高中数学第二章2.3.2等比数列的前N项和课后训练

2.3.3 等比数列的前n 项和(一)一、基础过关1．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1,2S 2,3S 3成等差数列，则{a n }的公比为________．2．在等比数列{a n }中，公比q 是整数，a 1＋a 4＝18，a 2＋a 3＝12，则此数列的前8项和为________．3．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2＝______.4．设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4a 2＝______. 5．若等比数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝－512，前n 项和为S n ＝－341，则n 的值是________．6．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 6＝4S 3，则a 4＝________.7．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 2＝6,6a 1＋a 3＝30，求a n 和S n .8．在等比数列{a n }中，已知S n ＝48，S 2n ＝60，求S 3n .二、能力提升9．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和，已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝________.10．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝________. 11．如果数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －1，则此数列的通项公式a n ＝________.12．已知等比数列{a n }中，a 1＝2，a 3＋2是a 2和a 4的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝a n log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .三、探究与拓展13．已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n2n －1的前n 项和．答案1.132.5103.－114.1525.106.3 7．解 设{a n }的公比为q ，由题设得⎩⎨⎧ a 1q ＝6，6a 1＋a 1q 2＝30.解得⎩⎨⎧ a 1＝3，q ＝2或⎩⎨⎧ a 1＝2，q ＝3. 当a 1＝3，q ＝2时，a n ＝3×2n －1， S n ＝a 1 1－q n 1－q ＝3 1－2n 1－2＝3(2n －1)； 当a 1＝2，q ＝3时，a n ＝2×3n －1，S n ＝a 1 1－q n 1－q ＝2 1－3n 1－3＝3n－1.8．解 因为S 2n ≠2S n ，所以q ≠1，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1 1－q n1－q ＝48a 1 1－q 2n1－q ＝60 ①②②÷①得1＋q n ＝54，即q n ＝14.③将③代入①得a 11－q ＝64，所以S 3n ＝a 1 1－q 3n1－q ＝64×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－143＝63.9.314 10.323(1－4－n ) 11.2n －1，n ∈N *12．解 (1)设数列{a n }的公比为q ，由题知：2(a 3＋2)＝a 2＋a 4，∴q 3－2q 2＋q －2＝0，即(q －2)(q 2＋1)＝0.∴q ＝2，即a n ＝2·2n －1＝2n .(2)b n ＝n ·2n ，∴S n ＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n .①2S n ＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1.② ①－②得－S n ＝21＋22＋23＋24＋…＋2n －n ·2n ＋1＝－2－(n －1)·2n ＋1.∴S n ＝2＋(n －1)·2n ＋1.13．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知条件可得⎩⎨⎧ a 1＋d ＝0，2a 1＋12d ＝－10，解得⎩⎨⎧ a 1＝1，d ＝－1.故数列{a n }的通项公式为a n ＝2－n .(2)设数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和为S n ，即S n ＝a 1＋a 22＋…＋a n2n －1， ①故S 1＝1，S n 2＝a 12＋a 24＋…＋a n2n .②所以，当n ＞1时，①－②得S n 2＝a 1＋a 2－a 12＋…＋a n －a n －12n －1－a n2n＝1－(12＋14＋…＋12n －1)－2－n2n＝1－(1－12n －1)－2－n 2n ＝n2n . 所以S n ＝n 2n －1.当n ＝1时也成立． 综上，数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和S n ＝n2n －1.。

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2.3 第2课时等差数列的前n项和(习题课）A级基础巩固一、选择题1．一个等差数列共有2n＋1项，其奇数项的和为512，偶数项的和为480,则中间项为（）A．30 B．31 C．32 D．33解析：中间项为a n＋1.S＝错误!·（n＋1）＝(n＋1）a n＋1＝512.奇S＝错误!·n＝n·a n＋1＝480.偶所以a n＋1＝S奇－S偶＝512－480＝32。

答案：C2．等差数列｛a n｝的公差d＝错误!且S100＝145,则a1＋a3＋a5＋…＋a99的值为（)A．52。

5 B．72.5 C．60 D．85解析：设a1＋a3＋a5＋…＋a99＝x，a2＋a4＋…＋a100＝y,则x＋y＝S100＝145，y－x＝50d＝25.解得x＝60，y＝85.答案：C3．设S n是等差数列{a n}的前n项和,若错误!＝错误!,则错误!为( )A。

错误! B.错误! C。

错误! D.错误!解析：S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9，构成一个新的等差数列,因为S3＝1，S6－S3＝3－1＝2，所以S9－S6＝3，S12－S9＝4。

