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第14章 X射线的衍射_布拉格方程

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X射线衍射基本原理

X射线衍射基本原理

非相干散射示意图
(3) 荧光辐射
当X射线光量子具有足够高的能量时，可以将被 照射物质原子中的内层电子激发出来，使原子处于激 发状态，通过原子中壳层上的电子跃迁辐射出X射线特 征谱线。这种利用X射线激发作用而产生的新特征谱线 称为二次特征辐射也称为荧光辐射。
入射X射线光量子的能量加必须等于或大于特此原 子某一壳层的电子激发出所需要的脱出功。即：
2dsin =n
上式是X射线在晶体中产生衍射必 须满足的基本条件，它反映了衍射线方 向与晶体结构之间的关系。这个关系式 首先由英国物理学家布拉格父子于1912 年导出，故称为布拉格方程。
布拉格反射
(二) 布拉格方程的讨论
(1) 选择性反射
X射线在晶体中的衔射实质上是晶体中各原子散 射波之间的干涉结果。只是由于衍射线的方向恰好相 当于原子面对入射线的反射，所以才借用镜面反射规 律来描述X射线的衍射几何。但原子面对X射线的反射
电子的数值，而被吸收并引起
二次特征辐射。
铂的质量系数系数与波 长的关系
当X射线透过多种元素组成的物质时，X射线的衰
减情况受到组成该物质的所有元素的共同影响，由被
照射物质原子本身的性质决定，而与这些原子间的结
合方式无关。多种元素组成物质的质量吸收系数由下
式表示：
N
m (m)i wi
i1
并不是任意的，只有当、 和d 三者之间满足布位格
方程时才能发生反射。所以把X射线的这种反射称为选 择反射。
(2) 产生衍射的极限条件
在晶体中产生衍射的波长是有限度的。在电磁波 的宽阔波长范围里，只有在X射线波长范围内的电磁波 才适合探测晶体结构。这个结论可以从布拉格方程中 得出。
由于sin不能大于1，因此， n/2d=sin＜1，即n

3.2 X射线衍射原理

3.2 X射线衍射原理

10000
Im
8000
T-1
6000
4000
2000
0 5 10 15 20 25 30
o
35
40
45
50
2θ / ( )
高岭石的X射线衍射曲线 高岭石的 射线衍射曲线
空间格子的要素： 空间格子的要素：
结点: 空间格子中的点, ★结点: 空间格子中的点,代表具体晶体结构中的相当 点. 行列: 结点在直线上的排列. 引出: ★行列: 结点在直线上的排列.（引出: 结点间距 ）
θ d
3.2 X射线衍射原理 X射线衍射原理 布拉格方程的推导： 布拉格方程的推导：
晶体具有格子状构造， 假定一组平行面网 hkl）的面网间距为d 一组平行面网（ 晶体具有格子状构造， 假定一组平行面网（hkl）的面网间距为d。 X射线具有很强的穿透能力，可以穿透到深层面网。 射线具有很强的穿透能力，可以穿透到深层面网。
3.2 X射线衍射原理 X射线衍射原理
布拉格方程的应用： 布拉格方程的应用：
2d sinθ = nλ sinθ nλ
1）已知波长λ的X射线，测定θ角，计算 已知波长λ 射线，测定θ 晶体的晶面间距d 射线结构分析； 晶体的晶面间距d，X射线结构分析； 2）已知晶体的晶面间距，测定θ角，计 已知晶体的晶面间距，测定θ 射线的波长， 射线光谱学。 算X射线的波长，X射线光谱学。
衍射现象
3.2 X射线衍射原理 X射线衍射原理
衍射现象的示意图
3.2 X射线衍射原理 X射线衍射原理
3.2 X射线衍射原理 X射线衍射原理
3.2.2 晶体对X射线产生衍射的几何条件 晶体对X
Bragg的衍射条件： 2d sinθ = nλ 的衍射条件： sinθ nλ 的衍射条件

x射线衍射基本原理

x射线衍射基本原理




系统消光有点阵消光与结构消光两类。 点阵消光取决于晶胞中原子(阵点)位置而导致的F2=0 的现象。 实际晶体中，位于阵点上的结构基元若非由一个原子组 成，则结构基元内各原子散射波间相互干涉也可能产生 F2=0的现象，此种在点阵消光的基础上，因结构基元 内原子位置不同而进一步产生的附加消光现象，称为结 构消光。 各种布拉菲点阵的F2值可参见有关参考书。

由图亦可知s-s0=2sin，故布拉格方程可写为s-s0=/d。综上所述， “反射定律+布拉格方程”可用衍射矢量（s-s0）表示为 s-s0//N
s s0

d HKL

由倒易矢量性质可知，（HKL）晶面对应的倒易矢量r*HKL//N且 r*HKL=1/dHKL，引入r*HKL，则上式可写为
“选择反 射”即反射定律+布拉格方程是衍射产 生的必要条件。 即当满足此条件时有可能产生衍射； 若不满足此条件，则不可能产生衍射。
二、衍射矢量方程

