江苏省南京市2014届高三考前冲刺训练(南京市教研室)_数学_Word版含答案

2014实战演练·高三数学附加分参考答案与解析南京市、盐城市2013届高三第一次模拟考试21. A.解：连结OC ，BE.因为AB 是圆O 的直径， 所以BE ⊥AE.因为AB ＝8，BC ＝4，所以OB ＝OC ＝BC ＝4，即△OBC 为正三角形． 所以∠BOC ＝60°.(4分) 又直线l 切圆O 与于点C ， 所以OC ⊥l.因为AD ⊥l ，所以AD ∥OC.所以∠BAD ＝∠BOC ＝60°.(8分)在Rt △BAE 中，因为∠EBA ＝90°－∠BAE ＝30°， 所以AE ＝12AB ＝4.(10分)B. 解：矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －2－2 λ－x ＝(λ－1)(λ－x)－4.(2分)因为λ1＝3是方程f(λ)＝0的一个根， 所以(3－1)(3－x)－4＝0，解得x ＝1.(4分)由(λ－1)(λ－1)－4＝0，得λ＝－1或3，所以λ2＝－1.(6分)设λ2＝－1对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， 则⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2y ＝0，－2x －2y ＝0，从而y ＝－x.(8分) 取x ＝1，得y ＝－1，所以矩阵M 的另一个特征值为－1，对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1.(10分)C. 解：圆的极坐标方程化为直角坐标方程为(x ＋1)2＋y 2＝4， 所以圆心的直角坐标为(－1，0)，半径为2.(4分) 又直线方程可化为x ＋y －7＝0，(6分)所以圆心到直线的距离d ＝|－1－7|2＝42，所以AB 的最小值为42－2.(10分) D. 证明：因为a 1是正数，所以1＋a 1≥2a 1＞0.(5分)同理1＋a k ≥2a k ＞0(k ＝2，3，4，…，n)．因此(1＋a 1)(1＋a 2)…(1＋a n )≥2n a 1·a 2·…·a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n ＝1时等号成立． 因为a 1·a 2·…·a n ＝1，所以(1＋a 1)(1＋a 2)…(1＋a n )≥2n .(10分)22. 解：(1) 记该小组在一次检测中荣获“和谐组”的概率为P ，则P ＝⎝⎛⎭⎫C 12·23·13⎝⎛⎭⎫C 12·12·12＋⎝⎛⎭⎫23·23(12·12)＝13. 故该小组在一次检测中荣获“和谐组”的概率为13.(4分)(2) 该小组在一次检测中荣获“和谐组”的概率为 P ＝⎝⎛⎭⎫C 12·23·13[C 12·P 2·(1－P 2)]＋⎝⎛⎭⎫23·23P 22＝89P 2－49P 22.因为该小组在这12次检测中获得“和谐组”的次数X ～B(12，P)，所以EX ＝12P.(7分) 由EX ≥5，得12⎝⎛⎭⎫89P 2－49P 22≥5，解得34≤P 2≤54. 因为P 2≤1，所以P 2的取值范围为⎣⎡⎦⎤34，1.(10分) 23. (1) 解：因为T r ＋1＝C r n ·2n －r x r2. 令r2＝3，得r ＝6， 故x 3的系数为C 6n ·2n －6＝14，解得n ＝7.(4分) (2) 证明：由二项式定理可知(2＋3)n ＝C 0n 2n ＋C 1n 2n －1(3)＋C 2n 2n －2(3)2＋…＋C r n 2n －r (3)r ＋…＋C n n (3)n＝[C 0n 2n ＋C 2n 2n －2(3)2＋…]＋3(C 1n 2n －1＋C 3n ·2n －3·3＋…)．(6分) 令x ＝C 0n 2n ＋C 2n 2n －2(3)2＋…， y ＝C 1n 2n －1＋C 3n ·2n －3·3＋…， 显然x ∈N *，y ∈N *.则(2＋3)n ＝x ＋3y ，(2－3)n ＝x －3y ， 所以(2＋3)n ·(2－3)n ＝x 2－3y 2＝1. 令s ＝x 2，则必有s －1＝x 2－1＝3y 2.从而(2＋3)n 必可表示成s ＋s －1的形式，其中s ∈N *.(10分)南通市2013届高三第一次调研测试21. A. 证明：(1) 连BE ，则∠E ＝∠C. 又∠ABE ＝∠ADC ＝90°， ∴ △ABE ∽△ADC ，∴AB AD ＝AE AC. ∴ AB ·AC ＝AE·AD.(5分)(2) 连结OF ，∵ F 是BC ︵的中点，∴ ∠BAF ＝∠CAF.由(1) 得∠BAE ＝∠CAD ，∴ ∠FAE ＝∠FAD.(10分)B. 解：设A ＝NM ，则A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0，(3分)设P(x′，y ′)是曲线C 上任一点，在两次变换下，在曲线C 2上的对应的点为P(x ，y)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2y′ x′，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y′，y ＝x′， ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧x′＝y ，y ′＝－12x.(7分)又点P(x′，y ′)在曲线C ：y 2＝2x 上， ∴ ⎝⎛⎭⎫－12x 2＝2y ，即y ＝18x 2.(10分) C. 解：曲线C 的普通方程是x 23＋y 2＝1.(2分)直线l 的普通方程是x ＋3y －3＝0.(4分)设点M 的直角坐标是(3cos θ，sin θ)，则点M 到直线l 的距离是 d ＝|3cos θ＋3sin θ－3|2＝3|2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－1|2.(7分)因为－2≤2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4≤2，所以当sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－1，即θ＋π4＝2k π－π2(k ∈Z )，即θ＝2k π－3π4(k ∈Z )时，d 取得最大值．此时3cos θ＝－62，sin θ＝－22. 综上所述，点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，7π6时，该点到直线l 的距离最大．(10分) 注：凡给出点M 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫－62，－22，不扣分． D. 解：∵ a ＞0，b ＞0，2a ＋b ＝1，∴ 4a 2＋b 2＝(2a ＋b)2－4ab ＝1－4ab ，(2分) 且1＝2a ＋b ≥22ab ，即ab ≤24，ab ≤18，(5分) ∴ S ＝2ab －4a 2－b 2＝2ab －(1－4ab)＝2ab ＋4ab －1≤2－12， 当且仅当a ＝14，b ＝12时，等号成立．(10分)22. (1) 解：解法1：设M(x ，y)，P(x 1，0)，Q(0，y 2)，则 由PR →·PM →＝0，PQ →＝12QM →及R(0，－3)，得⎩⎪⎨⎪⎧－x 1（x －x 1）＋（－3）y ＝0，－x 1＝12x ，y 2＝12y －12y 2，化简，得x 2＝4y.(4分)所以，动点M 的轨迹C 1是顶点在原点，开口向上的抛物线．(5分) 解法2：设M(x ，y)．由PQ →＝12QM →，得P ⎝⎛⎭⎫－x 2，0，Q ⎝⎛⎭⎫0，y 3. 所以，PR →＝⎝⎛⎭⎫x 2，－3，PM →＝⎝⎛⎭⎫3x 2，y . 由PR →·PM →＝0，得⎝⎛⎭⎫x 2，－3·⎝⎛⎭⎫32x ，y ＝0，即34x 2－3y ＝0，化简得x 2＝4y.(4分) 所以，动点M 的轨迹C 1是顶点在原点，开口向上的抛物线．(5分)(2) 证明：由题意，得AB →·CD →＝AB·CD ，圆C 2的圆心即为抛物线C 1的焦点F. 设A(x 1，y 1)，D(x 2，y 2)，则AB ＝FA －FB ＝y 1＋1－1＝y 1.(7分) 同理CD ＝y 2.设直线l 的方程为x ＝k(y －1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k （y －1），y ＝14x 2，得y ＝14k 2(y －1)2，即k 2y 2－(2k 2－4)y ＋k 2＝0.所以，AB →·CD →＝AB·CD ＝y 1y 2＝1.(10分)23. 解：(1) 当a ＝－1时，a 1＝－4，a n ＋1＝(－1)a n －1＋1. 令b n ＝a n －1，则b 1＝－5，b n ＋1＝(－1)b n .因为b 1＝－5为奇数，b n 也是奇数且只能为－1，所以，b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－5，n ＝1，－1，n ≥2，即a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－4，n ＝1，0，n ≥2.(3分)(2) 当a ＝3时，a 1＝4，a n ＋1＝3a n －1＋1.(4分)下面利用数学归纳法来证明：a n 是4的倍数． 当n ＝1时，a 1＝4＝4×1，命题成立；设当n ＝k(k ∈N *)时，命题成立，则存在t ∈N *，使得a k ＝4t ，故a k ＋1＝3a k －1＋1＝34t －1＋1＝27·(4－1)4(t －1)＋1＝27·(4m ＋1)＋1＝4(27m ＋7)，其中，4m ＝44(t －1)－C 14（t －1）·44t －5＋…＋(－1)r C r 4（t －1）·44t －4－r＋…－C 4t －34（t －1）·4， 即m ∈Z ，所以当n ＝k ＋1时，命题成立．所以由数学归纳法原理知命题对n ∈N *成立．(10分)苏州市2013届高三调研测试21. A. 证明：连结OP ，∵ 直线l 切圆O 于点P ， ∴ OP ⊥l.(2分)∵ AC ⊥l ，BD ⊥l ， ∴ OP ∥AC ∥BD.又OA ＝OB ，∴ PC ＝PD.(5分) ∵ OP ∥AC ，∴ ∠OPA ＝∠CAP.(8分) ∵ OP ＝OA.∴ ∠OPA ＝∠OAP. 则∠CAP ＝∠OAP.∴ AP 平分∠CAB.(10分)B. 解：设α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b 为矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1x 21属于特征值－1的一个非零特征向量．则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 x 2 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b ＝－1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b ，(2分) ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a ＋xb ＝－a ，2a ＋b ＝－b ，解得b ＝－a(由条件知a ≠0)，x ＝2.(5分)因此M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 221.特征方程为λ2－2λ－3＝0.(8分) ∵ λ≠－1，∴ λ＝3.(10分)C. 解：A(4，0)，B(0，2)，AB ＝2 5. 则直线AB 方程为x ＋2y －4＝0.(2分) 设P(4cos θ，2sin θ)，θ为锐角． 则点P 到直线AB 的距离为d ＝|4cos θ＋4sin θ－4|5＝|42sin （θ＋45°）－4|5.(5分)∵ θ为锐角，∴ 45°＜θ＋45°＜135°. ∴22＜sin (θ＋45°)≤1，0＜42sin (θ＋45°)－4≤42－4. 则当θ＝45°时，d 取得最大值为42－45.(8分)此时，△PAB 面积S 取得最大值为12×25×42－45＝42－4.(10分) D. 证明：∵ a 、b 、x 、y 都是正数，∴ (ax ＋by)(bx ＋ay)＝ab(x 2＋y 2)＋xy(a 2＋b 2)(2分) ≥ab(2xy)＋xy(a 2＋b 2)(5分) ＝(a ＋b)2xy.(8分)∵ a ＋b ＝1，∴ (a ＋b)2xy ＝xy.则(ax ＋by)(bx ＋ay)≥xy 成立．(10分)22. 解：(1) “第一次取得正品且第二次取得次品”的概率为 8×210×9＝845.(2分)(2) X 的取值为0、1、2，则 P(X ＝0)＝8×7×610×9×8＝715；(4分)P(X ＝1)＝8×7×2×310×9×8＝715；(6分)P(X ＝2)＝8×2×1×310×9×8＝115.(8分)故X 的分布列为：数学期望E(X)＝0×715＋1×715＋2×115＝35.(10分)23. 解：(1) 由题意，A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，4，0)，D(1，2，0)，A 1(0，0，3)，B 1(2，0，3)，C 1(0，4，3).A 1D →＝(1，2，－3)，A 1C 1→＝(0，4，0)．(2分)设平面A 1C 1D 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z)． ∵ n ·A 1D →＝x ＋2y －3z ＝0，n ·A 1C 1→＝4y ＝0.∴ x ＝3z ，y ＝0.令z ＝1，得x ＝3.n ＝(3，0，1)．(4分) 设直线DB 1与平面A 1C 1D 所成角为θ， ∵ DB 1→＝(1，－2，3)，∴ sin θ＝|cos 〈DB 1→，n 〉|＝3×1＋0×（－2）＋1×310×14＝33535.(6分)(2) 设平面A 1B 1D 的一个法向量为m ＝(a ，b ，c)． A 1B 1→＝(2，0，0)，∵ m ·A 1D →＝a ＋2b －3c ＝0，m ·A 1B 1→＝2a ＝0， ∴ a ＝0，2b ＝3c.令c ＝2，得b ＝3.故m ＝(0，3，2)．(8分) 设二面角B 1A 1DC 1的大小为α， ∴ |cos α|＝cos|〈m ，n 〉|＝|m·n ||m |·|m |＝|0×3＋3×0＋2×1|13×10＝265， 则sin α＝3765＝345565.∴ 二面角B 1A 1DC 1的正弦值为345565.(10分)无锡市2012年秋学期普通高中期末考试试卷21. A. 证明：连结OD ，∵ OD ＝OA ，∴ ∠OAD ＝∠ODA. ∵ AD 平分∠BAE ，∴ ∠OAD ＝∠EAD ，(3分) ∴ ∠EAD ＝∠ODA ，∴ OD ∥AE.(5分) 又AE ⊥DE ，∴ DE ⊥OD ，(8分)又OD 为半径，∴ DE 是圆O 的切线．(10分)B. 解：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 2.(4分)设A(a ，b)，则由⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 4，得⎩⎪⎨⎪⎧－b ＝－3，a ＋2b ＝4.(8分) 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝3，即A(－2，3)．(10分)C. 解：圆C ：ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π2，即ρ＝－2sin θ，ρ2＝－2ρsin θ，(2分)∴ 圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝－2y ，即x 2＋(y ＋1)2＝1，∴ 圆心C(0，－1)．(4分) 直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2，即ρsin θ＋ρcos θ＝2，∴ 直线l 的直角坐标方程为x ＋y ＝2.(7分)∵ 圆心C 到直线l 的距离为d ＝|－1－2|2＝322，(9分)∴ 动点M 到直线l 距离的最大值为322＋1.(10分)D. 证明：∵ |x ＋1|＋|x －1|＜4，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－1，－2x ＜4，⎩⎪⎨⎪⎧x ＞－1，2x ＜4，⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，2＜4，(2分) 解得－2＜x ＜－1或－1≤x ≤1或1＜x ＜2，(4分)∴ 4(a ＋b)2－(4＋ab)2＝－a 2b 2＋4a 2－16＋4b 2＝(a 2－4)(4－b 2)． ∵ a 、b ∈M ，即－2＜a ＜2，－2＜b ＜2， ∴ (a 2－4)(4－b 2)＜0，(8分) ∴ 4(a ＋b)2＜(4＋ab)2， ∴ 2|a ＋b|＜|4＋ab|.(10分)22. 解：(1) 设Y 的分布列如下：A 表示事件“银行工作人员在第6分钟开始办理第三位顾客的业务”，则事件A 对应两种情形： ① 办理第一位业务所需的时间为2 min ，且办理第二位业务所需的时间为3 min ； ② 办理第一位业务所需的时间为3 min ，且办理第二位业务所需的时间为2 min ； ∴ P(A)＝P(Y ＝2)P(Y ＝3)＋P(Y ＝3)P(Y ＝2)＝15×310＋310×15＝325.(3分)(2) X 的取值为0、1、2，X ＝0对应办理第一位业务所需的时间超过4 min ， ∴ P(X ＝0)＝P(Y ＞4)＝110，(5分)X ＝1对应办理第一位业务所需的时间为2 min 且办理第二位业务所需的时间超过2 min ，或办理第一位业务所需的时间为3 min 或办理第一位业务所需的时间为4 min ，∴ P(X ＝1)＝P(Y ＝2)P(Y ＞2)＋P(Y ＝3)＋(Y ＝4)＝15×45＋310＋25＝4350.(6分)X ＝2对应办理两位顾客业务时间均为2 min ，∴ P(X ＝2)＝P(Y ＝2)P(Y ＝2)＝15×15＝125.(7分)∴ X 的分布列为：(9分)E(X)＝0×110＋1×4350＋2×125＝4750.(10分)23. (1) 解：由已知，得f ′(x)＝x ＋1x.当x ∈[1，e]时，f ′(x)＞0，所以函数f(x)在区间[1，e]上单调递增，(2分) 所以函数f(x)在区间[1，e]上的最大、最小值分别为f(e)、f(1)．因为f(1)＝12，f(e)＝e 22＋1，所以函数f(x)在区间[1，e]上的最大值为e 22＋1、最小值为12.(4分)(2) 证明：当n ＝1时，不等式成立，(5分) 当n ≥2时，[g(x)]n－g(x n)＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x n－⎝⎛⎭⎫x n ＋1x n ＝C 1n xn－11x ＋C 2n x n －21x 2＋…＋C n －1n x 1xn －1 ＝C 1n x n －2＋C 2n x n －4＋…＋C n －1n1x n－2＝12[C 1n ⎝⎛⎭⎫x n －2＋1x n －2＋C 2n⎝⎛⎭⎫x n －4＋1x n －4＋…＋ C n －1n ⎝⎛⎭⎫1x n 2＋xn －2]．(9分)由已知x ＞0，所以[g(x)]n －g(x n )≥C 1n ＋C 2n ＋…＋C n －1n ＝ 2n －2.(10分)常州市2013届高三上学期期末考试21. A. 证明：连结OF. 因为OC ＝OF ，所以∠OCF ＝∠OFC. 因为DF 切圆O 于F ， 所以∠OFD ＝90°.所以∠OFC ＋∠CFD ＝90°.(4分)因为CO ⊥AB 于O ，所以∠OCF ＋∠CEO ＝90°. 所以∠CFD ＝∠CEO ＝∠DEF ，所以DF ＝DE.(8分) 因为DF 是圆O 的切线，所以DF 2＝DB·DA. 所以DE 2＝DB·DA.(10分)B. 解：因为矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 3c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝6⎣⎢⎡⎦⎥⎤11， 化简，得c ＋d ＝6.(4分)因为矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 3c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2，化简，得3c －2d ＝－2.(8分) 解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，d ＝4，即A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤332 4，故A 的逆矩阵是⎣⎢⎡⎦⎥⎤23 －12－13 12.(10分)C. 解：将曲线C 1、C 2化为直角坐标方程，得 C 1：x ＋3y ＋2＝0，C 2：(x －1)2＋(y －1)2＝2，(4分) ∵ 圆心C 2到直线C 1的距离 d ＝|1＋3＋2|12＋（3）2＝3＋32＞2，(8分) ∴ 曲线C 1与C 2相离．(10分)D. 证明：x 、y 、z 均为正实数，由柯西不等式，得[(y ＋z)＋(x ＋z)＋(x ＋y)]⎝⎛⎭⎫x 2y ＋z ＋y 2x ＋z ＋z2x ＋y ≥(x ＋y ＋z)2，(6分)∵ x ＋y ＋z ＝1，∴ x 2y ＋z ＋y 2x ＋z ＋z 2x ＋y ≥12.(10分) 22. 解：(1) 设口袋中原有n 个白球，则从9个球中任取2个球都是白球的概率为C 2nC 29，由题意知C 2nC 29＝512，化简得n 2－n －30＝0，解得n ＝6或n ＝－5(舍去)，故口袋中原有白球的个数为6.(4分)(2) 由题意，X 的可能取值为1，2，3，4. P(X ＝1)＝69＝23；P(X ＝2)＝3×69×8＝14；P(X ＝3)＝3×2×69×8×7＝114；P(X ＝4)＝3×2×1×69×8×7×6＝184.(8分)所以取球次数X 的概率分布列为：所求数学期望为：E(X)＝1×23＋2×14＋3×114＋4×184＝107.(10分)23. 解：(1) a 1＝2，a 2＝4，a 3＝8，a 4＝15.(2分) (2) a n ＝16(n 3＋5n ＋6)．(4分)证明如下：当n ＝1时显然成立；设n ＝k(k ≥1，k ∈N *)时结论成立，即a k ＝16(k 3＋5k ＋6)．(5分)则当n ＝k ＋1时，再添上第k ＋1个平面，因为它和前k 个平面都相交，所以可得k 条互不平行且不共点的交线，且其中任3条直线不共点，这k 条交线可以把第k ＋1个平面最多划分成12[(k ＋1)2－(k ＋1)＋2]个部分，每个部分把它所在的原有空间区域划分成两个区域．因此，空间区域的总数增加了12[(k ＋1)2－(k ＋1)＋2]个，(7分)从而a k ＋1＝a k ＋12[(k ＋1)2－(k ＋1)＋2]＝16(k 3＋5k ＋6)＋12[(k ＋1)2－(k ＋1)＋2] ＝16[(k ＋1)3＋5(k ＋1)＋6]， 即当n ＝k ＋1时，结论也成立． 综上所述，对n ∈N *，a n ＝16(n 3＋5n ＋6)．(10分)镇江市2013届高三上学期期末考试21. A. 证明：∵ AE ＝AC ，∠CDE ＝∠AOC ，(2分)又 ∠CDE ＝∠P ＋∠PFD ，∠AOC ＝∠P ＋∠OCP ，(6分)从而∠PFD ＝∠OCP.(7分)在△PDF 与△POC 中，∠P ＝∠P ，∠PFD ＝∠OCP ，故△PDF ∽△POC.(10分)B. 解：设P(x 0，y 0)为曲线xy ＝1上的任意一点，在矩阵A 变换下得到另一点P′(x′0，y ′0)，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′0y ′0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 22 22－22 22⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，(4分) 即⎩⎨⎧x′0＝22（x 0＋y 0），y ′0＝22（y 0－x 0），(6分) 所以⎩⎨⎧x 0＝22（x′0－y′0），y 0＝22（x′0＋y′0），(8分) 又点P 在曲线xy ＝1上，所以x 0y 0＝1，故有x′20－y′20＝2，即所得曲线方程为x 2－y 2＝2.(10分)C. 解：将极坐标方程转化成直角坐标方程：ρ＝3cos θ，即x 2＋y 2＝3x ，即⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝94；(4分) ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2t ，y ＝1＋4t ，即2x －y ＝3，(6分) d ＝|2×32－0－3|22＋（－1）2＝0，(8分) 即直线经过圆心，所以直线截得的弦长为3.(10分)D. 解：(1) 由题设知：|x ＋1|＋|x －2|－5≥0，如图，在同一坐标系中作出函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|和y ＝5的图象(如图所示)， 知定义域为(－∞，－2]∪[3，＋∞)．(5分)(2) 由题设知，当x ∈R 时，恒有|x ＋1|＋|x －2|＋a ≥0，即|x ＋1|＋|x －2|≥－a.由图知|x ＋1|＋|x －2|≥3，∴ －a ≤3，∴ a ≥－3.(10分)22. 解：设直线方程为y ＝x ＋m ，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，M(x ，y)，将y ＝x ＋m 代入y 2＝2x ，得x 2＋(2m －2)x ＋m 2＝0，(2分)∴ ⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝（2m －2）2－4m 2＞0，x 1＋x 2＝2－2m ，x 1x 2＝m 2，(6分) ∴ m ＜12，x ＝x 1＋x 22＝1－m ＞12，y ＝x ＋m ＝1，(9分)线段AB 中点M 的轨迹方程为y ＝1⎝⎛⎭⎫x ＞12.(10分) 23. (1) 解：∵ 函数f(x)＝ln(2－x)＋ax 在区间(0，1)上是增函数，∴ f ′(x)＝－12－x＋a ≥0在区间(0，1)上恒成立，(2分) ∴ a ≥12－x. 又g(x)＝12－x 在区间(0，1)上是增函数， ∴ a ≥g(1)＝1，即实数a 的取值范围为a ≥1.(3分)(2) 证明：先用数学归纳法证明0＜a n ＜1.当n ＝1时，a 1∈(0，1)成立，(4分)假设n ＝k 时，0＜a k ＜1成立，(5分)当n ＝k ＋1时，由(1)知a ＝1时，函数f(x)＝ln(2－x)＋x 在区间(0，1)上是增函数， ∴ a k ＋1＝f(a k )＝ln(2－a k )＋a k ，∴ 0＜ln2＝f(0)＜f(a k )＜f(1)＝1，(7分)即0＜a k ＋1＜1成立，∴ 当n ∈N *时，0＜a n ＜1成立．(8分)下证a n ＜a n ＋1.∵ 0＜a n ＜1，∴ a n ＋1－a n ＝ln(2－a n )＞ln1＝0.(9分)∴ a n ＜a n ＋1.综上所述，0＜a n ＜a n ＋1＜1.(10分)。