课时作业(十四) 等比数列前n 项和的性质与数列求和 A 组(限时：10分钟)1．等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( ) A.13 B ．－13C.19 D ．－19解析：设数列{a n }的公比为q ，若q ＝1，则由a 5＝9，得a 1＝9，此时S 3＝27，而a 2＋10a 1＝99，不满足题意，因此q ≠1.∵q ≠1时，S 3＝a 11－q 31－q＝a 1·q ＋10a 1， ∴1－q 31－q＝q ＋10，整理得q 2＝9. ∵a 5＝a 1·q 4＝9，即81a 1＝9，∴a 1＝19. 答案：C2．若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝( )A ．15B ．12C ．－12D ．－15解析：∵a n ＝(－1)n (3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝－1＋4－7＋10－…－25＋28＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋(－25＋28)＝3×5＝15.答案：A3．数列{a n }的通项公式a n ＝11＋2＋3＋…＋n ，则其前n 项和S n ＝( ) A.2n n ＋1 B.n ＋12n C.n ＋1n2 D.n 2＋n ＋2n ＋1解析：∵a n ＝11＋2＋3＋…＋n＝2n n ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， ∴S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1. 答案：A4．等比数列{a n }共有奇数项，所有奇数项和S 奇＝255，所得偶数项和S 偶＝－126，末项是192，则首项a 1＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：设等比数列{a n }共有2k ＋1(k ∈N *)项，则a 2k ＋1＝192，S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2k －1＋a 2k ＋1＝1q (a 2＋a 4＋…＋a 2k )＋a 2k ＋1＝1q S 偶＋a 2k ＋1＝－126q ＋192＝255，解得q ＝－2，而S 奇＝a 1－a 2k ＋1q 21－q 2＝a 1－192×－221－－22＝255，解得a 1＝3.答案：C 5．已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3＝0，S 5＝－5.(1)求{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 2n －1a 2n ＋1的前n 项和． 解：(1)设{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n n －12d . 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧ 3a 1＋3d ＝0，5a 1＋10d ＝－5，解得a 1＝1，d ＝－1.故{a n }的通项公式为a n ＝2－n .(2)由(1)知1a 2n －1a 2n ＋1＝13－2n 1－2n＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3－12n －1， 从而数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 2n －1a 2n ＋1的前n 项和为 12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1－11＋11－13＋…＋12n －3－12n －1 ＝n1－2n .B 组(限时：30分钟)1．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6等于( )A ．2 B.73C.83 D ．3 解析：∵S 6S 3＝S 31＋q 3S 3＝1＋q 3＝3，∴q 3＝2， ∴S 9S 6＝S 31＋q 3＋q 6S 31＋q 3＝1＋2＋41＋2＝73. 答案：B2．设f (n )＝2＋24＋27＋210＋…＋23n ＋1(n ∈N )，则f (n )等于( ) A.27(8n －1) B.27(8n ＋1－1) C.27(8n ＋3－1) D.27(8n ＋4－1) 解析：f (n )＝2[1－23n ＋1]1－23＝27(8n ＋1－1)． 答案：B3．已知等比数列{a n }中，公比q ＝12，且a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝60，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝( )A ．100B ．90C ．120D ．30解析：∵S 奇＝60，q ＝12，∴S 偶＝S 奇·q ＝30， ∴S 100＝S 奇＋S 偶＝90.答案：B4．在数列{a n }中，已知对任意正整数n ，有a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1，那么a 21＋a 22＋…＋a 2n 等于( )A ．(2n －1)2 B.13(2n －1)2 C ．4n －1 D.13(4n －1) 解析：由S n ＝2n －1，可得a n ＝2n －1，∴a 2n ＝4n －1，∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1－4n1－4＝13(4n －1)． 答案：D5．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋n ＋2n (n ∈N *)，则a n 为( )A.n n －12＋2n －1－1 B.n n －12＋2n －1 C.n n ＋12＋2n ＋1－1 D.n n －12＋2n ＋1－1解析：解法一：当n ＝1时，a 1＝1，可以排除A 、C 、D ，∴选B.解法二：∵a n ＋1－a n ＝n ＋2n ，∴a n ＝(a n －a n ＋1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝(n －1)＋2n －1＋(n －2)＋2n －2＋…＋1＋21＋1＝(1＋2＋…＋n )＋(2＋22＋…＋2n －1)＝n n －12＋2n－1.答案：B6．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ，则a n 等于( ) A ．2＋ln n B ．2＋(n －1)ln nC ．2＋n ln nD ．1＋n ＋ln n解析：∵a n ＋1－a n ＝ln(n ＋1)－ln n ，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)…＋(a 2－a 1)＋a 1＝ln n －ln1＋2＝2＋ln n .答案：A7．在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝2，a 3＋a 4＝4，则a 5＋a 6＝________. 解析：∵a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6成等比数列，∴a 5＋a 6＝8.答案：88．若数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N ＋)，则a 5＝________；前8项的和S 8＝________.(用数字作答)解析：由a 1＝1，a n ＋1＝2a n 知a n ＝2n －1，故a 5＝24＝16，S 8＝1－281－2＝255. 答案：16 2559．已知数列{a n }的前n 项和满足log 2(S n ＋1)＝n ＋1，则a n ＝________. 解析：由S n ＋1＝2n ＋1得S n ＝2n ＋1－1，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3n ＝12nn ≥2)答案：⎩⎪⎨⎪⎧3n ＝12n n ≥2) 10．已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，a 1＝1且a 1，a 3，a 9成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{2a n }的前n 项和． 解：(1)由题设知公差d ≠0，由a 1，a 3，a 9成等比数列得1＋2d 1＝1＋8d 1＋2d . 解得d ＝1或d ＝0(舍去)，故{a n }的通项a n ＝1＋(n －1)×1＝n . (2)由(1)知2a n ＝2n， ∴S n ＝2＋22＋23＋…＋2n ＝21－2n 1－2＝2n ＋1－2.11．已知数列{a n }是首项a 1＝4，公比q ≠1的等比数列，S n 是其前n 项和，且4a 1，a 5，－2a 3成等差数列．(1)求公比q 的值；(2)设A n ＝S 1＋S 2＋S 3＋…＋S n ，求A n .解：(1)由已知2a 5＝4a 1－2a 3，即2a 1·q 4＝4a 1－2a 1·q 2，∵a 1≠0，整理得，q 4＋q 2－2＝0，解得q 2＝1，即q ＝1或q ＝－1，又∵q ≠1，∴q ＝－1.(2)S n ＝4[1－－1n ]1－－1＝2－2(－1)n ，∴A n ＝S 1＋S 2＋…＋S n＝2n －2·－1[1－－1n ]1－－1＝2n ＋1－(－1)n .12．等差数列{a n }的各项均为正数，a 1＝3，前n 项和为S n ，{b n }为等比数列，b 1＝1，且b 2S 2＝64，b 3S 3＝960.(1)求a n 与b n ；(2)求1S 1＋1S 2＋…＋1S n. 解：(1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则d 为正数．a n ＝3＋(n －1)d ，b n ＝q n －1，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ S 2b 2＝6＋d q ＝64，S 3b 3＝9＋3d q 2＝960，解得⎩⎪⎨⎪⎧ d ＝2q ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧ d ＝－65q ＝403(舍去)．故a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，b n ＝8n －1.(2)S n ＝3＋5＋…＋(2n ＋1)＝n (n ＋2)．所以1S 1＋1S 2＋…＋1S n＝11×3＋12×4＋13×5＋…＋1n n ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2 ＝34－2n ＋32n ＋1n ＋2.。

