求线段和的最小值

浅析用轴对称知识求线段和的最小值求线段和的最小值问题，在初中数学中经常会遇到，利用轴对称知识可以比较简单的解决。

我们先通过一个非常典型的例题来推导一个性质：一、性质推导例题：如图所示，在河岸L的一侧有两个村庄A、B，现要在河岸L上修建一个供水站，问供水站应建在什么地方，才能到A，B两村庄的距离之和最短？首先，我们来推导一个轴对称的性质，如图，作B点关于L的对称点B1, 在直线L上任意定一点M，连接B B1，BM，B1M，根据轴对称知识，我们可以求证BM＝B1M，所以，我们可以得出这样的性质：成轴对称的两个对应点到对称轴上任意一点的距离相等。

在该例题中，利用这一性质，我们可得出：点B到河岸L上任意点M的距离等于对称B1到点M的距离。

要使AM+ B1M最小，必须使A、M、B1三点共线，也就是说，必须使点M，与A B1连线和L的交点N重合，所以，河岸上的N点为到A、B的距离之和最小的点。

B1证明：M为L上的任意点因为BM＝B1M所以，BM+AM＝B1M+AM，而B1M+AM大于B1A，所以，结论成立二、应用1：在图（1）中，若A到直线L的距离AC是3千米，B到直线L的距离BD是1千米，并且CD的距离4千米，在直线L上找一点P，使PA+PB的值最小。

求这个最小值。

解：作出A1B（作法如上图）过A1点画直线L的平行线与BD的延长线交于H，在Rt△A1BH中，A1H=4千米，BH=4千米，用勾股定理求得A1B的长度为42千米，即PA+PB的最小值为42千米。

A1 Array2、如图（1），在直角坐标系XOY中，X轴上的动点M（x，0）到定点P（5，5）和到Q（2，1）的距离分别为MP和MQ，那么当MP+MQ取最小值时，点M的横坐标x=__________________。

解：如图（2），只要画出点Q关于x轴的对称点Q1（2，-1），连结PQ1 交x轴于点M，则M点即为所求。

点M的横坐标只要先求出经过PQ1两点的直线的解析式，（y=2x-5），令y=0，求得x=5/2。

求线段之和的最小值问题的常用方法嘿，咱今儿个就来唠唠求线段之和的最小值问题的那些常用法子！这可是数学里挺有意思的一块儿呢！你想想啊，就好像咱要在一个迷宫里找最短的路一样。

比如说，有两个固定的点 A 和 B，然后还有一条线，咱得找到从 A 到这条线再到B 的最短路径，这就是求线段之和最小值的一种常见情况。

先来说说对称法吧。

这就好比是给线段照镜子，通过找到某个点关于某条线的对称点，然后把问题转化一下，一下子就变得简单明了啦！就好像你本来要绕一大圈才能到的地方，突然发现有条捷径就在眼前。

再讲讲三角形三边关系法。

这就像是三根小棍儿，两边之和肯定得大于第三边呀，那咱就利用这个道理来找最小值。

就好比你知道走哪几条路组合起来最短，嘿，就是这么神奇！还有一种呢，就是利用一些特殊的几何图形的性质。

就像正方形、圆形之类的，它们都有自己独特的地方。

比如说在正方形里，对角线就是个很关键的线索，能帮咱找到那些最短的线段组合。

咱举个例子哈，想象有只小蚂蚁要从一个角落爬到另一个角落，但是中间有好多障碍，那咱就得开动脑筋，想想怎么让这小蚂蚁走最短的路呀！这时候这些方法就派上用场啦。

有时候啊，做这种题就跟玩游戏一样，一点点去探索，去发现其中的奥秘。

你得仔细观察题目中的条件，看看能不能找到那个关键的点或者线，然后运用合适的方法去求解。

哎呀，数学的世界就是这么奇妙！这些求线段之和最小值的方法就像是一把把钥匙，能打开各种难题的大门。

咱可得把这些宝贝方法好好记住，以后遇到问题就不怕啦！你说是不是？总之呢，求线段之和的最小值问题虽然有时候会让人觉得有点头疼，但只要咱掌握了这些常用方法，再加上一点点耐心和细心，那都不是事儿！相信自己，咱都能在数学的海洋里畅游，找到那些隐藏的宝藏！所以啊，别害怕这些问题，大胆去尝试，去探索，你会发现其中的乐趣无穷呢！。

