高考试题分类训练专题五 平面向量第十三讲 平面向量的概念与运算答案

9年全国高考文科数学试题分类汇编之专题五平面向量第十三讲平面向量的概念与运算及答案专题五 平面向量第十三讲 平面向量的概念与运算 一、选择题1．(2018全国卷Ⅰ)在∆ABC 中,AD 为BC 边上的中线,E 为AD 的中点,则EB =A ．3144AB AC-B ．1344AB AC- C ．3144AB AC+D ．1344AB AC+2．(2018全国卷Ⅱ)已知向量a ,b 满足||1=a ,1⋅=-a b ,则(2)⋅-=a a b A ．4B ．3C ．2D ．03．(2018天津)在如图的平面图形中,已知1OM =,2ON =,120MON ∠=,2BM MA =,2CN NA =,则·BC OM 的值为NMOCBAA ．15-B ．9-C ．6-D ．04．（2017新课标Ⅱ）设非零向量a ,b 满足||||+=-a b a b 则A ．⊥a bB ．||||=a bC ．∥a bD ．||||>a b5．（2017北京）设m , n 为非零向量,则“存在负数λ,使得λ=m n ”是“0⋅<m n ”的 A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．（2016年天津）已知△ABC 是边长为1的等边三角形,点E D ,分别是边BC AB ,的中点,连接DE 并延长到点F ,使得EF DE 2=,则AF BC ⋅的值为A ．85-B ．81C ．41D ．8117．（2016全国III 卷）已知向量1(2BA =uu v ,1),2BC =uu u v 则ABC ∠= A ．30° B ．45° C ．60° D ．120°8．(2015重庆)已知非零向量,a b 满足||=4||b a ,且(+)⊥2a a b ,则a 与b 的夹角为A ．3πB ．2πC ．23πD ．56π9．（2015陕西）对任意向量,a b ,下列关系式中不恒成立的是 A ．||||||⋅≤a b a b B ．||||||||--≤a b a bC ．22()||+=+a b a bD ．22()()+-=-a b a b a b10．（2015新课标2）向量(1,1)=-a ,(1,2)=-b ,则(2)+⋅=a b a A ．1- B ．0 C ．1 D ．211．（2014新课标1）设F E D ,,分别为ABC ∆的三边AB CA BC ,,的中点, 则=+A ．B ． 21C ． 21D ．12．（2014新课标2）设向量a ,b 满足|+a b |-a b 则⋅=a b A ．1 B ．2 C ．3 D ．513．(2014山东) 已知向量(1(3,)m ==a b . 若向量,a b 的夹角为6π,则实数m =A ．B ．．0D ．14．（2014安徽）设,a b 为非零向量,2=b a,两组向量1234,,,x x x x 和1234,,,y y y y 均由2个a 和2个b 排列而成,若11223344x y x y x y x y ⋅+⋅+⋅+⋅所有可能取值中的最小值为24a,则a 与b 的夹角为A ．23πB ．3πC ．6πD ．015．（2014福建）在下列向量组中,可以把向量()3,2=a 表示出来的是A ．12(0,0),(1,2)==e e B ．12(1,2),(5,2)=-=-e eC ．12(3,5),(6,10)==e e D ．12(2,3),(2,3)=-=-e e16．（2014浙江）设θ为两个非零向量a ,b 的夹角,已知对任意实数t ,||t +b a 是最小值为1 A ．若θ确定,则||a 唯一确定 B ．若θ确定,则||b 唯一确定 C ．若||a 确定,则θ唯一确定 D ．若||b 确定,则θ唯一确定17．(2014重庆)已知向量(,3)k =a ,(1,4)=b ,(2,1)=c ,且(23)-⊥a b c ,则实数k =A ．92-B ．0C ．3D ．15218．（2013福建）在四边形ABCD 中,)2,4(),2,1(-==,则该四边形的面积为 A ．5B ．52C ．5D ．1019．（2013浙江）设ABC ∆,0P是边AB 上一定点,满足014PB AB =,且对于边AB 上任一点P ,恒有00PB PC P B PC ⋅⋅≥．则A ．090=∠ABCB ．090=∠BAC C ．AC AB = D ．BC AC =20．（2013辽宁）已知点(1,3)A ,(4,1)B -,则与向量AB 同方向的单位向量为A ．3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，- B ．4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，- C ．3455⎛⎫- ⎪⎝⎭， D ．4355⎛⎫- ⎪⎝⎭， 21．（2013湖北）已知点(1,1)A -、(1,2)B 、(2,1)C --、(3,4)D ,则向量AB 在CD 方向上的投影为A． B． C． D．22．（2013湖南）已知,a b 是单位向量,⋅0a b =．若向量c 满足1--=c a b ,则c的最大值为A．1B．1 D223．（2013重庆）在平面上,12AB AB ⊥,121OB OB ==,12AP AB AB =+.若12OP <,则OA的取值范围是A 、⎛ ⎝⎦B 、⎝⎦ C 、⎝D、⎝24．（2013广东）设a 是已知的平面向量且0≠a ,关于向量a 的分解,有如下四个命题： ①给定向量b ,总存在向量c ,使=+a b c ；②给定向量b 和c ,总存在实数λ和μ,使λμ=+a b c ；③给定单位向量b 和正数μ,总存在单位向量c 和实数λ,使λμ=+a b c ； ④给定正数λ和μ,总存在单位向量b 和单位向量c ,使λμ=+a b c ； 上述命题中的向量b ,c 和a 在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是 A ．1B ．2C ．3D ．425．（2012陕西）设向量a =（1,cos θ）与b =（-1,2cos θ）垂直,则cos 2θ等于A ．2B ．12C ．0D ．－126．（2012浙江）设a ,b 是两个非零向量 A ．若||||||+=-a b a b ,则⊥a b B ．若⊥a b ,则||||||+=-a b a bC ．若||||||+=-a b a b ,则存在实数λ,使得λ=b aD ．若存在实数λ,使得λ=b a ,则||||||+=-a b a b27．（2011广东）已知向量a =（1,2）,b =（1,0）,c =（3,4）．若λ为实数, ()λ+∥a b c ,则λ=A ． 14B ．12 C ．1 D ．228．（2011辽宁）已知向量(2,1)=a ,(1,)k =-b ,(2)0⋅-=a a b ,则=k A ．12- B ．6- C ．6 D ．1229．（2010辽宁）平面上O ,A ,B 三点不共线,设OA=a ,OB =b ,则△OAB 的面积等于A ．BC ．30．（2010山东）定义平面向量之间的一种运算“”如下：对任意的(,)m n =a ,(,)p q =b ,令mq np =-ab ,下面说法错误的是A ．若a 与b 共线,则0=a bB ．=ab baC ．对任意的R λ∈,有()()λλ=a b abD ．2222()()||||+∙=ab a b a b二、填空题31．(2018全国卷Ⅲ)已知向量(1,2)=a ,(2,2)=-b ,(1,)λ=c ．若()2+ca b ,则λ=_．32．(2018北京)设向量(1,0)=a ,(1,)m =-b ,若()m ⊥-a a b ,则m =_______．33．（2017新课标Ⅰ）已知向量(1,2)=-a ,(,1)m =b ．若向量+a b 与a 垂直,则m =__． 34．（2017新课标Ⅲ）已知向量(2,3)=-a ,(3,)m =b ,且⊥a b ,则m = ．35．（2017天津）在△ABC 中,60A ∠=︒,AB =3,AC =2．若2BD DC =,AE AC AB λ=-（λ∈R ）,且4AD AE ⋅=-,则λ的值为 ．36．（2017山东）已知向量(2,6)=a ,(1,)λ=-b ,若a ∥b ,则λ= ．37．（2017江苏）如图,在同一个平面内,向量OA ,OB ,OC 的模分别为OA 与OC 的夹角为α,且tan 7α=,OB 与OC 的夹角为45。

高三数学平面向量的概念及几何运算试题答案及解析1.在平面直角坐标系中，O(0，0)，P(6，8)，将向量按逆时针旋转后，得向量，则点的坐标是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】方法一：设，则．方法二：将向量按逆时针旋转后得，设=+，则=（14，2）因为||=||，所以四边形OMQ′P为正方形，所以向量在正方形之对角线上。

因为是的一半，所以向量与反向且||=||=||=10所以=－λ（λ>0）由|－λ|=10得，λ=，所以．2.已知△ABC中，点D是BC的中点，过点D的直线分别交直线AB、AC于E、F两点，若，，则的最小值是()A．9B．C． 5D．【答案】D【解析】由题意得，，又D、E、F在同一条直线上，可得．所以，当且仅当2λ＝μ时取等号．故选D．3.已知A、B、C三点不共线，O是△ABC内的一点，若++=0，则O是△ABC的（）A．重心B．垂心C．内心D．外心【答案】A【解析】如图所示，根据平行四边形法则，有，故=0，所以O为重心．故选A．4.在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，，则λ＋μ的值为() A．B．C．D．1【答案】A【解析】∵M为边BC上任意一点，∴可设．∴N为AM中点，∴.∴．故选A.5.已知点A(1,3),B(4,-1),则与向量同方向的单位向量为()A．B．C．D．【答案】A【解析】=(3,-4),则与同方向的单位向量为=(3,-4)=.故选A.6.设x∈R,向量a=(x,1),b=(1,-2),且a⊥b,则|a+b|等于()A．B．C．2D．10【答案】B【解析】由a⊥b⇒(x,1)·(1,-2)=0⇒x-2=0⇒x=2.∴a=(2,1).∴a+b=(2,1)+(1,-2)=(3,-1),∴|a+b|=,故选B.7.直线的一个法向量可以是【答案】【解析】已知直线的一般式方程为，因此其一个法向量为．【考点】直线的法向量．8.设a,b是不共线的两个向量,其夹角是θ,若函数f(x)=(xa+b)·(a-xb)(x∈R)在(0,+∞)上有最大值,则()A．|a|<|b|,且θ是钝角B．|a|<|b|,且θ是锐角C．|a|>|b|,且θ是钝角D．|a|>|b|,且θ是锐角【答案】D【解析】f(x)=-a·bx2+(a2-b2)x+a·b,若函数f(x)在(0,+∞)上有最大值,则可知函数为二次函数,且图象的开口向下,且对称轴在y轴右侧,即所以a,b的夹角为锐角,且|a|>|b|.【误区警示】解答本题时容易因看不懂题意,不能将函数问题转化为向量问题而导致错解或无法解题.9.若O是A,B,P三点所在直线外一点且满足条件:=a1+a4021,其中{an}为等差数列,则a2011等于()A．-1B．1C．-D．【答案】D【解析】因为A,B,P三点共线,且=a1+a4021,所以a1+a4021=1,故a2011==.10.给出以下命题:①对于实数p和向量a,b,恒有p(a-b)=pa-pb;②对于实数p,q和向量a,恒有(p-q)a=pa-qa;③若pa=pb(p∈R),则a=b;④若pa=qa(p,q∈R,a≠0),则p=q.其中正确命题的序号为.【答案】①②④【解析】根据实数与向量乘积的定义及其运算律可知①②④正确;③不一定成立,因为当p=0时,pa=pb=0,而不一定有a=b.11.已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，且(a＋b)⊥，则a与b的夹角为()．A．B．C．D．【答案】A【解析】因为(a＋b)⊥，所以(a＋b)·＝a2－b2－a·b＝0.又因为|a|＝2，|b|＝1，所以4－－a·b＝0.所以a·b＝1.又a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝1，所以cos〈a，b〉＝.又a与b的夹角的取值范围是[0，π]，所以a与b的夹角为.12.已知向量a与b的夹角为120°，|a|＝3，|a＋b|＝则|b| 等于()．A．5B．4C．3D．1【解析】向量a与b的夹角为120°，|a|＝3，|a＋b|＝，则a·b＝|a||b|·cos 120°＝－|b|，|a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2.所以13＝9－3|b|＋|b|2，则|b|＝－1(舍去)或|b|＝4.13.已知|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则向量a与b的夹角为()．A．B．C．D．【答案】B【解析】a·(b－a)＝a·b－a2＝2.所以a·b＝3，＝，所以〈a，b〉＝.14.已知O，A，M，B为平面上不同的四点，且＝λ＋(1－λ) ，λ∈(1,2)，则()．A．点M在线段AB上B．点B在线段AM上C．点A在线段BM上D．O，A，M，B四点共线【答案】B【解析】根据题意知＝λ＋－λ＝λ(－)＋，则－＝λ(－)，即＝λ.由λ∈(1,2)可以判断出点M在线段AB的延长线上，即点B在线段AM上．15.若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，则|a＋b－c|的最小值为()．A．－1B．1C．＋1D．【答案】A【解析】|a＋b－c|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b－2a·c－2b·c＝3－2(a＋b)·c，因为a·b＝0，且|a|＝|b|＝|c|＝1，所以|a＋b|＝，所以(a＋b)·c＝|a＋b||c|·cos〈a＋b，c〉＝cos〈a＋b，c〉，即|a＋b－c|2＝3－2·cos〈a＋b，c〉，所以当cos〈a＋b，c〉＝1时，|a＋b－c|2最小值为|a＋b－c|2＝3－2＝(－1)2，所以|a＋b－c|＝－1.min16.在边长为1的正三角形ABC中，＝x，＝y，x>0，y>0，且x＋y＝1，则·的最大值为_____________【答案】【解析】由题意，·="(" + )( + )∵＝x，＝y，∴·="("+ )( + )="(" + )( +y)=∵x＞0，y＞0，且x+y=1∴xy≤, ∴=当且仅当x=y=时，取等号∴当x=y=时，·的最大值为.【考点】向量的运算，不等式的性质.17.若两个非零向量满足，则向量与的夹角为（）A．B．C．D．【解析】结合向量加减法的平行四边形法则三角形法则可知分别为以为临边的平行四边形的对角线对应的向量，，所以此平行四边形是矩形，且对角线与矩形的边的较小的夹角为，结合图形可知向量与的夹角为【考点】向量的平行四边形法则三角形法则点评：本题首先结合向量加减法的作图原则做出及其和差向量，结合平面图形性质可知四边形是矩形18.已知向量，，且，则实数的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为,所以.【考点】向量垂直的坐标表示.点评：根据,所以.设,所以.19.在边长为6的等边△ABC中，点M满足，则等于．【答案】 24【解析】【考点】本小题考查向量的线性运算及其向量的数量积。

五、平面向量1．向量的概念①向量 既有大小又有方向的量。

向量的大小即向量的模（长度），记作|AB |即向量的大小，记作｜a |。

向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。

向量表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 为基底，则平面内的任一向量a 可表示为(),a xi y j x y =+=，称(),x y 为向量a 的坐标，a ＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示。

如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。

向量和数量的区别：向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。

如已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB 按向量a ＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0））②零向量长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝0 ⇔｜a ｜＝0。

