《微分几何》课程教学大纲
一、课程信息
课程名称：微分几何
Differentia1Geometry
课程代码：06S1022B
课程类别：专业选修课
适用专业：数学与应用数学专业（师范类）
课程学时：45学时（理论35,实践10）
课程学分：2.5学分
修读学期：第6学期
先修课程：数学分析、高等代数、解析几何、常微分方程
二、课程目标
微分几何是数学与应用数学专业的选修课程，是运用微积分的理论研究空间的几何性质的数学分支学科。古典微分几何研究三维空间中的曲线和曲面，而现代微分几何开始研究更一般的空间一一流形。微分几何与拓扑学等其它数学分支有紧密的联系，对物理学的发展也有重要影响，爱因斯坦的广义相对论就以微分几何中的黎曼几何作为其重要的数学基础。本课程的前导课程为解析几何、高等代数、数学分析和常微分方程。
本课程旨在介绍微分几何的基本思想方法和理论，让学生了解它的研究对象、研究方法和技巧，了解一些重要概念及其几何意义，经典理论及其模型，掌握重要几何量的计算，通过重要例题的演示，让学生学会综合利用数学分析、解析几何、微分方程等的基本知识解决微分几何问题，使学生掌握三维欧氏空间中的曲线和曲面的局部微分理论和方法，培养学生分析三维欧氏空间的曲线和曲面的局部性态的能力以及对微分几何这门学科的兴趣。
（一）具体目标
通过本课程的学习，使学生达到以下目标：
1. 了解现代几何学的发展背景，熟悉微分几何研究的基本方法和技巧，理解从欧式空间到一般几何对象的基本思想，对中学的几何课程有更好的理解，具有一定的批判精神及创新能力，具有分析问题和解决问题的能力。【支撑毕业要求3、4、7]
2 .掌握向量函数的相关概念和计算；掌握一般曲线的参数表示及切线、法平面、密切平面等概念；掌握曲线的曲率、挠率及伏雷内公式；理解曲线的局部结构及空间曲线论的基本定理；了解一般螺线的概念;综合运用微积分、解析几何的知识解决微分几何的问题，具备一定的计算能力。【支撑毕业要求3、4] 3 .掌握曲面的参数表示及相关概念；掌握曲面的第一基本形式及其应用，理解等距变换及曲面的内蕴性质；掌握曲面的第二基本形式及各种曲率的概念和计算；理解直纹面、可展曲面的概念；了解曲面论的基本定理；理解曲面上的测地线及其性质，了解高斯-波涅公式及其应用。对曲面的几何有一定的认识，具有一定的计算能力和分析问题、解决问题的能力。【支撑毕业要求3、4、7]
曲面论中的两种基本形式
曲面是三维空间中的一个二维物体，常常用来描述自然界中的各种形状，如球面、圆柱面等。在曲面论中，我们可以将曲面分为两种基本形式，即正曲面和非正曲面。
正曲面是指曲面上的任意一条切线在曲面上的方向都与该曲面的法线相同。简单来说，正曲面就是曲率处处非负的曲面。这意味着在正曲面上，无论我们选择曲面上的任意一点并沿其切线移动，我们都不会感觉到曲面的弯曲或曲率。常见的正曲面有平面、球面等。在实际应用中，正曲面常用于设计和构建稳定的结构，如建筑物和机械零件。
非正曲面则相反，它是指曲面上的某些切线在曲面上的方向与该曲面的法线相反。也就是说，非正曲面在某些点上会感到曲面的弯曲或曲率。这种曲面常常被用于描述扭曲、弯曲或具有反常形状的物体，如双曲面和抛物面等。非正曲面在数学研究和艺术设计中有广泛的应用，因为它们可以创建出独特且引人注目的形态。
在实际应用中，我们常常需要考虑曲面的几何特征和性质。其中一个重要的概念就是曲面的曲率。曲率可以用来描述曲面在某一点处的弯曲程度。对于正曲面来说，曲率处处非负，而非正曲面则可以存在正曲率和负曲率的部分。曲率的大小与曲面上切线和法线之间的夹角有关，可以通过微积分和数学推导来进行计算。 除了曲率，曲面的其他特性还包括曲面的表面积和体积等。这些特性对于曲面的设计和分析非常重要，因为它们可以帮助我们更好地了解曲面的形状和行为。在实际工程中，这些特性常常用于优化设计和解决实际问题。
综上所述，曲面论涉及到了正曲面和非正曲面两种基本形式。正曲面没有曲率或曲率非负，适用于构建稳定的结构；而非正曲面有曲率的存在，常用于描述扭曲、弯曲或具有反常形状的物体。了解曲面的几何特性和性质可以帮助我们更好地设计和分析曲面，并解决实际问题。通过深入研究曲面论，我们可以在各个领域中应用曲面的知识，创造出更美丽、更实用的产品和构造。
