2018-2019学年上海市建平中学高一上学期期中考试数学试题(解析版)

2018-2019学年上海市浦东新区建平中学高一（上）期中数学试卷一、填空题1．设全集∪＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{2，4，6}，则∁U A＝．2．不等式＜0的解集是．3．已知集合A＝{﹣1，0，2}，B＝{a2+1}，若B⊄A，则实数a的值为．4．用列举法写出集合A＝{y|y＝x2﹣1，x∈Z，|x|≤1}＝5．已知不等式x2﹣ax+b≤0的解集为[2，3]，则a+b＝6．命题“如果a≠0，那么a2＞0”的逆否命题为．7．已知集合A＝{（x，y）|y＝x+1，x∈R}，B＝{（x，y）|y＝3﹣x．x∈R}，则A∩B＝．8．若“x＞1”是“x≥a”的充分不必要条件，则a的取值范围为．9．已知集合A＝{x||x﹣1|≤1}，B＝{x|ax＝2}，若A∪B＝A，则实数a的取值集合为10．已知集合{x|（x﹣2）（x2﹣2x+a）＝0，x∈R}中的所有元素之和为2，则实数a的取值集合为．11．已知正实数x，y满足x+y＝1，则﹣的最小值是12．若不等式x+4≤a（x+y）对任意x＞0，y＞0恒成立，则a的取值范围是．二、选择题13．“x＞1”是“”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件14．若实数a、b满足条件a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．＜B．a2＞b2C．ab＞b2D．a3＞b315．设集合P＝{m|﹣1＜m≤0}，Q＝{m|mx2+2mx﹣1＜0}对任意x∈R恒成立，则P与Q的关系是（）A．P⊄Q B．Q⊄P C．P＝Q D．P∩Q＝∅16．已知集合A＝{1，2，3，…n）（n∈N*}，集合B＝{j1，j2，…j k）（k≥2，k∈N*）是集合A的子集，若1≤j1＜j2＜…＜j m≤n且j i+1﹣j i≥m（i＝1，2，……，k﹣1），满足集合B的个数记为n（k⊕m），则7（3⊕2）＝（）A．9B．10C．11D．12三、解答题17．已知x，y是实数，求证：x2+y2≥2x+2y﹣2．18．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣x﹣12＜0}，B＝{y|y＝，x∈R}，求A∩B，A∪（∁U B）．19．已知命题p：关于x的一元二次方程x2﹣2x+|m﹣2|＝0有两个不相等的实数根；命题q：关于x的一元二次方程x2﹣mx+|a+1|+|a﹣3|＝0对于任意实数a都没有实数根．（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；（2）若命题p和命题q中有且只有一个为真命题，求实数m的取值范围．20．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2≥0}，集合B＝{x|（1﹣m2）x2+2mx﹣1＜0，m∈R}．（1）当m＝2时，求集合∁R A和集合B；（2）若集合B∩Z为单元素集，求实数m的取值集合；（3）若集合（A∩B）∩Z的元素个数为n（n∈N*）个，求实数m的取值集合．21．已知集合P的元素个数为3n（n∈N*）个且元素为正整数，将集合P分成元素个数相同且两两没有公共元素的三个集合A、B、C，即P＝A∪B∪C，A∩B＝∅，A∩C＝∅，B∩C＝∅，其中A＝{a1，a2，…，a n}，B＝{b1，b2，…b n}，C＝{c1，c2，…，c n}．若集合A、B、C中的元素满足c1＜c2＜…＜c n，a k+b k＝c k，k＝1，2，…n，则称集合P为“完美集合”．（1）若集合P＝{1，2，3}，Q＝{1，2，3，4，5，6}，判断集合P和集合Q是否为“完美集合”？并说明理由；（2）已知集合P＝{1，x，3，4，5，6}为“完美集合”，求正整数x的值；（3）设集合P＝{x|1≤x≤3n，n≥2，n∈N*}①证明：集合P为“完美集合”的一个必要条件是n＝4k或n＝4k+1（k∈N*）②判断当n＝4时，集合P是否为“完美集合”，如果是，求出所有符合条件的集合C；如果不是，请说明理由．2018-2019学年上海市浦东新区建平中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试卷解析一、填空题1．【解答】解：全集∪＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{2，4，6}，则∁U A＝{1，3，5}．故答案为：{1，3，5}．2．【解答】解：∵＜0，∴（x﹣1）（x+2）＜0，解得：﹣2＜x＜1，故不等式的解集是（﹣2，1），故答案为：（﹣2，1）．3．【解答】解：若B⊂A，则①a2+1＝﹣1，a∈∅；②a2+1＝0，a∈∅；③a2+1＝2，a＝±1；∵B⊄A，∴a≠±1．故答案为：a≠±1．4．【解答】解：∵|x|≤1，且x∈Z；∴x＝﹣1，0，或1；∴x2＝0，或1；∴y＝﹣1，或0；∴A＝{﹣1，0}．故答案为：{﹣1，0}．5．【解答】解：不等式x2﹣ax+b≤0的解集为[2，3]，∴方程x2﹣ax+b＝0的实数根为2和3，∴，a＝5，b＝6；∴a+b＝11．故答案为：11．6．【解答】解：原命题“如果a≠0，那么a2＞0”，∴其逆否命题为：“若a2≤0，则a＝0”．故答案为：若a2≤0，则a＝0．7．【解答】解：A∩B＝{（x，y）|}＝{（1，2）}．故答案为：{（1，2）}．8．【解答】解：若“x＞1”是“x≥a”的充分不必要条件，则a≤1，故答案为：a≤19．【解答】解：A＝{x|0≤x≤2}，①B＝∅，a＝0，②B≠∅，B＝{}，0＜≤2，≥，∴a≥1，故实数a的取值集合为[1，+∞）∪{0}．故答案为：[1，+∞）∪{0}．10．【解答】解：∵集合{x|（x﹣2）（x2﹣2x+a）＝0，x∈R}中的所有元素之和为2，∴x2﹣2x+a＝0的解为x＝0或无解，∴a＝0或Δ＝4﹣4a＜0，解得a＞1．∴实数a的取值集合为{a|a＝0或a＞1}．故答案为：{a|a＝0或a＞1}．