概率统计方法建模

概率统计数学模型在数学领域，概率统计是一个非常重要的分支，它涉及到各种随机现象的数学描述和统计分析。

概率统计数学模型则是这些分析的基础，它能够准确地描述和预测各种随机现象的结果。

一、概率统计数学模型的基本概念概率统计数学模型是建立在随机试验基础上的数据分析方法。

在概率论中，随机试验的结果通常被视为不可预测的，但可以通过概率分布来描述它们。

而统计方法则是对数据进行收集、整理、分析和推断的方法，它依赖于概率论的知识。

二、概率统计数学模型的应用概率统计数学模型在各个领域都有广泛的应用，例如在金融领域中，它可以帮助我们预测股票价格的波动；在医学领域中，它可以帮助我们理解疾病的传播方式；在工程领域中，它可以帮助我们优化设计方案。

三、概率统计数学模型的建立过程建立概率统计数学模型通常包括以下几个步骤：1、确定研究问题：首先需要明确研究的问题是什么，以及我们想要从中获得什么样的信息。

2、设计随机试验：针对研究问题，设计合适的随机试验，以便收集数据。

3、收集数据：通过试验或调查等方式收集数据，并确保数据的准确性和可靠性。

4、分析数据：利用统计分析方法对收集到的数据进行处理和分析，提取有用的信息。

5、建立模型：根据分析结果，建立合适的概率统计模型，以描述数据的分布规律和预测未来的趋势。

6、验证模型：对建立的模型进行验证，确保其准确性和适用性。

7、应用模型：将建立的模型应用于实际问题的解决和预测中。

概率统计数学模型是处理和分析随机现象的重要工具，它在各个领域都有广泛的应用前景。

通过建立合适的概率统计模型，我们可以更好地理解和预测各种随机现象的结果，从而为实际问题的解决提供有力的支持。

概率统计数学模型在投资决策中的应用在投资决策的制定过程中，准确理解和应用概率统计数学模型是至关重要的。

概率统计数学模型为投资者提供了定量分析工具，帮助他们更准确地预测投资结果，从而做出更合理的决策。

一、概率模型的应用概率模型在投资决策中的应用广泛。

贝叶斯模型数学建模贝叶斯模型数学建模作为一种强大的数学工具，贝叶斯模型在人工智能和机器学习领域中被广泛应用。

在数学建模中，贝叶斯模型是一种基于概率统计的方法，用于推测未知的数据结果。

它的特点是可以通过考虑现有的数据来预测未来的结果。

接下来，我们将讨论贝叶斯模型的数学建模过程。

贝叶斯定理贝叶斯定理是贝叶斯模型的基础。

它是基于条件概率的，即如果知道B 发生的前提下A发生的概率，那么可以用以下公式来表示：P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)其中，P(A|B)表示当B发生时，A发生的概率；P(B|A)表示当A发生时，B发生的概率；P(A)和P(B)分别表示A和B单独发生的概率。