曲面高数知识点总结
第一章 曲面参数化
1.1 曲面的定义
在解析几何中，曲面是一个连续的二维流形；或者说，它是一个可以用二元实值函数的映射定义的连续函数。这个映射把参数值的一个范围映射到一个参数的曲面上，比如(x, y)到
f(x, y)。参数的范围通常是一个矩形或者圆盘。
1.2 曲面参数化的意义
曲面参数化是数学分析中常用的方法，通过参数化可以将曲面上的点表示为参数的函数，从而方便对曲面进行研究和分析。曲面参数化的意义在于将曲面上的点与参数表示关联，使得曲面的性质和特征可以通过参数来描述和控制。这为曲面的计算和应用提供了便利。
1.3 参数化公式
一般来说，一个曲面的参数化可以写为：
r(u, v) = x(u, v)i + y(u, v)j + z(u, v)k
其中，r(u, v)是曲面上的点的位置矢量，(u, v)是参数，x(u, v)，y(u, v)，z(u, v)分别是参数u和v的函数，i，j，k 是空间直角坐标系向量的基底。
1.4 参数化曲面的例子
以球面为例，球面可以通过参数化方程表示为：
r(θ, φ) = (Rsinθcosφ)i + (Rsinθsinφ)j + (Rcosθ)k
其中，(θ, φ)是球面上的点的参数，R是球面的半径。通过参数化方程可以很容易地描述球面上的任意点的位置。
第二章 曲面切线和法线
2.1 曲面的切线
曲面上的每一点都有一个切平面，这个切平面与曲面在该点相切。切平面可以用曲面的切线方向向量来描述，这个向量正是切平面的法线向量。在参数化曲面上，切线方向向量可以通过对参数u和v分别求偏导数来得到。
2.2 曲面的法线
曲面上的法线是垂直于曲面的一个向量，可以用曲面的梯度来表示。在参数化曲面上，法线可以通过对参数u和v求叉积得到。 2.3 曲面切线和法线的计算
计算曲面上某一点的切线和法线可以通过计算曲面参数化方程对参数的偏导数，并利用偏导数的性质和几何关系来确定切线和法线的方向。通过切线和法线可以描述曲面的局部性质和特征，对于曲面上的微分几何和曲面的应用有很大的作用。
第二章 曲面论
§1曲面的概念
1.求正螺面={ u ,u , bv }的坐标曲线.
解 u-曲线为={u ,u ,bv }=｛0,0，bv｝＋u
{,,0}，为曲线的直母线；v-曲线为={,,bv }为圆柱螺线．
２．证明双曲抛物面＝｛a（u+v）, b（u-v）,2uv｝的坐标曲线就是它的直母线。
证 u-曲线为={ a（u+）, b（u-）,2u}={ a, b,0}+ u{a,b,2}表示过点{ a, b,0}以{a,b,2}为方向向量的直线;
v-曲线为=｛a（+v）, b（-v）,2v｝=｛a, b,0｝+v{a,-b,2}表示过点(a, b,0)以{a,-b,2}为方向向量的直线。
3．求球面=上任意点的切平面和法线方程。
解 = ，=
任意点的切平面方程为
即 xcoscos + ycossin + zsin - a = 0 ；
法线方程为 。
4．求椭圆柱面在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面。 解 椭圆柱面的参数方程为x = cos, y = asin, z = t ,
, 。所以切平面方程为：
，即x bcos + y asin － a b = 0
此方程与t无关，对于的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而的每一数值对应一条直母线，说明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面。
5．证明曲面的切平面和三个坐标平面所构成的四面体的体积是常数。
证 ，。切平面方程为： 。
与三坐标轴的交点分别为(3u,0,0),(0,3v,0),(0,0,)。于是，四面体的体积为：
是常数。
§２ 曲面的第一基本形式
1. 求双曲抛物面＝｛a（u+v）, b（u-v）,2uv｝的第一基本形式.
解
,
∴ I = 2。
２．求正螺面={ u ,u , bv }的第一基本形式，并证明坐标曲线互相垂直。 解 ，，，，∴ I =，∵Ｆ＝０，∴坐标曲线互相垂直。