11．【解答】解：正实数x，y满足x+y＝1，则﹣＝＝＝（）[x+（y+1）]﹣4＝（5+）﹣4＝当且仅当且x+y＝1即y＝，x＝时取得最小值是/故答案为：12．【解答】解：∵不等式x+4≤a（x+y），x＞0，y＞0，∴a≥＝，令＝t＞0，可得：f（t）＝．f′（t）＝＝＝．可知：t＝时函数f（t）取得最大值，＝4．f（0）＝0．∴0＜f（t）≤4．∵不等式x+4≤a（x+y）对任意x＞0，y＞0恒成立，∴a的取值范围是a≥4．故答案为：[4，+∞）．二、选择题13．【解答】解：若x＞1，则0＜，则成立，即充分性成立，若当x＜0时，成立，但x＞1不成立，即必要性不成立，即“x＞1”是“”成立的充分不必要条件，故选：A．14．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A、a＝1，b＝﹣1时，有＞成立，故A错误；对于B、a＝1，b＝﹣2时，有a2＜b2成立，故B错误；对于C、a＝1，b＝﹣2时，有ab＜b2成立，故C错误；对于D、由不等式的性质分析可得若a＞b，必有a3＞b3成立，则D正确；故选：D．15．【解答】解：∵集合P＝{m|﹣1＜m≤0}，Q＝{m|mx2+2mx﹣1＜0}对任意x∈R恒成立，∴Q＝{m|﹣1＜m≤0}．∴P与Q的关系是P＝Q．故选：C．16．【解答】解：由题意可得n＝7，k＝3，m＝2，那么集合A＝{1，2，3，4，5，6，7}；集合B＝{j1，j2，j3}，1≤j1＜j2≤7，j i+1﹣j i≥2满足集合B的个数列罗出来，可得：{1，3，5}，{1，3，6}，{1，3，7}，{1，4，6}，{1，4，7}；{1，5，7}，{2，4，6}，{2，4，7}，{2，5，7}，{3，5，7}，故选：B．三、解答题17．【解答】证明：因为x2﹣2x+1＝（x﹣1）2≥0，可得x2≥2x﹣1，y2﹣2y+1＝（y﹣1）2≥0，可得y2≥2y﹣1，所以x2+y2≥2x+2y﹣2．18．【解答】解：A＝{x|﹣3＜x＜4}；∵x4+1≥2x2；∴；∴B＝{y|y≥2}；∴A∩B＝[2，4），∁U B＝{y|y＜2}；∴A∪（∁U B）＝（﹣∞，4）．19．【解答】解：（1）命题p：关于x的一元二次方程x2﹣2x+|m﹣2|＝0有两个不相等的实数根，可得Δ＝12﹣4|m﹣2|＞0，解得﹣1＜m＜5；（2）命题q：关于x的一元二次方程x2﹣mx+|a+1|+|a﹣3|＝0对于任意实数a都没有实数根，可得﹣x2+mx＝|a+1|+|a﹣3|，由|a+1|+|a﹣3|≥|a+1﹣a+3|＝4，可得﹣x2+mx﹣4≥0无实数解，可得Δ＝m2﹣16＜0，即﹣4＜m＜4，命题p和命题q中有且只有一个为真命题，可得或，即有4≤m＜5或﹣4＜m≤﹣1．20．【解答】解：集合A＝{x|x2﹣x﹣2≥0}＝{x|x≥2或x≤﹣1}，集合{x|（1﹣m2）x2+2mx﹣1＜0，m∈R}＝{x|[（1+m）x﹣1][（1﹣m）x+1]＜0}（1）当m＝2时，集合∁R A＝{x|﹣1＜x＜2}；集合B＝{x|x＞1或x＜}；（2）因为集合B∩Z为单元素集，且0∈B，所以，解得m＝0，当m＝0时，经验证，满足题意．故实数m的取值集合为{0}（3）集合（A∩B）∩Z的元素个数为n（n∈N*）个，等价于（1﹣m2）x2+2mx﹣1＜0在（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）上有整数解，所以令f（x）＝（1﹣m2）x2+2mx﹣1，依题意有1﹣m2≤0或或，解得m＜﹣或m＞0．21．【解答】解：（1）将P分为集合{1}、{2}、{3}，满足条件，是完美集合．将Q分成3个，每个中有两个元素，若为完美集合，则a1+b1＝c1、a2+b2＝c2，Q中所有元素之和为21，21÷2＝c1+c2＝10.5，不符合要求；（2）若集合A＝{1，4}，B＝{3，5}，根据完美集合的概念知集合C＝{6，7}，若集合A＝{1，5}，B＝{3，6}，根据完并集合的概念知集合C＝{4，11}，若集合A＝{1，3}，B＝{4，6}，根据完并集合的概念知集合C＝{5，9}，故x的一个可能值为7，9，11中任一个；（3）①证明：P中所有元素之和为1+2+…+3n＝＝a1+b1+c1+a2+b2+c2+…+a n+b n+c n＝2（c1+c2+…+c n﹣1+c n），∵c n＝3n，∴＝c1+c2+…+c n﹣1+3n，∴＝c1+c2+…+c n﹣1，等号右边为正整数，则等式左边9n（n﹣1）可以被4整除，∴n＝4k或n﹣1＝4k，即n＝4k或n＝4k+1；②p是完美集合，A＝{1，4，3，2}，B＝{6，5，8，10}，C＝{7，9，11，12}或A＝{1，2，4，3}，B＝{5，8，7，9}，C＝{6，10，11，12}或A＝{2，4，3，1}，B＝{6，5，7，11}，C＝{8，9，10，12}．。

建平中学高一期中数学卷一.填空题1.已知全集{}5,6,7,8,9U =，{}6,7,8A =，那么U A =ð________.2.不等式211x x +<-的解集是________.3.已知,a b R ∈，命题：若0ab ≠，则0a ≠且0b ≠的逆否命题是__．4.已知函数()222019,0,0x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，则()2f =________.5.若“x a >”是“5x >”的充分非必要条件，则实数a 的取值范围是________.6.若x 、y +∈R ，且4xy =，则4x y +的最小值是________.7.函数y =________.8.设函数()246,06,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，则不等式()3f x >的解集是________.9.若函数()f x =的定义域为R ，则实数m 的取值范围是______.10.已知集合2{|(2)10,}A x x a x x R =+++=∈，{|0,}B x x x =>∈R ，若A B ⋂=∅，则实数a 的取值范围是________．11.