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高中数学应用性问题教学存在的问题及解决的策略在我国的数学教育史中，古代是极其重视数学的应用性，例如秦九韶、祖冲之、杨辉、刘徽《九章算术注》等，并形成了中国古代数学教育的一大特色。
当前由于种种原因，我们在日常教学中并不十分重视应用问题的教学，即将数学与实际生活紧密联系，增强数学的应用性。
这导致高中生的数学应用意识十分薄弱，解决实际问题的能力较低，有相当一部分学生对数学中的应用问题有着强烈的畏惧感。
在做应用问题的时候，一遇到困难，就心慌意乱、轻易放弃。
高中数学新课标都按以下结构安排：问题提出→实例分析→抽象概括→思考交流。
而其中大多数章节都有一些好的应用性问题的例题或材料，可以这样说大多数教学都一带而过或跳过去，我认为造成这种原因主要是因为：①教师教学观念陈旧，重知识、轻能力；②学生知识面窄，重课本、轻生活；③学校的客观条件跟不上，即配套的教辅用具，例计算机、电脑等不齐全或没有；④高考的指导棒不重视即应用性问题的试题出现不多。
如何提高高中数学应用性问题教学，我们来探索以下一些相应的策略：①教师转变教学观念，从思想上认识到数学应用性问题教学的重要性；②丰富学生的相关知识，引导学生参与实践性活动，了解和熟悉数学应用问题的现实背景，培养学生在解题时建立数学模型的习惯和能力；③国家或教育部门在教辅用具这方面加大投入，特别是农村中学、普通中学，让更多的孩子平等地接受教育；④高考命题时要体现公平、公正原则，物理、化学等学科可以命制应用题，数学学科也可以，只要高考指导棒一明确，各中学都会引起高度的重视。
下面我用几何画板演示几何概型这一应用性问题的处理方法，供大家参考。
几何概型的难点在于怎样把随机事件的总体和随机事件都化为与之对应的区域测度，学习几何概型章节时，常用与古典概型的等可能事件发生的情况入手，比较两者的不同，让学生经历了一个从有限到无限的思维升华过程，这是新课标下学习几何概型的一个初衷．然而在课堂上我们没有条件让学生一个一个的去亲身体验点动成线测度为长度、绕点旋转测度为角度、点动成面测度为面积、点动成体测度为体积等不同类型的几何概型，即便想开展小组交流，也没有比较有效的载体，研讨效果不明显，同学在活动中对不同题型测度很难有个清晰的梳理和把握，为此本文拟从用几何画板动态演示的方法，帮助学生对几何概型的测度有更形象、更直观的理解．一、以时间为测度的几何概型将以时间为测度的几何概型的“区域”理解为线段，就可以类比看作为以长度为测度的几何概型，我们可以通过动态演示的方法理解下例中的几何概型．例1 公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过，乘客到达汽车站的任一时刻是等可能的，求乘客候车不超过3分钟的概率．解析：设事件A ＝{候车时间不超过3分钟}，x 表示乘客来到车站的时刻，那么每一个试验结果都可以表示为x. 假定乘客到达车站后一辆公交车来到的时刻为t ，如图利用几何画板动态演示，乘客必然在(t －5,t]来到车站，t －5<x ≤t ，如果要使乘客的候车时间不超过3分钟，必有t －3≤x ≤t ，所以P(A)＝53. 画板设计：对于随机事件，我们让它在线上“动起来”①在word 中作一段箭头复制到画板中；②在这段箭头上作两点O 、A 标记为0、t ，并连接好，成为线段OA ； ③分别在线段OA 上选取点B 、C 标记为t －5、t －3；④连接AC ，在线段AC 上选取一点标记为x ；⑤选取点x 和线段AC 作【垂线】，在垂线上选取一点并与标记文本x 一起按住shift 键【合并文本到点】，适当【隐藏】干扰元素；⑥追踪x 点，并【生成该点的动画】．二、长度为测度与角度为测度的几何概型的比较例2 如图在等腰Rt △ABC 中，(1)在斜边AB 上任取一点M ，求使AM<AC 的概率.(2)过直角顶点C 在∠ACB 内部作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，求使AM<AC 的概率．解析：虽然问题背景相同，但事件等可能的角度不同，这两小题的概率是不一样的，题(1)中由于点M 落在线段AB 上任一点是等可能的，测度是长度，而题(2)中射线CM 在∠ACB 内部是等可能分布的，测度应是角度．画板设计：第(1)小题：①作等腰Rt △ABC ，∠ACB 为直角；②在AC 边上作一动点D ；③选中点A 和线段AD 作【以圆心和半径绘圆】；④作①A 与线段AB 的【交点】点M ；⑤追踪点M ，生成点D 的动画；也可适当隐藏圆．第(2)小题：①作等腰Rt △ABC ，∠ACB 为直角；②选中点A 和线段AC 作【以圆心和半径绘圆】③作⊙A 与线段AB 的交点C1；④连接线段AC1，在该线段上构造一点M ，作射线CM ；标记角：⑤选中点C 和适当长度的线段作【以圆心和半径绘圆】，选中点A 、C 、M 作【角平分线】；⑥分别作圆与线段AC 、角平分线、射线CM 的交点，以这三点作【过三点的弧】动态显示角度：请注意下图中的角的度数．几何画板中，这个度数不仅可以随着角的大小的改变而改变，而且可以跟着角一起移动．这种直观有效地显示，方便学生边操作边观察，极大地丰富了学生的感性认识．⑦顺次选取点A 、点C 、点M 【度量】、【角的度数】．⑧选取圆与角平分线的交点和刚建立的角的度数，按住shift 键不放，【编辑】，【合并文本到点】通过计算可得：(1)P(AM<AC)＝22 (2)P(AM<AC)＝︒︒905.67=43 三、面积为测度的几何概型例3 一只蚂蚁在如图所示的△ABC 内部区域爬行，AB=6厘米，AC=8厘米，BC=10厘米，求蚂蚁到三个顶点的距离不小于1厘米的概率．