建立模型贝叶斯模型的建模过程可以分为如下步骤：1. 定义目标变量和解释变量首先，需要明确需要预测的目标变量是什么，以及从哪些解释变量中推断目标变量。

2. 收集数据收集样本数据，通过实验或者调查等方式获取目标变量和解释变量的数据。

如果有缺失值或异常值，需要进行数据清洗和处理。

3. 设计模型根据目标变量和解释变量之间的关系，设计贝叶斯模型，并考虑概率分布和先验概率等相关参数。

4. 计算后验概率根据贝叶斯定理，计算目标变量的后验概率，即在已知解释变量的条件下，目标变量发生的概率。

5. 模型评估评估贝叶斯模型的性能和准确性，可以采用交叉验证等方法。

应用实例贝叶斯模型广泛应用于各个领域，例如：1. 情感分析在自然语言处理中，可以使用贝叶斯模型对文本进行情感分析，判断文本是正面的还是负面的。

2. 疾病诊断医学领域中，贝叶斯模型可以用于疾病诊断，预测某种疾病的患病率。

3. 推荐系统贝叶斯模型还可以应用于推荐系统，根据用户的偏好和历史行为，预测用户潜在的兴趣和需求，从而进行精准推荐。

结论贝叶斯模型是一种强大的数学工具，可以应用于各种领域的问题求解。

在数学建模中，贝叶斯模型的建模过程可以通过定义目标变量和解释变量、收集数据、设计模型、计算后验概率和模型评估等步骤来实现。

(2020·广东六校第一次联考)某机构组织语文、数学学科能力竞赛，按照一定比例淘汰后，颁发一、二、三等奖(分别对应成绩等级的一、二、三等级)．现有某考场所有考生的两科成绩等级统计如图1所示，其中获数学二等奖的考生有12人．图1(1)求该考场考生中获语文一等奖的人数；(2)用随机抽样的方法从获得数学和语文二等奖的考生中各抽取5人，进行综合素质测试，将他们的综合得分绘成茎叶图(如图2所示)，求样本的平均数及方差并进行比较分析；图2(3)已知本考场的所有考生中，恰有3人两科均获一等奖，在至少一科获一等奖的考生中，随机抽取2人进行访谈，求这2人两科均获一等奖的概率．【解】 (1)因为获数学二等奖的考生有12人， 所以该考场考生的总人数为121－0.40－0.26－0.10＝50.故该考场获语文一等奖的考生人数为50×(1－0.38×2－0.16)＝4.(2)设获数学二等奖考生综合得分的平均数和方差分别为x －1，s 21，获语文二等奖考生综合得分的平均数和方差分别为x －2，s 22.x －1＝81＋84＋92＋90＋935＝88，x －2＝79＋89＋84＋86＋875＝85，s 21＝15×[(－7)2＋(－4)2＋42＋22＋52]＝22， s 22＝15×[(－6)2＋42＋(－1)2＋12＋22]＝11.6，因为88>85，11.6<22，所以获数学二等奖考生较获语文二等奖考生综合素质测试的平均分高，但是成绩差距较大．(3)两科均获一等奖的考生共有3人，则仅数学获一等奖的考生有2人，仅语文获一等奖的考生有1人，把两科均获一等奖的3人分别记为A 1，A 2，A 3，仅数学获一等奖的2人分别记为B 1，B 2，仅语文获一等奖的1人记为C ，则在至少一科获一等奖的考生中，随机抽取2人的基本事件有A 1A 2，A 1A 3，A 1B 1，A 1B 2，A 1C ，A 2A 3，A 2B 1，A 2B 2，A 2C ，A 3B 1，A 3B 2，A 3C ，B 1B 2，B 1C ，B 2C ，共15个．记“这2人两科均获一等奖”为事件M ，则事件M 包含的基本事件有A 1A 2，A 1A 3，A 2A 3，共3个， 所以P (M )＝315＝15，故这2人两科均获一等奖的概率为15.统计与概率“搭台”，方案选择“唱戏”破解此类频率分布直方图、分层抽样与概率相交汇的开放性问题的关键：一是会观图读数据，能从频率分布直方图中读出频率，进而求出频数；二是能根据分层抽样的抽样比或各层之间的比例，求出分层抽样中各层需取的个数；三是会转化，会对开放性问题进行转化．某校学生参与一项社会实践活动，受生产厂家委托采取随机抽样方法，调查我市市民对某新开发品牌洗发水的满意度，同学们模仿电视问政的打分制，由被调查者在0分到100分的整数分中给出自己的认可分数，现将收集到的100位市民的认可分数分为6组：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，绘制出如图所示的频率分布直方图．(1)求这100位市民认可分数的中位数(精确到0.1)，平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)生产厂家根据同学们收集到的数据，拟随机在认可分数为80及其以上的市民中选出2位市民当产品宣传员，求这2位宣传员都来自认可分数为[90，100]的概率．解：(1)由于[40，50)，[50，60)，[60，70)的频率分别有0.1，0.2，0.3.故中位数位于[60，70)中，其值为60＋10×23≈66.7.平均数为10×(45×0.01＋55×0.02＋65×0.03＋75×0.025＋85×0.01＋95×0.005)＝67.(2)认可分数位于[80，90)的人数为10，认可分数位于[90，100]的人数为5，从认可分数位于[90，100]的5人中随机选择2人的基本事件数为1＋2＋3＋4＝10，从认可分数位于[80，90)和[90，100]的15人中随机选择2人的基本事件数为1＋2＋3＋…＋14＝105.故这2位宣传员都来自认可分数为[90，100]的概率为10105＝2 21.图表与独立性检验相交汇(师生共研)某种常见疾病可分为Ⅰ，Ⅱ两种类型．为了了解所患该疾病类型与地域、初次患该疾病的年龄(单位：岁)(以下简称初次患病年龄)的关系，在甲、乙两个地区随机抽取100名患者调查其所患疾病类型及初次患病年龄，得到如下数据．