南京市2014届高三年级第二次模拟考试数 学 2014.03注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题．．纸．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 参考公式：柱体的体积公式：V ＝Sh ，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高．圆柱的侧面积公式：S 侧＝2πRh ，其中R 为圆柱的底面半径，h 为圆柱的高．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．函数f (x )＝ln x ＋1－x 的定义域为 ▲ ．2．已知复数z 1＝－2＋i ，z 2＝a ＋2i(i 为虚数单位，a ∈R )．若z 1z 2为实数，则a 的值为 ▲ ． 3．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1000名学生的成绩，并根据这1000，350)内的学生人数共有 ▲ ．4．盒中有3张分别标有1，2，3码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为 ▲ ．a(第3题图)5．已知等差数列{a n }的公差d 不为0，且a 1，a 3，a 7成等比数列，则a 1d的值为 ▲ ．6．执行如图所示的流程图，则输出的k 的值为 ▲ ．7．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的图象如下图所示，则f (π3)的值为▲ ．8．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线与抛物线y 2＝4x 的准线相交于A ，B 两点．若△AOB 的面积为2，则双曲线的离心率为 ▲ ．9．表面积为12π的圆柱，当其体积最大时，该圆柱的底面半径与高的比为 ▲ ．10．已知|OA →|＝1，|OB →|＝2，∠AOB ＝2π3，OC →＝12OA →＋14OB →，则OA →与OC →的夹角大小为 ▲ ．11．在平面直角坐标系xOy 中，过点P (5，3)作直线l 与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，若OA ⊥OB ，则直线l 的斜率为 ▲ ．12．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2，当x ＞1时，f (x ＋1)＝f (x )＋f (1)，且．(第7题图)若直线y ＝kx 与函数y ＝f (x )的图象恰有5个不同的公共点，则实数k 的值为 ▲ ．13．在△ABC 中，点D 在边BC 上，且DC ＝2BD ，AB ∶AD ∶AC ＝3∶k ∶1，则实数k 的取值范围为 ▲ ． 14．设函数f (x )＝ax ＋sin x ＋cos x ．若函数f (x )的图象上存在不同的两点A ，B ，使得曲线y ＝f (x )在点A ，B 处的切线互相垂直，则实数a 的取值范围为 ▲ ．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1．(0，1] 2．4 3．300 4．59 5．2 6．4 7．18． 5 9．12 10．60° 11．1或72312．22－2 13．(53，73) 14．[－1，1]二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面PAB ⊥平面ABCD ，PA ⊥PB ， BP ＝BC ，E 为PC 的中点．（1）求证：AP∥平面BDE；（2）求证：BE⊥平面PAC．15．证：（1）设AC∩BD＝O，连结OE．因为ABCD为矩形，所以O是AC的中点．因为E是PC中点，所以OE∥AP．…………………………………………4分因为AP/⊂平面BDE，OE⊂平面BDE，所以AP∥平面BDE．…………………………………………6分（2）因为平面PAB⊥平面ABCD，BC⊥AB，平面PAB∩平面ABCD＝AB，所以BC⊥平面PAB．………………………………………8分因为AP⊂平面PAB，所以BC⊥PA．因为PB⊥PA，BC∩PB＝B，BC，PB⊂平面PBC，所以PA⊥平面PBC．…………………………………………12分因为BE⊂平面PBC，所以PA⊥BE．因为BP＝PC，且E为PC中点，所以BE⊥PC．因为PA∩PC＝P，PA，PC⊂平面PAC，所以BE⊥平面PAC．…………………………………………14分16．(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点是坐标原点，始边为x轴的正半轴，终边与单位圆O交于点A (x 1 ，y 1 )，α∈(π4，π2)．将角α终边绕原点按逆时针方向旋转π4，交单位圆于点B (x 2，y 2)．（1）若x 1＝35，求x 2；（2）过A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，记△AOC 及△BOD 的面积分别为S 1，S 2，且S 1＝43S 2，求tan α的值．16．解：（1）因为x 1＝35，y 1＞0，所以y 1＝1－x 21＝45．所以sin α＝45，cos α＝35． ………………………2分所以x 2＝cos(α＋π4)＝cos αcos π4－sin αsin π4＝－210． …………………………………6分（2）S 1＝12sin αcos α＝－14sin2α． …………………………………………8分因为α∈(π4，π2)，所以α＋π4∈(π2，3π4)．所以S 2＝－12sin(α＋π4)cos(α＋π4)＝－14sin(2α＋π2)＝－14cos2α．……………………………10分因为S 1＝43S 2，所以sin2α＝－43cos2α，即tan2α＝－43． …………………………………12分所以2tan α1－tan 2α＝－43，解得tan α＝2或tan α＝－12． 因为α∈(π4，π2)，所以tan α＝2．………14分17．(本小题满分14分)如图，经过村庄A 有两条夹角为60°的公路AB ，AC ，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P ，分别在两条公路边上建两个仓库M 、N (异于村庄A )，要求PM ＝PN ＝MN ＝2(单位：千米)．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)．(第16题图)PC解法一：设∠AMN ＝θ，在△AMN 中，MN sin60°＝AMsin(120°－θ)．因为MN ＝2，所以AM ＝433sin(120°－θ) ． ………………………………………2分在△APM 中，cos ∠AMP ＝cos(60°＋θ)． …………………………………………6分AP 2＝AM 2＋MP 2－2 AM ·MP ·cos ∠AMP＝163sin 2(120°－θ)＋4－2×2×433 sin(120°－θ) cos(60°＋θ) (8)分＝163sin 2(θ＋60°)－1633 sin(θ＋60°) cos(θ＋60°)＋4 ＝83[1－cos (2θ＋120°)]－833 sin(2θ＋120°)＋4 ＝－83[3sin(2θ＋120°)＋cos (2θ＋120°)]＋203＝203－163sin(2θ＋150°)，θ∈(0，120°)． …………………………………………12分 当且仅当2θ＋150°＝270°，即θ＝60°时，AP 2取得最大值12，即AP 取得最大值23．答：设计∠AMN 为60 时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．……………………………………14分解法二(构造直角三角形)： 设∠PMD ＝θ，在△PMD 中，∵PM ＝2，∴PD ＝2sin θ，MD ＝2cos θ． ……………2分PNC在△AMN 中，∠ANM ＝∠PMD ＝θ，∴MN sin60°＝AMsin θ， AM ＝433sin θ，∴AD ＝433sin θ＋2cos θ，(θ≥π2时，结论也正确)．……………6分 AP 2＝AD 2＋PD 2＝(433sin θ＋2cos θ)2＋(2sin θ)2＝163sin 2θ＋833sin θcos θ＋4cos 2θ＋4sin 2θ …………………………8分 ＝163·1－cos2θ2＋433sin2θ＋4＝433sin2θ－83cos2θ＋203＝203＋163sin(2θ－π6)，θ∈(0，2π3)． …………………………12分 当且仅当2θ－π6＝π2，即θ＝π3时，AP 2取得最大值12，即AP 取得最大值23．此时AM ＝AN ＝2，∠PAB ＝30° …………………………14分 解法三：设AM ＝x ，AN ＝y ，∠AMN ＝α．在△AMN 中，因为MN ＝2，∠MAN ＝60°， 所以MN 2＝AM 2＋AN 2－2 AM ·AN ·cos ∠MAN ，即x 2＋y 2－2xy cos60°＝x 2＋y 2－xy ＝4． …………………………………………2分 因为MN sin60°＝AN sin α，即2sin60°＝ysin α，所以sin α＝34y ，cos α＝x 2＋4－y 22×2×x＝x 2＋(x 2－xy )4x＝2x －y4． …………………………………………6分cos ∠AMP ＝cos(α＋60°)＝12cos α－32sin α＝12.2x －y 4－32.34y ＝x －2y 4． (8)分在△AMP 中，AP 2＝AM 2＋PM 2－2 AM ·PM ·cos ∠AMP ， 即AP 2＝x 2＋4－2×2×x ×x －2y4＝x 2＋4－x (x －2y )＝4＋2xy ．………………………………………12分因为x 2＋y 2－xy ＝4，4＋xy ＝x 2＋y 2≥2xy ，即xy ≤4． 所以AP 2≤12，即AP ≤23．当且仅当x ＝y ＝2时，AP 取得最大值23．答：设计AM ＝AN ＝2 km 时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．………………………………14分18． (本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ∶x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2，一条准线方程为x ＝2．P 为椭圆C 上一点，直线PF 1交椭圆C 于另一点Q ． （1）求椭圆C 的方程；（2）若点P 的坐标为(0，b )，求过P ，Q ，F 2三点的圆的方程； （3）若F 1P →＝λQF 1→，且λ∈[12，2]，求OP →·OQ →的最大值．（1）解：由题意得⎩⎨⎧2c ＝2，a 2c＝2， 解得c ＝1，a 2＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝1．所以椭圆的方程为x 22＋y 2＝1． …………………………………………2分（2）因为P (0，1)，F 1(－1，0)，所以PF 1的方程为x －y ＋1＝0．由⎩⎨⎧x ＋y ＋1＝0，x22＋y 2＝1， 解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1，或⎩⎨⎧x ＝－43，y ＝－13，所以点Q 的坐标为(－43，－13)． ……………………4分 因为k PF 1·k PF 2＝－1，所以△PQF 2为直角三角形． ……………………6分 因为QF 2的中点为(－16，－16)，QF 2＝523，所以圆的方程为(x ＋16)2＋(y ＋16)2＝2518． ……………………8分（3）解法一：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则F 1P →＝(x 1＋1，y 1)，QF 1→＝(－1－x 2，－y 2)．因为F 1P →＝λQF 1→，所以⎩⎨⎧x 1＋1＝λ(－1－x 2)，y 1＝－λy 2，即⎩⎨⎧x 1＝－1－λ－λx 2，y 1＝－λy 2，所以⎩⎨⎧(－1－λ－λx 2)22＋λ2y 22＝1，x222＋y 22＝1，解得x 2＝1－3λ2λ． …………………………………………12分所以OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 2(－1－λ－λx 2)－λy 22＝－λ2x 22－(1＋λ)x 2－λ ＝－λ2(1－3λ2λ)2－(1＋λ)·1－3λ2λ－λ＝74－58(λ＋1λ) ． …………………………………………14分因为λ∈[12，2]，所以λ＋1λ≥2λ·1λ＝2，当且仅当λ＝1λ，即λ＝1时，取等号．所以OP →·OQ →≤12，即OP →·OQ →最大值为12． …………………………………………16分19．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝ax ＋b xe x ，a ，b ∈R ，且a ＞0．（1）若a ＝2，b ＝1，求函数f (x )的极值； （2）设g (x )＝a (x －1)e x －f (x )．① 当a ＝1时，对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )≥1成立，求b 的最大值；② 设g ′(x )为g (x )的导函数．若存在x ＞1，使g (x )＋g ′(x )＝0成立，求b a的取值范围．解：（1）当a ＝2，b ＝1时，f (x )＝(2＋1x)e x ，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．所以f ′(x )＝(x ＋1)(2x －1)x2e x ． …………………………………………2分 令f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝12，列表由表知f (x )的极大值是f (－1)＝e －1，f (x )的极小值是f (12)＝4e ．……………………………………4分（2）① 因为g (x )＝(ax －a )e x －f (x )＝(ax －b x－2a )e x ，当a ＝1时，g (x )＝(x －b x－2)e x ． 因为g (x )≥1在x ∈（0，＋∞）上恒成立， 所以b ≤x 2－2x －xe x在x ∈（0，＋∞）上恒成立． …………………………………………8分记h (x )＝x 2－2x －xe x （x ＞0），则h ′(x )＝(x －1)(2e x ＋1)e x ．当0＜x ＜1时，h ′(x )＜0，h (x )在（0，1）上是减函数； 当x ＞1时，h ′(x )＞0，h (x )在（1，＋∞）上是增函数． 所以h (x )min ＝h (1)＝－1－e －1．所以b 的最大值为－1－e －1． …………………………………………10分②：因为g (x )＝(ax －b x－2a )e x ，所以g ′(x )＝(b x 2＋ax －bx－a )e x ．由g (x )＋g ′(x )＝0，得(ax －b x－2a )e x ＋(bx2＋ax －b x－a )e x ＝0，整理得2ax 3－3ax 2－2bx ＋b ＝0． 存在x ＞1，使g (x )＋g ′(x )＝0成立，等价于存在x ＞1，2ax 3－3ax 2－2bx ＋b ＝0成立． …………………………………………12分 因为a ＞0，所以b a＝2x 3－3x 22x －1．设u (x )＝2x 3－3x 22x －1（x ＞1），则u ′(x )＝8x [(x －34)2＋316](2x －1)2．因为x ＞1，u ′(x )＞0恒成立，所以u (x )在（1，＋∞）是增函数，所以u (x )＞u (1)＝－1， 所以b a＞－1，即b a的取值范围为（－1，＋∞）． …………………………………………16分20．(本小题满分16分)已知数列{a n }的各项都为正数，且对任意n ∈N *，a 2n －1，a 2n ，a 2n ＋1成等差数列，a 2n ，a 2n ＋1，a 2n ＋2成等比数列．（1）若a 2＝1，a 5＝3，求a 1的值；（2）设a 1＜a 2，求证：对任意n ∈N *，且n ≥2，都有a n ＋1a n＜a 2a 1．解：（1）因为a 3，a 4，a 5成等差数列，设公差为d ，则a 3＝3－2d ，a 4＝3－d ．因为a 2，a 3，a 4成等比数列，所以a 2＝a 23a 4＝(3－2d )23－d ． ………………3分因为a 2＝1，所以(3－2d )2 3－d ＝1，解得d ＝2，或d ＝34．因为a n ＞0，所以d ＝34． 因为a 1，a 2，a 3成等差数列，所以a 1＝2a 2－a 3＝2－(3－2d )＝12．……………5分 （2）证法一：因为a 2n －1，a 2n ，a 2n ＋1成等差数列，a 2n ，a 2n ＋1，a 2n ＋2成等比数列，所以2a 2n ＝a 2n －1＋a 2n ＋1，① a 2 2n ＋1＝a 2n a 2n ＋2．②；所以a 22n －1＝a 2n －2a 2n ，n ≥2．③所以a 2n －2a 2n ＋a 2n a 2n ＋2＝2a 2n ．因为a n ＞0，所以a 2n －2 ＋a 2n ＋2＝2a 2n ． …………7分即数列{a 2n }是等差数列．所以a 2n ＝a 2 ＋(n －1)(a 4－a 2)．由a 1，a 2及a 2n －1，a 2n ，a 2n ＋1是等差数列，a 2n ，a 2n ＋1，a 2n ＋2是等比数列， 可得a 4＝(2a 2－a 1)2a 2．………………8分所以a 2n ＝a 2 ＋(n －1)(a 4－a 2)＝(a 2－a 1)n ＋a 1a 2．所以a 2n ＝[(a 2－a 1)n ＋a 1]2a 2．……………………10分所以a 2n ＋2＝[(a 2－a 1)(n ＋1)＋a 1]2a 2．从而a 2n ＋1＝a 2n a 2n ＋2＝[(a 2－a 1)n ＋a 1][(a 2－a 1)(n ＋1)＋a 1]a 2．所以a 2n －1＝[(a 2－a 1)(n －1)＋a 1][(a 2－a 1)n ＋a 1]a 2．………………12分①当n ＝2m ，m ∈N *时，a n ＋1a n－a 2a 1＝[(a 2－a 1)m ＋a 1][(a 2－a 1)(m ＋1)＋a 1]a 2[(a 2－a 1)m ＋a 1]2a 2－a 2a 1＝(a 2－a 1)(m ＋1)＋a 1(a 2－a 1)m ＋a 1－a 2a 1＝－m (a 1－a 2)2a 1[(a 2－a 1)m ＋a 1]＜0． ……………14分②当n ＝2m －1，m ∈N *，m ≥2时，a n ＋1a n－a 2a 1＝[(a 2－a 1)m ＋a 1]2a 2[(a 2－a 1)(m －1)＋a 1][(a 2－a 1)m ＋a 1]a 2－a 2a 1＝(a 2－a 1)m ＋a 1(a 2－a 1)(m －1)＋a 1－a 2a 1＝－(m －1)(a 1－a 2)2a 1[(a 2－a 1)(m －1)＋a 1]＜0．综上，对一切n ∈N *，n ≥2，有a n ＋1a n＜a 2a 1． ………………16分证法二：①若n 为奇数且n ≥3时，则a n ，a n ＋1，a n ＋2成等差数列．因为a n ＋2a n ＋1－a n ＋1a n ＝a n ＋2a n －a 2n ＋1a n ＋1a n＝(2a n ＋1－a n )a n －a 2n ＋1a n ＋1a n＝－(a n ＋1－a n )2a n ＋1a n≤0，所以a n ＋2a n ＋1≤a n ＋1a n．………………9分②若n 为偶数且n ≥2时，则a n ，a n ＋1，a n ＋2成等比数列，所以a n ＋2a n ＋1＝a n ＋1a n．………11分由①②可知，对任意n ≥2，n ∈N *， a n ＋2a n ＋1≤a n ＋1a n≤…≤a 3a 2．………13分又因为a 3a 2－a 2a 1＝2a 2－a 1a 2－a 2a 1＝2a 2a 1－a 12－a 22a 2a 1＝－(a 1－a 2)2a 2a 1，因为a 1＜a 2，所以－(a 1－a 2)2a 2a 1＜0，即a 3a 2＜a 2a 1．………15分综上，a n ＋1a n＜a 2a 1．…………16分．南京市2014届高三年级第二次模拟考试数学附加题 2014.03注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用． 2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答．题纸．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区．．．．．域内．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲如图，△ABC 为圆的内接三角形，AB ＝AC ，BD 为圆的弦，且BD ∥AC ．过点A 作圆的切线与DB 的延长线交于点E ，AD 与BC 交于点F ．（1）求证：四边形ACBE 为平行四边形； （2）若AE ＝6，BD ＝5，求线段CF 的长.A ．选修4—1：几何证明选讲解：（1）因为AE 与圆相切于点A ，所以∠BAE ＝∠ACB ． 因为AB ＝AC ，所以∠ABC ＝∠ACB ． 所以∠ABC ＝∠BAE ．所以AE ∥BC ．因为BD ∥AC ，所以四边形ACBE 为平行四边形．…………………………………4分 （2）因为AE 与圆相切于点A ，所以AE 2＝EB ·(EB ＋BD )，即62＝EB ·(EB ＋5)，解得BE ＝4． 根据（1）有AC ＝BE ＝4，BC ＝AE ＝6．设CF ＝x ，由BD ∥AC ，得AC BD ＝CFBF ，即45＝x 6－x ，解得x ＝83，即CF ＝83．………………………10分B ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a －1 b 的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤21． AEBCFD第21题A 图（1）求矩阵A ；（2）若A ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b ，求x ，y 的值．解：（1）由题意，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a －1 b ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤21＝2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤21，即⎩⎨⎧2＋a ＝4，－2＋b ＝2，解得a ＝2，b ＝4．所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2－1 4． ………………………………………5分 （2）解法一：A ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b ，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2－1 4 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤24，所以⎩⎨⎧x ＋2y ＝2，－x ＋4y ＝4， ………………………………………8分解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1． ………………………………………10分解法二：因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2－1 4，所以A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23 －1316 16． ………………………………………7分 因为A ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b ，所以⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝A －1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23 －13 1616⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤24＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤01． 所以⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1． ………………………………………10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，求曲线ρ＝2cos θ关于直线θ＝π4(ρ∈R )对称的曲线的极坐标方程．解法一：以极点为坐标原点，极轴为x 轴建立直角坐标系，则曲线ρ＝2cos θ的直角坐标方程为 (x －1)2＋y 2＝1，且圆心C 为(1，0)．………………………4分 直线θ＝π4的直角坐标方程为y ＝x ，因为圆心C (1，0)关于y ＝x 的对称点为(0，1)，所以圆心C 关于y ＝x 的对称曲线为x 2＋(y －1)2＝1． ………………………………………8分 所以曲线ρ＝2cos θ关于直线θ＝π4(ρR )对称的曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ．…………………10分解法二：设曲线ρ＝2cos θ上任意一点为(ρ′，θ′)，其关于直线θ＝π4对称点为(ρ，θ)，则⎩⎨⎧ρ′＝ρ，θ′＝2k π＋π2－θ．………………………………………6分将(ρ′，θ′)代入ρ＝2cos θ，得ρ＝2cos(π2－θ)，即ρ＝2sin θ．所以曲线ρ＝2cos θ关于直线θ＝π4(ρ∈R )对称的曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ．…………………10分D ．选修4—5：不等式选讲已知x ，y ∈R ，且|x ＋y |≤16，|x －y |≤14，求证：|x ＋5y |≤1．证： 因为|x ＋5y |＝|3(x ＋y )－2(x －y )|． ………………………………………5分 由绝对值不等式性质，得|x ＋5y |＝|3(x ＋y )－2(x －y )|≤|3(x ＋y )|＋|2(x －y )| ＝3|x ＋y |＋2|x －y |≤3×16＋2×14＝1．即|x ＋5y |≤1． ………………………………………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）某中学有4位学生申请A ，B ，C 三所大学的自主招生．若每位学生只能申请其中一所大学，且申请其中任何一所大学是等可能的．（1）求恰有2人申请A 大学的概率；（2）求被申请大学的个数X 的概率分布列与数学期望E (X )． 22．（本小题满分10分）解（1）记“恰有2人申请A 大学”为事件A ，P (A )＝C 42×2234＝2481＝827． 答：恰有2人申请A 大学的概率为827． ………………………………………4分（2）X 的所有可能值为1，2，3．P (X ＝1)＝334＝127， P (X ＝2)＝C 43×A 32＋3×A 3234＝4281＝1427，P (X ＝3)＝C 42×A 3334＝3681＝49．X 的概率分布列为：所以X 的数学期望E (X )＝1×127＋2×1427＋3×49＝6527． ………………………………………10分23．（本小题满分10分）设f (n )是定义在N *上的增函数，f (4)＝5，且满足：①任意n ∈N *，f (n )∈Z ；②任意m ，n ∈N *，有f (m )f (n )＝f (mn )＋f (m ＋n －1)． （1）求f (1)，f (2)，f (3)的值； （2）求f (n )的表达式．23．解：（1）因为f (1)f (4)＝f (4)＋f (4)，所以5 f (1)＝10，则f (1)＝2．……………………………………1分 因为f (n )是单调增函数，所以2＝f (1)＜f (2)＜f (3)＜f (4)＝5．因为f (n )∈Z ，所以f (2)＝3，f (3)＝4． ………………………………………3分（2）解：由（1）可猜想f (n)＝n+1．证明：因为f (n)单调递增，所以f (n+1)＞f (n)，又f(n)∈Z，所以f (n+1)≥f (n)+1．首先证明：f (n)≥n+1．因为f (1)＝2，所以n＝1时，命题成立．假设n=k(k≥1)时命题成立，即f(k)≥k+1．则f(k+1)≥f (k)+1≥k+2，即n＝k+1时，命题也成立．综上，f (n)≥n+1．………………………………………5分由已知可得f (2)f (n)＝f (2n)＋f (n+1)，而f(2)＝3，f (2n)≥2n＋1，所以3 f (n)≥f (n+1)＋2n＋1，即f(n+1)≤3 f (n)－2n－1．下面证明：f (n)＝n+1．因为f (1)＝2，所以n＝1时，命题成立．假设n=k(k≥1)时命题成立，即f(k)＝k+1，则f(k+1)≤3f (k)－2k－1＝3(k+1)－2k－1＝k＋2，又f(k+1)≥k＋2，所以f(k+1)＝k＋2．即n＝k+1时，命题也成立．所以f (n)＝n+1 ………………………………………10分THANKS !!!致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习课件等等打造全网一站式需求欢迎您的下载，资料仅供参考。