分析：让我们能动态的看到蚂蚁到各定点的距离，感受满足条件的蚂蚁运动轨迹，观察发现这种几何概型的测度就是面积．画板设计：①作三角形ABC ，作一点P ，连接PA 、PB 、PC;②分别【度量】线段PA 、PB 、PC 的【长度】；在三角形内拖动点P ，观察点P 到各定点的距离变化(如上图)③【图表】【新建参数】a=1cm ，作点A 并选取参数a 【以圆心和半径绘圆】作半径为1cm 的⊙A ；④分别选中AB 、AC 与圆作出交点M 、N ，再按序选中点M 、A 、N 作∠MAN 的【角平分线】；⑤作⊙A 与此角平分线的交点Q ，选中点M 、Q 、N ，作【过三点的弧】，选中该弧作弧的扇形内部；⑥适当隐藏一些元素美化一下，同样∠B 、∠C 按上面的方法制作不再重述!再次在三角形内拖动点P ，观察点P 到各定点的距离变化(如右图)通过计算可得：P(蚂蚁到三个顶点的距离不小于1厘米)＝2424π- 四、约会问题的几何概型线性动态分析 例6 两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一个人20分钟，过时离去，求两人能够会面的概率．解析：因为题中两人到达的时间都是随机的，设两人到达的时间分别为7点到8点之间的1分钟、y 分钟，用(x, y)表示每一个等可能事件，所有事件“区域”为D={(x,y)|0≤x ≤60，0≤y ≤60}，记两人能够会面为事件A ，则事件A 的“区域”为A ＝{(x,y)||x －y|≤20，0≤x ≤60，0≤y ≤60}．利用几何画板动态演示，事件A 所构成的“区域”为正方形OABC 内两条平行直线所夹中间的阴影部分，测度为面积，所求概率为P ＝222604060-=95 画板设计：①在图表菜单【定义坐标系】【网络】【方形网络】，适当调整原点O 的位置； ②【绘制点】A(60,0)、B(O,60)、C(60,60)、M(20,0)、N(0,20)；③选中点O 点C 作直线OC ，连接OM 、ON ，在线段OM 、线段ON 上作动点P 、点Q ；④选中点P 和直线OC ，作过点P 与OC 的【平行线】交AC 于一点S ，作线段PS ；⑤选中点Q 和直线OC ，作过点Q 与OC 的【平行线】交BC 于一点T ，作线段QT;⑥将线段PS 和线段QT 设为【追踪线段】，选中点P和点Q 【生成点的动画】五、对以体积为测度的几何概型的联想“点动成线，线动成面，面动成体”有了以上各种测度的动画演示，我们对以体积为测度的几何概型就不难理解了，本文不再赘述!看到学生在电脑前拨动鼠标的认真劲，看到学生释然的表情，看到作业上的一个个对号，心里充满无限感慨．多年以后学生可能记不起数学老师的名字，但这些无限跳跃着的动点会引领他们攀登一个又一个的高峰!。
数学应用性问题怎么解数学应用性问题是历年高考命题的要紧题型之一, 也是考生失分较多的一种题型. 高考中一样命制一道解答题和两道选择填空题.解答这类问题的要害是深刻明白得题意,学会文字语言向数学的符号语言的翻译转化,这就需要建立恰当的数学模型,这当中,函数,数列,不等式，排列组合是较为常见的模型,而三角,立几,解几等模型也应在复课时引起重视.例1某校有教职职员150人，为了丰富教工的课余生活，每天定时开放健身房和娱乐室。
据调查统计，每次去健身房的人有10%下次去娱乐室，而在娱乐室的人有20%下次去健身房.请问，随着时刻的推移，去健身房的人数能否趋于稳固？讲解: 引入字母,转化为递归数列模型.设第n 次去健身房的人数为a n ，去娱乐室的人数为b n ，则150=+n n b a .3010730107)150(102109102109111111+=+=-+=+=∴------n n n n n n n n a a a a a b a a 即. )100(1071001-=-∴-n n a a ，因此11)107)(100(100--=-n n a a 即 )100()107(10011-⋅+=-a a n n .100lim =∴∞→n n a .故随着时刻的推移，去健身房的人数稳固在100人左右.上述解法中提炼的模型301071+=-n n a a , 使我们联想到了课本典型习题（代数下册P.132第34题）已知数列{}n a 的项满足 ⎩⎨⎧+==+d ca a b a n n 11,其中1,0≠≠c c ，证明那个数列的通项公式是.1)(1---+=-c d c b d bc a n n n有味的是, 用此模型能够解决许多实际应用题, 专门, 2002年全国高考解答题中的应用题(下文例9)就属此类模型.例2 某人上午7时乘摩托艇以匀速V 千米/小时（4≤V ≤20）从A 港动身前往50千米处的B 港，然后乘汽车以匀速W 千米/小时（30≤W ≤100）自B 港向300千米处的C 市驶去，在同一天的16时至21时到达C 市, 设汽车、摩托艇所需的时刻分别是x 小时、y 小时，若所需经费)8(2)5(3100y x p -+-+=元，那么V 、W 分别为多少时，所需经费最少？并求出这时所花的经费.讲解: 题中已知了字母, 只需要建立不等式和函数模型进行求解. 由于103,5.125.2,100450≤≤≤≤∴≤≤=x y V Vy 同理及又149≤+≤y x .23),23(131)8(2)5(3100y x z y x y x P +=+-=-+-+=令则z 最大时P 最小.作出可行域，可知过点（10，4）时, z 有最大值38， ∴P 有最小值93，这时V=12.5，W=30. 视y x z 23+=这是整体思维的具体表达, 当中的换元法是数学解题的常用方法.例3 某铁路指挥部接到预报，24小时后将有一场超历史记录的大暴雨，为确保万无一失，指挥部决定在24小时内筑一道归时堤坝以防山洪埋住正在紧张施工的遂道工程。