由“反射定律+布拉格方程”表达的衍射必要条件，可用一个统一的 矢量方程式即衍射矢量方程表达。 设s0与s分别为入射线与反射线方向单位矢量，s-s0称为衍射矢量，则 反射定律可表达为： s0及s分居反射面（HKL）法线（N）两侧，且s0、s与N共面，s0及s与 （HKL）面夹角相等（均为）。据此可推知s-s0//N（此可称为反射定 律的数学表达式），如图所示。
波长： 0.1～100埃
X 射 线 管
劳 厄 斑 点
铅 屏
晶体
底 片
晶体可看作三维 立体光栅 根据劳厄斑点的 分布可算出晶面间距 掌握晶体点阵结构
德国物理学家
劳厄 ue
(1879-1960)

固体化学X射线衍射布拉格方程

固体化学X射线衍射布拉格方程

金属Fe的立方晶胞参数 的立方晶胞参数a=2.860 Å，求 例5: 金属 的立方晶胞参数 ， d110， d200， d211。 当 CuKα1 辐射 （ 辐射（ ， ， 。 λCuKα1 = 1.5406 Å）入射到该晶体时，计算 ）入射到该晶体时， 衍射面110, 200, 211对应的 对应的Bragg角。 衍射面 对应的 角
−1
干涉面 干涉面指数 = 1 1 0 干涉面指数= 2 2 0 干涉面指数 干涉面 干涉面指数 = 3 3 0 干涉面指数 干涉面指数= 4 4 0 干涉面 干涉面指数 = 5 5 0
2d(hkl)sinθn=nλ θ λ
2dHKL sin θ = λ
(110) n=5 (110) (110) n=3 (110) n=2 n=1 (110) n=4
2θ θ
550 n=1 110 220 330 440
2θ θ
（4）布拉格方程的应用 ） 布拉格方程 2dsinθ = n λ 表达了反射线 ( 或入射线）与晶面的夹角（ 或入射线）与晶面的夹角（ θ ）、晶面间 ）、入射线波长 距（d）、入射线波长（ λ）的相互关系。 ）、入射线波长（ ）的相互关系。
+ k2 + l2 1 h = d2 a2
2
立方晶体，任何平面 立方晶体， 间距公式: 组(hkl)的d间距公式 的 间距公式
已知 a=2.860 Å，则 d110 = 2.022 Å ， d200 = 1.430 Å d211 = 1.168 Å
已知λ 已知λ=1.5406Å, d110=2.023Å， ⇒ θ110 = 22.38° ， ° d200=1.430Å，⇒ θ200 = 32.58° ， ° d211=1.168Å，⇒ θ211 = 41.26° ， ° 2θ=44.77° θ ° d=2.023Å 110 hkl=110 2θ=82.53° θ ° d=1.168Å hkl=211 2θ=65.17° θ ° d=1.430Å 200 hkl=200

XRD基础知识与分析方法

XRD基础知识与分析方法
14cps90807060504030202degreeinplane111022311400133422111择优取向022择优取向薄膜中晶粒取向测量薄膜中晶粒取向测量玻璃上的多晶硅薄膜玻璃上的多晶硅薄膜23晶胞参数的测定晶胞参数也称点阵常数即abc是晶体的重要基本参数一种结晶物相在一定条件下具有一定的点阵参数当温度压力化合物的化学剂量比固溶体的组分以及晶体中杂质含量的变化都会引起点阵常数发生变化
• 将 (d-I )试样与PDF卡片中的 (d-I )卡片对照进行未知物相的鉴定。
单物相定性分析-多晶Si的XRD图谱
2.1.2 多相混合物的定性分析
晶体对X射线的衍射效应是取决于它的晶体结 构的，不同种类的晶体将给出不同的衍射花样。假 如一个样品内包含了几种不同的物相，则各个物相 仍然保持各自特征的衍射花样不变。而整个样品 的衍射花样则相当于它们的叠加。除非两物相衍 射线刚好重迭在一起，二者一般之间不会产生干扰 。这就为我们鉴别这些混合物样品中的各个物相提 供了可能。
1.2 X射线衍射与布拉格方程
一束波长为λ的Ｘ射线透过晶体时，某一特定方向上的散射X射线发生叠加，这 种现象称为X射线衍射。布拉格方程解决了衍射线的方向。
布拉格方程： 2dsinθ= nλ（n=1,2…）
当晶面与X射线之间满足上述几何关系时，X射线的衍射强度将相互加强。不同晶面的 反射线若要加强，在晶体产生衍射的必要条件是相邻晶面反射线的程差为波长的整数倍。
产生X-射线的方法，是使快速移动的电子（ 或离子）骤然停止其运动，则电子的动能可部 分转变成X光能，即辐射出X-射线。
X射线管
X射线管产生X射线的特点：当高速电子束轰击金属靶时会产生两种不同的X射线。 一种是连续X射线，另一种是特征X射线。它们的性质不同、产生的机理不同，用途也 不同。

