三角函数解三角形题型归类

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一知识归纳：

（一）任意角、弧度制及任意角的三角函数

1．角的概念

(1)任意角：①定义：角可以看成平面内 绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的 ；②分类：角按旋转方向分为 、 和

．

(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S＝ ．

(3)象限角：使角的顶点与 重合，角的始边与 ，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．

2．弧度制

(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．正角的弧度数是一个 ，负角的弧度数是一个负数 ，零角的弧度数是 .

(2)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad,1°＝π180 rad，1 rad＝180π°.

(3)扇形的弧长公式：l＝|α|·r，扇形的面积公式：S＝12lr＝12|α|·r2.

3．任意角的三角函数

（1）定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sin α＝ ，cos α＝ ，tan α＝ ．

（2）任意角α的终边与单位圆交于点P(x，y)时，sin α＝y，cos α＝x，tan α＝yx(x≠0)

4.三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．

（二）公式概念

1．三角函数诱导公式k2π＋α(k∈Z)的本质

奇变偶不变(对k而言，指k取奇数或偶数)，符号看象限(看原函数，同时把α看成是锐角)．

2．两角和与差的三角函数公式

(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β；

(2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β； WORD格式整理

专业知识分享 (3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.

3．二倍角公式

(1)sin 2α＝2sin αcos α；

(2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，cos2α＝1＋cos 2α2，

sin2α＝1－cos α2；(3)tan 2α＝2tan α1－tan2α.

（三）正、余弦定理及其变形：

1．正弦定理及其变形

在△ABC中，asin A＝bsin B＝csin C＝2R(其中R是外接圆的半径)；

a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；

sin A＝a2R，sin B＝b2R，sin C＝c2R.

2．余弦定理及其变形

a2＝b2＋c2－2bccos A； cos A＝b2＋c2－a22bc.

b2＝ ； cos B＝ ；

c2＝ . cos C＝ .

3.三角形面积公式:

S△ABC＝12ah＝12absin C＝12acsin B＝_________________＝abc4R＝12(a＋b＋c)·r(R是三角形外接圆半径，r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.

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2．整体法：求y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的单调区间、周期、值域、对称轴(中心)时，将ωx＋φ看作一个整体，利用正弦曲线的性质解决．

3．换元法：在求三角函数的值域时，有时将sin x(或cos x)看作一个整体，换元后转化为二次函数来解决．

4．公式法：y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期为π|ω|.

(2016年 全国卷1)

4.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知5a，2c，2cos3A，则b

（A）2 （B）3 （C）2 （D）3

6.将函数2sin(2)6yx的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为

（A）2sin(2)4yx （B）2sin(2)3yx

（C）2sin(2)4yx （D）2sin(2)3yx

14.已知是第四象限角，且3sin()45，则tan()4————————————．

(2015年 全国卷1)

8. 函数()cos()fxx的部分图像如图所示，则()fx的单调递减区间为（ ）

（A）13(,),44kkkZ WORD格式整理

专业知识分享 （B）13(2,2),44kkkZ

（C）13(,),44kkkZ

（D）13(2,2),44kkkZ

17. （本小题满分12分）已知,,abc分别是ABC内角,,ABC的对边，2sin2sinsinBAC.

（I）若ab，求cos;B

（II）若90B，且2,a 求ABC的面积.

(2014年 全国卷1)

2.若0tan，则

A. 0sin B. 0cos C. 02sin D. 02cos

7.在函数①|2|cosxy，②|cos|xy ，③)62cos(xy,④)42tan(xy中，最小正周期为的所有函数为

A.①②③ B. ①③④ C. ②④

D. ①③

16.如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得 M点的仰角60MAN，C点的仰角45CAB以及75MAC；从C点测学科网得60MCA.已知山高100BCm，则山高MN________m.

(2013年 全国卷1)

9．函数()(1cos)sinfxxx在[,]的图像大致为（ ） WORD格式整理

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10．已知锐角ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，223coscos20AA，7a，6c，则b

（A）10 （B）9 （C）8 （D）5

16．设当x时，函数()sin2cosfxxx取得最大值，则cos______.

(2012年 全国卷1)

9.已知>0，0，直线x=4和x=54是函数()sin()fxx图像的两条相邻的对称轴，则=

（A）π4 （B）π3 （C）π2 （D）3π4

17.（本小题满分12分）已知a，b，c分别为ABC三个内角A,B,C的对边，3sinsincaCcA.

(Ⅰ)求A；

(Ⅱ)若a=2，ABC的面积为3，求b，c.

三、题型归纳

题型一、三角函数定义的应用

1.若点P在－10π3角的终边上，且P的坐标为(－1，y)，则y等于( )

A.－33 B.33 C.－3 D.3

变式1．已知角α的终边经过点(3，－1)，则角α的最小正值是( )

A.2π3 B.11π6 C.5π6 D.3π4

题型二、三角函数值的符号

2．已知角α的终边经过点(3，－1)，则角α的最小正值是( ) WORD格式整理

专业知识分享 A.2π3 B.11π6 C.5π6 D.3π4

变式2.设α是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cosα＝15x，则tanα＝( )

A.43 B.34 C．－34 D．－43

题型三、同角三角函数关系式的应用

3.已知tan θ＝2，则sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ等于( )

A．－43 B.54 C．－34 D.45

4.已知sin αcos α＝18，且5π4＜α＜3π2，则cos α－sin α的值为( )

A．－32 B.32 C．－34 D.34

变式3.已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α等于( )

A．－1 B．－22 C.22 D．1

题型四 诱导公式的应用

5．(1)已知sinπ3－α＝12，则cosπ6＋α＝________.

(2)sin(－1 200°)cos 1 290°＋cos(－1 020°)sin(－1 050°)＝______

变式4.已知角终边上一点p(-4,3)，则cos()sin()2119cos()sin()22的值为

题型五、三角函数的图形变换

6.（1）要得到函数y＝sin4x－π3的图象，只需将函数y＝sin 4x的图象( )

A．向左平移π12个单位 B．向右平移π12个单位

C．向左平移π3个单位 D．向右平移π3个单位