等比数列前n 项和的性质及应用(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.已知a n ＝(－1)n，数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 9与S 10的值分别是( ) A.1,1 B.－1，－1 C.1,0 D.－1,0【解析】 法一：S 9＝－1＋1－1＋1－1＋1－1＋1－1＝－1.S 10＝S 9＋a 10＝－1＋1＝0.法二：数列{a n }是以－1为首项，－1为公比的等比数列，所以S 9＝－－－91－－＝－1×22＝－1，S 10＝－－－101－－＝0.【答案】 D2.已知等比数列的公比为2，且前5项和为1，那么前10项和等于( ) A.31 B.33 C.35D.37【解析】 根据等比数列性质得S 10－S 5S 5＝q 5， ∴S 10－11＝25，∴S 10＝33.【答案】 B3.如果数列{a n }满足a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1是首项为1，公比为2的等比数列，那么a n ＝( )A.2n－1 B.2n －1－1C.2n ＋1D.4n－1【解析】 a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝－2n1－2＝2n－1.【答案】 A4.在等比数列{a n }中，如果a 1＋a 2＝40，a 3＋a 4＝60，那么a 7＋a 8＝( )【导学号：18082104】A.135B.100C.95D.80【解析】 法一：由等比数列的性质知a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6，a 7＋a 8成等比数列， 其首项为40，公比为6040＝32.∴a 7＋a 8＝40×⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝135. 法二：由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝40，a 3＋a 4＝60，得q 2＝32，所以a 7＋a 8＝q 4(a 3＋a 4)＝60×94＝135.【答案】 A5.设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和，已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5等于( )A.152 B.314 C.334 D.172【解析】 设{a n }的公比为q ，由题意知q ＞0，a 2a 4＝a 23＝1，即a 3＝1，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝1q 2＋1q ＋1＝7，即6q 2－q －1＝0，解得q ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫q ＝－13＜0舍去，所以a 1＝1q 2＝4，所以S 5＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1251－12＝8×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－125＝314. 【答案】 B 二、填空题6.等比数列{a n }共有2n 项，它的全部各项的和是奇数项的和的3倍，则公比q ＝________.【解析】 设{a n }的公比为q ，则奇数项也构成等比数列，其公比为q 2，首项为a 1，S 2n ＝a 1－q 2n1－q，S 奇＝a 1[1－q 2n]1－q2.由题意得a 1－q 2n1－q＝3a 1－q 2n1－q2.∴1＋q ＝3，∴q ＝2. 【答案】 27.数列11,103,1 005,10 007，…的前n 项和S n ＝________. 【解析】 数列的通项公式a n ＝10n＋(2n －1).所以S n ＝(10＋1)＋(102＋3)＋...＋(10n ＋2n －1)＝(10＋102＋ (10))＋[1＋3＋…＋(2n －1)]＝－10n1－10＋n＋2n －2＝109(10n －1)＋n 2. 【答案】109(10n －1)＋n 28.如果lg x ＋lg x 2＋…＋lg x 10＝110，那么lg x ＋lg 2x ＋…＋lg 10x ＝________.【导学号：18082105】【解析】 由已知(1＋2＋…＋10)lg x ＝110， ∴55lg x ＝110.∴lg x ＝2.∴lg x ＋lg 2x ＋…＋lg 10x ＝2＋22＋…＋210＝211－2＝2 046. 【答案】 2046 三、解答题9.设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且数列{S n }是以2为公比的等比数列. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1. 【解】 (1)∵S 1＝a 1＝1，且数列{S n }是以2为公比的等比数列， ∴S n ＝2n －1.又当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1－2n －2＝2n －2.当n ＝1时a 1＝1，不适合上式，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －2，n ≥2.(2)a 3，a 5，…，a 2n ＋1是以2为首项，以4为公比的等比数列， ∴a 3＋a 5＋…＋a 2n ＋1＝－4n1－4＝n－3，∴a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1＝1＋n －3＝22n ＋1＋13. 10.已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且b 2＝3，b 3＝9，a 1＝b 1，a 14＝b 4. (1)求{a n }的通项公式；(2)设c n ＝a n ＋b n ，求数列{c n }的前n 项和.【解】 (1)设等比数列{b n }的公比为q ，则q ＝b 3b 2＝93＝3，所以b 1＝b 2q＝1，b 4＝b 3q ＝27，所以b n ＝3n －1(n ＝1,2,3，…).设等差数列{a n }的公差为d .因为a 1＝b 1＝1，a 14＝b 4＝27，所以1＋13d ＝27，即d ＝2. 所以a n ＝2n －1(n ＝1,2,3，…). (2)由(1)知a n ＝2n －1，b n ＝3n －1，因此c n ＝a n ＋b n ＝2n －1＋3n －1.从而数列{c n }的前n 项和S n ＝1＋3＋…＋(2n －1)＋1＋3＋…＋3n －1＝n＋2n －2＋1－3n 1－3＝n 2＋3n－12. [能力提升]1.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10∶S 5＝1∶2，则S 15∶S 5＝( ) A.3∶4 B.2∶3 C.1∶2 D.1∶3【解析】 在等比数列{a n }中，S 5，S 10－S 5，S 15－S 10，…成等比数列，因为S 10∶S 5＝1∶2，所以S 5＝2S 10，S 15＝34S 5，得S 15∶S 5＝3∶4，故选A.【答案】 A2.设数列{a n }的前n 项和为S n ，称T n ＝S 1＋S 2＋…＋S nn为数列a 1，a 2，a 3，…，a n 的“理想数”，已知数列a 1，a 2，a 3，a 4，a 5的理想数为2 014，则数列2，a 1，a 2，…，a 5的“理想数”为( )A.1 673B.1 675C.5 0353D.5 0413【解析】 因为数列a 1，a 2，…，a 5的“理想数”为2 014，所以S 1＋S 2＋S 3＋S 4＋S 55＝2014，即S 1＋S 2＋S 3＋S 4＋S 5＝5×2 014，所以数列2，a 1，a 2，…，a 5的“理想数”为2＋＋S 1＋＋S 2＋…＋＋S 56＝6×2＋5×2 0146＝5 0413.【答案】 D3.已知首项为32的等比数列{a n }不是递减数列，其前n 项和为S n (n ∈N ＋)，且S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列，则a n ＝________.【导学号：18082106】【解析】 设等比数列{a n }的公比为q ，由S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列，所以S 5＋a 5－S 3－a 3＝S 4＋a 4－S 5－a 5，即4a 5＝a 3，于是q 2＝a 5a 3＝14.又{a n }不是递减数列且a 1＝32，所以q ＝－12.故等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×－12n －1＝(－1)n －1×32n . 【答案】 (－1)n －1×32n 4.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1(n ∈N ＋)，等差数列{b n }中，b n ＞0(n ∈N ＋)，且b 1＋b 2＋b 3＝15，又a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3成等比数列.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n .【解】 (1)∵a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1(n ∈N ＋)， ∴a n ＝2S n －1＋1(n ∈N ＋，n ＞1)，∴a n ＋1－a n ＝2(S n －S n －1)，即a n ＋1－a n ＝2a n ， ∴a n ＋1＝3a n (n ∈N ＋，n ＞1). 而a 2＝2a 1＋1＝3，∴a 2＝3a 1.∴数列{a n }是以1为首项，3为公比的等比数列， ∴a n ＝3n －1(n ∈N ＋).∴a 1＝1，a 2＝3，a 3＝9，在等差数列{b n }中，∵b 1＋b 2＋b 3＝15，∴b 2＝5. 又∵a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3成等比数列， 设等差数列{b n }的公差为d ， 则有(a 1＋b 1)(a 3＋b 3)＝(a 2＋b 2)2.∴(1＋5－d )(9＋5＋d )＝64，解得d ＝－10或d ＝2， ∵b n ＞0(n ∈N ＋)，∴舍去d ＝－10，取d ＝2， ∴b 1＝3，∴b n ＝2n ＋1(n ∈N ＋).(2)由(1)知T n ＝3×1＋5×3＋7×32＋…＋(2n －1)·3n －2＋(2n ＋1)3n －1， ① ∴3T n ＝3×3＋5×32＋7×33＋…＋(2n －1)3n －1＋(2n ＋1)3n，②∴①－②得－2T n ＝3×1＋2×3＋2×32＋2×33＋…＋2×3n －1－(2n ＋1)3n ＝3＋2(3＋32＋33＋…＋3n－1)－(2n ＋1)3n＝3＋2×3－3n1－3－(2n ＋1)3n ＝3n －(2n ＋1)3n ＝－2n ·3n，∴T n ＝n ·3n.。

