二次函数复习总结归纳

二次函数复习总结归纳

1 / 6 y

x O

二次函数复习归纳（培优）

1. 二次函数2()yaxhk的图像和性质

a＞0 a＜0

图 象

开 口

对 称 轴

顶点坐标

最 值 当x＝ 时，y有最 值 当x＝ 时，y有最 值

增减性 在对称轴左侧 y随x的增大而 y 随x的增大而

在对称轴右侧 y随x的增大而 y随x的增大而

2. 二次函数cbxaxy2用配方法可化成khxay2的形式，其中h＝ ， k＝ .

3. 二次函数2()yaxhk的图像和2axy图像的关系：

；

4.用待定系数法求二次函数的解析式

（1）一般式：cbxaxy2.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.

（2）顶点式：khxay2.已知图像的顶点或对称轴或最值，通常选择顶点式.

求抛物线的顶点、对称轴的方法：abacabxacbxaxy442222，

∴顶点是），（abacab4422，对称轴是直线abx2.

（3）交点式：已知图像与x轴交点的横坐标1x、2x，通常选用交点式：21xxxxay

（4）抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线cbxaxy2与x轴两交点为0021，，，xBxA，由于1x、知识要点 二次函数复习总结归纳

2 / 6 2x是方程02cbxax的两个根，故acxxabxx2121,

aaacbacabxxxxxxxxAB444222122122121

5.抛物线cbxaxy2中，cba,,的作用

（1）a决定开口方向及开口大小：a>0，开口向上；a<0，开口向下；越大，开口越小

（2）b和a决定抛物线对称轴（左同右异）

①0b时，对称轴为y轴；②0ab（即a、b同号）时，对称轴在y轴左侧；

③0ab（即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧.

（3）c决定抛物线与y轴交点的位置.c＞0时，与y轴正半轴相交；c＜0时，与y轴负半轴相交。

（4）acb42决定抛物线与x轴的交点个数

①0，有2个交点 ②,0 有1个交点；③0，无交点

（5）横坐标为1的点在x轴上方或下方，决定a+b+c的符号：点在x轴上方，a+b+c＞0；点在x轴下方时，a+b+c＜0；

（6）横坐标为-1的点在x轴上方或下方，决定a-b+c的符号：点在x轴上方，a-b+c＞0；点在x轴下方时，a-b+c＜0；

【二次函数的增减性】

1.二次函数y=3x2－6x+5，当x>1时，y随x的增大而 ；当x<1时，y随x的增大而 ；当x=1时，函数有最 值是 。当x>2时，y随x的增大而

2.已知函数y=4x2－mx+5，当x> －2时,y随x的增大而增大；当x< －2时，y随x的增大而减少；则x＝1时,y的值为 。

3.已知二次函数y=x2－(m+1)x+1，当x≥1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是 .

4.已知二次函数y=－12 x2+3x+52 的图象上有三点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)且3

5.当-2≤x≤1时，y=-(x-m)2+m2+1有最大值4，则m的值为

【二次函数的平移】

技法：只要两个函数的a 相同，就可以通过平移重合。将二次函数一般式化为顶点式y=a(x－h)2+k，平移规律：左加右减，对x；上加下减，直接加减

5.抛物线y= －32 x2向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得到的抛物线的关系式典型例题归类 二次函数复习总结归纳

3 / 6 为 。

6.抛物线y= 2x2， ，可以得到y=2(x+4}2－3。

7.将抛物线y=x2+1向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得到的抛物线的解析式为 。

8.如果将抛物线y=2x2－1的图象向右平移3个单位，所得到的抛物线的解析式为 。

9.将抛物线y=ax2+bx+c向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到y=2x2－4x－1则a＝ ，b＝ ，c＝ .

10.将抛物线y＝ax2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，移动后的抛物线经过点(3，－1)，那么移动后的抛物线的关系式为 _.

