中，点(2,0),(10,0),C(11,3),D(10,6)A B〔1)证明：存在点P 使得PA PB PC PD ==+,并求P 的坐标；〔2)过点C 的直线l 将四边形ABCD 分成周长相等的两局部，求该直线l 的方程.【答案】〔1)(6,3)；〔2〕124190x y --=20.如图，平面直角坐标系内，O 为坐标原点，点A 在x 轴正半轴上，点B 在第一象限内，060AOB ∠=.〔1)假设AB 过点3)M ,当ΔOAB 的面积取最小值时，求直线AB 的斜率； 〔2)假设4AB =,求ΔOAB 的面积的最大值；〔3)设,,OA a OB b ==假设114a b +=,求证：直线AB 过一定点，并求出此定点坐标.【答案】〔1)32〕33〕33()8 21.在平面直角坐标系内，对于任意两点1122(,),(,)A x y B x y ,定义它们之间的“曼哈顿距离〞为1212AB x x y y =-+-.〔1)求线段2(,0)x y x y +=≥上一点(,)M x y 到原点O(0,0)的“曼哈顿距离〞；〔2)求所有到定点(,)Q a b 的“曼哈顿距离〞均为2的动点围成的图形的周长；〔3)众所周知，对于“欧几里得距离〞221212()(y y )AB x x =-+-有如下三个正确的结论：①对于平面上任意三点,,A B C ,都有AB AC CB ≤+;②对于平面上不在同一直线上的任意三点,,A B C ,假设222AB AC CB =+,那么ABC ∆是以C ∠为直角的直角三角形；③对于平面上两个不同的定点,A B ,假设动点P 满足PA PB =,那么动点P 的轨迹是线段,A B 的垂直平分线；上述结论对于“曼哈顿距离〞是否依然正确？说明理由。

2022-2023学年上海市高二上学期10月月考数学检测试题一、填空题1．直线l 经过点(1,2)A -，且倾斜角为2π，则直线l 的方程为__．【正确答案】=1x -【分析】倾斜角为2π，即是垂直于x 轴，据此可以直接写出直线方程.【详解】由于倾斜角为2π，所以l 垂直于x 轴，直线方程为=1x -；故=1x -.2．若方程2224380x y kx y k +++++=表示一个圆，则实数k 的取值范围是______．【正确答案】()(),14,-∞-⋃+∞【分析】根据题意得()24164380k k +-+>，再解不等式即可得答案.【详解】解：因为方程2224380x y kx y k +++++=表示一个圆所以，()24164380k k +-+>，即2340k k -->，解得4k >或1k <-.所以，实数k 的取值范围是()(),14,-∞-⋃+∞故()(),14,-∞-⋃+∞3．两条直线50x y a ++=与0x y a --=的交点在曲线2y x a =+上，则实数=a __．【正确答案】0或1-【分析】先求出两条直线50x y a ++=与0x y a --=的交点代入曲线2y x a =+，解方程即可得出答案.【详解】由500x y a x y a ++=⎧⎨--=⎩，解得23x a y a =-⎧⎨=-⎩．因为两直线50x y a ++=与0x y a --=的交点在曲线2y x a =+上，所以23(2)a a a -=-+，化为(1)0a a +=，解得0a =或1-．故0或1-4．若直线()2240x a y +++=与直线()1220a x y -++=平行，则实数a 的值为_________.【正确答案】3-根据两直线平行的条件列方程求得a 的值，然后检验，排除两直线重合的情况.【详解】由题意得()()2221a a ⨯=+-,即260a a +-=,解得3a =-或2a =.当2a =时，两直线方程都为：220x y ++=，两直线重合;当3a =-时，两直线方程分别为：240,210x y x y -+=--=,两直线平行.故答案为.3-本题考查利用两直线的平行求参数，属基础题，易错点是忽视重合的情况的排除.5．经过点P (3,2),且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为（写出一般式）___．【正确答案】x+y-5=0或2x-3y=0【分析】当直线经过原点时，在两坐标轴上的截距相等，可得其方程为2x ﹣3y ＝0；当直线不经过原点时，可得它的斜率为﹣1，由此设出直线方程并代入P 的坐标，可求出其方程为x +y ﹣5＝0，最后加以综合即可得到答案．【详解】当直线经过原点时，设方程为y ＝kx ，∵直线经过点P （3，2），∴2＝3k ，解之得k 23=，此时的直线方程为y 23=x ，即2x ﹣3y ＝0；当直线不经过原点时，设方程为x +y +c ＝0，将点P （3，2）代入，得3+2+c ＝0，解之得c ＝﹣5，此时的直线方程为x +y ﹣5＝0．综上所述，满足条件的直线方程为：2x ﹣3y ＝0或x +y ﹣5＝0．