江苏省南京市2024高三冲刺（高考数学）部编版摸底(冲刺卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题设F为抛物线的焦点，准线为l，O为坐标原点，点A在C上，，点A到准线l的距离为3，则的面积为（）A．2B．C．3D．第(2)题将《三国演义》､《西游记》､《水浒传》､《红楼梦》4本名著全部随机分给甲､乙､丙三名同学，每名同学至少分得1本，A表示事件：“《三国演义》分给同学甲”；B表示事件：“《西游记》分给同学甲”；C表示事件：“《西游记》分给同学乙”，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．第(3)题若，则在复平面内，复数所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限第(4)题已知集合，，则的子集个数为（）A．0B．1C．2D．4第(5)题如图是一组实验数据构成的散点图，以下函数中适合作为与的回归方程的类型是（）A．B．C．D．第(6)题已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，且面积为4，则圆锥的体积为（）A．B．C．D．第(7)题近年来，天然气表观消费量从2006年的不到m3激增到2021年的m3. 从2000年开始统计，记k表示从2000年开始的第几年，，.经计算机拟合后发现，天然气表观消费量随时间的变化情况符合，其中是从2000年后第k年天然气消费量，是2000年的天然气消费量，是过去20年的年复合增长率.已知2009年的天然气消费量为m3，2018年的天然气消费量为m3，根据拟合的模型，可以预测2024年的天然气消费量约为（）（参考数据：，A．m3B．m3C．m3D．m3第(8)题已知i是虚数单位，复数在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题如果有穷数列，，，…，（为正整数）满足，，…，即，我们称其为“对称数列”．例如，数列1，2，5，2，1与数列8，4，2，2，4，8都是“对称数列”．设是项数为的“对称数列”，且1，2，，，…，依次为该数列中连续的前项，则数列的前100项和可能的取值为（）A．B．C．D．函数的部分图像如图所示，在上的极小值和极大值分别为..，，下列说法正确的是（）A．的最小正周期为B．C．的图像关于点对称D ．在上单调递减第(3)题椭圆的左、右焦点分别为，，点是上一点，满足，，且的面积为，则的值可能为（）A．3B．C．4D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题函数为定义在R上的奇函数，当时，，则______．第(2)题若，则_____________，_____________．第(3)题在三棱锥中，PA⊥平面ABC，，当三棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的体积为______．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题某市举行“中学生诗词大赛”海选，规定：成绩大于或等于分的具有参赛资格，某校有名学生参加了海选，所有学生的成绩均在区间内，其频率分布直方图如图：（Ⅰ）求获得参赛资格的人数；（Ⅱ）若大赛分初赛和复赛，在初赛中每人最多有次选题答题的机会，累计答对题或答错题即终止，答对题者方可参加复赛，已知参赛者即答对每一个问题的概率都相同，并且相互之间没有影响，已知他连续两次答错的概率为，求甲在初赛中答题个数的分布列及数学期望第(2)题已知抛物线，过点的直线与抛物线交于两点，又过两点分别作抛物线的切线，两条切线交于点．（1）证明：直线的斜率之积为定值；（2）求面积的最小值第(3)题已知数列是正项等比数列，其前项和为，是等差数列，且，，(1)求和的通项公式；(2)求数列的前项和(3)证明：函数，其一条切线的方程为.(1)求的值；(2)令，若有两个不同的极值点，且，求实数的取值范围.第(5)题青海玉树发生地震后，为重建，对某项工程进行竞标，现共有6家企业参与竞标，其中A企业来自辽宁省，B、C两家企业来自福建省，D、E、F三家企业来自河南省，此项工程需要两家企业联合施工，假设每家企业中标的概率相同．（Ⅰ）列举所有企业的中标情况；（Ⅱ）在中标的企业中，至少有一家来自福建省的概率是多少？。