关于x 的不等式2315x x a a+--≤-的解集不是∅，则实数a 的取值范围为______.12.已知x 、y +∈R ，21x y +=，可以利用不等式1ax x +≥42ay y +≥()0a >求得14x y +的最小值，则其中正数a 的值是________.二.选择题13.对于集合M 、N ，若M NÜ，则下面集合的运算结果一定是空集的是（）A.U M NI ð B.U M Nð C.U UM N痧ID.M N⋂14.已知a ，b ，c 满足c b a <<，且0ac <，那么下列各式中不一定成立的是（）A.ab ac >B.()0c b a ->C.22cb ab < D.()0ac a c -<15.若集合{}2540A x x x =-+<，{}1B x x a =-<，则“()2,3a ∈”是“B A ⊆”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又不必要条件16.已知A 与B 是集合{}1,2,3,,100L 的两个子集，满足：A 与B 的元素个数相同，且A B ⋂为空集，若n A ∈时总有22n B +∈，则集合A B ⋃的元素个数最多为（）A.62B.66C.68D.74三.解答题17.解不等式组()()31150x x x ⎧->⎪⎨--≥⎪⎩.18.若0a >，0b >，求证：22b a a b a b+≥+.19.若()f x x=+，()()02x g x x-=，()()()F x f x g x =+.（1）分别求()f x 与()g x 的定义域；（2）求()F x 的定义域与值域；（3）在平面直角坐标系内画出函数()F x 的图象，并标出特殊点的坐标.20.设集合{}210A x x =-=，集合{}20,B x x ax b x R =-+=∈，且B ≠∅.（1）若B A ⊆，求实数a 、b 的值；（2）若A C ⊆，且{}21,21,C m m =-+，求实数m 的值.21.按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a 元，如果他卖出该产品的单价为m 元，则他的满意度为m m a +；如果他买进该产品的单价为n 元，则他的满意度为nn a+.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为1h 和2h 现假设甲生产A 、B 两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A 、B 两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A 、B 的单价分别为A m 元和B m 元，甲买进A 与卖出B 的综合满意度为h 甲，乙卖出A 与买进B 的综合满意度为h 乙(1)求h 甲和h 乙关于A m 、B m 的表达式；当35A B m m =时，求证：h 甲=h 乙；(2)设35A B m m =，当A m 、B m 分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？(3)记(2)中最大的综合满意度为0h ，试问能否适当选取A m 、B m 的值，使得0h h ≥甲和0h h ≥乙同时成立，但等号不同时成立？试说明理由．建平中学高一期中数学卷一.填空题1.已知全集{}5,6,7,8,9U =，{}6,7,8A =，那么U A =ð________.【答案】{}5,9【分析】根据补集的定义可得出集合U A ð.【详解】 全集{}5,6,7,8,9U =，{}6,7,8A =，由补集的定义可得{}5,9U A ð=.故答案为{}5,9.【点睛】本题考查补集的计算，考查对补集定义的理解，属于基础题.2.不等式2101x x +<-的解集是________.【答案】112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【分析】将分式不等式等价变形为()()2110x x +-<，解此不等式即可.【详解】不等式2101x x +<-等价于()()2110x x +-<，解得112x -<<，因此，不等式2101x x +<-的解集是112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭.故答案为112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭.【点睛】本题考查分式不等式的求解，考查运算求解能力，属于基础题.3.已知,a b R ∈，命题：若0ab ≠，则0a ≠且0b ≠的逆否命题是__．【答案】若0a =或0b =，则0ab =【分析】根据逆否命题的定义进行求解即可．【详解】由逆否命题定义可得原命题的逆否命题为：若0a =或0b =，则0ab =故答案为：若0a =或0b =，则0ab =.【点睛】本题主要考查四种命题的关系，掌握逆否命题的定义是解决本题的关键．4.已知函数()222019,0,0x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，则()2f =________.【答案】4-【分析】根据分段函数()y f x =的解析式可计算出()2f 的值.【详解】()222019,0,0x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩ ，()2224f ∴=-=-.故答案为4-.【点睛】本题考查分段函数值的计算，解题时要根据自变量所满足的定义域选择合适的解析式来进行计算，考查计算能力，属于基础题.5.若“x a >”是“5x >”的充分非必要条件，则实数a 的取值范围是________.【答案】()5,+∞【分析】根据充分非必要条件关系得出()(),5,a +∞+∞Ü，由此可得出实数a 的取值范围.【详解】 “x a >”是“5x >”的充分非必要条件，()(),5,a ∴+∞+∞Ü，则5a >.因此，实数a 的取值范围是()5,+∞.故答案为()5,+∞.