故x+y-5=0或2x-3y=0．本题给出直线经过定点且在两个轴上的截距相等，求直线的方程．着重考查了直线的基本量与基本形式等知识，属于基础题．6．已知点00(,)M x y 是圆222:()0O x y r r +=>外一点，则直线200x x y y r +=与圆O 的位置关系为__．【正确答案】相交【分析】先由点与圆的位置关系得22200x y r +>，再利用圆心到直线的距离与圆的半径比较即可.【详解】因为点00(,)M x y 是圆222:()0O x y r r +=>外一点，所以22200x y r +>，又圆心O 到直线直线200x x y y r +=的距离2d r =，所以直线200x x y y r +=与圆O 相交.故相交.7．平面直角坐标系内，点(1,2)A ，点(13,1)B 到直线l 的距离分别为1,2，则满足条件的直线l 有__条.【正确答案】4【分析】动直线和点的距离不变，可理解为直线是圆的切线，对于本题，利用两圆的位置关系得出两圆公切线的条数，从而得到答案.【详解】把直线l 看成以(1,2)A 为圆心，1为半径的圆的切线，同时是以(13,1)B 为圆心，2为半径的圆的切线，由于两圆圆心距12AB =>+，所以两圆外离，根据外离的两圆的公切线有4条可知，所以满足条件的直线l 有4条.故48．直线y x b =+与曲线x =b 的取值范围是__________．【正确答案】11b -<≤或b =【分析】根据曲线方程得曲线的轨迹是个半圆，数形结合分析得两种情况：（1）直线与半圆相切有一个交点；（2）直线与半圆相交于一个点，综合两种情况可得答案.【详解】由曲线x =可得221(0)x y x +=≥，表示以原点为圆心，半径为1的右半圆，y x b =+是倾斜角为4π的直线与曲线x =（1）直线与半圆相切，根据d r =，所以1d =，结合图像可得b =；（2）直线与半圆的上半部分相交于一个交点，由图可知11b -<≤.故11b -<≤或b =.方法点睛：处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法；如果x 或y 有限制，需要数形结合进行分析.9．圆22640x y x y +-+=和圆22450x y x +--=交于A ，B 两点，则弦AB 的垂直平分线的方程是________.【正确答案】24y x =-+【分析】弦AB 的垂直平分线即两圆心连线.【详解】2222640(3)(2)13x y x y x y +-+=⇒-++=2222450(2)9x y x x y +--=⇒-+=弦AB 的垂直平分线即两圆心连线方程为24y x =-+故答案为24y x =-+本题考查了弦的垂直平分线，转化为过圆心的直线可以简化运算.10．已知圆C ：22(4)(3)4x y -+-=和两点(),0A m -，(),0(0).B m m >若圆C 上存在点M ，使得AM MB ⊥，则m 的最小值为______【正确答案】3【分析】根据题意，由A 、B 的坐标分析AB 中点的坐标以及AB 的值，进而求出以AB 的中点为圆心，半径12r AB =⨯的圆的方程，由圆与圆的位置关系可得圆C 与圆O 有交点，进而可得2525m m ⎧-≤⎪⎨+≥⎪⎩，解可得m 的取值范围，即可得答案．【详解】根据题意，点(),0A m -，(),0(0)B m m >，则AB 的中点为()0,0，2AB m =，则以AB 的中点为圆心，半径12r AB =⨯的圆为222x y m +=，设该圆为圆O ，若圆C 上存在点M ，使得AM MB ⊥，则圆C 与圆O 有交点，必有22m OC m -≤≤+，即2525m m ⎧-≤⎪⎨+≥⎪⎩，又由0m >，解可得：3m 7≤≤，即m 的最小值为3；故3．本题考查圆与圆的位置关系，涉及圆的方程，属于基础题．11．设点(3,5)A ，点B 和C 分别为直线:220l x y -+=和y 轴上的两动点，则ABC 的周长的最小值为__．【正确答案】【分析】由题可求点A 关于y 轴的对称点M ，A 关于:220l x y -+=的对称点D ，然后利用数形结合即得.【详解】因为点(3,5)A ，则A 关于y 轴的对称点M 为(3,5)-，设A 关于:220l x y -+=的对称点为(),D a b ，则511323522022b a a b -⎧⨯=-⎪⎪-⎨++⎪-⨯+=⎪⎩，解得5,1a b ==，即()5,1D ，所以MC CA =，AB BD =，所以ABC 的周长为MC CB BD ++，则当,,,M C B D 共线时，ABC 的周长的值最小，此时三角形周长为22(53)(15)45DM =++-=故4512．将函数29103([0,10])y x x x =+-∈的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角(0)θθα≤≤，得到曲线C ．