高中数学苏教版必修四 课下能力提升(十五) 向量的减法

高中数学必修四向量公式1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

AB+BC=AC。

a+b=(x+x'，y+y')。

a+0=0+a=a。

向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a;结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”a=(x,y) b=(x',y') 则a-b=(x-x',y-y').3、向量的的数量积定义：两个非零向量的夹角记为〈a，b〉，且〈a，b〉∈[0，π]。

定义：两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量，记作a·b。

若a、b不共线，则a·b=|a|·|b|·cos 〈a，b〉;若a、b共线，则a·b=+-∣a∣∣b∣。

向量的数量积的坐标表示：a·b=x·x'+y·y'。

向量的数量积的运算率a·b=b·a(交换率);(a+b)·c=a·c+b·c(分配率);向量的数量积的性质a·a=|a|的平方。

a⊥b 〈=〉a·b=0。

|a·b|≤|a|·|b|。

向量的数量积与实数运算的主要不同点1、向量的数量积不满足结合律，即：(a·b)·c≠a·(b·c);例如：(a·b)^2≠a^2·b^2。

2、向量的数量积不满足消去律，即：由a·b=a·c (a≠0)，推不出b=c。

3、|a·b|≠|a|·|b|4、由|a|=|b| ，推不出a=b或a=-b。

4、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。

一、课题：向量的减法二、教学目标：1．掌握向量减法及相反向量的的概念；2．掌握向量减法与加法的逆运算关系，并能正确作出已知两向量的差向量；3．能用向量运算解决一些具体问题。

三、教学重、难点：向量减法的定义。

四、教学过程：（一）复习：1．向量的加法法则。

2．数的运算：减法是加法的逆运算。

（二）新课讲解：1．相反向量：与a 长度相等，方向相反的向量，叫做a 的相反向量，记作a -。

说明：（1）规定：零向量的相反向量是零向量。

（2）性质：()a a --=；()()0a a a a +-=-+=．2．向量的减法：求两个向量差的运算，叫做向量的减法。

表示()a b a b -=+-．3．向量减法的法则： 已知如图有a ，b ，求作a b -． （1）三角形法则：在平面内任取一点O ，作OA a =，OB b =，则BA a b =-．说明：a b -可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a ，b 有共同起点）．（2）平行四边形：在平面内任取一点O ，作OA a = ，BO b =-，则BA BO OA a b =+=-．思考：若//a b ，怎样作出a b -？4．例题分析：例1 试证：对任意向量a ，b 都有||||||||||||a b a b a b -≤+≤+．证明：（1）当a ，b 中有零向量时，显然成立。

（2）当a ，b 均不为零向量时：①a ，b ，即//a b 时，当a ，b 同向时，||||||||||||a b a b a b -<+=+；当，b 异向时，||||||||||||a b a b a b -=+<+．②a ，b 不共线时，在ABC ∆中，||||||AB BC -<||AC <||||AB BC +，则有||||||||||||a b a b a b -<+<+．∴||||||||||||a b a b a b -≤+≤+其中： 当a ，b 同向时，||||||a b a b +=+， 当a ，b 同向时，||||||||a b a b -=+． 例2 用向量方法证明：对角线互相平行的四边形是平行四边形。

高中数学必修四向量引言在高中数学中，向量是一个重要的概念。

它不仅在几何中有广泛的应用，还在物理和工程等领域中具有重要的意义。

本文将重点介绍高中数学必修四中的向量概念以及相关的基本运算，帮助同学们更好地理解和掌握向量的概念和性质。

一、向量的定义向量是用来表示有大小和方向的量的数学工具。

在平面上，一个向量通常用箭头来表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。

示意图：[向量箭头]可以用坐标表示一个向量，例如在平面直角坐标系中，一个向量可以表示为(a, b)，其中 a 表示向量在 x 轴上的分量，b 表示向量在 y 轴上的分量。

