外微分统一四大积分公式

微分和积分的关系公式微分的定义是通过函数的导数来描述函数在其中一点的变化情况。

给定一个函数f(x)，在其中一点x=a处的导数定义为：f'(a) = lim┬(h→0)⁡〖(f(a+h)-f(a))/h〗这个公式表示了函数f(x)在点x=a处的斜率，即函数曲线在该点的切线的斜率。

微分可以看作是小量的极限，即当我们考察函数在一个无穷小的区间内的变化时，可以利用微分来进行近似计算。

而积分则是通过求和的方式，将函数在一个区间上的无穷小的变化加总起来，得到一个总量。

积分符号∫表示求和的过程。

给定一个函数f(x)，在区间[a,b]上的积分定义为：∫(a→b)⁡〖f(x)dx〗= lim┬(n→∞)⁡Σⁿ_(i=1)⁡f(x_i^*) Δx其中，Σ表示求和符号，n是分割区间的数量，Δx是每个小区间的长度，x_i^*是每个小区间内的一些点。

积分可以看作是函数在一个区间上的平均值乘以区间的长度，即函数曲线下的面积。

微分和积分之间有一个非常重要的关系，这个关系被称为微积分的基本定理，它可以用来计算积分。

基本定理分为两部分：第一部分是微分与积分的反运算，即如果函数F(x)是f(x)的一个原函数（即F'(x)=f(x)），那么有：∫(a→b)⁡f(x)dx = F(b) - F(a)这个公式表示了函数f(x)在区间[a,b]上的积分可以通过求函数F(x)在两个边界点的值的差来计算。

第二部分是微分与积分的关系，即函数的导数与原函数的关系。

如果函数F(x)是f(x)的一个原函数，那么有：F'(x)=f(x)这个公式表示了函数F(x)的导数就是函数f(x)。

它表明，如果我们已知一个函数的原函数，那么我们就可以通过求导来得到函数的微分。

微积分公式与运算法则 Jenny was compiled in January 2021微积分公式与运算法则1.基本公式（1）导数公式(2)微分公式(xμ)ˊ=μxμ-1d(xμ)=μxμ-1dx(a x)ˊ=a x lnad(a x)=a x lnadx(loga x)ˊ=1/(xlna)d(loga x)=1/(xlna)dx(sinx)ˊ=cosxd(sinx)=cosxdx(conx)ˊ=-sinxd(conx)=-sinxdx(tanx)ˊ=sec2xd(tanx)=sec2xdx(cotx)ˊ=-csc2xd(cotx)=-csc2xdx(secx)ˊ=secx·tanxd(secx)=secx·tanxdx(cscx)ˊ=-cscx·cotxd(cscx)=-cscx·cotxdx(arcsinx)ˊ=1/(1-x2)1/2d(arcsinx)=1/(1-x2)1/2dx(arccosx)ˊ=-1/(1-x2)1/2d(arccosx)=-1/(1-x2)1/2dx(arctanx)ˊ=1/(1+x2)d(arctanx)=1/(1+x2)dx(arccotx)ˊ=-1/(1+x2)d(arccotx)=-1/(1+x2)dx(sinhx)ˊ=coshxd(sinhx)=coshxdx(coshx)ˊ=sinhxd(coshx)=sinhxdx2.运算法则（μ=μ(x)，υ=υ（x），α、β∈R）（1）函数的线性组合积、商的求导法则（αμ+βυ）ˊ=αμˊ+βυˊ（μυ）ˊ=μˊυ+μυˊ（μ/υ）ˊ=(μˊυ-μυˊ)/υ2（2）函数和差积商的微分法则d（αμ+βυ）=αdμ+βdυd（μυ）=υdμ+μdυd（μ/υ）=(υdμ-μdυ)/υ23.复合函数的微分法则设y=f(μ)，μ=ψ(x),则复合函数y=f[ψ(x)]的导数为dy/dx=fˊ[ψ(x)]·ψˊ(x)所以复合函数的微分为dy=fˊ[ψ(x)]·ψˊ(x)dx由于fˊ[ψ(x)]=fˊ(μ)，ψˊ(x)dx=dμ，因此上式也可写成dy=fˊ(μ)dμ由此可见，无论μ是自变量，还是另一变量的可微函数，微分形式dy=fˊ(μ)dμ保持不变，这一性质称为微分形式不变性。