若对于每一个旋转角θ，曲线C 都是一个函数的图像，则α的最大值为__（结果用反三角函数表示）．【正确答案】3arctan5【分析】作出函数图像，数形结合，确定当此圆弧绕坐标原点逆时针方向旋转角大于MOB ∠时，曲线C 将不是一个函数的图像，由此求得答案.【详解】先画出函数29103([0,10])y x x x =+-∈的图像,如图：2()9103([0,10])f x x x x =+-∈，函数图像是一个圆弧，圆心为(5,3)M -，与x 轴分别交于()()0,0,10,0O B ，设此时过原点和圆弧相切的直线为l ,由图可知当此圆弧绕坐标原点逆时针方向旋转角大于MOB ∠时，此时l 将逆时针旋转越过y 轴，y 轴将与旋转后的圆弧有两交点，此时曲线C 将不是一个函数的图像，故α的最大值为MOB ∠，因为(5,3)M -，故arct n 3a 5MOB ∠=,故3arctan5二、单选题13．已知直线21:20l x y t ++=和直线2:24230l x y t ++-=，则当1l 与2l 间的距离最短时，t的值为（）A ．1B ．12C ．13D ．2【正确答案】B【分析】利用平行线之间的距离公式可求出d 关于t 的二次函数解析式，再利用二次函数的单调性即可求解.【详解】解：∵直线2:24230l x y t ++-=即为直线23202t x y -++=，∴直线1//l 直线2l ．∴1l 与2l 间的距离2222231552244512t t t d -⎛⎫--+ ⎪⎝⎭=+ 12t =时取等号．∴当1l 与2l 间的距离最短时，t 的值为12．故答案选：B14．若直线2x y -=被圆22()4x a y -+=所截得的弦长为，则实数a 的值为（）A ．0或4B ．0或3C ．2-或6D ．1-【正确答案】A【分析】根据直线被圆所截得的弦长为“,r d ”法求解.【详解】由圆的方程22()4x a y -+=可知，圆心坐标为(,0)a ，半径2r =．又直线被圆截得的弦长为所以圆心到直线的距离d =．又d =，所以|2|2a -=，解得4a =或0a =．故选：A ．15．等腰三角形两腰所在直线的方程分别为20x y +-=与740x y --=，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为A ．3B ．2C ．13-D ．12-【正确答案】A【详解】，，设底边为由题意，到所成的角等于到所成的角于是有，再将A 、B 、C 、D 代入验证得正确答案是A ．16．在平面直角坐标系中，,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为（）A ．45πB ．34πC ．(6π-D ．54π【正确答案】A【详解】试题分析：设直线:240l x y +-=因为1||||2C l OC AB d -==，1c d -表示点C 到直线l 的距离，所以圆心C 的轨迹为以O 为焦点，l 为准线的抛物线，圆C 的半径最小值为1122O l d -=，圆C 面积的最小值为245ππ=⎝⎭．故本题的正确选项为A.抛物线定义.三、解答题17．在ABC 中，三个顶点的坐标分别为(3,3)A ，(2,2)B -，(7,1)C -.(1)求直线BC 的方程；(2)求BC 边上的高AD 所在直线的方程；(3)求BAC ∠的平分线AE 所在直线的方程．【正确答案】(1)340x y ++=(2)360x y --=(3)0x y -=【分析】（1）利用两点求出斜率，用点斜式直接写出结果后整理化简即可；（2）由两直线垂直可知，1AD BC k k =-先得到AD k ，再由点斜式直接写出结果后整理化简；（3）利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两端的距离相等，直接找出角平分线上一点满足的关系，并结合图形排除不符合的情况.【详解】（1）依题意得，直线BC 的方程为122(2)72y x ++=---，即340x y ++=；（2）依题意，BC AD ⊥，由两直线垂直可知，1AD BC k k =-，结合上一问，13BC k =-，故3AD k =，于是AD 所在直线方程为：33(3)y x -=-，即360x y --=；（3）设BAC ∠平分线AE 上的任意一点(,)P x y ，又ABC 顶点(3,3)A 、(2,2)B -、(7,1)C -，3(2)532AB k --==-，所以直线AB 方程为35(3)y x -=-，即5120x y --=，3113(7)5ACk -==--，直线AC 的方程为13(3)5y x -=-，即5120x y -+=，由角平分线的性质可知：点P 到直线AC 距离等于点P 到直线AB=，故512(512)x y x y --=±-+，即60x y +-=或0x y -=．