向量的大小可以通过计算两个分量的平方和的平方根得到。

二、向量的基本性质1. 向量的加法向量的加法是指根据几何意义将两个向量相加的运算。

具体而言，对于两个向量 A 和 B，它们的加法可以表示为 A + B。

加法的结果是一个新的向量，其大小为两个向量大小的和，方向为两个向量的夹角的平分线。

2. 向量的减法向量的减法是指根据几何意义将一个向量从另一个向量中减去的运算。

具体而言，对于两个向量 A 和 B，它们的减法可以表示为 A - B。

减法的结果是一个新的向量，其大小为两个向量大小的差，方向为从被减向量指向减向量的箭头。

3. 数乘数乘是指将一个向量乘以一个实数的运算。

具体而言，对于一个向量 A 和一个实数 k，它们的数乘可以表示为 kA。

数乘的结果是一个新的向量，其大小为原向量大小乘以实数的绝对值，方向与原向量相同（当 k > 0）或相反（当 k < 0）。

4. 平行与垂直两个向量平行的条件是它们的方向相同或相反。

两个向量垂直的条件是它们的数量积等于 0。

平行和垂直是向量在几何上的重要性质，它们在解析几何中有广泛的应用。

三、向量的数量积数量积是指两个向量之间的一种运算，它返回一个实数。

对于两个向量A 和B，它们的数量积可以表示为 A·B 或 AB。

数学高中向量的减法教案
教学重点与难点：向量的减法运算规则，向量的减法计算。

教学准备：教材、教具、黑板、粉笔。

教学过程：
一、导入新课（5分钟）
教师向学生简单介绍向量的减法概念，并通过例题引出向量的减法规则。

二、示范与讲解（10分钟）
1. 向量的减法规则：将被减向量取相反向量，再进行加法运算。

2. 用具体的例子进行详细讲解，让学生理解向量的减法运算规则。

三、练习与巩固（15分钟）
1. 让学生做一些简单的向量减法计算练习题，巩固所学的知识。

2. 教师及时纠正学生的错误，指导学生正确解题。

四、课堂小结（5分钟）
通过本节课的学习，让学生总结向量的减法规则，再次强调向量减法的步骤。

五、作业布置（5分钟）
布置相关的作业，巩固学生的学习成果。

教学反思：
本节课主要围绕向量的减法运算展开，通过示范、讲解、练习等多种方式，让学生掌握向量的减法规则。

在教学过程中，要注意引导学生理解向量减法的意义，避免简单地机械运算，鼓励学生多思考多实践，提高数学思维能力。

学习目标核心素养（教师独具）１．理解向量减法的意义及减法法则．（重点）２．掌握向量减法的几何意义．（难点）３．能熟练地进行向量的加、减运算．（易混点）通过学习本节内容提升学生的直观想象和数学运算核心素养.向量的减法（１）向量减法的定义若b＋x＝a，则向量x叫做a与b的差，记为a—b，求两个向量差的运算，叫做向量的减法．（２）向量的减法法则如图所示，以O为起点，作向量错误!＝a，错误!＝b，则错误!＝a—b，即当向量a，b起点相同时，从b的终点指向a的终点的向量就是a—b.１．思考辨析（１）错误!—错误!＝错误!.（）（２）若—b与a同向，则a—b与a同向．（）（３）向量的减法不满足结合律．（）[解析] （１）×.错误!—错误!＝错误!；（２）√.—b与a同向，则a—b＝—b＋a与a同向．（３）×.如（a—b）＋c＝a＋（c—b）．[答案] （１）×（２）√（３）×２．化简错误!—错误!＋错误!等于________．0[错误!—错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝0.]３．化简错误!—错误!＋错误!＋错误!的结果等于________．错误![错误!—错误!＋错误!＋错误!＝错误!＋错误!＋错误!—错误!＝错误!＋错误!＝错误!.]向量减法的几何作图【例１】如图，已知向量a，b，c，求作向量a—b—c.思路点拨：根据相反向量及三角形法则求作．[解] 法一：先作a—b，再作（a—b）—c即可．如图１所示，以A为起点分别作向量错误!和错误!，使错误!＝a，错误!＝b，连结CB，得向量错误!，再以C为起点作向量错误!，使错误!＝c，连结DB，得向量错误!.则向量错误!即为所求作的向量a—b—c.法二：先作—b，—c，再作a＋（—b）＋（—c），如图２．（１）作错误!＝—b和错误!＝—c；（２）作错误!＝a，则错误!＝a—b—c.求作两个向量的差向量时，当两个向量有共同起点，直接连结两个向量的终点，并指向被减向量，就得到两个向量的差向量；若两个向量的起点不重合，先通过平移使它们的起点重合时，再作出差向量.１．如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b—c.[解] 如图，在平面内任取一点O，作错误!＝a，错误!＝b，则错误!＝a＋b，再作错误!＝c，则错误!＝a＋b—c.向量减法法则的应用【例２】（１）化简下列式子：１错误!—错误!—错误!—错误!；２（错误!—错误!）—（错误!—错误!）．（２）如图所示，四边形ACDE是平行四边形，B是该平行四边形外一点，且错误!＝a，错误!＝b，错误!＝c，试用向量a，b，c表示向量错误!，错误!，错误!.思路点拨：（１）充分利用减法的运算律求解．（２）寻找图中已知向量和所表示向量之间的关系，然后利用向量的加（减）法解决．[解] （１）１原式＝错误!＋错误!—（错误!＋错误!）＝错误!—错误!＝0.２（错误!—错误!）—（错误!—错误!）＝错误!—错误!—错误!＋错误!＝错误!＋错误!＋错误!＋错误!＝（错误!＋错误!）＋（错误!＋错误!）＝错误!＋错误!＝0.（２）因为四边形ACDE是平行四边形，所以错误!