对于第一学段的学生来说，教材虽然没有安排独立的单元系统地教学策略，但学生在日常生活中已经积累了一些关于策略的认识，在以往解决问题的过程中也已经初步积累了解决问题的经验，只是没有总结和提升而已。
解决问题策略形式多种多样，但各个年龄阶段的学生数学问题解决策略的发展是有所不同的。
小学低年段学生主要有尝试、作图、概括规律、操作发现、列举信息等多种策略，从而探索多种方法来解决问题。
1．探索尝试。
尝试策略就是多种方法的“试误”过程。
不同的学生有着不同的数学水平，因此，要充分尊重每个学生的个性差异，允许学生以不同的方式去学习数学，让学生采用尝试的策略去解决问题。
例如：“每条船最多可坐8人，50名学生需租几条船?”常见的做法是引导学生计算一下，50÷8＝6(条)……2(人)，故需租7条船。
但这样的教学缺乏对多种问题解决策略的尝试和探索。
所以，可以放手让学生去尝试探索：(1)8×6＝48(人)，6条船可坐48人，多2个人，需租7条船。
(2)8个8个地加，共加6次余2人，需租7条船。
(3)从50里依次去掉8人，去6次后还有2人，需租7条船。
(4)6×8＝48(人)，8×8＝64(人)，6条船只能安排48人，不够，而8条船太多了，所以7X8＝56(人)，比较合适的是租7条船。
当然，还可以借助学具操作摆一摆，从而获得结果。
2．作图辅助。
小学低年段学生因年龄的局限，运用作图辅助的策略，让学生在纸上涂涂画画可以拓展思路，启迪思维，激发学习数学的兴趣，从而帮助学生找到问题解决的关键。
例如，在一年级《认数》这一单元中，要让学生数一数，写出11～20各数。
学生可以满“十”先圈一圈，然后再加上剩下的，这样就能保证写出来的数是正确的，而且可以帮助学生形象地认识“十”和“一”的关系。
圈圈画画在除法意义的教学中也能起到作用，通过圈一圈，可以直观地理解把一个数“每几个一份地分，可以分成几份”的深刻含义。
探索中学数学教学中的应用型问题解决数学作为一门学科，不仅仅是一种抽象的概念和理论，更是一种实践与应用的工具。
在中学数学教学中，应用型问题解决是培养学生数学思维和解决实际问题能力的重要环节。
本文将探索中学数学教学中的应用型问题解决方法，以及如何培养学生的应用能力。
首先，应用型问题解决需要从实际问题出发。
在教学中，教师可以引入一些生活中的实际问题，如购物、出行、建筑等，让学生从实际问题中感受到数学的应用。
例如，教师可以设计一个购物问题，让学生计算购物清单的总价，以及如何找零。
通过这样的实际问题，学生能够将数学知识与实际生活相结合，增强学习的兴趣和动力。
其次，应用型问题解决需要培养学生的问题分析和解决能力。
在教学中，教师可以引导学生分析问题，提出解决问题的思路和方法。
例如，教师可以提出一个复杂的应用问题，让学生先分析问题的关键点，然后提出解决问题的思路，最后进行具体的计算。
通过这样的训练，学生能够培养问题解决的能力，提高应用型问题的解决效率。
另外，应用型问题解决需要培养学生的数学建模能力。
数学建模是将实际问题转化为数学问题，并通过数学方法进行求解的过程。
在教学中，教师可以引导学生将实际问题进行数学建模，并提供相应的数学工具和方法进行求解。
例如，教师可以提出一个关于物体运动的问题，让学生通过建立数学模型，计算物体的运动轨迹和速度。
通过这样的训练，学生能够将数学知识应用于实际问题，并培养数学建模的能力。
此外，应用型问题解决需要培养学生的团队合作和创新能力。
在教学中，教师可以组织学生进行小组合作，共同解决一个复杂的应用问题。
每个小组成员可以发挥自己的特长，共同分析问题、提出解决思路和方法，并进行讨论和合作。
通过这样的合作，学生能够培养团队合作和创新能力，提高应用型问题的解决效果。
综上所述，中学数学教学中的应用型问题解决是培养学生数学思维和解决实际问题能力的重要环节。
教师可以通过引入实际问题、培养问题分析和解决能力、培养数学建模能力以及培养团队合作和创新能力等方法，来提高学生的应用能力。
数学应用问题解决方案数学是一门应用广泛的学科，它在解决实际问题中扮演着重要角色。
无论是在科学研究、工程设计、金融管理还是日常生活中，数学应用问题都存在着。
本文将为您介绍几个数学应用问题，并提供相应的解决方案。
一、统计分析问题统计分析是数学应用领域中的一个重要部分。
一个常见的统计问题是如何确定一个样本数据集的平均值和标准差。
为此，我们可以使用数学中的统计方法来解决。
首先，计算样本数据的总和，然后除以样本数据的数量，即可得到平均值。
接下来，计算每个数据点与平均值之差的平方值，并对这些平方值求和，然后除以样本数据的数量，再开平方根即可得到标准差。
另一个统计分析问题是如何确定两组数据之间的相关性。
为此，我们可以使用皮尔逊相关系数来衡量两组数据之间的线性相关程度。
该系数的取值范围为-1到1，其中1表示完全正相关，-1表示完全负相关，0表示无相关关系。
计算皮尔逊相关系数的公式如下：r = (nΣxy - ΣxΣy) / sqrt((nΣx^2 - (Σx)^2)(nΣy^2 - (Σy)^2))其中，n表示数据点的数量，Σxy表示x和y的乘积之和，Σx和Σy分别表示x和y的总和。
二、几何问题几何问题在数学应用中也有广泛的应用。
一个常见的几何问题是如何计算一个多边形的面积。
对于一个简单的多边形，可以使用矩形法或三角形法来计算其面积。
对于复杂的多边形，可以将其划分为多个简单的多边形，然后分别计算每个简单多边形的面积，最后将这些面积相加即可得到整个多边形的面积。
