线段和最小值问题整理

中考二轮复习之线段和（差）的最值问题一、两条线段和的最小值。

填空题：1．如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．则PB+PE的最小值是．2．如图，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，则P A+PC的最小值是．3．如图，在锐角△ABC中，AB＝42，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是．4．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝4，AB＝5，BC＝6，点P是AB上一个动点，当PC＋PD的和最小时，PB的长为__________．5．已知A(－2，3)，B(3，1)，P点在x轴上，若P A＋PB长度最小，则最小值为．若P A—PB长度最大，则最大值为．6．如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为．7、如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为8、如图，正方形ABCD的边长是2，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD 和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值为．综合题：1．如图，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．第1题第2题第3题第4题2．如图，已知平面直角坐标系，A ，B 两点的坐标分别为A (2，－3），B (4，－1）设M ，N 分别为x 轴和y 轴上的动点，请问：是否存在这样的点M (m ，0），N (0，n ),使四边形ABMN 的周长最短？若存在，请求出m ＝______，n ＝ ______（不必写解答过程）；若不存在，请说明理由．中考赏析：1．著名的恩施大峡谷（A ）和世界级自然保护区星斗山（B ）位于笔直的沪渝高速公路X 同侧，AB =50km 、B 到直线X 的距离分别为10km 和40km ，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P ，向A 、B 两景区运送游客．小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图（AP 与直线X 垂直，垂足为P ），P 到A 、B 的距离之和S 1＝P A ＋PB ，图（2）是方案二的示意图（点A 关于直线X 的对称点是A'，连接BA'交直线X 于点P ），P 到A 、B 的距离之和S 2＝P A ＋PB ． （1）求S 1、S 2，并比较它们的大小； （2）请你说明S 2＝P A ＋PB 的值为最小；（3）拟建的恩施到张家界高速公路Y 与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，B 到直线Y 的距离为30km ，请你在X 旁和Y 旁各修建一服务区P 、Q ，使P 、A 、B 、Q 组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值．2．如图，抛物线y ＝35x 2－185x ＋3和y 轴的交点为A ，M 为OA 的中点，若有一动点P ，自M 点处出发，沿直线运动到x 轴上的某点（设为点E ），再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点F ），最后又沿直线运动到点A ，求使点P 运动的总路程最短的点E ，点F 的坐标，并求出这个最短路程的长．3、在x轴的正半轴上，OA=AB=2，OC=3，过点B作BD⊥BC，交OA于点D．将∠DBC 绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于点E和F．（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）当BE经过（1）中抛物线的顶点时，求CF的长；（3）在抛物线的对称轴上取两点P、Q（点Q在点P的上方），且PQ＝1，要使四边形BCPQ 的周长最小，求出P、Q两点的坐标．4．如图，已知平面直角坐标系，A，B两点的坐标分别为A(2，－3），B(4，－1）若C(a，0)，D(a+3，0)是x轴上的两个动点，则当a为何值时，四边形ABDC的周长最短．5、如图11，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点.（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.二、求两线段差的最大值问题 (运用三角形两边之差小于第三边)1.直线2x-y-4=0上有一点P ，它与两定点A （4，-1）、B （3，4）的距离之差最大，则P 点的坐标是 .2.已知A 、B 两个村庄的坐标分别为（2，2），（7，4），一辆汽车（看成点P ）在x 轴上行驶．试确定下列情况下汽车（点P ）的位置：（1）求直线AB 的解析式，且确定汽车行驶到什么点时到A 、B 两村距离之差最大？ （2）汽车行驶到什么点时，到A 、B 两村距离相等？3. 如图，抛物线y ＝－14x 2－x ＋2的顶点为A ，与y 轴交于点B ．(1)求点A 、点B 的坐标；(2)若点P 是x 轴上任意一点，求证：P A －PB ≤AB ； (3)当P A －PB 最大时，求点P 的坐标.4. 如图，已知直线y ＝21x ＋1与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线y ＝21x 2＋bx ＋c 与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B （1）求该抛物线的解析式；（3）在抛物线的对称轴上找一点M ，使|AM －MC |大，求出点M 的坐标．5. 如图，直线y ＝－3x ＋2与x 轴交于点C ，与y 轴交于点B ，点A 为y 轴正半轴上的一点，⊙A 经过点B 和点O ，直线BC 交⊙A 于点D ． （1）求点D 的坐标；（2）过O ，C ，D 三点作抛物线，在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使线段PO 与PD 之差的值最大？若存在，请求出这个最大值和点P 的坐标．若不存在，请说明理由．好题赏析：原型：已知：P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点，求P A ＋PB ＋PC 的最小值．例题：如图，四边形ABCD 是正方形，△ABE 是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN 、AM 、CM ． （1）求证：△AMB ≌△ENB ；（2）①当M 点在何处时，AM ＋CM 的值最小；②当M 点在何处时，AM ＋BM ＋CM 的值最小，并说明理由； （3）当AM ＋BM ＋CM 的最小值为3＋1时，求正方形的边长．变式：如图四边形ABCD 是菱形，且∠ABC ＝60，△ABE 是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN 、AM 、CM ，则下列五个结论中正确的是（ ）①若菱形ABCD 的边长为1，则AM ＋CM 的最小值1； ②△AMB ≌△ENB ；③S 四边形AMBE =S 四边形ADCM ；④连接AN ，则AN ⊥BE ；⑤当AM ＋BM ＋CM 的最小值为23时，菱形ABCD 的边长为2． A ．①②③ B ．②④⑤ C ．①②⑤三、其它非基本图形类线段和差最值问题1、求线段的最大值与最小值需要将该条线段转化到一个三角形中，在该三角形中，其他两边是已知的，则所求线段的最大值为其他两线段之和，最小值为其他两线段之差。