由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。

（注意与0的区别）③单位向量 模为1个单位长度的向量，向量0a 为单位向量⇔｜0a ｜＝1。

(与AB 共线的单位向量是||AB AB ±)；④平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量。

任意一组平行向量都可以移到同一直线上，方向相同或相反的向量，称为平行向量，记作a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。

由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。

提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)；④三点A B C 、、共线⇔ AB AC 、共线；数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的。

高三数学平面向量的概念及几何运算试题答案及解析1.已知平面向量, 且, 则 ( )A．B．C．D．【答案】C【解析】由向量, 且.所以.即.故选C.【考点】1.向量平行的性质.2.向量的模的运算2.在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，+=λ，则λ=．【答案】2【解析】由平行四边行的性质知，AC与BD互相平分，又+==2所以λ=23.在四边形中，，，则四边形的面积为()A．B．C．2D．【答案】A【解析】由，可知四边形为平行四边形，且，因为，所以可知平行四边形ABCD的角平分线BD平分∠ABC,四边形为菱形,其边长为，且对角线对于边长的倍，即,则,即,所以三角形的面积为，所以四边形的面积为，选A 4.已知a，b是两个非零向量，下列各命题中真命题的个数为()(1)2a的方向与a的方向相同，且2a的模是a的模的2倍；(2)－2a的方向与5a的方向相反，且－2a的模是5a的模的；(3)－2a与2a是一对相反向量；(4)a－b与－(b－a)是一对相反向量．A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】(1)真命题．因为2>0，所以2a与a的方向相同．又|2a|＝2|a|，所以命题①是真命题．(2)真命题．因为5>0，所以5a与a方向相同，且|5a|＝5|a|，而－2<0，所以－2a与a的方向相反，|－2a|＝2|a|，所以－2a与5a的方向相反，且模是5a的模的．故(2)是真命题．(3)真命题．依据相反向量的定义及实数与向量乘积的定义进行判断．(4)假命题．因为a－b与b－a是一对相反向量．所以a－b与－(b－a)是一对相等向量．正确命题个数为3，故选C ．．5. 若平面四边形ABCD 满足＋＝0，(－)·＝0，则该四边形一定是________． 【答案】菱形【解析】四边形ABCD 满足＋＝0知其为平行四边形，(－)·＝0即·＝0知该平行四边形的对角线互相垂直，从而该四边形一定是菱形． 6. 若向量满足，且与的夹角为，则.【答案】【解析】，.【考点】向量基本运算.7. 设a,b 是非零向量,则下列不等式中不恒成立的是( ) A ．|a+b|≤|a|+|b| B ．|a|-|b|≤|a+b| C ．|a|-|b|≤|a|+|b| D ．|a|≤|a+b|【答案】D【解析】由||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|知A,B,C 恒成立,取a+b=0,则D 不成立. 【误区警示】解答本题时容易忽视向量共线的情形.8. 已知P 是△ABC 所在平面内一点，＋＋2＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是________． 【答案】【解析】取边BC 上的中点D ，由＋＋2＝0，得＋＝2，而由向量的中点公式知＋＝2，则有＝，即P 为AD 的中点，则S △ABC ＝2S △PBC ，根据几何概率的概率公式知，所求的概率为.9. 已知向量a ＝(2,1)，a ·b ＝10，|a ＋b |＝5，则|b |等于( )．A ．B ．C ．5D ．25【答案】C【解析】由于|a |＝，而|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝5＋2×10＋b 2＝(5)2，则有b 2＝25，解得|b |＝5.10. 设a ，b 是两个非零向量，下列选项正确的是( )． A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥b B ．若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a |－|b |C ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得b ＝λaD ．若存在实数λ，使得b ＝λa ，则|a ＋b |＝|a |－|b |【答案】C【解析】对于A ，可得cos 〈a ，b 〉＝－1，因此a ⊥b 不成立；对于B ，满足a ⊥b 时，|a ＋b |＝|a |－|b |不成立；对于C ，可得cos 〈a ，b 〉＝－1，因此成立，而D 显然不一定成立．11. △ABC 中D 为BC 边的中点，已知＝a ，＝b 则在下列向量中与同向的向量是( )．A．B．C．D．|b|a＋|a|b【答案】C【解析】∵＝(＋)＝(a＋b)，∴向量与向量是同向向量．12.如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使DE=CD，若点P是以点A为圆心，AB为半径的圆弧（不超出正方形）上的任一点，设向量，则的最小值为____，的最大值为_____；【答案】1，【解析】假设，由已知可得.由向量，可得.所以可得,.令代入可得..所以.又因为.所以最小值为1，最大值为.故填1，.【考点】1.向量的加减.2.向量中最值问题.3.向量的数量积.13.如图给定两个长度为1的平面向量和，它的夹角为，点在以为圆心的圆弧上变动，若，其中，求的最大值.【答案】2.【解析】先建立平面直角坐标系，用坐标表示，由于模为1，从而得出一个关于的方程——，然后再由基本不等式的变形公式得出的最大值.要注意交待清楚等号成立的条件.试题解析：以为原点，向量所在方向为轴正方向，与垂直且向上的方向为轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系.设，由题意得 4分，，，由得，，8分又，当且仅当时取等号.所以 12分即∴，当且仅当时取等号即 14分【考点】1.向量的坐标表示；2.平面向量的线性运算；3.基本不等式.14.如图，在中，点是边上靠近的三等分点，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由平面向量的三角形法则，可得：，又因为点是边上靠近的三等分点，所以，＝＝.【考点】平面向量的三角形法则.15.已知是平面向量，下列命题中真命题的个数是( )①②③④A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】由平面向量的基础知识可知①②④均不正确，只有③正确，故选A.【考点】平面向量的定义与基本性质.16.已知和点M满足.若存在实数m使得成立，则m= （）A．2B．3C．4D．5【答案】B【解析】根据题意，由于和点M满足.则可知点M是三角形的重心，同时存在实数m使得成立，则可知 ,那么解得m=3，故答案为B.【考点】角平分线定理点评：本试题主要考查向量的基本运算，考查角平分线定理17.已知向量，，．若为实数，，则。

专题五平面向量第十三讲平面向量的概念与运算答案部分1. A 【解析】通解如图所示，3— 1 —=—AB — AC ・故选A. 4 4优解 EB = AB-AE = AB--Ab = AB--x-(AB + AC)2 2 2= 1A B-- AC ・故选A ・ 4 42. C 【解析】・・・|“一鋼=国+引，・•.(“—站)2=(3“+疔，.•./一&八方+ 9沪=9a 2+6a b+b 2,又 1“1=1 方 1=1, :.ab = O,.・.“丄〃；反之也成立，故选C.3. B 【解析】” •(加一〃)=加‘一“=2-(—1) = 3 ,故选B.4. A 【解析】因为〃人畀为非零向呈:，所以/w • n =1 m II n I cos < mji >< 0的充要条件是cos <m,n > <0.因为2<0,则由m=An 可知加，〃的方向相反，<m.n >=180 ♦ 所以COSVMMX O,所以“存在负数/U 使得= An 99可推出“ mn<Q 9f:而 • /I <0 nJ 推出cos <rnjt ><0 ,但不一立推岀〃人〃的方向相反，从而不一左推得"存在负数几，使得m = An ",所以“存在负数2,使得加=加”是“加・〃<0” 的充分而不必要条件.5. B 【解析】由〃丄(tni +n)可得”・(〃”+死)=0,即/加・n + ir = 0,所豁—沪__ ⑷2 w n lw|-|,,lcos<w '/,> Imlxl/ilxi 3"煤*7故选B.' • — ' • — I • I ■ • [ — —B 【解析】设BA = a, BC = h, :. DE = -AC = -(b^a) 2 213 5 3 ^D +DF = --a + -(b-^--a + -b t --------- 5 ——3 -25 3 1 /. AF ・BC = — a ・b + i 故选 B.6. 3 3亦=二旋=_(—) 2 44 4 8 4 87. D【解析】由向量的坐标运算得a+方=（4,加-2）,• ：（a + b）丄b , :. （“ + 方）• b = 12 — 2（〃】一2） = 0 ,解得/n = 8,故选D・1 V3 1— X ---- 1 ------ X— /TA【解析】由题意得cosZABC= — = 一2一2— =L,8.IBAIIBCI 1x1 2所以ZABC = 30 ,故选A.9. A【解析】由题意(0-5・(3心+ 2/；) = 3/-％-2/；'=0,即3|和湘―卩卜°,所以3x(半沪爭如2",10. B【解析】对于A选项,设向量—b的夹角为⑹cos&W|“ll〃l,•••A选项正确；对于B选项，•••当向量—方反向时，1“一〃1$11“1一"11, 选项错误：对于C选项，由向虽:的平方等于向量模的平方可知，C选项正确：对于D选项, 根据向量的运算法则，可推导岀(a+b) (a-b) = a2-b2,故D选项正确，综上选B.11.D【解析】如图由题意，BC = AC -AB = (2a + b)-2a =b ,故I 厶1= 2 ,故A 错误：12a 1= 21 “ 1= 2 • 所以1“1=1,又AB AC = 2a -(2a + b) = 4 \ a \2 +2ab = 2x2cos60 = 2 , 所以ab = -\,故B,C错误；设B,C中点为D,则AB + AC = 2AD, 且刁万丄就，所以(4刁+可丄阮，故选D.12.A【解析】EB + FC =—(BA + BC)--(CA + CB) = -(AB + AC) = AD ・2 2 213.A【解析】由(a+b)2 = 10 ①，(“ 一〃)‘=6 ②，①一②得ab = \.14.B【解析】由题意得—= cos-= lx3 + ^ ,两边平方化简得6>/3/H =18,2 6 2x\j9 + m2解得m =艮经检验符合题意.15.B【解析】设S =西•开+兀2 •『2 +“ • >3 +兀4 • >‘4，若S的表达式中有o个a b ,则S = 2〉+2产，记为5，若S的表达式中有2个a-b^S = 2h2 +2h2 +2a-b, 记为S?,若S 的表达式中有4个力巧，则S=4db,记为S3,又\b\=2\a\, 所以§ 一耳=力‘ +方‘ 一4方坊=2(方一厉？ > o,S] —S Q =ci~ + b~—2i/ • h = (c/—by > 0,52-S3=(«-^)2>0, .\S3<S2<S1,故S”n=S3=4方易，设方，厶的夹角为&，则S niin=45-J = 8l«l2 cos6> = 4l«卩，即cos& = ],又&已[0,刃，所以& = £.16.B【解析】对于A, C, D,都有勺〃冬，所以只有B成立.17.B【解析】由于\b + ta \2=b2 + 2a4ft+a2r,令八)=b2 +2a^bt+a2t2,而/是任意实数，所以可得/(f)的最小值为滋专—⑵历)2 4<i2b2一滋专cos20 4b2 sin20 t—百=——即\b\2 sin2<9 = l,则知若8确定,则"I唯一确定.18.C【解析】丁加一3b = (2«-玄-6),(加—3b)丄c,所以(加一3〃)・c=2(2k—3) — 6 = 0。

高三数学平面向量的概念试题答案及解析1.已知向量、满足，则 .【答案】5【解析】【考点】向量的模与数量积.2.已知向量（1）求，并求在上的投影（2）若，求的值，并确定此时它们是同向还是反向？【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据已知条件，首先求得，进一步确定，利用投影的计算公式得解.（2）解答此类问题，可由两种思路，一是利用坐标运算，根据共线向量的条件，得到的方程；二是利用共线向量定理，引入参数，建立方程组.试题解析：（1） 1分 2分， 4分在上的投影为 6分（2）法一： 8分10分12分法二： 8分10分 12分【考点】平面数列的坐标运算，共线向量定理.3.设，向量，，，且，，则=_____________.【答案】【解析】∵,∴，则，∴，又∵，则，∴，故，，故，则.【考点】1、向量垂直；2、向量共线；3、向量的模.4.在平面直角坐标系xOy中，点A（5，0），对于某个正实数k，存在函数f（x）＝a（a＞0）．使得＝λ·（＋）（λ为常数），这里点P、Q的坐标分别为P（1，f（1）），Q（k，f（k）），则k的取值范围为（）A．（2，＋∞）B．（3，＋∞）C．[4，＋∞）D．[8，＋∞）【答案】A【解析】由题设知，点，所以向量，所以，因为＝λ·（＋）（λ为常数），所以，两式相除得，，，所以且，且，选A.【考点】平面向量的综合运算.5.已知向量满足，且，则在方向上的投影为（）A．3B．.C．D．【答案】B【解析】因为，所以.【考点】向量的相关概念及运算.6.已知a,b是单位向量，a·b=0.若向量c满足|c-a-b|=1,则|c|的最大值为（）A．B．C．D．【答案】C；【解析】因为，，做出图形可知，当且仅当与方向相反且时，取到最大值，最大值为.7.向量，的夹角为，且，，则等于A．B．C．D．【答案】D【解析】【考点】向量求模点评：求向量的模常借助于,将模的问题转化为向量问题8.△ABC中，AB边的高为CD，若，a·b=0，|a|=1，|b|=2，则= A．B．C．D．【答案】D【解析】在直角三角形中，,则,所以,所以,即，选D.9.已知方程，其中、、是非零向量，且、不共线，则该方程( )A．至多有一个解B．至少有一个解C．至多有两个解D．可能有无数个解【答案】A【解析】本题考查向量基本定理。