第 1 课时等比数列的前n 项和课后篇稳固研究1已知数列 { n} 的通项公式是n 2n,A 组项和, 则10等于().n 是数列{an}的前na a =S SA.10B.210C.a10- 2D.211- 2分析∵=2,∴数列{ a n}是公比为2的等比数列,且 a1=2.∴S10 ==211- 2.答案 D2 .在等比数列 {n}中, 2 9, 5 243,则{a n}的前4项和为()a a = a =A.81B.120C.168D.192分析由于=27=q3,所以 q=3, a1= =3, S4 ==120.答案 B3.已知等比数列 { a } 的前n项和为S, 且a +a =, a +a =, 则=()n n1324A.4n- 1B.4n- 1C.2 n- 1D.2 n- 1分析设公比为 q,则 q=,于是 a1+a1=,所以 a1=2,于是 S n==4, 而a n=2, 于是=2n- 1.答案 D4.在 14 与之间插入n 个数构成一个等比数列, 若各项总和为, 则此数列的项数为()A.4B.5C.6D.7分析a1=14, a n+2=,S n+ 2=,解得 q=-. 所以 a n+2=14·,解得 n=3. 故数列共5.答案 B5.已知首1, 公比的等比数列{ a n} 的前n和S n, ()A.S n=2a n- 1B.S n=3a n- 2C.S n=4- 3a nD.S n=3- 2a n分析在等比数列 { a n} 中 , S n==3- 2a n.答案 D6.于等比数列 { a n}, 若a1=5, q=2, S n=35, a n=.分析由 S n=, 得a n==20.答案 207.在等比数列 { a n} 中 , 前n和S n, 若a3=2S2+1, a4=2S3+1, 公比q=.分析因 a3=2S2+1, a4=2S3+1,两式相减,得 a4-a 3=2a3,即 a4=3a3,所以 q==3.答案 38.数列, ⋯,的前n和S n=.分析∵S n=+⋯ +,①S n=+⋯ +,②由① - ②,得 S n=+⋯ +=1-,∴S n=2-.答案 2-9. 已知等比数列 { a } 足 a =12, a =, 其前 n 和 S . (1)求数列 { a } 的通 公式 a ;( 2)n3 8nnn若 S n =93, 求 n.解 (1) 等比数列 { a n } 的公比q ,解得所以n1n- 148·.a =a q = (2) S n = =96.由 S n =93, 得 96=93, 解得 n=5.10.学号 04994046 已知等差数列 n2- 3x+2=0{ a } 的首 a , 公差 b , 方程 ax的解 1 和 b ( b ≠1) .(1) 求数列 { a n } 的通 公式 ;(2)nT n .若数列 { a n } 足 b n =a n ·2, 求数列 { b n } 的前 n 和解 (1) 因 方程 ax 2- 3x+2=0 的两根 x 1=1, x 2=b ,可得解得所以n21.a = n-(2) 由 (1)n得 b =(2 n- 1) ·2,n所以 T n =b 1+b 2+⋯+b n =1×2+3×22+⋯ +(2 n- 1) ·2n ,①2 1 2 23 3 ⋯ (2 3) n n+1 × × 2 ·2 (21)·2 , ②n由①-②, 得-T n =1×2+2×22+2×23+⋯ +2·2n - (2 n- 1) ·2n+1=2(2 +22+23 +⋯+2n ) - (2 n- 1) ·2n+1- 2=2·- (2n- 1) ·2n+1- 2=(3 - 2n ) ·2n+1- 6. 所以 T n =(2 n- 3) ·2n+1+6.B1. 等比数列 { a n } 的前 n 和 S n , 若 S 2n =3( a 1+a 3+⋯ +a 2n- 1), a 1a 2a 3=8, S n =( )A.2 n - 1B.2 n- 1- 1n+ 1n+1C.2- 1 D.2分析 然q ≠1, 由已知 , 得 3 ,= ×整理 , 得q=2.因 a1a2a3=8,所以=8,所以 a2=2,进而 a1=1.n于是 S n==2 - 1.2 .已知数列 { n} 是首 1 的等比数列 ,n 是{n}的前n和,且 9 3 6,数列的前 5a S a S=S和()A.或5B.或5C.D.分析由意易知公比q≠1.由 9S3=S6, 得 9·, 解得q=2.所以是首 1, 公比的等比数列.所以其前 5 和S5=.答案 C3.在等比数列 {a}中,1 2⋯527,⋯3, 3 ()nA.±9B.9C. ±3D.3分析公比 q,由已知可得两式相除 , 得4即3q =9,=9,所以 a =±3.答案 C4.若等比数列 { a } 的前n和S , 且S , S , S成等差数列 , { a } 的公比q=.n n132n2分析由意 , 得a1+( a1+a1q) =2( a1+a1q+a1q ), 又a1≠0, q≠0, 故q=-.5.1++⋯+=.分析S n=1++⋯ +,S n=+⋯ +, 两式相减 , 得S n=1++⋯ +.所以 S n=3-.答案 3-6.若等比数列 { a n} 的前n和S n, 且S3+S6=2S9 , 公比q等于.分析若 q=1, S3+S6=3a1+6a1=9a1≠2S9.∴q≠1,∴,即 2 q9-q6-q3=0, ∴q3(2 q6-q3- 1)=0.∵q≠0,∴2q6-q 3- 1=0,∴( q3- 1)(2 q3+1) =0,∴q3=- 或 q3=1(舍),∴q=-.答案 -7.已知等比数列{ a n} 的各均正数, 且 2a1+3a2=1,=9a4a8.(1)求数列 { a n} 的通公式 ;(2)b n=a n-a n- 1,求数列{ b n}的前 n 和 S n.解 (1){ a n} 的公比q,由=9a4a8,得( a1q4)2=9a1q3·a1q7,即 q8=9 q10,所以 q2=.因 { a n} 的各均正数, 所以q>0, 所以q=.又因 2a1+3a2=1, 所以 2a1+3a1·=1, 解得a1=,故 a n=, 即a n=.(2) 由 (1)得nn n- 1==-,b =a -a所以 { b n} 是首- , 公比的等比数列,所以其前n 和 S n=- 1.8.学号 04994047已知数列 { a n} 的前n和S n=a n+n2- 1, 数列 { b n} 足3n·b n+1=( n+1) a n+1-na n, 且b1=3.(1)求 a n, b n;(2)T n数列{ b n}的前 n 和,求 T n.解 (1) 当n≥2 , S n=a n+n2- 1, S n-1=a n- 1+( n- 1)2- 1,两式相减 , 得a n=a n-a n- 1+2n- 1, ∴a n- 1=2n- 1.∴a n=2n+1.∴3n·b n+1=( n+1)(2 n+3) -n (2 n+1) =4n+3.∴b n+1=,∴当≥2 ,n.又 1 3合适上式, n b = b =∴b n=.(2) 由 (1) 知b n=,∴T n=+⋯ +, ①T n=+⋯ +, ②①- ②, 得n 3⋯T = ++ +=3+4·=5-.∴T n=.。