2014年江苏省南京市高考数学三模试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题(本大题共14小题，共70.0分)1.已知全集U=R，集合A={x|x≤-2，x∈R}，B={x|x＜1，x∈R}，则（∁U A）∩B= ______ ．【答案】{x|-2＜x＜1}【解析】解：∵全集U=R，集合A={x|x≤-2}，∴∁U A={x|x＞-2}，∵B={x|x＜1}，∴（∁U A）∩B={x|-2＜x＜1}．故答案为：{x|-2＜x＜1}根据全集U及A求出A的补集，找出A补集与B的交集即可．此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2.已知（1+）2=a+bi（a，b∈R，i为虚数单位），则a+b= ______ ．【答案】-7【解析】解：∵，且（1+）2=a+bi，∴．则a+b=-7．故答案为：-7．利用复数代数形式的乘除运算化简等式左边，然后利用复数相等的条件求得a，b的值，则a+b可求．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，是基础题．3.某地区对两所高中学校进行学生体质状况抽测，甲校有学生800人，乙校有学生500人，现用分层抽样的方法在这1300名学生中抽取一个样本．已知在甲校抽取了48人，则在乙校应抽取学生人数为______ ．【答案】30【解析】解：因为甲校有学生800人，乙校有学生500人，所以设乙校应抽取学生人数为x，则x：48=500：800，解得x=30，故在乙校应抽取学生人数为30，故答案为：30根据分层抽样的定义，建立比例关系即可等到结论．本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．4.现有红心1，2，3和黑桃4，5共五张牌，从这五张牌中随机取2张牌，则所取2张牌均为红心的概率为______ ．【答案】【解析】解：这五张牌中随机取2张牌，共有=10种不同情况，而且这些情况是等可能发生的，其中所取2张牌均为红心，共有=3种不同情况，故所取2张牌均为红心的概率P=，故答案为：先计算从五张牌中随机取2张牌的基本事件总数，再计算所取2张牌均为红心的基本事件个数，代入古典概型公式，可得答案．此题考查了古典概型概率计算公式，掌握古典概型概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键．5.执行如图所示的伪代码，输出的结果是______ ．【答案】11【解析】解：本题程序为当型循环结构的算法，算法的功能是求满足S=1×3×5×…×I＞0的I+2的值，∵S=1×3×5×7=105＜200，S=1×3×5×7×9=945＞200，∴输出的I=9+2=11．故答案为：11．根据当型循环结构的算法的流程，判断算法的功能是求满足S=1×3×5×…×I＞200的I+2的值，由此可得输出的I值．本题考查了当型循环结构的算法语句，根据程序的流程判断算法的功能是关键．6.抛物线y2=2px过点M（2，2），则点M到抛物线焦点的距离为______ ．【答案】【解析】解：∵抛物线y2=2px过点M（2，2），∴4=4p，∴p=1，∴抛物线的标准方程为：y2=2x，其准线方程为x=-，∴点M到抛物线焦点的距离为2+=．故答案为：．先求出抛物线的方程，再利用抛物线的定义，将点M到抛物线焦点的距离转化为点M 到准线的距离．本题考查抛物线的标准方程，考查抛物线定义的运用，正确运用抛物线的定义是关键．7.已知tanα=-2，且＜α＜π，则cosα+sinα= ______ ．【答案】【解析】解：∵tanα=-2，且＜α＜π，∴cosα=-=-，sinα==，∴cosα+sinα=-+=．故答案为：由tanα的值及α的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinα与cosα的值，代入原式计算即可得到结果．此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．8.已知m，n是不重合的两条直线，α，β是不重合的两个平面．下列命题：①若α⊥β，m⊥α，则m∥β；②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；③若m∥α，m⊥n，则n⊥α；④若m∥α，m⊂β，则α∥β．其中所有真命题的序号是______ ．【答案】②【解析】解：①若α⊥β，m⊥α，则m∥β或m⊂β，故①错；②若m⊥α，m⊥β，由面面平行的判定定理得α∥β，故②正确；③若m∥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α或n⊥α，故③错；④若m∥α，m⊂β，则α∥β或α，β相交，故④错．故答案为：②．由面面垂直和线面垂直的性质即可判断①；由垂直于同一直线的两平面平行，可判断②；由线面平行的性质和线面垂直的判定，即可判断③；由线面平行的性质和面面平行的判定，即可判断④．本题考查空间直线与平面的位置关系，主要考查直线与平面平行、垂直的判定和性质，平面与平面平行、垂直的判定和性质的运用，熟记这些知识是解题的关键．9.将函数f（x）=sin（3x+）的图象向右平移个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，则函数y=g（x）在[，]上的最小值为______ ．【答案】-【解析】解：∵f（x）=sin（3x+），∴g（x）=f（x-）=sin[3（x-）+）]=sin（3x-），∵x∈[，]，∴3x-∈[，]，∴sin（3x-）∈[-，1]，当x=时，y=g（x）取到最小值-．故答案为：-．利用函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换可求得g（x）=f（x-）=sin（3x-），利用正弦函数的单调性即可求得x∈[，]时函数的最小值．本题考查函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换，考查正弦函数的单调性与最值，考查运算求解能力，属于中档题．10.已知数列{a n}满足a n=a n-1-a n-2（n≥3，n∈N*），它的前n项和为S n．若S9=6，S10=5，则a1的值为______ ．【答案】1【解析】解：∵a n=a n-1-a n-2（n≥3，n∈N*），∴a n+1=a n-a n-1（n≥3，n∈N*），即a n+1=a n-a n-1=a n-1-a n-2-a n-1=-a n-2，∴a n+3=-a n，即a n+6=a n，即数列{a n}是周期为6的周期数列，∵S9=6，S10=5，∴a10=S10-S9=5-6=-1，则a10=a4=-a1=-1，∴a1=1，故答案为：1．根据数列的递推公式求出数列{a n}是周期为6的周期数列，即可得到结论．本题主要考查数列项的计算，根据条件求出{a n}是周期为6的周期数列是解决本题的关键，考查学生的计算能力．11.已知函数f（x）=，，＜，则关于x的不等式f（x2）＞f（3-2x）的解集是______ ．【答案】（-∞，-3）∪（1，3）【解析】解：∵f（x）=，，＜，由x2≥0，得f（x2）=x2，从而原不等式f（x2）＞f（3-2x）化为x2＞f（3-2x）．①当3-2x≥0即x≤时，原不等式进一步化为x2＞3-2x，得x＞1，或x＜-3，∴1＜x≤，或x＜-3．②当3-2x＜0即x＞时，原不等式进一步化为x2＞（3-2x）2，得1＜x＜3，∴＜＜．综合①、②得原不等式的解集为（-∞，-3）∪（1，3）．故填（-∞，-3）∪（1，3）．先利用f（x）=，，＜，将f（x2）化为x2，再分“3-2x≥0”及“3-2x＜0”进行讨论，可将原不等式进一步化为一元二次不等式，即得x的范围．1．本题考查了分段函数不等式的解法，关键是对函数进行分段处理，体现了分类讨论的思想．2．利用分类讨论法解不等式时，一般在同类中取交集，类与类之间取并集．12.在R t△ABC中，CA=CB=2，M，N是斜边AB上的两个动点，且MN=，则•的取值范围为______ ．【答案】[，2]【解析】解：以C为坐标原点，CA为x轴建立平面坐标系，则A（2，0），B（0，2），∴AB所在直线的方程为：，则y=2-x，设M（a，2-a），N（b，2-b），且0≤a≤2，0≤b≤2不妨设a＞b，∵MN=，∴（a-b）2+（b-a）2=2，∴a-b=1，∴a=b+1，∴0≤b≤1∴•=（a，2-a）•（b，2-b）=2ab-2（a+b）+4=2（b2-b+1），0≤b≤1∴当b=0或b=1时有最大值2；当b=时有最小值∴•的取值范围为[，2]故答案为[，2]通过建立直角坐标系求出AB所在直线的方程，设出M，N的坐标，将•=2（b-1）2，0≤b≤1，求出范围．熟练掌握通过建立直角坐标系、数量积得坐标运算是解题的关键．13.在平面直角坐标系x O y中，圆C的方程为（x-1）2+y2=4，P为圆C上一点．若存在一个定圆M，过P作圆M的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，当P在圆C上运动时，使得∠APB恒为60°，则圆M的方程为______ ．【答案】（x-1）2+y2=1【解析】解：∵在平面直角坐标系x O y中，圆C的方程为（x-1）2+y2=4，P为圆C上一点．存在一个定圆M，过P作圆M的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，当P在圆C上运动时，使得∠APB恒为60°，∴存在一个定圆M，圆心与圆C的方程为（x-1）2+y2=4，的圆心重合，如图：|PC|=2，当R M=1时，∠APM=30°，∠MPB=30°；此时∠APB=60°，圆M的方程为（x-1）2+y2=1．故答案为：（x-1）2+y2=1．先设点P的坐标为（x，y），则可得|PO|，根据∠APB=60°可得∠AP0=30°，判断出|PO|=2|OB|，把|PO|代入整理后即可得到答案．本题考查轨迹方程的求法，圆的标准方程的求法，考查计算能力．14.设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c为常数）的导函数为f′（x）．对任意x∈R，不等式f（x）≥f′（x）恒成立，则的最大值为______ ．【答案】2-2【解析】解：∵f（x）=ax2+bx+c，∴f′（x）=2ax+b，∵对任意x∈R，不等式f（x）≥f′（x）恒成立，∴ax2+bx+c≥2ax+b恒成立，即ax2+（b-2a）x+（c-b）≥0恒成立，故△=（b-2a）2-4a（c-b）=b2+4a2-4ac≤0，且a＞0，即b2≤4ac-4a2，∴4ac-4a2≥0，∴c≥a＞0，∴，故≤===≤=2-2，故答案为：2-2由已知可得ax2+（b-2a）x+（c-b）≥0恒成立，即△=（b-2a）2-4a （c-b）=b2+4a2-4ac≤0，且a＞0，进而利用基本不等式可得的最大值．本题考查的知识点是二次函数的性质，导函数，恒成立问题，最值，基本不等式，是函数方程不等式导数的综合应用，难度大．二、解答题(本大题共12小题，共154.0分)15.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且+1=．（1）求B；（2）若cos（C+）=，求sin A的值．【答案】解：（1）∵+1=，=，∴+1=，∴=，即=，∴=．∵在△ABC中，sin A≠0，sin C≠0，∴cos B=．∵B∈（0，π），∴B=．（2）∵0＜C＜，∴＜C+＜．∵cos（C+）=，∴sin（C+）=．∴sin A=sin（B+C）=sin（C+）=sin[（C+）+]=sin（C+）cos+cos（C+）sin=．【解析】（1）利用正弦定理把已知等式中的a和c，化成sin A和sin B，化简整理求得cos B的值，进而求得B．（2）利用同角三角函数关系，求得sin（C+）的值，进而利用两角和公式求得答案．本题主要考查了正弦定理的运用，两角和公式的运用．解题的过程中一定要特别注意角的范围．16.如图，在四棱锥P-ABCD中，O为AC与BD的交点，AB⊥平面PAD，△PAD是正三角形，DC∥AB，DA=DC=2AB．（1）若点E为棱PA上一点，且OE∥平面PBC，求的值；（2）求证：平面PBC⊥平面PDC．【答案】证（1）因为OE∥平面PBC，OE⊂平面PAC，平面PAC∩平面PBC=PC，所以OE∥PC，所以AO：OC=AE：EP．…（3分）因为DC∥AB，DC=2AB，所以AO：OC=AB：DC=1：2．所以=．…（6分）（2）法一：取PC的中点F，连结FB，FD．因为△PAD是正三角形，DA=DC，所以DP=DC．因为F为PC的中点，所以DF⊥PC．…（8分）因为AB⊥平面PAD，所以AB⊥PA，AB⊥AD，AB⊥PD．因为DC∥AB，所以DC⊥DP，DC⊥DA．设AB=a，在等腰直角三角形PCD中，DF=PF=a．在R t△PAB中，PB=a．在直角梯形ABCD中，BD=BC=a．因为BC=PB=a，点F为PC的中点，所以PC⊥FB．在R t△PFB中，FB=a．在△FDB中，由DF=a，FB=a，BD=a，可知DF2+FB2=BD2，所以FB⊥DF．…（12分）由DF⊥PC，DF⊥FB，PC∩FB=F，PC、FB⊂平面PBC，所以DF⊥平面PBC．又DF⊂平面PCD，所以平面PBC⊥平面PDC．…（14分）法二：取PD，PC的中点，分别为M，F，连结AM，FB，MF，所以MF∥DC，MF=DC．因为DC∥AB，AB=DC，所以MF∥AB，MF=AB，即四边形ABFM为平行四边形，所以AM∥BF．…（8分）在正三角形PAD中，M为PD中点，所以AM⊥PD．因为AB⊥平面PAD，所以AB⊥AM．又因为DC∥AB，所以DC⊥AM．因为BF∥AM，所以BF⊥PD，BF⊥CD．又因为PD∩DC=D，PD、DC⊂平面PCD，所以BF⊥平面PCD．…（12分）因为BF⊂平面PBC，所以平面PBC平面PDC．…（14分）【解析】（1）利用线线平行，平行线分线段成比例即可；（2）利用线面垂直，证明面面垂直．本题考查空间直线位置关系，即面面垂直，考查空间想象能力，运算能力和推理论证能力．17.某种树苗栽种时高度为A（A为常数）米，栽种n年后的高度记为f（n）．经研究发现f（n）近似地满足f（n）=，其中t=，a，b为常数，n∈N，f（0）=A．已知栽种3年后该树木的高度为栽种时高度的3倍．（1）栽种多少年后，该树木的高度是栽种时高度的8倍；（2）该树木在栽种后哪一年的增长高度最大．【答案】解：（1）由题意知f（0）=A，f（3）=3A．所以，解得a=1，b=8．…（4分）所以f（n）=，其中t=．令f（n）=8A，得=8A，解得t n=，即=，所以n=9．所以栽种9年后，该树木的高度是栽种时高度的8倍．…（6分）（2）由（1）知f（n）=．第n年的增长高度为△=f（n）-f（n-1）=-．…（9分）所以△==…（12分）≤=当且仅当64t n=时取等号，此时n=5．所以该树木栽种后第5年的增长高度最大．…（14分）【解析】（1）利用f（0）=A，f（3）=3A，确定函数解析式，令f（n）=8A，可得结论；（2）计算第n年的增长高度，利用基本不等式，可求该树木在栽种后哪一年的增长高度最大．本题考查利用数学知识解决实际问题，考查函数模型的建立，考查基本不等式，确定函数解析式是关键．18.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点P（-1，-1），c为椭圆的半焦距，且c=b．过点P作两条互相垂直的直线l1，l2与椭圆C分别交于另两点M，N．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l1的斜率为-1，求△PMN的面积；（3）若线段MN的中点在x轴上，求直线MN的方程．【答案】（本小题满分16分）解：（1）因为椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点P（-1，-1），c为椭圆的半焦距，且c=b，所以，且c2=2b2，所以a2=3b2，解得b2=，a2=4．所以椭圆方程为：+=1．…（3分）（2）设l1方程为y+1=k（x+1），联立，消去y得（1+3k2）x2+6k（k-1）x+3（k-1）2-4=0．因为P为（-1，-1），解得M（，）．…（5分）当k≠0时，用-代替k，得N（，）．…（7分）将k=-1代入，得M（-2，0），N（1，1）．因为P（-1，-1），所以PM=，PN=2，所以△PMN的面积为××2=2．…（9分）（3）设M（x1，y1），N（x2，y2），则，两式相减得（x1+x2）（x1-x2）+3（y1+y2）（y1-y2）=0，因为线段MN的中点在x轴上，所以y1+y2=0，从而可得（x1+x2）（x1-x2）=0．…（12分）若x1+x2=0，则N（-x1，-y1）．因为PM⊥PN，所以•=0，得x12+y12=2．又因为x12+3y12=4，所以解得x1=±1，所以M（-1，1），N（1，-1）或M（1，-1），N（-1，1）．所以直线MN的方程为y=-x．…（14分）若x1-x2=0，则N（x1，-y1），因为PM⊥PN，所以•=0，得y12=（x1+1）2+1．又因为x12+3y12=4，所以解得x1=-或-1，经检验：x=-满足条件，x=-1不满足条件．综上，直线MN的方程为x+y=0或x=-．…（16分）【解析】（1）由已知条件推导出，且c2=2b2，由此能求出椭圆方程．（2）设l1方程为y+1=k（x+1），联立，得（1+3k2）x2+6k（k-1）x+3（k-1）2-4=0．由此能求出△PMN的面积．（3）设M（x1，y1），N（x2，y2），利用点差法能求出直线MN的方程为x+y=0或x=-．本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的求法，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意点差法的合理运用．19.已知函数f（x）=lnx-mx（m∈R）．（1）若曲线y=f（x）过点P（1，-1），求曲线y=f（x）在点P处的切线方程；（2）求函数f（x）在区间[1，e]上的最大值；（3）若函数f（x）有两个不同的零点x1，x2，求证：x1x2＞e2．【答案】解：（1）因为点P（1，-1）在曲线y=f（x）上，所以-m=-1，解得m=1．因为f′（x）=-1=0，所以切线的斜率为0，所以切线方程为y=-1．（2）因为f′（x）=-m=．①当m≤0时，x∈（1，e），f′（x）＞0，所以函数f（x）在（1，e）上单调递增，则f（x）max=f（e）=1-me．②当≥e，即0＜m≤时，x∈（1，e），f′（x）＞0，所以函数f（x）在（1，e）上单调递增，则f（x）max=f（e）=1-me．③当1＜＜e，即＜m＜1时，函数f（x）在（1，）上单调递增，在（，e）上单调递减，则f（x）max=f（）=-lnm-1．④当≤1，即m≥1时，x∈（1，e），f′（x）＜0，函数f（x）在（1，e）上单调递减，则f（x）max=f（1）=-m．综上，①当m≤时，f（x）max=1-me；②当＜m＜1时，f（x）max=-lnm-1；③当m≥1时，f（x）max=-m．（3）不妨设x1＞x2＞0．因为f（x1）=f（x2）=0，所以lnx1-mx1=0，lnx2-mx2=0，可得lnx1+lnx2=m（x1+x2），lnx1-lnx2=m（x1-x2）．要证明x1x2＞e2，即证明lnx1+lnx2＞2，也就是m（x1+x2）＞2．因为m=，所以即证明＞，即ln＞．令=t，则t＞1，于是lnt＞．令ϕ（t）=lnt-（t＞1），则ϕ′（t）=-=＞0．故函数ϕ（t）在（1，+∞）上是增函数，所以ϕ（t）＞ϕ（1）=0，即lnt＞成立．所以原不等式成立．【解析】（1）中求出斜率，代入切线方程即可；（2）中需要讨论m的范围，m的取值范围不一样，求出的最值不同；（3）中将所证的结论转化为求新函数的单调区间问题得以解决．本题是关于导数的综合应用，利用导数求斜率，求函数的单调区间以及区间上的最值是最主要的题型之一．20.已知a，b是不相等的正数，在a，b之间分别插入m个正数a1，a2，…，a m和正数b1，b2，…，b m，使a，a1，a2，…，a m，b是等差数列，a，b1，b2，…，b m，b是等比数列．（1）若m=5，=，求的值；（2）若b=λa（λ∈N*，λ≥2），如果存在n（n∈N*，6≤n≤m）使得a n-5=b n，求λ的最小值及此时m的值；（3）求证：a n＞b n（n∈N*，n≤m）．【答案】（1）解：设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，则d=，q=．所以a3=a+3d=，b3=aq3=．…（2分）因为=，所以2a-5+2b=0，解得=4或．…（4分）（2）解：因为λa=a+（m+1）d，所以d=a，从而得a n=a+a×n．因为λa=aq m+1，所以q=，从而得．因为a n-5=b n，所以a+×a=a×因为a＞0，所以1+=（*）．…（6分）因为λ，m，n∈N*，所以1+为有理数．要使（*）成立，则必须为有理数．因为n≤m，所以n＜m+1．若λ=2，则为无理数，不满足条件．同理，λ=3不满足条件．…（8分）当λ=4时，．要使为有理数，则必须为整数．又因为n≤m，所以仅有2n=m+1满足条件．所以1+=2，从而解得n=15，m=29．综上，λ最小值为4，此时m为29．…（10分）（3）证明：设c n＞0，S n为数列{c n}的前n项的和．先证：若{c n}为递增数列，则{}为递增数列．证明：当n∈N*时，＜c n+1．因为S n+1=S n+c n+1＞S n+=S n，所以＜，即数列{}为递增数列．同理可证，若{c n}为递减数列，则{}为递减数列．…（12分）①当b＞a时，q＞1．当n∈N*，n≤m时，＞．即＞．因为b=aq m+1，b n=aq n，d=，所以d＞，即a+nd＞b n，即a n＞b n．②当b＜a时，0＜q＜1，当n∈N*，n≤m时，＜．即＜．因为0＜q＜1，所以＞．以下同①．综上，a n＞b n（n∈N*，n≤m）．…（16分）【解析】（1）用a，b表示出d，q，利用=，即可求的值；（2）确定，利用a n-5=b n，可得1+为有理数，分类讨论，即可求λ的最小值及此时m的值；列．若{c n}为递减数列，则{}为递减数列，再分类讨论，即可证明结论．本题考查等差数列与等比数列的综合，考查数论知识，考查分类讨论，考查学生分析解决问题的能力，难度大．21.已知圆O的内接△ABC中，D为BC上一点，且△ADC为正三角形，点E为BC的延长线上一点，AE为圆O的切线，求证：CD2=BD•EC．【答案】证明：因为AE为圆O的切线，所以∠ABD=∠CAE．…（2分）因为△ACD为等边三角形，所以∠ADC=∠ACD，所以∠ADB=∠ECA，所以△ABD∽△EAC．…（6分）所以=，即AD•CA=BD•EC．…（8分）因为△ACD为等边三角形，所以AD=AC=CD，所以CD2=BD•EC．…（10分）【解析】先证明△ABD∽△EAC，可得AD•CA=BD•EC，再结合△ACD为等边三角形，所以AD=AC=CD，即可得出结论．本题考查三角形相似的判断，考查圆的切线的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．22.已知矩阵A=（k≠0）的一个特征向量为α=，A的逆矩阵A-1对应的变换将点（3，1）变为点（1，1）．求实数a，k的值．【答案】解：设特征向量为α=，对应的特征值为λ，则=λ，即因为k≠0，所以a=2．…（5分）因为A-1=，所以A=，即=，所以2+k=3，解得k=1．综上，a=2，k=1．…（10分）利用特征值与特征向量的定义，可求a；利用A的逆矩阵A-1对应的变换将点（3，1）变为点（1，1），可求k的值．本题主要考查了二阶矩阵，以及特征值与特征向量的计算，属于基础题．23.在平面直角坐标系x O y中，已知M是椭圆+=1上在第一象限的点，A（2，0），B（0，2）是椭圆两个顶点，求四边形OAMB的面积的最大值．【答案】解：∵M是椭圆+=1上在第一象限的点，∴设M（2cosθ，2sinθ），，，由题意知，OA=2，OB=2，四边形OAMB的面积S===，，∴时，四边形OAMB的面积的最大值为．【解析】设M（2cosθ，2sinθ），，，四边形OAMB的面积S=利用三角函数的有界限求出四边形OAMB的面积的最大值．本题考查椭圆上的点的设法及三角函数的有界限求函数的最值，属于一道中档题．24.已知a，b，c∈R，a2+2b2+3c2=6，求a+b+c的最大值．【答案】解：因为已知a、b、c是实数，且a2+2b2+3c2=6，根据柯西不等式（a2+b2+c2）（x2+y2+z2）≥（ax+by+cz）2故有（a2+2b2+3c2）（1++）≥（a+b+c）2故（a+b+c）2≤11，即a+b+c的最大值为，当且仅当a=2b=3c=时，等号成立．考虑到柯西不等式（a2+b2+c2）（x2+y2+z2）≥（ax+by+cz）2的应用，构造出柯西不等式求出（a+b+c）2的最大值开方即可得到答案．此题主要考查一般形式的柯西不等式的应用，对于此类题目很多同学一开始就想到应用参数方程求解，这个方法可行但是计算量较高，而应用柯西不等式求解较简单，同学们需要很好的理解掌握．25.如图，在正四棱锥P-ABCD中，PA=AB=，点M，N分别在线段PA和BD上，BN=BD．（1）若PM=PA，求证：MN⊥AD；（2）若二面角M-BD-A的大小为，求线段MN的长度．【答案】（本小题满分10分）（1）证明：连接AC，BD交于点O，以OA为x轴正方向，以OB为y轴正方向，OP为z轴建立空间直角坐标系．∵PA=AB=，则A（1，0，0），B（0，1，0），D（0，-1，0），P（0，0，1）．，得N（0，，0），由，得M（，0，），，，，，，，∵，∴MN⊥AD．（2）∵M在PA上，设，得M（λ，0，1-λ），∴，，，，，，设平面MBD的法向量，，，由，得，取z=λ，得，，，∵平面ABD的法向量为，，，二面角M-BD-A的大小为，∴cos=||，即，解得，∴M（，，），N（0，，0），∴|MN|==．（1）连接AC，BD交于点O，以OA为x轴正方向，以OB为y轴正方向，OP为z轴建立空间直角坐标系．利用向量法能证明MN⊥AD．（2）设，得M（λ，0，1-λ），，，，，，，分别求出平面MBD的法向量和平面ABD的法向量，利用向量法解得，由此能求出线段MN的长度．本题考查异面直线垂直的证明，考查线段长的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．26.已知非空有限实数集S的所有非空子集依次记为S1，S2，S3，…，集合S k中所有元素的平均值记为b k．将所有b k组成数组T：b1，b2，b3，…，数组T中所有数的平均值记为m（T）．（1）若S={1，2}，求m（T）；（2）若S={a1，a2，…，a n}（n∈N*，n≥2），求m（T）．【答案】解：（1）S={1，2}的所有非空子集为{1}，{2}，{1，2}，∴数组T为：1，2，∴m（T）=（2）∵S={a1，a2，…，a n}∴m（T）=又∵==∴m（T）==【解析】（1）先求出S={1，2}的所有非空子集为{1}，{2}，{1，2}，利用m（T）的定义求出其值（2）利用组合数及m（T）的定义求出m（T）=，利用组合数的性质，化简求值．本题考查集合的子集及组合的应用，关键是弄清楚题中对新概念的理解，属于一道难题．。