例说利用几何变换求线段和的最小值作者：张海华潘从清来源：《教育界·中旬》2015年第05期新课程改革及新中考改革，都要求学生学会自主学习，尝试探疑，发现知识，寻找规律。

故近年各地中考热点之一是动手操作性的探索问题，即通过已知条件，结合数学经验，经过几何图形变换探索其内在联系，发现规律，得出结论。

利用几何变换求线段和的最小值，就属于此类题型。

本文结合具体的例子说明如何利用几何变换求线段和的最小值。

一、利用图形的对称变换1.求两条线段和的最小值例1.如图1已知AB为⊙O的直径，AB=4，OC⊥AB于O，点D在弧BC上，2倍的弧BD等于弧DC，点P是OB上一动点，则PC+PD的最小值为。

解析：由OC⊥AB于O知，延长CO交⊙O于点E，则点C、点E关于AB对称，连接DE交OB于P，则PC=PE，此时PC+PD=DE最小，连接DC，则∠CDE=90°，又因为2倍的弧BD等于弧DC，所以∠E=30°，则DE=CE·cos30°=4×=，则PC+PD的最小值为。

例2.（2004年黑龙江省中考试题）如图2，已知正方形ABCD的边长为8，点M在DC边上，且DM=2，N是AC上的动点，则DN+MN的最小值为。

解析：注意到正方形关于对角线AC对称性，连接BN、BM，则DN+MN=BN+MN≥BM （B、M、N共线时等号成立）。

又根据两点间线段最短知，当B、M、N共线时，DN+MN转化为线段BM，此时最短，由条件可得BM=10。

所以DN+MN的最小值为10。

2.求几条线段和的最小值例3.（初中数学奥林匹克竞赛教程）如图3，∠AOB=45°，角内有一点P，PO=10，两边上各有点Q、R（均不同于O），则△PQR周长的最小值为。

解析：作P关于OA、OB的对称点，根据对称性质可知PQ=P1Q，PR=P2R。

即求P1Q+QR+ P2R的最小值，由两点间直线距离最短，可知当Q、R分别为P1 P2与OA、OB的交点时，P1Q+QR+ P2R值最小。

线段差的最大值与线段和的最小值问题有关线段差的最大值与线段和的最小值问题的主要应用原理是：1、两点这间线段最短。

2、三角形的任意两边之和大于第三边（找和的最小值）。

3、三角形的任意两边之差小于第三边（找差的最大值）。

作图找点的关键：充分利用轴对称，找出对称点，然后，使三点在一条直线上。

即利用线段的垂直平分线定理可以把两条线段、三条线段、四条线段搬在同一条直线上。

证明此类问题，可任意另找一点，利用以上原理来证明。

一两条线段差的最大值：（1）两点同侧：如图，点P在直线L上运动，画出一点P，使︱PA－PB︱取最大值。

作法：连结AB并延长AB交直线L于点P。

点P即为所求。

︱PA－PB︱=AB证明：在直线L上任意取一点P。

，连结PA、PB，︱PA－PB︱＜ABp'（2两点异侧：如图，如图，点P在直线L上运动，画出一点P，使︱PA－PB︱取最大值。

作法：1、作B关于直线L的对称点B。

B2、连结AB并延长AB交直线L于点P。

点P即为所求。

︱PA－PB︱=AB证明：在直线L上任意取一点P。

，连结PA、PB、PB。

︱PA－PB︱=︱PA－PB︱＜AB（三角形任意两边之差小于第三边）二、两条线段和的最小值问题：（1））两点同侧：如图，点P在直线L上运动，画出一点P使P A＋PB取最小值。

（三角形的任意两边之和大于第三边（找和的最小值），P A＋PB=AB（2）两点异侧：如图，点P在直线L上运动，画出一点P使P A＋PB取最小值。

（两点之间线段最短）三、中考考点：08年林金钟老师的最后一题：如图，在矩形ABCO中，B（3，2），E（3，1），F（1，2）在X轴与Y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形EFNM的周长最小？若存在，请求出周长的最小值，若不存在，请说明理由。

提示：EF长不变。

即求F N＋NM＋MF的最小值。

利用E关于X轴的对称点E，F的对称点F，把这三条线段搬到同一条直线上。

一、以正方形为载体，求线段和的最小值例1. 如图1，四边形ABCD 是正方形，边长是4，E 是BC 上一点，且CE ＝1，P 是对角线BD 上任一点，则PE ＋PC 的最小值是_____________。

