二次函数专题复习总结

二次函数专题复习总结

1 / 6 二次函数

1.定义：一般地，如果cbacbxaxy,,(2是常数，)0a，那么y叫做x的二次函数.

2.二次函数cbxaxy2用配方法可化成：khxay2的形式，其中abackabh4422，.

3.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.

①a的符号决定抛物线的开口方向：当0a时，开口向上；当0a时，开口向下；

a相等，抛物线的开口大小、形状相同.

②平行于y轴（或重合）的直线记作hx.特别地，y轴记作直线0x.

4.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.

5.求抛物线的顶点、对称轴的方法

（1）公式法：abacabxacbxaxy442222，∴顶点是），（abacab4422，对称轴是直线abx2.

（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为khxay2的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是直线hx.

（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.

6.抛物线cbxaxy2中，cba,,的作用

（1）a决定开口方向及开口大小，这与2axy中的a完全一样.

（2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线cbxaxy2的对称轴是直线

abx2，故：①0b时，对称轴为y轴；②0ab（即a、b同号）时，对称轴在y轴左侧；③0ab（即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧. 2 （3）c的大小决定抛物线cbxaxy2与y轴交点的位置.

当0x时，cy，∴抛物线cbxaxy2与y轴有且只有一个交点（0，c）：

①0c，抛物线经过原点; ②0c,与y轴交于正半轴；③0c,与y轴交于负半轴.

以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则 0ab.

7.用待定系数法求二次函数的解析式

（1）一般式：cbxaxy2.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.

（2）顶点式：khxay2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

（3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标1x、2x，通常选用交点式：21xxxxay.

12.直线与抛物线的交点

（1）y轴与抛物线cbxaxy2得交点为(0, c).

（2）与y轴平行的直线hx与抛物线cbxaxy2有且只有一个交点(h,cbhah2).

（3）抛物线与x轴的交点

二次函数cbxaxy2的图像与x轴的两个交点的横坐标1x、2x，是对应一元二次方程02cbxax的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：

①有两个交点0抛物线与x轴相交；

②有一个交点（顶点在x轴上）0抛物线与x轴相切；

③没有交点0抛物线与x轴相离.

（4）平行于x轴的直线与抛物线的交点

同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是kcbxax2的两个实数根.

（5）一次函数0knkxy的图像l与二次函数02acbxaxy的图像G的交点，由方程组 cbxaxynkxy2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时l与G有两个交点; ②方程组只有一组解时l与G只有一个交点；③方程组无解时l与G没有交点.

（6）抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线cbxaxy2与x轴两交点为二次函数专题复习总结