此外，对于一些特殊形状的多边形，也可以使用相应的公式进行计算，比如圆的面积公式πr^2。
另一个几何问题是如何计算一个三角形的周长和面积。
对于一个三角形，可以使用三边长度或两边长度和夹角来计算其周长和面积。
根据海伦公式，一个三角形的面积可以使用以下公式计算：面积 = sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c))其中，a、b和c是三角形的三条边的长度，s是三个边长的和的一半。
数学中的应用问题解决方法数学作为一门学科，不仅仅是具有理论性质，更是应用广泛的学科之一。
无论是在生活中还是在工作中，我们都会遇到各种与数学相关的应用问题。
而解决这些应用问题的方法也是多样的，本文将介绍一些常见的数学中的应用问题解决方法。
一、方程求解法方程是数学中的基础概念，解决方程问题是应用数学中最常见的问题之一。
在实际应用中，我们经常遇到需要求解方程的情况，比如线性方程、二次方程等等。
解决方程问题的基本方法是通过推导和运算，将未知数从方程中解出。
对于线性方程，可以使用代数运算的方法解决；对于二次方程，则可以通过配方法、求根公式等方式求解。
二、几何问题解决法几何问题是数学中的另一个重要应用领域。
几何问题的解决方法主要依赖于几何定理和几何性质。
在解决几何问题时，我们首先需要理解和掌握相关的几何定理和定律，然后根据问题的要求运用这些定理和性质进行推导和证明。
例如，对于求解三角形的问题，我们可以使用正弦定理、余弦定理、海伦公式等方式进行求解。
而对于求解平面图形的面积、体积等问题，则可以运用相关的公式和几何性质进行计算。
三、概率与统计问题解决法概率与统计是数学中的分支学科，也是我们在生活中常常遇到的应用问题。
在解决概率与统计问题时，我们需要运用相关的概率模型和统计方法进行计算和分析。
其中，概率问题主要通过计算事件发生的概率来解决，而统计问题则是通过采集数据、分析数据和进行统计推断来解决。
例如，对于概率问题，我们可以使用全概率公式、条件概率等方法进行计算。
对于统计问题，我们可以使用抽样调查、数据分析、假设检验等方法进行分析和推断。
四、优化问题解决法优化问题是应用数学中的另一类重要问题，它涉及到在一定的约束条件下，寻找使某个目标函数最大或最小的变量取值。
解决优化问题的方法主要包括极值判定、拉格朗日乘子法等。
在实际应用中，我们经常需要通过最小化成本、最大化收益、最优化资源利用等方式解决各种优化问题。
这些问题需要通过数学建模和优化算法来求解，以达到最优解。
数学教育中的应用问题与解决方法导言：数学是一门理论与实践紧密结合的学科，它的应用广泛存在于我们的日常生活中。
然而，在数学教育中，我们经常会遇到一些应用问题。
这些问题既涉及到学生在应用数学知识时的困惑，也反映了数学教学中的一些挑战。
本文将探讨数学教育中的应用问题，并提出相应的解决方法。
一、理论与实践的脱节在数学教育中，有时学生对于所学的数学知识与实际应用之间的联系感到困惑。
这主要是因为他们往往只接触到抽象的数学概念，而缺乏实际的应用场景。
解决这一问题的方法可以从两个方面入手。
首先，教师可以通过引入生活中的实际问题来加深学生对数学知识的理解。
例如，在教授解方程时，可以以实际问题为例，如求解房子的面积、找到任务所需的时间等。
通过这样的实例，学生能够更好地理解数学知识的应用，并将其运用于实际问题的解决中。
其次，教师还可以组织实地考察活动，让学生亲身经历数学知识在实际中的应用。
例如，组织数学课外实践活动，如测量校园内各建筑物的高度、收集和处理各类数据等。
通过这样的实践活动，学生能够将所学的数学知识与实际应用相结合，从而更好地理解和掌握数学的实际应用。
二、应用问题的难度在数学教育中，应用问题的难度往往比纯粹的理论问题高。
这主要是因为应用问题往往需要学生具备综合运用多个数学概念的能力，而不仅仅是简单地应用一个概念。
解决这一问题的方法可以从以下几个方面考虑。
首先，我们可以通过引入适当的辅助工具来降低应用问题的难度。
例如，在教授几何问题时，可以使用动态几何软件进行可视化演示，使学生更直观地理解几何知识。
同时，还可以利用计算机辅助数学建模软件解决一些较复杂的实际问题。
这些辅助工具不仅可以提高学生的兴趣，还能帮助他们更好地理解和解决应用问题。
其次，我们可以通过引入问题解决策略来帮助学生应对应用问题的难度。
问题解决策略包括问题分析、寻找解决方法、解决方法的实施与检验等。
教师可以通过讲解和示范的方式引导学生掌握这些策略，并帮助他们在解决应用问题时有条理地进行思考和行动。
浅谈高中数学应用问题的基本解法：浅谈高中数学应用问题的基本解法数学应用性问题是指有实际背景或实际意义的数学问题，它反映了数学与现实生活、生产、科技的联系，并要求学生用数学基础知识、基本技能、基本思想去建立实际问题的数学模型，解决实际问题。
《高中数学新课标》明确指出：学好高中数学课程有助于学生认识数学的应用价值，增强应用意识，形成解决简单实际问题的能力。
数学应用性问题的题目创设了新颖的情境，注重考查学生解决实际问题的能力;其题目编写具有很强的时代气息，有良好的教育价值，体现数学应用的社会性和时代性;其考查密切结合课本，注重考查高中数学课本中的重点内容。
应用题在数学高考中主要考查的基本内容为函数与导数、概率统计、三角函数、立体几何、解析几何等。
范例展示：1、概率与统计模型（2014年安徽高考数学文科17题）某高校共有15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）（Ⅰ）应收集多少位女生样本数据？（Ⅱ）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为：0，2，2，4，4，6，6，8，8，10，10，12。