江苏省南京市2024高三冲刺（高考数学）部编版考试(拓展卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题某购物网站在年月开展“全部折”促销活动，在日当天购物还可以再享受“每张订单金额（折后）满元时可减免元”．某人在日当天欲购入原价元（单价）的商品共件，为使花钱总数最少，它最少需要下的订单张数为（）A．B．C．D．第(2)题已知正四面体，，点为线段的中点，则直线与平面所成角的正切值是（）A．B．C．D．第(3)题已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与的左、右两支分别交于点，且，则的离心率为（）A．B．C．D．第(4)题袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为A．B．C．D．1第(5)题已知集合，集合，则（）A．B．C．D．第(6)题已知集合，集合，则等于（）A．B．C．．D．第(7)题若，，，则，，的大小关系是（）A．B．C．D．第(8)题在平面直角坐标系中，若不等式组（为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则的值为A．-5B．1C．2D．3二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知函数，则（）A ．的最小正周期为B．的图象关于点对称C．在上单调递减D．的值域为第(2)题下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（）A．直径为的球体B．所有棱长均为的四面体C．底面直径为，高为的圆柱体D．底面直径为，高为的圆柱体第(3)题已知函数的定义域为，且当时，．若对任意的，都有，则下列结论正确的是（）A．的图象过点B．为奇函数C．D．在上单调递减三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知函数为偶函数且，又，函数，若恰好有个零点，则的取值范围是．第(2)题已知向量，，若，则与夹角的余弦值为______．第(3)题已知，，，则，，的大小关系为______．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知C：的上顶点到右顶点的距离为，离心率为，过椭圆左焦点作不与x轴重合的直线与椭圆C相交于M、N两点，直线m的方程为：，过点M作垂直于直线m交直线m于点E.(1)求椭圆C的标准方程：(2)①若线段EN必过定点P，求定点P的坐标；②点O为坐标原点，求面积的最大值.第(2)题已知，，设函数，.（1）若，求不等式的解集；（2）若函数的最小值为1，证明：.第(3)题在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，且、及它们关于轴对称的点都在曲线上，是曲线上不同于上述四点的一动点，且直线与的斜率之积等于．（1）求曲线的方程，并说明是什么曲线；（2）设直线：与曲线相交于、两点，以线段，为邻边作平行四边形，其中顶点在曲线上，求的取值范围．第(4)题已知函数，．（）设曲线在处的切线为，到点的距离为，求的值．（）若对于任意实数，恒成立，试确定的取值范围．（）当时，是否存在实数，使曲线在点处的切线与轴垂直若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．第(5)题已知椭圆的左､右焦点分别为，左､右顶点分别为，过点作直线轴，与交于两点（在上方），且四边形的面积为的面积为.(1)求椭圆的方程；(2)已知，是否存在过点的直线与曲线交于（在上方）两点，使得与的面积比为？若存在，请求出直线的方程；若不存在，请说明理由.。

江苏省南京市2024高三冲刺（高考数学）统编版摸底(押题卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图所示），设甲乙两组数据的平均数分别为，，中位数分别为，，则（）A．，B．，C．，D．，第(2)题日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为（）A．20°B．40°C．50°D．90°第(3)题如图所示是一个以为直径，点为圆心的半圆，其半径为4，为线段的中点，其中，，是半圆圆周上的三个点，且把半圆的圆周分成了弧长相等的四段，若将该半圆围成一个以为顶点的圆锥的侧面，则在该圆锥中下列结果正确的是（）A．为正三角形B．平面C．平面D．点到平面的距离为第(4)题已知a，b R且ab≠0，对于任意x≥0 均有(x–a)(x–b)(x–2a–b)≥0，则（）A．a<0B．a>0C．b<0D．b>0第(5)题设集合，，，则A．B．C．D．第(6)题已知，且，则（）A．B．C．D．无法确定，的大小第(7)题若和是方程的两个根，则等于（）A．B．C．1D．10第(8)题已知正方形ABCD的顶点均在表面积为的球O的球面上，则当四棱锥的体积取得最大值时，点O到平面ABCD的距离为（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题如图，在长方形中，，，为的中点，为线段(端点除外)上一动点.现将沿折起，使平面平面.在平面内过点作，为垂足.设，则的取值可以是（）A．B．C．D．1第(2)题设定义在上的函数与的导函数分别为和，若，，且为奇函数，，则（）A．B．C．D．第(3)题让·巴普蒂斯·约瑟夫·傅里叶，法国欧塞尔人，著名数学家、物理学家．他发现任何周期函数都可以用正弦函数或余弦函数构成的无穷级数来表示，如定义在R上的函数，当时，有，则（）．A．函数的最小正周期为B ．点是函数图象的对称中心C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题自“一带一路”倡议提出以来，中俄两国合作共赢的脚步越来越快．中俄输气管道工程建设中，某段管道铺设要经过一处峡谷，峡谷内恰好有一处直角拐角，如图，管道沿A、E、F、B拐过直角（线段EF过O点，点E，O，F在同一水平面内），峡谷的宽分别为27m、8m，如图所示，设EF与较宽侧峡谷崖壁所成的角为，则EF得长______m，（用表示），要使输气管道顺利通过拐角，EF长度不能低于______m第(2)题已知圆锥的底面积与侧面积之比为，则其轴截面顶角的正弦值为______．第(3)题已知向量，，且，则______．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知函数f（x）cos（2x）﹣2sin x cos x.（1）求f（x）的最小正周期及对称中心；（2）当x∈（]时，求f（x）的值域.第(2)题已知椭圆与抛物线的一个交点为，且抛物线向右平移个单位后的焦点与椭圆的焦点重合．（1）求椭圆的标准方程；（2）设、为椭圆的左、右顶点，为椭圆上一点，设点，且，求面积的最大值．第(3)题已知函数．(1)讨论的单调性；(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围．第(4)题在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列.现连续发射信号次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的.记发射信号1的次数为.(1)当时，求(2)已知切比雪夫不等式：对于任一随机变量，若其数学期望和方差均存在，则对任意正实数，有.根据该不等式可以对事件“”的概率作出下限估计.为了至少有的把握使发射信号“1”的频率在0.4与0.6之间，试估计信号发射次数的最小值.第(5)题已知长方体中，，，，点是棱上的动点.（1）求三棱锥的体积；（2）当点是棱上的中点时，求直线与平面所成的角（结果用反三角函数值表示）.。

2014江苏省南京市高三三模考试数学试题和答案南京市2014届高三年级第三次模拟考试数学注意事项：1.本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分。

本试卷满分为160分，考试时间为120分钟。

2.答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸内。

试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内。

考试结束后，交回答题纸。

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分。

不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1.已知全集U=R，集合A={x|x≤-2，x∈R}，B={x|x＜1，x∈R}，则(∁U A)∩B= {-2.-1}。

2.已知(1+i)²=a+bi(a，b∈R，i为虚数单位)，则a+b=2.3.某地区对XXX进行学生体质状况抽测，甲校有学生800人，乙校有学生500人，现用分层抽样的方法在这1300名学生中抽取一个样本。

已知在甲校抽取了48人，则在乙校应抽取学生人数为 30.4.现有红心1，2，3和黑桃4，5共五张牌，从这五张牌中随机取2张牌，则所取2张牌均为红心的概率为 3/10.5.执行右边的伪代码，输出的结果是 15.S←1I←3XXX≤200S←S×II←I＋2EndWhilePrintI6.已知抛物线y²=2px过点M(2，2)，则点M到抛物线焦点的距离为√2.7.已知tanα=-2，且-π/4＜α＜π/2，则cosα＋sinα=-2√5/5.8.已知m，n是不重合的两条直线，α，β是不重合的两个平面。

下列命题：①若α⊥β，m⊥α，则m∥β；②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；③若m∥α，XXX，则n⊥α；④若m∥α，m∥β，则α∥β。

其中所有真命题的序号是①、③。

9.将函数f(x)=sin(3x+π/3)的图象向右平移π/4个单位长度，得到函数y=g(x)的图象，则函数y=g(x)在[-π/4，5π/4]上的最小值为 -√3/2.10.已知数列{an}满足an=an-1-an-2(n≥3，n∈N*)，它的前n项和为Sn。

江苏省南京市2024高三冲刺（高考数学）部编版测试(冲刺卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题平面向量，若，则（）A．B．2C．D．第(2)题若，则（）A．B．C．D．第(3)题17世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法运算，数学家拉普拉斯称赞“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”．已知，设，则所在的区间为（）A．B．C．D．第(4)题已知双曲线：，O为坐标原点，、分别为的左、右焦点，点P在双曲线上，且轴，M在外角平分线上，且.若，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．第(5)题已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若、是关于x的方程在内的两根，则（）A．B．C．D．第(6)题若三棱锥的底面是以为斜边的等腰直角三角形，，则该三棱锥的外接球的表面积为A．B．C．D．第(7)题Keep是一款具有社交属性的健身APP，致力于提供健身教学、跑步、骑行、交友及健身饮食指导、装备购买等一站式运动解决方案．Keep可以让你随时随地进行锻炼，记录你每天的训练进程．不仅如此，它还可以根据不同人的体质，制定不同的健身计划．小张根据Keep记录的2022年1月至2022年11月期间每月跑步的里程（单位：十公里）数据整理并绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列说法错误的是（）A．月跑步里程逐月增加B．月跑步里程最大值出现在10月C．月跑步里程的中位数为5月份对应的里程数D．1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更小第(8)题设A，B，C，D是曲线上的四个动点，若以这四个动点为顶点的正方形有且只有一个，则实数m的值为（）．A．4B．C．3D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知各项都是正数的数列的前项和为，且，则（）A．是等差数列B．C．D．第(2)题设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（）．A．B．C．以MN为直径的圆与l相切D．为等腰三角形第(3)题数列{}中，设.若存在最大值，则可以是（）A．B．C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题对于，将表示为，当时，，当时，为0或1.记为上述表示中为0的个数，（例如，：故）则（1）_______．（2）_______．第(2)题圆的圆心与抛物线的焦点重合，为两曲线的交点，则原点到直线的距离为______．第(3)题已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向，,存在点A满足，则______(精确到0.1度)四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知函数，，.（1）当时，解不等式；（2）对任意，，若不等式恒成立，求实数a的取值范围.第(2)题如图所示，在直角坐标系xOy中，A，B是抛物线上两点，M，N是椭圆两点，若AB与MN相交于点，.（1）求实数的值及抛物线C的准线方程.（2）设的面积为S，、的重心分别为G，T，当GT平行于x轴时，求的最大值.第(3)题如图，已知椭圆经过和，过原点的一条直线l交椭圆于A，B两点（A在第一象限），椭圆C上点D满足，连直线BD与x轴、y轴分别交于M、N两点，的重心在直线的左侧.（1）求椭圆的标准方程；（2）记、面积分别为、，求的取值范围.第(4)题某乒乓球训练机构以训练青少年为主，其中有一项打定点训练，就是把乒乓球打到对方球台的指定位置（称为“准点球”），在每周末，记录每个接受训练的学员在训练时打的所有球中“准点球”的百分比（），A学员已经训练了1年，下表记录了学员最近七周“准点球”的百分比：周次（x）12345675252.853.55454.554.955.3若.(1)根据上表数据，计算与的相关系数，并说明与的线性相关性的强弱；（若，则认为与线性相关性很强；若，则认为与线性相关性一般；若，则认为与线性相关性较弱）（精确到）(2)求关于的回归方程，并预测第周“准点球”的百分比.（精确到）参考公式和数据：，，.第(5)题已知函数．(1)证明：；(2)证明：，．。