初次患病年龄甲地Ⅰ型疾病患者/人甲地Ⅱ型疾病患者/人乙地Ⅰ型疾病患者/人乙地Ⅱ型疾病患者/人[10，20)815 1[20，30)433 1[30，40)352 4[40，50)384 4[50，60)392 6[60，70]21117(2)记“初次患病年龄在[10，40)内的患者”为“低龄患者”，“初次患病年龄在[40，70]内的患者”为“高龄患者”．根据表中数据，解决以下问题．①将以下两个列联表补充完整，并判断“地域”“初次患病年龄”这两个变量中哪个变量与所患疾病的类型有关联的可能性更大．(直接写出结论，不必说明理由)表一疾病类型患者所在地域Ⅰ型Ⅱ型总计甲地乙地总计100.问：是否有99.9%的把握认为所患疾病的类型与X有关？附：K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d），其中n＝a＋b＋c＋d.【解】(1)依题意，甲、乙两地区Ⅰ型疾病患者共40人，甲、乙两地区Ⅰ型疾病患者初次患病年龄小于40岁的人数分别为15，10，则从Ⅰ型疾病患者中随机抽取1人，其初次患病年龄小于40岁的概率的估计值为15＋1040＝58.(2)①填空结果如下．表一低龄 25 15 40 高龄 15 45 60 总计4060100“初次患病年龄”与所患疾病的类型有关联的可能性更大．②由①可知X 为初次患病年龄，根据表二中的数据可得a ＝25，b ＝15，c ＝15，d ＝45，n ＝100，则K 2＝100×（25×45－15×15）240×60×40×60≈14.063，因为14.063>10.828，故有99.9%的把握认为所患疾病类型与初次患病年龄有关．本题的易错点有三处：一是审题不认真，误认为甲、乙两地区Ⅰ型疾病患者的总数为100，错误列式15＋10100＝0.25；二是不能从频数分布表中获取相关数据，无法正确填写列联表，不能根据列联表中数据的含义做出正确判断；三是代错公式或计算错误，从而导致统计判断出错．(2021·福州市适应性考试)世界互联网大会是由中华人民共和国倡导并每年在浙江省嘉兴市桐乡乌镇举办的世界性互联网盛会，大会旨在搭建中国与世界互联互通的国际平台和国际互联网共享共治的中国平台，让各国在争议中求共识、在共识中谋合作、在合作中创共赢.2020年11月23日至24日，第七届世界互联网大会如期举行，为了大会顺利召开，组委会特招募了1 000名志愿者．某部门为了了解志愿者的基本情况，调查了其中100名志愿者的年龄(单位：岁)，得到了他们年龄的中位数为34，年龄在[40，45)内的人数为15，并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图．(1)求m，n的值并估算出志愿者的平均年龄(同一组的数据用该组区间的中点值代表)；(2)这次大会志愿者主要通过现场报名和登录大会官网报名，即现场和网络两种方式报名参加．这100名志愿者的报名方式部分数据如下表所示，完善下面的表格，通过计算说明能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“选择哪种报名方式与性别有关系”？男性女性总计现场报名50网络报名31总计50参考公式及数据：K2＝2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d），其中n＝a＋b＋c＋d.P(K2≥k0)0.050.010.0050.001k0 3.841 6.6357.87910.828解：(1)因为志愿者年龄在[40，45)内的人数为15，所以志愿者年龄在[40，45)内的频率为15100＝0.15.由频率分布直方图得，(0.020＋2m＋4n＋0.010)×5＋0.15＝1，即m＋2n＝0.07，①由中位数为34可得，0.020×5＋2m×5＋2n×(34－30)＝0.5，即5m＋4n＝0.2，②由①②解得m＝0.020，n＝0.025.所以志愿者的平均年龄为(22.5×0.020＋27.5×0.040＋32.5×0.050＋37.5×0.050＋42.5×0.030＋47.5×0.010)×5＝34(岁)．(2)根据题意得到列联表，男性女性总计现场报名193150网络报名311950总计5050100所以K2＝100×（19×19－31×31）250×50×50×50＝2×[（19＋31）×（19－31）]250×50×50＝5.76<10.828，所以不能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“选择哪种报名方式与性别有关系”．图表与线性回归分析相交汇(师生共研)如图是某部门公布的一年内道路交通事故成因分析，由图可知，超速驾驶已经成为交通事故的一个主要因素．研究表明，急刹车时的停车距离等于反应距离与制动距离的和，下表是根据某部门的调查结果整理所得的数据(v表示行车速度，单位：km/h；d1，d2分别表示反应距离和制动距离，单位m)．v6472808997105113121128135 d113.415.216.718.620.121.923.525.326.828.5好有1起属于超速驾驶的概率(用频率代替概率)；(2)已知d 2与v 的平方成正比，且当行车速度为100 km/h 时，制动距离为65 m.①由表中数据可知，d 1与v 之间具有线性相关关系请建立d 1与v 之间的回归方程，并估计车速为110 km/h 时的停车距离；②我国《道路交通安全法》规定：车速超过100 km/h 时，应该与同车道前车保持100 m 以上的距离，请解释一下上述规定的合理性．