三十个基本积分公式积分是微积分中的重要概念，而掌握基本的积分公式是进行积分运算的基础。

以下为您介绍三十个常见且重要的基本积分公式。

公式一：∫kdx ＝ kx ＋ C（k 为常数）这意味着对于任何常数 k，其积分结果是 k 乘以 x 再加一个常数 C。

公式二：∫x^n dx ＝（1/（n ＋ 1)）x^（n ＋ 1) ＋ C（n ≠ －1）例如，∫x²dx ＝（1/3)x³＋ C 。

当 n 为正整数时，这个公式可以通过不断求导的逆过程来理解。

公式三：∫1/x dx ＝ ln|x| ＋ C特别要注意绝对值符号，因为对数函数的定义域要求 x 不为 0 。

公式四：∫e^x dx ＝ e^x ＋ C指数函数 e^x 的积分还是它本身。

公式五：∫a^x dx ＝（1/ln a)a^x ＋ C （a ＞ 0，a ≠ 1）不同底数的指数函数积分形式略有不同。

公式六：∫sin x dx ＝ cos x ＋ C正弦函数的积分是负的余弦函数。

公式七：∫cos x dx ＝ sin x ＋ C余弦函数的积分是正弦函数。

公式八：∫tan x dx ＝ ln|cos x| ＋ C正切函数的积分需要借助对数函数来表示。

公式九：∫cot x dx ＝ ln|sin x| ＋ C余切函数的积分形式。

公式十：∫sec x dx ＝ ln|sec x ＋ tan x| ＋ C 正割函数的积分相对复杂一些。

公式十一：∫csc x dx ＝ ln|csc x ＋ cot x| ＋ C 余割函数的积分。

公式十二：∫sec² x dx ＝ tan x ＋ C正割函数平方的积分。

公式十三：∫csc² x dx ＝ cot x ＋ C余割函数平方的积分。

公式十四：∫sec x tan x dx ＝ sec x ＋ C正割函数与正切函数乘积的积分。

公式十五：∫csc x cot x dx ＝ csc x ＋ C余割函数与余切函数乘积的积分。

三十个基本积分公式在微积分的学习中，积分公式是非常重要的基础知识。

掌握这些基本积分公式，就像是拥有了一把打开积分世界大门的钥匙。

接下来，让我们一起来了解一下这三十个基本积分公式。

公式一：∫kdx ＝ kx ＋ C（k 为常数）这个公式很简单，就是说对一个常数 k 进行积分，结果是 kx 加上一个常数 C。

公式二：∫x^n dx ＝（1/（n ＋ 1)）x^（n ＋ 1) ＋ C（n ≠ －1）当被积函数是 x 的 n 次幂时，积分结果是（1/（n ＋ 1)）乘以 x 的（n ＋ 1)次幂再加上常数 C。

例如，∫x²dx ＝（1/3)x³＋ C 。

公式三：∫1/x dx ＝ ln|x| ＋ C对 1/x 进行积分，得到的是自然对数 ln|x|加上常数 C。

这里要注意绝对值，因为对数函数的定义域要求自变量大于 0。

公式四：∫e^x dx ＝ e^x ＋ C指数函数 e^x 的积分还是它本身 e^x 加上常数 C。

公式五：∫a^x dx ＝（1/lna)a^x ＋ C（a ＞ 0，a ≠ 1）对于以 a 为底的指数函数 a^x 的积分，结果是（1/lna)乘以 a^x 再加上常数 C。