＝错误!＝c；错误!＝错误!—错误!＝b—a，故错误!＝错误!＋错误!＝b—a＋c.１向量减法的三角形法则的内容是：两向量相减，表示两向量起点的字母必须相同，这样两向量的差向量以减向量的终点字母为起点，以被减向量的终点字母为终点.２用几个基本向量表示其他向量的技巧：１观察待表示的向量位置；２寻找相应的平行四边形或三角形；３运用法则找关系，化简得结果.２．如图所示，已知错误!＝a，错误!＝b，错误!＝c，错误!＝d，错误!＝e，错误!＝f，试用a，b，c，d，e，f表示：（１）错误!—错误!；（２）错误!＋错误!；（３）错误!—错误!.[解] （１）错误!—错误!＝错误!＝错误!—错误!，∵错误!＝d，错误!＝b，∴错误!—错误!＝d—b.（２）∵错误!＋错误!＝（错误!—错误!）＋（错误!—错误!），错误!＝a，错误!＝b，错误!＝c，错误!＝f，∴错误!＋错误!＝b＋f—a—c.（３）错误!—错误!＝错误!＝错误!—错误!，∵错误!＝f，错误!＝d，∴错误!—错误!＝f—d.|a—b|与a，b之间的关系[探究问题]１．若a与b共线，怎样作出a—b？提示：１当a与b同向且|a|≥|b|时，在给定的直线l上作出差向量a—b：错误!＝a，错误!＝b，则错误!＝a—b；２当a与b同向且|a|≤|b|时，在给定的直线l上作出差向量a—b：错误!＝a，错误!＝b，则错误!＝a—b；３若a与b反向，在给定的直线l上作出差向量a—b：错误!＝a，错误!＝b，则B错误!＝a—b.２．结合探究问题１的图示及向量的减法法则，探究|a—b|与a，b之间的大小关系？提示：当a与b不共线时，有：||a|—|b||＜|a—b|＜|a|＋|b|；当a与b同向且|a|≥|b|时，有：|a—b|＝|a|—|b|；当a与b同向且|a|≤|b|时，有：|a—b|＝|b|—|a|.【例３】已知|a|＝6，|b|＝8，且|a＋b|＝|a—b|，求|a—b|.思路点拨：|a＋b|＝|a—b|→判断a与b的位置关系→求|a—b|的值．[解] 如图，设错误!＝a，错误!＝b，以AB，AD为邻边作▱ABCD.则错误!＝a＋b，错误!＝a—b，因为|a＋b|＝|a—b|，所以|错误!|＝|错误!|.又四边形ABCD为平行四边形，所以四边形ABCD为矩形．故AD⊥AB.在Rt△DAB中，|错误!|＝6，|错误!|＝8，由勾股定理得|错误!|＝错误!＝错误!＝１0，所以|a—b|＝１0．１．以平行四边形ABCD的两邻边AB，AD分别表示向量错误!＝a，错误!＝b，则两条对角线表示的向量为错误!＝a＋b，错误!＝b—a，错误!＝a—b，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并记住．２．正确理解向量加（减）法的几何意义，恰当构造几何图形，是求解此类问题的关键．３．已知向量a，b，满足|a|＝|b|＝１，|a＋b|＝错误!，求|a—b|.[解] 在▱ABCD中，使错误!＝a，错误!＝b，则错误!＝a＋b，错误!＝a—b.由于|a|＝|b|＝１，所以ABCD为菱形，且AC⊥BD，交点为O，∴AO＝错误!，AB＝１，OB＝错误!＝错误!，∴BD＝２BO＝１，即|a—b|＝１．教师独具１．本节课的重点是相反向量、向量减法的运算以及利用已知向量表示未知向量，难点是利用已知向量表示未知向量．２．要掌握向量减法的三个问题（１）向量的减法运算；（２）向量减法及其几何意义；（３）利用已知向量表示未知向量．３．掌握用已知向量表示某向量的基本步骤第一步：观察各向量的位置；第二步：寻找（或作）相应的平行四边形或三角形；第三步：运用法则找关系；第四步：化简结果．１．在平行四边形ABCD中，下列结论不正确的是（）Ａ．错误!—错误!＝错误!Ｂ．错误!—错误!＝0Ｃ．错误!—错误!＝错误!Ｄ．错误!—错误!＝错误!D[∵ABCD是平行四边形，∴错误!＝错误!，∴错误!—错误!＝错误!＝错误!，故A正确；又错误!—错误!＝0，故B正确；又错误!＝错误!，∴错误!—错误!＝错误!—错误!＝错误!，故C正确；又错误!—错误!＝错误!≠错误!，故D错误．]２．若a，b为相反向量，且|a|＝１，|b|＝１，则|a＋b|＝________，|a—b|＝________. 0２[若a，b为相反向量，则a＋b＝0，∴|a＋b|＝0．又a＝—b，∴|a|＝|—b|＝１．∵a与—b共线，∴|a—b|＝２．]３．如图，在四边形ABCD中，设错误!＝a，错误!＝b，错误!＝c，则错误!＝________. a＋c—b[由三角形法则可知错误!＝错误!—错误!＝（错误!＋错误!）—错误!＝a＋c—b.]４．如图所示，▱ABCD中，错误!＝a，错误!＝b.（１）用a，b表示错误!，错误!；（２）当a，b满足什么条件时，a＋b与a—b所在直线互相垂直？（３）当a，b满足什么条件时，|a＋b|＝|a—b|？（４）a＋b与a—b有可能为相等向量吗？为什么？[解] （１）错误!＝错误!＋错误!＝b＋a，错误!＝错误!—错误!＝a—b.（２）由（１）知，a＋b＝错误!，a—b＝错误!.若a＋b与a—b所在直线垂直，则AC⊥BD.又∵四边形ABCD为平行四边形，∴四边形ABCD为菱形，即应满足|a|＝|b|.（３）假设|a＋b|＝|a—b|，即|错误!|＝|错误!|.∵四边形ABCD为平行四边形，∴四边形ABCD是矩形，∴a⊥b，∴当a与b垂直时，|a＋b|＝|a—b|.（４）不可能，∵▱ABCD的两条对角线不可能平行，∴a＋b与a—b不可能为共线向量，也就是不可能为相等向量．。