2.3.2 等比数列的前n 项和双基达标限时20分钟1．在等比数列{a n }(n ∈N *)中，若a 1＝1，a 4＝18，则该数列的前10项和为 ( )．A ．2－128B ．2－129C ．2－1210 D ．2－1211 解析 ∵a 1＝1，a 4＝18，a 4＝a 1q 3，∴q 3＝18，q ＝12.∴S 10＝1·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12101－12＝2－129.答案 B2．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2＝ ( )．A ．11B ．5C ．－8D ．－11解析 设数列的公比为q ，则8a 1q ＋a 1q 4＝0，解得q ＝－2，∴S 5S 2＝a 11－q 51－q a 11－q 21－q＝1－q51－q2＝－11，故选D. 答案 D3．在14与78之间插入n 个数组成等比数列，若各项总和为778，则此数列的项数为( )．A ．4B ．5C ．6D ．7解析 a 1＝14，a n ＋2＝78.∴S n ＋2＝14－78q1－q ＝778，∴q ＝－12.∴a n ＋2＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＋1＝78，∴n ＝3.答案 B4．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 4＝10，S 8＝110，则S 12＝ . 解析 S 4，S 8－S 4，S 12－S 8…成等比数列且首项为S 4＝10，公比q ＝S 8－S 4S 4＝10. ∴S 12－S 8＝10(S 8－S 4)＝1 000.∴S 12＝1 110.答案 1 1105．已知数列前n 项和S n ＝2n－1，则此数列奇数项的前n 项和为 . 解析 由S n ＝2n－1知数列{a n }是首项为a 1＝1，公比为q ＝2的等比数列． ∴所有奇数项构成1为首项，4为公比的等比数列． ∴前n 项和为13(22n－1)．答案 13(22n－1)6．一个项数为偶数的有穷等比数列的首项为1，奇数项的和为85，偶数项和为170，求数列的公比及项数．解 法一 设原等比数列的公比为q ，项数为2n (n ∈N ＋)，由已知a 1＝1，q ≠1，且有⎩⎪⎨⎪⎧85＝a 11－q 2n 1－q2170＝a21－q2n1－q2，即⎩⎪⎨⎪⎧1－q2n1－q 2＝85， ①q 1－q2n1－q2＝170. ②②÷①得q ＝2，∴1－4n1－4＝85.∴4n＝256，∴n ＝4，故公比为2，项数为8. 法二 设项数为n . ∵等比数列的项数为偶数，S n ＝S 奇＋S 偶，则S 奇＝a 1＋a 3＋a 5＋…＋a n －1，S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a n ＝a 1q ＋a 3q ＋a 5q ＋…＋a n －1q＝q (a 1＋a 3＋a 5＋…＋a n －1)＝q ·S 奇， ∴85q ＝170，∴q ＝2， 又∵S n ＝85＋170＝255，∴a 11－q n 1－q ＝255，∴1－2n1－2＝255，∴2n＝256，∴n ＝8，故公比q ＝2，项数n ＝8.综合提高限时25分钟7．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝x ·3n －1－16，则x 的值为 ( )．A.13 B ．－13C.12D ．－12解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝x －16，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝x ·3n －1－x ·3n －2＝2x ·3n －2.∵{a n }是等比数列， ∴n ＝1时也适合a n ＝2x ·3n －2，∴2x ·3－1＝x －16，解得x ＝12.答案 C8．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝( )．A ．16(1－4－n) B ．16(1－2－n) C.323(1－4－n) D.323(1－2－n) 解析 ∵q 3＝a 5a 2＝18，∴q ＝12，a 1＝4，数列{a n ·a n ＋1}是以8为首项，14为公比的等比数列，不难得出答案为C.答案 C9．在等比数列{a n }中，若a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝3116，a 3＝14，1a 1＋1a 2＋1a 3＋1a 4＋1a 5＝ .解析 a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝a 3q 2＋a 3q＋a 3＋a 3q ＋a 3q 2＝a 3(1q 2＋1q ＋1＋q ＋q 2)＝3116，∴1q 2＋1q ＋1＋q ＋q 2＝314， ∴1a 1＋1a 2＋1a 3＋1a 4＋1a 5＝1a 3(q 2＋q ＋1＋1q ＋1q2)＝4×314＝31.答案 3110．在等比数列{a n }中，公比q ＝2，前99项的和S 99＝30，则a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99＝ .解析 ∵S 99＝30，即a 1(299－1)＝30，数列a 3，a 6，a 9，…，a 99也成等比数列且公比为8， ∴a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99＝4a 11－8331－8＝4a 1299－17＝47×30＝1207.答案120711．等比数列{a n }中，已知a 1＝2，a 4＝16， (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若a 3，a 5分别为等差数列{b n }的第3项和第5项，试求数列{b n }的通项公式及前n 项和S n .解 (1)设{a n }的公比为q ，由已知得16＝2q 3，解得q ＝2， ∴a n ＝2n.(2)由(1)得a 3＝8，a 5＝32， 则b 3＝8，b 5＝32. 设{b n }的公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧b 1＋2d ＝8，b 1＋4d ＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝－16，d ＝12.从而b n ＝－16＋12(n －1)＝12n －28， 所以数列{b n }的前n 项和S n ＝n －16＋12n －282＝6n 2－22n .12．(创新拓展)设{a n }为等比数列，T n ＝na 1＋(n －1)a 2＋…＋2a n －1＋a n ，已知T 1＝1，T 2＝4.(1)求数列{a n }的首项和公比； (2)求数列{T n }的通项公式． 解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ， 则T 1＝a 1，T 2＝2a 1＋a 2＝a 1(2＋q )． 又T 1＝1，T 2＝4， ∴a 1＝1，q ＝2.(2)由(1)知：a 1＝1，q ＝2， ∴a n ＝2n －1.∴T n ＝n ·1＋(n －1)·2＋…＋2·2n －2＋1·2n －1，①2T n ＝n ·2＋(n －1)·22＋…＋2·2n －1＋1·2n.②②－①得：T n ＝－n ＋2＋22＋…＋2n －1＋2n＝－n ＋2－2·2n1－2＝2n ＋1－(n ＋2)．。