第14章 X射线的衍射_布拉格方程汇总

第14章 X射线的衍射_布拉格方程汇总

A0
sin
a
sin
a sin
P点合振动振幅为:
cos
2r0 t
sin a sin
A A0
a sin
A0
sin u
u
P点光强为:
I
I0
sin u 2
u
其中:
u a sin
补充二、 由光强公式讨论明纹和暗纹
用振幅矢量法（见后）可导出单缝衍射的
光强公式：
I
I
0
sin
2r0
t
上式对整个缝宽作积分,就得到P点的合振动为:
E
a2 a 2
A0
dx a
cos 2
x sin 2r0
t
A0 a 2 dx cos 2 x sin cos 2r0 t
a a 2
A0 a 2 dx sin 2 x sin sin 2r0 t
a a 2
2
其中 π a sin ，
1、主极大（中央明纹中心）位置 0 处， 0 sin 1 I I0 Imax
2、极小（暗纹）位置
当 k π（k 1,2,3）时，
sin 0 I 0
由
π a sin kπ
此时应有 asin k
这正是缝宽可以分成偶数个半波带的情形。
W.K.Röntgen (1845-1923)
Ｘ射线管
冷却水
X 射线
K
A
K——热阴极，发射电子。A——阳极（钼、钨、 铜等金属）。A——K间数万伏的电压，阴极发射 的电子在强电场作用下飞向阳极，高速电子撞击阳 极时，x射线就从阳极发射出来。
世界上第一张x光照片
伦琴夫人的手的X光照片

3.2 X射线的衍射原理

3.2 X射线的衍射原理
齐齐哈尔大学无机非金属材料系
3.2.2 Bragg方程
布拉格反射
入射波 散射波 Bragg方程将空间点阵看
成是有一组相互平行的平
面或称晶面所组成。同一 晶体不同指标的晶面在空 间的取向不同，晶面间距 d(hkl)也不同。下面讨论晶

o
C

B
d A
面族产生衍射的条件。
齐齐哈尔大学无机非金属材料系
d100 a
齐齐哈尔大学无机非金属材料系
波的合成示意 图
• 图示的两个波，波前为圆形，随着传播距离增加，波前变成近似垂直于 传播方向的平面波。现在只考虑A方向的波，两个波在出发点位相相同， 到达S处以后互相之间有Δ A的波程差，也就是第二个波多走了Δ A的距 离,如图(a)所示。当： A n (n 0,1,2,3,...) • • 时，两个波的位相完全一致，所以在这个方向上两个波相互加强，即两 个波的合成振幅等于两个波原振幅的叠加。显然，上述波程差随方向不 同而不同。 1 B ( n ) ( n 0,1,2,3,...) • 比如在B方向上，如图(b)所示，由于波程差 2 • 所以在远处第一个波的波峰和第二波的波谷相重叠，合成振幅为零。也 就是在这个方向上由于两个波的位相不同而相互抵消。 • 自然在A和B的中间方向上可以得到如图 (c)所示的合成波，其振幅大小 介于A方向和B方向合成波振幅的中间值。
a 2 2 a 3 d111 3 d110 a 2 a 3
图 (100) (110) (111) 在点阵中的取向
齐齐哈尔大学无机非金属材料系
1.一组晶面族产生衍射的条件
• 设有一组晶面族，间距为d(hkl) ，当波长为λ的单色X光照射 到这族平面点阵上时，每个平面点阵都散射X射线。 • 同一点阵面上各点阵之间散射线互相加强的条件是：入射角 和反射角相等，且入射线、反射线和平面法线三者在同一平 面内（同镜面对可见光的反射条件一样），如图a所示。

第14章 光的衍射习题答案

第14章 光的衍射习题答案

思 考 题1 为什么隔着山可以听到中波段的电台广播，而电视广播却很容易被高大建筑物挡住 答：只有当障碍物的大小比波长大得不多时，衍射现象才显著。

对一座山来说，电视广播的波长很短，衍射很小；而中波段的电台广播波长较长，衍射现象比较显著。

2 用眼睛通过一单狭缝直接观察远处与缝平行的光源，看到的衍射图样是菲涅耳衍射图样还是夫琅和费衍射图样为什么答：远处光源发出的光可认为是平行光，视网膜在眼睛(相当于凸透镜)的焦平面上，所以观察到的是平行光的衍射。