高三数学平面向量的概念及几何运算试题答案及解析1.在实数集R中，我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序”.类似的，我们在平面向量集上也可以定义一个称“序”的关系，记为“”.定义如下：对于任意两个向量当且仅当“”或“”.按上述定义的关系“”，给出如下四个命题：①若；②若，则；③若，则对于任意；④对于任意向量.其中真命题的序号为__________.【答案】①②③【解析】①因为由定义,,所以故①为真命题；②设由得：，或由得，或，以下分四种情况讨论：第一：若,则，所以第二：若,则，所以第三：若,则，所以第四：若,则，所以，且所以所以②是真命题③设，则由得：“”或“”所以或“且”所以是真命题．④设，显然满足，但＝，所以，所以命题是假命题．综上答案应填①②③．【考点】1、新定义；2、不等式的性质；3、向量的概念与运算.2.在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，+=λ，则λ=．【答案】2【解析】由平行四边行的性质知，AC与BD互相平分，又+==2所以λ=23.在四边形中，，，则四边形的面积为()A．B．C．2D．【答案】A【解析】由，可知四边形为平行四边形，且，因为，所以可知平行四边形ABCD的角平分线BD平分∠ABC,四边形为菱形,其边长为，且对角线对于边长的倍，即,则,即,所以三角形的面积为，所以四边形的面积为，选A 4.已知点A(1,3),B(4,-1),则与向量同方向的单位向量为()A．B．C．D．【答案】A【解析】=(3,-4),则与同方向的单位向量为=(3,-4)=.故选A.5.直线的一个法向量可以是【答案】【解析】已知直线的一般式方程为，因此其一个法向量为．【考点】直线的法向量．6.已知向量＝(cos α，sin α)，将向量绕坐标原点O逆时针旋转θ角得到向量 (0°＜θ＜90°)，则下列说法不正确的为( )A．|＋|＝|－|B．||＋||＞|－|C．(＋)⊥(－)D．、在＋方向上的投影相等【答案】A【解析】由题意可知以，所在线段为一组邻边，＋，－所在线段为对角线可构成边长为1的菱形，所以B，C， D正确，A错误．7.在梯形ABCD中，AB∥CD，且|AB|＝λ|DC|，设＝a，＝b，则＝()A．λa＋b B．a＋λbC．a＋b D．a＋b【答案】C【解析】＝＋＝b＋＝b＋a.故选C.8.已知非零向量a,b满足向量a+b与向量a-b的夹角为,那么下列结论中一定成立的是() A．a=b B．|a|=|b|C．a⊥b D．a∥b【答案】B【解析】由条件得(a+b)·(a-b)=a2-b2=0,故可得|a|=|b|.9.已知向量a,b满足|a|=|b|=2,a·b=0,若向量c与a-b共线,则|a+c|的最小值为()A．1B．C．D．2【解析】由于c与a-b共线,且a-b≠0所以设c=λ(a-b)(λ∈R),于是a+c=a+λ(a-b)=(λ+1)a-λb,所以|a+c|===,因此当λ=-时,|a+c|取最小值.10.设a,b是不共线的两个向量,其夹角是θ,若函数f(x)=(xa+b)·(a-xb)(x∈R)在(0,+∞)上有最大值,则()A．|a|<|b|,且θ是钝角B．|a|<|b|,且θ是锐角C．|a|>|b|,且θ是钝角D．|a|>|b|,且θ是锐角【答案】D【解析】f(x)=-a·bx2+(a2-b2)x+a·b,若函数f(x)在(0,+∞)上有最大值,则可知函数为二次函数,且图象的开口向下,且对称轴在y轴右侧,即所以a,b的夹角为锐角,且|a|>|b|.【误区警示】解答本题时容易因看不懂题意,不能将函数问题转化为向量问题而导致错解或无法解题.11.已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，且(a＋b)⊥，则a与b的夹角为()．A．B．C．D．【答案】A【解析】因为(a＋b)⊥，所以(a＋b)·＝a2－b2－a·b＝0.又因为|a|＝2，|b|＝1，所以4－－a·b＝0.所以a·b＝1.又a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝1，所以cos〈a，b〉＝.又a与b的夹角的取值范围是[0，π]，所以a与b的夹角为.12.设a，b是两个非零向量，下列选项正确的是()．A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥bB．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b＝λaD．若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a|－|b|【答案】C【解析】对于A，可得cos〈a，b〉＝－1，因此a⊥b不成立；对于B，满足a⊥b时，|a＋b|＝|a|－|b|不成立；对于C，可得cos〈a，b〉＝－1，因此成立，而D显然不一定成立．13.已知O，A，M，B为平面上不同的四点，且＝λ＋(1－λ) ，λ∈(1,2)，则()．A．点M在线段AB上B．点B在线段AM上C．点A在线段BM上D．O，A，M，B四点共线【解析】根据题意知＝λ＋－λ＝λ(－)＋，则－＝λ(－)，即＝λ.由λ∈(1,2)可以判断出点M在线段AB的延长线上，即点B在线段AM上．14.如图，在底角为的等腰梯形中，已知，分别为，的中点.设，.(1)试用，表示，；(2)若，试求的值.【答案】(1)，；（2）.【解析】(1) 利用平面向量的加法和减法的运算法则进行计算，用已知量表示未知量，注意向量的方向的变化；（2）要求，就要找到向量，的模及其数量积，先求出向量的模，再根据向量的性质进行计算.试题解析：(1)因为，，，分别为，的中点，所以； 3分. 6分（2），, ，所以, 8分那么. 12分【考点】1、平面向量的模及数量积；2、平面向量的加减混合运算.15.如图，为直线外一点，若，，，，，，，中任意相邻两点的距离相等，设，，用，表示，其结果为 .【答案】【解析】设的中点为A，则A也是，…的中点，由向量的中点公式可得，同理可得，故.【考点】平面向量的加法法则，中点公式.16.在边长为1的正三角形ABC中，＝x，＝y，x>0，y>0，且x＋y＝1，则·的最大值为_____________【答案】【解析】由题意，·="(" + )( + )∵＝x，＝y，∴·="("+ )( + )="(" + )( +y)=∵x＞0，y＞0，且x+y=1∴xy≤, ∴=当且仅当x=y=时，取等号∴当x=y=时，·的最大值为.【考点】向量的运算，不等式的性质.17.已知向量，，若与共线.则等于（）A．B．C．D．4【答案】A【解析】因为与共线，所以【考点】本小题主要考查向量的共线的坐标运算.点评：向量的共线与垂直是两种重要的位置关系，它们的坐标运算要熟练掌握.18.若为所在平面内一点，且满足，，则ABC的形状为A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形【答案】C【解析】,点M在底边BC的中垂线上，又,所以点M在底边BC的中线上，因而底边BC的中线与垂直平分线重合，所以ABC的形状为等腰三角形.19.已知单位向量满足，则夹角为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为单位向量满足，则夹角为，选C20.定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意向量a b令a⊙b，则下列说法错误的是A．对任意的a⊙b a⊙(b)B．a⊙b b⊙aC．a⊙b a b a bD．若a与b共线，则a⊙b【答案】B【解析】若a与b共线，则有a⊙b=mq-np=0,故D正确因为b⊙a="pn-mq," a⊙b=mq-np=0,故选项B不正确，选B21.已知，若，则【答案】【解析】略22.在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，_____【答案】（-3,-5）【解析】略23.已知点A（1，2）、B（3，4），则向量坐标为＿＿＿＿ .【答案】（2，2）【解析】略24.设平面向量，若，则实数的值为 ( )A．B．C．D．【答案】B【解析】故选B25.若向量则等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】本题考查平面向量的基本定理，向量的坐标运算和向量相等的概念.设则，根据向量相等概念得：解得故选B26.若向量,满足，，，则与的夹角是。

专题五平面向量第十三讲平面向量的概念与运算答案部分1. A【解析】通解如图所示,C1 1 11 1 -EB=ED DB^AD 2CB92(AB AC r(AB—AC)= 2 3AB_」AC •故选A .4 41 11 —23. B【解析】a (2 a -b) =2a - a 2 -(-1)=3，故选B .4. A【解析】因为m, n为非零向量，所以m n =| m ||n|cos：：：m, n •：：：0的充要条件是cos：：：m, n，：0 .因为■ ：：：0，则由m='n 可知m, n 的方向相反，m, n = 180 ,所以cos ：：：m, n：0，所以"存在负数■，使得m - ■ n ”可推出"m n 0”；而m n :: 0可推出cos ：：：m, n •：：：0，但不一定推出m, n的方向相反，从而不一定推得"存在负数■,使得m =，n ”，所以"存在负数■，使得m =，n ”是"m n 0 的充分而不必要条件.25. B【解析】由n - (t m n)可得n (t m • n) = 0 ,即卩t m n n = 0 ,优解 EB= AB —AE = AB巧 AD=AB—2Y(AB+ AC)=—AB - - AC .故选 A .442 2 2 2•- (a- 3b ) =(3 a b ) ,• a - 6a b 9 b2 29a 6a b b ,又 | a |=| b |=1 ,••• a b 二 0 ,••• a _ b ；反之也成立，故选2. C 【解析】••• a -3b = 3a +b ,C .| m | | n | cos< m ,n >=_3凹=_3 4 = _4 .故选 B . | m | 3D 【解析】由向量的坐标运算得 a 、b= 4, m —2 ,•/ (a b) _b ,••• (a b) b =12 —2(m —2) =0 , 解得m =8，故选D .JI，选A .410. B 【解析】对于 A 选项，设向量a 、b 的夹角为T ,T | a 巾鬥a || b |cos= < | a || b |,• A 选项正确；对于 B 选项，•••当向量a 、b 反向时，| a-b p|| a |-| b ||, • B 选项 错误；对于C 选项，由向量的平方等于向量模的平方可知，C 选项正确；对于D 选项,根据向量的运算法则，可推导出 (a b ) (a -b )二a2- b 2，故D 选项正确，综上选 B .11. D 【解析】如图由题意,n 2I n |26. B 【解析】设TB3 3DF DE (b-a) , AF = AD2 45 3 七5 3•- AF BC a b b :1 1AC (b —^a), 2 21 3DF a (b-a) ，故选B.87. 8. A 【解析】由题意得cos ABC9. 所以.ABC =30；，故选A .2 2A 【解析】由题意(a- b) (3a 2b^ 3a -a ・b-2b=0, 即 3 a - a b cos 日-2=0，所以 3 (2 2)23□ cos，- 2 = 0， 3cos^ •••54a 4|BA| | BC|12 2 2 2BC =応為质b）—2打，故歸2，故A错误;|2二2|芥2 ,2AC =2a (2a b) =4|a| 2ab =2 2cos60、=2 ,TAB AC =2AD , 且AD _ BC，所以4a , _三，故选D .12. 【解析】EB 孔三獄BC）E（CA CB）W（TB 忌兀.13. 【解析】由（a b）-10 ①，（a—b）2=6 ②，①一②得ab = 1.14. 【解析】由题意得乜二cos丄=L3 3m，两边平方化简得6. 3^18 ,2 -62 . 9 m215. 解得m = 3，经检验符合题意.B【解析】设x1 y1x2y2x3 y3x4y4，若S的表达式中有0个a b ,2 2则S =2a 2b ,记为S,若S的表达式中有2个a b,则S =2a42 彳2 叫T2b 2a b 记为S2，若S的表达式中有4个a b，则S =4a b，记为& ,又|b|=2|a| ,16.17. 所以“3质^bjaubr 0,2 2 2S -S2 =a +b -2a b = (a-b)2= 0,S2 - S3 = (a - b)20 ,•••S3 :: S2 ：：3，故S mi^ S3 = 4a b ,设a,b的夹角为,2 2 1 二则S min =4a b =8| a|2 cos^ - 4| a|2，即cos ，又[0,二]，所以二二一2 3 B【解析】对于A, C, D，都有e // e2，所以只有B成立.B【解析】由于|b t a |2= b2JaLbt a2t2，令f(t)二b22^b t - a2t2,而t是任意实数，所以可得f （t）的最小值为所以I；| = 1，又AB AC所以a b = —1，故B,C错误；设B,C中点为D，则AC18.19.20.2 2 2 2 2 2 2 2 2 24a b -(2ab) 4a b -4a b cos v 4b sin 二2 = 2 = :: 4a 4 a 4即|b | sin -1,则知若二确定，则| b|唯一确定.C【解析】••• 2a -3b =(2k-3,-6) , (2 a- 3b) _ c ,所以(2a -3b) c =2(2k 一3) -6 =0。