【点睛】本题考查利用充分不必要条件求参数，一般转化为集合包含关系来求解，考查化归与转化思想的应用，属于基础题.6.若x 、y +∈R ，且4xy =，则4x y +的最小值是________.【答案】8【分析】直接利用基本不等式可求出4x y +的最小值.【详解】由基本不等式可得48x y +≥==，当且仅当4y x =时，等号成立.因此，4x y +的最小值为8.故答案为8.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，在利用基本不等式求最值时，也要注意“一正、二定、三相等”条件的成立，考查计算能力，属于基础题.7.函数y =________.【答案】()2,∞+【分析】根据偶次根式被开方数非负、分式中分母不为零，列出关于x 的不等式组，解出即可得出函数的定义域.【详解】由题意可得2102520x x x -≥⎧⎨-+>⎩，解得2x >.因此，函数y =的定义域是()2,∞+.故答案为()2,∞+.【点睛】本题考查具体函数定义域的求解，解题时要根据函数解析式有意义列不等式组进行求解，考查计算能力，属于基础题.8.设函数()246,06,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，则不等式()3f x >的解集是________.【答案】()()3,13,-+∞ 【分析】分0x ≥与0x <两种情况解不等式()3f x >，得出不等式的解集与定义域取交集，然后将两段解集取并集可得出()3f x >的解集.【详解】当0x ≥时，由()3f x >，得2463x x -+>，即2430x x -+>，解得1x <或3x >，此时，01x ≤<或3x >；当0x <时，由()3f x >，得63x +>，解得3x >-，此时，30x -<<.综上所述，不等式()3f x >的解集是()()3,13,-+∞ .故答案为()()3,13,-+∞ .【点睛】本题考查分段不等式的求解，解题时要注意对自变量的取值范围进行分类讨论，在得出不等式的解集后要注意与定义域取交集，考查运算求解能力，属于中等题.9.若函数()f x =的定义域为R ，则实数m 的取值范围是______.【答案】1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】由题意知，对任意的x R ∈，不等式()221940mx m x m ++++≥恒成立，然后分0m =和0m >⎧⎨∆≤⎩两种情况分析，由此可得出实数m 的取值范围.【详解】由题意可知，对任意的x R ∈，不等式()221940mx m x m ++++≥恒成立.①当0m =时，则有240x +≥，该不等式在R 上不恒成立；②当0m >时，由于不等式()221940mx m x m ++++≥在R 上恒成立，则()()()224149448210m m m m m ∆=+-+=⨯--+≤，即28210m m +-≥，解得12m ≤-或14m ≥，此时，14m ≥.因此，实数m 的取值范围是1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故答案为1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题考查利用函数的定义域求参数，解题的关键就是将问题转化二次不等式在R 上恒成立问题，利用首项系数和判别式的符号来进行求解，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.10.已知集合2{|(2)10,}A x x a x x R =+++=∈，{|0,}B x x x =>∈R ，若A B ⋂=∅，则实数a 的取值范围是________．【答案】4a >-【分析】根据A B ⋂=∅可知，A =∅或方程2(2)10x a x +++=只有非正根，由此可解得a 的范围.【详解】分A ≠∅和A =∅两种情况讨论．①当A ≠∅时，A 中的元素为非正数，A B ⋂=∅，即方程2(2)10x a x +++=只有非正数解，所以2(2)40,(2)0,a a ⎧∆=+-≥⎨-+≤⎩解得0a ≥；②当A =∅时，2(2)40a ∆=+-<，解得40a -<<．综上所述，实数a 的取值范围是4a >-．故答案为：4a >-【点睛】当A B ⋂=∅时，包含A ≠∅和A =∅两种情况，A =∅容易被忽略.11.关于x 的不等式2315x x a a +--≤-的解集不是∅，则实数a 的取值范围为______.【答案】(][),14,-∞+∞ 【分析】由题意知，存在x R ∈，使得2315x x a a +--≤-，然后利用绝对值三角不等式求出31x x +--的最小值4-，将问题转化为解不等式254a a -≥-，解出即可.【详解】由题意知，存在x R ∈，使得2315x x a a +--≤-，则()2min531a a x x -≥+--.由绝对值三角不等式得()()31314x x x x +--≤+--=，4314x x ∴-≤+--≤，()2min 5314a a x x ∴-≥+--=-，即2540a a -+≥，解得1a ≤或4a ≥.因此，实数a 的取值范围是(][),14,-∞+∞ .故答案为(][),14,-∞+∞ .【点睛】本题考查绝对值不等式成立问题，一般转化为绝对值不等式的最值问题，可利用绝对值三角不等式来得到，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.12.已知x、y +∈R ，21x y +=，可以利用不等式1ax x+≥42ay y +≥()0a >求得14x y +的最小值，则其中正数a 的值是________.【答案】9+【分析】利用两个基本不等式等号成立的条件得出x 、y 的表达式，代入21x y +=可求出实数a 的值.【详解】由基本不等式得1axx +≥()10,0ax x a x =>>时，即当x =.由基本不等式得42ay y +≥，当且仅当()420,0ay y a y =>>时，即当y=时，等号成立.此时，21x y+==1=+所以，(219a =+=+.