线段和的最小值问题一直以来，“线段和的最小值问题”是中考的热点和难点问题之一。

学生在这方面常常出现丢分，问题是找不到解题的突破口。

怎样解决这个突破口呢？本人把它们归结为两个“典型题型”进行“发散式”的概括和引申，是解决此类问题的一个捷径。

所谓“典型题型”，就是某些题例它不是公理或定理，却可以举一反三地运用于其他相关的系列问题解答。

下面就“线段和的最值”问题，运用两个“典型题型”的原命题进行探讨。

1.关于线段和的最小值问题例1：如图1所示，要在河边修建一个水站，向A、B区的居民提供自来水，水站应建在什么地方，才能使A、B区的居民到它的距离之和最短？本题的解答是：作出点B的轴对称点 ,连接交直线于点P，则点P就是所求的水站位置。

利用这一题例的结论，可以解决类似的关联题。

图1[ 类型1：]如图2，菱形ABCD的两条对角线的长分别是6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、AC的中点，则PM+PN的最小值是________。

分析：根据菱形的对称性，在AD上找出的M关于AC的对称点（即AD的中点）,连结交AC于P，则PM+PN的最小值就是线段的长，等于菱形的边长5. 图2[ 类型2：]如图3，MN是的直径，MN=2，点A在上，∠AMN=，B为弧AN的中点，P是直径MN上一个动点，则PA+PB的最小值是________。

分析：连结OA，由∠AMN=得∠AON=，取点B关于MN的对称点 ,连结 , ,则交MN于点P,则的长为PA+PB的最小值，且∠ ,即△为等腰直角三角形，故。

图3[ 类型3：]如图4，在等腰△ABC中，∠ABC=，点P是底边AC上一个动点，M、N分别是AB、BC的中点，若PM+PN的最小值为2，则△ABC的周长是（）。

A.2 B. C.4 D.分析：把等腰△ABC沿AC翻折可得一个菱形，由上面[类型：1]的解图4答可知，PM+PN的最小值就是菱形的边AB的长，故AB=2，由AB=BC=2,∠ABC=120°，易求得AC=，因此△ABC的周长是。

线段差的最大值与线段和的最小值问题有关线段差的最大值与线段和的最小值问题的主要应用原理是：1、两点这间线段最短。

2、三角形的任意两边之和大于第三边（找和的最小值）。

3、三角形的任意两边之差小于第三边（找差的最大值）。

作图找点的关键：充分利用轴对称，找出对称点，然后，使三点在一条直线上。

即利用线段的垂直平分线定理可以把两条线段、三条线段、四条线段搬在同一条直线上。

证明此类问题，可任意另找一点，利用以上原理来证明。

一两条线段差的最大值：（1）两点同侧：如图，点P 在直线L 上运动，画出一点P ，使︱PA －PB ︱取最大值。

作法：连结AB 并延长AB 交直线L 于点P 。

点P 即为所求。

︱PA －PB ︱=AB证明：在直线L 上任意取一点P 。

，连结PA 、PB ，︱PA －PB ︱＜AB（2两点异侧：如图，如图，点P 在直线L 上运动，画出一点P ，使︱PA －PB ︱取最大值。

作法：1、作B 关于直线L 的对称点B 。

2、连结AB 并延长AB 交直线L 于点P 。

点P 即为所求。

︱PA －PB ︱=AB证明：在直线L 上任意取一点P 。

，连结PA 、PB 、PB 。

︱PA －PB ︱=︱PA －PB ︱＜ABl p p'ABlpB'ABp'（三角形任意两边之差小于第三边）二、两条线段和的最小值问题：（1））两点同侧：如图，点P在直线L上运动，画出一点P使PA＋PB取最小值。

（三角形的任意两边之和大于第三边（找和的最小值），P A＋PB=ABABlpB'（2）两点异侧：如图，点P在直线L上运动，画出一点P使PA＋PB取最小值。

（两点之间线段最短）AlpB三、中考考点：08年林金钟老师的最后一题：如图，在矩形ABCO中，B（3，2），E（3，1），F（1，2）在X轴与Y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形EFNM的周长最小？若存在，请求出周长的最小值，若不存在，请说明理由。

最值问题3 线段和的最小值线段和的最小值在直线l上求一点+PB 值最小。

A、B在直线异侧“将军饮马”）作图在直线l上求一点PA+PB 值最小．平移型将军饮马作图在直线l上求两点M、N（M在左），使MN a，并使AM+MN+NB 的值最小.向右平单＇的对称点，点左个单位称两点之间线段最短．AM最小值为A造桥选址”作图原理直线m ∥ n ，在m 、分别求点M、NMN⊥m，且AM+MN+BN值最小。