运用图形的轴对称求线段和的最小值学习目标：会用轴对称知识解决一些常见几何图形的线段和最小值问题. 学习重点：利用常见几何图形的对称特性运用转化思想，学生会解决有关线段和最小值问题.学习方法：自主探究法、合作交流法 学习过程： 一、知识链接1、已知直线l 及其两侧两点，在直线l 上求作一点P ，使PA+PB 和最小。

（写出画图方法，画出图形）`2、如图，已知点A,B 在直线l 的同一侧，在l 上求作一点P ，使得PA+PB 最小。

（写出画图方法，画出图形）^总结：此时PA+PB 等于线段 。

二、知识应用如图，铁路l 同侧有两个仓库A,B,它们到铁路的距离AD,BE 分别为500m,300m,DE=600m.现要在铁路上建一个货场C,要求CA+CB 最小，求这个最小值。

…三、自主探究知识链接：在平行四边形，矩形，菱形，正方形，等腰梯形，圆中，是轴对称图形的有 。

1、如图1，正方形ABCD 的边长为2，E 为BC 的中点，P 是BD 上一动点。

连接EP,CP,则EP+CP 的最小值是2、如图2，已知菱形ABCD,AB=6, ∠BAD=60°,E 为AD 的中点，M 为AC 上一动lABlED AB(4)(3)(2)(1)点，则EM+DM 的最小值是3.如图3，梯形ABCD 中,AD ∥BC,AB=CD=AD=1，∠B=60°,直线MN 为梯形ABCD 的对称轴，P 为MN 上一动点,则PC+PD 的最小值为 .4.如图4，⊙O 直径AB 为2，∠COB=60°，D 是弧BC 中点，P 是直线AB 上一动点，则PC+PD 的最小值为 （总结：以上问题利用了正方形、菱形、等腰梯形、圆的对称性，从图中能直接找到一个点的对称点。

三、研讨1、在平面直角坐标系中有三点A(6,4),B(4,6),C(0,2),在x 轴上找一点D,使得四边形ABCD 的周长最小，求点D的坐标。

线段和的最值小值问题第8课时线段和、差的最值问题是一类综合性较强的问题，主要归于两个几何模型：1．求“变动的线段之和的最小值”时，可归于“两点之间线段最短（或三角形两边之和大于第三边）”．如图，在直线l 上确定一点P ，使PB PA最小．一、选择题1．下列说法中正确提（ ）（A ）到直线l 的距离相等的两点关于直线l 对称 （B ）角是轴对称图形，对称轴是角平分线 （C ）圆是轴对称图形，有无数条对称轴 （D ）有一个内角是60º的三角形是轴对称图形 2．已知△ABC 和△ADC 关于直线AC 轴对称，若 ∠BAD +∠BCD =170º，那么△ABC 是（ ）（A ）直角三角形（B ）等腰三角形 （C ）钝角三角形 （D ）锐角三角形 3．如图，点P 、Q 在直线AB 外，点O 在直线AB 上从左往右运动形成无数个三角形：△O 1PQ 、△O 2PQ 、△O 3PQ 、…，在这样的运动变化过程中，这些三角形的周长（ ）（A ）不断变大（B ）不断变小 （C ）先变小再变大 （D ）先变大再变小4．如图所示，在正方形网格中有格点A 、B ，在数轴上找一点P A ，使P 到点A 和点B 的距离之和最小．则点P 所对应的数为（ ）（A ）−2 （B ）0 （C ）2 （D ）3 二、填空题5．如图，点D 、E 分别在△ABC 的边AB 、AC 上，且DE ∥BC ，沿DE 折叠△ABC 后，点A 落在点A ′处，若∠C =120º，∠A =26º，则∠A ′DB = º．6．在△ABC 中，AC 边的垂直平分线l 交AC 于D ，BC =4，点P 在直线l 上，则P A +PB 的最小值是 ． 7．如图所示，点A 、B 均在由边长为1的相同小正方形组成的网格的格点上，若要在直线l 上找一点，使得P A 与PB 的差最大，那么P 点应在 点处． 8．如图，点P 在∠AOB 的内部， 点M 、N 分别点P 关于直线OA 、 OB 的对称点，线段MN 交OA 、 OB 于点E 、F ．若△PMN 的周 长为20cm ，PG =2cm ，PH =4cm ， 则△PEF 的周长为 cm ． 三、解答题9．（1）如图①，等边△ABC 中，点E 是AB 的中点，AD 是高，P 为AD 上一点，当BP +PE 的值最小时，画出图形说明P 点的位置．知识要点APQO 1O 2O 3B第3题第4题第7题ABC lD P 第6题A′ B C 第5题DEAO B P GM EFN HlB A（2）如图②，四边形ABCD 中，∠A =∠D =90°，在AD 上确定点P ，使△PBC 的周长最小．10．已知：如图，四边形ABCD 中，AB=BC ，对角线BD 平分∠ABC ，E 是BC 的中点，P 是对角线BD 上的一个动点，则当PE +PC 的最小值时，试确定P 点的位置（画出图形说明理由）．一、填空题11．如图，在四边形ABCD 中，∠A =90º，AD =5，对角线BD ⊥CD ，∠ADB =∠C ．P 是BC 边上一动点，连结PD ，则PD 的最小值为12．如图，在Rt △ABC 中，D 、E 为斜边AB 上两点，且BD =BC ，AE =AC ，则∠DCE 的大小为 º． 13．如图，等腰三角形ABC 的面积为48cm 2，底边BC 的长为8cm ，腰AB 的垂直平分线EF 交AC 于F ，若D 是BC 边的中点，M 为线段EF 上一动点，则△BDM 的周长的最小值为 cm ．二、解答题14．如图，已知两点P 、Q 在锐角∠AOB 内，分别在OA 、OB 上求作点M 、N ，使四边形PMNQ 的周长最小（简要说明作法及理由）．15．如图①，在∠AOB 内有一点P ，先作点P 关于直线OA 的对称点P 1，再作点P 关于直线OB 的对称点P 2． （1）猜想∠P 1OP 2与∠AOB 的数量关系，并证明； （2）当点P 在∠AOB 外部时，上述结论还成立吗？请在图②中画出相应的图形并说明理由．A图①DCBA图②DAB C P 第11题C 第12题第13题ABC F E MD DA能力提升P图① 图②A。

