高中数学解三角形题型归纳总结（高分必备）

高中数学解三角形题型归纳总结（高分必备）

正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形类型的重要工具，其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系。

题型之一：求解斜三角形中的基本元素

指已知两边一角(或二角一边或三边)，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线(高线、角平分线、中线)及周长等基本问题．

题型之二：判断三角形的形状：给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的形状． 题型之三：解决与面积有关问题

主要是利用正、余弦定理，并结合三角形的面积公式来解题．

题型之四：三角形中求值问题 题型之五：正余弦定理解三角形的实际应用

利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识，例析如下：

高中数学重难点归纳：解三角形常考题型有三种类型

题型一：三角变换与解三角形的综合问题方法归纳：

（1）解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的，其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向。第二步：定工具，即根据条件与所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化。第三边：求结果

（2）三角变换与解三角形的综合问题要关注三角形中的隐藏条件，如A+B+C=π，sin（A+B）=sinC，cos（A+B）=-cosC，以及在△ABC中，A＞B→sanA＞sinB等。

题型二：解三角形与平面向量结合解三角形与平面向量综合问题的一般思路

（1）求三角函数值，一般利用向量的相关运算把向量关系转化为三角函数关系。利用同角三角函数关系式及三角函数中常用公式求解

（2）求角时通常由向量转化为三角函数问题，先求值再求角。

（3）解决与向量有关的三角函数问题的思想方法是转化与化归的数学思想，即通过向量的相关运算把问题转化为三角函数问题。 题型三：以平面图形为背景的解三角形问题以平面图形为背景的解三角形问题的一般思路

（1）建联系：在平面几何图形中求相关的几何量时，需寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，通过公共条件形成等式，常常将所涉及的已知几何量与所求几何集中在某一个三角形。

（2）用定理：①“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采取正弦定理②“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采取余弦定理

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精品文档 高中数学必修5 第一章 解三角形复习

一、知识点总结

【正弦定理】

1．正弦定理:2sinsinsinabcRABC (R为三角形外接圆的半径).

2.正弦定理的一些变式：

sinsinsiniabcABC；sin,sin,sin22abiiABCRR2cR；

2sin,2sin,2siniiiaRAbRBbRC；（4）RCBAcba2sinsinsin

3．两类正弦定理解三角形的问题：

（1）已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.

（2）已知两边和其中一边的对角，求其他边角.（可能有一解，两解，无解）

【余弦定理】

1．余弦定理： 2222222222cos2cos2cosabcbcAbacacBcbabaC 2.推论： 222222222cos2cos2cos2bcaAbcacbBacbacCab.

设a、b、c是C的角、、C的对边，则：

①若222abc，则90C；②若222abc，则90C；

③若222abc，则90C．

3.两类余弦定理解三角形的问题：（1）已知三边求三角.

（2）已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.

【面积公式】

已知三角形的三边为a,b,c,

1.111sin()222aSahabCrabc（其中r为三角形内切圆半径）

2.设)(21cbap,))()((cpbpappS(海伦公式)

【三角形中的常见结论】

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精品文档 （1）CBA

(2) sin()sin,ABCcos()cos,ABCtan()tan,ABC

2cos2sinCBA,2sin2cosCBA;AAAcossin22sin,

第 1

页 共 18 页解三角形题型分类解析

1、正弦定理及其变形 2(

sinsinsinabc

RR

ABC为三角形外接圆半径）

12sin,2sin,2sinaRAbRBcRC（）(边化角公式）

2sin,sin,sin

222abc

ABC

RRR（）(角化边公式）

3::sin:sin:sinabcABC（）

sinsinsin

(4),,

sinsinsinaAaAbB

bBcCcC

做题大法：

1）边化角：遇到分式或等式如（切记必须为齐次式，高BAba

BA

bsinsin,

sinsina



考常考点）

思考：若是否可行CBAbcsinsinsina22

是否可化为2）角化边形如这样的分式或等式baBA

bBA

sinsin,a

sinsin思路总结：

此为以上转换依据sinsinab

AB2

sinc

R

C

2、正弦定理适用情况：

（1）已知两角及任一边；

（2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）；

已知a，b和A，不解三角形，求B时的解的情况:

ARsin2a

BRsin2b

BRsin

2c第 2

页 共 18 页如果sinA≥sinB，则B有唯一解；如果sinA

如果sinB=1，则B有唯一解；如果sinB>1，则B无解.

3、余弦定理及其推论

222

222

2222cos

2cos

2cosabcbcA

bacacB

cababC



222

222

222cos

2

cos

2

cos

2bca

A

bc

acb

B

ac

abc

C

ab











4、余弦定理适用情况：

（1）已知两边及夹角； （2）已知三边。

5、常用的三角形面积公式

（1）；高底



21

ABCS

（2）（两边夹一角）；BcaAbcCabS

ABCsin

21

sin

21

sin

21





6、三角形中常用结论

（1）,,(abcbcaacb即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）

（2）sinsin(ABCABabAB在中，即大边对大角，大角对大边）