参考数据：∑10i ＝1v i ＝1 004，∑10i ＝1(d 1)i ＝210，∑10i ＝1v i (d 1)i ＝22 187.3，∑10i ＝1v 2i ＝106 054，11 03352 524≈0.21. 参考公式：对于一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其回归直线y ＝bx ＋a 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：b ＝∑ni ＝1（x i －x －）（y i －y －）∑ni ＝1（x i －x －）2，a ＝y－－b x －.【解】 (1)由题意可知，从一年内发生的交通事故中随机抽出一起事故，则该起事故是恰好是超速驾驶的概率为0.2，设“恰好有一起事故属于超速驾驶”为事件A ，则P (A )＝3×15×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－152＝48125.(2)由题意，设d 2＝k ·v 2，当行车速度为100 km/h 时，制动距离为65 m. 所以k ＝0.006 5，即d 2＝0.006 5v 2， ①设d 1＝b v ＋a ，因为b ＝∑i ＝1n (x i －x ) (y i －y ) ∑i ＝1n(x i －x )2＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x2，所以b＝∑i ＝110v i（d1）i－10v－d－1∑i＝110v2i－10v－2＝22 187.3－10×100.4×21106 054－10×100.42＝1 103.35 252.4≈0.21，故d1＝0.21v＋a*，把(100.4，21)代入*式，解得a＝－0.084，所以d1与v i之间的回归方程为d1＝0.21v－0.084.设停车距离为d，则d＝d1＋d2，则d＝0.006 5v2＋0.21 v－0.084，当v＝110 km/h时，d＝101.666，即车速为110 km/h时的停车距离为101.666 m.②易知当车速为100 km/h时，停车距离为85.916 m，该距离小于100 m，又因为当车速为110 km/h时的停车距离为101.666 m，该距离大于100 m，由以上两个数据可知，当车速超过100 km/h时，必须与同车道前车保持100 m以上的距离才能保证行驶安全．破解此类分层抽样、概率、线性回归相交汇的开放性问题的关键：一是会制图，即会根据频数分布表，把两组数据填入茎叶图中；二是会对开放性问题进行转化；三是熟练掌握求线性回归方程的步骤，求出a^，b^，即可写出线性回归方程．一个工厂在某年里连续10个月每月产品的总成本y(万元)与该月产量x(万件)之间有如下一组数据，x 1.08 1.12 1.19 1.28 1.36 1.48 1.59 1.68 1.80 1.87 y 2.25 2.37 2.40 2.55 2.64 2.75 2.92 3.03 3.14 3.26加以说明；(2)①建立月总成本y 与月产量x 之间的线性回归方程；②通过建立的y 关于x 的回归方程，估计某月产量为1.98万件时，产品的总成本为多少万元？(均精确到0.001)附注：①参考数据：∑10i ＝1x i ＝14.45，∑10i ＝1y i ＝27.31，∑10i ＝1x 2i －10x －2≈0.850, ∑10i ＝1y 2i －10y －2≈1.042，b^≈1.223.②参考公式：相关系数r ＝∑ni ＝1x i y i －n x － y－（∑ni ＝1x 2i －n x －2）（∑ni ＝1y 2i －n y －2），回归直线y ^＝a ^＋b ^x 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b ^＝∑ni ＝1x i y i －n x － y－∑ni ＝1x 2i －n x－2，a ^＝y －－b ^x .解：(1)由已知条件得，r ＝b^·∑10i ＝1x 2i －10x－2∑10i ＝1y 2i －10y－2，所以r ＝1.223×0.8501.042≈0.998， 这说明y 与x 正相关，且相关性很强． (2)①由已知求得x －＝1.445，y －＝2.731， a ^＝y －－b ^x －＝2.731－1.223×1.445≈0.964， 所以所求回归直线方程为y ^＝1.223x ＋0.964.②当x ＝1.98时，y ＝1.223×1.98＋0.964≈3.386(万元)， 此时产品的总成本约为3.386万元．[A 级 基础练]1．(2020·高考全国卷Ⅰ)某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级．加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元．该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务．甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件．厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下，甲分厂产品等级的频数分布表(1)(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务？解：(1)由试加工产品等级的频数分布表知，甲分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为40＝0.4；100＝0.28.