第三章曲面论

微分几何 第三章 曲面的局部理论

15 第三章 曲面的局部理论

§3.1 曲面的概念

1 曲面的方程

①向量式方程

在3E中Descartes直角坐标系 O-xyz 下，

取单位正交向量 i , j,k为基向量．给定三个二元函数 x(u,v), y(u,v),z(u,v) )(DC

作向量值函数

r: D 3E

(u,v) r(u,v)  x(u,v)i + y(u,v)j+z(u,v) k (x(u,v), y(u,v),z(u,v)) ，

则其位置向量终点全体 C  {(x, y,z))3E(u,v)D} 称为3E中一光滑曲面。

简称参数曲线，并将t 称为 C 的参数；

曲面也可写为分量形式的参数方程

Dvuvuzzvuyyvuxx),(),(),(),(

例3.1.1：球面的表达式： 或者2222Rzyx

例3.1.2：圆柱面的表达式：

例3.1.3：正螺面的表达式：

②3E中曲面的一般式(简单介绍)

方程F(x,y,z)=0在直角坐标系O-xyz表示的图像也是一曲面。若可写成z=f(x,y). 这时曲线的向量表达式为r(x,y)=(x,y,f(x,y))

③ 正则曲面

),(vur是光滑曲面，若满足0),(),(vurvurvu 则称曲面是正则曲面。

2 曲面的参数变换

先比较曲面S:),sin,(cos),(vuuvur RvuvuDvu,20),(),(

和)),sin(),(cos(),sin,(cos),(:2222vuvuvuvuuvurS

RvuvuDvu,0),(),(

以及RvuvuDvuuvurS~,1~)~,~(~)~,~1,~()~,~(:~2

显然S和S都表示整个圆柱面122yx，S~表示半圆柱面122yx，0y。

在SS~内 取参数),(vu和)~,~(vu之间的变换Rvvvuuu~0cos~

显然),(vu和)~,~(vu是一一对应的。而且0sin100sin),()~,~(uuvuvu 微分几何 第三章 曲面的局部理论

16 这时在SS~内，

S和S~可以统一表示成RvuvurvuvvuurvurS,0),()),(~,),,(~()~,~(:~

而),()~,~(),(),(~~vuvurrvurvurvuvu 知两曲面正则性也一致。

我们称参数),(vu和)~,~(vu之间的变换 为同一曲面之间的参数变换。

定义：设),(),(:vuvuDD是一一对应，而且满足0),()~,~(vuvu，则我们称DD:是曲面S：),(vur Dvu),(和曲面S：),(vur Dvu),(的一个参数变换。