专题五 平面向量第十三讲 平面向量的概念与运算答案部分1．A 【解析】通解 如图所示，CB 11111()()22222=+=+=⨯++-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r EB ED DB AD CB AB AC AB AC 3144=-u u u r u u u r AB AC ．故选A ． 优解 111()222=-=-=-⨯+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r EB AB AE AB AD AB AB AC 3144=-u u u r u u u r AB AC ．故选A ． 2．B 【解析】2(2)22(1)3⋅-=-⋅=--=a a b a a b ，故选B ．3．C 【解析】由2BM MA =u u u u r u u u r ，可知||2||BM MA =u u u u r u u u r ，∴||3||BA MA =u u u r u u u r ． 由2CN NA =u u u r u u u r ，可知||2||CN NA =u u u r u u u r ，∴||3||CA NA =u u u r u u u r ，故||||3||||BA CA MA NA ==u u u r u u u r u u u r u u u r ， 连接MN ，则BC MN ∥，且||3||BA MN =u u u r u u u u r ，∴33()BC MN ON OM ==-u u u r u u u u r u u u r u u u u r ，∴23()3()BC OM ON OM OM ON OM OM ⋅=-⋅=⋅-u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r23(||||cos120||)6ON OM OM =-=-o u u u r u u u u r u u u u r ．故选C ．4．A 【解析】由+=-a b a b 两边平方得，222222+⋅+=-⋅+a a b b a a b b ，即0⋅=a b ，则⊥a b ，故选A ．5．A 【解析】因为,m n 为非零向量，所以||||cos ,0⋅=<><m n m n m n 的充要条件是cos ,0<><m n ．因为0λ<，则由λ=m n 可知,m n 的方向相反，,180<>=o m n ，所以cos ,0<><m n ，所以“存在负数λ，使得λ=m n ”可推出“0⋅<m n ”；而0⋅<m n 可推出cos ,0<><m n ，但不一定推出,m n 的方向相反，从而不一定推得“存在负数λ，使得λ=m n ”，所以“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0⋅<m n ”的充分而不必要条件．6．B 【解析】设BA a =u u u r r ，BC b =u u u r r ，∴11()22DE AC b a ==-u u u r u u u r r r ，33()24DF DE b a ==-u u u r u u u r r r ， 1353()2444AF AD DF a b a a b =+=-+-=-+u u u r u u u r u u u r r r r r r ， ∴25353144848AF BC a b b ⋅=-⋅+=-+=u u u r u u u r r r r ，故选B. 7．A【解析】由题意得112222cos 112||||BA BC ABC BA BC ⨯+⨯⋅∠===⨯⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ， 所以30ABC ∠=o，故选A ．8．C 【解析】由题意，得2(2)20+=+⋅=a a b a a b ，即22⋅=-a b a ， 所以cos ,||||⋅<>=a b a b a b 222142-==-a a ，所以23π<⋅>=a b ，故选C ． 9．B 【解析】对于A 选项，设向量a 、b 的夹角为θ，∵||||||cos |||θ⋅=≤|a b a b a b ，∴A 选项正确；对于B 选项，∵当向量a 、b 反向时，||||||||--≥a b a b ，∴B 选项错误；对于C 选项，由向量的平方等于向量模的平方可知，C 选项正确；对于D 选项，根据向量的运算法则，可推导出22()()+⋅-=-a b a b a b ，故D 选项正确，综上选B ．10．C 【解析】由题意可得22=a ，3⋅=-a b ，所以()222431+⋅=+⋅=-=a b a a a b ．故选C ．11．A 【解析】111()()()222EB FC BA BC CA CB AB AC AD +=-+-+=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ． 12．A 【解析】由2()10+=a b ①，2()6-=a b ②，①②得1⋅=a b ． 13．Bcos 6π==，两边平方化简得18=，解得m =14．B 【解析】设11223344S x y x y x y x y =⋅+⋅+⋅+⋅u r u u r u u r u u r u u r u u r u u r u u r ，若S 的表达式中有0个a b ⋅r r ，则2222S a b =+r r ，记为1S ，若S 的表达式中有2个a b ⋅r r ，则22222S a b a b =++⋅r r r r ，记为2S ，若S 的表达式中有4个a b ⋅r r ，则4S a b =⋅r r ，记为3S ，又||2||b a =r r ，所以222132242()0S S a b a b a b -=+-⋅=->r r r r r r ，222122()0S S a b a b a b -=+-⋅=->r r r r r r ，223()0S S a b -=->r r ，∴321S S S <<，故min 34S S a b ==⋅r r ，设,a b r r 的夹角为θ，则22min 48||cos 4||S a b a a θ=⋅==r r r r ，即1cos 2θ=，又[0,]θπ∈，所以3πθ=． 15．B 【解析】对于A ，C ，D ，都有1e ∥2e ，所以只有B 成立．16．B 【解析】由于2222||2t t t +=++gb a b a b a ，令222()2f t t t =+⋅+b a b a ，而t 是任意实数，所以可得()f t 的最小值为2222222222224(2)44cos 4sin 1444θθ--===a b ab a b a b b a a ， 即22||sin 1θ=b ，则知若θ确定，则||b 唯一确定．17．C 【解析】∵23(23,6)k -=--a b ，(23)-⊥a b c ，所以(23)-⋅a b c =2(23)60k --=．解得3k =，选C18．C 【解析】因为022)4(1=⨯+-⨯=⋅BD AC ，所以⊥，所以四边形的面积为522)4(212||||2222=+-⋅+=⋅，故选C ． 19．D 【解析】由题意，设||4AB =u u u r ，则0||1P B =u u u r ，过点C 作AB 的垂线，垂足为H ，在AB 上任取一点P ，设0HP a =，则由数量积的几何意义可得，||||(||(1))||PB PC PH PB PB a PB ⋅==-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，0000||||P B PC P H P B a ⋅=-=-u u u r u u u r u u u u r u u u r ，于是00PB PC P B PC ⋅⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ≥恒成立，相当于(||(1))||PB a PB a -+-u u u r u u u r ≥恒成立， 整理得2||(1)||PB a PB a -++u u u r u u u r ≥0恒成立，只需22(1)4(1)0a a a ∆=+-=-≤即可，于是1a =，因此我们得到2HB =，即H 是AB 的中点，故△ABC 是等腰三角形，所以AC BC =．P 0P H CB A20．A 【解析】(3,4)AB =-u u u r ，所以||5AB =u u u r ，这样同方向的单位向量 是134(,)555AB =-u u u r ． 21．A 【解析】=（2,1），CD =（5,5），则向量在向量CD 方向上的射影为22325515255)5,5()1,2(cos 22=⨯+⨯=+⋅==θ 22．C 【解析】建立平面直角坐标系，令向量,a b 的坐标()()1,0,0,1==a b ，又设(),x y =c ，代入1--=c a b1=， 又c 的最大值为圆()()22111x y -+-=上的动点到原点的距离的最大值，即圆心(1，1)1．23．D 【解析】因为1AB u u u r ⊥2AB u u u u r ，所以可以A 为原点，分别以1AB u u u r ，2AB u u u u r 所在直线为轴，y 轴建立平面直角坐标系．设B 1(a,0)，B 2(0，b )，O (，y )， 则AP u u u r ＝1AB u u u r ＋2AB u u u u r ＝(a ，b )，即P (a ，b )． 由|1OB u u u r |＝|2OB u u u u r |＝1，得(－a )2＋y 2＝2＋(y －b )2＝1.所以(－a )2＝1－y 2≥0，(y －b )2＝1－2≥0. 由|OP uuu r |＜12，得(－a )2＋(y －b )2＜14， 即0≤1－2＋1－y 2＜14. 所以74＜2＋y 2≤2<≤所以|OA uu u r |的取值范围是2⎛ ⎝，故选D ． 24．B 【解析】利用向量加法的三角形法则，易的①是对的；利用平面向量的基本定理，易的②是对的；以a 的终点作长度为μ的圆，这个圆必须和向量λb 有交点，这个不一定能满足，③是错的；利用向量加法的三角形法则，结合三角形两边的和大于第三边，即必须=+λμλμ+≥b c a ，所以④是假命题.综上，本题选B.平面向量的基本定理考前还强调过，不懂学生做得如何.25．C 【解析】22,0,12cos 0,cos 22cos 10.a b a b θθθ⊥∴⋅=∴-+=∴=-=r r r r Q 正确的是C ．26．C 【解析】2222||||||||2||||2||||||+=-⇒++=-+a b a b a ab b a a b b ，则 ||||0=-≠ab a b ，所以,a b 不垂直，A 不正确，同理B 也不正确；||||=-ab a b ，则cos ,1>=-<a b ，所以,a b 共线，故存在实数λ，使得λ=b a ， C 正确；若=b a ，则1λ=，此时||2|0||||+=≠=-a b a |a b ，所以D 不正确．27．B 【解析】(1,2)λλ+=+a b ，由()λ+a b ∥c ，得64(1)0λ-+=，解得λ=12 28．D 【解析】∵2(5,2)k -=-a b ，由(2)0⋅-=a a b ，得(2,1)(5,2)0k ⋅-=，∴1020k +-=，解得12k =．29．C 【解析】三角形的面积S=12||sin ,<>a ||b a b ，而=11||||||||sin ,22a b a b a b =<> 30．B 【解析】若a 与b 共线，则有==0mq np -e a b ，故A 正确；因为pn qm =-e b a ，而=mq np -e a b ，所以有≠e e a b b a ，故选项B 错误，故选B ．31．12【解析】2(4,2)+a b =，因为(1,)λ=c ，且(2)+∥c a b ， 32．1-【解析】依题意m -a b =(1,)m m +-，根据向量垂直的充要条件可得1(1)0()0m m ⨯++⨯-=，所以1m =-．所以124λ⨯=，即12λ=． 33．7【解析】∵(1,3)m +=-a b ，∴()=0+⋅a b a所以(1)230m --+⨯=，解得7m =．34．2【解析】由题意0⋅=a b ，所以2330m -⨯+⨯=，即2m =．35．311【解析】032cos603AB AC ⋅=⨯⨯=u u u r u u u r ，1233AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ,则 12212()()34934333333AD AE AB AC AC AB λλλ⋅=+-=⨯+⨯-⨯-⨯=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 311λ=． 36．3-【解析】由∥a b 可得162 3.λλ-⨯=⇒=-37．3【解析】由tan 7α=可得sin 10α=，cos 10α=，由OC u u u r =m OA u u u r +n OB uuu r 得22OC OA mOA nOB OA OC OB mOB OA nOB⎧⋅=+⋅⎪⎨⎪⋅=⋅+⎩u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，即cos(45)45cos(45)m n m n ααα⎧=++⎪=++o o ocos 45)()(1cos(45))m n αα+=+++o o所以4531cos(45)102102m n αα++===++o o 所以3m n +=．38．23-【解析】因为(,1),(1,2),x x =+=⊥a b a b ，所以2(1)0x x ++=，解得23x =-． 39．6-【解析】由题意2120m --=，所以6m =-．40．－3【解析】由题意得：29,282,5, 3.m n m n m n m n +=-=-⇒==-=- 41．9【解析】因为OA AB ⊥u u u r u u u r ，||3OA =u u u r ，所以OA OB •=u u u r u u u r 93||||)(222===•+=+•．42．1【解析】由题意()ln(())==-=-f x x x f x x x ，=x ，解得1a =．431(1,0)e =u r，21(2e =u u r ，设(,)b x y =r ， 则11b e x ⋅==r r，2112b e x y ⋅=+=r r，所以b =r ，所以3b ==r 44．90o 【解析】由1()2AO AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，得O 为BC 的中点，故BC 为圆O 的直径， 所以AB u u u r 与AC u u u r 的夹角为90o ．45．16【解析】∵cos AB AC AB AC A ⋅=⋅uu u r uuu r uu u r uuu r ，∴由cos tan AB AC A A ⋅=uu u r uuu r ， 得23AB AC ⋅=uu u r uuu r ，故ABC V 的面积为11||||sin 266AB AC π=u u u r u u u r ． 46．②④【解析】S 有下列三种情况：222221S a a b b b =++++r r r r r ，2222S a a b a b b b =+⋅+⋅++r r r r r r r ，23S a b a b a b a b b =⋅+⋅+⋅+⋅+r r r r r r r r r∵222212232()||0S S S S a b a b a b a b -=-=+-⋅=-=-≥r r r r r r r r，∴min 3S S =， 若a b ⊥r r ，则2min 3S S b ==r ，与||a r 无关，②正确；若a b r r P ，则2min 34S S a b b ==⋅+r r r ，与||b r 有关，③错误；若||4||b a >r r ，则2222min 34||||cos ||4||||||||||0S S a b b a b b b b θ==⋅+≥-⋅+>-+=r r r r r r r r ，④正确；若2min ||2||,8||b a S a ==r r r ，则2222min 348||cos 4||8||S S a b b a a a θ==⋅+=+=r r r r r r ∴1cos 2θ=， ∴3πθ=，⑤错误． 47||1=a ，∴可令(cos ,sin )θθ=a ，∵0λ+=a b ，∴cos 20sin 10λθλθ+=⎧⎨+=⎩，即2cos 1sin θλθλ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得25λ=得||λ= 48．12【解析】∵∥a b ，∴2sin 2cos θθ=，∴22sin cos cos θθθ=， ∵(0,)2πθ∈，∴1tan 2θ=． 49．2【解析1】(4,22)c m m =++r因为cos ,||||c a c a c a ⋅=⋅r r r r r r ，cos ,||||c b c b c b ⋅=⋅r r r r r r ，所以||||||||c a c b c a c b ⋅⋅=⋅⋅r r r r r r r r ， 又||2||b a =r r ，所以2c a c b ⋅=⋅r r r r即2[(4)2(22)]4(4)2(22)m m m m +++=+++2m ⇒=．【解析2】由几何意义知c r 为以ma r ，b r 为邻边的菱形的对角线向量，又||2||b a =r r ，故2m =50．2【解析】g b c =[(1)]t t •+-b a b =2(1)t t •+-a b b =112t t +-=112t -=0，解得t =2. 51．2【解析】在正方形中，12AE AD DC =+u u u r u u u r u u u r ,BD BA AD AD DC =+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r , 所以2222111()()222222AE BD AD DC AD DC AD DC ⋅=+⋅-=-=-⨯=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ． 52．712【解析】向量AB u u u v 与AC u u u v 的夹角为120o ，且||3,||2,AB AC ==u u u v u u u v 所以1cos1203232AB AC AB AC ⋅=⋅=-⨯⨯=-o u u u v u u u v u u u v u u u v .由AP BC ⊥u u u v u u u v 得,0AP BC ⋅=u u u v u u u v , 即()()0AP BC AB AC AC AB λ⋅=+⋅-=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ,所以22(1)0AC AB AB AC λλ-+-⋅=u u u v u u u v u u u v u u u v , 即493(1)0λλ---=，解得712λ=． 53．【解析】||||x ===b==||||x b 的最大值为2． 54．12【解析】因为E 为CD 的中点，所以1122BE BC CE AD DC AD AB =+=-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ． AD AC AB =+u u u r u u u r u u u r ，因为·1AC BE =u u u r u u u r ， 所以22111·()()1222AC BE AD AB AD AB AD AB AB AD =-⋅+=-+⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 即2111cos60122AB AB -+=o u u u r u u u r ，所以211024AB AB -+=u u u r u u u r ，解得12AB =u u u r ． 55．4【解析】如图建立坐标系，则()1,1a =-r ，()6,2b =r ，()1,3c =-r由c a b λμ=+r r r ，可得12,2λμ=-=-，∴4λμ= 56．b=r222(2)1044cos 4510a b a b b b ︒-=⇔-=⇔+-=r r r r r rb ⇔=r 57．（Ⅰ）⎝⎭（Ⅱ） 【解析】（Ⅰ）由()()1,0,1,1a =b =，得()23,1+a b =.设与2+a b 同向的单位向量为(),x y c =，则221,30,x y y x ⎧+=⎨-=⎩且,0x y>，解得,1010x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故1010⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭c =.即与2+a b同向的单位向量的坐标为⎝⎭．（Ⅱ）由()()1,0,1,1a =b =，得()32,1--b a =.设向量3-b a 与向量a 的夹角为θ，则()32,11,0cos 3θ-⋅-⋅===-b a a b a a58．98-【解析】2223494a b a b a b -≤⇔+≤+r r r r r r g 2294449448a b a b a b a b a b a b +≥≥-⋅⇒+⋅≥-⋅⇔⋅≥-r r r r r r r r r r r r ． 59．5[,]66ππ【解析】如图，向量α与β在单位圆O 内，因|α|=1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，故以向量α，β为边的三角形的面积为14，故β的终点在如图的线段AB 上（α∥AB ，且圆心O 到AB 的距离为12），因此夹角θ的取值范围为5[,]66ππ．60．54【解析】由题意知1212(2)()0k ⋅=-+=a b e e e e ，即22112122220k k +--=e e e e e e ， 即22cos 2cos 2033k k ππ+--=，化简可求得54k =． 61．1【解析】向量a +b 与向量k a -b 垂直，∴()()0k +⋅=a b a -b ，化简得(1)(1)0k -⋅⋅+=a b ，易知0⋅≠a b ，故1k =．62．3π【解析】设a 与b 的夹角为θ，由题意有()()22+2⋅-=+⋅-2a b a b a a b b cos θ=-7+2=-6，所以1cos 2θ=，因此0θπ≤≤，所以3πθ=． 63．－1【解析】(1,1)m +=-a b ，由()+∥a a c ，得12(1)(1)0m ⨯--⨯-=，所以m =－1．。

