(完整版)解三角形专题题型归纳
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《解三角形》知识点、题型与方法归纳
、知识点归纳(★☆注重细节，熟记考点☆★)
1正弦定理及其变形
a sin A
变式： b c
—— — 2R (R为三角形外接圆半径)
sin B sin C
(1 a 2RsinA,b 2Rsin B,c 2RsinC (边化角公式)
(2) si nA ,si nB ,si nC (角化边公式)
2R 2R 2R
(3 a: b: c sin A:si nB:si nC
一、a sin A a sin A b sin B
b sin B c sin C c sin C
2 •正弦定理适用情况：
(1) 已知两角及任一边；
(2) 已知两边和一边的对角(需要判断三角形解的情况)
3 •余弦定理及其推论
2 2 2 a b c 2bccosA
b a c 2accosB
2 2 2 cab 2abcosC
4.余弦定理适用情况:
(1)已知两边及夹角;
注.解三角形或判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作 用)，统一成边的形式或角的形式•
7. 实际问题中的常用角
(1)仰角和俯角 b2 2 c 2 a
2bc
2 2 2
a c b
2ac
2 .2 2
a b c
(2)已知三边.
5. 常用的三角形面积公式
1 (1 ) S ABC 底 2
1
(2) S二一 absi nC
2
6. 三角形中常用结论 1 1 acsin B bcsin A 2 4cR为ABC外接圆半径 (两边夹一角)；
(1) a b c, b c
(2) 在 ABC中, A
(3) 在 ABC 中，A B a, a
③ tan A B tanC ； b(即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边)
b si nA si n B(即大边对大角，大角对大边)
，所以 ① sin A B sinC :② cos A B cosC ；
A B C AB . C ④ sin cos ,⑤ cos sin
2 2 2 2 cos A
cosB
cosC 2ab 2
在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下文的叫俯角（如图
①）
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B点的方位角为a （如图②） 注：仰角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。仰角与俯角是相对于水平线而言的, 而方位角是相对于正北方向而言的。
（3）方向角：相对于某一正方向的水平角（如图③） 如：①北偏东°即由指北方向顺时针旋转 °到达目标方向;
②“东北方向”表示北偏东（或东偏北） 45 .
（4）坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角B为坡角）
、题型示例（★☆注重基础，熟记方法☆★）
考点一：正弦定理、余弦定理的简单应用
1 在 VABC 中，若/ A= 60° / B= 45° BC = 3^2,］则 AC=( )
A. 4 3 B. 2 3 C. 3 D.于
2.在 VABC 中，a2 b2 c2 3bc，则 A 等于( )
A. 60° B. 45° C. 120° D. 150°
考点二：利用正弦定理、余弦定理判断三角形的形状
3.设VABC的内角 代B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosC ccosB asi nA,则VABC的形 状为（ ）
A .锐角三角形 B .直角三角形 C .钝角三角形 D .不确定
4 .若厶 ABC 的三个内角满足 sin A : sinB :sinC 3:5:7，则△ ABC（ ）
A . 一定是锐角三角形 B . 一定是直角三角形
C . 一定是钝角三角形 D .可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 （2）方位角 3
A .等腰三角形 B .等边三角形 C.直角三角形 D .等腰三角形或直角三角形
考点三：利用正余弦定理求三角形的面积
6. 在 ABC 中，AB . 3 , AC 1, A 30，贝U ABC 面积为（ ）
A .迈 B .乜 C.乜或、、3 D . 1!或二
2 4 2 4 2
7. 已知ABC的三边长a 3,b 5,c
6，贝U ABC的面积为（ ）
考点四：利用正余弦定理求角
8. 在锐角中 ABC,角A,B所对的边长分别为a,b.若2a s in B 3b,则角A等于（ ）
A. B. C. D.—
12 6 4 3
9. 在厶ABC中，若a= 18，b
= 24，A= 45°则此三角形有 （ ）
A .无解 B .两解 C. 一解 D .解的个数不确定
1
10. 在 ABC ,内角 A, B,C 所对的边长分别为 a,b, c. a si n BcosC cs in B cos A b,且 a b,
2
则 B ()
2 5
A. —— B.— C. — D.
6 3 3 6
考点五： 正余弦定理实际应用问题
11. 如图: A，B是海面上位于东西方向相距 5 3 73海里的两个观测点，现位于 A点北偏东45，B点
北偏西60的D点有一艘轮船发出求救信号， 位于B点南偏西60且与B点相距20.3海里的C点的救援
船立即前往营救，其航行速度为每小时 30海里，该救援船到达 D点需要多长时间？
三、高考真题赏析
1. （2016年山东）在厶ABC中，角A，B，C的对边分别为a, b，c，已知2（tanA tanB）(I)证明：a+b=2c; （n）求cosC的最小值.5. cos A b
在ABC中，若歸二a， 则厶ABC是（
A . '币 B. 2.14 C.、15 D. 2「T5
tan A tanB
cosB cosA 4
cos A cos B sin C
2. (2016年四川)在厶ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且
a b c
(I)证明：sin AsinB sinC ；
(ll )若 b2 c2 a2 6be，求 tan B .
5
(I)求 C；
(II )若c \ 7, △ ABC的面积为——3，求△ ABC的周长.
2 3. (2016年全国I) △ ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c,已知2cosC(acosB+b cosA) c. 5 4. （2015高考新课标2）
ABC中，D是BC上的点，AD平分 BAC , ABD面积是 ADC面积的2倍
sin B 2
（I ）求 ； （II ）若 AD 1 , DC ，求 BD 和 AC 的长.
sin C 2
5. (2015高考四川，理19)如图，A, B, C, D为平面四边 形ABCD的四个内角.
A 1 cosA
(1) 证明：tan ; 2 si nA
ABCD
(2) 若 A C 180o,AB 6,BC 3,CD 4,AD 5,求tan tan tan tan— 2 2 2 2 的值. 6
6. (2013级绵阳一诊，19)已知如图，在Rt ABC中， A 60 , AB 6, 点D、E是斜边AB上两点.
uur uur
(I) 当点D是线段AB靠近A的一个三等分点时，求CD CA的值；
(II) 当点D、E在线段AB上运动时，且 DCE 30，设 ACD ，试用 表示DCE的面积S，并求S的取值范围.