南京市、盐城市2014届高三年级第一次模拟考试数 学 试 卷（总分160分，考试时间120分钟）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1.已知集合{3,1,1,2}A =--，集合[0,)B =+∞，则AB = ▲ .2.若复数(1)(3)z i ai =+-（i 为虚数单位）为纯虚数，则实数a = ▲ .3.现从甲、乙、丙3人中随机选派2人参加某项活动，则甲被选中的概率为 ▲ .4.根据如图所示的伪代码，最后输出的S 的值为 .5.若一组样本数据2，3，7，8，a 的平均数为5，则该组数据的方差2s = .6.在平面直角坐标系xOy 中，若中心在坐标原点上的双曲线的一条准线方程为12x =，且它的一个顶点与抛物线24y x =-的焦点重合，则该双曲线的渐进线方程为 .7.在平面直角坐标系xOy 中，若点(,1)P m 到直线4310x y --=的距离为4，且点P 在不等式23x y +≥表示的平面区域内，则m = . 8.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=，侧棱PA ⊥底面ABCD ，2PA =，E 为AB 的中点，则四面体PBCE 的体积为 . 9.设函数()cos(2)f x x ϕ=+，则“()f x 为奇函数”是“2πϕ=”的 条件.（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）10.在平面直角坐标系xOy 中，若圆22(1)4x y +-=上存在A ，B 两点关于点(1,2)P 成中心对称，则直线AB 的方程为 .11.在ABC ∆中，2BC =，23A π=，则AB AC ⋅的最小值为 . 12.若函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[0.)+∞上是单调增函数.如果实数t 满足1(ln )(ln )2(1)f t f f t+<时，那么t 的取值范围是 .13.若关于x 的不等式2(20)lg 0aax x-≤对任意的正实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是 .14.已知等比数列{}n a 的首项为43，公比为13-，其前n 项和为n S ，若1n n A S B S ≤-≤对*n N ∈恒成立，则B A -的最小值为 .二、解答题(本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内．) 15.（本小题满分14分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知2c =，3C π=.（1）若ABC ∆的面积等于3，求a ，b ；（2）若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求ABC ∆的面积.16. （本小题满分14分）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，E ，F 分别为1BB ，AC 的中点. （1）求证：//BF 平面1A EC ； （2）求证：平面1A EC ⊥平面11ACC A .17.（本小题满分14分）如图，现要在边长为100m 的正方形ABCD 内建一个交通“环岛”.正方形的四个顶点为圆心在四个角分别建半径为x m （x 不小于9）的扇形花坛，以正方形的中心为圆心建一个半径为215x m 的圆形草地.为了保证道路畅通，岛口宽不小于60m ，绕岛行驶的路宽均不小于10m. （1）求x 的取值范围；（运算中2取1.4）（2）若中间草地的造价为a 元2/m ，四个花坛的造价为433ax 元2/m ，其余区域的造价为1211a元2/m ，当x 取何值时，可使“环岛”的整体造价最低？18. （本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知过点3(1,)2的椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为(1,0)F ，过焦点F 且与x 轴不重合的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，点B 关于坐标原点的对称点为P ，直线PA ，PB 分别交椭圆C 的右准线l 于M ，N 两点. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点B 的坐标为833(,)5，试求直线PA 的方程；（3）记M ，N 两点的纵坐标分别为M y ，N y ，试问M N y y ⋅是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.19. （本小题满分16分）已知函数()x f x e =，2()1(,)g x ax bx a b R =++∈.（1）若0a ≠，则a ，b 满足什么条件时，曲线()y f x =与()y g x =在0x =处总有相同的切线？ （2）当1a =时，求函数()()()g x h x f x =的单调减区间； （3）当0a =时，若()()f x g x ≥对任意的x R ∈恒成立，求b 的取值的集合.20. （本小题满分16分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12a =，622S =. （1）求n S ；（2）若从{}n a 中抽取一个公比为q 的等比数列{}n k a ，其中11k =，且12n k k k <<<，*n k N ∈.①当q 取最小值时，求{}n k 的通项公式；②若关于*()n n N ∈的不等式16n n S k +>有解，试求q 的值.南京市、盐城市2014届高三年级第一次模拟考试数学附加题（满分40分，考试时间30分钟）21.[选做题]（在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分，计20分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内．） A ．（选修4—1：几何证明选讲） 如图，AB ，CD 是半径为1的圆O 的两条弦，它们相交于AB 的中点P ，若98PC =，12OP =，求PD 的长.B ．（选修4—2：矩阵与变换）已知曲线C ：1xy =，若矩阵222222M ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦对应的变换将曲线C 变为曲线C '，求曲线C '的方程. C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，圆C 的方程为2cos a ρθ=，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为3242x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），若直线l 与圆C 相切，求实数a 的值.D ．（选修4—5：不等式选讲）已知1x ，2x ，3x 为正实数，若1231x x x ++=，求证：2223211231x x x x x x ++≥.[必做题] （第22、23题，每小题10分，计20分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内） 22.（本小题满分10分）已知点(1,2)A 在抛物线Γ：22y px =上.（1）若ABC ∆的三个顶点都在抛物线Γ上，记三边AB ，BC ，CA 所在直线的斜率分别为1k ，2k ，3k ，求123111k k k -+的值； （2）若四边形ABCD 的四个顶点都在抛物线Γ上，记四边AB ，BC ，CD ，DA 所在直线的斜率分别为1k ，2k ，3k ，4k ，求12341111k k k k -+-的值.23. （本小题满分10分）设m 是给定的正整数，有序数组（1232,,,m a a a a ）中2i a =或2-(12)i m ≤≤.（1）求满足“对任意的1k m ≤≤，*k N ∈，都有2121k ka a -=-”的有序数组（1232,,,m a a a a ）的个数A ；（2）若对任意的1k l m ≤≤≤，k ，*l N ∈，都有221||4li i k a =-≤∑成立，求满足“存在1k m ≤≤，使得2121k ka a -≠-”的有序数组（1232,,,m a a a a ）的个数B南京市、盐城市2014届高三年级第一次模拟考试数学参考答案说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1．{1，2} 2．－3 3．23 4．55 5．265 6．y ＝±3x 7．68．33 9．必要不充分 10．x ＋y －3＝0 11．－.23 12．[1e ，e ] 13．{10} 14．5972二、解答题：15．解：（1）由余弦定理及已知条件得，a 2＋b 2－ab ＝4． ……………2分 因为△ABC 的面积等于3，所以12ab sin C ＝3，即ab ＝4． ……………4分解方程组⎩⎨⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，得a ＝2，b ＝2． ……………7分（2）由题意，得sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝4sin A cos A ， 所以sin B cos A ＝2sin A cos A ． 当cos A ＝0时，A ＝π2．所以B ＝π6．所以a ＝433，b ＝233． ……………10分当cos A ≠0时，得sin B ＝2sin A ，所以b ＝2a ．解方程组⎩⎨⎧a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a ，得a ＝233，b ＝433． ……………13分所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝233． (14)分16．证：（1）连结AC 1交A 1C 于点O ，连结OE ，OF ． 因为正三棱柱ABC －A 1B 1C 1是正三棱柱，所以OA 1＝OC ．因为F 为AC 中点，所以OF ∥AA 1∥CC 1，OF ＝12AA 1＝12CC 1．因为E 为BB 1中点，所以BE ∥CC 1，BE ＝12CC 1．所以OF ＝BE ，OF ∥BE ．所以BEOF 是平行四边形．所以BF ∥OE ． ………………4分 因为BF /⊂平面A 1EC ，OE ⊂平面A 1EC ，所以BF ∥平面A 1EC ． ………………7分 （2）因为AB ＝CB ，F 为AC 中点，所以BF ⊥AC ．因为AA 1⊥平面ABC ，BF ⊂平面ABC ，所以AA 1⊥BF ． ………………9分 由（1）知BF ∥OE ． 所以OE ⊥AC ，OE ⊥AA 1．而AC ，AA 1⊂平面ACC 1A 1，AC ∩AA 1＝A ，所以OE ⊥平面ACC 1A 1． …………12分 因为OE ⊂平面A 1EC ，所以平面A 1EC ⊥平面ACC 1A 1． ………………14分17．解：（1）由题意得，⎩⎨⎧x ≥9，100－2x ≥60，1002－2x －2×15x 2≥20，………………4分解得9≤x ≤15．所以x 的取值范围是[9，15] ． ………………7分 （2）记“环岛”的整体造价为y 元．则由题意得 y ＝a ×π×(15x 2)2＋433ax ×πx 2＋12a 11[104－π×(15x 2)2－πx 2]＝a 11[π(－125x 4＋43x 3－12x 2)＋12×104] ． ……………10分 令f (x )＝－125x 4＋43x 3－12x 2．则f′(x )＝－425x 3＋4x 2－24x ．由f′(x )＝0，解得x ＝0(舍去)或x ＝10或x ＝15． ………………12分 列表如下：所以当x ＝10，y 取最小值．答：当x ＝10 m 时，可使“环岛”的整体造价最低． ………………14分 18．解：（1）由题意，得2a ＝(1－1)2＋(32－0)2＋(1＋1)2＋(32－0)2＝4，即a ＝2．………2分因为c ＝1，所以b 2＝3．所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1． ………………5分（2）因为F (1，0)，B (85，335)，所以P (－85，－335)．所以直线AB 的斜率为3．所以直线AB 的方程为y ＝3(x －1)． ………………7分 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝3(x －1)，得点A 的坐标为(0，－3)． …………………9分所以直线P A 的方程为y ＝－34x －3． …………………10分 （3）当直线AB 的斜率k 不存在时，易得y M ·y N ＝－9．当直线AB 的斜率k 存在时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则B (－x 2，－y 2)．所以x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1．两式相减， 得(x 2＋x 1)(x 2－x 1)4＋(y 2＋y 1)(y 2－y 1)3＝0．所以(y 2＋y 1)(y 2－y 1)(x 2＋x 1)(x 2－x 1)＝－34＝k P A k ．所以k P A ＝－34k ． …………………12分所以直线P A 的方程为y ＋y 2＝－34k (x ＋x 2)．所以y M ＝－34k (4＋x 2)－y 2＝－3(x 2＋4)(x 2－1)4y 2－y 2．直线PB 的方程为y ＝y 2x 2x ，所以y N ＝4y 2x 2． …………………14分所以y M ·y N ＝－3(x 2＋4)(x 2－1)x 2－4y 22x 2．因为x 224＋y 223＝1，所以4y 22＝12－3x 22．所以y M ·y N ＝－3(x 2＋4)(x 2－1)－12＋3x 22x 2=－9．所以y M ·y N 为定值－9． …………………16分 19．解：（1）因为f′(x )＝e x ，所以f′(0)＝1．又f (0)＝1，所以y ＝f (x )在x ＝0处的切线方程为y ＝x ＋1． …………………2分 因为g ′(x )＝2ax ＋b ，所以g ′(0)＝b ．又g (0)＝1，所以y ＝g (x )在x ＝0处的切线方程为y ＝bx ＋1．所以当a ∈R 且b ＝1时，曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在x ＝0处总有相同的切线．…………………4分 （2）当a ＝1时，h (x )＝x 2＋bx ＋1e x，h ′(x )＝－x 2＋(2－b )x ＋b －1e x＝－(x －1)[x －(1－b )]e x ． …………………7分 由h ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝1－b ．所以当b ＞0时，函数y ＝h (x )的减区间为(－∞，1－b )，(1，＋∞)．当b ＝0时，函数y ＝h (x )的减区间为(－∞，＋∞)．当b ＜0时，函数y ＝h (x )的减区间为(－∞，1)，(1－b ，＋∞)． …………………10分 （3）当a ＝0时，则φ(x )＝f (x )－g (x )＝e x －bx －1，φ′(x )＝e x －b ．①当b ≤0时，φ′(x )≥0，函数φ(x )在R 上是增函数．因为φ(0)＝0，所以x ＜0时，φ(x )＜0，与函数f (x )≥g (x )矛盾． …………………12分 ②当b ＞0时，由φ′(x )＞0，得x ＞ln b ，φ′(x )＜0，得x ＜ln b ， 所以函数φ(x )在(－∞，ln b )上是减函数，在(ln b ，＋∞)上是增函数．（Ⅰ）当0＜b ＜1时，ln b ＜0，φ(0)＝0，所以φ(ln b )＜0，与函数f (x )≥g (x )矛盾． （Ⅱ）当b ＞1时，同理φ(ln b )＜0，与函数f (x )≥g (x )矛盾．（Ⅲ）当b ＝1时，ln b ＝0，所以函数φ(x )在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数． 所以φ(x )≥φ(0)＝0．故b ＝1满足题意．综上所述，b 的取值的集合为{1}． …………………16分20．解：（1）设等差数列的公差为d ，则S 6＝6a 1＋15d ＝22，a 1＝2，所以d ＝23．………………2分所以S n ＝n (n ＋5)3 ．a n ＝23(n ＋2) ………………4分 （2）因为数列{a n }是正项递增等差数列，所以数列{a k n }的公比q ＞1． 要使q 最小，只需要k 2最小即可．若k 2＝2，则由a 2＝83，得q ＝43，此时a k 3＝329/∈{a n }， 所以k 2＞2，同理k 2＞3． ………………6分 若k 2＝4，则由a 4＝4，得q ＝2，此时a k n ＝2n ．因为a k n ＝23(k n ＋2)，所以k n ＝3×2n －1－2． ………………10分 （3）因为a k n ＝23(k n ＋2)＝2q n －1，所以k n ＝3q n －1－2(q ＞1)．当q 不是自然数时，k n 不全是正整数，不合题意，所以q ≥2，q ∈N *．. 不等式6S n ＞k n ＋1有解，即2n (n ＋5)＋23 q n＞1有解．经检验，当q ＝2，3，4时，n ＝1都是2n (n ＋5)＋23 q n＞1的解，适合题意． …………………12分以下证明当q ≥5时，不等式2n (n ＋5)＋23 q n≤1恒成立．设b n ＝2n (n ＋5)＋23 q n．则b n ＋1b n ＝2(n ＋1)(n ＋6)＋23 q n ＋12n (n ＋5)＋23 q n＝n 2＋7n ＋73q (n 2＋5n ＋1)＝13q (1＋2n ＋6n 2＋5n ＋1)＝13q (1＋2(n ＋3)(n ＋3)2－(n ＋3)－5) ＝13q (1＋2(n ＋3)－5n ＋3－1)． 因为f (n )＝(n ＋3)－5n ＋3－1在n ∈N *上是增函数， 所以f (1)≤f (n )＜＋∞，即74≤f (n )＜＋∞．所以13q ＜b n ＋1b n ≤57q ． ……………………14分因为q ≥5，所以b n ＋1b n ＜1．所以数列{b n }是递减数列．所以b n ≤b 1＝143q＜1．综上所述，q 的取值为2，3，4． ……………………16分南京市、盐城市2014届高三年级第一次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准 2014.01说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，填空题不给中间分数．21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷．纸．指定区．．．域内．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲解：因为P 为AB 中点，所以OP ⊥AB ．所以PB ＝r 2－OP 2＝32． ………………5分 因为PC ·PD ＝PA ·PB ＝PB 2，PC ＝98， 所以PD ＝23． ………………10分 B ．选修4—2：矩阵与变换解：设曲线C 上一点(x ′，y ′)对应于曲线C′上一点(x ，y )． 由⎣⎢⎡⎦⎥⎤22 －2222 22 ⎣⎡⎦⎤x′y′＝⎣⎡⎦⎤x y ，得22x ′－22y′＝x ，22x ′＋22y′＝y ． …………………5分 所以x ′＝22(x ＋y )，y′＝22(y －x )． 因为x ′y′＝1，所以y 2－x 2＝2．所以曲线C′的方程为y 2－x 2＝2． …………………10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：直线l 的普通方程为4x －3y －2＝0，圆C 的直角坐标方程为(x －a )2＋y 2＝a 2． ………………5分 由题意，得|4a －2|42＋(－3)2＝|a |，解得a ＝－2或a ＝29． ………………10分 D ．选修4—5：不等式选讲证： 因为x 1，x 2，x 3为正实数，所以x 22x 1＋x 1＋x 23x 2＋x 2＋x 21x 3＋x 3≥2x 22x 1·x 1＋2x 23x 2·x 2＋2x 21x 3·x 3＝2(x 1＋x 2＋x 3)＝2．即x 22x 1＋x 23x 2＋x 21x 3≥1． …………………10分 22．（本小题满分10分）解：（1）由点A (1，2)在抛物线M ∶y 2＝2px 上，得p ＝2．所以抛物线M 的方程为y 2＝4x ． …………………3分设B (y 214，y 1)，C (y 224，y 2)． 所以1k 1－1k 2＋1k 3＝y 214－1y 1－2－y 224－y 214y 2－y 1＋y 224－1y 2－2＝y 1＋24－y 2＋y 14＋y 2＋24＝1． …………………7分 （2）设D (y 234，y 3)．则1k 1－1k 2＋1k 3－1k 4＝y 1＋24－y 2＋y 14＋y 3＋y 24－y 3＋24＝0． ………………10分 23．设m 是给定的正整数，有序数组(a 1，a 2，a 3，…，a 2m )中，a i ＝2或－2(1≤i ≤2m )．（1）求满足“对任意的1≤k ≤m ，都有a 2k －1a 2k＝－1”的有序数组(a 1，a 2，a 3，…，a 2m )的个数A ； （2）若对任意的1≤k ≤l ≤m ，都有|i =2k －1∑2la i |≤4成立，求满足“存在1≤k ≤m ，使得a 2k －1a 2k≠－1”的有序数组(a 1，a 2，a 3，…，a 2m )的个数B ．解：（1）因为对任意的1≤k ≤m ，都有a 2k －1a 2k ＝－1，所以(a 2k －1，a 2k )＝(2，－2)或(a 2k －1，a 2k )＝(－2，2)．共有2种情况．由乘法原理，得序数组(a 1，a 2，a 3，…，a 2m )的个数A ＝2m ． …………………5分（2）当存在一个k 时，那么这一组有2C 1m 种，其余的由（1）知有2m －1种，所有共有2C 1m 2m －1种．当存在二个k 时，因为对任意的1≤k ≤l ≤m ，都有|i =2k －1∑2la i |≤4成立，所以这两组共有2C 2m 种， 其余的由（1）知有2m－2种，所有共有2C 2m 2m －2种．… 依次类推得：B ＝2C 1m 2m －1＋2C 2m 2m －2＋…＋2C m m ＝2(3m －2m )． …………………10分。