初中几何中线段和差的最大值与最小值典型分析(最全)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN初中几何中线段和（差）的最值问题一、两条线段和的最小值。

基本图形解析：（对称轴为：动点所在的直线上）一）、已知两个定点：1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA+PB 最小； （1）点A 、B 在直线m 两侧：（2）点A 、B 在直线同侧：A 、A ’ 是关于直线m 的对称点。

2、在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ，使PA+PQ+QB 最小。

（1）两个点都在直线外侧：（2）一个点在内侧，一个点在外侧： （3）两个点都在内侧：mm A Bm B mA Bmnmnnmn（4）、台球两次碰壁模型变式一：已知点A 、B 位于直线m,n 的内侧，在直线n 、m 分别上求点D 、E 点，使得围成的四边形ADEB 周长最短.填空：最短周长=________________变式二：已知点A 位于直线m,n 的内侧, 在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点PA+PQ+QA 周长最短.二）、一个动点，一个定点： （一）动点在直线上运动：n点B 在直线n 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、两点在直线两侧：2、两点在直线同侧：（二）动点在圆上运动点B 在⊙O 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ）1、点与圆在直线两侧：2、点与圆在直线同侧：m nmnmnmmm三）、已知A 、B 是两个定点，P 、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点，使得PA+PQ+QB 的值最小。

(原理用平移知识解)（1）点A 、B 在直线m 两侧：过A 点作AC ∥m,且AC 长等于PQ 长，连接BC,交直线m 于Q,Q 向左平移PQ 长，即为P 点，此时P 、Q 即为所求的点。

线段之和的最小值问题（七年级下册）如图，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A 、B 提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使它到A ，B 的距离之和最小？【温馨提示】基本图形:两点一线，定动点；基本思路:利用轴对称的性质设M 是边长为2的正△ABC 的边AB 上的中点，P 是边BC 上的任意一点，求PA ＋PM 的最小值．如图，正方形ABCD 中，AB=2, P 是对角线AC 上任意一点.（1）若M 是AB 边上的中点，求PM+PB 的最小值.（2）若M 是AB 边上的中点，N 是BC 边上的点，且AB CN 31 ,求PM+PN 的最小值. （3）若M 、N 分别是AB ，BC 边上的点，且AM=CN=1/3AB,求PM+PN 的最小值.（1） （2） （3）【温馨提示】找出基本图形：两点一线，定动点如图，正方形ABCD 中，AB=2,Q 是AB 中点，连结QC ，点P 、M 是QC 、BC 上任意点，求PM+PB 的最小值.如图，在四边形ABCD 中，∠BAD ＝120°， ∠B ＝∠D ＝90°，AB ＝1，AD ＝2，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，使得△AMN 的周长最小，则△AMN 的最小周长是_______．1.如图，在直角坐标系xoy 中，x 轴上的动点M （X ，0）到定点P （5，5）和到Q （2，1）的距离分别为MP 和MQ ，那么当MP+MQ 取最小值时，点M 的横坐标为 .在反比例函数xy 6=上有两点A(3,2),B(6,1)，在直线x y -=上有动点P,那么当PA+PB 最小时，求P 点的坐标.已知抛物线225212+-=x x y 若一个动点Ｍ自Ｐ出发，先到达对称轴上某点（设为点F ），最后运动到点A 。

确定使点M 运动的总路径最短的点F 的位置，并求出这个最短路程的长.若一个动点Ｍ自Ｐ出发，先到达x 轴上的某点（设为点E ），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F ），最后运动到点A.确定使点M 运动的总路径最短的点E 、点F 的位置，并求出这个最短路程的长.。

初中几何中线段和（差）的最值问题一、两条线段和的最小值。

基本图形解析： 一）、已知两个定点：1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA+PB 最小； （1）点A 、B 在直线m 两侧：（2）点A 、B 在直线同侧：A 、A ’ 是关于直线m 的对称点。

2、在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ，使PA+PQ+QB 最小。

（1）两个点都在直线外侧：（2）一个点在内侧，一个点在外侧：（3）两个点都在内侧：mmB mA Bmn mnnmnnnm（4）、台球两次碰壁模型变式一：已知点A 、B 位于直线m,n 的内侧，在直线n 、m 分别上求点D 、E 点，使得围成的四边形ADEB 周长最短.填空：最短周长=________________变式二：已知点A 位于直线m,n 的内侧, 在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点PA+PQ+QA 周长最短.二）、一个动点，一个定点： （一）动点在直线上运动：点B 在直线n 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ）1、两点在直线两侧：2、两点在直线同侧：mnm nm nm（二）动点在圆上运动点B 在⊙O 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、点与圆在直线两侧：2、点与圆在直线同侧：三）、已知A 、B 是两个定点，P 、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点，使得PA+PQ+QB 的值最小。

(原理用平移知识解) （1）点A 、B 在直线m 两侧：过A 点作AC ∥m,且AC 长等于PQ 长，连接BC,交直线m 于Q,Q 向左平移PQ 长，即为P 点，此时P 、Q 即为所求的点。