2．2.2向量的减法●三维目标1．知识与技能(1)能熟练运用三角形法则和平行四边形法则，作出几个向量的和、差向量．(2)能结合图形进行向量计算．2．过程与方法由概念的形成过程和解题的思维过程，体验数形结合思想．3．情感、态度与价值观通过阐述向量的减法运算可以转化为向量的加法运算，使学生理解事物之间可以相互转化的辩证思想．●重点难点重点：相反向量的概念及向量的加法与减法之间的关系．难点：掌握向量减法运算，并理解其几何意义．●教学建议1．关于相反向量的教学教学时，建议教师类比相反数的定义，结合向量的特征，由学生自主给出“相反向量的概念”，并会画出某具体向量的相反向量．2．关于向量减法的教学教学时，建议教师结合相反向量的表示及向量加法的几何意义，师生共同完成向量的减法及其几何意义的推导，并让学生会用向量减法的几何意义作图、化简、求值．●教学流程创设问题情境，引入相反向量概念.⇒引导学生结合向量加法的几何意义，探究向量减法的几何意义，并强调用向量减法的几何意义作图时注意问题.⇒通过例1及其互动探究，使学生掌握作已知向量的和差的作图方法.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握向量加减法的基本运算方法.⇒通过例3及其变式训练，使学生掌握结合图形，用已知向量表示其他向量的方法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.课标解读1.了解相反向量的概念．2.了解差向量的概念和向量加法与减法间的关系．(重点)3.掌握向量减法运算，并理解其几何意义．(难点)向量的减法【问题导思】若a ＋b ＝0，则a 与b 有何关系？ 【提示】 由a ＋b ＝0，得a ＝－b ， ∴a 是b 的相反向量．若b ＋x ＝a ，则向量x 叫做a 与b 的差，记为a －b .求两个向量差的运算，叫做向量的减法.已知向量作和(差)向量图2－2－13如图2－2－13，已知向量a ，b ，c 不共线，求作向量a ＋b －c .【思路探究】 先将a ，b 首尾相连，作出a ＋b ，然后根据向量减法的定义作a ＋b 与c 的差向量．【自主解答】 作法一 如图(1)所示，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b ，再作OC →＝c ，则CB →＝a ＋b －c .作法二 如图(2)所示，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b ，过点B 作CB →＝c ，则OC →＝a ＋b －c .1．求作向量的和与差就是三角形法则或平行四边形法则的运用．2．求作向量的差可以转化为两个向量的和进行，也可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的始点重合，则差向量就是连结两个向量的终点，并指向被减向量．3．作图时一定要注意箭头的方向．用本例所示的向量，作出向量a －b ＋c .【解】 如图，在平面上任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b ，再过A 作AC →＝c ，则BC →＝a －b ＋c .向量加减法的基本运算化简：(AB →－CD →)－(AC →－BD →)．【思路探究】 思路一：相反向量法，即把向量的减法转化成向量的加法求解；思路二：利用减法的几何意义，即利用向量减法的三角形法则求解；思路三：向量分解法，即把向量转化成从一点出发的两向量的差向量，如AB →＝OB →－OA →等．【自主解答】 法一 (利用相反向量) (AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝AB →－CD →－AC →＋BD → ＝AB →＋DC →＋CA →＋BD →＝AB →＋BD →＋DC →＋CA →＝0. 法二 (利用向量减法的几何意义)(AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝AB →－CD →－AC →＋BD →＝(AB →－AC →)－CD →＋BD → ＝CB →－CD →＋BD →＝DB →＋BD →＝0. 法三 (利用AB →＝OB →－OA →)设O 是平面内任意一点，则(AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝AB →－CD →－AC →＋BD → ＝(OB →－OA →)－(OD →－OC →)－(OC →－OA →)＋(OD →－OB →) ＝OB →－OA →－OD →＋OC →－OC →＋OA →＋OD →－OB →＝0.1．向量减法运算的常用方法：2．注意满足下列两种形式可以化简： (1)首尾相连且为和； (2)起点相同且为差．做题时要注意观察是否有这两种形式，同时要注意逆向应用．(1)化简：(BA →－BC →)－(ED →－EC →)＝________.(2)化简：(AC →＋BO →＋OA →)－(DC →－DO →－OB →)＝________. 【解析】 (1)(BA →－BC →)－(ED →－EC →)＝CA →－CD →＝DA →.(2)(AC →＋BO →＋OA →)－(DC →－DO →－OB →)＝AC →＋BA →－DC →＋(DO →＋OB →)＝AC →＋BA →－DC →＋DB →＝BC →－DC →＋DB →＝BC →＋CD →＋DB →＝BC →＋CB →＝0.【答案】 (1)DA →(2)0用已知向量表示其他向量图2－2－14如图2－2－14，解答下列各题：(1)用a ，d ，e 表示DB →； (2)用b ，c 表示DB →； (3)用a ，b ，e 表示EC →； (4)用d ，c 表示EC →.【思路探究】 根据图形特点，正确运用向量加法、减法的几何意义即可将要求的向量表示出来．【自主解答】 由题意知，AB →＝a ，BC →＝b ，CD →＝c ，DE →＝d ，EA →＝e . (1)DB →＝DE →＋EA →＋AB →＝d ＋e ＋a . (2)DB →＝CB →－CD →＝－BC →－CD →＝－b －c . (3)EC →＝EA →＋AB →＋BC →＝e ＋a ＋b . (4)EC →＝DC →－DE →＝－CD →－DE →＝－c －d .用已知向量表示某向量的四个步骤： 第一步：观察各向量的位置；第二步：寻找(或作)相应的平行四边形或三角形； 第三步：运用法则找关系； 第四步：化简结果．图2－2－15如图2－2－15，已知OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，OF →＝f ，试用a ，b ，c ，d ，f 表示以下向量：(1)AC →； (2)AD →； (3)AD →－AB →； (4)AB →＋CF →； (5)BF →－BD →.【解】 (1)AC →＝OC →－OA →＝c －a . (2)AD →＝AO →＋OD →＝－OA →＋OD →＝－a ＋d . (3)AD →－AB →＝BD →＝OD →－OB →＝d －b .(4)AB →＋CF →＝OB →－OA →－OC →＋OF →＝b －a －c ＋f . (5)BF →－BD →＝DF →＝OF →－OD →＝f －d .向量减法运算法则运用出错致误图2－2－16如图2－2－16所示，已知一点O 到平行四边形ABCD 的三个顶点A ，B ，C的向量分别为r 1，r 2，r 3，求OD →.【错解】 因为OD →＝OC →＋CD →， 且CD →＝BA →＝OB →－OA →，所以OD →＝OC →＋OB →－OA →＝r 3＋r 2－r 1. 【错因分析】 错误使用了向量的减法法则．【防范措施】 注意运用三角形法则时，两向量的差等于以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量，即AB →＝OB →－OA →，防止出现AB →＝OA →－OB →的错误．【正解】 OD →＝OA →＋AD →＝r 1＋BC →＝r 1＋OC →－OB →＝r 1＋r 3－r 2.向量减法的运算法则(1)向量的减法运算与向量的加法运算是互逆运算，可以灵活转化，减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．(2)两个向量的差也可用平行四边形法则及三角形法则求得：用平行四边形法则时，两个向量也是共起点，和向量是起点与它们的起点重合的那条对角线(AC →)，而差向量是另一条对角线(DB →)，方向是从减向量指向被减向量；用三角形法则时，把减向量与被减向量的起点相重合，则差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点.1．