公式六：∫sin x dx ＝ cos x ＋ C正弦函数 sin x 的积分是 cos x 加上常数 C。

公式七：∫cos x dx ＝ sin x ＋ C余弦函数 cos x 的积分是 sin x 加上常数 C。

公式八：∫tan x dx ＝ ln|cos x| ＋ C正切函数 tan x 的积分是 ln|cos x|加上常数 C。

公式九：∫cot x dx ＝ ln|sin x| ＋ C余切函数 cot x 的积分是 ln|sin x|加上常数 C。

公式十：∫sec x dx ＝ ln|sec x ＋ tan x| ＋ C正割函数 sec x 的积分是 ln|sec x ＋ tan x|加上常数 C。

微积分的基本公式共有四大公式: 1.牛顿-莱布尼茨公式，又称为微积分基本公式 2.格林公式，把封闭的曲线积分化为区域内的二重积分，它是平面向量场散度的二重积分 3.高斯公式，把曲面积分化为区域内的三重积分，它是平面向量场散度的三重积分4.斯托克斯公式，与旋度有关这四大公式构成了经典微积分学教程的骨干，可以说起到提纲挈领的作用，其实如果你学习了外代数，又称为格拉斯曼grassmann代数,用外微分的形式来表达，四个公式就是一个公式，具有统一的形式，其余的导数公式，积分公式，罗尔中值定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理，泰勒级数、麦克劳林展开式，当然也是基石了。

微积分中的积分公式与应用微积分是数学的重要分支，其中的积分公式与应用是微积分的核心内容之一。

积分公式是计算曲线与坐标轴围成的面积、求解定积分等问题的关键工具，广泛应用于物理、工程学、经济学等领域。

一、不定积分与积分公式在微积分中，不定积分是对函数进行积分运算的一种形式。

不定积分的结果是一个新的函数，称为原函数或不定积分。

不定积分通常用符号∫表示，函数f(x)的不定积分可以表示为∫f(x)dx。

不定积分的运算有一些基本法则，其中就包括了一些常见的积分公式。

这些积分公式是通过对特定函数进行积分运算得到的，能够简化积分的计算过程。

常见的积分公式包括：幂函数的积分公式、三角函数的积分公式、指数函数的积分公式、对数函数的积分公式等等。

这些公式的应用范围广泛，能够解决各种不同类型的积分问题。

二、定积分与积分公式定积分是对函数某一区间上的积分运算，结果是一个具体的数值。

定积分的计算可以通过积分公式来实现，其中最常用的就是牛顿-莱布尼茨公式。

牛顿-莱布尼茨公式是描述定积分与不定积分之间关系的一种公式。

该公式表明，如果F(x)是f(x)的一个原函数，那么函数f(x)在区间[a, b]上的定积分可以表示为F(b) - F(a)。

这个公式的应用非常广泛，可以用来计算曲线与坐标轴围成的面积，求解物体的质量、质心等物理学问题，以及计算经济学模型中的定积分问题等。

三、积分公式的应用举例1. 计算曲线与坐标轴围成的面积积分公式可以用来计算曲线与坐标轴之间的面积。

以曲线y = f(x)、x轴以及直线x = a 和 x = b为边界的区域所包围的面积可以通过以下公式计算：∫[a, b] |f(x)| dx这个公式可以用来求解各种曲线的面积，例如圆的面积、椭圆的面积等。

2. 物理学中的应用积分公式在物理学中有广泛的应用。

例如，可以利用积分公式来计算物体的质量、质心等物理特性。

假设有一根均匀的细杆，长度为L，质量为m。

利用积分公式可以求解细杆的质量、质心位置等问题。

外微分换元法外微分换元法，在微积分中属于比较重要的拓展知识点，而且在工程领域等实际应用中也有着广泛的运用。

如果你正在学习微积分或者需要在工作中应用到这方面的知识，那么就需要掌握外微分换元法的相关知识点。

下面我们就来重新整理一下这方面的知识点，希望能对大家有所帮助。

1. 外微分的定义在微积分中，将一个函数f(x,y)进行微小的变化，可以得到以下的式子：df = ∂f/∂x dx + ∂f/∂y dy其中，df表示函数f的微小变化量，dx和dy分别是自变量x和y的微小变化量，而∂f/∂x和∂f/∂y则分别表示函数f对自变量x和y的偏导数。