（2）点A 、B 在直线m 同侧：mmmmQ Q练习题1．如图，∠AOB =45°，P 是∠AOB 内一点，PO =10，Q 、R 分别是OA 、OB 上的动点，求△PQR周长的最小值为 ．2、 如图1，在锐角三角形ABC 中，AB=4,∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M,N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值为 ． 3、如图，在锐角三角形ABC 中 ，AB=52，∠BAC=45，BAC 的平分线交BC 于D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是多少？4、如图4所示，等边△ABC 的边长为6,AD 是BC 边上的中线,M 是AD 上的动点,E 是AC 边上一点.若AE=2,EM+CM 的最小值为 .5、如图3，在直角梯形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AD ∥BC ，AD ＝4，AB ＝5，BC ＝6，点P 是AB 上一个动点，当PC ＋PD 的和最小时，PB 的长为__________．6、 如图4，等腰梯形ABCD 中，AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，P 是上底，下底中点EF 直线上的一点，则PA+PB 的最小值为 ．Q7、如图5菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为．8、如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是9、如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为________cm．10、如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为11、如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．则PB+PE的最小值是12、如图6所示，已知正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，且DM=2，N是AC上的一个动点，则DN+MN的最小值为．13、如图，正方形ABCD的边长是2，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值为．14、如图7，在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为cm．（结果不取近似值）．15、如图，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，则P A+PC的最小值是．16、如图8，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为( )(A)2 (B) (C)1 (D)2解答题1、如图9，正比例函数y=x的图象与反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知三角形OAM的面积为1.（1）求反比例函数的解析式；（2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P，使PA+PB最小.2、如图，一元二次方程x2+2x-3=0的二根x1，x2（x1＜x2）是抛物线y=ax2+bx+c 与x轴的两个交点B，C的横坐标，且此抛物线过点A（3，6）．（1）求此二次函数的解析式；（2）设此抛物线的顶点为P，对称轴与AC相交于点Q，求点P和点Q的坐标；（3）在x轴上有一动点M，当MQ+MA取得最小值时，求M点的坐标．3、如图10，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，），△AOB的面积是.（1）求点B的坐标；（2）求过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△AOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；4．如图，抛物线y ＝35x 2－185x ＋3和y 轴的交点为A ，M 为OA 的中点，若有一动点P ，自M 点处出发，沿直线运动到x 轴上的某点（设为点E ），再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点F ），最后又沿直线运动到点A ，求使点P 运动的总路程最短的点E ，点F 的坐标，并求出这个最短路程的长．5．如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，直角梯形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA =AB =2，OC =3，过点B 作BD ⊥BC ，交OA 于点D ．将∠DBC 绕点B 按顺时针方向旋转，角的两边分别交y 轴的正半轴、x 轴的正半轴于点E 和F ． （1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；（2）当BE 经过（1）中抛物线的顶点时，求CF 的长； （3）在抛物线的对称轴上取两点P 、Q （点Q 在点P 的上方），且PQ ＝1，要使四边形BCPQ 的周长最小，求出P 、Q 两点的坐标．6．如图，已知平面直角坐标系，A，B两点的坐标分别为A(2，－3），B(4，－1）若C(a，0)，D(a+3，0)是x轴上的两个动点，则当a为何值时，四边形ABDC的周长最短．7、如图11，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x 轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点.（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.二、求两线段差的最大值问题 (运用三角形两边之差小于第三边) 基本图形解析：1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA 与PB 的差最大； （1）点A 、B 在直线m 同侧：解析：延长AB 交直线m 于点P ，根据三角形两边之差小于第三边，P ’A —P ’B ＜AB ，而PA —PB=AB 此时最大，因此点P 为所求的点。

两定点到圆上一动点的线段和最小值哎呀，这道题目可真是让人头疼啊！不过，既然咱们来了，那就得好好聊聊这个话题。

话说，两定点到圆上一动点的线段和最小值，这个问题可是涉及到了数学的奥秘哦！不过，别担心，我这个“数学小白”也会尽力给大家讲解清楚的。

咱们得明确一下这个问题的背景。

假设我们有两个定点A和B,以及一个圆心O。

我们需要找到一条线段AB,使得这条线段经过圆心O,并且它的长度最短。

这个问题的解决方法其实很简单，就是利用勾股定理和三角函数来求解。

我们需要知道圆心O到两个定点A和B的距离。

假设OA和OB分别是两个距离，那么根据勾股定理，我们可以得到AB的长度为：AB = sqrt(OA^2 + OB^2)接下来，我们需要找到一条线段AB,使得它经过圆心O。

这其实也很简单，因为圆心O到两个定点A和B的距离已经给出了，所以我们只需要找到一个角度θ，使得cos(θ) = (OA/AB) / (OB/AB)。

这样一来，我们就可以得到线段AB的长度了。

我们需要找到这条线段AB的长度的最小时值。

这个问题的解决方法其实也很简单，就是利用三角函数来求解。

我们知道，sin(θ) = 对边/斜边，cos(θ) = 邻边/斜边。

所以，我们可以得到：AB^2 = OA^2 + OB^2 2 * OA * OB * cos(θ)将上面的公式代入cos(θ)的表达式，我们可以得到：AB^2 = OA^2 + OB^2 2 * OA * OB * (OA/AB) / (OB/AB)化简一下，我们可以得到：AB^2 = OA^2 + OB^2 2 * OA * OB * (OA^2 + OB^2) / (OA * AB + OB * AB)这就是我们要找的线段AB的最短长度公式啦！这个公式还有一个变形版本，就是：AB^2 = (OA^2 + OB^2) * (1 + sin^2(θ)) / (1 + sin^2(θ))这个公式可以用来求解任意两个定点A和B之间的最短距离。