专题五 平面向量第十三讲 平面向量的概念与运算答案部分1．A 【解析】通解 如图所示，EDCBA11111()()22222=+=+=⨯++-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r EB ED DB AD CB AB AC AB AC3144=-u u ur u u u r AB AC ．故选A ． 优解 111()222=-=-=-⨯+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r EB AB AE AB AD AB AB AC3144=-u u ur u u u r AB AC ．故选A ． 2．C 【解析】∵33-=+a b a b ，∴22(3)(3)-=+a b a b ，∴2269-⋅+=a a b b2296+⋅+a a b b ，又||||1==a b ，∴0⋅=a b ，∴⊥a b ；反之也成立，故选C ．3．B 【解析】2(2)22(1)3⋅-=-⋅=--=a a b a a b ，故选B ．4．A 【解析】因为,m n 为非零向量，所以||||cos ,0⋅=<><m n m n m n 的充要条件是cos ,0<><m n ．因为0λ<，则由λ=m n 可知,m n 的方向相反，,180<>=om n ，所以cos ,0<><m n ，所以“存在负数λ，使得λ=m n ”可推出“0⋅<m n ”；而0⋅<m n 可推出cos ,0<><m n ，但不一定推出,m n 的方向相反，从而不一定推得“存在负数λ，使得λ=m n ”，所以“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0⋅<m n ”的充分而不必要条件．5．B 【解析】由()t ⊥+n m n 可得()0t ⋅+=n m n ，即20t ⋅+=m n n ，所以2221|cos |3||t |||<,>|||=-=-=-⋅⋅⨯⨯n n n m n m n m n m n||4334||3=-=-⨯=-n m ．故选B ．6．B 【解析】设BA a =u u u r r ，BC b =u u u r r ，∴11()22DE AC b a ==-u u u r u u u r r r，33()24DF DE b a ==-u u u r u u u r r r ，1353()2444AF AD DF a b a a b =+=-+-=-+u u u r u u u r u u u r r r r r r ，∴25353144848AF BC a b b ⋅=-⋅+=-+=u u u r u u u r r r r ，故选B.7．D 【解析】由向量的坐标运算得()42m +=-，a b ，∵()+⊥a b b ，∴()122(2)0m +⋅=--=a b b ， 解得8m =，故选D ．8．A 【解析】由题意得133132222cos 112||||BA BC ABC BA BC ⨯+⨯⋅∠===⨯⋅u u u r u u u r u uu r u u u r ， 所以30ABC ∠=o，故选A ．9．A 【解析】由题意22()(32)320a b a b a a b b -⋅+=-⋅-=r r r r r r r r ，即223cos 20a a b b θ--=r r r r ，所以222223(2033θ⨯--=， 2cos 2θ=，4πθ=，选A ． 10．B 【解析】对于A 选项，设向量a 、b 的夹角为θ，∵||||||cos |||θ⋅=≤|a b a b a b ，∴A 选项正确；对于B 选项，∵当向量a 、b 反向时，||||||||--≥a b a b ，∴B 选项错误；对于C 选项，由向量的平方等于向量模的平方可知，C 选项正确；对于D 选项，根据向量的运算法则，可推导出22()()+⋅-=-a b a b a b ，故D 选项正确，综上选B ．11．D 【解析】如图由题意，2a +b2a ABD(2)2BC AC AB a b a b =-=+-=u u u r u u u r u u u r r r r r ，故||2b =r ，故A 错误；|2|2||2a a ==r r， 所以||1a =r ，又22(2)4||222cos 602AB AC a a b a ab ⋅=⋅+=+=⨯=o u u u r u u u r r r r r r r，所以1a b ⋅=-r r ，故,B C 错误；设,B C 中点为D ，则2AB AC AD +=u u u r u u u r u u u r ，且AD BC ⊥u u u r u u u r ，所以()4C a b +⊥B u u u r rr ，故选D ．12．A 【解析】111()()()222EB FC BA BC CA CB AB AC AD +=-+-+=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r ．13．A 【解析】由2()10+=a b ①，2()6-=a b ②，①-②得1⋅=a b ．14．B 【解析】由题意得233cos 2629mm π==⨯+，两边平方化简得6318m =， 解得3m =，经检验符合题意．15．B 【解析】设11223344S x y x y x y x y =⋅+⋅+⋅+⋅u r u u r u u r u u r u u r u u r u u r u u r，若S 的表达式中有0个a b ⋅r r ，则2222S a b =+r r ,记为1S ,若S 的表达式中有2个a b ⋅r r,则22222S a b a b =++⋅r r r r ,记为2S ，若S 的表达式中有4个a b ⋅r r ，则4S a b =⋅r r ，记为3S ，又||2||b a =r r，所以222132242()0S S a b a b a b -=+-⋅=->r r r r r r ， 222122()0S S a b a b a b -=+-⋅=->r r r r r r ，223()0S S a b -=->r r ，∴321S S S <<，故min 34S S a b ==⋅r r，设,a b r r 的夹角为θ，则22min48||cos 4||S a b a a θ=⋅==r r r r ，即1cos 2θ=，又[0,]θπ∈，所以3πθ=．16．B 【解析】对于A ，C ，D ，都有1e ∥2e ，所以只有B 成立．17．B 【解析】由于2222||2t t t +=++gb a b a b a ，令222()2f t t t =++g b a b a ， 而t 是任意实数，所以可得()f t 的最小值为2222222222224(2)44cos 4sin 1444θθ--===a b ab a b a b b a a ，即22||sin 1θ=b ，则知若θ确定，则||b 唯一确定． 18．C 【解析】∵23(23,6)k -=--a b ，(23)-⊥a b c ，所以(23)-⋅a b c =2(23)60k --=。

高三数学平面向量的概念及几何运算试题答案及解析1.已知平面向量, 且, 则 ( )A．B．C．D．【答案】C【解析】由向量, 且.所以.即.故选C.【考点】1.向量平行的性质.2.向量的模的运算2. [2014·龙岩质检]已知向量a＝(1，－1)，b＝(1,2)，向量c满足(c＋b)⊥a，(c－a)∥b，则c＝()A．(2,1)B．(1,0)C．(，)D．(0，－1)【答案】A【解析】设c＝(x，y)，则c＋b＝(x＋1，y＋2)，c－a＝(x－1，y＋1)．由(c＋b)⊥a，(c－a)∥b 可得，解得，因此c＝(2,1)．3.在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，+=λ，则λ=．【答案】2【解析】由平行四边行的性质知，AC与BD互相平分，又+==2所以λ=24.在四边形中，，，则四边形的面积为()A．B．C．2D．【答案】A【解析】由，可知四边形为平行四边形，且，因为，所以可知平行四边形ABCD的角平分线BD平分∠ABC,四边形为菱形,其边长为，且对角线对于边长的倍，即,则,即,所以三角形的面积为，所以四边形的面积为，选A5.已知△ABC中，点D是BC的中点，过点D的直线分别交直线AB、AC于E、F两点，若，，则的最小值是()A．9B．C． 5D．【答案】D【解析】由题意得，，又D、E、F在同一条直线上，可得．所以，当且仅当2λ＝μ时取等号．故选D．6.在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，，则λ＋μ的值为() A．B．C．D．1【答案】A【解析】∵M为边BC上任意一点，∴可设．∴N为AM中点，∴.∴．故选A.7.已知双曲线的右顶点、左焦点分别为A、F，点B（0，－b），若，则双曲线的离心率值为（）（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】由得，又，，则，，所以有，即，从而解得，又，所以，故选.【考点】向量的运算、双曲线的离心率、解一元二次方程.8.已知点A(1,3),B(4,-1),则与向量同方向的单位向量为()A．B．C．D．【答案】A【解析】=(3,-4),则与同方向的单位向量为=(3,-4)=.故选A.9.直线的一个法向量可以是【答案】【解析】已知直线的一般式方程为，因此其一个法向量为．【考点】直线的法向量．10.设a，b是两个非零向量，下列选项正确的是()．A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥bB．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b＝λaD．若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a|－|b|【答案】C【解析】对于A，可得cos〈a，b〉＝－1，因此a⊥b不成立；对于B，满足a⊥b时，|a＋b|＝|a|－|b|不成立；对于C，可得cos〈a，b〉＝－1，因此成立，而D显然不一定成立．11.已知O，A，M，B为平面上不同的四点，且＝λ＋(1－λ) ，λ∈(1,2)，则()．A．点M在线段AB上B．点B在线段AM上C．点A在线段BM上D．O，A，M，B四点共线【答案】B【解析】根据题意知＝λ＋－λ＝λ(－)＋，则－＝λ(－)，即＝λ.由λ∈(1,2)可以判断出点M在线段AB的延长线上，即点B在线段AM上．12.如图，为直线外一点，若，，，，，，，中任意相邻两点的距离相等，设，，用，表示，其结果为 .【答案】【解析】设的中点为A，则A也是，…的中点，由向量的中点公式可得，同理可得，故.【考点】平面向量的加法法则，中点公式.13.如图，在中，点是边上靠近的三等分点，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由平面向量的三角形法则，可得：，又因为点是边上靠近的三等分点，所以，＝＝.【考点】平面向量的三角形法则.14.在边长为6的等边△ABC中，点M满足，则等于．【答案】 24【解析】【考点】本小题考查向量的线性运算及其向量的数量积。

平面向量1一、向量的基本概念思考：生活中有哪些量是既有大小又有方向的？哪些量只有大小没有方向？向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量。

回答下列问题：(1).数量与向量有何区别？(2).如何表示向量？(3).有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？(4).长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？1.数量和向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向、大小，不能比较大小。

2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母a 、b(黑体)等表示；③用有向线段的起点与终点字母表示：AB ；向量AB 的大小——长度称为向量的模，记作|AB |。

3.有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，三要素：起点、方向、长度。

向量与有向线段的区别：⑴向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，这两个向量就是相同的向量； ⑵有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向，也是不同的有向线段。

4.零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，记作0。

②长度为1个单位长度的向量，叫做单位向量。

说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小。

5.满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量？相等向量的定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量。

说明：⑴向量a 与b 相等，记作a =b ；⑵零向量与零向量相等；⑶任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关。

6.平行向量的定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行。

说明：⑴综合①②才是平行向量的完整定义；⑵向量c b a 、、平行，记作c b a ////。

二、向量的运算法则1.向量的加法问题：数可进行加法运算：1+2=3，那么向量的加法是怎样定义的？长度是1的向量与长度是2的向量相加是一定是长度为3的向量呢？①某人从A 到B ，再从B 按原方向到C ，则两次的位移和：AC BC AB =+；②若上题改为从A 到B ，再从B 按反方向到C ，则两次的位移和；③某人从A 到B ，再从B 改变方向到C ，则两次的位移和。