2. 外微分的运用在实际应用中，我们常常需要将一个函数进行变量替换，例如将f(x,y)替换为 g(u,v)，此时我们需要用到外微分换元法。

假设现在有一个函数f(x,y)，我们需要将其中的自变量x和y换成新的自变量u和v，也就是f(u,v)。

此时，需要对函数f进行一些变形，来得到f对u和v的偏导数和u和v对x和y的偏导数。

具体的过程如下：- 对函数f(x,y)进行外微分运算，得到：df = ∂f/∂x dx +∂f/∂y dy- 将dx和dy分别表示出来，得到：dx = (∂u/∂x)du + (∂v/∂x)dv，dy = (∂u/∂y)du + (∂v/∂y)dv- 将dx和dy带入到df的式子中，得到：df = (∂f/∂x)du +(∂f/∂y)dv- 将df表示成g(u,v)对u和v的偏导数的形式，得到：df =(∂g/∂u)du + (∂g/∂v)dv根据以上公式，我们可以计算出g(u,v)对u和v的偏导数，从而得到函数f(x,y)对新的自变量u和v的偏导数，以及新的自变量u和v对原自变量x和y的偏导数。

这将有利于我们求解一些复杂函数的导数和积分问题。

3. 小结外微分换元法是微积分中的重要知识点之一，适用于一些复杂函数的导数和积分求解。

通过对函数进行外微分操作，我们可以得到函数对新的自变量的偏导数，从而用于计算新自变量对原自变量的偏导数。

微积分的基本公式微积分是数学中的一个分支，主要研究连续变化的对象，如函数、曲线和曲面等。

微积分的基本公式是应用广泛且重要的数学工具，包括导数、积分、微分方程等。

下面将对微积分的基本公式进行详细介绍。

一、导数导数是微积分中的基本概念之一，用于描述函数在其中一点上的变化率。

导数的定义如下：对于函数y = f(x)，其在特定点x处的导数表示为f'(x)或dy/dx，定义为函数曲线在该点处的切线斜率。

导数的几何意义是函数曲线在其中一点的切线斜率的极限值。

导数的基本公式包括：1.常数导数公式：如果f(x)=k，其中k是常数，则f'(x)=0。

2. 幂函数导数公式：对于f(x) = x^n，其中n是实数，则f'(x) = nx^(n-1)。

3.指数函数导数公式：对于f(x)=e^x，其中e是自然对数的底，则f'(x)=e^x。

4. 对数函数导数公式：对于f(x) = ln(x)，其中ln表示以e为底的对数，则f'(x) = 1/x。

5. 三角函数导数公式：对于f(x) = sin(x)，则f'(x) = cos(x)；对于f(x) = cos(x)，则f'(x) = -sin(x)。

二、积分积分是微积分中的另一个基本概念，用于计算曲线下面的面积或者曲线长度。

积分的定义如下：对于函数y = f(x)，其在区间[a, b]上的积分表示为∫f(x)dx，定义为区间[a, b]上函数曲线与x轴之间的面积。

积分的基本公式包括：1. 不定积分公式：如果F(x)是f(x)的一个原函数，则∫f(x)dx =F(x) + C，其中C是常数。

这是积分的基本公式，也称为不定积分。

2. 定积分公式：如果f(x)是在区间[a, b]上连续函数，且F(x)是其原函数，则∫[a, b]f(x)dx = F(b) - F(a)，其中F(a)表示F(x)在点a处的值，F(b)表示F(x)在点b处的值。