在直线l1、l2 上分别求点、N，使△PMN 的周长最小．作图在直线l1、l2上分别求点M 、N ，使四边形PQMN周长最小。

作图A 为l1上一定点，B上；A 为l1上一定点，上一定点，在l2上求点在l1上求点N ，AM+MN+NB 的值最小．作图l1上求点A，在lB，使PA+AB值最小．1. (1)已知，如图△ABC为等边三角形，高AH=10cm，P为AH上一动点，D为AB 的中点，则PD+PB的最小值为______cm.(2)如图，在锐角△ABC中，AB=4，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N 分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是．(3)如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=62，点D，E分别是边BC，AC上的动点，则DA+DE的最小值为．(4)如图，在矩形ABCD中，AB=10，BC=5．若点M、N分别是线段AC，AB上的两个动点，则BM+MN的最小值为．（5）如图正方形ABCD的边长为6，E，F是对角线BD上的两个动点，且EF=22，连接CE，CF，则△CEF周长的最小值为．2. 如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）点M是抛物线对称轴上的一个动点，当MA+MC的值最小时，求点M的坐标及最小值．3. 如图，已知二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象与x轴交于点A、点B，交y轴于点C．（1）求直线BC的函数表达式；（2）如图，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当△BDC的面积最大时，在x轴上是否存在一点M，使△CPM的周长最小，若存在求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．y轴相交于点C，顶点为D（1）求出点A，B，D的坐标；（2）若线段OB在x轴上移动，且点O，B移动后的对应点为O′，B′．首尾顺次连接点O′、B′、D、C构成四边形O′′B′DC，请求出四边形O′B′DC的周长最小值．5．抛物线y=﹣x2﹣x+与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）如图1，连接CD，求线段CD的长；（2）如图2，点P是直线AC上方抛物线上一点，PF⊥x轴于点F，PF与线段AC交于点E；将线段OB沿x轴左右平移，线段OB的对应线段是O1B1，当PE+EC的值最大时，求四边形PO1B1C周长的最小值，并求出对应的点O1的坐标；y轴交于点C，已知点D（0，﹣）．（1）求直线AC的解析式；（2）如图1，P为直线AC上方抛物线上的一动点，当△PBD面积最大时，过P作PQ⊥x 轴于点Q，M为抛物线对称轴上的一动点，过M作y轴的垂线，垂足为点N，连接PM，NQ，求PM+MN+NQ的最小值．7. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2﹣x﹣与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点E（4，n）在抛物线上．（1）求直线AE的解析式；（2）点P为直线CE下方抛物线上的一点，连接PC，PE．当△PCE的面积最大时，连接CD，CB，点K是线段CB的中点，点M是CP上的一点，点N是CD上的一点，求KM+MN+NK 的最小值．8．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=﹣x2﹣x+交x轴于A，B两点，交y轴于点C，抛物线上一点D的横坐标为﹣5．（1）求直线BD的解析式；（2）点E是线段BD上的动点，过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当折线EF+BE最大时，在对称轴上找一点P，在y轴上找一点Q，连接QE、OP、PQ，求OP+PQ+QE的最小值．9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+x+3，分别交x轴于A、B两点，交y轴交于C点，顶点为D．（1）如图1，连接AD，R是抛物线对称轴上的一点，当AR⊥AD时，求点R的坐标；（2）在（1）的条件下．在直线AR上方，对称轴左侧的抛物线上找一点P，过P作PQ⊥x 轴，交直线AR于点Q，点M是线段PQ的中点，过点M作MN∥AR交抛物线对称轴于点N，当平行四边形MNRQ周长最大时，在抛物线对称轴上找一点E，y轴上找一点F，使得PE+EF+FA最小，并求此时点E、F的坐标．10. 抛物线y=﹣x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC．（1）如图1，求直线BC的表达式；（2）如图1，点P是抛物线上位于第一象限内的一点，连接PC，PB，当△PCB 面积最大时，一动点Q从点P从出发，沿适当路径运动到y轴上的某个点G 再沿适当路径运动到x轴上的某个点H处，最后到达线段BC的中点F处停止．求当△PCB面积最大时，点P的坐标及点Q在整个运动过程中经过的最短路径的长．。