故答案为9+【点睛】本题考查利用基本不等式求最值时等号成立的条件，求出对应的变量后，还应将变量代入定值条件求出参数，考查运算求解能力，属于中等题.二.选择题13.对于集合M 、N ，若M N Ü，则下面集合的运算结果一定是空集的是（）A.U M N I ð B.U M Nð C.U UM N痧ID.M N⋂【答案】A【分析】作出韦恩图，利用韦恩图来判断出各选项集合运算的结果是否为空集.【详解】作出韦恩图如下图所示：如上图所示，U M N =∅I ð，U M N ≠∅I ð，U UM N ≠∅I 痧，M N M =≠∅I .故选A.【点睛】本题考查集合的运算，在解题时可以充分利用韦恩图法来表示，考查数形结合思想的应用，属于基础题.14.已知a ，b ，c 满足c b a <<，且0ac <，那么下列各式中不一定成立的是（）A.ab ac >B.()0c b a ->C.22cb ab <D.()0ac a c -<【答案】C【分析】由已知可得0a >，0c <，再由不等式的基本性质逐一判断即可．【详解】解：因为c b a <<，且0ac <，所以0a >，0c <，对于A ，0a >，0b c ->，所以()0ab ac a b c -=->，所以ab ac >，故A 正确；对于B ，()0c b a ->，故B 正确；对于C ，当0b =时，22cb ab =，故C 错误；对于D ，0ac <，0a c ->，所以()0ac a c -<，故D 正确．故选：C ．15.若集合{}2540A x x x =-+<，{}1B x x a =-<，则“()2,3a ∈”是“B A ⊆”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又不必要条件【答案】A【分析】解出集合A 、B ，由B A ⊆得出关于a 的不等式组，求出实数a 的取值范围，由此可判断出“()2,3a ∈”是“B A ⊆”的充分非必要条件.【详解】解不等式2540x x -+<，解得14x <<，{}14A x x ∴=<<.解不等式1x a -<，即11x a -<-<，解得11a x a -<<+，{}11B x a x a ∴=-<<+.B A ⊆ ，则有1114a a -≥⎧⎨+≤⎩，解得23a ≤≤.因此，“()2,3a ∈”是“B A ⊆”的充分非必要条件.故选A【点睛】本题考查充分非必要条件的判断，一般将问题转化为集合的包含关系来判断，考查逻辑推理能力，属于中等题.16.已知A 与B 是集合{}1,2,3,,100L 的两个子集，满足：A 与B 的元素个数相同，且A B ⋂为空集，若n A ∈时总有22n B +∈，则集合A B ⋃的元素个数最多为（）A.62 B.66C.68D.74【答案】B【分析】令22100n +≤，解得49n ≤，从A 中去掉形如22n +的数，此时A 中有26个元素，注意A 中还可含以下7个特殊元素：10、14、18、26、32、42、46，故A 中元素最多时，A 中共有33个元素，由此可得出结论.【详解】令22100n +≤，解得49n ≤，所以，集合A 是集合{}1,2,3,,49L 的一个非空子集.再由A B ⋂=∅，先从A 中去掉形如()22n n N *+∈的数，由2249n +≤，可得23n ≤，492326-=，此时，A 中有26个元素.由于集合A 中已经去掉了4、6、8、12、16、20、22这7个数，而它们对应的形如22n +的数分别为10、14、18、26、32、42、46，并且10、14、18、26、32、42、46对应的形如22n +的数都在集合B 中.故集合A 中还可有以下7个特殊元素：10、14、18、26、32、42、46，故集合A 中元素最多时，集合A 中共有33个元素，对应的集合B 也有33个元素，因此，A B ⋃中共有66个元素.故选B.【点睛】本题考查集合中参数的取值问题，同时也考查了集合中元素的个数问题，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.三.解答题17.解不等式组()()31150x x x ⎧->⎪⎨--≥⎪⎩.【答案】[)(]1,24,5U 【分析】分别解出两个不等式，然后将两个不等式的解集取交集即可得出不等式组的解集.【详解】解不等式31x ->，即31x -<-或31x ->，解得2x <或>4x .解不等式()()150x x --≥，即()()150x x --≤，解得15x ≤≤.因此，不等式组()()31150x x x ⎧->⎪⎨--≥⎪⎩的解集为[)(]1,24,5U .【点睛】本题考查不等式组的解法，涉及绝对值不等式和一元二次不等式的求解，考查运算求解能力，属于基础题.18.若0a >，0b >，求证：22b a a b a b+≥+.【答案】证明见解析.【分析】将不等式两边做差，变形为多个因式的积或商的形式，判断每个因式的正负即可.【详解】2233()()b a a b a b ab a b a b ab ⎛⎫+-++-+= ⎪⎝⎭()222()()()a b a ab b ab a b a b ab ab+-+-+-==.0a > ，0b >，0a b +>2()()0a b a b ab+-∴≥，22()0b a a b a b ⎛⎫∴+-+≥ ⎪⎝⎭∴原式得证.19.若()f x x=+，()()02x g x x -=，()()()F x f x g x =+.（1）分别求()f x 与()g x 的定义域；（2）求()F x 的定义域与值域；（3）在平面直角坐标系内画出函数()F x 的图象，并标出特殊点的坐标.【答案】（1）()f x 的定义域为()0,∞+，()g x 的定义域为()()0,22,+∞U ；（2）()F x 的定义域是()()0,22,+∞U ，()F x 的值域是[)2,∞+；（3）图象见解析.【分析】（1）根据函数解析式有意义列不等式组，由此可得出函数()y f x =和()y g x =的定义域；（2）将函数()y f x =和()y g x =的定义域取交集可得出函数()y F x =的定义域，并求出函数()y F x =的解析式，利用基本不等式可得出函数()y F x =的值域；（3）根据双勾函数的图象可得出函数()y F x =在其定义域上的图象.