利用外微分对场论中三个算子的讨论【摘要】本文通过引入外微分算子,对经典场论中的梯度,旋度,散度做了统一的解释,寻找其中的关系.同时利用其寻找Newton—Leibniz公式、Green公式、Stokes公式和Gauss公式之间的联系.关键词：外微分场论1、引言在关于多元函数积分的学习中，我们可以得出各种积分之间的联系.但是我们可以看到，关于统一这些积分形式的Newton—Leibniz公式、Green公式、Stokes公式和Gauss公式之间也是有一定联系的.通过查找资料知道，我们可以通过另一个形式——外微分，将它们统一起来.同时，也可以用外微分算子来解释经典场论中的三个算子：梯度算子、散度算子和旋度算子的引进.在三维空间中，我们只能得到四种相应的外微分形式，但是按照外微分算子的定义，其可以推广到n维.以上问题将在下面进行简要的讨论与证明.2、主要结论及其证明2.1场论的简单引入2.1.1 场的概念依据空间中坐标系的表现形式,场是关于点的坐标的多变量函数.根据原物理量,可以将场分为数量场和向量场.2.1.2 场论中的三个算子从对数量场的方向微商的定义中,可以引申出梯度的概念.定义2.1:数量场u在点M处的梯度是一个向量,记为grad u,其大小为场u在点M的所有方向微商中的最大值,其方向为取到这个最大值所沿的那个方向.在三维的直角坐标系中可以表达为:.从对向量场的通量的定义中,可以引申出散度的概念.定义 2.2:设是区域上的向量场,是内一点.在场中围绕点做任意的闭曲面,是所围成的闭区域,其体积记为.是外侧的单位法向量.若当区域无限收缩于点时,比式的极限存在,就称该极限为向量场在点的散度,记为,即它表示点附近单位体积所流出的流量，称为处源的密度.从对向量场的环量的定义中,可以引申出旋度的概念.定义2.3:设是定义在区域上的向量场,是中的一点,是在点处取定的单位向量.在内过,做任意光滑的且以为法向量的曲面元,假定这个曲面元的面积为,它的边界是逐段光滑的闭曲线.选取的环行方向,使之与向量组成右手螺旋系统.如果当面元无限收缩于点，而在点处的法向量保持不变时，平均环量的极限就存在，就称此极限为场在点处绕方向的涡量,记做,即并且吧这些涡量的最大值以及取到最大值的方向所构成的一个向量称为在点的旋度,记作.2.2 外微分形式2.2.1 外微分形式的外积设在微分之间定义一种乘积的运算,它满足下述法则:两个相同微分的乘积为0;两个不同微分的乘积变换顺序时变号.这种微分之间的乘积称作微分的外积,用表示.则定义2.4:由微分的外积乘以三元函数组成的微分形式称为外微分形式.设都是三维空间的函数，则分别称（1）~（4）式为零阶、一阶、二阶和三阶外微分式（1）（2）（3）（4）其满足分配律和结合律，但不满足交换律.2.2.2 外微分形式的外微分当我们在其中引入微分运算符d,若是零次外微分形式,即为函数,则定义d就是通常的全微分算符.若是一次外微分形式则定义将全微分的表达式带入后化简，给出若是二次外微分形式，则可以类比.若__D_Dd__________ìĝϨϨ______________2.3 对梯度、散度、旋度的统一2.3.1 梯度,旋度,散度的计算与联系因为在此，仅仅涉及到三维欧式空间，则三次外微分没有与之对应的“度”，可以不予以讨论,仅就场论中三个算子进行讨论.(1)零次外微分形式的外微分公式为而数量场的梯度为所以零次外微分形式的外微分与梯度相对应。