乙分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为28100(2)由数据知甲分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为65×40＋25×20－5×20－75×20＝15.100由数据知乙分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为70×28＋30×17＋0×34－70×21100＝10.比较甲、乙两分厂加工的产品的平均利润，应选甲分厂承接加工业务． 2．(2021·福州市质量检测)垃圾分一分，城市美十分；垃圾分类，人人有责．某市为进一步推进生活垃圾分类工作，调动全民参与的积极性，举办了“垃圾分类游戏挑战赛”．据统计，在为期2个月的活动中，共有640万人参与．为鼓励市民积极参与活动，市文明办随机抽取200名参与该活动的网友，以他们单次游戏得分作为样本进行分析，由此得到如下频数分布表，中的数据用该组区间的中点值作代表，其中标准差的计算结果要求精确到0.01)；(2)若要从单次游戏得分在[30，40)，[60，70)，[80，90]的三组参与者中，用分层抽样的方法选取7人进行电话回访，再从这7人中任选2人赠送话费，求此2人单次游戏得分不在同一组内的概率．附：185≈13.60，370≈19.24.解：(1)参与该活动的网友单次游戏得分的平均值x －＝1200×(35×10＋45×40＋55×60＋65×40＋75×30＋85×20)＝60. 标准差s ＝252×10＋152×40＋52×60＋52×40＋152×30＋252×20200＝185≈13.60.(2)用分层抽样抽取7人，其中得分在[30，40)的有1人，得分在[60，70)的有4人，得分在[80，90]的有2人．分别记为a ，b 1，b 2，b 3，b 4，c 1，c 2，7人中任选2人，有21种结果，分别是(a ，b 1)，(a ，b 2)，(a ，b 3)，(a ，b 4)，(a ，c 1)，(a ，c 2)，(b 1，b 2)，(b 1，b 3)，(b 1，b 4)，(b 1，c 1)，(b 1，c 2)，(b 2，b 3)，(b 2，b 4)，(b 2，c 1)，(b 2，c 2)，(b 3，b 4)，(b 3，c 1)，(b 3，c 2)，(b 4，c 1)，(b 4，c 2)，(c 1，c 2)．其中2人得分在同一组的有7种，分别是{b 1，b 2}，{b 1，b 3}，{b 1，b 4}，{b 2，b 3}，{b 2，b 4}，{b 3，b 4}，{c 1，c 2}，故2人得分不在同一组内的概率P ＝1－721＝23.3．最近青少年的视力健康问题引起家长们的高度重视，某地区为了解当地24所小学，24所初中和12所高中的学生的视力状况，准备采用分层抽样的方法从这些学校中随机抽取5所学校对学生进行视力调查．(1)若从所抽取的5所学校中再随机抽取3所学校进行问卷调查，求抽到的这3所学校中，小学、初中、高中分别有一所的概率；(2)若某小学被抽中，调查得到了该小学前五个年级近视率y 的数据如下表，并根据方程预测六年级学生的近视率．附：回归直线y ^＝b ^x ＋a ^的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为b ^＝∑ni ＝1x i y i －n x － y －∑ni ＝1x 2i －n x－2，a ^＝y －－b ^x －. 参考数据：∑5i ＝1x i y i ＝2.76，∑5i ＝1x 2i ＝55.解：(1)由24∶24∶12＝2∶2∶1，得抽取的5所学校中有2所小学、2所初中、1所高中，分别设为a 1，a 2，b 1，b 2，c ，从这5所学校中随机抽取3所学校的所有基本事件为(a 1，a 2，b 1)，(a 1，a 2，b 2)，(a 1，a 2，c )，(a 1，b 1，b 2)，(a 1，b 1，c )，(a 1，b 2，c )，(a 2，b 1，b 2)，(a 2，b 1，c )，(a 2，b 2，c )，(b 1，b 2，c )，共10种，设事件A 表示“抽到的这3所学校中，小学、初中、高中分别有一所”，则事件A 包含的基本事件为(a 1，b 1，c )，(a 1，b 2，c )，(a 2，b 1，c )，(a 2，b 2，c )，共4种，故P (A )＝410＝25.(2)由题中表格数据得x －＝3，y －＝0.15，5x － y －＝2.25，5x －2＝45，且由参考数据：∑5i ＝1x i y i ＝2.76，∑5i ＝1x 2i ＝55，得b ^＝2.76－2.2555－45＝0.051，a^＝0.15－0.051×3＝－0.003， 得线性回归方程为y ^＝0.051x －0.003.当x ＝6时，代入得y ^＝0.051×6－0.003＝0.303， 所以六年级学生的近视率在0.303左右．[B 级 综合练]4．某网络平台从购买该平台某课程的客户中，随机抽取了100位客户的数据，并将这100个数据按学时数、客户性别等进行统计，整理得到下表：组区间的中点值作代表，结果保留小数点后两位)；(2)从这100位客户中，对购买该课程学时数在20以下的女性客户按照分层抽样的方式随机抽取7人，再从这7人中随机抽取2人，求这2人购买的学时数都不低于15的概率；(3)将购买该课程达到25学时及以上者视为“十分爱好该课程者”，25学时以下者视为“非十分爱好该课程者”，请根据已知条件完成以下2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为“十分爱好该课程者”与性别有关？