△ABC 中，BC →＝a ，CA →＝b ，则AB →＝________. 【解析】 AB →＝CB →－CA →＝－BC →－CA →＝－a －b . 【答案】 －a －b2．下列各式：①OA →＋OC →＋BO →＋CO →；②OA →－OD →＋AD →；③(AB →＋MB →)＋OM →＋BO →， 其中结果为0的有________．【解析】 ①OA →＋OC →＋BO →＋CO →＝BO →＋OA →＋OC →＋CO →＝BA →； ②OA →－OD →＋AD →＝DA →＋AD →＝0；③(AB →＋MB →)＋OM →＋BO →＝(AB →＋BO →)＋(OM →＋MB →)＝AO →＋OB →＝AB →. 【答案】 ②3．下列四式中，不能化简为PQ →的是________．①QC →－QP →＋CQ →；②AB →＋(PA →＋BQ →)；③(AB →＋PC →)＋(BA →－QC →)；④PA →＋AB →－BQ →. 【解析】 QC →－QP →＋CQ →＝PC →＋CQ →＝PQ →； AB →＋(PA →＋BQ →)＝AB →＋BQ →＋PA →＝AQ →＋PA →＝PQ →； (AB →＋PC →)＋(BA →－QC →)＝PC →－QC →＝PQ →； PA →＋AB →－BQ →＝PB →－BQ →≠PQ →，故填④. 【答案】 ④图2－2－174．已知不共线的两个非零向量a ，b (如图2－2－17所示)，求作向量－a －b . 【解】 法一 如图①，作OA →＝－a ，OB →＝b ，则BA →＝－a －b .法二 如图②，作OA →＝a ，OB →＝b ，再以OA ，OB 为邻边作平行四边形OACB ，则CO →＝－a －b .一、填空题1．下列命题中，正确的个数是________． ①在平行四边形中，BA →＋AD →－BD →＝AB →＋CD →； ②a ＋b ＝a ⇔b ＝0； ③a －b ＝b －a ；④AB →－CB →＋CD →－AD →的模为0.【解析】 由向量的加法与减法法则知①④正确．由a ＋b ＝a ⇔a ＋b －a ＝0⇔(a －a )＋b ＝0⇔b ＝0知，②正确．由a －b ＝a ＋(－b )＝－(b －a )知，③是不正确的． 【答案】 32．已知六边形ABCDEF 是一个正六边形，O 是它的中心，其中a ＝OF →，b ＝OA →，c ＝OB →，则EF →等于________．【解析】 由正六边形性质知：EF →＝CB →＝OA →＝b ＝a ＋c . 【答案】 a ＋c3．已知O 是四边形ABCD 所在平面内的一点，且满足OA →＋OC →＝OB →＋OD →，则四边形ABCD 的形状是________．【解析】 ∵OA →＋OC →＝OB →＋OD →， ∴OA →－OB →＝OD →－OC →. ∴BA →＝CD →，∴BA 綊CD. ∴四边形ABCD 为平行四边形． 【答案】 平行四边形4．化简(AB →＋CD →－EB →)＋(BC →－BD →＋EF →)－AF →＝________.【解析】 原式＝(AB →＋BE →)＋(CD →＋DB →)＋BC →＋(EF →＋FA →)＝AE →＋CB →＋BC →＋EA →＝0. 【答案】 0图2－2－185．如图2－2－18，在平行四边形ABCD 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，试用a ，b ，c 表示OD →，则OD →＝________.【解析】 因为OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，所以BC →＝OC →－OB →＝c －b ，又AD →＝BC →，所以OD →＝OA →＋AD →＝a ＋c －b .【答案】 a ＋c －b 6．给出以下五个说法： ①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②任一非零向量的方向都是惟一的； ③|a |－|b |＜|a ＋b |；④若|a |－|b |＝|a |＋|b |，则b ＝0；⑤已知A ，B ，C 是平面上任意三点，则AB →＋BC →＋CA →＝0. 其中正确的说法有________．【解析】 由|a |＝|b |，得不到a ＝b ，因为两个向量相等需要模相等，方向相同，故①不正确；当b ＝0时，|a |－|b |＝|a ＋b |，故③不正确．【答案】 ②④⑤7．已知OA →＝a ，OB →＝b ，若|OA →|＝5，|OB →|＝12，且∠AOB ＝90°，则|a ＋b |＝________，|a －b |＝________.【解析】 如图，在矩形OACB 中，OA →＋OB →＝OC →，即|a ＋b |＝|OC →|＝|a |2＋|b |2＝52＋122＝13.同理|a －b |＝13.【答案】 13 138．如图2－2－19，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 与BD 交于O 点，则BA →－BC →－OA→＋OD →＝________.图2－2－19【解析】 法一 BA →－BC →－OA →＋OD →＝BA →＋CB →＋AO →＋OD →＝(CB →＋BA →)＋(AO →＋OD →)＝CA →＋AD →＝CD →.法二 BA →－BC →－OA →＋OD →＝(BA →－BC →)－(OA →－OD →)＝CA →－DA →＝CA →＋AD →＝CD →.【答案】 CD →二、解答题9．已知菱形ABCD 边长都是2，求向量AB →－CB →＋CD →的模．【解】 ∵AB →－CB →＋CD →＝AB →＋BC →＋CD →＝AD →，∴|AB →－CB →＋CD →|＝|AD →|＝2.10．如图2－2－20，在五边形ABCDE 中，若AB →＝a ，BC →＝b ，CD →＝c ，DE →＝d ，EA →＝e ，求作向量a －c ＋b －d －e .图2－2－20【解】 a －c ＋b －d －e ＝(a ＋b )－(c ＋d ＋e )＝(AB →＋BC →)－(CD →＋DE →＋EA →)＝AC →－CA→＝AC →＋AC →.连结AC ，并延长至点F ，使CF ＝AC ，则CF →＝AC →.∴AF →＝AC →＋AC →即为所求作的向量a －c ＋b －d －e .如图．11．已知△OAB 中，OA →＝a ，OB →＝b ，满足|a |＝|b |＝|a －b |＝2，求|a ＋b |与△OAB 的面积．【解】 由已知得|OA →|＝|OB →|，以OA →，OB →为邻边作平行四边形OACB ，则可知其为菱形，如图，且OC →＝a ＋b ，BA →＝a －b ，由于|a |＝|b |＝|a －b |，即OA ＝OB ＝BA ，∴△OAB 为正三角形，|a ＋b |＝|OC →|＝2×3＝23，∴S △OAB ＝12×2×3＝ 3.已知非零向量a ，b 满足|a |＝7＋1，|b |＝7－1，且|a －b |＝4，求|a ＋b |的值．【思路探究】 解答本题可先由|a |，|b |及|a －b |出发，找出三者之间的数量关系，从而进一步判断三角形的形状，再求|a ＋b |的值.【自主解答】 如图，OA →＝a ，OB →＝b ，则|BA →|＝|a －b |，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OACB ，则|OC →|＝|a ＋b |.由于(7＋1)2＋(7－1)2＝42.故|OA →|2＋|OB →|2＝|BA →|2，所以△AOB是∠AOB 为90°的直角三角形，从而OA ⊥OB ，所以▱OACB 是矩形，根据矩形的对角线相等有|OC →|＝|BA →|＝4，即|a ＋b |＝4.向量在平面几何中的应用一般有两种题型：(1)以平面几何为背景的向量计算、证明问题；(2)利用向量运算证明平面几何问题，这是向量的主要应用．解题的关键是应用向量加法、减法的几何意义，对相关向量进行合理转化．已知OA →＝a ，OB →＝b ，且|a |＝|b |＝4，∠AOB ＝60°，求|a ＋b |，|a －b |.【解】 以OA →、OB →为邻边作平行四边形OACB ，∵|OA →|＝|a |＝4，|OB →|＝|b |＝4，∴四边形OACB 为菱形．∵a ＋b ＝OA →＋OB →＝OC →，a －b ＝OA →－OB →＝BA →，∠AOB ＝60°，∴|a ＋b |＝|OC →|＝43，|a －b |＝|BA →|＝4.。

