2022年山西省普通高中学业水平考试数学模拟试题一、单选题(本大题共15小题，每小题4分，满分60分) 1．设集合{}0,1S =，{}0,3T =，则S T ⋃=（ ） A ．{}0 B ．{}1,3 C ．{}0,1,3 D ．{}0,1,0,3【答案】．C【详解】S T ⋃={}0,1,3故选：C2．已知m ，n 是两条直线，α，β是两个平面．有以下命题：①若m ，n 相交且都在平面α，β外，m ①α，m ①β，n ①α，n ①β，则α①β； ①若m ①α，m ①β，则α①β； ①若m ①α，n ①β，m ①n ，则α①β. 其中正确命题的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】B【详解】对于①，设相交直线m ，n 确定一个平面γ，因为m ，n 相交，且m ①α，m ①β，n ①α，n ①β，所以有γ①α，γ①β，①α①β，故①正确；在长方体1111ABCD A B C D -中，记平面ABCD 为α，平面11ADD A 为β，直线11B C 为m ，直线BC 为n ，显然①①不正确．故选：B.3．已知向量()()1,1,,2a m b m =-=，若a b ⊥，则实数=m （ ） A ．2 B ．23C ．-1D ．-2【答案】B【详解】因为向量()()1,1,,2a m b m =-=，且a b ⊥， 所以220m m +-=，解得：2=3m .故选：B4．已知π,02α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，π3cos 2α⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则tan α=（ ）．A ．3-B 3C ．3D 3【答案】A【详解】由已知条件得π3cos sin 2αα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭3sin α=，①π,02α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，①231cos 1sin 142αα=--=，①3sin 2tan 31cos 2ααα===-，故选：A .5．若a b >，则下列正确的是（ ） A ．22a b > B ．b c a c -<- C ．ac bc > D ．11a b< 【答案】B【详解】当1,1,0a b c ==-=时，2211,,a b ac bc a b==>，所以ACD 选项错误. 由于,a b b a ><，所以b c a c -<-，B 选项正确.故选：B6．在ABC 中，已知75A =︒，45B =︒，4AC =，则AB 的长为（ ） A 6 B ．2 C ．43D ．26【答案】D【详解】解：因为75A =︒，45B =︒，所以60C =︒，又因sin sin AB ACC B=，所以34sin 226sin 2AC C AB B ⋅===故选：D.7．复平面内复数13i z =-+对应的点P 的坐标为（ ） A ．(1,3)- B ．(1,3)C ．(1,3)-D ．(1,3)--【答案】C【详解】13i z =-+，对应的点的坐标是()1,3-.故选：C8．如果点M (sin θ，cos θ)位于第二象限，那么角θ所在的象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【详解】①M (sin θ，cos θ)位于第二象限，①sin 0,cos 0,θθ<⎧⎨>⎩①θ为第四象限角.故选：D. 9．设x ∈R ，则“1x <”是“()10x x -<”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】()1001x x x -<⇒<<，设A ＝{x |1x <}，B ＝{x |01x <<}，①B A ，①“()10x x -<”是“1x <”的充分不必要条件，“1x <”是“()10x x -<”的必要不充分条件.故选：B. 10．函数()1x f x -= ）． A ．()1,+∞ B ．[)1,+∞ C ．()1,3 D ．[)()1,33,⋃+∞【答案】D列出关于x 的不等式组即可求得函数()f x 的定义域. 【详解】要是函数有意义，必须1030x x -≥⎧⎨-≠⎩，解之得1,3x x ≥≠则函数()f x 的定义域为[)()1,33,⋃+∞ 故选：D11．已知函数2(0)1(0)2x x y x x>⎧+=⎨<-⎩，使函数值为5的x 的值是（ ）A ．2-B ．2或2-或52-C ．2或2-D ．2或52-【答案】D【详解】当0x >时，215x +=，解得2x =．当0x <时，25x -=，解得52x =-．故选：D.12．函数()()cos 3sin x f x x xπ+=-的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【详解】解：()()cos 3sin x f x x x π+=-定义域为{}|0x x ≠，又()()cos 3cos sin sin x xf x x x x xπ+-==--， 所以()()()()cos cos sin sin x x f x f x x x x x---===-----，所以()cos sin xf x x x-=-为奇函数，函数图形关于原点对称，故排除B 、D ，又3cos62016sin 6662f πππππ-==<-⎛⎭-⎫ ⎪⎝，故排除C ，故选：A 13．若0,0a b >>，且31a b +=.则11a b+的最小值为（ ） A ．4B ．22C ．322+D ．43+【答案】D【详解】因为0a >，0b >所以()1111334234b aa b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当3b a 时，即3331a b --==.故选：D. 14．已知()sin x x x f -=，则不等式()()2110f m f m ++->的解集为（ ） A ．(),2-∞- B ．()2,-+∞C ．()0,∞+D ．(),0∞-【答案】B【详解】由题意知()f x 的定义域为R ，且sin fx x xf x ，得()f x 为奇函数，且()1cos 0f x x '=-≥，且()f x 在(),-∞+∞上单调递增．由()()2110f m f m ++->得()()211f m f m +>-，即211m m +>-．解得2m >-．故选：B ．15．如图，一座垂直建于地面的信号发射塔CD 的高度为30m ，地面上一人在A 点观察该信号塔顶部，仰角为45︒，沿直线步行1min 后在B 点观察塔顶，仰角为30，若30ADB ∠=︒，此人的身高忽略不计，则他的步行速度为（ ）A ．