估计该校学生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率。
（Ⅲ）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4个小时。
请完成每周平均体育运动时间与性别的列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”。
附K2=n（ad-bc）2（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）解：（1）300×450015000=90，所以应收集90位女生的样本数据。
由频率分布直方图得每周平均体育运动超过4小时的频率为1-2×（0.100+0.025）=0.75，所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75。
数学问题解决方法全面总结与演绎数学作为一门理论和应用广泛的学科，在我们的生活中无处不在。
然而，对于许多人来说，数学问题却常常令人感到困惑和挫败。
为了帮助大家更好地解决数学问题，本文将详细总结和演绎各种数学问题解决的方法。
一、数学问题的分类在开始具体讨论解决方法之前，让我们首先了解数学问题的分类。
一般来说，数学问题可以分为基础性问题和应用性问题。
1. 基础性问题：这类问题通常与数学的基本概念、公式和定理有关，包括数值计算、代数运算、几何推理等等。
2. 应用性问题：这类问题则是将数学知识应用于实际问题中，例如物理问题、经济问题、统计问题等。
二、数学问题解决方法针对不同类型的数学问题，我们可以采用以下一些常用的解决方法。
1. 基础性问题解决方法基础性问题通常需要用到一些基本的数学知识和技巧来解决。
以下是一些常见的解决方法：- 理清思路：先仔细理解问题的要求，将问题转化为数学表达式或等式；- 运用公式：根据问题的特点和已知条件，灵活运用数学公式进行计算；- 分解步骤：对于复杂的计算题，可以将问题分解为若干个简单的步骤，分步进行解决；- 反证法：对于某些证明问题，可以尝试使用反证法来得出结论。
2. 应用性问题解决方法应用性问题常常需要结合具体的背景和条件进行分析和解决。
以下是一些常见的解决方法：- 建立模型：将问题抽象为数学模型，根据模型表达式进行计算；- 使用图表：对于某些问题，可以通过绘制图表的方式更直观地分析和解决问题；- 逻辑推理：通过分析问题中的逻辑关系，运用逻辑推理来找到解决方法；- 实践验证：对于某些问题，可以通过实验和实践来验证解决方法的有效性。
三、解决数学问题的技巧除了上述的解决方法，还有一些技巧可以帮助我们更高效地解决数学问题。
1. 作图法：对于涉及几何形状和图形变化的问题，可以尝试通过绘制图形的方式来理解和解决问题。
2. 推理法：对于一些证明类问题，可以尝试运用推理和演绎的思维方法来推导出结论。
2012年全国高考模拟参考部分数学应用性问题怎么解陕西永寿县中学 特级教师安振平数学应用性问题是历年高考命题的主要题型之一, 也是考生失分较多的一种题型. 高考中一般命制一道解答题和两道选择填空题.解答这类问题的要害是深刻理解题意,学会文字语言向数学的符号语言的翻译转化,这就需要建立恰当的数学模型,这当中,函数,数列,不等式，排列组合是较为常见的模型,而三角,立几,解几等模型也应在复课时引起重视.例1某校有教职员工150人，为了丰富教工的课余生活，每天定时开放健身房和娱乐室。
据调查统计，每次去健身房的人有10%下次去娱乐室，而在娱乐室的人有20%下次去健身房.请问，随着时间的推移，去健身房的人数能否趋于稳定？讲解: 引入字母,转化为递归数列模型.设第n 次去健身房的人数为a n ，去娱乐室的人数为b n ，则150=+n n b a .3010730107)150(102109102109111111+=+=-+=+=∴------n n n n n n n n a a a a a b a a 即. )100(1071001-=-∴-n n a a ，于是11)107)(100(100--=-n n a a 即 )100()107(10011-⋅+=-a a n n .100lim =∴∞→n n a .故随着时间的推移，去健身房的人数稳定在100人左右.上述解法中提炼的模型301071+=-n n a a , 使我们联想到了课本典型习题（代数下册P.132第34题） 已知数列{}n a 的项满足⎩⎨⎧+==+d ca a b a n n 11,其中1,0≠≠c c ，证明这个数列的通项公式是.1)(1---+=-c d c b d bc a n n n有趣的是, 用此模型可以解决许多实际应用题, 特别, 2002年全国高考解答题中的应用题(下文例9)就属此类模型.例2 某人上午7时乘摩托艇以匀速V 千米/小时（4≤V ≤20）从A 港出发前往50千米处的B 港，然后乘汽车以匀速W 千米/小时（30≤W ≤100）自B 港向300千米处的C 市驶去，在同一天的16时至21时到达C 市, 设汽车、摩托艇所需的时间分别是x 小时、y 小时，若所需经费)8(2)5(3100y x p -+-+=元，那么V 、W 分别为多少时，所需经费最少？并求出这时所花的经费.讲解: 题中已知了字母, 只需要建立不等式和函数模型进行求解.由于103,5.125.2,100450≤≤≤≤∴≤≤=x y V Vy 同理及又149≤+≤y x.23),23(131)8(2)5(3100y x z y x y x P +=+-=-+-+=令则z 最大时P 最小.作出可行域，可知过点（10，4）时, z 有最大值38， ∴P 有最小值93，这时V=12.5，W=30. 视y x z 23+=这是整体思维的具体体现, 当中的换元法是数学解题的常用方法.例3 某铁路指挥部接到预报，24小时后将有一场超历史记录的大暴雨，为确保万无一失，指挥部决定在24小时内筑一道归时堤坝以防山洪淹没正在紧张施工的遂道工程。