二十四个基本积分公式积分是微积分中的重要概念，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。

而掌握基本的积分公式，就如同拥有了打开积分世界大门的钥匙。

接下来，让我们一起来了解这二十四个基本积分公式。

公式一：∫kdx ＝ kx ＋ C （k 为常数）这是最简单的积分公式之一。

无论 x 取何值，常数 k 乘以 x 再加上任意常数 C，就是 kx 的不定积分。

公式二：∫x^n dx ＝（1/（n ＋ 1)）x^（n ＋ 1) ＋ C （n ≠ －1）当函数为 x 的 n 次幂时，积分结果是将指数加 1 后除以新的指数，再加上常数 C 。

公式三：∫1/x dx ＝ ln|x| ＋ C对于反比例函数 1/x ，其积分结果是自然对数 ln|x|加上常数 C 。

这里要注意绝对值符号，因为 x 可能为负数。

公式四：∫e^x dx ＝ e^x ＋ C指数函数 e^x 的积分仍然是它本身 e^x 加上常数 C ，这是因为 e^x 的导数就是它本身。

公式五：∫a^x dx ＝（1/lna)a^x ＋ C （a ＞ 0，a ≠ 1）对于底数为 a 的指数函数 a^x ，其积分结果是 1 除以 lna 再乘以 a^x 加上常数 C 。