附：K2＝（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋a），其中n＝a＋b＋c＋d.解：(1)依题意，在这100位购买该课程的客户中，男性客户购买该课程学时数的平均值x－＝160×(7.5×18＋12.5×12＋17.5×9＋22.5×9＋27.5×6＋32.5×4＋37.5×2)≈16.92.所以估计男性客户购买该课程学时数的平均值为16.92.(2)设“所抽取的2人购买的学时数都不低于15”为事件A，依题意按照分层抽样的方式分别从学时数为[5，10)，[10，15)，[15，20)的女性客户中抽取1人(设为a)，2人(分别设为b1，b2)，4人(分别设为c1，c2，c3，c4)．则从这7人中随机抽取2人所包含的基本事件为ab1，ab2，ac1，ac2，ac3，ac4，b1b2，b1c1，b1c2，b1c3，b1c4，b2c1，b2c2，b2c3，b2c4，c1c2，c1c3，c1c4，c2c3，c2c4，c3c4，共21个，其中事件A所包含的基本事件为c1c2，c1c3，c1c4，c2c3，c2c4，c3c4，共6个．所以事件A发生的概率P(A)＝621＝2 7.(3)依题意得2×2列联表如下，女性 16 24 40 总计6436100K 2＝100×（48×24－16×12）264×36×60×40≈16.667>10.828.故有99.9%的把握认为“十分爱好该课程者”与性别有关．5．某客户考察了一款热销的净水器，使用寿命为十年，该款净水器为三级过滤，每一级过滤都由核心部件滤芯来实现．在使用过程中，一级滤芯需要不定期更换，其中每更换3个一级滤芯就需要更换1个二级滤芯，三级滤芯无需更换．其中一级滤芯每个200元，二级滤芯每个400元．记一台净水器在使用期内需要更换的二级滤芯的个数构成的集合为M .如图是根据100台该款净水器在十年使用期内更换的一级滤芯的个数制成的柱状图．(1)结合柱状图，写出集合M ；(2)根据以上信息，求一台净水器在使用期内更换二级滤芯的费用大于1 200元的概率(以100台净水器更换二级滤芯的频率代替1台净水器更换二级滤芯发生的概率)；(3)若在购买净水器的同时购买滤芯，则滤芯可享受5折优惠(使用过程中如需再购买无优惠)．假设上述100台净水器在购机的同时，每台均购买a 个一级滤芯、b 个二级滤芯作为备用滤芯(其中b ∈M ，a ＋b ＝14)，计算这100台净水器在使用期内购买滤芯所需总费用的平均数，并以此作为决策依据，如果客户购买净水器的同时购买备用滤芯的总数也为14，则其中一级滤芯和二级滤芯的个数应分别是多少？解：(1)由题意可知，当一级滤芯更换9，10，11个时，二级滤芯需要更换3个，当一级滤芯更换12个时，二级滤芯需要更换4个，所以M＝{3，4}．(2)由题意可知，二级滤芯更换3个，需1 200元，二级滤芯更换4个，需1 600元，在100台净水器中，二级滤芯需要更换3个的净水器共70台，二级滤芯需要更换4个的净水器共30台，设“一台净水器在使用期内更换二级滤芯的费用大于1 200元”为事件A，则P(A)＝30＝0.3.100(3)a＋b＝14，b∈M，①若a＝10，b＝4，则这100台净水器更换滤芯所需费用的平均数为100×10×30＋（100×10＋200）×40＋（100×10＋400）×30＋200×4×100100＝2 000.②若a＝11，b＝3，则这100台净水器更换滤芯所需费用的平均数为100×11×70＋（100×11＋200）×30＋200×3×70＋（200×3＋400）×30100＝1 880.所以如果客户购买净水器的同时购买备用滤芯的总数为14，客户应该购买一级滤芯11个，二级滤芯3个．6．互联网使我们的生活日益便捷，网络外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分，某市一调查机构针对该市市场占有率较高的甲、乙两家网络外卖企业(以下简称外卖甲、外卖乙)的经营情况进行了调查，调查结果如下表，(1)业的经营状况；(2)据统计表明，y 与x 之间具有线性关系．①请用相关系数r 对y 与x 之间的相关性强弱进行判断(若|r |>0.75，则可认为y 与x 有较强的线性相关关系(r 值精确到0.001))；②经计算求得y 与x 之间的回归方程为y ^＝1.382x －2.674，假定每单外卖业务，企业平均能获取纯利润3元，试预测当外卖乙日接单量不低于25百单时，外卖甲所获取的日纯利润的大致范围(x 值精确到0.01)．相关公式：r ＝∑ni ＝1 （x i －x －）（y i －y －）∑ni ＝1（x i －x －）2∑ni ＝1（y i －y －）2.参考数据：∑5i ＝1(x i －x －)(y i －y －)＝66，∑5i ＝1（x i －x －）2∑5i ＝1（y i －y －）2≈77.解：(1)由题可知x －＝5＋2＋9＋8＋115＝7(百单)，y －＝2＋3＋10＋5＋155＝7(百单)．外卖甲的日接单量的方差s 2甲＝10，外卖乙的日接单量的方差s 2乙＝23.6， 因为x －＝y －，s 2甲<s 2乙，即外卖甲平均日接单量与外卖乙相同，且外卖甲日接单量更集中一些，所以外卖甲比外卖乙经营状况更好．(2)①计算可得，相关系数r ≈6677≈0.857>0.75， 所以可认为y 与x 之间有较强的线性相关关系． ②令y ≥25，得1.382x －2.674≥25，解得x ≥20.02， 又20.02×100×3＝6 006，所以当外卖乙日接单量不低于25百单时，外卖甲所获取的日纯利润大约不低于6 006元．。