由此可知，这时人眼看到的是夫琅和费衍射图样。

3 在单缝衍射图样中，离中央明纹越远的明纹亮度越小，试用半波带法说明。

答：在单缝衍射图样中，未相消的一个半波带决定着明纹的亮度。

离中央明纹越远处，衍射角越大，单缝处波阵面分的半波带越多，未相消的一个半波带的面积越小，故离中央明纹越远的明纹亮度越小。

4 根据惠更斯-菲涅耳原理，若已知光在某时刻的波阵面为S ，则S 的前方某点P 的光强度决定于波阵面S 上所有面积元发出的子波各自传到P 点的( )(A)振动振幅之和。

(B)光强之和。

(C)振动振幅之和的平方。

(D)振动的相干叠加。

答：衍射光强是所有子波相干叠加的结果。

选(D)。

5波长为的单色平行光垂直入射到一狭缝上，若第一级暗纹的位置对应的衍射角为30º，则缝宽的大小（ ）(A) a =。

(B) a =。

(C)a =2。

(D)a =3。

答：[ C ]6波长为的单色光垂直入射到单缝上，若第一级明纹对应的衍射角为30，则缝宽a 等于（ ）(A) a = 。

(B) a =2。

(C) a =23。

(D) a =3。

答：[ D ]7在单缝夫琅和费衍射实验中波长为的单色光垂直入射到单缝上，对应于衍射角为30的方向上，若单缝处波面可分成3个半波带，则缝宽度a 等于（ ）(A) 。

(B) 。

(C) 2。

(D) 3。

答：[ D ]8在单缝夫琅和费衍射实验中，波长为的单色光垂直入射到宽度a=4的单缝上，对应于衍射角为30的方向，单缝处波面可分成的半波带数目为（ ） (A)2个。

X射线衍射的几何原理

X射线衍射的几何原理
实验结构： 当Ɵ=300、640时，计数管有脉冲产生。
二、布拉格定律的推证 1、一层原子面上散射X射线的干涉：
当 K Q PR a(cosco)sn,方向衍
当 , 0,X射线衍射满足反射律。
2、相邻原子面的散射X射线的干涉：
干涉加强的条件(布拉格方程)：
λ：入射线波长；d: 晶面间距；
2d
Sin
2,1,1
2,0,2
2,2,01,0,3
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
100
(d) 体心正交: a= 0.286nm, b=0.300nm, c=0.320nm
0,0,2 0,2,0 2,0,0
1,1,2 1,2,12,1,1
0,2,2 2,0,2 2,2,0 0,11,,03,3
50
55
X射线
晶体
衍射现象
电子散射
周期性散射中 心发出的相干 散射波相互干 涉
电磁波
干涉作用
不同衍射花样
测定晶体结构
研究与结构相 关的一系列问 题
二、X射线衍射理论：
在衍射现象与晶体结构之间建立起定性和定量的关系 ➢ 衍射线束的方向：由晶胞的形状和大小决定 ➢ 衍射线束的强度：由晶胞中原子的位置和种类决定 ➢ 衍射线束的形状、大小：由晶体的形状和大小决定
rHKL垂直于正点阵中的HKL晶面 rHKL长度等于HKL晶面的晶面间距dHKL的倒数
二、衍射矢量方程
如图所示，当束X射线被晶面P反射时，假定N为晶面P的
法线方向，入射线方向用单位矢量S0表示，衍射线方向用单位 矢量S表示，则S-S0为衍射矢量。
S0
N S

X射线的衍射原理

X射线的衍射原理

研究方向
生物医学应用
01
探索X射线衍射在生物医学领域的应用，如医学影像、药物研发
和疾病诊断等。
多学科交叉研究
02
结合物理学、化学、生物学等多学科，开展跨学科的衍射研究，
开拓新的研究领域。
理论和实验相结合
03
加强理论计算和实验验证的结合，提高对衍射现象的理解和预
测能力。
对社会的意义
促进科技进步
X射线衍射技术的发展将推动相关领域的技术进步， 促进科技创新。
x射线的衍射原理
目录
• 引言 • x射线衍射的基本原理 • x射线衍射的应用 • x射线衍射实验技术 • x射线衍射的未来发展
01
引言
定义与特性
定义
X射线衍射是X射线在晶体中发生折射、 反射、干涉等现象的总称，是X射线 在晶体中传播的一种方式。
特性
X射线衍射具有方向性和周期性，能 够揭示晶体中原子的排列方式和晶体 结构。
02
在航空航天、汽车制造、建筑材 料和电子设备等领域，X射线衍射 技术被广泛应用于无损检测，确 保产品的质量和安全性。
04
x射线衍射实验技术
实验设备
X射线源
探测器
用于产生X射线，通常由阴极射线管（CRT） 或激光等离子体产生。
用于接收和测量衍射后的X射线，常见的探 测器有闪烁计数器、半导体探测器和CCD 相机等。
03
x射线衍射的应用
晶体结构分析
晶体结构分析是X射线衍射技术最基本和最重要的应用领域。 通过测量衍射角，可以确定晶体中原子的排列方式和晶格结 构，从而获得晶体材料的详细结构信息。
X射线衍射技术广泛应用于矿物学、化学、生物学和材料科学 等领域，对于研究晶体材料的物理和化学性质、开发新材料 以及解决科学问题具有重要意义。