【详解】（1）对于函数()f x x =+0x >，则函数()f x x =+的定义域为()0,∞+.对于函数()()02x g x x --=，有2000x x x -≠⎧⎪≥⎨⎪≠⎩，解得0x >且2x ≠，所以，函数()()02x g x x -=的定义域为()()0,22,+∞U ；（2）()()()11x x F x f x g x x x x x x-=+=++=+Q ，定义域为()()0,22,+∞U .由基本不等式可得()12F x x x =+≥=，当且仅当1x =时，等号成立.因此，函数()y F x =的值域为[)2,∞+；（3）函数()1F x x x=+，()()0,22,x ∈+∞U为双勾函数图象的一部分，如下图所示：【点睛】本题考查函数的定义域与值域的求解，同时也涉及到了函数图象的画法，解题时要熟悉几种常见的函数，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.20.设集合{}210A x x =-=，集合{}20,B x x ax b x R =-+=∈，且B ≠∅.（1）若B A ⊆，求实数a 、b 的值；（2）若A C ⊆，且{}21,21,C m m =-+，求实数m 的值.【答案】（1）2a =，1b =或2a =-，1b =或0a =，1b =-；（2）0m =或1m =.【分析】（1）解出集合{}1,1A =-，分集合{}1B =-、{}1、{}1,1-三种情况讨论，结合韦达定理可得出实数a 、b 的值；（2）由A C ⊆可得出211m +=或21m =，并利用集合C 中的元素满足互异性得出实数m 的值.【详解】（1）{}{}2101,1A x x =-==- ，B A ⊆ ，且B ≠∅，分以下三种情况讨论：①当{}1B =-时，由韦达定理得()212211a b =-⨯=-⎧⎪⎨=-=⎪⎩；②当{}1B =时，由韦达定理得212211a b =⨯=⎧⎨==⎩；③当{}1,1B =-时，由韦达定理得()()110111a b ⎧=+-=⎪⎨=⨯-=-⎪⎩.综上所述，2a =，1b =或2a =-，1b =或0a =，1b =-；（2）A C ⊆ ，且{}21,21,C m m =-+，211m ∴+=或21m =，解得0m =或1m =±.当0m =时，{}1,1,0C =-，集合C 中的元素满足互异性，合乎题意；当1m =-时，211m +=-，集合C 中的元素不满足互异性，舍去；当1m =时，{}1,3,1C =-，集合C 中的元素满足互异性，合乎题意.综上所述，0m =或1m =.【点睛】本题考查利用集合的包含关系求参数，同时也考查了一元二次方程根与系数的关系，解题时要注意有限集中的元素要满足互异性，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.21.按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a 元，如果他卖出该产品的单价为m 元，则他的满意度为m m a +；如果他买进该产品的单价为n 元，则他的满意度为n n a+.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为1h 和2h现假设甲生产A 、B 两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A 、B 两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A 、B 的单价分别为A m 元和B m 元，甲买进A 与卖出B 的综合满意度为h 甲，乙卖出A 与买进B 的综合满意度为h 乙(1)求h 甲和h 乙关于A m 、B m 的表达式；当35A B m m =时，求证：h 甲=h 乙；(2)设35A B m m =，当A m 、B m 分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？(3)记(2)中最大的综合满意度为0h ，试问能否适当选取A m 、B m 的值，使得0h h ≥甲和0h h ≥乙同时成立，但等号不同时成立？试说明理由．【答案】(1)见解析（2）即20,12B A m m ==时，甲乙两人同时取到最大的综合满意度为5.(3)不存在满足条件的A m 、B m 的值【详解】本小题主要考查函数的概念、基本不等式等基础知识，考查数学建模能力、抽象概括能力以及数学阅读能力．满分16分．(1)当35A B m m =时，h ==甲h ==乙,h 甲=h 乙（2）当35A B m m =时，h =甲由111[5,20][,]205B B m m ∈∈得，故当1120B m =即20,12B A m m ==时，甲乙两人同时取到最大的综合满意度为105．（3）（方法一）由（2）知：0h=5由05h h ≥=甲得：12552A B A B m m m m ++⋅≤，令35,,A B x y m m ==则1[,1]4x y ∈、，即：5(14)(1)2x y ++≤．同理，由得：5(1)(14)2x y ++≤另一方面，1[,1]4x y ∈、51414[2,5],11[,2],2x y x y 、、++∈++∈55(14)(1),(1)(14),22x y x y ++≥++≥当且仅当14x y ==，即A m =B m 时，取等号．所以不能否适当选取A m 、B m 的值，使得0h h ≥甲和0h h ≥乙同时成立，但等号不同时成立．。