Matlab中的数学建模方法介绍Matlab是一种非常常用的科学计算和数学建模软件，它具有强大的数学运算能力和用户友好的界面。

在科学研究和工程技术领域，Matlab被广泛应用于数学建模和数据分析。

本文将介绍一些在Matlab中常用的数学建模方法，帮助读者更好地理解和应用这些方法。

一、线性回归模型线性回归模型是一种经典的数学建模方法，用于分析数据之间的关系。

在Matlab中，我们可以使用regress函数进行线性回归分析。

首先，我们需要将数据导入Matlab，并进行数据预处理，如去除异常值和缺失值。

然后，使用regress函数拟合线性回归模型，并计算相关系数和残差等统计量。

最后，我们可以使用plot 函数绘制回归线和散点图，以观察数据的拟合程度。

二、非线性回归模型非线性回归模型适用于数据呈现非线性关系的情况。

在Matlab中，我们可以使用lsqcurvefit函数进行非线性回归分析。

首先，我们需要定义一个非线性方程，并设定初始参数值。

然后，使用lsqcurvefit函数拟合非线性回归模型，并输出拟合参数和残差信息。

最后，我们可以使用plot函数绘制拟合曲线和散点图，以评估模型的拟合效果。

三、差分方程模型差分方程模型用于描述离散时间系统的动态行为。

在Matlab中，我们可以使用diffeq函数求解差分方程模型的解析解或数值解。

首先，我们需要定义差分方程的形式，并设置初值条件。

然后，使用diffeq函数求解差分方程，并输出解析解或数值解。

最后，我们可以使用plot函数绘制解析解或数值解的图形，以观察系统的动态行为。

四、优化模型优化模型用于求解最优化问题，如寻找函数的最大值或最小值。

在Matlab中，我们可以使用fmincon函数或fminunc函数进行优化求解。

首先，我们需要定义目标函数和约束条件。

然后，使用fmincon函数或fminunc函数求解最优化问题，并输出最优解和最优值。

最后，我们可以使用plot函数可视化最优解的效果。

§4 足球门的危险区域一、问题提出在足球比赛中，球员在对方球门前不同的位置起脚射门对对方球门的威胁是不一样的。

在球门的正前方的威胁要大于在球门两侧射门；近距离的射门对球门的威胁要大于远射。

已知标准球场长为104米，宽为69米；球门高为2.44米，宽为7.32米。

实际上，球员之间的基本素质可能有一定差异，但对于职业球员来讲一般可以认为这种差别不大。

另外，根据统计资料显示，射门时球的速度一般在10米/秒左右。

下面要建模研究下列问题：（1）针对球员在不同位置射门对球门的威胁度进行分析，得出危险区域；（2）在有一名守门员防守的情况下，对球员射门的威胁度和危险区域作进一步研究。

二、问题分析根据这个问题，要确定球门的危险区域，也就是要确定球员射门最容易进球的区域。

球员无论从哪个地方射门，都有进与不进两种可能，这本身就是一个随机事件，无非是哪些地方进球的可能性最大，即是最危险的区域。

影响球员射门命中率的因素很多，其中最重要的两点是球员的基本素质（技术水平）和射门时的位置。

对每一个球员来说，基本素质在短时间内是不可能改变的，因此，我们主要是在确定条件下，对射门位置进行分析研究。

也就是说，我们主要是针对同素质的球员在球场上任意一点射门时，研究其对球门的威胁程度。

某一球员在球门前某处向球门内某目标点射门时，该球员的素质和球员到目标点的距离决定了球到达目标点的概率，即命中球门的概率。

事实上，当上述两个因素确定时，球飞向球门所在平面上的落点将呈现一个固定的概率分布。

稍作分析容易断定，该分布应该是二维正态分布，这是我们解决问题的关键所在。

球员从球场上某点射门时，首先必定在球门平面上确定一个目标点，射门后球依据该概率分布落入球门所在平面。

将球门视为所在平面上的一个区域，在区域内对该分布进行积分，即可得到这次射门命中的概率。

然而，球员在选择射门的目标点时是任意的，而命中球门的概率对目标点的选择有很强的依赖性。

这样，我们遍历球门区域内的所有点，对命中概率作积分，将其定义为球场上某点对球门的威胁程度，根据威胁度的大小来确定球门的危险区域。

概率论与数理统计在数学建模中的应用概率论与数理统计在数学建模中的应用——国 冰。

第一节 概率模型一、初等概率模型初等概率模型主要介绍了可靠性模型、传染病流行估计、常染色体遗传模型等三类问题：1、复合系统工作的可靠性问题的数学模型设某种机器的工作系统由N 个部件组成，各部件之间是串联的，即只要有一个部件失灵，整个系统就不能正常工作．为了提高系统的可靠性，在每个部件上都装有主要元件的备用件及自动投入装置(即当所使用元件损坏时，备用元件可自动替代之而开始工作)明显地，备用件越多，整个系统正常工作的可靠性就越大. 但是，备用件过多势必导至整个系统的成本、重量和体积相应增大，工作精度也会降低. 因此，配置的最优化问题便被提出来了：在某些限制性条件之下，如何确定各部件的备用件数量，使整个系统的工作可靠性最大? 这是一个整体系统的可靠性问题.我们假设第i 个部件上装有i x 个备用件(1,2,,)i N =,此时该部件正常工作的概率为()i p x ，那么整个系统正常工作的可靠度便可用1()ni i p p x ==∏ （9.1）来表示.又设第i 个部件上的每个备用件的费用为i C ，重量为i W ，并要求总费用不超过C ，总重量不超过W ，则问题的数学模型便写成为1max ()ni i p p x ==∏合理的决策必须具备三个条件：（1）目标合理；（2）决策结果满足预定目标的要求；（3）决策本身符合效率、满意、有限合理、经济性的原则。

