解三角形 专题
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解三角形 专题
常规角度 1.三角形基本量的求解：主要考查利用正弦或余弦定理解三角形求边或角．
2.三角形形状的判断：主要考查利用正弦或余弦定理通过角化边或边化角来判断三角形的形状．
3.三角形面积问题：主要考查求三角形的面积或由三角形的面积求边或角．
选择、填空、解答题都会有，考解答题时，一般与数列解答题轮流占第17题位置
创新角度 1.与三角函数问题相结合命题，常通过三角函数值给出角，然后解三角形；
2.与实际应用问题相结合，主要是测量长度、高度与角度问题
一、高考真题：
1.[考查正、余弦定理及三角形面积](2018·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为________．
2.[考查正、余弦定理解三角形](2018·全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5.
(1)求cos∠ADB；(2)若DC＝22，求BC.
二、题型分类：
题型一
求边、求角
1．(2018·天津期末)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin C＝sin 2B，且b＝2，c＝3，则a等于( )
A.12 B.3
C．2 D．23
2．(2018·天津实验中学期中)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sin A＝5sin B，则角C＝( )
A.π3 B.2π3
C.3π4 D.5π6
3．(2018·北京高考)在△ABC中，a＝7，b＝8，cos B＝－17.
(1)求∠A；(2)求AC边上的高．
[方法技巧]
用正、余弦定理求解三角形基本量的方法：边多余弦、角多正弦
题型二：判断三角形形状
1．(2019·湖南师大附中月考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若bcos Cccos B＝1＋cos 2C1＋cos 2B，则△ABC的形状是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
2．(2018·重庆六校联考)在△ABC中，cos2B2＝a＋c2c(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为( )
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形
3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin Asin B＝ac，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状为( )
A．直角三角形 B．等腰非等边三角形
C．等边三角形 D．钝角三角形
[方法技巧]
判定三角形形状的2种常用途径
角化边 利用正弦定理、余弦定理化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断
边化角 通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断
题型三 三角形的面积
典例] (2017·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin A＋3cos
A＝0，a＝27，b＝2.
(1)求c；
(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．
3．(2019·郑州高三质量预测)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且3acos
C＝(2b－3c)cos A.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝2，求△ABC面积的最大值．
[方法技巧] 求解与三角形面积有关的问题的步骤
[针对训练] 1．(2019·德化一中、永安一中、漳平一中三校联考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＋b＋csin A＋sin B＋sin C＝233，A＝π3，b＝1，则△ABC的面积为(
)
A.32 B.34C.12 D.14
2．(2019·长沙、南昌高三第一次联考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bsin B＝asin A＋(c－a)·sin C.
(1)求B；
(2)若3sin C＝2sin A，且△ABC的面积为63，求b.
题型四：正余弦定理在平面几何中的应用
在平面几何图形中考查正弦定理、余弦定理是近几年高考的热点，解决这类问题既要抓住平面图形的几何性质，也要灵活选择正弦定理、余弦定理、三角恒等变换公式．
[典例] (2019·福州期末)已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°.E是边BC上一点，线段DE交AC于点F.
(1)若△CDE的面积为32，求DE的长；(2)若7CF＝4DF，求sin∠DFC.
2.(2019·晋城一模)如图，在锐角三角形ABC中，sin∠BAC＝2425，sin∠ABC＝45，BC＝6，点D在边BC上，且BD＝2DC，点E在边AC上，且BE⊥AC，BE交AD于点F.
(1)求AC的长；(2)求cos∠DAC及AF的长．
3．(2019·大连检测)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足cos2B－cos2C－sin2A＝sin Asin B.
(1)求角C；
(2)若c＝26，△ABC的中线CD＝2，求△ABC的面积S的值．
4.
题型五 实际应用
[典例] 如图，某游轮在A处看灯塔B在A的北偏东75°方向上，距离为126海里，灯塔C在A的北偏西30°方向上，距离为83海里，游轮由A处向正北方向航行到D处时再看灯塔B，B在南偏东60°方向上，则C与D的距离为( )
A．20海里 B．83 海里
C．232 海里 D．24海里
[针对训练]
1.如图，一位同学从P1处观测塔顶B及旗杆顶A，得仰角分别为α和90°－α.后退l(单位：m)至点P2处再观测塔顶B，仰角变为原来的一半，设塔CB和旗杆BA都垂直于地面，且C，P1，P2三点在同一条水平线上，则塔CB的高为________m；旗杆BA的高为________m．(用含有l和α的式子表示)
练习
1．(2018·惠州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos
B＝asin A，则△ABC的形状为( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
2．(2018·临川二中等两校联考)已知a，b，c分别为锐角△ABC三个内角A，B，C的对边，若sin A＝223，sin B>sin C，a＝3，S△ABC＝22，则b的值为( )
A．2或3 B．2
C．3 D．6
3．在钝角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B为钝角，若acos A＝bsin
A，则sin A＋sin C的最大值为( )
A.2 B.98
C．1 D.78
5.(2019·长沙第一中学模拟)已知在△ABC中，D是AC边上的点，且AB＝AD，BD＝62AD，BC＝2AD，则sin C的值为(
)
A.158 B.154
C.18 D.14
6．(2019·赣州寻乌中学期末)在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对边的边长．若cos C＋sin C－2cos B＋sin B＝0，则a＋bc的值是( )
A.2－1
B.2＋1
C.3＋1 D．2
7．(2019·葫芦岛期中)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin C－cos
C＝1－cos C2，若△ABC的面积S＝12(a＋b)sin C＝32，则△ABC的周长为(
)
A．27＋5 B.7＋5
C．27＋3 D.7＋3
10．(2019·沈阳模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c＝5，B＝2π3，△ABC的面积为1534，则cos 2A＝________.