第三课时 向量的减法教学目标：掌握向量减法概念，理解两个向量的减法就是转化为加法来进行，掌握相反向量，能熟练地掌握用三角形法则和平行四边形法则作出两向量的差向量，了解向量方程，并会用几何法解向量方程.教学重点：向量减法的三角形法则.教学难点：对向量减法定义的理解.教学过程：Ⅰ.复习回顾上一节，我们一起学习了向量的加法，并熟悉了求解向量和的向量加法的平行四边形法则与三角形法则，并进行了简单应用.这一节，我们来继续学习向量的减法.Ⅱ.讲授新课1.向量减法的定义向量a 加上b 的相反向量，叫做a 与b 的差，即a －b ＝a ＋(－b ).求两个向量差的运算，叫向量的减法.说明：(1)与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量；(2)零向量的相反向量仍是零向量；(3)任一向量和它相反向量的和是零向量.［师］从向量减法的定义中，我们可以体会到向量减法与向量加法的内在联系.2.向量减法的三角形法则以平面内的一点作为起点作a ，b ，则两向量终点的连线段，并指向a 终点的向量表示a －b .说明：向量减法可以转化为向量加法，如图b 与a －b 首尾相接，根据向量加法的三角形法则有b ＋(a －b )＝a即a －b ＝CB →.下面我们通过例题来熟悉向量减法的三角形法则的应用.［例1］如图，已知向量a ，b ，c ，d ，求作向量a －b ，c －d .分析：根据向量减法的三角形法则，需要选点平移作出两个同起点的向量.作法：如图，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d .作BA →，DC →，则BA →＝a －b ，DC →＝c －d［例2］判断题(1)若非零向量a 与b 的方向相同或相反，则a ＋b 的方向必与a 、b 之一的方向相同.(2)三角形ABC 中，必有AB →＋BC →＋CA →＝0.(3)若AB →＋BC →＋CA →＝0，则A 、B 、C 三点是一个三角形的三顶点.(4)｜a ＋b ｜≥｜a －b ｜.分析：(1)a 与b 方向相同，则a ＋b 的方向与a 和b 方向都相同；若a 与b 方向相反，则有可能a 与b 互为相反向量，此时a ＋b ＝0的方向不确定，说与a 、b 之一方向相同不妥.(2)由向量加法法则AB →＋BC →＝AC →，AC →与CA →是互为相反向量，所以有上述结论.(3)因为当A 、B 、C 三点共线时也有AB →＋BC →＋AC →＝0，而此时构不成三角形.(4)当a 与b 不共线时，｜a ＋b ｜与｜a －b ｜分别表示以a 和b 为邻边的平行四边形的两条对角线的长，其大小不定.当a 、b 为非零向量共线时，同向则有｜a ＋b ｜＞｜a －b ｜，异向则有｜a ＋b ｜＜｜a －b ｜；当a 、b 中有零向量时，｜a ＋b ｜＝｜a －b ｜.综上所述，只有(2)正确.［例3］化简AB →－AC →＋BD →－CD →.解：原式＝CB →＋BD →－CD →＝CD →－CD →＝0［例4］化简OA →＋OC →＋BO →＋CO →.解：原式＝(OA →＋BO →)＋(OC →＋CO →)＝(OA →－OB →)＋0＝BA →Ⅲ.课堂练习课本P 65练习1，2，3，4，5，6.Ⅳ.课时小结通过本节学习，要求大家在理解向量减法定义的基础上，掌握向量减法的三角形法则，并能加以适当的应用.Ⅴ.课后作业课本P 68习题 4，8，11向量、向量的加减法1．下列关于零向量的说法中，错误的是 （ ）A.零向量长度为0B.零向量是没有方向的C.零向量的方向是任意的D.零向量与任一向量平行2．下列命题中，正确的是 （ ）A.若|a |＝|b |，则a ＝bB.若|a |＞|b |，则a ＞bC.若a ＝b ，则a ∥bD.若|a |＝1，则a ＝±13．当|a |＝|b |，且a 与b 不共线时，a ＋b 与a －b 的关系为 （ ）A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.相等4．如右图，已知O 为正六边形ABC DEF 的中心，则与向量DO → 相等的向量有 .5．已知|AB →|＝10，|AC →|＝7，|则|BC →|的取值范围为 .6．已知OA →＝a ，OB →＝b ，且|a |＝|b |＝4，∠AOB ＝60°.则|a ＋b |＝ ，|a －b |＝ .7．化简AB →＋DA →＋BD →－BC →－CA →＝ .8．判断以下说法是否正确.（1）向量a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线. （ ）（2）任意两个非零的相等向量的起点与终点是一平行四边形的四个顶点. （ ）（3）向量AB →与CD →是共线向量，则A 、B 、C 、D 必在同一直线上.（ ）（4）向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同. （ ）（5）长度相等且起点相同的两个向量，其终点必相同. （ ）9．已知两个力F 1、F 2的方向互相垂直，且它们的合力F 大小为10 N ，与力F 1的夹角为60°，求力F 1与F 2的大小.10．一架飞机从A 地按北偏西30°方向飞行300 km ，到达B 地，然后向C 地飞行，设C 地恰在A 北偏东60°，且距A 100 3 km 处，求飞机从B 地向C 地飞行的方向和B 、C 两地的距离.向量、向量的加减法答案1．B 2．C 3．B 4．OA →，CB →，EF → 5．［3，17］ 6．4 3 4 7．AB →8．（1）错误 （2）错误 （3）错误 （4）错误 （5）错误9．F 1，F 2分别为5 N 和5 3 N10．解：∵BC ＝AB 2＋AC 2 ＝200 3 ，sin B ＝100 3 200 3 ＝12∴B ＝30°，∴飞机从B 以南偏东60°的方向向C 地飞行.。