布拉格方程

布拉格方程

What is L
劳厄方程规定了衍射极大的条件,这就是晶体中 所有的原子对入射束的散射波都在衍射极大方 向作相长干涉.如图1所示,图中k。与k分别代表 入射波矢与散射波矢·对弹性散射,k=k0.如令s。 及s分别为沿k0及k方向的单位矢量,则k0=s0/λ,其中 λ为波长.图中原点O为一原子位置,Rl则为另一 原子A的位矢.由图可见,如s为衍射极大方向,则 BO+CO= Rl ·(-s0)+ Rl ·s=nλ即R·(s-s0)=nλ式即为 劳厄方程,其中n为整数. ,泛指遍及晶体内所有原 子的位置矢量,因此是可变的上式的物理意义是: 当来自所有原子的散射波彼此的程差在某一方 向(s)都是波长的整数倍时,即所有的散射波都发 生相长干涉时,才会在这一方向产生衍射极大.可 见,劳厄方程十分清楚地用数学语言描述了波动 光学的衍射现象。
当两束光的光
时发生相长干 2dsin θ = nλ
对于具体的晶
定波长的情况
时，才能出现
X-ray di analysis and the DNA do structur
DNA纤维的X射 线衍射分析与双 螺旋结构的发现
20 世纪20 —30 年代，X 射线衍射 已被用于纤 维结构的分析.1938 年 英国晶体学家、曾任伦敦皇 家研 究所主任布拉格助手的阿斯特伯 里（W.T.Astbury ）首先把X 射线用 于分析核酸结构，获得了第一 张X 射线衍射图，并根据衍射图中子 午线上出现的 周期性的强反射， 得出碱基处在垂直于纤维轴的平 面上，并具有0 .334 nm 间距的重要 论断。1948 年 年底，挪威晶体学 家，当时还是伦敦柏纳耳（Bernal ） 实验室的研究生的法贝格（Sven farberg ）建立了一 个DNA 结构的 单螺旋模型，其中相邻碱基的间 距 为0 .34 nm，每个碱基绕着纤维 轴旋进45 ，在一个 螺旋内共有8 个碱基

固体化学X射线衍射布拉格方程

固体化学X射线衍射布拉格方程
一个晶胞中全部原子散射波的振幅一个电子散射波的振幅晶胞衍射波fhkl称为结构因子hkl称为结构振幅由于合成f时以fhkl也是以两种振幅的比值定义的100010001100010001111111111111111111111111简单立方p格子20p12p12p24p24p24p24p12p12hklhklhkl晶系指数h000k000lhhhhh0hk00klh0lhhlhkl122424481224正方样品对x射线的吸收将造成衍射强度的衰减在衍射强度公式中乘以吸收因子a以校正样品吸收对强度的影响
这与由布拉格方程 计算得到的
d200 = 2.82 Å;
d220 = 1.99 Å 一致
（2）产生衍射的极限条件
➢根据 2dsinθ = n λ ，Sin ≤1，因此：
n = Sin ≤ 1，即n ≤ 2d
2d ➢对衍射而言，n的最小值为1， ➢∴产生衍射的条件为： ≤ 2d， ➢即，只有当电磁波的波长小于等于晶面
S0 c
S
NA
rjβ
S0
αS M b
O
(HKL)
a
在衍射HKL中(劳埃方程): a·(S – S0) = H b·(S – S0) = K c·(S – S0) = L ∴ Δj = xja·(s－s0)+yjb·(s－s0)+zjc·(s－ s0)
= (Hxj+Kyj+Lzj) ∴ A原子与O原子间散射波的相位差为：
d2
a2
已知 a=2.860 Å，则 d110 = 2.022 Å d200 = 1.430 Å d211 = 1.168 Å
2dhkl sin =
已知=1.5406Å, d110=2.023Å， 110 = 22.38° d200=1.430Å， 200 = 32.58° d211=1.168Å， 211 = 41.26°