2.3.2 等比数列的前n项和一课一练一．选择题1．等比数列{a n}中，已知前4项之和为1，前8项和为17，则此等比数列的公比q为() A．2B．－2 C．2或－2 D．2或－12．设{a n}是由正数组成的等比数列，S n为其前n项和，已知a2a4＝1，S3＝7，则S5＝()A.152B.314C.334D.1723．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S2＝3，S6＝63，则S4＝() A．33 B．18 C．15 D．124．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S6S3=3，则S9S6=()A．2 B.73C.83D．35．等比数列{a n}中，a3＝7，前三项之和S3＝21，则公比q的值为()A．1 B．－12C．1或－12D．－1或126．已知等比数列前20项和是21，前30项和是49，则前10项和是() A．7 B．9 C．63 D．7或63二．填空题7．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝1，S6＝4S3，则a4＝________.8．已知等比数列{a n}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________.9．若等比数列{a n}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝_______，前n项和S n＝_______.三．解答题10．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，S3，S2成等差数列．(1) 求{a n}的公比q；(2) 若a1－a3＝3，求S n.11．设S n为等比数列{a n}的前n项和，已知S4＝1，S8＝17，求S n.12. 国家计划在西部地区退耕还林6 370万亩，2004年底西部已退耕还林的土地面积为515万亩，以后每年退耕还林的面积按12%递增．(1) 试问从2004年底，到哪一年底西部地区才能完成退耕还林计划？(1.128≈2.476，1.127≈2.211)(精确到年)(2) 为支持退耕还林工作，国家财政从2005年起补助农民当年退耕地每亩300斤粮食，每斤粮食按0.7元折算，并且补助当年退耕地每亩20元．试问：西部完成退耕还林计划，国家财政共需支付多少亿元？(精确到亿元)一课一练参考答案一．选择题1．【答案】C【解析】S4＝1，S8＝S4＋q4·S4＝1＋q4＝17 ∴q＝±2. 2．【答案】B【解析】∵{a n}是正数组成的等比数列∴a3＝√a2a4＝1，又S3＝7 ∴{a1q2=1a1(1−q3)1−q=7，解得q＝12，a1＝4 ∴S5＝4(1−125)1−12＝314.3．【答案】C【解析】等比数列{a n}中S2，S4－S2，S6－S4成等比数列，∴(S4－3)2＝3(63－S4)，解得S4＝15.4．【答案】B【解析】∵S6S3=3∴S6＝3S3∴S6−S3S3=2，∵S3，S6－S3，S9－S6成等比∴S9−S6S3＝22∴S9＝4S3＋S6＝7S3∴S9S3＝7S33S3＝73故选B.5．【答案】C【解析】当q＝1时，满足题意．当q≠1时，由题意得{a1q2=7a1(1−q3)1−q=21，解得q=−12，故选C.6．【答案】D【解析】由S10，S20－S10，S30－S20成等比数列得(S20－S10)2＝S10·(S30－S20)，即(21－S10)2＝S10(49－21) ∴S10＝7或63.二．填空题7．【答案】3【解析】若q＝1时，S3＝3a1，S6＝6a1，显然S6≠4S3，故q≠1，∴a1(1−q 6)1−q =4∙a1(1−q3)1−q，整理得1＋q3＝4，即q3＝3 ∴a4＝a1q3＝38．【答案】2【解析】由题意，得{S奇+S偶=−240S奇−S偶=80 ，解得S奇=−80，S偶=−160.∴ q=S偶S奇=29．【答案】2 S n ＝2n ＋1－2【解析】∵ a 3＋a 5＝q (a 2＋a 4) ∴ 40＝20q ∴ q ＝2， 再根据a 2＋a 4＝a 1q ＋a 1q 3＝20有a 1＝2 ∴ a n ＝2n再利用求和公式可以得到S n ＝2n ＋1－2. 三．解答题10．【解析】(1) ∵ S 1，S 3，S 2成等差数列，2S 3＝S 1＋S 2 ∴ q ＝1不满足题意． ∴ 2a 1(1−q 3)1−q ＝a 1＋a 1(1−q 2)1−q，解得q ＝－12. (2) 由(1)知q ＝−12，又a 1－a 3＝a 1－a 1q 2＝34a 1＝3 ∴ a 1＝4.∴ S n ＝4[1−(−12)n]1−(−12)＝83[1－(－12)n ].11．【解析】设{a n }公比为q ，由S 4＝1，S 8＝17，知q ≠1 ∴{a 1(1−q 4)1−q =1 a 1(1−q 8)1−q =17， 两式相除并化简，得q 4＋1＝17，即q 4＝16,解得q ＝±2， ∴ 当q ＝2时，a 1＝115，S n ＝115(1−2n )1−2＝115(2n －1)； 当q ＝－2时，a 1＝－15，S n ＝−15[1−(−2)n ]1−(−2)＝115[(−)2n －1)]．12.【解析】（1）设从2004年底起以后每年退耕还林的土地依次为a 1，a 2，a 3，…，a n ， 万亩．则a 1＝515(1＋12%)，a 2＝515(1＋12%)2，…，a n ＝515(1＋12%)n ， S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝515(1+0.12)(1−1.12n )1−1.12＝6 370－515由515×1.12×(1.12n －1)＝5 855×0.12 得1.12n ＝2.22，解得n ＝7. 故到2011年底西部地区才能完成退耕还林计划．(2)设财政补助费为W 亿元．则W ＝(300×0.7＋20)×(6 370－515)×10－4＝134.6(亿元) ∴ 西部完成退耕还林计划，国家财政共需支付134.6亿元.。

