二次函数与幂函数专题复习

1 学 校： 年 级： 教学课题：二次函数与幂函数

学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师：

教学目标 专题复习二次函数和幂函数的图像与性质

教学内容

一. 【复习目标】

1.准确理解函数的有关概念.

2.体会数形结合及函数与方程的数学思想方法.

一、幂函数

(1)幂函数的定义

形如 (α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数

(2)幂函数的图象

函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x12 y＝x－1

定义域 R R R [0，＋∞) {x|x∈R且x≠0}

值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y∈R y≠0}

奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇

单调性 增 x∈[0，＋∞)时，增，x∈(－∞，0]时，减 增 增 x∈(－∞，0)时，减

定点 (0,0)，(1,1) (1,1)

2 例1.下列函数中是幂函数的是（ ）

A．y＝2x2 B．y＝1x2 C．y＝x2＋x D．y＝－1x

例2. (2011·陕西高考)函数y＝13x的图象是( )

例3.幂函数y＝xm2－2m－3(m∈Z)的图象关于y轴对称，且当x＞0时，函数是减函数，则m的值为( )．

A．－1＜m＜3 B．0 C．1 D．2

练习：已知点(2，2)在幂函数y＝f(x)的图象上，点－2，12在幂函数y＝g(x)的图象上，若f(x)＝g(x)，则x＝________.

已知点M33，3在幂函数f(x)的图象上，则f(x)的表达式为( )

A．f(x)＝x2 B．f(x)＝x－2

C．f(x)＝x12x D．f(x)＝12x

设α∈－1，1，12，3，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为 （ ）

A．1,3 B．－1,1

C．－1,3 D．－1,1,3

对于函数y＝x2，y＝x12有下列说法：①两个函数都是幂函数；②两个函数在第一象限内都单调递增；③它们的图象关于直线y＝x对称；④两个函数都是偶函数；⑤两个函数都经过点(0,0)、(1,1)；⑥两个函数的图象都是抛物线型．

其中正确的有________．

3 二、二次函数

1、二次函数的三种形式【1】

【2】

【3】

2.二次函数的图像和性质

二次函数)0(2acbxaxxf的图像是一条抛物线，对称轴的方程为 顶点坐标是（ ） 。

（1）当0a时，抛物线的开口 ，函数在 上递减，在 上递增，当abx2时，函数有最 值为

（2）当0a时，抛物线的开口 ，函数在 上递减，在 上递增，当abx2时，函数有最 值 为

。

（3）二次函数)0(2acbxaxxf

当 时，恒有 0.xf ，

当 时，恒有 0.xf 。

（4）二次函数)0(2acbxaxxf，当042acb时，图像与x轴有两个交点，.),0,(),0,(21212211axxMMxMxM

练习

(1)画出函数f(x)=∣x2-2x-3∣的图像，写出单调区间，当a=∣x2-2x-3∣有两根时a的取值范围

变式:画出函数f(x)=x2-2|x|-3的图像，写出单调区间，当a=x2-2|x|-3 有两根时a的取值范围

4 练习.画出下列函数的图象，并通过图象研究其单调性。

⑴y=x2+2|x－1|－1

⑵y=|x2－1|

⑶ y= x2+2|x|－1

(2)函数aaxxxf22的定义域为R，则实数a的取值范围是

(3)设二次函数y=f(x)的最大值为13，且f(3)= f(-1)=5，则f(x)=

(4)已知二次函数)(624)(2Rxaaxxxf的值域为),0[,则实数a=

(5)02cbxx 的解集为），则，（3121cb

(6)已知一个二次函数的顶点的坐标为（0，4），且过点（1，5），这个二次函数的解析式为

（7）已若223,[,]fxxbxxbc的图像x=1对称，则c=_______．

（8）已知二次函数2fxaxbxc，如果12fxfx(其中12xx)，则122xxf

A．2ba B．ba C． c D．244acba

（9）知方程x2+2px+1=0有一个根大于1，有一个根小于1，则P的取值为 。

【二次函数例题精讲】

知识点一:二次函数的解析式

例1． 已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8.试确定此二次函数的解析式．

变式: 求下列二次函数的解析式

(1)已知二次函数图像经过点（-1，0），（1，0），（2，3）三点，求解析式

(2)图像顶点的坐标为(2,-1),与y轴交点坐标为（0，11）；

(3)已知函数f(x)满足f(0)=1,且f(x+1)-f(x)=2x；

(4)f (2)=0,f(-1)=0且过点（0，4）求f(x).