所谓风险型决策是指在作出决策时，往往有某些随机性的因素影响，而决策者对于这些因素的了解不足，但是对各种因素发生的概率已知或者可估算出来，因此这种决策存在一定的风险.①风险决策模型的基本要素决策者——进行决策的个人、委员会或某个组织.在问题比较重大和严肃时，通常应以后者形式出现.方案或策略——参谋人员为决策者提供的各种可行计划和谋略. 如渔民要决定出海打鱼与否便是两个方案或称两个策略.准则——衡量所选方案正确性的标准.作为风险型决策，采用的比较多的准则是期望效益值准则，也即根据每个方案的数学期望值作出判断.对收益讲，期望效益值越大的方案越好；反之对于损失来讲，期望效益值越小的方案越好.事件或状态——不为决策者可控制的客观存在的且将发生的自然状态称为状态(事件)，如下小雨，下大雨和下暴雨即为三个事件或称三种状态，均为人所不可控因素.结果——某事件(状态)发生带来的收益或损失值.②风险决策方法•利用树形图法表示决策过程具有直观简便的特点，将其称为决策树的方法.•充分利用灵敏度分析(即优化后分析)方法对决策结果作进一步的推广和分析.决策树一般都是自上而下的来生成的。

1.Hypothesis Test 假设检验2.Significance Level 显著性水平3.第一类错误：Type I Error4.第二类错误：Type II Error5.双边检验：two-sided(tailed) test6.单边检验：one-sided(tailed) test7.数学期望：Mathematical Expectation8.方差：Variance9.标准差：standard deviation10.样本均值：sample mean11.样本方差：sample variance12.样本标准差：sample standard deviation13.统计量：statistic14.正态分布：normal distribution15.标准正态分布：standard normal distribution16.零假设（原假设）：i.Null hypothesis17.备择假设：i.Alternative hypothesis18.拒绝：reject19.p值：在原假设为真的情况下，观察到所给样本的概率。

20.平方和：sum of squares21.自由度：degree of freedom22.方差分析：analysis of variance(ANOVA)23.均方：mean square24.F统计量：F statistic25.行：row26.列：column27.交互作用：interaction28.多项式：polynomial29.回归分析：regression analysis30.线性回归分析：linear regression analysis31.非线性回归分析：nonlinear RA32.Matlab：商业软件33.Scilab：开源软件 5.1.134.逐步回归：stepwise regressioni.(回归分析中选择变量的方法)ii.。

数学建模基础概率统计部分1数理统计的基本知识注：建模的基础知识主要包括：数值分析（插值、差分等）、微分方程、优化规划、概率统计分析等几大部分，建模就是各种方法的综合应用。

一、统计量1.描述集中趋势的统计量：在描述统计资料的方法中，对集中趋势的测量方法是比较重要的方法。

有很多时候数据都是杂乱无章的，但是其中却有着一种必然的因素，就是事物的本质特征，而这种本质特征，可以通过变量的集中趋势来体现。

集中趋势代表了现象的一般水平和发展状态，能够说明现象的变动趋势。

（1）算数平均值：∑==ni i X n X 11分组数据：11nnii i i i i n X X f X n ====∑∑（加权平均）对于组距式的分组数，可以利用组中值来计算平均值，虽然这样是一个近似的值，但是作为集中趋势的反应也是可以的：1nii i n X X n='≈∑i X '为第i 组的组中值（区间的中中心值） 如:假定某公司考虑是否增开班车避免员工不必要的时间浪费，随机调查了10名员工上班时间所用的时间，如表所示，试对公司整体上班时间情况进行简单分析。

分析：数据并未分组，所以利用∑==i i X n X 1计算平均值，可以看出整体上班时间的集中趋势，34min X =，但是这一结果对于10个人来说并不太理想，因为期中9人的上班时间都在这一水平之下，原因是第10个人的上班时间比较长；所以再用平均值分析，要将这个数据剔除掉，之后在计算可得24min X =，显然这一就比较合理了，而且时间并不是太长，所以公司可以不用增开班车，以节约成本。

（2）众数：指全部数据中出现次数最多的数值； 众数的作用:众数在某些场合具有不可替代的作用，比如：在集贸市场了解某种商品的交易价格时，由于无法收集到有关销售量或者销售额的数据，最简单的方法就是了解市场上出现次数最多的交易价格，以此作为平均价格。

众数还有一个作用是，区别总体。

当数据出现两个众数时，它提醒我们是否数据是来自两个不同的总体。