经测算，其工程量除现有施工人员连续奋战外，还需要20辆翻斗车同时作业24小时。
但是，除了有一辆车可以立即投入施工外，其余车辆需要从各处紧急抽调，每隔20分钟有一辆车到达并投入施工，而指挥部最多可组织25辆车。
问24小时内能否完成防洪堤坝工程？并说明理由.讲解: 引入字母, 构建等差数列和不等式模型.由20辆车同时工作24小时可完成全部工程可知，每辆车，每小时的工作效率为4801，设从第一辆车投入施工算起，各车的工作时间为a 1，a 2，…, a 25小时，依题意它们组成公差31-=d （小时）的等差数列，且48025)(21,1480480480,2425125211≥⋅+≥+++≤a a a a a a 即则有，化简可得5192821≥-a .解得245123,51231<≥由于a .可见a 1的工作时间可以满足要求，即工程可以在24小时内完成.对照此题与2002年全国高考文科数学解答题中的应用题, 你一定会感觉二者的解法是大同小异的. 学习数学就需要这种将旧模式中的方法迁移为解答新题的有用工具, 这要求你不断的联想, 力求寻找恰当的解题方案.例4 某学校为了教职工的住房问题，计划征用一块土地盖一幢总建筑面积为A(m 2)的宿舍楼.已知土地的征用费为2388元/m 2，且每层的建筑面积相同，土地的征用面积为第一层的2.5倍.经工程技术人员核算，第一、二层的建筑费用相同都为445元/m 2，以后每增高一层，其建筑费用就增加30元/m 2.试设计这幢宿舍楼的楼高层数，使总费用最少，并求出其最少费用.（总费用为建筑费用和征地费用之和）.讲解: 想想看, 需要引入哪些字母? 怎样建构数学模型?设楼高为n 层，总费用为y 元，则征地面积为25.2m nA ，征地费用为nA 5970元，楼层建筑费用为[445+445+（445+30）+（445+30×2）+…+445+30×（n －2）]·A nn n A )4003015(++=元，从而A A nn A n A nA n A y 1000)400600015(40030155970≥++=+++=（元） 当且仅当nn 600015= , n=20（层）时，总费用y 最少.故当这幢宿舍楼的楼高层数为20层时, 最少总费用为1000A 元.实际应用题的数列模型是近两年高考命题的热门话题, 涉及到等差数列, 等比数列, 递归数列等知识点, 化归转化是解答的通性同法.例5 在一很大的湖岸边（可视湖岸为直线）停放着一只小船，由于缆绳突然断开，小船被风刮跑，其方向与湖岸成15°角，速度为2.5km/h ，同时岸边有一人,从同一地点开始追赶小船，已知他在岸上跑的速度为4km/h ，在水中游的速度为2km/h.,问此人能否追上小船.若小船速度改变，则小船能被人追上的最大速度是多少？讲解: 不妨画一个图形,将文字语言翻译为图形语言, 进而想法建立数学模型.设船速为v ，显然h km v /4≥时人是不可能追上小船，当20≤≤v km/h 时，人不必在岸上跑，而只要立即从同一地点直接下水就可以追上小船，因此只要考虑42<<v 的情况，由于人在水中游的速度小于船的速度，人只有先沿湖岸跑一段路后再游水追赶，当人沿岸跑的轨迹和人游水的轨迹以及船在水中漂流的轨迹组成一个封闭的三角形时，人才能追上小船。
设船速为v ，人追上船所用 时间为t ，人在岸上跑的时间为)10(<<k kt ，则人在水中游的时间 为t k )1(-，人要追上小船，则人船运动的路线满足如图所示的三角形.,||,)1(2||,4||vt OB t k AB kt OA -== 由余弦是理得 ︒⋅⋅-+=15cos ||||2||||||222OB OA OB OA AB即4264.2)()4()1(42222+⋅⋅-+=-vt kt vt kt t k整理得04]8)26(2[1222=-+-+-v k v k .要使上式在（0，1）范围内有实数解，则有112402<-<v 且0)4(124]8)26(2[22≥-⋅⋅--+=∆v v解得h km v v /22,222max =≤<即.故当船速在]22,2(内时，人船运动路线可物成三角形，即人能追上小船，船能使人追上的最大速度为h km /22，由此可见当船速为2.5km /h 时, 人可以追上小船.涉及解答三角形的实际应用题是近年高考命题的一个冷点, 复课时值得关注. 例6 一根水平放置的长方体形枕木的安全负荷与它的宽度a 成正比，与它的厚度 d 的平方成正比，与它的长度l 的平方成反比.（1）将此枕木翻转90°（即宽度变为了厚度），枕木的安全负荷变大吗？为什么？（2）现有一根横断面为半圆（半圆的半径为R ）的木材，用它来截取成长方形的枕木，其长度即为枕木规定的长度，问如何截取，可使安全负荷最大？OABv t2(1－k )t4k t15°讲解:（1）安全负荷k l ad k y (221⋅=为正常数） 翻转222,90lda k y ⋅=︒后2121,0,y y a d ady y <<<∴=时当，安全负荷变大.…4分当 12,0y y d a <<<时，安全负荷变小. （2）如图，设截取的宽为a ，高为d ，则22222244,)2(R d a R d a=+=+即.