一、多选题1．已知非零平面向量a ，b ,c ,则（ ）A ．存在唯一的实数对,m n ，使c ma nb =+B ．若0⋅=⋅=a b a c ，则//b cC ．若////a b c ，则a b c a b c =++++D ．若0a b ⋅=，则a b a b +=-2．在ABC ∆中,内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 若,2,6A a c π===则角C 的大小是( ) A ．6π B ．3π C ．56π D ．23π 3．在△ABC 中，点E ，F 分别是边BC 和AC 上的中点，P 是AE 与BF 的交点，则有（ ）A ．1122AE AB AC →→→=+B ．2AB EF →→=C ．1133CP CA CB →→→=+D ．2233CP CA CB →→→=+4．在ABC 中，AB =1AC =，6B π=，则角A 的可能取值为（ ）A ．6πB ．3π C ．23π D ．2π 5．下列结论正确的是（ ）A ．在ABC 中，若AB >，则sin sin A B >B ．在锐角三角形ABC 中，不等式2220b c a +->恒成立 C ．若sin 2sin 2A B =，则ABC 为等腰三角形D ．在ABC 中，若3b =，60A =︒，三角形面积S =36．下列结论正确的是（ ）A ．已知a 是非零向量，b c ≠，若a b a c ⋅=⋅，则a ⊥（-b c ）B ．向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则a 在b 上的投影向量为12b C ．点P 在△ABC 所在的平面内，满足0PA PB PC ++=，则点P 是△ABC 的外心 D ．以（1，1），（2，3），（5，﹣1），（6，1）为顶点的四边形是一个矩形7．在ABC 中，角A ，B ，C 所对各边分别为a ，b ，c ，若1a =，b =30A =︒，则B =（ ）A ．30B ．45︒C ．135︒D ．150︒8．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()()()::9:10:11a b a c b c +++=，则下列结论正确的是（ ）A ．sin :sin :sin 4:5:6ABC = B ．ABC ∆是钝角三角形C ．ABC ∆的最大内角是最小内角的2倍D ．若6c =，则ABC ∆ 9．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列结论中正确的是（ ）A ．若a b >，则sin sin AB >B ．若sin 2sin 2A B =，则ABC 是等腰三角形 C ．若cos cos a B b A c -=，则ABC 是直角三角形D ．若2220a b c +->，则ABC 是锐角三角形10．已知a 、b 是任意两个向量，下列条件能判定向量a 与b 平行的是（ ） A ．a b =B ．a b =C ．a 与b 的方向相反D ．a 与b 都是单位向量11．给出下列命题正确的是（ ） A ．一个向量在另一个向量上的投影是向量 B ．a b a b a +=+⇔与b 方向相同 C ．两个有共同起点的相等向量，其终点必定相同D ．若向量AB 与向量CD 是共线向量，则点,,,A B C D 必在同一直线上 12．给出下面四个命题，其中是真命题的是（ ） A ．0ABBA B ．AB BC AC C ．AB AC BC += D ．00AB +=13．已知ABC ∆中,角A,B,C 的对边分别为a ,b ,c ,且满足,3B a c π=+=,则ac=( ) A ．2B ．3C ．12 D ．1314．某人在A 处向正东方向走xkm 后到达B 处,他向右转150°,然后朝新方向走3km 到达C处,,那么x 的值为( )A B ．C ．D ．315．下列命题中正确的是( )A ．对于实数m 和向量,a b ,恒有()m a b ma mb -=-B ．对于实数,m n 和向量a ,恒有()m n a ma na -=-C ．若()ma mb m =∈R ,则有a b =D ．若(,,0)ma na m n a =∈≠R ,则m n =二、平面向量及其应用选择题16．ABC 中，5AB AC ==，6BC =，则此三角形的外接圆半径是（ ） A ．4B ．72C ．258D ．25917．已知向量OA 与OB 的夹角为θ，2OA =，1OB =，=OP tOA ，()1OQ t OB =-，PQ 在t t =0时取得最小值，则当0105t <<时，夹角θ的取值范围为（ ） A ．0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2,23ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．20,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭18．已知非零向量AB ，AC 满足0||||AB AC BC AB AC ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，且1||||2AB AC AB AC =，则ABC ∆的形状是( ) A ．三边均不相等的三角形 B ．直角三角形 C ．等腰（非等边）三角形D ．等边三角形19．已知在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若ABC 的面积为S ，且222()S a b c =+-，则tan C =（ ）A ．43-B ．34-C ．34D ．4320．在ABC ∆中，设222AC AB AM BC -=⋅，则动点M 的轨迹必通过ABC ∆的（ ） A ．垂心B ．内心C ．重心D ． 外心21．已知20a b =≠，且关于x 的方程20x a x a b ++⋅=有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是( ) A ．06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦22．在△ABC 中，M 为BC 上一点，60,2,||4ACB BM MC AM ∠=︒==，则△ABC 的面积的最大值为（ ）A ．B ．C ．12D ．23．在ABC ∆中，若cos cos a A b B =，则ABC 的形状一定是（ ）A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰或直角三角形24．在ABC ∆中，已知2AB =，4AC =，若点G 、W 分别为ABC ∆的重心和外心，则()AG AW BC +⋅=（ ）A ．4B ．6C ．10D ．1425．在△ABC 中，M 是BC 的中点．若AB ＝a ，BC ＝b ，则AM ＝( ) A ．1()2a b + B ．1()2a b - C ．12a b + D ．12a b +26．设ABC ∆中BC 边上的中线为AD ，点O 满足2AO OD =，则OC =（ ）A ．1233AB AC -+ B ．2133AB AC - C ．1233AB AC -D ．2133AB AC -+ 27．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若222sin sin sin 0A B C +-=，2220a c b ac +--=，2c =，则a =（ ）A ．3B ．1C ．12D ．3228．已知向量()22cos ,3m x =，()1,sin2n x =，设函数()f x m n =⋅，则下列关于函数()y f x =的性质的描述正确的是( )A ．关于直线12x π=对称B ．关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．周期为2πD ．()y f x =在,03π⎛⎫-⎪⎝⎭上是增函数 29．已知D ，E ，F 分别是△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC a CA b ==，，AB c =，则①AD ＝－b －12a ；②BE ＝a ＋12b ；③CF ＝－12a ＋12b ；④AD ＋BE ＋CF ＝0.其中正确的等式的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．430．如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若(),DE AB AD R λμλμ=+∈，则λμ⋅等于（ ）A ．316- B ．316 C ．12D ．12-31．在梯形ABCD 中，//AD BC ，90ABC ∠=︒，2AB BC ==，1AD =，则BD AC ⋅=（ ）A ．2-B ．3-C ．2D ．532．如图所示，设P 为ABC ∆所在平面内的一点，并且1142AP AB AC =+，则BPC ∆与ABC ∆的面积之比等于（ ）A ．25B ．35C ．34D ．1433．在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且3BC CD =，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若()1AO xAB x AC =+-，则x 的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭ D ．1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭34．在ABC 中，若sin 2sin cos B A C =，那么ABC 一定是（ ） A ．等腰直角三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形D ．等边三角形35．如图，ADC 是等边三角形，ABC 是等腰直角三角形，90ACB ∠︒＝，BD 与AC 交于E 点.若2AB =，则AE 的长为（ ）A 62B ．1(62)2C 62D ．1(62)2【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、多选题 1．BD 【分析】假设与共线，与，都不共线，即可判断A 错；根据向量垂直的数量积表示，可判断B 正确；向量共线可以是反向共线，故C 错；根据向量数量积法则，可判断D 正确. 【详解】A 选项，若与共线，与，都 解析：BD 【分析】假设a 与b 共线，c 与a ，b 都不共线，即可判断A 错；根据向量垂直的数量积表示，可判断B 正确；向量共线可以是反向共线，故C 错；根据向量数量积法则，可判断D 正确. 【详解】A 选项，若a 与b 共线，c 与a ，b 都不共线，则ma nb +与c 不可能共线，故A 错；B 选项，因为a ，b ,c 是非零平面向量,若0⋅=⋅=a b a c ，则a b ⊥，a c ⊥，所以//b c ，即B 正确；C 选项，因为向量共线可以是反向共线，所以由////a b c 不能推出a b c a b c =++++；如a 与b 同向，c 与a 反向，且a b c +>，则a b c a b c =+-++，故C 错；D 选项，若0a b ⋅=，则()222222a b a ba b a b a b+=+=++⋅=+，()222222a b a ba b a b a b -=-=+-⋅=+，所以a b a b +=-，即D 正确.故选：BD. 【点睛】本题主要考查共线向量的有关判定，以及向量数量积的相关计算，属于基础题型.2．BD 【分析】由正弦定理可得,所以,而,可得,即可求得答案. 【详解】 由正弦定理可得, ,而, , , 故或. 故选:BD. 【点睛】本题考查了根据正弦定理求解三角形内角,解题关键是掌握解析：BD 【分析】由正弦定理可得sin sin a c A C =,所以sin sin 2c C A a ==,而a c <,可得A C <,即可求得答案. 【详解】 由正弦定理可得sin sin a cA C=,∴ 3sin sin 2c C A a ==,而a c <,∴ A C <, ∴566C ππ<<, 故3C π=或23π. 故选:BD. 【点睛】本题考查了根据正弦定理求解三角形内角,解题关键是掌握正弦定理和使用正弦定理多解的判断,考查了分析能力和计算能力,属于中等题.3．AC 【分析】由已知结合平面知识及向量共线定理分别检验各选项即可. 【详解】 如图：根据三角形中线性质和平行四边形法则知， , A 是正确的；因为EF 是中位线，所以B 是正确的； 根据三角形重心解析：AC 【分析】由已知结合平面知识及向量共线定理分别检验各选项即可. 【详解】 如图：根据三角形中线性质和平行四边形法则知，111()()222AE AB BE AB BC AB AC AB AC AB →→→→→→→→→→=+=+=+-=+, A 是正确的；因为EF 是中位线，所以B 是正确的；根据三角形重心性质知，CP =2PG ，所以22113323CP CG CA CB CA CB →→→→→→⎛⎫⎛⎫==⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以C 是正确的，D 错误. 故选：AC 【点睛】本题主要考查了平面向量基本定理的简单应用，熟记一些基本结论是求解问题的关键，属于中档题.4．AD 【分析】由余弦定理得，解得或，分别讨论即可. 【详解】 由余弦定理，得， 即，解得或.当时，此时为等腰三角形，，所以； 当时，，此时为直角三角形，所以. 故选：AD 【点睛】 本题考查余弦解析：AD 【分析】由余弦定理得2222cos AC BC BA BC BA B =+-⋅⋅，解得1BC =或2BC =，分别讨论即可. 【详解】由余弦定理，得2222cos AC BC BA BC BA B =+-⋅⋅，即2132BC BC =+-，解得1BC =或2BC =. 当1BC =时，此时ABC 为等腰三角形，BC AC =，所以6A B π==；当2BC =时，222AB AC BC +=，此时ABC 为直角三角形，所以A =2π. 故选：AD 【点睛】本题考查余弦定理解三角形，考查学生分类讨论思想，数学运算能力，是一道容易题.5．AB 【分析】由正弦定理及三角形性质判断A ，由余弦定理判断B ，由正弦函数性质判断C ，由三角形面积公式，余弦定理及正弦定理判断D ． 【详解】中，，由得，A 正确；锐角三角形中，，∴，B 正确； 中，解析：AB 【分析】由正弦定理及三角形性质判断A ，由余弦定理判断B ，由正弦函数性质判断C ，由三角形面积公式，余弦定理及正弦定理判断D ． 【详解】ABC 中，A B a b >⇔>，由sin sin a b A B=得sin sin A B >，A 正确； 锐角三角形ABC 中，222cos 02b c a A bc+-=>，∴2220b c a +->，B 正确；ABC 中，若sin 2sin 2A B =，则22A B =或22180A B +=︒，即A B =或90A B +=︒，ABC 为等腰三角形或直角三角形，C 错；ABC 中，若3b =，60A =︒，三角形面积S =11sin 3sin 6022S bc A c ==⨯︒=4c =，∴2222cos 13a b c bc A =+-=，a =，∴2sin a R A ===，R =D 错． 故选：AB ． 【点睛】本题考查正弦定理，余弦定理，正弦函数的性质，三角形面积公式等，考查学生的逻辑推理能力，分析问题解决问题的能力．6．ABD 【分析】利用平面向量的数量积运算，结合向量的线性运算，对每个选项进行逐一分析，即可容易判断选择. 【详解】对：因为，又，故可得， 故，故选项正确；对：因为||＝1，||＝2，与的夹角为解析：ABD 【分析】利用平面向量的数量积运算，结合向量的线性运算，对每个选项进行逐一分析，即可容易判断选择. 【详解】对A ：因为()a b c a b a c ⋅-=⋅-⋅，又a b a c ⋅=⋅，故可得()0a b c ⋅-=， 故()a b c ⊥-，故A 选项正确；对B ：因为|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，故可得1212a b ⋅=⨯=. 故a 在b 上的投影向量为12a b b b b ⎛⎫⋅⎪= ⎪⎝⎭，故B 选项正确； 对C ：点P 在△ABC 所在的平面内，满足0PA PB PC ++=，则点P 为三角形ABC 的重心，故C 选项错误；对D ：不妨设()()()()1,1,2,3,6,1,5,1A B C D -，则()()()1,24,25,0AB AD AC +=+-==，故四边形ABCD 是平行四边形； 又()14220AB AD ⋅=⨯+⨯-=，则AB AD ⊥，故四边形ABCD 是矩形. 故D 选项正确；综上所述，正确的有：ABD . 故选：ABD . 【点睛】本题考查向量数量积的运算，向量的坐标运算，向量垂直的转化，属综合中档题.7．BC 【分析】用正弦定理求得的值，由此得出正确选项. 【详解】解：根据正弦定理得： ， 由于，所以或. 故选：BC. 【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形，是基础题.解析：BC 【分析】用正弦定理求得sin B的值，由此得出正确选项. 【详解】解：根据正弦定理sin sin a b A B=得： 1sin 2sin 12b A B a ===， 由于1b a =>=，所以45B =或135B =.故选：BC.【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形，是基础题.8．ACD【分析】先根据已知条件求得，再根据正余弦定理计算并逐一判断即可.【详解】因为所以可设：（其中），解得：所以，所以A 正确；由上可知：边最大，所以三角形中角最大，又 ，所以角为解析：ACD【分析】先根据已知条件求得::4:5:6a b c =，再根据正余弦定理计算并逐一判断即可.【详解】因为()()()::9:10:11a b a c b c +++=所以可设：91011a b x a c x b c x +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩（其中0x >），解得：4,5,6a x b x c x ===所以sin :sin :sin ::4:5:6A B C a b c ==，所以A 正确；由上可知：c 边最大，所以三角形中C 角最大， 又222222(4)(5)(6)1cos 022458a b c x x x C ab x x +-+-===>⨯⨯ ，所以C 角为锐角，所以B 错误；由上可知：a 边最小，所以三角形中A 角最小， 又222222(6)(5)(4)3cos 22654c b a x x x A cb x x +-+-===⨯⨯， 所以21cos22cos 18A A =-=，所以cos2A cosC = 由三角形中C 角最大且C 角为锐角,可得：()20,A π∈，0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以2A C =，所以C 正确； 由正弦定理得：2sin c R C =，又sin 8C ==所以2R =，解得：R =D 正确. 故选:ACD.【点睛】本题考查了正弦定理和与余弦定理，属于基础题.9．AC【分析】对选项A ，利用正弦定理边化角公式即可判断A 正确；对选项B ，首先利用正弦二倍角公式得到，从而得到是等腰三角形或直角三角形，故B 错误；对选项C ，利用正弦定理边化角公式和两角和差公式即可判解析：AC【分析】对选项A ，利用正弦定理边化角公式即可判断A 正确；对选项B ，首先利用正弦二倍角公式得到sin cos sin cos A A B B =，从而得到ABC 是等腰三角形或直角三角形，故B 错误；对选项C ，利用正弦定理边化角公式和两角和差公式即可判断C 正确；对D ，首先根据余弦定理得到A 为锐角，但B ，C 无法判断，故D 错误.【详解】对选项A ，2sin 2sin sin sin a b r A r B A B >⇒>⇒>，故A 正确；对选项B ，因为sin 2sin 2sin cos sin cos A B A A B B =⇒=所以A B =或2A B π+=，则ABC 是等腰三角形或直角三角形.故B 错误；对选项C ，因为cos cos a B b A c -=，所以()sin cos sin cos sin sin A B B A C A C -==+，sin cos sin cos sin cos cos sin A B B A A B A B -=+，sin cos cos sin B A A B -=，因为sin 0B ≠，所以cos 0A =，2A π=，ABC 是直角三角形，故③正确； 对D ，因为2220a b c +->，所以222cos 02a b c A ab +-=>，A 为锐角. 但B ，C 无法判断，所以无法判断ABC 是锐角三角形，故D 错误.故选：AC【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，同时考查学三角函数恒等变换，属于中档题.10．AC【分析】根据共线向量的定义判断即可.【详解】对于A 选项，若，则与平行，A 选项合乎题意；对于B 选项，若，但与的方向不确定，则与不一定平行，B 选项不合乎题意； 对于C 选项，若与的方向相反，解析：AC【分析】根据共线向量的定义判断即可.【详解】对于A 选项，若a b =，则a 与b 平行，A 选项合乎题意；对于B 选项，若a b =，但a 与b 的方向不确定，则a 与b 不一定平行，B 选项不合乎题意； 对于C 选项，若a 与b 的方向相反，则a 与b 平行，C 选项合乎题意； 对于D 选项，a 与b 都是单位向量，这两个向量长度相等，但方向不确定，则a 与b 不一定平行，D 选项不合乎题意.故选：AC.【点睛】本题考查向量共线的判断，考查共线向量定义的应用，属于基础题.11．C【分析】对A ，一个向量在另一个向量上的投影是数量；对B ，两边平方化简；对C ，根据向量相等的定义判断；对D ，根据向量共线的定义判断.【详解】A 中，一个向量在另一个向量上的投影是数量，A解析：C【分析】对A ，一个向量在另一个向量上的投影是数量； 对B ，两边平方化简a b a b +=+；对C ，根据向量相等的定义判断；对D ，根据向量共线的定义判断.【详解】 A 中，一个向量在另一个向量上的投影是数量，A 错误；B 中，由a b a b +=+，得2||||2a b a b ⋅=⋅，得||||(1cos )0a b θ⋅-=，则||0a =或||0b =或cos 1θ=，当两个向量一个为零向量，一个为非零向量时，a 与b 方向不一定相同，B 错误；C 中，根据向量相等的定义，且有共同起点可得，其终点必定相同，C 正确；A B C D不一定在同一直线上，D错误.D中，由共线向量的定义可知点,,,故选：C【点睛】本题考查了对向量共线，向量相等，向量的投影等概念的理解，属于容易题. 12．AB【解析】【分析】根据向量加法化简即可判断真假.【详解】因为，正确；，由向量加法知正确；，不满足加法运算法则，错误；，所以错误.故选：A B.【点睛】本题主要考查了向量加法的解析：AB【解析】【分析】根据向量加法化简即可判断真假.【详解】因为0AB BA AB AB，正确；AB BC AC，由向量加法知正确；+=，不满足加法运算法则，错误；AB AC BC+=，所以00AB AB0,+=错误.AB故选：A B.【点睛】本题主要考查了向量加法的运算，属于容易题.13．AC【分析】将两边同时平方，可得一个关系式，再结合余弦定理可得结果. 【详解】∵，∴①，由余弦定理可得，②，联立①②，可得，即，解得或.故选：AC.【点睛】本题考查余弦定理的应解析：AC【分析】将a c +=两边同时平方，可得一个关系式，再结合余弦定理可得结果.【详解】∵,3B a c π=+=，∴2222()23a c a c ac b +=++=①，由余弦定理可得，2222cos 3a c ac b π+-=②，联立①②，可得222520a ac c -+=， 即22520a a c c ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得2a c =或12a c =. 故选：AC.【点睛】 本题考查余弦定理的应用，考查计算能力，是基础题.14．AB【分析】由余弦定理得，化简即得解.【详解】由题意得,由余弦定理得,解得或.故选：AB.【点睛】本题主要考查余弦定理的实际应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 解析：AB【分析】 由余弦定理得293cos306x x︒+-=，化简即得解. 【详解】由题意得30ABC ︒∠=,由余弦定理得293cos306x x ︒+-=,解得x =x故选：AB.【点睛】本题主要考查余弦定理的实际应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 15．ABD【详解】解：对于：对于实数和向量、，根据向量的数乘满足分配律，故恒有：，故正确．对于：对于实数，和向量，根据向量的数乘运算律，恒有，故 正确． 对于：若，当 时，无法得到，故不正确．对解析：ABD【详解】解：对于A ：对于实数m 和向量a 、b ，根据向量的数乘满足分配律，故恒有：()m a b ma mb -=-，故A 正确．对于B ：对于实数m ，n 和向量a ，根据向量的数乘运算律，恒有()m n a ma na -=-，故 B 正确．对于C ：若()ma mb m =∈R ，当 0m =时，无法得到a b =，故C 不正确． 对于D ：若(,,0)ma na m n a =∈≠R ，则m n =成立，故D 正确．故选：ABD ．【点睛】本题考查相等的向量，相反的向量的定义，向量的数乘法则以及其几何意义，注意考虑零向量的情况．二、平面向量及其应用选择题16．C【分析】在ABC 中，根据5AB AC ==，6BC =，由余弦定理求得7cos 25A =，再由平方关系得到sin A ，然后由正弦定理2sin BC R A=求解. 【详解】在ABC 中，5AB AC ==，6BC =，由余弦定理得：2222225567cos 225525AB AC BC A AB AC +-+-===⋅⨯⨯，所以24sin 25A ==， 由正弦定理得：625224sin 425BC R A ===， 所以258R =， 此三角形的外接圆半径是258故选：C【点睛】 本题主要考查余弦定理，正弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 17．C【解析】【分析】 根据向量的数量积运算和向量的线性表示可得，()()22254cos 24cos 1PQ PQ t t θθ==+-++，根据二次函数的最值可得出012cos 54cos t θθ+=+，再由0105t <<，可求得夹角θ的取值范围. 【详解】 因为2cos OA OB θ⋅=，()1PQ OQ OP t OB tOA =-=--，()()22254cos 24cos 1PQ PQ t t θθ==+-++，∵PQ 在t t =0时取得最小值，所以012cos 54cos t θθ+=+，又0105t <<，则12cos 1054cos 5θθ+<<+，得1cos 02θ-<<，∵0θπ≤≤， 所以223ππθ<<， 故选：C.【点睛】 本题考查向量的数量积运算和向量的线性表示，以及二次函数的最值和分式不等式的求解，关键在于由向量的模的平方等于向量的平方，得到关于角度的三角函数的不等式，属于中档题.18．D【分析】先根据0||||AB AC BC AB AC ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，判断出A ∠的角平分线与BC 垂直，进而推断三角形为等腰三角形进而根据向量的数量积公式求得C ，判断出三角形的形状．【详解】 解：0||||AB AC BC AB AC ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，||AB AB ，||AC AC 分别为单位向量， A ∴∠的角平分线与BC 垂直，AB AC ∴=， 1cos ||||2AB AC A AB AC ==， 3A π∴∠=， 3BC A π∴∠=∠=∠=， ∴三角形为等边三角形．故选：D ．【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的运算，三角形形状的判断．考查了学生综合分析能力，属于中档题．19．A【分析】由三角形面积公式和余弦定理可得C 的等式，利用二倍角公式求得tan 2C ，从而求得tan C ．【详解】∵222222()2S a b c a b ab c =+-=++-，即22212sin 22ab C a b ab c ⨯⋅=++-， ∴222sin 2ab C ab a b c ⋅-=+-， 又222sin 2sin cos 1222a b c ab C ab C C ab ab +-⋅-===-，∴sin cos 12C C +=， 即22cos sin cos 222C C C =，则tan 22C =，∴222tan2242tan 1231tan 2CC C ⨯===---， 故选：A ．【点睛】 本题考查三角形面积公式，余弦定理，考查二倍角公式，同角间的三角函数关系，掌握相应的公式即可求解．属于中档题，考查了学生的运算求解能力．20．D【分析】 根据已知条件可得()222AC AB AC AB BC AM BC -=+⋅=⋅，整理可得()0BC MC MB ⋅+=，若E 为BC 中点，可知BC ME ⊥，从而可知M 在BC 中垂线上，可得轨迹必过三角形外心.【详解】 ()()()222AC AB AC AB AC AB AC AB BC AM BC -=+⋅-=+⋅=⋅ ()20BC AC AB AM ∴⋅+-=()()0BC AC AM AB AM BC MC MB ⇒⋅-+-=⋅+=设E 为BC 中点，则2MC MB ME += 20BC ME ∴⋅= BC ME ⇒⊥ME ⇒为BC 的垂直平分线 M ∴轨迹必过ABC ∆的外心本题正确选项：D【点睛】本题考查向量运算律、向量的线性运算、三角形外心的问题，关键是能够通过运算法则将已知条件进行化简，整理为两向量垂直的关系，从而得到结论.21．B 【分析】 根据方程有实根得到24cos 0a a b θ∆=-≥，利用向量模长关系可求得1cos 2θ≤，根据向量夹角所处的范围可求得结果.【详解】关于x 的方程20x a x a b ++⋅=有实根 240a a b ∴∆=-⋅≥ 设a 与b 的夹角为θ，则24cos 0a a b θ-≥又20a b =≠ 24cos 0b b θ∴-≥ 1cos 2θ∴≤又[]0,θπ∈ ,3πθπ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦本题正确选项：B【点睛】本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够利用方程有实根得到关于夹角余弦值的取值范围，从而根据向量夹角范围得到结果.22．A【分析】由已知条件，令||AC a =，||BC b =，则在△ACM 中结合余弦定理可知48ab ≤，根据三角形面积公式即可求最大值【详解】由题意，可得如下示意图令||AC a =，||BC b =，又2BM MC =，即有1||||33b CM CB == ∴由余弦定理知：222||||||2||||cos AM CA CM CA CM ACB =+-∠2221216()332333a ab ab ab ab b =+-⨯≥-=，当且仅当3a b =时等号成立 ∴有48ab ≤ ∴113sin 4812322ABC S ab C ∆=≤⨯=故选：A【点睛】本题考查了正余弦定理，利用向量的知识判断线段的长度及比例关系，再由余弦定理并应用基本不等式求三角形两边之积的范围，进而结合三角形面积公式求最值23．D【分析】首先利用正弦定理求得sin 2sin 2A B =，进一步利用三角函数的诱导公式求出结果．【详解】 解：已知：cos cos a A b B =，利用正弦定理：2sin sin sin a b c R A B C===， 解得：sin cos sin cos A A B B =，即sin 2sin 2A B =， 所以：22A B =或21802A B =︒-，解得：A B =或90A B +=︒所以：ABC 的形状一定是等腰或直角三角形故选：D ．【点评】本题考查的知识要点：正弦定理的应用，三角函数的诱导公式的应用，属于中档题． 24．C【解析】【分析】取BC 的中点D ，因为G 、W 分别为ABC ∆的重心和外心，则0DW BC ⋅=， 再用AB 、AC 表示AW ，AG ，BC 再根据向量的数量积的运算律计算可得.【详解】解：如图，取BC 的中点D ，因为G 、W 分别为ABC ∆的重心和外心0DW BC ∴⋅= ()()22113323AG AD AB AC AB AC ∴==⨯+=+ ()12AW AD DW AB AC DW =+=++ ()()()115326AW AG AB AC AB AC DW AB AC DW +=++++=++ ()()()5566AB AC DW AB AG AW BC BC B W C BC AC D ⎡⎤∴+⋅=⋅=⋅⋅⎢++++⎥⎣⎦ ()56AB A BC C =⋅+ ()()56C AC AB AB A =⋅+- ()()222242105566AC AB =-=-= 故选：C【点睛】本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查三角形的重心和外心的性质及向量中点的向量表示，考查运算能力，属于中档题．25．D【分析】根据向量的加法的几何意义即可求得结果.【详解】在ABC ∆中，M 是BC 的中点，又,AB a BC b ==，所以1122AM AB BM AB BC a b =+=+=+， 故选D.【点睛】 该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的加法运算，属于简单题目. 26．A 【分析】 作出图形，利用AB 、AC 表示AO ，然后利用平面向量减法的三角形法则可得出OC AC AO =-可得出结果. 【详解】 如下图所示：D 为BC 的中点，则()1122AD AB BD AB BC AB AC AB =+=+=+-1122AB AC =+， 2AO OD =，211333AO AD AB AC ∴==+， 11123333OC AC AO AC AB AC AB AC ⎛⎫∴=-=-+=-+ ⎪⎝⎭， 故选：A.【点睛】本题考查利用基底表示向量，考查了平面向量减法和加法三角形法则的应用，考查计算能力，属于中等题. 27．B【分析】先根据正弦定理化边得C 为直角，再根据余弦定理得角B ，最后根据直角三角形解得a.【详解】因为222sin sin sin 0A B C +-=，所以222b c 0a +-=, C 为直角，因为2220a c b ac +--=，所以2221cosB ,223a c b B ac π+-===, 因此13a ccosπ==选B.【点睛】 解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.【详解】()22cos 3sin 2cos 23sin 212sin(2)16f x x x x x x π=+=++=++，当12x π=时,sin(2)sin 163x ππ+=≠±,∴f (x )不关于直线12x π=对称； 当512x π=时,2sin(2)116x π++= ,∴f (x )关于点5(,1)12π对称； f (x )得周期22T ππ==， 当(,0)3x π∈-时,2(,)626x πππ+∈- ,∴f (x )在(,0)3π-上是增函数． 本题选择D 选项.29．D【分析】 本题考查的知识点是向量的加减法及其几何意义、及零向量，我们根据已知中的图形，结合向量加减法的三角形法则，对题目中的四个结论逐一进行判断，即可得到答案．【详解】①如图可知AD ＝AC ＋CD ＝AC ＋12CB ＝－CA －12BC ＝－b －12a ，故①正确． ②BE ＝BC ＋CE ＝BC ＋12CA ＝a ＋12b ，故②正确． ③CF ＝CA ＋AE ＝CA ＋12AB ＝b ＋12(－a －b ) ＝－12a ＋12b ，故③正确． ④AD ＋BE ＋CF ＝－DA ＋BE ＋CF＝－(DC ＋CA )＋BE ＋CF＝－(12a ＋b )＋a ＋12b －12a ＋12b ＝0，故④正确．【点睛】本题考查的主要知识点是向量加减法及其几何意义，关键是要根据向量加减法及其几何意义，将未知的向量分解为已知向量．30．A【分析】利用平面向量的线性运算，将DE 用AB 和AD 表示，可得出λ和μ的值，由此可计算出λμ⋅的值.【详解】 E 为AO 的中点，且O 为AC 的中点，所以，()111244AE AO AC AB AD ===+， ()113444DE AE AD AB AD AD AB AD ∴=-=+-=-，14λ∴=，34μ=-. 因此，1334416λμ⎛⎫⋅=⨯-=- ⎪⎝⎭，故选：A. 【点睛】 本题考查利用基底表示向量，要充分利用平面向量的加减法法则，考查运算求解能力，属于中等题.31．A【解析】分析：根据向量加法、减法法则将BD AC ⋅转化为()()AD AB AB BC -+即可求解. 详解：由题可得：BD AC ⋅=()()AD AB AB BC -+=2211()()24222BC AB AB BC BC AB -+=-=-=-,故选A. 点睛：考查向量的线性运算，将问题转化为已知的信息()()AD AB AB BC -+是解题关键. 32．D【分析】由题，延长AP 交BC 于点D ，利用共线定理，以及向量的运算求得向量,,CP CA CD 的关系，可得DP 与AD 的比值，再利用面积中底面相同可得结果.【详解】延长AP 交BC 于点D ，因为A 、P 、D 三点共线，所以(1)CP mCA nCD m n =++=，设CD kCB =代入可得CP mCA nkCB =+即()(1)AP AC mAC nk AB AC AP m nk AC nk AB -=-+-⇒=--+又因为1142AP AB AC =+，即11,142nk m nk =--=，且1m n += 解得13,44m n == 所以1344CP CA CD =+可得4AD PD = 因为BPC ∆与ABC ∆有相同的底边，所以面积之比就等于DP 与AD 之比所以BPC ∆与ABC ∆的面积之比为14 故选D【点睛】本题考查了向量的基本定理，共线定理以及四则运算，解题的关键是在于向量的灵活运用，属于较难题目.33．D【分析】设CO yBC =，则()1AO AC CO AC yBC yAB y AC =+=+=-++，根据3BC CD =得出y 的范围，再结合()1AO xAB x AC =+-得到,x y 的关系，从而得出x 的取值范围.【详解】设CO yBC =，则()()1AO AC CO AC yBC AC y AC AB yAB y AC =+=+=+-=-++, 因为3BC CD =，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)， 所以10,3y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，又因为()1AO xAB x AC =+-，所以x y =-，所以1,03x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.故选：D【点睛】本题考查平面向量基本定理及向量的线性运算，考查利用向量关系式求参数的取值范围问题，难度一般.34．B【分析】利用两角和与差公式化简原式，可得答案．【详解】因为sin 2sin cos B A C =，所以sin()2sin cos A C A C +=所以sin cos cos sin 2sin cos A C A C A C +=所以sin cos cos sin 0A C A C -=所以sin()0A C -=,所以0A C -=,所以A C =.所以三角形是等腰三角形.故选：B.【点睛】本题考查三角恒等变换在解三角形中的应用，考查两角和与差公式以及两角和与差公式的逆用，考查学生计算能力，属于中档题．35．A【分析】由条件求得∠BCD ＝150°，∠CBE ＝15°，故∠ABE ＝30°，可得∠AEB ＝105°．计算sin105°，代入正弦定理sin30sin105AE AB =︒︒，化简求得AE =-． 【详解】由题意可得，AC ＝BC ＝CD ＝DA =BAC ＝45°，∠BCD ＝∠ACB +∠ACD ＝90°+60°＝150°．又△BCD 为等腰三角形，∴∠CBE ＝15°，故∠ABE ＝45°﹣15°＝30°，故∠BEC ＝75°，∠AEB ＝105°．再由 sin105°＝sin （60°+45°）＝sin60°cos45°+cos60°sin45°=， △ABE 中，由正弦定理可得sin30sin105AE AB =︒︒，∴12AE =，∴AE =）， 故选:A ．【点睛】本题考查勾股定理、正弦定理的应用，两角和的正弦公式，属于中档题．。