公式六：∫sinx dx ＝ cosx ＋ C正弦函数 sinx 的积分是 cosx 加上常数 C 。

公式七：∫cosx dx ＝ sinx ＋ C余弦函数 cosx 的积分是 sinx 加上常数 C 。

公式八：∫tanx dx ＝ ln|cosx| ＋ C正切函数 tanx 的积分是 ln|cosx|加上常数 C 。

公式九：∫cotx dx ＝ ln|sinx| ＋ C余切函数 cotx 的积分是 ln|sinx|加上常数 C 。

公式十：∫secx dx ＝ ln|secx ＋ tanx| ＋ C正割函数 secx 的积分是 ln|secx ＋ tanx|加上常数 C 。

公式十一：∫cscx dx ＝ ln|cscx ＋ cotx| ＋ C余割函数 cscx 的积分是 ln|cscx ＋ cotx|加上常数 C 。

外微分形式的微积分外微分形式是微积分中的一个重要概念，广泛应用于微分几何、物理学和工程学等领域中。

它是描述多元函数和曲面的工具，帮助我们理解和计算复杂的曲线和曲面上的积分以及它们之间的关系。

为了更好地理解外微分形式，首先需要了解微分形式的概念。

微分形式是一种能够描述曲线或曲面上各点的性质的数学对象。

它在数学上是一种广义的概念，可以用来描述不同维度的对象。

例如，在曲线上，微分形式可以表示为f(x)dx，其中f(x)是一个函数，dx表示微小的位移。

在曲面上，微分形式可以表示为f(x,y)dxdy，其中f(x,y)是一个二元函数。

外微分形式则是微分形式的推广，它可以描述更高维度的对象，如三维空间中的曲面或四维空间中的流形。

外微分形式使用向量的外积来定义，具有更强的代数性质。

例如，在三维空间中，一个外微分形式可以表示为f(x,y,z)dxdydz，其中f(x,y,z)是一个三元函数。

这种表示方式非常直观，它将函数值与微小的位移相乘，得到一个描述各点性质的形式。

外微分形式的一个重要性质是它能够描述曲线或曲面上的微积分运算，如积分和微分。

通过外微分形式，我们可以定义曲线和曲面上的曲线积分、曲面积分以及通量等概念。

这些积分与微分形式之间存在紧密的联系，它们互为逆运算。

使用外微分形式，我们可以将复杂的积分问题转化为简单的运算，使得计算更为方便。

在物理学和工程学中，外微分形式被广泛应用于描述电磁场、流体力学以及广义相对论等领域中的物理现象。

例如，在电磁场中，我们可以用外微分形式来描述电场和磁场的分布情况，进而计算电场和磁场的通量、环路积分等物理量。

在流体力学中，外微分形式可以描述流体的速度场、压力场等性质，帮助我们分析流体的运动行为。

在广义相对论中，外微分形式能够描述时空的曲率和引力场的分布情况，帮助我们理解引力的本质和时空的弯曲性质。

总之，外微分形式是微积分中的重要工具，它能够描述曲线和曲面上的性质，并帮助我们计算复杂的积分和微分。

积分中的微积分公式及其应用积分是微积分的重要组成部分。

微积分在自然科学和工程技术领域有广泛的应用，而积分则是它的重要工具之一。

本文将介绍在积分中常用的微积分公式及其应用。

一、牛顿-莱布尼茨公式牛顿-莱布尼茨公式是微积分中的基本定理之一，它描述了函数的导数和积分之间的关系。

它的公式如下：$$\int_{a}^{b}f(x)dx=[F(x)]_{a}^{b}=F(b)-F(a)$$其中，$f(x)$是积分的被积函数，$F(x)$是$f(x)$的一个原函数。

牛顿-莱布尼茨公式指出，一个连续函数的积分可以通过求它的一个原函数在两个端点处的值之差来计算。

例如，如果$f(x)$是一个速度函数，则$F(x)$是它的一个原函数，表示位移。

那么在$t=a$时刻的位置$x_{a}$和$t=b$时刻的位置$x_{b}$之间的位移$\Delta x=x_{b}-x_{a}$可以表示为：$$\Delta x=\int_{a}^{b}v(t)dt$$其中，$v(t)$是速度函数。

这个积分可以用牛顿-莱布尼茨公式计算，因为速度函数的一个原函数是位移函数。

二、换元积分法换元积分法是微积分的另一个基本方法。

它基于链式法则，通过将被积函数中的一个部分用一个新的变量来表示，来化简和求解积分。

考虑下面的积分：$$\int_{0}^{1} x^{2}\sqrt{1-x^{2}}dx$$我们可以通过换元积分法进行计算。

我们令$x=\sin u$，则$dx=\cos udu$。

将$x$的区间$[0,1]$转化为$[0,\frac{\pi}{2}]$。

将$x$换成$u$后，我们可以将被积函数变成下面的形式：$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2}u\cos^{2}udu$$然后，我们可以利用三角恒等式将$\sin^{2}u$表示成$\frac{1-\cos2u}{2}$，然后将$\cos^{2}u$表示成$\frac{1+\cos2u}{2}$。

外微分尹小玲(以下仅在三维空间中讨论)一、微分的外积运算微分的外积定义：对三维空间中自变量的微分dx ，dy ，dz ，其外积运算用Ù表示，如dx 与dy 的外积记为dy dx Ù，它们满足以下运算法则：（1）)()(dy dx a dy adx Ù=Ù，（a 是实数）；（2）外积运算对加法有分配律，如dz dx dy dx dz dy dx Ù+Ù=+Ù)(；（3）反交换律，即任何两个微分的外积交换次序后变号，如dx dy dy dx Ù-=Ù；（4）任意一个微分与自身的外积等于0，如0=Ùdx dx ；（5）结合律，dz dy dx dz dy dx ÙÙ=ÙÙ)()(；dx ，dy ，dz 在几何上可以理解为有向长度微元。

dy dx dx dz dz dy ÙÙÙ,,在几何上可以理解为有向面积微元，dz dy dx ÙÙ在几何上可以理解为有向体积微元。

因此，它们与dxdy dzdx dydz ,,，dxdydz 的区别在于前者是有向度量，即值有正负之分，而后者是无向的，永远是正的。

把微分的外积运算与向量的外积运算b a r r ´相比较，上述运算法则（1）~（4）是完全类似的。

而||b a r r ´在几何上是以b a r r ,为边的平行四边形的面积，对应于dydz dz dy =Ù||，dzdx dx dz =Ù||，dxdydy dx =Ù||二、外微分式及其外微分式的外积运算设F C B A R Q P ,,,,,,都是三维空间的函数，则分别称（1）~（4）式为零阶、一阶、二阶和三阶外微分式F（1）RdzQdy Pdx ++（2）dyCdx dx Bdz dz Ady Ù+Ù+Ù（3）dz dy Fdx ÙÙ（4）例p 阶外微分式与q 阶外微分式的外积是q p +阶外微分式，当3>+q p 时，外积为0。