线段差的最大值与线段和的最小值问题有关线段差的最大值与线段和的最小值问题的主要应用原理是：1、两点这间线段最短。

2、三角形的任意两边之和大于第三边（找和的最小值）。

3、三角形的任意两边之差小于第三边（找差的最大值）。

作图找点的关键：充分利用轴对称，找出对称点，然后，使三点在一条直线上。

即利用线段的垂直平分线定理可以把两条线段、三条线段、四条线段搬在同一条直线上。

证明此类问题，可任意另找一点，利用以上原理来证明。

一两条线段差的最大值：（1）两点同侧：如图，点P在直线L上运动，画出一点P，使︱PA－PB︱取最大值。

作法：连结AB并延长AB交直线L于点P。

点P即为所求。

︱PA－PB︱=AB证明：在直线L上任意取一点P。

，连结PA、PB，︱PA－PB︱＜AB（2两点异侧：如图，如图，点P在直线L上运动，画出一点P，使︱PA－PB︱取最大值。

作法：1、作B关于直线L的对称点B。

2、连结AB并延长AB交直线L于点P。

点P即为所求。

︱PA－PB︱=AB证明：在直线L上任意取一点P。

，连结PA、PB、PB。

︱PA－PB︱=︱PA－PB︱＜AB（三角形任意两边之差小于第三边）二、两条线段和的最小值问题：（1））两点同侧：如图，点P在直线L上运动，画出一点P使P A＋PB取最小值。

（三角形的任意两边之和大于第三边（找和的最小值），P A＋PB=AB（2）两点异侧：如图，点P在直线L上运动，画出一点P使P A＋PB取最小值。

（两点之间线段最短）三、中考考点：08年林金钟老师的最后一题：如图，在矩形ABCO中，B（3，2），E（3，1），F（1，2）在X轴与Y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形EFNM的周长最小？若存在，请求出周长的最小值，若不存在，请说明理由。

提示：EF长不变。

即求F N＋NM＋MF的最小值。

利用E关于X轴的对称点E，F的对称点F，把这三条线段搬到同一条直线上。

一、以正方形为载体，求线段和的最小值例1. 如图1，四边形ABCD是正方形，边长是4，E是BC上一点，且CE＝1，P是对角线BD上任一点，则PE＋PC的最小值是_____________。

线段（和）最小值问题轴对称与等腰三角形1、如图，△ABC中，AB＝5，AC＝6，BC＝4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是 10 。

（第1题）（第2题）2、如图是由九个等边三角形组成的一个六边形，当最小的等边三角形边长为2 cm时，这个六边形的周长为 60 cm。

3、如图，△ABC为等边三角形，在平面内找一点P，使△PAB、△PBC、△PAC均为等腰三角形，则这样的点P共有 10 个。

（备用图）知识点轴对称与线段和最小1、两定一动（1）如图，点A、B在直线l的两侧，在l上求一点P，使得PA＋PB最小。

（2）如图，点A、B在直线l的同侧，在l上求一点P，使得PA＋PB最小。

2、三定一动平面直角坐标系中有三点A（6，4）、B（4，6）、C（0，2），在x轴上找一点D，使得四边形ABCD的周长最小，则点D的坐标应该是（2，0）。

3、一定两动型如图，点A是∠MON内部一点，在∠MON的两边OM、ON上各取一点B、C，与点A组成三角形，使△ABC的周长最小。

4、两定两动型（1）AB是∠MON内部一条线段，在∠MON的两边OM、ON上各取一点C、D组成四边形，使四边形周长最小。

（2）平面直角坐标系中有两点A（6，4）、B（4，6），在y轴上找一点C，在x轴上找一点D，使得四边形ABCD的周长最小，则点C的坐标应该是（0，2），点D的坐标应该是（2，0）。

5、定点与定长线段点M、N在直线l同侧，请你在直线l上画出两点O、P，使得OP＝1cm，且MO＋OP＋PN的值最小。

（轴对称与平移的结合）【例题精讲一】例1：1、如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是（0，3）。

2、如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：（用直尺画图）（1）画出格点△ABC（顶点均在格点上）关于直线DE对称的△A1B1C1；（2）在DE上画出点P，使PB1＋PC最小；（3）在DE上画出点Q，使QA＋QC最小。

