第13章 曲线与曲面

第十章 曲线积分与曲面积分

10.1 对弧长的曲线积分

一、求曲线cos,sin,tttxetyetze从0t到任意点间的那段弧的质量，设它各点的密度与该点到原点的距离的平方成反比，且在点(1,0,1)处的密度为1。

（13(1)te）

二、计算下列曲线积分：

1. 2Lyds，其中L为旋轮线：(sin)(1cos)xattyat（0t）。

（324a）

2. ()Lxyds，其中L是顶点为(0,0),(1,0),(0,1)OAB的三角形边界。

（12）

3. 22xyLeds，其中L是由极坐标曲线,0,ra所围成的区域的边界曲线。

（2(1)aaeae）

4. ()Lxyzds，其中L由直线AB：(1,1,0),(1,0,0)AB及螺线

cos,sin,(02)xtytztt组成。 （3222）

三、 计算 22cosLxyds，其中L是由22,,0yxyRxy所围成的第一象限部分的边界。

（2sincosRRR）

四、 计算 222Lyzds，其中L是圆：2222xyzaxy。 （2a） 五、 计算 LxdsÑ，其中L由直线0,xyx及曲线22yx所围成的第一象限部分的整个边界。

（2551212）

10.2 对坐标的曲线积分

一、设一质点处于弹性力场中，弹力方向指向原点，弹力大小与质点到原点的距离成正比，比例系数为k。若质点从点(0,)a沿椭圆22221xyab在第一象限部分移动到点(0,)b，求弹力所做的功。

（221()2kab）

土木工程制图

（第三版）

第5章规则曲线、曲面及曲面立体(2)

(§5.5～§5.6)

中国建筑工业出版社

第5章规则曲线、曲面及曲面立体

2目录

§5.5 基本曲面体和立体上的曲表面

§5.6 平面与曲面体或曲表面相交

第

5章规则曲线、曲面及曲面立体

3§5.5 基本曲面体和立体上的曲表面

常见的基本曲面体：

第

5章规则曲线、曲面及曲面立体

4§5.5 基本曲面体和立体上的曲表面

一、圆柱

形成

由圆柱面和两个底平面围成的立体，称为圆柱体，简称圆柱。

直圆柱的底平面垂直于圆柱的轴线。

第5章规则曲线、曲面及曲面立体

5§5.5 基本曲面体和立体上的曲表面

一、圆柱

圆柱的投影图

第

5章规则曲线、曲面及曲面立体

6§5.5 基本曲面体和立体上的曲表面

一、圆柱

圆筒由大圆柱上去掉一个同轴的小圆柱得到，它包含两个圆柱

面。

第5章规则曲线、曲面及曲面立体

7§5.5 基本曲面体和立体上的曲表

面

一、圆柱

圆柱体表面上的点

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第5章规则曲线、曲面及曲面立体

8§5.5 基本曲面体和立体上的曲表面

一、圆柱

圆柱、圆孔的尺寸标注

定形尺寸定位尺寸

第5章规则曲线、曲面及曲面立体

9§5.5 基本曲面体和立体上的曲表面

一、圆柱

工程形体中的圆柱体和圆柱面：常常是部分圆柱体或圆柱面，

在标注尺寸时等于或小于半圆柱的柱面需要标注其半径。

第

5章规则曲线、曲面及曲面立体

10§5.5 基本曲面体和立体上的曲表面

二、圆锥和圆台

形成

由圆锥面和底平面围成的立体称为圆锥体。直圆锥的底平面垂

直于圆锥的轴线。

第

5章规则曲线、曲面及曲面立体

11§5.5 基本曲面体和立体上的曲表面

二、圆锥和圆台

圆锥用垂直于轴线的另一平面截去锥顶，得到圆台。

第

5章规则曲线、曲面及曲面立体

12§5.5 基本曲面体和立体上的曲表面

二、圆锥和圆台

圆锥的投影图

第5章规则曲线、曲面及曲面立体

13§5.5 基本曲面体和立体上的曲表面

二、圆锥和圆台

圆台的投影图

第5章规则曲线、曲面及曲面立体

14§5.5 基本曲面体和立体上的曲表面

第十一章 曲线积分与曲面积分

一、填空题：

1.设L是连接点)0,0(O与点)2,1(B的直线段，则Ldsyx)(= 。

2.设L是上半圆周21xy，则曲线积分Ldsyx22 。

3.设L是任意简单封闭曲线（取正向），ba,为常数，则Lbdyadx 。

4.设kzjxyiyxa222在点)1,2,1(M的散度adiv= 。

5.设为球面：2222Rzyx，则曲面积分dSzyx)(222 。

二、选择题：

1.设L是以)1,0(),0,1(),1,0(),0,1(DCBA为顶点的正方形的周界，则曲线积分Ldsyx1=（ ）。

（A）0 (B) 2 (C) 22 (D) 24

2.设L是以)1,0(),0,1(),1,0(),0,1(DCBA为顶点的正方形依逆时针方向的周界，则曲线积分Lyxdydx=（ ）。

（A） 1 (B) 2 (C) 0 (D) 1

3.已知曲线积分Lxdyydxyxf))(,(与积分路径无关，则),(yxf必须满足下列条件（ ）。

（A）0xyfyfx （B）0xyfyfx

（C）0yxfyfx （D 0yxfyfx

4．设是平面 1963zyx 在第一卦限部分，则dSzyx)236(=（ ）。

（A）567 （B） 54 （C） 1134 （D）108

5.由分片光滑的封闭曲面S所围成的立体的体积V（ ）。

释疑解难曲线积分与曲面积分

问题1.如何认识多元函数的几种积分的定义？

答：多元函数的几种积分的定义可以用统一形式给出，统称为几何形体上的积分:

n

『f(P)dP =lim送f(P)KP ,其中i P是将积分区域G任意分割为n块后的任一块

G

若G为空间区域0 ,则是三重积分 Jff f (x, y,z)dv。

Q

若G为曲线弧L，则是对弧长的曲线积分

JJ f (x, y,z)dS。

I

JPdx + Qdy = J(P cocs +Q cBsds)

L L

其中a,P为有向曲线弧L的切向量的方向角。

对坐标的曲面积分

JJP dydz+Qdzdx+Rdxdy = JJ( Pcos。+QcosP +RcosY)dS,

I I

其中a,P,Y为有向曲面I：的法向量的方向角。

问题2.如何正确理解两类曲线积分和曲面积分的概念？

答：由于实际需要，曲线积分与曲面积分为两种类型，有关质量、重心、转动惯量等 数量积分问题导出第一类线面积分； 有关变力作功、流体流过曲面的流量等向量问题导出第

二类线、面积分。前者被积函数化为数量函数沿区域积分，无需考虑方向性，而后者被积函 数是向量函数，必须考虑方向。因此，一个函数的积分可以由积分区域的有向或无向分为两 种类型的积分，在所学过的积分中：

区域无向的积分有：重积分、第一类曲线积分和第一类曲面积分；

区域有向的积分有：定积分、第二类曲线积分和第二类曲面积分。

曲线的方向是由起点到终点(定积分)或切向量的方向来确定，曲面的方向则由曲面 上点的法向量所指向的侧来确定，

我们常会把两类积分相互转换，转换时必须注意符号，它体现了有向积分的方向。将 无向域的积分化为有向域的积分，如重积分化为累次积分(定积分) ，方向性体现为定积分

的上、下限的确定， 而将有向域的积分化为无向域的积分， 如第二型曲面积分化为二重积分

或三重积分，第二型曲线积分化为二重积分等，必须注意符号的确定问题。