南京市2014届高三年级第二次模拟考试 数 学 2014.03 注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 参考公式：柱体的体积公式：V ＝Sh ，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高．圆柱的侧面积公式：S 侧＝2πRh ，其中R 为圆柱的底面半径，h 为圆柱的高．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．函数f(x)＝lnx ＋1－x 的定义域为 ▲ ．2．已知复数z1＝－2＋i ，z2＝a ＋2i(i 为虚数单位，a ∈R)．若z1z2为实数，则a 的值为 ▲ ．3．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1000名学生的成绩，并根据这1000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图)，则成绩在[300，350)内的学生人数共有 ▲ ．4．盒中有3张分别标有1，2，3码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为 5．已知等差数列{an}的公差d 不为0，且a1，a3，a76．执行如图所示的流程图，则输出的k 的值为 ▲ ．7．函数f(x)＝Asin (ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0，0＜φ8．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b A ，B 两点．若△AOB 的面积为2，则双曲线的离心率为 9．表面积为12π的圆柱，当其体积最大时，该圆柱的底面半径与高的比为 ▲ ．10．已知|OA →|＝1，|OB →|＝2，∠AOB ＝2π3，OC →＝12OA →＋14OB →，则OA →与OC →的夹角大小为 ▲ ．11．在平面直角坐标系xOy 中，过点P(5，3)作直线l 与圆x2＋y2＝4相交于A ，B 两点，若OA ⊥OB ，则直线l 的斜率为 ▲ ．12．已知f(x)是定义在R 上的奇函数，当0≤x ≤1时，f(x)＝x2，当x ＞0时，f(x ＋1)＝f(x)＋f(1)，且．a (第7题图)若直线y ＝kx 与函数y ＝f(x)的图象恰有5个不同的公共点，则实数k 的值为 ▲ ． 13．在△ABC 中，点D 在边BC 上，且DC ＝2BD ，AB ∶AD ∶AC ＝3∶k ∶1，则实数k 的取值范围为 ▲ ． 14．设函数f(x)＝ax ＋sinx ＋cosx ．若函数f(x)的图象上存在不同的两点A ，B ，使得曲线y ＝f(x)在点A ，B 处的切线互相垂直，则实数a 的取值范围为 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面PAB ⊥平面ABCD ，PA ⊥PB ， BP ＝BC ，E 为PC 的中点．（1）求证：AP ∥平面BDE ； （2）求证：BE ⊥平面PAC ．16．(本小题满分14分) 在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点是坐标原点，始边为x 轴的正半轴，终边与单位圆O 交 于点A(x1 ，y1 )，α∈(π4，π2)．将角α终边绕原点按逆时针方向旋转π4，交单位圆于点B(x2，y2)．（1）若x1＝35，求x2；（2）过A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，记△AOC 及 △BOD 的面积分别为S1，S2，且S1＝43S2，求tan α的值．17．(本小题满分14分)如图，经过村庄A 有两条夹角为60°的公路AB ，AC ，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P ，分别在两条公路边上建两个仓库M 、N (异于村庄A)，要求PM ＝PN ＝MN ＝2(单位：千米)．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)．(第16题图) P NC PB C DE A (第15题图)18． (本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ∶x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2，一条准线方程为x ＝2．P 为椭圆C 上一点，直线PF1交椭圆C 于另一点Q ． （1）求椭圆C 的方程；（2）若点P 的坐标为(0，b)，求过P ，Q ，F2三点的圆的方程； （3）若F1P →＝λQF1→，且λ∈[12，2]，求OP →·OQ →的最大值．19．(本小题满分16分)已知函数f(x)＝ax ＋bxex ，a ，b ∈R ，且a ＞0．（1）若a ＝2，b ＝1，求函数f(x)的极值； （2）设g(x)＝a(x －1)ex －f(x)．① 当a ＝1时，对任意x ∈(0，＋∞)，都有g(x)≥1成立，求b 的最大值；② 设g′(x)为g(x)的导函数．若存在x ＞1，使g(x)＋g′(x)＝0成立，求ba 的取值范围．20．(本小题满分16分)已知数列{an}的各项都为正数，且对任意n ∈N*，a2n －1，a2n ，a2n ＋1成等差数列， a2n ，a2n ＋1，a2n ＋2成等比数列． （1）若a2＝1，a5＝3，求a1的值；（2）设a1＜a2，求证：对任意n ∈N*，且n ≥2，都有an ＋1an ＜a2a1．南京市2014届高三年级第二次模拟考试数学附加题 2014.03 注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用．2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲如图，△ABC 为圆的内接三角形，AB ＝AC ，BD 为圆的弦，且BD ∥AC ．过点A 作圆的切线与 DB 的延长线交于点E ，AD 与BC 交于点F ． （1）求证：四边形ACBE 为平行四边形；（2）若AE ＝6，BD ＝5，求线段CF 的长.B ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤1 a －1 b 的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为α＝⎣⎡⎦⎤21． （1）求矩阵A ；（2）若A ⎣⎡⎦⎤x y ＝⎣⎡⎦⎤ab ，求x ，y 的值．C ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，求曲线ρ＝2cosθ关于直线θ＝π4(ρ∈R)对称的曲线的极坐标方程．D ．选修4—5：不等式选讲已知x ，y ∈R ，且|x ＋y|≤16，|x －y|≤14，求证：|x ＋5y|≤1．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）某中学有4位学生申请A ，B ，C 三所大学的自主招生．若每位学生只能申请其中一所大学，且申请其中任何一所大学是等可能的．（1）求恰有2人申请A 大学的概率；（2）求被申请大学的个数X 的概率分布列与数学期望E(X)． 23．（本小题满分10分）设f(n)是定义在N*上的增函数，f(4)＝5，且满足：①任意n ∈N*，f(n)∈Z ；②任意m ，n ∈N*，有f(m)f(n)＝f(mn)＋f(m ＋n －1)．A EBC F D第21题A 图（1）求f(1)，f(2)，f(3)的值； （2）求f(n)的表达式．南京市2014届高三年级第二次模拟考试 数学参考答案 说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1．(0，1] 2．4 3．300 4．59 5．2 6．4 7．18． 5 9．12 10．60° 11．1或723 12．22－2 13．(53，73) 14．[－1，1]二、解答题：15．证：（1）设AC ∩BD ＝O ，连结OE ． 因为ABCD 为矩形，所以O 是AC 的中点．因为E 是PC 中点，所以OE ∥AP ． …………………………………………4分 因为AP /⊂平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，所以AP ∥平面BDE ． …………………………………………6分 （2）因为平面PAB ⊥平面ABCD ，BC ⊥AB ，平面PAB ∩平面ABCD ＝AB ，所以BC ⊥平面PAB ． …………………………………………8分 因为AP ⊂平面PAB ，所以BC ⊥PA ．因为PB ⊥PA ，BC ∩PB ＝B ，BC ，PB ⊂平面PBC ，所以PA ⊥平面PBC ． …………………………………………12分 因为BE ⊂平面PBC ，所以PA ⊥BE ．因为BP ＝PC ，且E 为PC 中点，所以BE ⊥PC ． 因为PA ∩PC ＝P ，PA ，PC ⊂平面PAC ，所以BE ⊥平面PAC ． …………………………………………14分16．解：（1）因为x1＝35，y1＞0，所以y1＝1－x 21＝45．所以sin α＝45，cos α＝35． …………………………………………2分所以x2＝cos(α＋π4)＝cos αcos π4－sin αsin π4＝－210． …………………………………………6分（2）S1＝12sin αcos α＝－14sin2α．因为α∈(π4，π2)，所以α＋π4∈(π2，3π4)．所以S2＝－12sin (α＋π4)cos (α＋π4)＝－14sin(2α＋π2)＝－14cos2α．…………………………………………8分因为S1＝43S2，所以sin2α＝－43cos2α，即tan2α＝－43． (10)分所以2tanα1－tan2α＝－43，解得tanα＝2或tan α＝－12．因为α∈(π4，π2)，所以t anα＝2． …………………………………………14分17．解法一：设∠AMN ＝θ，在△AMN 中，MN sin60°＝AMsin(120°－θ)．因为MN ＝2，所以AM ＝433sin(120°－θ) ． ………………………………………2分在△APM 中，cos ∠AMP ＝cos(60°＋θ)． …………………………………………6分 AP2＝AM2＋MP2－2 AM·MP·cos ∠AMP ＝163sin2(120°－θ)＋4－2×2×433 sin(120°－θ) cos(60°＋θ) ………………………………8分 ＝163sin2(θ＋60°)－1633sin(θ＋60°) cos(θ＋60°)＋4 ＝83[1－cos (2θ＋120°)]－833 sin(2θ＋120°)＋4 ＝－83[3sin(2θ＋120°)＋cos (2θ＋120°)]＋203＝203－163sin(2θ＋150°)，θ∈(0，120°)． …………………………………………12分 当且仅当2θ＋150°＝270°，即θ＝60°时，AP2取得最大值12，即AP 取得最大值23．答：设计∠AMN 为60 时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．……………………………………14分 解法二：设AM ＝x ，AN ＝y ，∠AMN ＝α． 在△AMN 中，因为MN ＝2，∠MAN ＝60°， 所以MN2＝AM2＋AN2－2 AM·AN·cos ∠MAN ， 即x2＋y2－2xycos60°＝x2＋y2－xy ＝4． …………………………………………2分 因为MN sin60°＝AN sin α，即2sin60°＝y sin α，所以sin α＝34y ，cosα＝x2＋4－y22×2×x ＝x2＋(x2－xy)4x ＝2x －y 4． …………………………………………6分cos ∠AMP ＝cos(α＋60°)＝12cos α－32sin α＝12·2x －y 4－32·34y ＝x －2y4．……………………………8分在△AMP 中，AP2＝AM2＋PM2－2 AM·PM·cos ∠AMP ，即AP2＝x2＋4－2×2×x×x －2y4＝x2＋4－x(x －2y)＝4＋2xy ．………………………………………12分因为x2＋y2－xy ＝4，4＋xy ＝x2＋y2≥2xy ，即xy ≤4． 所以AP2≤12，即AP ≤23．当且仅当x ＝y ＝2时，AP 取得最大值23．答：设计AM ＝AN ＝2 km 时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．………………………………14分18．（1）解：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2c ＝2，a2c ＝2， 解得c ＝1，a2＝2，所以b2＝a2－c2＝1．所以椭圆的方程为x22＋y2＝1． …………………………………………2分（2）因为P(0，1)，F1(－1，0)，所以PF1的方程为x －y ＋1＝0．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋1＝0，x22＋y2＝1， 解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1，或⎩⎨⎧x ＝－43，y ＝－13，所以点Q 的坐标为(－43，－13)． ……………………4分解法一：因为kPF 1·kPF 2＝－1，所以△PQF2为直角三角形． ……………………6分 因为QF2的中点为(－16，－16)，QF2＝523，所以圆的方程为(x ＋16)2＋(y ＋16)2＝2518． ……………………8分解法二：设过P ，Q ，F2三点的圆为x2＋y2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎨⎧1＋E ＋F ＝0，1＋D ＋F ＝0，179－43D －13E ＋F ＝0， 解得⎩⎨⎧D ＝13，E ＝13，F ＝－43．所以圆的方程为x2＋y2＋13x ＋13y －43＝0． …………………………………………8分（3）设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则F1P →＝(x1＋1，y1)，QF1→＝(－1－x2，－y2)．因为F1P →＝λQF1→，所以⎩⎨⎧x1＋1＝λ(－1－x2)，y1＝－λy2，即⎩⎨⎧x1＝－1－λ－λx2，y1＝－λy2，所以⎩⎪⎨⎪⎧(－1－λ－λx2)22＋λ2y 22＝1，x 222＋y 22＝1，解得x2＝1－3λ2λ． …………………………………………12分所以OP →·OQ →＝x1x2＋y1y2＝x2(－1－λ－λx2)－λy 22＝－λ2x22－(1＋λ)x2－λ ＝－λ2(1－3λ2λ)2－(1＋λ)·1－3λ2λ－λ＝74－58(λ＋1λ) ． …………………………………………14分因为λ∈[12，2]，所以λ＋1λ≥2 λ·1λ＝2，当且仅当λ＝1λ，即λ＝1时，取等号．所以OP →·OQ →≤12，即OP →·OQ →最大值为12． …………………………………………16分19．解：（1）当a ＝2，b ＝1时，f (x)＝(2＋1x)ex ，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．所以f ′(x)＝(x ＋1)(2x －1)x2ex ． …………………………………………2分令f ′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝12，列表由表知f (x)的极大值是f (－1)＝e －1，f (x)的极小值是f (12)＝4e ．……………………………………4分（2）① 因为g (x)＝(ax －a)ex －f (x)＝(ax －bx －2a)ex ，当a ＝1时，g (x)＝(x －bx－2)ex ．因为g (x)≥1在x ∈（0，＋∞）上恒成立，所以b≤x2－2x －xex 在x ∈（0，＋∞）上恒成立． …………………………………………8分记h(x)＝x2－2x －xex （x ＞0），则h ′(x)＝(x －1)(2ex ＋1)ex．当0＜x ＜1时，h ′(x)＜0，h(x)在（0，1）上是减函数；当x ＞1时，h ′(x)＞0，h(x)在（1，＋∞）上是增函数． 所以h(x)min ＝h(1)＝－1－e －1．所以b 的最大值为－1－e －1． …………………………………………10分 ② 因为g (x)＝(ax －b x －2a)ex ，所以g ′(x)＝(b x2＋ax －bx －a)ex ．由g (x)＋g ′(x)＝0，得(ax －b x －2a)ex ＋(b x2＋ax －bx－a)ex ＝0，整理得2ax3－3ax2－2bx ＋b ＝0．存在x ＞1，使g (x)＋g ′(x)＝0成立，等价于存在x ＞1，2ax3－3ax2－2bx ＋b ＝0成立． …………………………………………12分 因为a ＞0，所以b a ＝2x3－3x22x －1．设u(x)＝2x3－3x22x －1（x ＞1），则u ′(x)＝8x[(x －34)2＋316](2x －1)2．因为x ＞1，u ′(x)＞0恒成立，所以u(x)在（1，＋∞）是增函数，所以u(x)＞u(1)＝－1，所以b a ＞－1，即ba 的取值范围为（－1，＋∞）． …………………………………………16分20．解：（1）因为a3，a4，a5成等差数列，设公差为d ，则a3＝3－2d ，a4＝3－d ．因为a2，a3，a4成等比数列，所以a2＝a 23a4＝(3－2d)23－d ． …………………………………………3分因为a2＝1，所以(3－2d)2 3－d ＝1，解得d ＝2，或d ＝34．因为an ＞0，所以d ＝34．因为a1，a2，a3成等差数列，所以a1＝2a2－a3＝2－(3－2d)＝12．…………………………………5分（2）证法一：因为a2n －1，a2n ，a2n ＋1成等差数列，a2n ，a2n ＋1，a2n ＋2成等比数列， 所以2a2n ＝a2n －1＋a2n ＋1，① a 2 2n ＋1＝a2na2n ＋2．② 所以a 2 2n －1＝a2n －2a2n ，n ≥2．③所以a2n －2a2n ＋a2na2n ＋2＝2a2n ．因为an ＞0，所以a2n －2 ＋a2n ＋2＝2a2n ． …………………………………………7分 即数列{a2n }是等差数列．所以a2n ＝a2 ＋(n －1)(a4－a2)．由a1，a2及a2n －1，a2n ，a2n ＋1是等差数列，a2n ，a2n ＋1，a2n ＋2是等比数列，可得a4＝(2a2－a1)2a2．所以a2n ＝a2 ＋(n －1)(a4－a2)＝(a2－a1)n ＋a1a2．所以a2n ＝[(a2－a1)n ＋a1]2a2．所以a2n ＋2＝[(a2－a1)(n ＋1)＋a1]2a2． (10)分从而a2n ＋1＝a2na2n ＋2＝[(a2－a1)n ＋a1][(a2－a1)(n ＋1)＋a1]a2．所以a2n －1＝[(a2－a1)(n －1)＋a1][(a2－a1)n ＋a1]a2．①当n ＝2m ，m ∈N*时，an ＋1an －a2a1＝[(a2－a1)m ＋a1][(a2－a1)(m ＋1)＋a1]a2[(a2－a1)m ＋a1]2a2－a2a1＝(a2－a1)(m ＋1)＋a1(a2－a1)m ＋a1－a2a1＝－m(a1－a2)2a1[(a2－a1)m ＋a1]＜0． …………………………………………14分②当n ＝2m －1，m ∈N*，m ≥2时，an ＋1an －a2a1＝[(a2－a1)m ＋a1]2a2[(a2－a1)(m －1)＋a1][(a2－a1)m ＋a1]a2－a2a1＝(a2－a1)m ＋a1(a2－a1)(m －1)＋a1－a2a1＝－(m －1)(a1－a2)2a1[(a2－a1)(m －1)＋a1]＜0．综上，对一切n ∈N*，n ≥2，有an ＋1an ＜a2a1． …………………………………………16分证法二：①若n 为奇数且n ≥3时，则an ，an ＋1，an ＋2成等差数列．因为an ＋2an ＋1－an ＋1an ＝an ＋2an －a2n ＋1an ＋1an ＝(2an ＋1－an)an －a2n ＋1an ＋1an ＝－(an ＋1－an)2an ＋1an ≤0，所以an ＋2an ＋1≤an ＋1an ．②若n 为偶数且n ≥2时，则an ，an ＋1，an ＋2成等比数列，所以an ＋2an ＋1＝an ＋1an ．由①②可知，对任意n ≥2，n ∈N*，an ＋2an ＋1≤an ＋1an ≤…≤a3a2．又因为a3a2－a2a1＝2a2－a1a2－a2a1＝2a2a1－a12－a22a2a1＝－(a1－a2)2a2a1，因为a1＜a2，所以－(a1－a2)2a2a1＜0，即a3a2＜a2a1．综上，an ＋1an ＜a2a1．南京市2014届高三年级第二次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准 2014.03说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，填空题不给中间分数．21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—1：几何证明选讲解：（1）因为AE 与圆相切于点A ，所以∠BAE ＝∠ACB ．因为AB ＝AC ，所以∠ABC ＝∠ACB ．所以∠ABC ＝∠BAE ．所以AE ∥BC ．因为BD ∥AC ，所以四边形ACBE 为平行四边形．…………………………………4分（2）因为AE 与圆相切于点A ，所以AE2＝EB·(EB ＋BD)，即62＝EB·(EB ＋5)，解得BE ＝4． 根据（1）有AC ＝BE ＝4，BC ＝AE ＝6．设CF ＝x ，由BD ∥AC ，得AC BD ＝CF BF ，即45＝x 6－x ，解得x ＝83，即CF ＝83．………………………10分 B ．选修4—2：矩阵与变换解：（1）由题意，得⎣⎡⎦⎤1 a －1 b ⎣⎡⎦⎤21＝2⎣⎡⎦⎤21，即⎩⎨⎧2＋a ＝4，－2＋b ＝2，解得a ＝2，b ＝4．所以A ＝⎣⎡⎦⎤1 2－1 4． ………………………………………5分 （2）解法一：A ⎣⎡⎦⎤x y ＝⎣⎡⎦⎤a b ，即⎣⎡⎦⎤1 2－1 4 ⎣⎡⎦⎤x y ＝⎣⎡⎦⎤24， 所以⎩⎨⎧x ＋2y ＝2，－x ＋4y ＝4，解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1．………………………………………10分 解法二：因为A ＝⎣⎡⎦⎤1 2－1 4，所以A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23 －13 16 16． ………………………………………7分 因为A ⎣⎡⎦⎤x y ＝⎣⎡⎦⎤a b ，所以⎣⎡⎦⎤x y ＝A －1⎣⎡⎦⎤a b ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23 －13 16 16 ⎣⎡⎦⎤24＝⎣⎡⎦⎤01． 所以⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1． ………………………………………10分 C ．选修4—4：坐标系与参数方程解法一：以极点为坐标原点，极轴为x 轴建立直角坐标系，则曲线ρ＝2cosθ的直角坐标方程为 (x －1)2＋y2＝1，且圆心C 为(1，0)．………………………4分直线θ＝π4的直角坐标方程为y ＝x ， 因为圆心C(1，0)关于y ＝x 的对称点为(0，1)，所以圆心C 关于y ＝x 的对称曲线为x2＋(y －1)2＝1． ………………………………………8分所以曲线ρ＝2cosθ关于直线θ＝π4(ρR)对称的曲线的极坐标方程为ρ＝2sinθ．…………………10分 解法二：设曲线ρ＝2cosθ上任意一点为(ρ′，θ′)，其关于直线θ＝π4对称点为(ρ，θ)， 则⎩⎪⎨⎪⎧ρ′＝ρ，θ′＝2k π＋π2－θ． ………………………………………6分 将(ρ′，θ′)代入ρ＝2cosθ，得ρ＝2cos(π2－θ)，即ρ＝2sinθ． 所以曲线ρ＝2cosθ关于直线θ＝π4(ρ∈R)对称的曲线的极坐标方程为ρ＝2sinθ．…………………10分 D ．选修4—5：不等式选讲证： 因为|x ＋5y|＝|3(x ＋y)－2(x －y)|． ………………………………………5分 由绝对值不等式性质，得|x ＋5y|＝|3(x ＋y)－2(x －y)|≤|3(x ＋y)|＋|2(x －y)|＝3|x ＋y|＋2|x －y|≤3×16＋2×14＝1． 即|x ＋5y|≤1． ………………………………………10分22．（本小题满分10分）解（1）记“恰有2人申请A 大学”为事件A ，P(A)＝C42×2234＝2481＝827． 答：恰有2人申请A 大学的概率为827． ………………………………………4分 （2）X 的所有可能值为1，2，3．P(X ＝1)＝334＝127， P(X ＝2)＝C43×A32＋3×A3234＝4281＝1427， P(X ＝3)＝C42×A3334＝3681＝49． X所以X 的数学期望E(X)＝1×127＋2×1427＋3×49＝6527． ………………………………………10分 23．解：（1）因为f(1)f(4)＝f(4)＋f(4)，所以5 f(1)＝10，则f(1)＝2．……………………………………1分 因为f(n)是单调增函数，所以2＝f(1)＜f(2)＜f(3)＜f(4)＝5．因为f(n)∈Z ，所以f(2)＝3，f(3)＝4． ………………………………………3分（2）解：由（1）可猜想f (n)＝n+1．证明：因为f (n)单调递增，所以f (n+1)＞f (n)，又f(n)∈Z ，所以f (n+1)≥f (n)+1．首先证明：f (n)≥n+1．因为f (1)＝2，所以n ＝1时，命题成立．假设n=k(k≥1)时命题成立，即f(k)≥k+1．则f(k+1)≥f (k)+1≥k+2，即n＝k+1时，命题也成立．综上，f (n)≥n+1．………………………………………5分由已知可得f (2)f (n)＝f (2n)＋f (n+1)，而f(2)＝3，f (2n)≥2n＋1，所以3 f (n)≥f (n+1)＋2n＋1，即f(n+1)≤3 f (n)－2n－1．下面证明：f (n)＝n+1．因为f (1)＝2，所以n＝1时，命题成立．假设n=k(k≥1)时命题成立，即f(k)＝k+1，则f(k+1)≤3f (k)－2k－1＝3(k+1)－2k－1＝k＋2，又f(k+1)≥k＋2，所以f(k+1)＝k＋2．即n＝k+1时，命题也成立．所以f (n)＝n+1 ………………………………………10分。