高三数学平面向量的概念及几何运算试题答案及解析1.直线的一个法向量可以是【答案】【解析】已知直线的一般式方程为，因此其一个法向量为．【考点】直线的法向量．2.已知非零向量a,b满足向量a+b与向量a-b的夹角为,那么下列结论中一定成立的是() A．a=b B．|a|=|b|C．a⊥b D．a∥b【答案】B【解析】由条件得(a+b)·(a-b)=a2-b2=0,故可得|a|=|b|.3.设a,b是非零向量,则下列不等式中不恒成立的是()A．|a+b|≤|a|+|b|B．|a|-|b|≤|a+b|C．|a|-|b|≤|a|+|b|D．|a|≤|a+b|【答案】D【解析】由||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|知A,B,C恒成立,取a+b=0,则D不成立.【误区警示】解答本题时容易忽视向量共线的情形.4.设a，b是两个非零向量，下列选项正确的是()．A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥bB．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b＝λaD．若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a|－|b|【答案】C【解析】对于A，可得cos〈a，b〉＝－1，因此a⊥b不成立；对于B，满足a⊥b时，|a＋b|＝|a|－|b|不成立；对于C，可得cos〈a，b〉＝－1，因此成立，而D显然不一定成立．5.已知向量a与b的夹角为120°，|a|＝3，|a＋b|＝则|b| 等于()．A．5B．4C．3D．1【答案】B【解析】向量a与b的夹角为120°，|a|＝3，|a＋b|＝，则a·b＝|a||b|·cos 120°＝－|b|，|a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2.所以13＝9－3|b|＋|b|2，则|b|＝－1(舍去)或|b|＝4.6.如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使DE=CD，若点P是以点A为圆心，AB为半径的圆弧（不超出正方形）上的任一点，设向量，则的最小值为____，的最大值为_____；【答案】1，【解析】假设，由已知可得.由向量，可得.所以可得,.令代入可得..所以.又因为.所以最小值为1，最大值为.故填1，.【考点】1.向量的加减.2.向量中最值问题.3.向量的数量积.7.点是内一点且满足，则的面积比为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由是内一点且满足，根据向量的几何运算作出图形如下，其中,,，虚线为垂线，且,,.所以,,又为平行四边形所以所以，选A.【考点】平面向量几何运算、三角形面积计算.8.已知在直角三角形中，，，点是斜边上的一个三等分点，则.【答案】.【解析】如下图所示，设点是斜边上靠近点的三等分点，由于，所以，则，所以，所以.【考点】1.平面向量的基底表示；2.平面向量的数量积9.在边长为1的正三角形ABC中，＝x，＝y，x>0，y>0，且x＋y＝1，则·的最大值为_____________【答案】【解析】由题意，·="(" + )( + )∵＝x，＝y，∴·="("+ )( + )="(" + )( +y)=∵x＞0，y＞0，且x+y=1∴xy≤, ∴=当且仅当x=y=时，取等号∴当x=y=时，·的最大值为.【考点】向量的运算，不等式的性质.10.如图，在中，，，，则等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】．【考点】平面向量的性质、运算的几何意义．11.设，，，是平面直角坐标系中两两不同的四点，若，，且,则称，调和分割，,已知点C(c，0),D(d，0) (c，d∈R)调和分割点A(0，0)，B(1，0)，则下面说法正确的是( )A．C可能是线段AB的中点B．D可能是线段AB的中点C．C，D可能同时在线段AB上D．C，D不可能同时在线段AB的延长线上【答案】D【解析】根据新定义，，，且,则称，调和分割，那么同时也知道，，，四点共线，由于点C(c，0),D(d，0) (c，d∈R)调和分割点A(0，0)，B(1，0)，则可知（c,0）=(1,0),可知c=,同理可知（d,0）=(1,0),d=,由于，则可之,那么可知，满足等式的点时，选项A成立。