互动课堂疏导引导1.向量减法的定义(1)向疑的减法实际上是加法的逆运算，已知向量a、b,(如右图)作OA=^, OB=b,则b+AB =a>向量BA叫做向量a与b的差，记作mb,即BA =a-b= OA -OB・疑难疏引①如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量.②一个向量丽等于它的终点，相对于点0的位置向量页减去它的始点相对于点0的位置向量西.或简记为“终点向咼减起点向量"，这里的点0是任意的一点.(2)相反向量的定义与向量a方向相反且等长的向量叫作a的相反向量，记作-a.关于相反向量的结论有：®0的相反向量仍为0： ®a+(-a)=(-a) +a=0;@-(-a)=a;@一个向昼与它的相反向虽:是共线向&@lal=l-al.(3)利用相反向疑定义向量的减法在向量减法的怎义中，b+鬲=a •在上式中两边同时加上(-b),则BA=a+ (・b) •即说明一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量・a+ (・b)通常省略加号•就是•其实向量的差也就是向量的和.2.两个向量差的几何作法(1)两个向虽:的差也可由平行四边形法则和三角形法则求得•用平行四边形法则时，两个已知向量也是共同的起点，和向量是始点与它们重合的那条对角线，而差向量是另外一条对角线，方向是从减向量指向被减向量;用三角形法则时，把减向量与被减向量的始点重合，则差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点，可以简记为“连终点，方向指向被减“•(2)可以将两向量的差转化为求被减向量与减向量相反向量的和来求，即a-b=a+ (-b), 再用向疑求和的三角形法则或平行四边形法则来求.3 •两个重要的结论(1 )以向量丽=a, AD =b为邻边作平行四边形AB CD ,则两条对角线的向量为AC =a+b,BD =b-a f DB =a-b.(2) llal-lb||<|a±bl<|al+lbl案例已知两向量a、b,求证：若la+bl=la-bl,则a的方向与b的方向垂直：反之也成立. 【探究】要证明a的方向与b方向垂直，只需证明以a、b为邻边的平行四边形为矩形，即证两对角线长度相等即可.【证明】①若la+bl=la-bh设OB二b•以亦、0斤为邻边作平行四边形，则Ia+bl=l0? I,la-bl=IBAb 又la+bl=la-bh•••IOC 1=134 I,即平行四边形OACB的对角线相等，・•・平形四边形OACB为矩形，・・.a与b的方向垂直.②若a与b的方向垂直，如右图所示，设04 =a.亦=b,以鬲、而为邻边的平行四边形为矩形.10C 1=1 BA L 而OC =a+b, BA =a-b>la+bl=la-bl.规律总结此题的证明关键利用了两个向量和与差的几何意义，同时指出了平行四边形两对角线向疑分別是邻边向量的和与差，本题求证的结论非常重要，应领会英实质.活学巧用【例1】如右图所示，O是平行四边形ABCD的对角线AC、BD的交点，设AB=a, DA =bOC =c,试证明：b+c a=O4分析:要证b+c-a=QA ,可转化为证明b+c=^4+a,从而利用向量求和证明•也可从z入手,利用向咼的减法证明.证法一：b+c=DA+0C =0C+CB = 0B . OA+a=OA + AB =0B.所以b+c=O4+a,即b+c-a= OA ・证法二：因为c-a=5c ■忑云■反=况£5 = ^5 ,而OD=OA + AD=OA^ 所以c-a= OA -b,即b+c-a= OA ・【例2】化简下列各式：(1) ^OA+OB^CO^OC；分析:本题是向量加减法的混合运算，应注意起点相同的两向量的差等于以减向量的终点为 起点，被减向量的终点为终点的向量，并且注意相反向呈的使用.(1) ^OA+OB^CO^OC=OB^OA^ (CO+OC ) =AB^=AB ・(AB-CD) - ( AC-BD ) = (^B-AC ) +BD^CD = CB + BD + DC =CB + BC =0.（3） 顾一而+巫 +囲=（莎一丽+ （网 + 场=两+丽=0.【例3】如右图，已知a 、b,求作a ・b.O,作 OA=a. OB =b.则 BA=dA-dB=a-b.(如图甲)本作 法是按向虽:减法的三角形法则，将两向量的始点重合，则差向量是连起终 点，方向指向被减向量.作法二：在平而内任取一点O,作OA=a, OB=b, 丽 =b,由向量加法的平行四边形法则 可得：OC=OA+OB f= OA^OB=^b.(图乙)【例4】如图，口ABCD 中而=a, AD=b.（1） 用a 、b 表示AC > DB ・（2） 当a 、b 满足什么条件时，a+b 与a-b 的基线互相垂直？（3） 当a 、b 满足什么条件时,la+bl=la-bl.（4） a+b 与a-b 有可能为相等向量吗？为什么？分析：本题主要考查向量的加、减法、向疑的模与平行四边形的性质，解决本题应注意以a 、 b 两向量为邻边的平行四边形的对角线向量为a 与b 的和与差，并结合平行四边形的分类， 作出正确的解答.解：(1) AC = AD + AB =a+b> DB = AB ・AZ)=a-b ・解: (2)作法一：在平而内任取一点(2) ( AB ・CD) - ( AC-BD):(3)MN — MP+NQ + QP.(2)由(1)知a+b=AC ・ a b= DB ・a+b与a-b的基线垂直,又VABCD为平行四边形，AABCD为菱形,即a、b应满足lal=lbl.(3) la+bl=la-bL ^\AC\=\BD\.•••矩形的对角线相等.・••当a与b的基线垂直时，满足la+bl=la-bl.（4）不可能，因为ZZ7ABCD的两对角线不可能平行，因此a+b与a-b不可能为共线向疑. 那么就不可能为相等向量了.。