结合图形，得AC AE AB k k k <<，即155AE k <<，直线60x y +-=的斜率为1-，不符题意，故舍去．故BAC ∠的平分线AE 所在直线的方程为0x y -=．18．已知点(4,0)A -，(2,0)B ，动点P 满足||2||PA PB =．(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)直线l 经过点(0,2)M -且与曲线C 只有一个公共点，求直线l 的方程．【正确答案】(1)22(4)16x y -+=；(2)0x =或3480x y ++=．【分析】（1）设(,)P x y ，根据两点间距离公式结合条件即得；（2）由题可知直线与圆相切，分斜率存在和不存在讨论，结合点到直线的距离公式即得.【详解】（1）设(,)P x y ，因为点(4,0)A -，(2,0)B ，动点P 满足||2||PA PB =，2222(4)2(2)x y x y ++=-+，整理得2280x y x +-=，即22(4)16x y -+=，所以曲线C 方程为22(4)16x y -+=；（2）由22(4)16x y -+=，可知曲线C 为圆心为()4,0，半径为4的圆，所以直线l 与圆相切，当直线l 的斜率不存在时，直线:0l x =，满足题意；当直线l 的斜率存在时，设直线2y kx =-，即20kx y --=，241k =+，解得34k =-，所以直线l 的方程为324y x =--，即3480x y ++=，综上，直线l 的方程为0x =或3480x y ++=．19．已知点(2,0)P 及圆22:6440C x y x y +-++=.（1）设过点P 的直线1l 与圆C 交于,M N 两点，当||4MN =时，求以线段MN 为直径的圆Q 的方程；（2）设直线10ax y -+=与圆C 交于,A B 两点，是否存在实数a ，使得过点(2,0)P 的直线2l 垂直平分弦AB ？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由.【正确答案】(1)22(2)4x y -+=（2）不存在实数a ，使得过点(2, 0)P 的直线2l 垂直平分弦AB【详解】试题分析：（1）由利用两点间的距离公式求出圆心C 到P 的距离，再根据弦长|MN|的一半及半径，利用勾股定理求出弦心距d ，发现|CP|与d 相等，所以得到P 为MN 的中点，所以以MN 为直径的圆的圆心坐标即为P 的坐标，半径为|MN|的一半，根据圆心和半径写出圆的方程即可；（2）把已知直线的方程代入到圆的方程中消去y 得到关于x 的一元二次方程，因为直线与圆有两个交点，所以得到△＞0，列出关于a 的不等式，求出不等式的解集即可得到a 的取值范围，利用反证法证明证明即可．试题解析：（Ⅰ）由于圆22:6440C x y x y +-++=的圆心()3,2C -，半径为3，CP =d =，所以d CP ==P 为MN 的中点，所以所求圆的圆心坐标为()2,0，半径为122MN =，故以MN 为直径的圆Q 的方程为：()2224x y -+=．（Ⅱ）把直线10ax y -+=及1y ax =+代入圆C 的方程，消去y ，整理得：()()2216190a x a x ++-+=，由于直线10ax y -+=交圆C 于A ，B 两点，故()()223613610a a ∆=--+>，即20a ->，解得0a <．则实数a 的取值范围是(),0-∞．设符合条件的实数a 存在，由于2l 垂直平分弦AB ，故圆心()3,2C -必在直线2l 上，所以2l 的斜率2PC k =，所以12AB k a ==，由于()1,02∉-∞，故不存在实数a ，使得过点()2,0P 的直线2l 垂直平分弦AB ．20．已知圆:O 221x y +=和定点()2,1A ，由圆O 外一点(),P a b 向圆O 引切线PQ ，切点为Q ，且满足PQ PA =.(1)求实数a b 、间满足的等量关系；(2)求线段PQ 长的最小值；(3)若以P 为圆心所作的圆P 与圆O 有公共点，试求半径取最小值时圆P 的方程.【正确答案】(1)230a b +-=；(3)226314555x y -⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【分析】（1）利用切线长公式结合条件可得()()2222121a b a b +-=-+-，即得；（2）表示出PQ 利用配方法即可求出PQ 的最小值；（3）由⊙P 与⊙O 有公共点，可得1r PO ≥-，只需求出OP 的最小值以及取得最小值时的,a b 的值，即可求出半径最小值的圆的方程.