专题五 平面向量5.1 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标表示基础篇考点一 平面向量的概念及线性运算1.(2022吉林第三次调研,5)已知向量a =(4,3),则与向量a 垂直的单位向量的坐标为 ( ) A.(45,35) B.(35,−45)C.(−45,−35)或(45,35) D.(35,−45)或(−35,45) 答案 D2.(2022新高考Ⅰ,3,5分)在△ABC 中,点D 在边AB 上,BD =2DA.记CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =n ,则CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.3m -2n B.-2m +3n C.3m +2n D.2m +3n 答案 B3.(2022四川绵阳二模,6)已知平面向量a ,b 不共线,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4a +6b ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-a +3b ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +3b ,则( )A.A ,B ,D 三点共线B.A ,B ,C 三点共线C.B ,C ,D 三点共线D.A ,C ,D 三点共线 答案 D4.(2022江西宜春4月联考,7)如图,在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点O ,且AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =38AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A.58AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −38AD ⃗⃗⃗⃗⃗ B.38AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −58AD ⃗⃗⃗⃗⃗ C.-58AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +38AD ⃗⃗⃗⃗⃗ D.58AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +38AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 答案 C5.(2023届江西宜春月考,7)已知S △ABC =3,点M 是△ABC 内一点且MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则△MBC 的面积为( )A.14B.13C.34D.12答案 C6.(2023届哈尔滨三中月考二,5)在△ABC 中,点D 是线段BC 上任意一点,且满足AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,若存在实数m 和n ,使得BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =mAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +nAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则m +n = ( )A.23 B.13 C.-23 D.−13 答案 C7.(2022贵州适应性考试,14)在平行四边形ABCD 中,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2ED ⃗⃗⃗⃗⃗ .若CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ+μ= . 答案 23考点二 平面向量基本定理及坐标表示考向一 平面向量基本定理1.(2022江西重点中学联考二,5)设e 1,e 2是两个不共线的平面向量,若a =3e 1-2e 2,b =e 1+ke 2,且a 与b 共线,则实数k 的值为( ) A.-12 B.12 C.−23 D.23 答案 C2.(2022甘肃顶级名校第二次联考,14)如图,在△ABC 中,AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13NC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =13BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =xAB⃗⃗⃗⃗⃗ +yAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x +4y 的值为 .答案 13.(2022东北三省三校联考(二),14)在正六边形ABCDEF 中,点G 为线段DF (含端点)上的动点,若CG ⃗⃗⃗⃗⃗ =λCB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μCD ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ∈R ),则λ+μ的取值范围是 . 答案 [1,4]考向二 平面向量的坐标运算1.(2022黑龙江齐齐哈尔第一中学一模,3)已知向量a =(3,-2),b =(m ,1),若a ⊥b ,则a -3b = ( )A.(0,5)B.(5,1)C.(1,-5)D.(152,−5) 答案 C2.(2023届四川内江六中9月联考,1)已知向量a =(1,2),b =(1,1),若c =a +kb ,且b ⊥c ,则实数k =( )A.32B.−53C.53D.−32答案 D3.(2021云南统一检测一,7)已知向量a =(32,1),b =(−12,4),则 ( )A.a ∥(a -b )B.a ⊥(a -b )C.(a -b )∥(a +b )D.(a -b )⊥(a +b ) 答案 B4.(2018课标Ⅲ,13,5分)已知向量a =(1,2),b =(2,-2),c =(1,λ).若c ∥(2a +b ),则λ= . 答案 125.(2022合肥二模,13)已知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,2),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2t ,t +5),若A ,B ,C 三点共线,则t = . 答案 -16.(2021全国甲,14,5分)已知向量a =(3,1),b =(1,0),c =a +kb.若a ⊥c ,则k = . 答案 -1037.(2022河南中原名校4月联考,13)已知向量a =(-1,1),b =(-2,4),若a ∥c ,a ⊥(b +c ),则|c |= . 答案 3√28.(2023届河南安阳调研测试,13)设向量a =(m ,1),b =(1,2),且|a -b |2=|a |2-|b |2,则实数m = . 答案 39.(2019上海,9,5分)过曲线y 2=4x 的焦点F 并垂直于x 轴的直线分别与曲线y 2=4x 交于A 、B ,A 在B 上方,M 为抛物线上一点,OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(λ-2)OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ= . 答案 310.(2022湘豫名校4月联考,13)已知向量a =(-1,3),b =(2x ,-x ),其中x ∈R ,则|a -b |的最小值为 . 答案 √5综合篇考法一 平面向量的线性运算1.(2021贵州安顺模拟,5)如图,在正六边形ABCDEF 中,M 为DE 的中点,设AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A.54a -34b B.-34a +54b C.54a +34b D.34a +54b 答案 D2.(2022届江苏南通如皋调研,7)如图,已知OA =2,OB =2,OC =1,∠AOB =60°,∠BOC =90°,若OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =xOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +yOC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x y= ( )A.√3B.12 C.√33D.23答案 C3.(2021皖江名校4月联考,10)在△ABC 中,AC ⊥AB ,AB =2,AC =1,点P ,M 是△ABC 所在平面内一点,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB⃗⃗⃗⃗⃗ |AB⃗⃗⃗⃗⃗ |+2AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC⃗⃗⃗⃗⃗ |,且满足|PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,若AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则2λ+μ的最小值是 ( )A.3+√2B.5C.1D.3−√2 答案 D4.(2023届河南名校诊断测试一,10)已知△ABC 中,BO ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,过点O 的直线分别交射线AB ,AC 于不同的两点M ,N ,则△AMN 与△ABC 的面积之比的最小值为 ( )A.2√23B.49C.89 D.2答案 C5.(2022山西大同重点中学4月联考,14)在△ABC 中,若AD 是∠BAC 的平分线,且D 在边BC 上,则有ABAC =BDDC ,称之为三角形的内角平分线定理.已知在△ABC 中,AC =4,BC =6,AB =8,P 是△ABC 的内心,且AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =xAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +yAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则xy = . 答案8816.(2022昆明五华模拟,15)如图,在矩形ABCD 中,AB =4,AD =3,以CD 为直径的半圆上有一点P ,若AP⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ+μ的最大值为 .答案 737.(2017江苏,12,5分)如图,在同一个平面内,向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的模分别为1,1,√2,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为α,且tan α=7,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为45°.若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =mOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +nOB ⃗⃗⃗⃗⃗ (m ,n ∈R ),则m +n = .答案 3考法二 向量共线问题1.(2021山西孝义二模,6)已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,cos α),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0),CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2sin α),若A ,B ,D 三点共线,则tan α=( )A.-2B.-12 C.12 D.2 答案 A2.(2022安徽蚌埠三模,11)如图,在梯形ABCD 中,AB ∥DC 且AB =2DC ,点E 为线段BC 的靠近点C 的一个四等分点,点F 为线段AD 的中点,AE 与BF 交于点O ,且AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =xAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +yBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x +y 的值为( )A.1B.57C.1417D.56答案 C3.(2022江西九大名校3月联考,9)在△ABC 中,点D 在线段AC 上,且满足|AD |=13|AC |,点Q 为线段BD 上任意一点,若实数x ,y 满足AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =xAB⃗⃗⃗⃗⃗ +yAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则1x+1y的最小值为 ( )A.4B.4√3C.8D.4+2√3 答案 D4.(2021江西上饶2月联考,10)在三角形ABC 中,E 、F 分别为AC 、AB 上的点,BE 与CF 交于点Q ,且AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =3FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,延长AQ 交BC 于点D ,AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =λQD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ的值为 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 答案 C5.(2022豫北名校联盟4月联考,14)如图所示,A ,B ,C 是圆O 上的三点,线段CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外一点D ,若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =mOA⃗⃗⃗⃗⃗ +nOB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则m +n 的取值范围为 .答案 (-1,0)。

高中数学《平面向量的概念》一、知识点1．向量的定义把既有大小又有方向的量叫做向量，如力、位移等。

只有大小没有方向的量称为数量，如年龄、身高、温度、面积等。

2．向量的表示（1）有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，以A 为起点，B 为终点的有向线段记为AB 。

（2）向量的表示：向量可以用有向线段表示，以A 为起点、B 为终点的向量记作AB ，向量也可用字母⋅⋅⋅c b a ，，表示。

（3）向量的模：向量AB 的大小称为向量AB 的长度（或称模）AB 。

（4）零向量：长度为0的向量叫做零向量，记为，其方向是任意的。

（5）单位向量：长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量。

注意：①向量可以用有向线段表示，但不能说向量就是有向线段。

②向量不能比较大小，向量的模可以比较大小。

3．相等向量与共线向量（1）平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．规定零向量与任意向量平行，即对于任意向量，都有．（2）相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。

（3）平行向量也叫做共线向量。

注意：①向量不具有平行的传递性，因为零向量与任意向量平行。

②向量平行与直线平行是有区别的，平行向量可以共线，但平行直线不可以共线。

0 a a //0二、单项选择题1．下列说法正确的个数为（ ）①零向量没有方向 ②向量就是有向线段，有向线段就是向量③若c b b a ////，，则c a // ④若b a //，则b a ，的方向相同或相反A ．0B ．1C ．2D ．32．下列关于向量的结论，正确的是（ ）A ．若b a =，则b a =或b a -=B ．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同C ．零向量与任意向量平行D ．向量可以比较大小，向量的模也可以比较大小3．下列说法正确的是（ ）A ．若b a >，则b a >B ．若b a =，则b a =C ．若b a =，则b a //D ．若b a ≠，则a 与b 不是共线向量 4．下列不能使b a //成立的是（ ）A ．b a =B ．b a =C ．a 与b 方向相反D ．0=a 或0=b5．在四边形ABCD 中，BD AC =且CD BA =，则四边形ABCD 的形状为（ ）A ．平行四边形B ．矩形C ．菱形D ．等腰梯形6．在四边形ABCD 中，已知DC AB =，BC AB =，则四边形ABCD 一定是（ ）A ．梯形B ．矩形C ．菱形D ．正方形7．下列各命题中假命题的个数为（ ） ①向量AB 的长度与向量BA 的长度相等．②向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反．③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同．④两个有共同终点的向量，一定是共线向量． ⑤向量AB 与向量CD 是共线向量，则点D C B A 、、、必在同一条直线上．A ．0B ．1C ．2D ．3参考答案1、A，2、C，3、C，4、B5、B6、C，7、D②④⑤。