x射线衍射

x射线衍射
N
iφ
则
FHKL = ∑ f j [cos2π (Hx j + Ky j + Lz j ) + i sin 2π (Hx j + Ky j + Lz j )]
j =1
FHKL = FHKL F
2
∗ HKL
= [∑ f j cos 2π ( Hx j + Ky j + Lz j )]2
j =1 n
+ [∑ f j sin 2π ( Hx j + Ky j + Lz j )]2
方法 使用的X射线 使用的 射线 样品 依据的方程
劳厄法
白色X射线 白色 射线
单晶（固定） 单晶（固定）
劳厄方程
转晶法
单色X射线 单色 射线
单晶（转动） 单晶（转动）
劳厄方程
粉末法
单色X射线 单色 射线
多晶或粉末（转动） 多晶或粉末（转动） 布拉格方程
粉末法物质鉴定
粉末法是用单色X射线射入粉末样品而产生衍 射方法
X射线衍射的Bragg条件
X射线照射晶体，电子受迫振动产生相干散射；同 一原子内各电子散射波相互干涉形成原子散射 波．由于晶体内各原子呈周期排列，因而各原子散 射波问也存在固定的位相关系而产生干涉作用，在 某些方向上发生相长干涉，即形成了衍射波．由此 可知，衍射的本质是晶体中各原子相干散射波叠加 (合成)的结果． 衍射波的两个基本特征——衍射线(束)在空间分布 的方位(衍射方向)和强度，与晶体内原子分布规律 (晶体结构)密切相关．
温度因数T
X射线衍射仪的构造
X射线源
X射线管
高速电子打在靶上， 产生X射线和热量
同步辐射
电子同步加速器产 生的，高速电子在电磁 场中运动发出的电磁辐 射

x射线衍射的原理。布拉格方程的物理意义。

x射线衍射的原理。布拉格方程的物理意义。

x射线衍射的原理。

布拉格方程的物
理意义。

X射线衍射原理：
X射线衍射是指X射线在经过金属表面时被这个表面上晶体结构中的原子所反射。

它可以用来分析表面上原子结构，如原子尺寸，形状和排列模式。

X射线在金属物体表面会受到晶体晶界的局部作用而发生衍射, 由布拉格方程可计算衍射角和衍射线方向。

《布拉格方程》（Bragg equation）是X射线衍射定量测量技术的主要指标，也是测量晶体结构大小、密度和排列方式的主要方法之一。

布拉格方程的物理意义：
布拉格方程（Bragg equation）物理意义是指：在作用于正交晶体的X射线发生衍射的情
况下，衍射角和X射线的波长的各种参数之间的关系，即nλ=2dsinθ。

即n表示晶格极
化面的编号，λ表示X射线的波长，d表示晶格常数，θ表示衍射角，2d表示晶格周期。

这个方程可以用来测量晶体的晶格结构。

综上所述，X射线衍射原理是指X射线在经过金属表面时被金属表面上晶体结构中的原子
反射。

而布拉格方程是X射线衍射定量测量技术的主要指标，也是测量晶体结构的主要方
法之一，物理意义是指，在作用于正交晶体的X射线发生衍射的情况下，衍射角和X射线
的波长的各种参数之间的关系。

衍射的概念与布拉格方程

衍射的概念与布拉格方程
2d sin n
X射线光谱仪原理
衍射花样和晶体结构的关系
从布拉格方程可以看出，在波长一定的情况下，衍射线的 方向是晶面间距d的函数。如果将各晶系的d值代入布拉格 方程，可得（对立方晶系）：
2d sin
d
a
H 2 K 2 L2
Sin2
2
4a2
(H 2
K2
L2）
上式是晶格常数为a的{h k l}晶面对波长为λ的 X射线的衍射方向公式。可知衍射方向决定于 晶胞的大小与形状。
粉末法
粉末法
几种点阵的德拜相 a)体心立方(钨) b)面心立方(钴) c)金刚石立方(硅) d)密排六方(锌)
粉末法
Pb粉末 用单色X射线照射多晶体，以环形底片或探测器（计数器）记录衍射线的多晶 粉末法，是用得最多、用途最广实验方法。
Bragg方程
Bragg方程所决定的衍射现象与可见光的反射从形式上看是相 同的，但有三个不同点： ➢ X射线的衍射是大量原子参与的一种散射现象。 ➢ X射线的衍射只出现在特殊的角度，是一种选择“反射”。
只有当、、d三者之间满足布拉格方程时才能发生反射。 ➢ X射线的衍射线的强度比起入射线强度微忽其微。
λ是入射X射线的波长
是入射线或反射线与反射面的夹角，称为掠射角，
由于它等于入射线与衍射线夹角的一半，故又称为
半衍射角，把2 称为衍射角
推导Bragg方程的几点假设
1）晶体是理想完整，并按空间点阵方式排列。 2）晶体中的原子无热运动，视晶体中的原子为静止的。 3）假定X射线在晶体中不发生折射，近似地认为折射率为1，
2-5 X射线衍射分析方法
原理： 只有满足Bragg方程，才能产生衍射现象，因此对测定的 晶体样品，要么连续改变λ,要么连续改变θ。