3 / 6 0021，，，xBxA，由于1x、2x是方程02cbxax的两个根，故

acxxabxx2121,aaacbacabxxxxxxxxAB444222122122121

1．二次函数y=－x2＋6x－5，当x 时， 0y，且y随x的增大而减小。

2.抛物线)2(22mmxxy的顶点坐标在第三象限，则m的值为（ ）

A．21mm或 B．10mm或 C．01m D．1m ．

3．抛物线y=x2－2x＋3的对称轴是直线（ ）

A．x =2 B．x =－2 C．x =－1 D．x =1

4． 二次函数y=x2+2x－7的函数值是8，那么对应的x的值是（ ）

A．3 B．5 C．－3和5 D．3和－5

5．抛物线y=x2－x的顶点坐标是（

）

11111A.(1,1) .(,1) .(,) .(,)22424BCD

6．二次函数cbxaxy2 的图象，如图1－2－40所示，根据图象可得a、b、c与0的大小关系是（ ）

A．a＞0，b＜0，c＜0 B．a＞0，b＞0，c＞0

C．a＜0，b＜0，c＜0 D．a＜0，b＞0，c＜0

7．小敏在今年的校运动会跳远比赛中跳出了满意一跳，函数h=3．5 t－4．9 t2(t的单位s；h中的单位：m）可以描述他跳跃时

重心高度的变化．如图，则他起跳后到重心最高时所用的时间是（ ）

A．0．71s B．0.70s C．0.63s D．0．36s

8．已知抛物线的解析式为y=－（x—2）2＋l，则抛物线的顶点坐标是（ ）

A．（－2，1）B．（2，l）C．（2，－1）D．（1，2）

9．若二次函数y=x2－x与y=－x2+k的图象的顶点重合，则下列结论不正确的是（ ）

A．这两个函数图象有相同的对称轴

B．这两个函数图象的开口方向相反

C．方程－x2+k=0没有实数根 4 D．二次函数y=－x2＋k的最大值为12

10．抛物线y=x2 +2x－3与x轴的交点的个数有（ ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

11．抛物线y=（x—l）2 +2的对称轴是（ ）

A．直线x=－1 B．直线x=1 C．直线x=2 D．直线x=2

12．已知二次函数cbxaxy2的图象如图所示，则在“① a＜0，②b ＞0，③c＜ 0，④b2－4ac＞0”中，正确的判断是（ ）

A、①②③④ B、④ C、①②③ D、①④

13．已知二次函数cbxaxy2(a≠0）的图象如图所示，则下列结论：①a、b同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=－2时，x的值只能取0．其中正确的个数是（ ）

A．l个 B．2个 C．3个 D．4个

14．如图，抛物线的顶点P的坐标是（1，－3），则此抛物线对应的二次函数有（）

A．最大值1 B．最小值－3

C．最大值－3 D．最小值1

15．用列表法画二次函数cbxaxy2的图象时先列一个表，当表中对自变量x的值以相等间隔的值增加时，函数y所对应的值依次为：20，56，110，182，274，380，506，650．其中有一个值不正确，这个不正确的值是（ ）

A．506 B．380 C．274 D．182

16．将二次函数y=x2－4x+ 6化为 y=(x—h)2+k的形式：y=___________

17．把二次函数y=x2－4x+5化成y=(x—h)2+k的形式：y=___________

18．若二次函数y=x2－4x+c的图象与x轴没有交点，其中c为整数，则c=__

_________________（只要求写一个）．

19．抛物线y=(x－1)2+3的顶点坐标是____________．

20．二次函数y=x2－2x－3与x轴两交点之间的距离为_________.

21. 已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（－1,0）、B（3,0）、C（0,3）三点，

(1)求抛物线的解析式和顶点M的坐标

(2)若点（x0,y0）在抛物线上，且0≤x0≤4,试写出y0的取值范围。

22．华联商场以每件30元购进一种商品，试销中发现每天的销售量y（件）与每件的销售价x（元）满足一次函数y=162－3x；

（1）写出商场每天的销售利润w（元）与每件的销售价x（元）的函数关系式； 二次函数专题复习总结

5 / 6 （2）如果商场要想获得最大利润，每件商品的销售价定为多少为最合适？最大销售利润为多少？

25.已知直线y＝－2x＋b(b≠0)与x轴交于点A，与y轴交于点B;一抛物线的解析式为y＝x2－(b＋10)x＋c.

⑴若该抛物线过点B，且它的顶点P在直线y＝－2x＋b上，试确定这条抛物线的解析式；

⑵过点B作直线BC⊥AB交x轴于点C，若抛物线的对称轴恰好过C点，试确定直线y＝－2x＋b的解析式.

26．已知抛物线y=(1-m)x2+4x-3开口向下，与x轴交于A(x1,0)和B(x2,0)两点，其中xl

(1)求m的取值范围；

(2)若x12+ x22=10，求抛物线的解析式

27．如图，等腰梯形ABCD的边BC在x轴上，点A在y轴的正方向上，A( 0, 6 )，D ( 4，6)，且AB=210 .

（1）求点B的坐标；

（2）求经过A、B、D三点的抛物线的解析式；

（3）在（2）中所求的抛物线上是否存在一点P，使得S△PBD=12 S梯形ABCD。若存在，请求出该点坐标，若不存在，请说明理由.

yxCDABO