§2.2.2 向量减法运算及其几何意义编者：刘凯【学习目标、细解考纲】1、在理解向量加法的基础上，掌握向量减法的运算及几何意义。

2、理解向量减法的几何意义，灵活进行向量的减法运算。

进行向量的减法运算【知识梳理、双基再现】1、相反向量：规定与v a __________________________的向量，叫做r a 的相反向量，记作_____________，向量ra 与a -r互为相反向量，于是___________________________。

任一向量与其相反向量的和是___________，即+-=-+v v v v ()_______________,()______________.a a a a2、向量的减法我们定义，减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量，即+v v a b 是互为相反的向量，那么v a =______________，v b =_________________，+v v a b =________________________。

3、向量减法的几何意义：已知va ，vb ，在平面内任取一点O ，作==u u v v u u v v ,OA a OB b ，则__________=-v v a b ，即-v v a b可以表示为从向量_________________的终点指向向量_____________的终点的向量，如果向量v a 的终点，到v b 的终点作向量那么得向量是__________________【小试身手、轻松过关】1、在菱形ABCD 中，下列各式中不成立的是（ ）A ．-=u u u v u u v u u u v AC AB BC B ．-=u u v u u v u u v AD BD ABC ．-=u u v u u u v u u u v BD AC BC D ．-=u u v u u v u u u v BD CD BC2、下列各式中结果为u v O 的有（ ）①++u u v u u u v u u v AB BC CA ②+++u u v u u v u u v u u v OA OC BO CO③-+-u u v u u u v u u v u u v AB AC BD CD ④+-+u u u v u u v u u u v u u v MN NQ MP QPA ．①②B ．①③C ．①③④D ．①②③3、下列四式中可以化简为u u vAB 的是（ ）①+u u u v u u v AC CB ②-u u u v u u v AC CB ③+u u v u u v OA OB ④-u u v u u v OB OAA ．①④B ．①②C ．②③D ．③④4、在下面各式中，不能化简为u u vAD 的是（ ） A ．++u u vu u v u u u v ()AB CD BC B ．+++u u v u u v u u u v u u v ()()AD MB BC CM C ．+-u u v u u v u u u v MB AD BM D ．-+u u v u u v u u vOC OA CD 【基础训练、锋芒初显】5、在△ABC 中，向量u u u v BC 可表示为（ ）①-u u v u u u v AB AC ②-u u u v u u v AC AB ③+u u v u u u v BA AC ④-u u v u u vBA CAA ．①②③B ．①③④C ．②③④D ．①②④ 6、已知ABCDEF 是一个正六边形，O 是它的中心，其中===u u vv u u v v u u v v ,,OA a OB b OC c 则u u v EF =（ ）A ．a b +r rB ．b a -r rC ．-v v c bD ．-v vb c 7、当C 是线段AB 的中点，则AC BC +u u u r u u u r =（ ）A ．AB u u u r B ．BA uu u rC ．AC u u u rD ．O u r8、在平行四边形ABCD 中，BC CD AD +-u u u r u u u r u u u r 等于（ ）A ．BA uu u rB ．BD u u u rC ．AC u u u rD ．AB u u u r【举一反三、能力拓展】9、化简：AB DA BD BC CA ++--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r =_______________。