三条线段之和最小值问题三条线段之和最小值问题.重庆南开中学初2013级l1班周华吴朱泓郦0重庆南开中学初20i3级I2班王丁刘珈言.指导教师:张克近几年,中考数学试卷中出现了求三条线段之和最小值的试题.题目多变,风格清新,但万变不离其宗.下面举三例:霸(2009福建彰州改编)如图1,厶40B--450r腥厶4OB内一点.E图13(1)--角板绕点0旋转.acoFfl邑否成为等腰直角三角形?若能,指出所有情况(即给出ACO腥等腰直角三角形时B珀勺长);若不能,请说明理由.(2)---角板绕点0旋转,线段OE和0间有什么数量关系?用图l2或图13加以证明.(3)若将三角板的直角顶点放在斜边上的点P处(如图14),当:AC4时.和贿怎样的数量关系?证明你发现的结论222012/02图14CQ-..?..图1APO=IO,Q,R分别是,OB上的动点,求PQ+PR+RQ的最小值点跟角内部的一个定点.要在角的两边各确定一点使这三点连成的三角形周长最小.只需将这三边的和转化为以两定点为端点的藤(1)△c匕成为等腰直角三角形.包括:当点雕曰C中点时, CF=OF,曰÷;当点B与点腹合时,Z OF=oC.Bl0.(2)如图12,连结DB,则对于△OEB和△OFC.有OB=OC;OBE=/0CF--45..因为E0露+/--BOF=/-COF+L_BOF=90..所以/_EOB=C0F所以△D朋△OFC.所以DEl_D(图13的证明方法与此类似) (3)如图14,过点尸作肼上AB,垂足为.AM.PN_LBC.垂足为点因为厶EPM+厶EPN=厶EPN+/_FPN=90~. 所以厶EPM=FpN.叉因为EMP= FNP=90~.所以AEPM'-"AFPN.所以—PM—:丝.因为AAMP~APNC:BJPP}为等腰直角三角形,所~'XRt△PMA RtAPNC.所以:.又因为一AP pNPCAC一1所以一PE::三4PPC以上试题建立在三角板旋转的基础上.同学们在解题过程中通过实验操作,观察,猜想,论证,可发现图形(三角板)旋转过程中几何基本元素之间的数量关系.涉及的主要知识有三角形旋转后构造的重叠部分的面积,有关线段和角的数量关系(相等)或位置关系(垂直或平行),三角形全等与相似的判定和性质,直角三角形的性质和圆的有关内容.以上试题.突出体现了以下特点:第一.试题结合三角板的具体情境,考查了同学们对基本几何图形的形状,大小,位置关系及变换的认识, 对重要几何基本事实(核心概念)的理解和应用.第二,试题注重让同学们在应试过程中经历操作,观察,推理,想象等探索过程.强调在图形运动(重叠,旋转,平移)变化过程中研究几何图形的基本要素及其关系的能力.第三.试题更加突出"合情推理"与"演绎推理"相辅相成的关系.考查了同学们优化解题途径及方法的能力.囝一条直线即可.鬟分别作点P关于∞,OA的对称点尸I,P2,连结PlP2,根据轴对称性易知DP=OP2=OP=IO,PlO=2AOB=90.,因而P,=l0'2,故PQ+PR+RQ的最小值为10,/2.(2010福建宁德)如图2,四边形ABCD是正方形.&ABE是等边三角形,为对角线BD(不含B点)上任意一点,将嗍点逆时针旋转60o得到BN,连结EN,AM,CM.E.图2(1)求证:AAMB~AENB.(2)①当点臃何处时,AM+CM的值最小?②当点在何处时,A肘+8肘r+c的值最小?说明理由.(3)当AM+BM+CM的最小值为,/了+1时,求正方形的边长嘲易证△AAENB,以及△删为等边三角形.所以A肌BM+CM就可以转块氓EN+NM+CM. 而E,C两点已定,则连结EC,利用两点之间线段最短便可求解.(1)因为△A舾是等边三角形,所以=胞,ABE=f0~.因为MBN:而.致以厶MBN一/_ABN= 厶ABE～LABN.即LMBA=厶NBE. 又因为枷=.所以AAMB~AENB (SAS).(2)①当点M落在BD的中点时,AM+CM的值最小.(墓>如图3,连结佃.当点位于BD 与CE的交点处时.A删+C的值最小.理由如下:连结MN,由(1)知,△A△ENB.所以AM;叭因为MBN:而.MB=NB.纸,扶BMN足等边三角形.所以BM=MN.所以A肌BM+CM:EN+MN+CM.根据"雨点之间线段最短"得,当删+删+CM=EC时最短,所以当点位于BD与CE的交点处时,AMf+BM+CM~值最小即等于点的长.,AD(3)过点E作EF上BC交CB的延长线于点F.则LEBF--90.—60.=30..设正方形的边长为.~1BF=.,2E.在Rt△E中.因为E2EC:,所以+(孚)=(,/了十1),解得l=,/,X2一,/(舍去),所以正方形的边长为,/.黼辫(20l1四川南充)如图4.在等腰梯形ABCD中,AD//BC,AD= AB=CD=-2,LC=60~,幌BC的中点.(1)求证:AMDC~等边三角形.(2)将△c绕点旋转,当MD(即)与AB交于一点E,MC(即MC)同时与AD交于一点邝寸,点层.F 和点A构成AAEE试探究AAEF的周长是否存在最小值.如果不存在.请说明理由;如果存在,请计算出△A肼周长的最小值.BQMPC图4鳓(1)过点D作DPJ-Bc于点P,过点A作AQ_I_BCff-AQ,得到CP=BQ=÷B,CP+BQ=AB--AD.由矩形AD尸Q,AD=PQ,推I~BC=2AD.由拓展延伸点是BC的中点,推出BM=CM=AD= AB=CD.根据等边三角形的判定即可得到答案.(2)连结AM,由ABMD是菱形可得出AMAB.AMAD和AMCD是等边三角形.进而有胀ME证出△BMEAAMF'(ASA)后可得出占F,ME=MF,从而△璇等边三角形.根据的最小值为点J】If到AD的距离,/了,即的最小值是,/了.即可求出△AE肭周长.翻(1)过点D作DP~BC于点尸,过点A作口上C于点Q,因为lLC=LB=60.,所以CP=BQ=÷AB, CP+BQ--AB--AD.又因为ADPQ是矩形,AD=PQ,~k.BC=2AD.由已知,点妯C的中点.所以删=CM=AD=AB= CD.即在△MDC中,C=CD,C= 60..所以△c是等边三角形.(2)AAEF的周长存在最小值,理由如下:连结AM,由(1)易知平行四边形ABMD是菱形,△MAB, AMAD和AMCD是等边三角形.所以有BMA=BME+/AME=60.. EMF:厶AMF+厶AME=60o.所以BME=AMF.在△BME与△AMF 中,,EBM=FAM=60.,BME=AMF.致以BMEi△AMF(ASA).所.以BEF.ME= MF.A+AF=AE+砸丑因为厶EMF=LDMC=60o.故△EMF是等边三角形.E肼F因为MF的最小值为点到AD的距离.即的最小值是,/了.所以△A的周长=AE+AF+EF=ABEF.纸以△AEF的周长的最小值为2+.此类题的最大特点是找"替身"以实现"等量转化",主要途径是利用轴对称的性质和两点之间线段最短来求解.全等,等边三角形的性质等知识都是解决此类问题的得力助手.圜韧巾教学辅导23。