∵枕木长度不变，∴u =ad 2最大时，安全负荷最大. )(24422422222d R d d R d a d u -=-==3222222223)(224)(224⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-++≤-⋅⋅d R d d d R d d 3934R =，当且仅当2222d R d -=，即取R d 36=， 取R d R a 332222=-=时，u 最大， 即安全负荷最大. 三次函数最值问题一般可用三元均值不等式求解, 如果学过导数知识, 其解法就更为方便, 省去了应用均值不等式时配凑“定和”或“定积”的技巧性.例7 已知甲、乙、丙三种食物的维生素A 、B 含量及成本如下表，若用甲、乙、丙三种食物各x 千克，y 千克，z 千克配成100千克混合食物，并使混合食物 内至少含有（1）用 （2）确定x ，y ，z 的值，使成本最低.讲解:（1）依题意得 100,4911=++++=z y x z y x c 又 y x c 57400++=∴.（2）由{y x z z y x z y x --=≥++≥++100,6300050040080056000400700600及 , 得 {130332064≥-≥+y x y x ， .45057≥+∴y x ,85045040057400=+≥++=∴y x c当且仅当{{2050,130332064==≥-=+y x y x y x 即时等号成立., ∴当x =50千克，y =20千克，z =30千克时，混合物成本最低为850元.线性规划是高中数学的新增内容, 涉及此类问题的求解还可利用图解法, 试试看.例8 随着机构改革工作的深入进行，各单位要减员增效，有一家公司现有职员a 2人（140<a 2<420，且a 为偶数），每人每年可创利b 万元.据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员．．．1人，则留岗职员每人．．每年．．多创利b 01.0万元，但公司需付下岗职员每人每年b 4.0万元的生活费，并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的43，为获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？ 讲解 设裁员x 人，可获得的经济效益为y 万元,则bx bx b x a y 4.0)01.0)(2(-+-= =ab x a x b2])70(2[1002+---依题意 x a -2≥a 243⋅∴0<x ≤2a.又140<a 2<420, 70<a <210.(1)当0<70-a ≤2a,即70<a ≤140时，70-=a x , y 取到最大值;(2)当70-a >2a ,即140<a <210时，2ax = , y 取到最大值;综上所述，当70<a ≤140时，应裁员70-a 人；当140<a <210时，应裁员2a人. 在多字母的数学问题当中，分类求解时需要搞清：为什么分类？对谁分类？如何分类？ 例9 某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同.为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆?讲解 设2001年末汽车保有量为1b 万辆，以后各年末汽车保有量依次为2b 万辆，3b 万辆，……，每年新增汽车x 万辆，则301=b ，x b b n n +=+94.01所以，当2≥n 时，x b b n n +=-194.0，两式相减得：()1194.0-+-=-n n n n b b b b（1）显然，若012=-b b ，则011==-=--+ n n n n b b b b ，即301===b b n ，此时.8.194.03030=⨯-=x（2）若012≠-b b ，则数列{}n n b b -+1为以8.106.0112-=-=-x b x b b 为首项，以94.0为公比的等比数列，所以，()8.194.01-⋅=-+x b b nn n .（i ）若012<-b b ，则对于任意正整数n ，均有01<-+n n b b ，所以，3011=<<<+b b b n n ，此时，.8.194.03030=⨯-<x（ii ）当万8.1>x 时，012>-b b ，则对于任意正整数n ，均有01>-+n n b b ，所以，3011=>>>+b b b n n ，由()8.194.01-⋅=-+x b b n n n ，得()()()()()3094.0194.01112112211+---=+-++-+-=----n n n n n n b b b b b b b b b b()()3006.094.018.11+--=-n x ，要使对于任意正整数n ，均有60≤n b 恒成立，即()()603006.094.018.11≤+---n x对于任意正整数n 恒成立，解这个关于x 的一元一次不等式 , 得8.194.018.1+-≤nx , 上式恒成立的条件为：上的最小值在N n nx ∈⎪⎭⎫⎝⎛+-≤8.194.018.1，由于关于n 的函数()8.194.018.1+-=n n f 单调递减，所以，6.3≤x .本题是2002年全国高考题，上面的解法不同于参考答案，其关键是化归为含参数的不等式恒成立问题，其分离变量后又转化为函数的最值问题.