【高二数学学案】2.3.2 等比数列的前n 项和一、学习目标1．掌握等比数列前n 项和公式的推导方法。

2．会用等比数列前n 项和公式解决一些简单问题。

二、自主学习问题1．阅读教材后，完成下面等比数列前n 项和公式的推导过程。

设等比数列1a ，2a ，3a ，…，n a ，…，它的前n 项和n n a a a a S ++++= 321，由等比数列的通项公式可将n S 写成：112111-+++=n n q a q a q a a S 。

① 则 。

② 由①－②得：（1－q ）=n S 。

当1≠q 时，=n S 。

因为11-=n n q a a ，所以n S 可以用1a ，q ，n a 表示为=n S 。

当1=q 时，由于1a =2a =…=n a ，所以=n S 。

所以，等比数列的前n 项和公式为：=n S注：应用该公式时，一定不要忽略1=q 的情况。

问题2．运用以上方法，求数列{}nn 2⋅的前n 项和，设n n n S 2232221321⨯++⨯+⨯+⨯= ① ∴=n S 2 ② ②－① =-n n S S 2 即=n S =三、典型例题例1．（A ）根据下列条件，求等比数列{}n a 的前n 项和n S 。

（1）6,2,31===n q a （2）21,21,81===n a q a例2．（A ）在等比数列{}n a 中， （1）若45,106431=+=+a a a a ，求4a 和5a （2）若1,24==S q ，求8S 。

例3．（B ）阅读课本P50例3，完成下题。

求和：)()3()2()1(32n a a a a n -++-+-+-四、作业1．（A ）等比数列1，x ，2x ，3x ，…（0≠x ）的前n 项和n S 为（ ）A ．x x n--11 B ．xx n ---111C． n x x x n )1(11≠-- D ．nx x x n )1(111≠---2．（A ）等比数列{}n a 的各项是正数，若16,8151==a a ，则它的前5项和是（ ）A ．179B ．211C ．243D ．275 3．（B ）等比数列{}n a 中，73=a ，前3项和213=S ，则公比=q （ ）A ．1B ．－0.5C ．1或－0.5D ．－1或0.5 4.（A ）在等比数列｛a n ｝中： （1）已知a 1=-1.5，a 4=96，则q= ，Sn= ；（2）已知a 1=2，Sn=26，则q= ，a 3= ；（3）已知517,328q S ==，则a 1= ，a 4= ；（4）已知a 3=-4，a 6=6，则q= ，S 5= 。