上海市建平中学2018届高三上学期期中考试数学试题2017.11一.填空题1. 函数f (x) Tog2(x—3)的定义域是 ___________x _12. 若集合A ={x| 0}，则C R A二 ________x_33. 函数f (x)二sinx的零点是_________4 J!4. 已知二是第二象限角且cos ，则sin(二-')二__________5 42 1T5. 在扇形OAB中，中心角• AOB二幺，若弧AB的长为2二，则扇形OAB的面积为36. 函数y =sin(2x ')的单调递增区间为______________47. 函数f(x) =2cos2x sin2 x -1，x • ［0「］的值域为___________28. 函数f(x) =As in •‘X ( A .0，u >0 )在［0,二］上至少取到一次振幅，则频率的最小值为_________9. 已知函数f (x)满足：对任意a,b R，a中b，都有af (a) bf (b) af (b) bf (a)，则不等式f(|x|) ■ f(2x 1)的解集为______________Q *10. 若关于x的不等式x -axcos二x・4一0对任意N成立，则实数a的取值范围是11. 设函数f (x)、g(x)的定义域均为R，若对任意x1,x^ R，且x1：：：x2，具有f (x1^l f (x2)，则称函数f (x)为R上的单调非减函数，给出以下命题：①若f(x)关于点(a,0)和直线x=b( b=a)对称，则f (x)为周期函数，且2(b - a)是f(x)的一个周期；②若f(x)是周期函数，且关于直线X二a对称，则f(x)必关于无穷多条直线对称；③若f(x)是单调非减函数，且关于无穷多个点中心对称，则f(x)的图像是一条直线；④若f(x)是单调非减函数，且关于无穷多条平行于y轴的直线对称，则f (x)是常值函数；以上命题中，所有真命题的序号是___________12. 已知a1、a2、a3、a°与d、b?、R、是8个不同的实数，若方程|x—a1||x—a2||x—a3||x—a4|=|x—b1||x—b2||x— b3「|x — b4| 有有限多个解，则此方程的解最多有_________ 个3选择题13.将函数y =sin2x 的图像向左平移 二个单位，得到函数（）的图像4A. y =sin2xB. y=cos2xC. y =—sin 2xD. y = —cos2x14. 下列函数在其定义域上既是奇函数，又是增函数的是（15.下列关于充分必要条件的判断中，错误的是（）A. “ x • （0,二）”是“ sinx • — - 2 ”的充分条件2sin xB. “ a b _2 ”是“ ab _1 ”的必要条件 1C. “ x 0 ”是“ X • — _ 2 ”的充要条件xD. “ a 0， b • 0 ”是“ a b 2一 ab ”的非充分非必要条件16. 汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1升汽油行使的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆 汽车在不同速度下的燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）A. 消耗1升汽油，乙车最多可行使5千米B. 以相同速度行使相同路程，三辆车中， 甲车消耗汽油最多C. 甲车以80千米/小时的速度行使1小时, 消耗10升汽油D. 某城市机动车最高限速 80千米/小时, 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油三.解答题（1） 若cosB讨，求b 的值；（2） 若a =讦3，求 ABC 的面积的最大值A. y = lg(x . x -1)B.C.y =7^7 22-12D. y =2x1-2"17.在 ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为 cos A 二VHHI F ，1x 118.设函数 f(x)=4 -1 ( x_0 )的反函数为 f —(x), g(x^log 4(3x 1). (1 )求 f "(x)；(2)若函数h(x) =2g(x) - f 」(x)的图像与直线y =a 有公共点，求实数 a 的取值范围19.某工程队共有500人，要建造一段6000米的高速公路，工程需要把 500人分成两组, 甲组的任务是完成一段 4000米的软土地带，乙组的任务是完成剩下的 2000米的硬土地带, 据测算，软、硬土地每米的工程量是 30工(工为计量单位)和 40工.(1 )若平均分配两组的人数，分别计算两组完工的时间，并求出此时全队的筑路工期； (2 )如何分配两组的人数会使得全队的筑路工期最短？20.已知函数 f (x) = x | x 「a | bx ， a,b R .(1 )若a=0，判断f (x)的奇偶性，并说明理由; (2 )若b=0，求f(x)在［1,3］上的最小值;f (x) f (x) - g(x) 21.给定函数 f(x)、g(x)，定义 F(f(x),g(x)) .l g(x) f(x)<g(x)/、"口f (x)+g(x) + | f (x)—g(x) |(1)证明:F(f(x),g(x))：(2 )若 f(x) =si n2x-cosx ， g(x) =si n2x cosx ，证明：F (f (x), g(x))是周期函数; (3)若 f(x)=A t Si n “X ，in 2x ， A=0，- - 0 , i =1,2，证明：f (x) • g(x)是周期函数的充要条件是为有理数.(3)若 b0， 且 f(x)二a 2b 2有三个不同实根,十的取值范围.填空题三.解答题精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