【详解】（1）由圆的切线的性质可得，222||||PQ OP OQ =-，又PQ PA =，∴()()2222121a b a b +-=-+-，∴230a b +-=；（2）∵230a b +-=，∴23b a =-+，∴PQ ====∴当65a =时，线段PQ ；（3）设P 半径为r ，∵⊙P 与⊙O 有公共点，⊙O 半径为1，∴11r PO r -≤≤+，即1r PO ≥-且1r PO ≤+，又OP ===∴当65a =时，min ||5OP =，此时35=b ，min 15r =-，∴当半径取最小值时，圆P 方程为：222631555x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即226314555x y -⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．21．已知直线:0l ax by c ++=和点00(,)P x y ，点P 到直线l 的有向距离(,)d P l 用如下方法规定：若0b ≠，(,)d P l =，若0b =，0(,)ax c d P l a+=．(1)已知直线1:34120l x y -+=，直线2:230l x +=，求原点O 到直线12,l l 的有向距离12(,),(,)d O l d O l ；(2)已知点(2,1)A 和点(3,1)B -，是否存在通过点A 的直线3l ，使得3(,)2d B l =？如果存在，求出所有这样的直线3l ，如果不存在，说明理由；(3)设直线4:cos 2sin 20l x y αα+-=，问是否存在实数0t >，使得对任意的参数α都有：点12(,0),(,0)F t F t -到4l 的有向距离()()1424,,,d F l d F l 满足()()1424,,1d F l d F l ⋅=？如果满足，求出所有满足条件的实数t ；如果不存在，请说明理由．【正确答案】(1)112(,)5=-d O l ，23(,)2=d O l (2)10y -=或4350x y --=(3)存在，t【分析】(1)直接利用点到直线的有向距离公式进行计算即可.(2)分斜率存在和斜率不存在两种情况，分别利用点到直线的有向距离公式进行化简，即可求出直线方程.(3)分sin 0α=和sin 0α≠，分别计算出()()1424,,,d F l d F l ，然后根据题意()()1424,,1d F l d F l ⋅=可得出关于t 和α的等量关系，进行求出t 的结果.【详解】（1）由直线1:34120l x y -+=，直线2:230l x +=，根据点到直线的有向距离公式得，112(,)5d O l ==-，22033(,)22d O l ⋅+==；即112(,)5=-d O l ，23(,)2=d O l （2）当直线3l 的斜率不存在时，直线3l 的方程为20x -=，此时3132(,)121d B l ⨯-==≠，舍去；当直线3l 的斜率存在时，直线3l 的方程为1(2)y k x -=-，化为120kx y k -+-+=，假设3(,)2d B l ==，则2340k k -=，解得0k =或43．所以存在直线3l 的方程为10y -=或4350x y --=；（3）当sin 0α=时，直线4:cos 20l x α-=，()()1424cos 2cos 2,,,cos cos t t d F l d F l αααα---==，由()()14242(cos 2)(cos 2),,1cos t t d F l d F l ααα---⋅==，整理得2224cos cos t αα-=， 22sin cos 1αα+=，∴23t =， 0t >，即t =当sin 0α≠时，直线4:cos 2sin 20l x y αα+-=，得()()1424,,,d F l d F l =由()()142422(cos 2)(cos 2),,1cos 4sin t t d F l d F l αααα---⋅==+，即222224cos cos 4sin 43cos t αααα-=+=-，2224cos 43cos t αα-=-或2224cos 3cos 4t αα-=-，解得23t =或22(3)cos 8t α+=，由题意对任意的参数α都有()()1424,,1d F l d F l ⋅=恒成立，所以t ，综上所述，存在实数0t >满足题目条件，即t =。