2.3.2 等比数列的前n 项和(二)基础过关1.在等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n 等于( )A.2n ＋1－2B.3nC.2nD.3n －1 答案 C解析 ∵数列{a n }为等比数列，∴a n ＝2q n －1，又∵数列{a n ＋1}也是等比数列，则(a n ＋1＋1)2＝(a n ＋1)(a n ＋2＋1) ,∴a 2n ＋1＋2a n ＋1＝a n a n ＋2＋a n ＋a n ＋2,∴a n ＋a n ＋2＝2a n ＋1,∴a n (1＋q 2－2q )＝0,∴q ＝1.∴a n ＝2，∴S n ＝2n .故选C.2.设{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和，若{S n }是等差数列，则q 等于( )A.1B.0C.1或0D.－1答案 A解析 ∵S n －S n －1＝a n ，又{S n }是等差数列，∴a n 为定值，即数列{a n }为常数列，∴q ＝a n a n －1＝1. 3.记等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝2，S 6＝18，则S 10S 5等于( ) A.－3B.5C.－31D.33答案 D 解析 由题意知公比q ≠1，S 6S 3＝a 1（1－q 6）1－q a 1（1－q 3）1－q＝1＋q 3＝9， ∴q ＝2，S 10S 5＝a 1（1－q 10）1－q a 1（1－q 5）1－q＝1＋q 5＝1＋25＝33.4.命题1：若数列{a n }的前n 项和S n ＝a n ＋b (a ≠1)，则数列{a n }是等比数列；命题2：若数列{a n }的前n 项和S n ＝an 2＋bn ＋c (a ≠0)，则数列{a n }是等差数列；命题3：若数列{a n }的前n 项和S n ＝na －n ，则数列{a n }既是等差数列，又是等比数列.上述三个命题中，真命题有( )A.0个B.1个C.2个D.3个答案 A解析 命题1：a 1＝a ＋b ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(a －1)·a n －1.若{a n }是等比数列，则a 2a 1＝a ，即a （a －1）a ＋b ＝a ， 所以只有当b ＝－1且a ≠0时，此数列才是等比数列； 命题2：a 1＝a ＋b ＋c ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2na ＋b －a ，若{a n }是等差数列，则a 2－a 1＝2a ，即2a －c ＝2a ，所以只有当c ＝0时，数列{a n }才是等差数列；命题3：a 1＝a －1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝a －1， 显然{a n }是一个常数列，即公差为0的等差数列，因此只有当a －1≠0，即a ≠1时数列{a n }是等比数列.5.等比数列{a n }共2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝________.答案 2解析 根据题意得⎩⎨⎧S 奇＋S 偶＝－240，S 奇－S 偶＝80，∴⎩⎨⎧S 奇＝－80，S 偶＝－160.∴q ＝S 偶S 奇＝－160－80＝2. 6.已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝________.答案 323(1－4－n )解析 ∵a 5a 2＝q 3＝18，∴q ＝12，a 1＝4，∴a n ·a n ＋1＝4·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1·4·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝25－2n ， 故a 1a 2＋a 2a 3＋a 3a 4＋…＋a n a n ＋1＝23＋21＋2－1＋2－3＋…＋25－2n ＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14＝323(1－4－n ).7.在等比数列{a n }中，已知S 30＝13S 10，S 10＋S 30＝140，求S 20的值. 解 ∵S 30≠3S 10，∴q ≠1.由⎩⎨⎧S 30＝13S 10，S 10＋S 30＝140，∴⎩⎨⎧S 10＝10，S 30＝130，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1（1－q 10）1－q ＝10，a 1（1－q 30）1－q ＝130，∴q 20＋q 10－12＝0.∴q 10＝3， ∴S 20＝a 1（1－q 20）1－q＝S 10(1＋q 10)＝10×(1＋3)＝40. 能力提升8.设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和，已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5等于( )A.152B.314C.334D.172答案 B解析 ∵{a n }是由正数组成的等比数列，且a 2a 4＝1， ∴设{a n }的公比为q ，则q >0，且a 23＝1，即a 3＝1.∵S 3＝7，∴a 1＋a 2＋a 3＝1q 2＋1q ＋1＝7，即6q 2－q －1＝0.故q ＝12或q ＝－13(舍去)，∴a 1＝1q 2＝4.∴S 5＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1251－12＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1－125＝314. 9.数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1)，则a 6等于( )A.3×44B.3×44＋1C.45D.45＋1答案 A 解析 当n ≥1时，a n ＋1＝3S n ，则a n ＋2＝3S n ＋1， ∴a n ＋2－a n ＋1＝3S n ＋1－3S n ＝3a n ＋1，即a n ＋2＝4a n ＋1， ∴该数列从第2项开始是以4为公比的等比数列.又a 2＝3S 1＝3a 1＝3，∴a n ＝⎩⎨⎧1 （n ＝1），3×4n －2 （n ≥2）.∴当n ＝6时，a 6＝3×46－2＝3×44.10.在等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，S 3＝2，S 6＝6， 则a 10＋a 11＋a 12＝________.答案 16解析 由S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9成等比数列，此数列首项为S 3＝2，公比q ′＝S 6－S 3S 3＝6－22＝2，得S 12－S 9＝2×23＝16，即a 10＋a 11＋a 12＝16.11.设{a n }是等差数列，a 1＝－10，且a 2＋10，a 3＋8，a 4＋6成等比数列.(1)求{a n }的通项公式；(2)记{a n }的前n 项和为S n ，求S n 的最小值.解 (1)设{a n }的公差为d .因为a 1＝－10，所以a 2＝－10＋d ，a 3＝－10＋2d ，a 4＝－10＋3d . 因为a 2＋10，a 3＋8，a 4＋6成等比数列，所以(a 3＋8)2＝(a 2＋10)(a 4＋6).所以(－2＋2d )2＝d (－4＋3d ).解得d ＝2.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －12.(2)由(1)知，a n ＝2n －12.则当n ≥7时，a n >0；当n <6时，a n <0；当n ＝6时，a n ＝0. 所以S n 的最小值为S 5＝S 6＝－30.12.在等比数列{a n }中，a 1＝2，a 3＋2是a 2和a 4的等差中项.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝a n log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .解 (1)设数列{a n }的公比为q ， 由题意知：2(a 3＋2)＝a 2＋a 4， 即2(a 1q 2＋2)＝a 1q ＋a 1q 3，∴q 3－2q 2＋q －2＝0，即(q －2)(q 2＋1)＝0.∴q ＝2，即a n ＝2·2n －1＝2n .(2)由(1)知b n ＝2n ·log 22n ＝n ·2n ， ∴S n ＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n .① 2S n ＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1.② ①－②得－S n ＝21＋22＋23＋24＋…＋2n －n ·2n ＋1＝－2－(n －1)·2n ＋1. ∴S n ＝2＋(n －1)·2n ＋1.创新突破13.已知等比数列{a n }中，a 1＝13，公比q ＝13，(1)若S n 为数列{a n }的前n 项和，证明：S n ＝1－a n 2；(2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列{b n }的通项公式.(1)证明 ∵a n ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝13n ， S n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n 1－13＝1－13n 2.∴S n ＝1－a n 2.(2)解 ∵log 3a n ＝log 33(－n )＝－n ， ∴b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n＝－(1＋2＋3＋…＋n )＝－n （n ＋1）2. ∴数列{b n }的通项公式为b n ＝－n （n ＋1）2.。