X射线的衍射原理

X射线的衍射原理

2d (hkl) Sinθ /n=λ
3.1.3 布拉格方程的讨论


由于带有公因子n 的平面指标(nh nk nl)是一 组和(hkl)平行的平面，相邻两个平面的间距 d(nh nk nl)和相邻两个晶面的间距d(hkl)的关系 为： d(nh nk nl)=1/n d(hkl) 2d（nh nk nl）Sinθ（nh nk nl）=λ 这样由（hkl）晶面的n级反射，可以看成由 面间距为dHKL的（HKL）晶面的1级反射， （hkl)与（HKL）面互相平行。面间距为dHKL 的晶面不一定是晶体中的原子面，而是为了 简化布拉格公式而引入的反射面，常将它称 为干涉面。

2）周转晶体法


2）周转晶体法
采用单色X射线照射转动的单 晶体，并用一张以旋转轴为 轴的圆筒形底片来记录
晶体绕晶轴旋转相当于其倒 易点阵围绕过原点O并与反射 球相切的一根轴转动，于是 某些结点将瞬时地通过反射 球面。 凡是倒易矢量g值小于反射球 直径(g=1／d≤2/λ )的那些 倒易点，都有可能与球面相 遇而产生衍射。
D
1 2 3
I

B) 若确定d和，则衍射方向对应 固定的波长。
1 2 3

3.1.6 布拉格方程的应用
（1）结构分析：已知 ，测角，计算d；
（2）X射线谱分析：已知d 的晶体，测角，得
到特征辐射波长 ，莫塞莱定律确定元素，X射
线荧光分析的基础。
3.1.7 常见的衍射方法

3.1.3 布拉格方程的讨论
7）衍射的限制条件


由布拉格公式2dsinθ=nλ可知，sinθ=nλ/2d，因 | sin | ≤1 ，故n / 2d = | sin | ≤1 。 为使物理意义更清楚， 现考虑n＝1（即1级反射）的 情况，此时 ≤ 2d 。 ——产生衍射的限制条件。 它说明用波长为λ的x射线照射晶体时，晶体中只有 面间距d ≥ / 2 的晶面才能产生衍射。当波长λ大于 （或等于）晶面间距的两倍时，将没有衍射产生。 换言之，当晶面间距到了小于（或等于）λ/2的程度， 衍射就终止了。这也就是为什么不能用可见光（波长 约为200―700nm）来研究晶体结构的原因。

X射线衍射 电子衍射 中子衍射的差异

X射线衍射 电子衍射 中子衍射的差异

X射线衍射电子衍射中子衍射首先来谈谈X-射线、中子、和电子衍射的源-- X-ray,中子和电子的同和异。

最为突出的相同点，搞晶体结构分析的人都非常清楚，即他们都具有波动性，满足基本的波动规律--布拉格公式(Bragg Law)：2d*sinθ=nλ(n是自然数)。

前面已经明确本文的动机，所以这里着重分析它们的差异。

i)表观上的差异，X-ray是光子(电磁波)、不带电没有磁性，电子带负电，中子不带电、质量较大而且具有磁性，这些是显而易见的常识，不多说。

ii)本质上的差异，参考图1所示：X射线是电磁波，没有静止质量，均匀介质中速度不变，波动行为在时空上的dispersion呈现简单的线性关系；而电子、中子是物质波，具有质量，均匀介质中运动速度可以变化，时空上的dispersion呈现平方项。

正是这样的本质差别导致波长(动量)与频率(能量)之间的关系在电磁波(这里是X-ray)和物质波(这里是电子、中子)之间的截然不同。

当然，物质波在运动速度接近光速的时候其dispersion会发生本质的转变，不过这样的情况在实际的结构分析中碰不到，所以不用担心电子/中子在和光子的dispersion完全一致时的异常，反正迄今还没有见过这样的实验.下面进入正题，分别讨论X射线衍射、中子衍射和电子衍射具有哪些其他技术所不能匹敌的优势，在最后综合比较时兼谈相应的不足。

1、XRD具有其他两种技术所不能比拟的地方是它能最准确的测定晶胞参数。

如图2所示，在精确确定晶胞参数这点上，中子衍射最不可取，一方面因为中子衍射波长practically相对较长，另一方面中子衍射波长的校准很难做的很理想，所以中子衍射的结果容易偏离真实值而且分散较大。

电子衍射之选区衍射技术，角度(这里通过相机常数转化成distance)探测的精密性受限制(比不上XRD的成熟技术)，况且多数时候靠人眼去分辨，加上相机长度、标尺的误差，很难得到精确标定；电子衍射之会聚束电子衍射(CBED)，在精密性上相对选区要高，但CBED存在的不足,CBED 测定一个微区晶格参数，而这个晶格参数很大程度上受到strain的影响，以至于不容易获得标准晶格参数。