高二数学月考试题一．选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分) 1. 1．若集合{}1216x A x =≤≤，{}23log (2)1B x x x =->，则A B 等于（ ）A ．(]3,4B ．[]3,4C ．(](,0)0,4-∞ D ．(](,1)0,4-∞-2．设命题0300:(0,),3xp x x ∃∈+∞<，则p ⌝为（ ）A ．3(0,),3x x x ∀∈+∞≥B ．3(0,),3x x x ∃∈+∞≥C ．3(0,),3xx x ∀∈+∞< D ．3(0,),3xx x ∃∈+∞< 3．复数1ii+在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．为研究某种细菌在特定环境下，随时间变化的繁殖情况，得到如下实验数据：由最小二乘法得y 与x 的线性回归方程为ˆˆ0.7yx a =+，则当7x =时，繁殖个数y 的预测值为（ ） A ．4.9 B ．5.25 C ．5.95 D ．6.155．在ABC ∆中，|| 3.||4,||5,BC AB AC ===则AC BC ⋅=（ ）A ．-9B ．0C ．9D ．156. 在等差数列}{n a 中，39741=++a a a ，27963=++a a a ，则数列}{n a 的前9项 和9S 等于（ ）A. 66B. 99C. 144D. 297 7．已知函数1()sin()()46f x x x R π=+∈，把函数()f x 的图象向右平移83π个单位得函数()g x的图象，则下面结论正确的是（ ）A ．函数()g x 是奇函数B ．函数()g x 在区间[],2ππ上是增函数C ．函数()g x 的最小正周期是4πD ．函数()g x 的图象关于直线x π=对称8．∆ABC 的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、 ,若,,a b c 成等比数列，且2c a =，则cos B = ( )A.14B.349.数列{}n a 的前n 项和为n S ，若n n S a a 3,111==+ ，则6a =（ ）（A ）443⨯ （B ）1434+⨯ （C ）44 （D ）144+10.各项都是正数的等比数列}{n a 的公比1≠q ，且132,21,a a a 成等差数列，则5443a a a a ++的值为（ ）A ．251- B ．215+ C. 215- D ．215+或215-11．设由正数组成的等比数列，公比2q =，且303043212=a a a a a ……···，则30963a a a a ……··等于（ ）A ．102 B ．152 C ．162 D ．20212. 在各项均为正数{}n a 的等比数列中，公比()0,1q ∈，若355,a a +=264,log n n a a b a ==，数列{}n b 的前n 项和为n S ，则当12...12n S S S n+++取得最大值时，n 的值为（ ） A ．8 B ．9 C ．9或10 D ．8或9二．填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)13．已知3tan =α，则sin cos sin cos αααα+-的值为 .14．设,a b R +∈3a 与3b的等比中项,则11a b+的最小值为 .15．数列{}n a 中，若111,1n n na a a n +==+，则n a = ______ ． 16．若{}n a 是等差数列，首项110071008100710080,00a a a a a +⋅＞＞，＜，则使前n 项和0n S ＞成立的最大自然数n 是_____.三.解答题:(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．（10分）为迎接建国七十周年，高二年级某班开展了一次“迎国庆知识竞赛”，竞赛分初赛和决赛两个阶段进行，在初赛后，把成绩（满分为100分，分数均匀整数）进行统计，制成如右图的频率分布表： （Ⅰ）求,,,a b c d 的值；(Ⅱ)若得分在[]90,100之间的有机会进入决赛，已知其中男女比例为2∶3，如果一等奖只有两名，求获得一等奖的全部为女生的概率.18.（12分）等比数列{}n a 的各项均为正数，且13221=+a a ,62239a a a ⋅=（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)设31323log log log n n b a a a =++⋅⋅⋅+，求数列1n b ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .19.（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且tan 21tan A cB b+=． （Ⅰ）求角A ； （Ⅱ）若3=a ，求c b +的最大值.20.（12分）已知数列{}n a 满足， ,11=a ,22=a n n n a a a +=++122. （Ⅰ）令1n n n b a a +=-，证明：{}n b 是等比数列； (Ⅱ)求{}n a 的通项公式。