3 曲面的切平面和法方向。

①曲面上的曲线。曲面S：),(vur上的曲线)(tr总可以写成))(),(()(tvtutr

注：Str)( 对任意t， 总存在),(vu与之对应，故vu,是t的函数。

特别：当u常数，对应的曲线称为v曲线。

当v常数，对应的曲线称为u曲线。

v曲线和u曲线统称坐标曲线。

例3.1.4：曲面),sin,cos(),(vvuvuvur的两坐标曲线是？

例3.1.5：曲面),sin,(cos),(vuuvur的两坐标曲线是？

例3.1.6：v曲线的切向量为ur ，u曲线的切向量为vr

②曲面的切向量

若))(),(()(tvtutr过曲面P点，称)(tr在点P的切向量为曲面在点P的一个切向量。

由dtdvPrdtduPrPrvu)()()(可以看出，曲面上任意一切向量可以由该点的坐标曲线的切向量线性表出。故曲面在一点所有切向量是共面的。

③切平面和法向量

※ 切平面：曲面在一点由该点的vurr,张成的平面称为曲面在该点的切平面。

显然曲面在P的切平面的方程：0))(),(),((PrPrPrRvu

※ 法向量：曲面在一点与该点的切平面垂直的向量称为法向量，过该点与法向量平行的直线称为法线。

单位法向量vuvurrrrn 法线方程：)()(PnPr

※ 切平面和法向量与参数变换的关系。

设)~,~(vu是曲面),(vur的另一参数，))~,~(,),~,~((),(vuvvuurvur 微分几何 第三章 曲面的局部理论

17 uvruurrvuu~~~vvrvurrvuv~~~

显然：vuvurrvuvurr)~,~(),(~~ 故法方向是由Jacobi行列式的符号决定的。但在参数变换下始终保持平行。故切平面在参数变换下不变。

例3.1.7：求曲面),sin,(cos),(vuuvur在)0,0(点的切平面和法线。

例3.1.8: 求曲面0),,(:zyxFS的单位法向量。

))(),(),(()(tztytxtr是曲面S上任一曲线，其切向量))(),(),(()(tztytxtr

又0zFyFxFdtdFzyx，即0,,,,,zyxFFFzyx

故F与))(),(),(()(tztytxtr正交。由曲线的任意性知，F是法向量。

故FFn 练习：求2222Rzyx的单位法向量。

④ 自然标架

对SP 称nrrPrvu,,);(为点P处的自然标架。显然它一般不正交。

例3.1.9 验证旋转面))(,sin)(,cos)((),(vguvfuvfvur的自然标架一定是正交的。

§3.2 第一基本形式

1 曲面上曲线的弧长与第一基本形式

若 Str)( 我们知道)(tr的弧长微元drds

又dvrdurdrvu 故222dvrrdudvrrdurrdrdsvvvuuu

令vvvuuurrGrrFrrE,,,称为第一基本量。

称 2222,GdvFdudvEdudrdrdsI为第一基本形式。

显然曲线)(tr，),(bat的弧长为dtdtIdtdtdrbaba2

关于第一基本形式的注记：

※ dvduGFFEdvduGdvFdudvEduI),(222 为一正定二次型。

这是因为0,22vuvuvuvvuurrrrrrrrrrFEG

※ 坐标曲线夹角余弦为EGFrrrrvuvucos, 故坐标曲线正交0F 微分几何 第三章 曲面的局部理论

18 例3.2.1：求),sin,(cos),(vuuvur的第一基本形式。

例3.2.2：若曲面的第一基本形式为I=222)1(dvudu 求曲面上曲线u=221v从

的弧长到2021vv。

例3.2.3：求曲面),,(),(vushvuchvvur坐标曲线的夹角。

2 第一基本形式与参数变换。

定理3.2.1：I在参数变换下不变。

证明：设),(vu是曲面),(vur的另一组参数。现比较),(vuI和),(vuI的关系。

dvduGFFEdvduvuI),( vdudGFFEvdudvuI),(

vuvurrvvvuuvuurr 令vvvuuvuuJ

vuvurrrrGFFE=TvuvuJrrrrJ=TJGFFEJ

vduuuduudu，vduvuduvdv

即vdudvvvuuvuudvdu=vdudJt

vdudGFFEvdudvuI),(

=vdudJGFFEJvdudT=dvduGFFEdvdu=),(vuI

定理3.2.2：I在合同变换下不变。

证明：设Trr~为合同变换。

Trdrd~ IdrdrTdrTdrrdrdI,,~,~~

显然第一基本量也在合同变换下不变 例如：Trruu~Trrvv~

ErrrrEuuuu~,~~

微分几何 第三章 曲面的局部理论

19 §3.3 第二基本形式

1 曲面在一点的展开与第二基本形式

将曲面),(vur沿曲线)(sr在0s展开

)()2(21),(),(22220000vuvrvururvrurvurvvuurvvuvuuvu令),(),(0000vurvvuurr

记nvnrvunrunrnrhvvuvuu,,,2,21,22

当022vu时

22,,2,21dvnrdudvnrdunrhvvuvuu

令nrNnrMnrLvvuvuu,,,,,

称222NdvMdudvLduII为曲面的第二基本形式。

又22222dvrdudvrdurvdrudrrdvvuvuuvu，故nrdII,2

※ 关于第二基本形式的注记

dndrIIdndrnrdndr,0,,0,2

显然uuuuunrnrLnr,,0,

同样vvvvuvvuuvnrnrNnrnrnrM,,,,,

例3.3.1：计算),sin,(cos),(vuuvur的第二基本形式。

例3.3.2：计算22yxz在0yx处的第二基本形式。

2 II的几何意义

dvduNMMLdvduNdvMdudvLduII,222

令 NMMLB，现考察)det(B的符号与曲面形状的关系。