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sin
I0单 单缝中央主极大光强 2 sin 单缝衍射因子
sinN sin
2
多光束干涉因子
补充四、 X 射线的衍射 布拉格方程
1、x射线的产生 1895年伦琴发现了高速 电子撞击固体可产生一 种能使胶片感光、空气 电离、荧光物质发光的 中性射线—X射线。获 1901年诺贝尔物理学奖.
W.K.Rö ntgen (1845-1923)
Ｘ射线管
冷却水
X 射线
K
A
K——热阴极，发射电子。A——阳极（钼、 钨、 铜等金属）。A——K间数万伏的电压，阴极 发射的电子在强电场作用下飞向阳极，高速电子 撞击阳极时，x射线就从阳极发射出来。
世界上第一张x光照片
伦琴夫人的手的X光照片
X射线的波长在0.01nm到10nm之间。应该产生
r r0 x sin
x sin 2r0 dx dE A0 cos2 t a
上式对整个缝宽作积分,就得到P点的合振动为:
x sin 2r0 dx E A0 cos 2 t a 2 a
W.H.Bragg (1862-1942)
W.L.Bragg (1890-1971)
3、应用 (1) 已知、 可测d — X射线晶体结构分析。
(2) 已知、d可测 — X射线光谱分析。
例如：对DNA分子的 X射线衍 射照片分析，显示出DNA分子 的双螺旋结构.
DNA 晶体的X衍射照片
DNA 分子的双螺旋结构
补充三、 光栅衍射的光强公式
每个单缝在 p点（对应衍射角 ）均有
sin πa E p E 0单 , sin o · 相邻缝在 p点的相位差 2π d sin R
N R Ap
p点合振幅为 Ep N A p 2 R sin ，又 E p 2 R sin 2 2
2、极小（暗纹）位置
当
k π（k 1,2,3）时，
sin 0 I 0
由

π a sin
此时应有
a sin k
kπ
这正是缝宽可以分成偶数个半波带的情形。
dI 0 tg 3、次极大位置：满足 d y y1 = tg y2 =
a 2
x sin 2r0 2 t cos a 2 dx cos A0 a 2 x sin 2r0 dx sin 2 t sin a 2 a a sin sin 2r0 A0 cos t a a sin sin sin sinu A A0 A0 P点合振动振幅为: a u sin A0 a
·
-2
·
·
-2.46
·
-
· 0
0

2

-1.43
+1.43
+2.46
2.46π ， 3.47 π ， … 解得 ： 1.43π ， 相应 ： a sin 1.43 , 2.46 , 3.47 , …
半波带法：
1.50 , 2.50 , 3.50 , …
补充一、用积分法推导单缝衍射光强公式
缝平面 缝宽a B dx 透镜 观测屏 x P r C A dxsin f r0
将缝等分成宽为dx窄 带(子波源)，其光振动为


0
dE A0
dx cos t a
各窄带发的子波在P 点产生的光振动为:
因为:
dE A0
dx 2r cos t a
a 2
P点光强为:
sinu I I0 u

2
其中:
a u sin
补充二、 由光强公式讨论明纹和暗纹 用振幅矢量法（见后）可导出单缝衍射的
sin 光强公式： I I 0
2
其中
π a sin

，
1、主极大（中央明纹中心）位置 sin 1 0 处， 0 I I0 Imax
反射线强度最大




点间干涉
(3) 面间干涉 不同晶面的沿反射方向的散射光相互干涉 相邻晶面散射光1和2的光程差：
1

O




2
d
A

C

B


散射光干涉的加强条件
布喇格公式
1913年英国布拉格父子提出了一种解释Ｘ 射线衍射的方法，给出了定量结果，并于1915 年荣获物理学诺贝尔奖．
干涉和衍射现象。 X射线波长太短，用普通光栅
无法实现。 1912年，德国物理学家劳 厄想到了晶体，晶体的粒 子排列规则，是适合于x射
线衍射的三维空间光栅。
证实了X射线的波动性(获 1914年诺贝尔物理学奖)。
Max. von Laue (1879-1960)
劳厄实验装置
准直缝 晶体
X射线
劳厄斑
· · · ·
2、X射线在晶体上的衍射
1
d


O

C

2


A B
晶面
——掠射角
d——晶面间距，称为晶格常数
(1) 衍射中心 X射线照射晶体时，每个原子都是散射子 波的子波源，相当于一维光栅的“缝”。
(2) 点间干涉 同一层晶面上各原子散射的射线中，满足 反射定律的反射线强度为最大。
sin N sin sin N 2 Ap E p E 0单 sin sin 光栅衍射的光强： 2
sin I p I 0单
2
sin N sin
2

π a
π d sin 2