【⽜顿-莱布尼茨公式的n维推⼴】外微分公式、斯托克斯公式、⼴义斯托克斯公式⽬录0、前⾔&引⼦0.1、本⽂要求的预备知识本⽂要求读者已修习书⽬《⾼等数学（下）》，了解「梯度」、「散度」、「旋度」的定义，了解全微分公式，熟悉「第⼀/⼆类曲线/⾯积分」，了解「⽜顿-莱布尼茨公式」、「格林公式」、「⾼斯公式」、「斯托克斯公式」。

本⽂旨在于让读者理解到「⽜顿-莱布尼茨公式」、「格林公式」、「⾼斯公式」、「斯托克斯公式」可以被统⼀为「⼴义斯托克斯公式」。

0.2、⽜顿-莱布尼茨公式我们在⾼数中讲过⽜顿-莱布尼茨公式\[\int_{a}^b{f^\prime\left( x \right) \mathrm{d}x}=f\left( b \right) -f\left( a \right) \tag{0.1} \]或者记为\[\int_{\left[ a,b \right]}{ \mathrm{d}f}=f\left( b \right) -f\left( a \right) \tag{0.2} \]0.3、格林公式在讲⼆重积分时，引⼊了格林公式\[\iint_D{\left( \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} \right) \mathrm{d}x\mathrm{d}y}=\oint_{l}{P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y}\tag{0.3} \]其中曲线 \(l\) 是平⾯区域 \(D\) 的边界曲线，我们⽤符号 \(l=\partial D\) 来表⽰ \(D\) 的边界曲线，并⽤⾏列式化简表达式\[\iint_D{\left| \begin{matrix} \frac{\partial}{\partial x}& \frac{\partial}{\partial y}\\ P& Q\\ \end{matrix}\right|\mathrm{d}x\mathrm{d}y}=\oint_{\partial D}{P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y} \tag{0.4} \]表达式右端可以看作向量的内积 \(\left\{P,Q\right\}\cdot \left\{\mathrm{d}x,\mathrm{d}y\right\}\) ，因此，令 \(\boldsymbol{F}=\left\{ P,Q \right\} ,\mathrm{d}\boldsymbol{l}=\left\{ \mathrm{d}x,\mathrm{d}y \right\}\) ，格林公式可以进⼀步写为\[\iint_D{\left| \begin{matrix} \frac{\partial}{\partial x}& \frac{\partial}{\partial y}\\ P& Q\\ \end{matrix}\right|\mathrm{d}x\mathrm{d}y}=\oint_{\partial D}{\boldsymbol{F} \cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}} \tag{0.5} \]还记得⾼数讲得旋度公式 \(\nabla \times \boldsymbol{F}=\left| \begin{matrix} \boldsymbol{\hat{x}}& \boldsymbol{\hat{y}}&\boldsymbol{\hat{z}}\\ \frac{\partial}{\partial x}& \frac{\partial}{\partial y}& \frac{\partial}{\partial z}\\ P& Q& R\\\end{matrix} \right|\) 吗？是不是感觉和这⾥很像？因为这⾥的 \(\boldsymbol{F}\) 没有 \(z\) 分量，所以这⾥有 \(\nabla \times \boldsymbol{F}=\left| \begin{matrix}\boldsymbol{\hat{x}}& \boldsymbol{\hat{y}}& \boldsymbol{\hat{z}}\\ \frac{\partial}{\partial x}& \frac{\partial}{\partial y}& 0\\ P& Q&0\\\end{matrix} \right| = \boldsymbol{\hat{z}}\left| \begin{matrix} \frac{\partial}{\partial x}& \frac{\partial}{\partial y}\\ P& Q\\ \end{matrix} \right|\)。