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知识点二:二次函数的最值问题

(1) 轴定区间定

例2. 求函数yxx242在区间[0，3]上的最值

变式:已知232xx，求函数fxxx()21的最值

2、轴变区间定

例3:已知函数y=-x2+ax-4a+21在〔-1，1〕上的最大值为2，求a的值

变式: 1.已知x21，且a20，求函数fxxax()23的最值。

2.已知f(x)＝－4x2＋4ax－4a－a2在区间[0,1]内有最大值－5，求a的值及函数表达式f(x)．

3、轴定区间变

例4.如果函数fxx()()112定义在区间tt，1上，求fx()的最小值。

变式:1.已知2()23fxxx，当[1]()xtttR，时，求()fx的最大值

2.求函数322xxy在区间],0[a上的最值，并求此时的x的值。

3. 设)](1,[,44)(2Rtttxxxxf，求函数)(xf的最小值)(tg的解析式。

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奇偶性

1．若函数y＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则a等于( )

A．－2 B．－1 C．1 D．2

2．已知二次函数f（x）=x2﹣ax+4，若f（x+1）是偶函数，则实数a的值为（ ）

A． ﹣1 B． 1 C． ﹣2 D． 2

3．已知函数f(x)＝x2＋ax＋b，且f(x＋2)是偶函数，则f(1)，f(52)，f(72)的大小关系是( )

A．f(52)＜f(1)＜f(72) B．f(1)＜f(72)＜f(52) C．f(72)＜f(1)＜f(52) D．f(72)＜f(52)＜f(1)

4．已知函数，若f（2a+1）＞f（a），则实数a的取值范围是（）

A． B． （﹣∞，﹣3）∪（﹣1，+∞） C． D． （﹣3，﹣1）

1.如果函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意实数t都有f(2＋t)＝f(2－t)， 则

A.f(2)＜f(1)＜f(4) B.f(1)＜f(2)＜f(4)

C.f(2)＜f(4)＜f(1) D.f(4)＜f(2)＜f(1)

2．若函数f（x）=x2+2（a+1）x+2在区间（﹣∞，4]上是减函数，则实数a的取值范围

A． a＜﹣5 B． a≤﹣5 C． a＞﹣5 D． a≥﹣5

3. 设函数f（x）=ax2+bx+c，若f（x）＞0的解集为{x|x＜﹣2或x＞4}，则（ ）

4．求关于x的二次函数221yxtx在11x上的最大值(t为常数)．

5.已知函数12)(2aaxxxf (a为实常数)．

（1）若0a，求函数|)(|xfy的单调递增区间；

（2）设()fx在区间[1,2]的最小值为()ga，求()ga的表达式；

（3）设()()fxhxx，若函数()hx在区间[1,2]上是增函数，求实数a的取值范围．

课后作业： A． f（5）＜f（2）＜f（﹣1） B． f（﹣1）＜f（2）＜f（5） C． f（2）＜f（﹣1）＜f（5） D． f（2）＜f（5）＜f（﹣1）

7 1. 若关于x的不等式x2-4x≥m对任意 x∈（0，1]恒成立，则 m的取值范围为

2. 不等式ax2+bx+c＞0 的解集为（x1,x2）(x1 x2<0),则不等式

02abxcx的解集为

3 函数xxysincos22的值域为

4 已知函数)0,()(abbabaxxxf为常数且且1)2(f，xxf)(有唯一解，则)(xfy的解析式为

5.已知ba,为常数，若2410)(,34)(22xxbaxfxxxf，则ba5

6.函数54)(2mxxxf在区间),2[上是增函数，则)1(f的取值范围是

7.函数f(x)=2x2-mx+3, 当x∈[-2,+∞)时是增函数，当x∈(-∞，-2]时是减函数，f(1)=

8.若二次函数cbxaxxf2)(满足))(()(2121xxxfxf则)(21xxf

9.若关于x的方程0122xax至少有一个负根，则a的值为

10.已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0