2017中考专题复习
----线段和的最小值问题
复习目标：1 题型归类触类旁通。

2 学会分析思考问题，实现问题的转化。

3 体会在解决问题过程中蕴含的数学思想，方法。

复习重点：求线段和的最小值。

复习难点：任何实现线段和的转化，从而解决问题。

核心知识点：1 轴对称。

2 两点之间线段最短。

3 垂线段最短。

复习过程：例1如图，已知C（1，0），直线Y=-X+7与两坐标轴分别交于A,B两点，D,E分别是AB,OA上的动点，求三角形CDE周长的最小值？（图见投影）
分析提示：解决问题的关键是利用轴对称找到满足条件的点的位置。

学生充分思考，探究后交流做法。

教师点评，强调。

例2 在三角形ABC中，角ABC=45度，BC=4,BD平分角ABC交AC于D,M,N分别是BD,BC上的动点，求CM+MN的最小值？（图见投影）
分析提示:把线段和转化成一条线段，再确定这条线段最短的位置。

学生思考探究，口答解法。

教师点评，归纳。

巩固提升：在扇形OAB中角AOB=90度，OA=6,C为OA中点，D是OB上一点，OD=5,P是弧AB上一动点，求PC+1/2PD的最小值？（图见投影）。

初中几何中线段和（差）的最值问题一、两条线段和的最小值。

基本图形解析： 一）、已知两个定点：1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA+PB 最小； （1）点A 、B 在直线m 两侧：（2）点A 、B 在直线同侧：A 、A ’ 是关于直线m 的对称点。

2、在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ，使PA+PQ+QB 最小。

（1）两个点都在直线外侧：m m BmABmn（2）一个点在内侧，一个点在外侧：（3）两个点都在内侧：（4）、台球两次碰壁模型nmnmnnnm变式一：已知点A 、B 位于直线m,n 的内侧，在直线n 、m 分别上求点D 、E 点，使得围成的四边形ADEB 周长最短.填空：最短周长=________________变式二：已知点A 位于直线m,n 的内侧, 在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点PA+PQ+QA 周长最短.二）、一个动点，一个定点：（一）动点在直线上运动：点B 在直线n 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ）1、两点在直线两侧：2、两点在直线同侧：（二）动点在圆上运动m nmnmnm点B 在⊙O 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、点与圆在直线两侧：2、点与圆在直线同侧：三）、已知A 、B 是两个定点，P 、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点，使得PA+PQ+QB 的值最小。

(原理用平移知识解) （1）点A 、B 在直线m 两侧：mmmm过A点作AC∥m,且AC长等于PQ长，连接BC,交直线m于Q,Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。

（2）点A、B在直线m同侧：练习题Q PQ1．如图，∠AOB =45°，P 是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值为．Q2、如图1，在锐角三角形ABC中，AB=4,∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M,N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值为．3、如图，在锐角三角形ABC中，AB=52，∠BAC=45，BAC的平分线交BC于D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是多少？4、如图4所示，等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AC 边上一点.若AE=2,EM+CM的最小值为 .5、如图3，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝4，AB＝5，BC＝6，点P是AB上一个动点，当PC＋PD的和最小时，PB的长为__________．6、如图4，等腰梯形ABCD中，AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，P是上底，下底中点EF 直线上的一点，则PA+PB的最小值为．7、如图5菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为．8、如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N 分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是9、如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为________cm．10、如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为11、如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．则PB+PE的最小值是12、如图6所示，已知正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，且DM=2，N是AC 上的一个动点，则DN+MN的最小值为．13、如图，正方形ABCD的边长是2，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值为．14、如图7，在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC 上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为 cm．（结果不取近似值）．15、如图，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，则PA+PC的最小值是．16、如图8，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为( )(A)2(B) (C)1 (D)2解答题1、如图9，正比例函数y=x的图象与反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知三角形OAM的面积为1.（1）求反比例函数的解析式；（2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P，使PA+PB最小.2、如图，一元二次方程x2+2x-3=0的二根x1，x2（x1＜x2）是抛物线y=ax2+bx+c 与x轴的两个交点B，C的横坐标，且此抛物线过点A（3，6）．（1）求此二次函数的解析式；（2）设此抛物线的顶点为P，对称轴与AC相交于点Q，求点P和点Q的坐标；（3）在x轴上有一动点M，当MQ+MA取得最小值时，求M点的坐标．3、如图10，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，），△AOB的面积是.（1）求点B的坐标；（2）求过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△AOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；4．如图，抛物线y ＝35x 2－185x ＋3和y 轴的交点为A ，M 为OA 的中点，若有一动点P ，自M 点处出发，沿直线运动到x 轴上的某点（设为点E ），再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点F ），最后又沿直线运动到点A ，求使点P 运动的总路程最短的点E ，点F 的坐标，并求出这个最短路程的长．5．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=AB=2，OC=3，过点B作BD⊥BC，交OA于点D．将∠DBC 绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于点E和F．（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）当BE经过（1）中抛物线的顶点时，求CF的长；（3）在抛物线的对称轴上取两点P、Q（点Q在点P的上方），且PQ＝1，要使四边形BCPQ 的周长最小，求出P、Q两点的坐标．6．如图，已知平面直角坐标系，A，B两点的坐标分别为A(2，－3），B(4，－1）若C(a，0)，D(a+3，0)是x轴上的两个动点，则当a为何值时，四边形ABDC的周长最短．7、如图11，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x 轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点.（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.二、求两线段差的最大值问题 (运用三角形两边之差小于第三边)基本图形解析：1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA 与PB 的差最大；（1）点A 、B 在直线m 同侧：解析：延长AB 交直线m 于点P ，根据三角形两边之差小于第三边，P ’A —P ’B ＜AB ，而PA —PB=AB 此时最大，因此点P 为所求的点。