1m/sB 3C 2D ．1m/s 2【答案】D【详解】依题意，在Rt ACD △中，90,45ADC CAD ∠=∠=，则30AD CD ==m ， 在Rt BCD 中，90,30BDC CBD ∠=∠=，则303tan 30CDBD ==，在ADB △中，30ADB ∠=︒，由余弦定理得：2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠， 即22230(303)2303900AB =+-⨯⨯=，解得30AB =m ，即有301602=， 所以他的步行速度为12m/s .故选：D 所以()222425b =-+=故答案为：25二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，满分16分) 16．已知向量(1,2),(,4)a b x =-=，且//a b ，则b =_________． 【答案】25【详解】由于//a b ，所以()1422,2,4x x b -⨯=⇒=-=-， 17．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足sin :sin :sin 2:4:5A B C =，则最大内角的余弦值为__________．【答案】516-【详解】由sin :sin :sin 2:4:5A B C =，可得::2:4:5a b c =，所以最大内角为C ，设()20a k k =>，则4,5b k c k ==，所以()()()222522416245cos k k k k kC =--⋅+=⋅.故答案为：516-. 18．在ABC 中，面积37ABC S =△4AC =，3BC =，则AB 的长为_____________. 743【详解】由三角形的面积公式可得137sin 6sin 2ABC S AC BC C C =⋅==△，则7sin C =， 所以，23cos 1sin 4C C =±-±.当3cos 4C =时，由余弦定理可得222cos 7AB AC BC AC BC C +-⋅=当3cos 4C =-时，由余弦定理可得222cos 43AB AC BC AC BC C +-⋅74319．设a b 、为平面向量.若a 为单位向量，||43,b a =与b 的夹角为6π，则a 与a b -的数量积为___________. 【答案】5-【详解】||1a =,||43b =,,6πa b →→<>=,2()113cos 56πa ab a a b →→→→→→∴⋅-=-⋅=-⨯=-,故答案为：5-三、解答题(本大题共2小题，每小题12分，满分24分.解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤) 20．如图，在正方体1111ABCD A B C D -，,E F 分别为线段11,BC AB 的中点．(1)求证：//EF 平面1111D C B A ； (2)求异面直线EF 与1C D 的所成角． 【答案】 (1)证明见解析(2)3π 【解析】(1)证明：取1111,A B B C 的中点分别为,M N ，连接,,MN ME NF ，如下图所示：因为E,F 分别为线段11,BC AB 的中点．所以在三角形11AA B 中，1//ME AA 且11=2ME AA ，又11//AA BB 且11=AA BB ，所以1//ME BB 且11=2ME BB ，同理在三角形11BB C 中，1//NF BB 且11=2NF BB ，所以//ME NF 且ME NF =，所以四边形MEFN 为平行四边形， 所以//MN EF ，又EF ⊄平面1111D C B A ，MN ⊂平面1111D C B A ， 所以//EF 平面1111D C B A ； (2)解：连接111,AC A D ，在三角形111A B C 中，11//MN AC ，由（1）可知，11////EF MN A C ，即11//EF A C ， 所以11AC D ∠为异面直线EF 与1C D 的所成角．在三角形11A DC 中，1111A D DC AC ==，所以三角形11A DC 为等边三角形， 所以113AC D π∠=.21．已知函数()f x 1πsin 2126x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭.(1)求()f x 的单调递增区间；(2)若()y g x =的图像是由()y f x =的图像向右平移π6个单位长度得到的，则当,22ππx ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求满足()54g x ≤的实数x 的集合【答案】(1)π2ππ,π63k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ；(2){ππ|23x x -≤≤-或π02x ⎫≤≤⎬⎭. 【解析】(1)令ππ3π22π,2π622x k k ⎡⎤+∈++⎢⎥⎣⎦，则π2ππ,π63x k k ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦， ①()f x 的单调递增区间为π2ππ,π63k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ；(2)由题可知()1ππ1πsin 21sin 2126626g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--++=--+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由()54g x ≤，得π1sin 262x ⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭，由,22ππx ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，得π7π5π2,666x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，由正弦函数的图像与性质可知π7π5ππ5π2,,66666x ⎡⎤⎡⎤-∈--⋃-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则πππ,0,232x ⎡⎤⎡⎤∈--⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，即所求实数x 的取值集合为{ππ|23x x -≤≤-或π02x ⎫≤≤⎬⎭.。