例10 为促进个人住房商品化的进程，我国1999年元月公布了个人住房公积金贷款利率和商业性贷款利率如下：汪先生家要购买一套商品房，计划贷款25万元，其中公积金贷款10万元，分十二年还清；商业贷款15万元，分十五年还清．每种贷款分别按月等额还款，问： (1)汪先生家每月应还款多少元?(2)在第十二年底汪先生家还清了公积金贷款，如果他想把余下的商业贷款也一次性还清；那么他家在这个月的还款总数是多少?(参考数据：1.004455144＝1.8966，1.005025144＝2.0581，1.005025180＝2.4651)讲解 设月利率为r ，每月还款数为a 元，总贷款数为A 元，还款期限为n 月 第1月末欠款数 A (1＋r )－a第2月末欠款数 [A (1＋r )－a ](1＋r )－a ＝ A (1＋r )2－a (1＋r )－a 第3月末欠款数 [A (1＋r )2－a (1＋r )－a ](1＋r )－a ＝A (1＋r )3－a (1＋r )2－a (1＋r )－a ……第n 月末欠款数 0)1()1()1()1(21=-+--+-+-+--a r a r a r a r A n n n得：1)1()1(-+⨯+=nn r rr A a对于12年期的10万元贷款，n ＝144，r ＝4.455‟ ∴37.9421004455.1004455.0004455.1100000144144=-⨯⨯=a 对于15年期的15万元贷款，n ＝180，r ＝5.025‟ ∴22.12681005025.1005025.0005025.1150000180180=-⨯⨯=a由此可知，汪先生家前12年每月还款942.37＋1268.22＝2210.59元，后3年每月还款1268.22元．(2)至12年末，汪先生家按计划还款以后还欠商业贷款a r a r a r a r A X -+--+-+-+=)1()1()1()1(142143144 其中A ＝150000，a ＝1268.22，r ＝5.025‟ ∴X ＝41669.53再加上当月的计划还款数2210.59元，当月共还款43880.12元．需要提及的是，本题的计算如果不许用计算器，就要用到二项展开式进行估算，这在2002年全国高考第（12）题中得到考查.例11 医学上为研究传染病传播中病毒细胞的发展规律及其预防，将病毒细胞注入一只小白鼠体内进行实验，经检测，病毒细胞的增长数与天数的关系记录如下表. 已知该种病毒细胞在小白鼠体内的个数超过108的时候小白鼠将死亡．但注射某种药物，将可杀死其体内该病毒细胞的98%．（1）为了使小白鼠在实验过程中不死亡，第一次最迟应在何时注射该种药物？（精确到天） （2）第二次最迟应在何时注射该种药物，才能维持小白鼠的生命？（精确到天） 已知：lg 2=0.3010． 讲解 （1）由题意病毒细胞关于时间n 的函数为2=y 两边取对数得 ,82lg )1(≤-n n ≤27.5,即第一次最迟应在第27天注射该种药物.（2）由题意注入药物后小白鼠体内剩余的病毒细胞为%2226⨯,再经过x 天后小白鼠体内病毒细胞为x 2%2226⨯⨯, 由题意x 2%2226⨯⨯≤108，两边取对数得 2.6,82lg 22lg 2lg 26≤≤+-+x x 得，故再经过6天必须注射药物，即第二次应在第33天注射药物． 本题反映的解题技巧是“两边取对数”，这对实施指数运算是很有效的.例12 有一个受到污染的湖泊，其湖水的容积为V 立方米，每天流出湖泊的水量都是r 立方米，现假设下雨和蒸发正好平衡，且污染物质与湖水能很好地混合，用g (t )表示某一时刻t 每立方米湖水所含污染物质的克数，我们称为在时刻t 时的湖水污染质量分数，已知目前污染源以每天p 克的污染物质污染湖水，湖水污染质量分数满足关系式g (t )=r p +［g (0)- rp ］·e t v r-(p ≥0),其中，g (0)是湖水污染的初始质量分数.（1）当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染的初始质量分数； （2）求证：当g (0)<rp时，湖泊的污染程度将越来越严重； （3）如果政府加大治污力度，使得湖泊的所有污染停止，那么需要经过多少天才能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的5%？讲解（1）∵g (t )为常数, 有g (0)-r p =0, ∴g (0)= rp .(2) 我们易证得0<t 1<t 2, 则g (t 1)-g (t 2)=［g (0)-rp］e 1t vr --［g (0)-rp ］e 21t v r -=［g (0)-rp］［e 1t vr --e21t v r -］=［g (0)-rp ］)(2112)(t t vrt vr t vr ee e+-,∵g (0)·rp <0,t 1<t 2,e 21t v r>e 1t vr,∴g (t 1)<g (t 2) . 故湖水污染质量分数随时间变化而增加，污染越来越严重.(3)污染停止即P =0，g (t )=g (0)·e t vr-,设经过t 天能使湖水污染下降到初始污染水平5%即g (t )=5% g(0)∴201=e t v r-，∴t =rvln20， 故需要rvln20天才能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的5%. 高考应用性问题的热门话题是增减比率型和方案优化型, 另外,估测计算型和信息迁移型也时有出现.当然,数学高考应用性问题关注当前国内外的政治,经济,文化, 紧扣时代的主旋律,凸显了学科综合的特色,是历年高考命题的一道亮丽的风景线. .。