C 江苏省2014届高考数学考前辅导之解答题1.已知向量2(3sin ,1),(cos ,cos )444x x xm n ==.（1）若1m n ⋅=,求2cos()3x π-的值；（2）记()f x m n =⋅，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ,b ,c ，且满足C b B c a cos cos )2(=-，求函数f (A )的取值范围.1.解：（1）23sin cos cos 444x x x m n ⋅=⋅+ 1sin(262x π=++∵1m n ⋅= ∴1sin(262x π+= ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分211cos()12sin ()23262x x ππ+=-+= 21cos()cos()332x x ππ-=-+=- ┉┉┉┉┉7分（2）∵（2a -c ）cos B =b cos C由正弦定理得(2sinA -sin C)cos B=sinBcosC ┉┉┉┉┉┉8分 ∴2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC ∴2sinAcosB=sin(B+C)∵A B C π++= ∴sin()sin 0B C A +=≠，∴1cos ,23B B π== ∴203A π<< ┉┉┉┉┉┉11分∴1,sin()(,1)6262262A A ππππ<+<+∈ ┉┉┉┉┉┉12分 又∵1()sin(262x f x π=++,∴1()sin(262A f A π=++ ┉┉┉┉┉┉13分故函数f (A )的取值范围是3(1,)2. ┉┉┉2．设锐角△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知边a ＝23，△ABC 的面积S ＝34(b 2＋c 2－a 2)．求：（1）内角A ；（2）周长l 的取值范围．3.如图，AB 为圆O 的直径，点E 、F 在圆O 上，且//AB EF ，矩形ABCD 所在的平面和圆O 所在的平面互相垂直，且2AB =，1AD EF ==.（1）求证：AF ⊥平面CBF ；（2）设FC 的中点为M ，求证：//OM 平面DAF ； （3）设平面CBF 将几何体EFABCD 分成的两个锥体的体积分别为F ABCD V -，F CBE V -，求:F ABCD F CBE V V --． 3.解：（1）证明： 平面⊥ABCD 平面ABEF ,AB CB ⊥,平面 ABCD 平面ABEF =AB ，⊥∴CB 平面ABEF ，⊂AF 平面ABEF ，CB AF ⊥∴ ,又AB 为圆O 的直径，BF AF ⊥∴， ⊥∴AF 平面CBF . ………5分 （2）设DF 的中点为N ，则MN //CD 21，又AO //CD 21， 则MN //AO ，MNAO 为平行四边形，//OM ∴AN ，又⊂AN 平面DAF ，⊄OM 平面DAF ，//OM ∴平面DAF . ………9分(3)过点F 作AB FG ⊥于G ， 平面⊥ABCD 平面ABEF ，⊥∴FG 平面ABCD ，FG FG S V ABCD ABCD F 3231=⋅=∴-， ………11分⊥CB 平面ABEF ，CB S V V BFE BFE C CBE F ⋅==∴∆--31FG CB FG EF 612131=⋅⋅⋅=， ………14分ABCD F V -∴1:4:=-CBE F V ．4．多面体PABCD 的直观图及三视图如图所示，E 、F 、G 分别为PA 、AD 和BC 的中点，M 为PG 上的点，且:3:4PM MG =．（1）求多面体PABCD 的体积； （2）求证：PC BDE 平面； （3）求证：FM ⊥平面PBC ．4.解：（14分（2）连接AC 与BD 交于点O ，连接EO则在PAC ∆中，由E 、O 分别为PA 和AC 的中点，得EO PC ………………6分 因为EO BDE ⊂平面所以PC BDE 平面 ……………………………………………… 8分 （3）连接PF 与FG ，则BC ⊥平面PFG所以BC FM ⊥ ……………………………………………… 10分 在PFG ∆中，2,PF FG PG ==:3:4PM MG =可求得MG =，FM =，故222FM MG FG += 所以FM PG ⊥ ……………………………………………… 12分 又PG BC G ⋂=所以FM ⊥平面PBC ……………………………………………… 14分5．（本小题满分15分）P A B CD E F GM 左视图主视图 俯视图在平面直角坐标系xOy 中 ，已知以O 为圆心的圆与直线l ：(34)y mx m =+-，()m R ∈恒有公共点，且要求使圆O 的面积最小. （1）写出圆O 的方程；（2）圆O 与x 轴相交于A 、B 两点，圆内动点P 使||PA 、||PO 、||PB 成等比数列，求PA PB ⋅的范围； （3）已知定点Q （4-，3），直线l 与圆O 交于M 、N 两点，试判断tan QM QN MQN ⋅⨯∠ 是否有最大值，若存在求出最大值，并求出此时直线l 的方程，若不存在，给出理由.5.解：（1）因为直线l ：(34)y mx m =+-过定点T （4，3）由题意，要使圆O 的面积最小, 定点T （4，3）在圆上，所以圆O 的方程为2225x y +=. ………4分（2）A （-5，0），B （5，0），设00(,)P x y ，则220025x y +< (1)00(5,)PA x y =---，00(5,)PB x y =--，由||,||,||PA PO PB 成等比数列得，2||||||PO PA PB =⋅，4[,0)2PA PB ∴⋅∈-………………………9分 （3）tan ||||cos tan QM QN MQN QM QN MQN MQN ⋅⨯∠=⋅∠⨯∠||||sin 2MQNQM QN MQN S=⋅∠= . ………11分由题意，得直线l 与圆O 的一个交点为M （4，3），又知定点Q （4-，3），直线MQ l ：3y =，||8MQ =，则当(0,5)N -时MQN S 有最大值32. ………14分即tan QM QN MQN ⋅⨯∠有最大值为32，此时直线l 的方程为250x y --=. ………15分6.如图，在四棱锥A －BCDE 中，底面BCDE 是直角梯形，∠BED ＝90︒，BE ∥CD ，AB ＝6，BC ＝5，CD BE ＝13，侧面ABE ⊥底面BCDE ．且∠BAE ＝90︒． （1）求证：平面ADE ⊥平面ABE ；（2）过点D 作平面α∥平面ABC ，分别与BE ，AE交于点F ，G ，求△DFG 的面积．7．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，直线l 为圆O ：x 2＋y 2＝b 2的一条切线，且经过椭圆的右焦点，记椭圆离心率为e ．（1）若直线l 的倾斜角为π6，求e 的值；（2）是否存在这样的e ，使得原点O 关于直线l 的对称点恰好在椭圆C 上？若存在，请求出e 的值；若不存在，请说明理由．8．如图，已知椭圆x 2a 2＋y 24＝1(a ＞0)上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 轴上两点M (1，0)，N (－1，0)．（1）若tan ∠ANM ＝－2，tan ∠AMN ＝12，求该椭圆的方程；（2）若MA →＝－2MB →，且0＜x 1＜x 2，ABC D E求椭圆的离心率e的取值范围．9．已知线段CD =CD 的中点为O ，动点A 满足2AC AD a +=（a 为正常数）． （1）求动点A 所在的曲线方程；（2）若存在点A ，使AC AD ⊥，试求a 的取值范围；（3）若2a =，动点B 满足4BC BD +=，且AO OB ⊥，试求AOB ∆面积的最大值和最小值．9．解：（1）以O 为圆心，CD 所在直线为轴建立平面直角坐标系若2AC AD a +=<0a <A 所在的曲线不存在；若2AC AD a +==a =，动点A所在的曲线方程为0(y x =≤；若2AC AD a +=>a >，动点A 所在的曲线方程为222213x y a a +=-. ……………………………………………… 4分（2）由（1）知a A ，使AC AD ⊥， 则以O为圆心，OC =26a ≤所以aa . ……………………………………………8分（3）当2a =时，其曲线方程为椭圆2214x y +=由条件知,A B 两点均在椭圆2214x y +=上，且AO OB ⊥ 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，OA 的斜率为k (0)k ≠，则OA 的方程为y kx =， OB 的方程为1y x k=-解方程组2214y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得212414x k =+，212414k y k =+ 同理可求得222244k x k =+，22244y k =+ …………………………………………… 10分 A O B ∆面积2S= ………………12分 令21(1)k t t +=>则S =令22991125()49()(1)24g t t t t t =-++=--+> 所以254()4g t <≤，即415S ≤< ……………………………………………… 14分当0k =时，可求得1S =,故415S ≤≤， 故S 的最小值为45，最大值为1. ……………………………………………… 10.（本小题满分15分）某工厂有216名工人接受了生产1000台GH 型高科技产品的总任务，已知每台GH 型产品由4个G 型装置和3个H 型装置配套组成.每个工人每小时能加工6个G 型装置或3个H 型装置.现将工人分成两组同时开．．．始．加工，每组分别加工一种装置.设加工G 型装置的工人有x 人，他们加工完G 型装置所需时间为g （x ），其余工人加工完H 型装置所需时间为h （x ）（单位：小时，可不为整数）. （1）写出g （x ），h （x ）的解析式；（2）比较g （x ）与h （x ）的大小，并写出这216名工人完成总任务的时间f （x ）的解析式； （3）应怎样分组，才能使完成总任务用的时间最少？ 10. 解：（1）由题知，需加工G 型装置4000个，加工H 型装置3000个，所用工人分别为x 人，（216－x ）人.∴g （x ）=x64000，h （x ）=3)216(3000⋅-x ，即g （x ）=x 32000，h （x ）=x-2161000（0＜x ＜216，x ∈N *）. ……………………4分 （2）g （x ）－h （x ）=x 32000－x-2161000=)216(3)5432(1000x x x --⋅. ∵0＜x ＜216，∴216－x ＞0.当0＜x ≤86时，432－5x ＞0，g （x ）－h （x ）＞0，g （x ）＞h （x ）；当87≤x ＜216时，432－5x ＜0，g （x ）－h （x ）＜0，g （x ）＜h （x ）.∴f （x ）=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈<≤-∈≤<.,21687,2161000,,860,32000**N N x x xx x x……………………8分（3）完成总任务所用时间最少即求f （x ）的最小值. 当0＜x ≤86时，f （x ）递减，∴f （x ）≥f （86）=8632000⨯=1291000. ∴f （x ）min =f （86），此时216－x =130.当87≤x ＜216时，f （x ）递增，∴f （x ）≥f （87）=872161000-=1291000.∴f （x ）min =f （87），此时216－x =129. ∴f （x ）min =f （86）=f （87）=1291000.∴加工G 型装置，H 型装置的人数分别为86、130或87、129……………………15分11.抛掷一枚骰子,当它每次落地时,向上的点数称为该次抛掷的点数,可随机出现1到6点中的任一个结果,连续抛掷三次,将第一次,第二次,第三次抛掷的点数分别记为c b a ,,,求长度为c b a ,,的三条线段能构成等腰三角形的概率.11.【解】连续抛掷三次, 点数分别为c b a ,,的基本事件总数为216666=⨯⨯ 长度为c b a ,,的三条线段能构成等腰三角形有下列两种情形①当c b a ==时, 能构成等边三角形,有;1,1,1;2,2,2; 6,6,6共6种可能. ②当c b a ,,恰有两个相等时,设三边长为z y x ,,,其中}6,5,4,3,2{∈x ,且y x ≠;若2=x ,则y 只能是1或3,共有2种可能; 若3=x ,则y 只以是5,4,2,1,共有4种可能; 若6,5,4=x ,则y 只以是集合}6,5,4,3,2,1{中除x 外的任一个数,共有53⨯种可能; ∴当c b a ,,恰有两个相等时,符合要求的c b a ,,共有63)5342(3=⨯++⨯ 故所求概率为722366363=+=P 12.已知关于x 的一元二次函数14)(2+-=bx ax x f .（1）设集合P={1，2， 3}和Q={－1，1，2，3，4}，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为a 和b ，求函数)(x f y =在区间[),1+∞上是增函数的概率；（2）设点（a ，b ）是区域⎪⎩⎪⎨⎧>>≤-+0008y x y x 内的随机点，求()[1,)y f x =+∞在区间上是增函数的概率.12.解：（1）∵函数14)(2+-=bx ax x f 的图象的对称轴为,2abx =要使14)(2+-=bx ax x f 在区间),1[+∞上为增函数，当且仅当a >0且a b ab≤≤2,12即 ……………………………3分 若a =1则b =－1， 若a =2则b =－1，1； 若a =3则b =－1，1； ……………………5分∴事件包含基本事件的个数是1+2+2=5∴所求事件的概率为51153=. ……………………………7分（2）由（Ⅰ）知当且仅当a b ≤2且a >0时，函数),1[14)(2+∞+-=在区是间bx ax x f 上为增函数，依条件可知试验的全部结果所构成的区域为80(,)00a b a b a b ⎧⎫+-≤⎧⎪⎪⎪>⎨⎨⎬⎪⎪⎪>⎩⎩⎭构成所求事件的区域为三角形部分. 由),38,316(208得交点坐标为⎪⎩⎪⎨⎧==-+ab b a …………11分 ∴所求事件的概率为31882138821=⨯⨯⨯⨯=P .13.如图，已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左顶点，右焦点分别为,A F ，右准线为m 。

江苏省南京市2024高三冲刺（高考数学）部编版测试(巩固卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题某校有甲、乙两个数学建模兴趣班.其中甲班有40人，乙班有50人.现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则这两个数学建模兴趣班所有同学的平均成绩是A．85B．85.5C．86D．86.5第(2)题如图所示的茎叶图记录了甲､乙两种商品连续10天的销售数据，则下列说法错误的是( )A．乙销售数据的极差为24B．甲销售数据的众数为93C．乙销售数据的均值比甲大D．甲销售数据的中位数为92第(3)题若集合的子集个数为A．2B．3C．4D．16第(4)题设集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|x（x﹣2）＜0}，则A∩B等于（ ）A．{x|x＞2}B．{x|0＜x＜2}C．{x|1＜x＜2}D．{x|0＜＜1}第(5)题已知角的对边分别为满足，则角的最大值为（）A．B．C．D．第(6)题如果函数的最小正周期是,且当时取得最大值,那么A．B．C．D．第(7)题下列说法中，正确的个数为（）①样本相关系数的绝对值大小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度；②用不同的模型拟合同一组数据，则残差平方和越小的模型拟合的效果越好；③随机变量服从正态分布，若，则；④随机变量服从二项分布，若方差，则．A．1个B．2个C．3个D．4个第(8)题已知函数，函数在上的零点的个数为（）A．2B．3C．4D．5二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题某大学进行自主招生测试，需要对逻辑思维和阅读表达进行能力测试.学校对参加测试的200名学生的逻辑思维成绩、阅读表达成绩以及这两项的总成绩进行了排名.其中甲、乙、丙三位同学的排名情况如图所示，下列叙述正确的是（）A．甲同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前B．乙同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前C．甲、乙、丙三位同学的阅读表达成绩排名中，甲同学更靠后D．甲同学的总成绩排名比丙同学的总成绩排名更靠前第(2)题对函数，公共定义域内的任意x，若存在常数，使得恒成立，则称和是伴侣函数，则下列说法正确的是（）A．存在常数，使得与是伴侣函数B．存在常数，使得与是伴侣函数C．与是伴侣函数D．若，则存在常数，使得与是伴侣函数第(3)题已知集合，定义上两点，，且，则下列说法正确的是（）A．若，，则B．当时，设C为上一点，在△ABC中，若，则C．当时，设C为上一点，则D．若，，设为上一点，其中，则满足的点P有125个三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积，________．第(2)题已知函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，且当时，．若，则______．第(3)题已知A，B，C，D分别为球O的球面上的四点，记的中点为E，且，四棱锥体积的最大值为，则球O的表面积为__________，此时__________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题在中，角，，的对边分别为，，，且．(1)求；(2)若，且，求面积的取值范围．第(2)题已知两个正项数列，满足，．(1)求，的通项公式；(2)用表示不超过的最大整数，求数列的前项和．第(3)题在中，角所对的边分别为，且满足．(1)求角的大小；(2)若，求的面积．第(4)题某县电视台决定于2023年国庆前夕举办“弘扬核心价值观，激情唱响中国梦”全县歌手大奖赛，比赛分初赛演唱部分和决赛问答题部分，各位选手的演唱部分成绩频率分布直方图（1）如下：已知某工厂的6名参赛人员的演唱成绩得分（满分10分）如茎叶图（2）（茎上的数字为整数部分，叶上的数字为小数部分）．(1)根据频率分布直方分布图和茎叶图评估某工厂6名参赛人员的演唱部分的平均水平是否高于全部参赛人员的平均水平？（计算数据精确到小数点后三位数）(2)已知初赛9.0分以上的选手才有资格参加决赛，问答题部分为5组题，选手对其依次回答．累计答对3题或答错3题即结束比赛，答对3题者直接获奖，已知该工厂参赛人员甲进入了决赛且答对每道题的概率为这6位中任意抽取2位演唱得分分差大于0.5的概率，且各题对错互不影响，设甲答题的个数为，求的分布列及的数学期望．第(5)题若一个两位正整数的个位数为4，则称为“好数”.(1)求证：对任意“好数”一定为20的倍数；(2)若，且为正整数，则称数对为“友好数对”，规定：，例如，称数对为“友好数对”，则，求小于70的“好数”中，所有“友好数对”的的最大值.。

江苏省南京市2024高三冲刺（高考数学）统编版模拟(备考卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知为虚数单位，且，则复数的共轭复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限第(2)题若复数z满足，则复数z的虚部是（）A．1B．5C．D．第(3)题终边在轴的正半轴上的角的集合是（）A．B．C．D．第(4)题下列函数中，在区间上单调递增的是（）A．B．C．D．第(5)题已知复数在复平面内对应点的坐标为，则（）A．B．C．D．第(6)题若存在直线与函数，的图像都相切，则实数a的取值范围是（）A．[-e，+∞）B．[-2，+∞）C．[-1，+∞）D．[-，+∞）第(7)题已知集合，，则（）A．B．C．D．第(8)题已知，则的取值范围是（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知复数满足，则（）A．的虚部为B．C．在复平面内对应的点在第四象限D．若复数满足，则第(2)题已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若，为异面直线，，，，，则B．若，，，则C．若，且，，则D．若，，，则第(3)题甲、乙两名篮球运动员连续10场比赛的得分如下表所示，则下列说法正确的有（）场次12345678910甲18202213202710211930乙31020924271328917A．甲的众数大于乙的众数B．甲的平均数大于乙的平均数C．甲的极差大于乙的极差D．甲的60百分位数大于乙的60百分位数三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知实数满足，则的最大值为_________.第(2)题已知圆锥的体积为，若球在圆锥内部，则球体积的最大值为_______.此时圆锥的底面圆的半径为__________.第(3)题已知实数满足，则的最大值为___________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题北京时间2021年11月7日凌晨1点，来自中国赛区的EDG战队，捧起了英雄联盟S11全球总决赛的冠军奖杯．据统计，仅在bilibili平台，S11总决赛的直播就有3.5亿人观看．电子竞技作为正式体育竞赛项目已经引起越来越多的年轻人关注．已知该项赛事的季后赛后半段有四支战队参加，采取“双败淘汰赛制”，对阵表如图，赛程如下：第一轮：四支队伍分别两两对阵（即比赛1和2），两支获胜队伍进入胜者组，两支失败队伍落入败者组．第二轮：胜者组两支队伍对阵（即比赛3），获胜队伍成为胜者组第一名，失败队伍落入败者组；第一轮落入败者组两支队伍对阵（即比赛4），失败队伍（已两败）被淘汰（获得殿军），获胜队伍留在败者组．第三轮：败者组两支队伍对阵（即比赛5），失败队伍被淘汰（获得季军);获胜队伍成为败者组第一名．第四轮：败者组第一名和胜者组第一名决赛（即比赛6），争夺冠军．假设每场比赛双方获胜的概率均为0.5，每场比赛之间相互独立．问：(1)若第一轮队伍A和队伍D对阵，则他们仍能在决赛中对阵的概率是多少？(2)已知队伍B在上述季后赛后半段所参加的所有比赛中，败了两场，求在该条件下队伍B获得亚军的概率．第(2)题已知函数．(1)讨论函数的单调性；(2)当时，求证：．第(3)题已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若，不等式恒成立，求实数a的取值范围.第(4)题已知函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程．(2)设函数，若有两个零点，求实数的取值范围．第(5)题如图，已知直三棱柱中，侧面为正方形，，D，E，F分别为，，的中点，，G为线段上一动点.(1)证明：；(2)求二面角的余弦值的最大值.。

江苏省南京市2024高三冲刺（高考数学）统编版能力评测(预测卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题1748年，瑞士某著名数学家欧拉发现了复指函数和三角函数的关系，并写出以下公式，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据此公式可知，设复数，根据欧拉公式可知，表示的复数的虚部为（）A．B．C．D．第(2)题某人在次射击中击中目标的次数为，其中，击中偶数次为事件A，则（）A．若，则取最大值时B．当时，取得最小值C ．当时，随着的增大而减小D．当的，随着的增大而减小第(3)题复数的共轭复数为（）A．B．C．D．第(4)题一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为A．B．C．D．第(5)题执行如图的程序，若输入，，则输出的值为（）A．B．C．D．第(6)题已知椭圆C：的离心率为，点A，B分别为椭圆C的左、右顶点，D是直线上的一动点．与C交于点P（P在x轴的上方），过A作的垂线交的延长线于点E，当取最大值时，点D的纵坐标为（）A．B．C．D．第(7)题若点是函数图象上任意一点，直线为点处的切线，则直线倾斜角的取值范围是（）A．B．C．D．第(8)题设、、是定义域为的三个函数，对于命题：①若、、均为增函数，则、、中至少有一个增函数；②若、、均是以为周期的函数，则、、均是以为周期的函数，下列判断正确的是A．①和②均为真命题B．①和②均为假命题C．①为真命题，②为假命题D．①为假命题，②为真命题二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知抛物线C：的焦点为F，是C上位于第一象限内的一点，若C在点P处的切线与x轴交于N点，且，则下列说法正确的是（）A．B．以PF为直径的圆与y轴相切C．D．直线OP的斜率为（O为原点）第(2)题关于一组样本数据的平均数、中位数、众数，频率分布直方图和方差，下列说法正确的是（）A．改变其中一个数据，平均数和众数都会发生改变B．频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等C．若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则平均数大于中位数D．样本数据的方差越小，说明样本数据的离散程度越小第(3)题已知i为虚数单位，下列说法正确的是（）A．若复数，则B．若，则C．若，则D．复数在复平面内对应的点为，若，则点的轨迹是一个椭圆三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知函数，则的最大值是______.第(2)题已知等比数列的各项均为正数，且，则___________.第(3)题某校有4名同学到三个社区参加新时代文明实践宣传活动，要求每名同学只去1个社区，每个社区至少安排1名同学，则甲、乙2人被分配到同一个社区的概率________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知以原点为中心的椭圆过点，且与抛物线有相同的焦点．(1)求的标准方程；(2)点在上，过点的切线交于两点，求面积的最大值．第(2)题已知等差数列的公差为4，且，，成等比数列，数列的前n项和为，且.(1)求数列、的通项公式；(2)设，求数列的前n项和.第(3)题设函数.（1）若，求的最小值；（2）若，讨论函数的单调性．第(4)题某公司为了确定下季度的前期广告投入计划，收集并整理了近6个月广告投入量x（单位：万元）和收益y（单位：万元）的数据如表（其中有些数据污损不清）：月份123456广告投入27810量收益203034377301470370他们分别用两种模型①，②进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，得到如图所示的残差图及一些统计量的值.(1)根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪个模型？(2)残差绝对值大于2的数据被认为是异常数据，需要剔除.（ⅰ）剔除异常数据后，求出（1）中所选模型的回归方程；（ⅱ）若广告投入量，则（1）中所选模型收益的预报值是多少万元？（精确到0.01）附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.第(5)题已知，．(1)当时，证明：；(2)若，恒成立，求a的取值范围．。