11.抛物线21(4)72yx的顶点坐标是 ，对称轴是直线 ，它的开口向 ，在对称轴的左侧，即当x< 时，y随x的增大而 ；在对称轴的右侧，即当x> 时，y随x的增大而 ；当x= 时，y的值最 ，最

值是 。

【函数的交点】

1.抛物线y=x2+7x+3与直线y=2x+9的交点坐标为 。

2.直线y=7x+1与抛物线y=x2+3x+5的图象有 个交点。

【函数的的对称】

1.抛物线y=2x2－4x关于y轴对称的抛物线的关系式为 。

2.抛物线y=ax2+bx+c关于x轴对称的抛物线为y=2x2－4x+3，则a= b= c=

【二次函数与一元二次方程的关系】

技法一：实质就是y为0，变为一元二次方程。由b2-4ac的符号确定：当b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点；当b2-4ac=0时，抛物线与x轴有一个交点；当b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。

例1、 如果二次函数y＝x2＋4x＋c图象与x轴没有交点，其中c为整数，则c＝ （写一个即可）

例2、 二次函数y＝x2-2x-3图象与x轴交点之间的距离为

例3、 抛物线y＝－3x2＋2x－1的图象与x轴交点的个数是( ) 二次函数复习总结归纳

4 / 6 A.没有交点 B.只有一个交点 C.有两个交点 D.有三个交点

例4、 如图所示，二次函数y＝x2－4x＋3的图象交x轴于A、B两点， 交y 轴于点C， 则△ABC的面积为( )

A.6 B.4 C.3 D.1

例5、 已知抛物线y＝5x2＋(m－1)x＋m与x轴的两个交点在y轴同侧，它们的距离平方等于为

4925 ，则m的值为( )

A.－2 B.12 C.24 D.48

例6、 若二次函数y＝(m+5)x2+2(m+1)x+m的图象全部在x轴的上方，则m 的取值范围是

例7、 已知抛物线y＝x2-2x-8，

（1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点；

（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，且它的顶点为P，求△ABP的面积。

【二次函数与不等式的关系】

例1、y=ax2+bx+c中，a<0，抛物线与x轴有两个交点A（2，0）B（-1，0），则ax2+bx+c>0的解是____________;

ax2+bx+c<0的解是____________

例2、已知二次函数y=x2+mx+m-5，求证①不论m取何值时，抛物线总与x轴有两个交点；②当m取何值时，抛物线与x轴两交点之间的距离最短。

例3、如果抛物线y=21x2-mx+5m2与x轴有交点，则m______

例4、右图是二次函数y1=ax2+bx+c和一次函数y2=mx+n的图像，•观察图像写出y2≥y1时，x的取值范围_______．

例5、已知函数y1＝x2与函数y2＝－12x＋3的图象大致如图，若y1＜y2，则自变量x的取值范围是（ ）．

A.－32＜x＜2 B．x＞2或x＜－32 C．－2＜x＜32 D． x＜－2或x＞32

例6、实数X,Y满足0332yxx则X+Y的最大值为 .

例7、如图，是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x=1，若其与x轴一交点为A（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＜0的解集是 . 二次函数复习总结归纳

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【顶点式考点】

例１、把二次函数的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数关系式是2)1(2xy则原二次函数的解析式为

例２、二次函数的图象顶点坐标为（2，1），形状开品与抛物线y= - 2x2相同，这个函数解析式为________。

例３、已知点11()xy，，22()xy，均在抛物线21yx上，下列说法中正确的是（ ）

A．若12yy，则12xx B．若12xx，则12yy

C．若120xx，则12yy D．若120xx，则12yy

例4、抛物线cbxxy2图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的解析式为322xxy，则b、c的值为

A . b=2， c=2 B. b=2，c=0

C . b= -2，c=-1 D. b= -3， c=2

例5、抛物线5)43()1(22xmmxmy以Y轴为对称轴则。M＝

例6、二次函数52aaxy的图象顶点在Y轴负半轴上。且函数值有最小值，则a的取值范围是

例7、函数245(5)21aayaxx, 当a_______时, 它是一次函数; 当a_______时, 它是二次函数.

例8、抛物线2)13(xy当x 时，Y随X的增大而增大

例9、抛物线42axxy的顶点在X轴上，则a=

例10、已知二次函数2)3(2xy，当X取1x和2x时函数值相等，当X取1x+2x时函数值为

例11、若二次函数kaxy2，当X取X1和X2（21xx）时函数值相等,则当X取X1+X2时，函数值为

例12、已知二次函数当x=2时Y有最大值是１.且过（３，０）点求解析式？

例13、将121222xxy变为nmxay2)(的形式，则nm=_____。

【一般式、交点式考点】

例1、如果抛物线y=x2-6x+c-2的顶点到x轴的距离是3,那么c的值等于（ ）

（A）8 （B）14 （C）8或14 （D）-8或-14

例2、二次函数y=x2-(12-k)x+12,当x>1时，y随着x的增大而增大，当x<1时，y随着x的增大而减小，则k的值应取（ ）