斜大于直---一类线段最值的求法通常，我们把直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离。

经过探究我们得到一个事实：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。

即我们今天所要讲的内容“斜大于直”问题。

“斜大于直”问题在中考线段最值中考察较为广泛，即点到线的最短距离问题，常见的有单线段的最值，线段和的最小，系数不为1的线段和的最值（胡不归问题）等等。

如需加深难度通常将定点和定线隐藏处理即可。

本文将通过7大变式予以说明。

反思：①本题的关键在于确定△PEF的外心，利用等边三角形的特殊性将垂直平分线的交点转化为角平分线的交点，寻找到外心.
②发现外心为一定点，则转化为求定点到直线的最短距离问题，即垂线段最短（斜大于直）.。

初中几何中线段和（差）的最值问题一、两条线段和的最小值。

基本图形解析：（对称轴为：动点所在的直线上）一）、已知两个定点：1、在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；（1）点A、B在直线m两侧：（2）点A、B在直线同侧：A、A’是关于直线m的对称点。

2、在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。

（1）两个点都在直线外侧：（2）一个点在内侧，一个点在外侧：（3）两个点都在内侧：（4）、台球两次碰壁模型变式一：已知点A、B位于直线m,n 的内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，使得围成的四边形ADEB周长最短.填空：最短周长=________________变式二：已知点A位于直线m,n 的内侧, 在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA 周长最短.二）、一个动点，一个定点：（一）动点在直线上运动：点B在直线n上运动，在直线m上找一点P，使PA+PB最小（在图中画出点P和点B）1、两点在直线两侧：2、两点在直线同侧：（二）动点在圆上运动点B在⊙O上运动，在直线m上找一点P，使PA+PB最小（在图中画出点P和点B）1、点与圆在直线两侧：2、点与圆在直线同侧：三）、已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧,且PQ间长度恒定,在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。

(原理用平移知识解)（1）点A、B在直线m两侧：过A点作AC∥m,且AC长等于PQ长，连接BC,交直线m于Q,Q向左平移PQ长，即为P 点，此时P、Q即为所求的点。

（2）点A、B在直线m同侧：练习题1．如图，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR 周长的最小值为．2、如图1，在锐角三角形ABC中，AB=4,∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M,N 分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值为．3、如图，在锐角三角形ABC中，AB=BAC=45，BAC的平分线交BC于D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是多少4、如图4所示，等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AC边上一点.若AE=2,EM+CM的最小值为.5、如图3，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝4，AB＝5，BC＝6，点P是AB 上一个动点，当PC＋PD的和最小时，PB的长为__________．Q6、如图4，等腰梯形ABCD中，AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，P是上底，下底中点EF直线上的一点，则PA+PB的最小值为．7、如图5菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为．8、如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是9、如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为________cm．10、如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为11、如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．则PB+PE的最小值是12、如图6所示，已知正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，且DM=2，N是AC上的一个动点，则DN+MN的最小值为．13、如图，正方形ABCD的边长是2，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值为．14、如图7，在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为cm．（结果不取近似值）．15、如图，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，则PA+PC的最小值是．16、如图8，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为( )(A)2 (B) (C)1 (D)2解答题1、如图9，正比例函数y=x的图象与反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知三角形OAM的面积为1.（1）求反比例函数的解析式；（2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P，使PA+PB最小.2、如图，一元二次方程x2+2x-3=0的二根x1，x2（x1＜x2）是抛物线y=ax2+bx+c 与x轴的两个交点B，C的横坐标，且此抛物线过点A（3，6）．（1）求此二次函数的解析式；（2）设此抛物线的顶点为P，对称轴与AC相交于点Q，求点P和点Q的坐标；（3）在x轴上有一动点M，当MQ+MA取得最小值时，求M点的坐标．3、如图10，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，），△AOB的面积是.（1）求点B的坐标；（2）求过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△AOC的周长最小若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；4．如图，抛物线y ＝35x 2－185x ＋3和y 轴的交点为A ，M 为OA 的中点，若有一动点P ，自M 点处出发，沿直线运动到x 轴上的某点（设为点E ），再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点F ），最后又沿直线运动到点A ，求使点P 运动的总路程最短的点E ，点F 的坐标，并求出这个最短路程的长．5．如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，直角梯形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x轴的正半轴上，OA=AB=2，OC=3，过点B作BD⊥BC，交OA于点D．将∠DBC绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于点E和F．（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）当BE经过（1）中抛物线的顶点时，求CF的长；（3）在抛物线的对称轴上取两点P、Q（点Q在点P的上方），且PQ＝1，要使四边形BCPQ 的周长最小，求出P、Q两点的坐标．6．如图，已知平面直角坐标系，A，B两点的坐标分别为A(2，－3），B(4，－1）若C(a，0)，D(a+3，0)是x轴上的两个动点，则当a为何值时，四边形ABDC的周长最短．7、如图11，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y 轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点.（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.二、求两线段差的最大值问题 (运用三角形两边之差小于第三边)基本图形解析：1、在一条直线m上，求一点P，使PA与PB的差最大；（1）点A、B在直线m同侧：解析：延长AB交直线m于点P，根据三角形两边之差小于第三边，P’A—P’B＜AB，而PA —PB=AB此时最大，因此点P为所求的点。