上海市高一上学期数学期中考试试卷一、单选题1.如图，为全集，、、是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（）A. B. C . D.【答案】C【考点】交、并、补集的混合运算【解析】【解答】图中的阴影部分是：M∩P的子集，不属于集合S，属于集合S的补集即是C I S的子集则阴影部分所表示的集合是（M∩P）∩∁I S故答案为：C．【分析】根据集合的运算结合韦恩图，即可确定阴影部分所表示的集合.2.下列各组函数中，表示同一函数的是（）A. 与B. 与C. 与D. （）与（）【答案】D【考点】判断两个函数是否为同一函数【解析】【解答】对于A选项，，f（x）的定义域为R，g（x）的定义域为[0，+∞），∴不是同一函数；对于B选项的定义域为的定义域为∴不是同一函数；对于C选项，f（0）=-1，g（0）=1，f（0）≠g（0），∴不是同一函数．对于B选项，f（x）的定义域为，g（x）的定义域为，且且两函数解析式化简后为同一解析式，∴是同一函数.故答案为：D.【分析】判断两个函数是否表示同一个，看定义域和对应关系是否相同即可.3.已知，则“ ”是“ ”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】由题意可知：a，b∈R+，若“a2+b2＜1”则a2+2ab+b2＜1+2ab+a2•b2，∴（a+b）2＜（1+ab）2∴ab+1＞a+b．若ab+1＞a+b，当a=b=2时，ab+1＞a+b成立，但a2+b2＜1不成立．综上可知：“a2+b2＜1”是“ab+1＞a+b”的充分不必要条件．故答案为：A．【分析】根据不等式的性质，结合充分、必要条件的概念进行判断即可.4.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行使的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下得燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）A. 消耗1升汽油，乙车最多可行使5千米B. 以相同速度行使相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C. 甲车以80千米/小时的速度行使1小时，消耗10升汽油D. 某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油【答案】D【考点】函数的图象【解析】【解答】对于A，消耗升汽油，乙车行驶的距离比千米小得多，故错；对于B, 以相同速度行驶相同路程，三辆车中甲车消耗汽油最少，故错；对于C, 甲车以千米/小时的速度行驶小时，消耗升汽油, 故错；对于D,车速低于千米/小时，丙的燃油效率高于乙的燃油效率，用丙车比用乙车量多省油，故对.故答案为：D.【分析】根据图象的实际意义，对选项逐一判断即可.二、填空题5.函数的定义域为________【答案】【考点】函数的定义域及其求法【解析】【解答】由题意得，即定义域为【分析】要使函数有意义，应满足分式的分母不为0，偶次根式被开方数非负，解不等式组即可求出函数的定义域.6.已知集合，，则________【答案】【考点】交集及其运算【解析】【解答】由题集合集合故.故答案为.【分析】通过求函数的定义域求出集合A，通过求二次函数的值域求出集合B，根据交集的含义求出相应的集合即可.7.不等式的解集是________【答案】【考点】其他不等式的解法【解析】【解答】不等式，则故答案为.【分析】通过作差，将分式不等式转化为整式不等式，解相应的一元二次不等式即可求不相应的解集. 8.“若且，则”的否命题是________【答案】若或，则【考点】四种命题【解析】【解答】“若且，则”的否命题是“若或，则”.即答案为：若或，则【分析】将原命题的条件和结论都进行否定，即可得到否命题.9.已知，则的取值范围是________【答案】【考点】简单线性规划【解析】【解答】作出所对应的可行域，即（如图阴影），目标函数z=a-b可化为b=a-z，可看作斜率为1的直线，平移直线可知，当直线经过点A（1，-1）时，z取最小值-2，当直线经过点O（0，0）时，z取最大值0，∴a-b的取值范围是，故答案为：．【分析】作出可行域及目标函数相应的直线，平移直线即可求出相应的取值范围.10.若，，且，则的取值范围是_________【答案】【考点】集合关系中的参数取值问题【解析】【解答】由题，，且，当时，，则；当时，，则可得故的取值范围是.【分析】通过解绝对值不等式表示出集合A，将集合之间的关系转化为区间端点值的大小比较，即可求出实数a的取值范围.11.若关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是________ 【答案】【考点】不等式的综合【解析】【解答】略【分析】对二次项系数的取值分类讨论，当系数为0时，求出a值，直接验证符合题意；当二次项系数不为0时，开口向下，判别式小于0，解不等式组即可求出实数a的取值范围.12.若函数，则________【答案】【考点】函数解析式的求解及常用方法【解析】【解答】设,则则即即答案为.【分析】采用换元法，求出函数f（x）的表达式，代入即可求出f（2x+1）.13.若关于的不等式在上恒成立，则实数的最小值是__【答案】【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】【解答】∵关于的不等式在上恒成立，∴，∵x＞，∴，当且仅当，即时取等号，∴，∴，解得，，∴实数a的最小值为．故答案为．【分析】将不等式恒成立问题进行转化，结合基本不等式求出相应式子的最值，即可求出实数a的最小值.14.已知函数，（），若不存在实数使得和同时成立，则的取值范围是________【答案】【考点】其他不等式的解法【解析】【解答】由f（x）＞1，得＞1，化简整理得，解得即的解集为A={x|-2＜x＜-1或2＜x＜3}．由g（x）＜0得x2-3ax+2a2＜0，即（x-a）（x-2a）＜0，g（x）＜0的解集为B={x|2a＜x＜a，a＜0}．由题意A∩B=∅，因此a≤-2或-1≤2a＜0，A的取值范围是{a|a≤-2或- ≤a＜0}．即答案为.【分析】分别解相应的不等式，结合不等式的解集即可确定实数a的取值范围.15.当时，可以得到不等式，，，由此可以推广为，则________【答案】【考点】归纳推理【解析】【解答】∵x∈R+时可得到不等式，∴在p位置出现的数恰好是分母的指数的指数次方即答案为.【分析】根据已知式子归纳猜想，得到相应的关系即可确定P.16.已知数集（，）具有性质：对任意、（），与两数中至少有一个属于集合，现给出以下四个命题：①数集具有性质；②数集具有性质；③若数集具有性质，则；④若数集（）具有性质，则；其中真命题有________（填写序号）【答案】②③④【考点】元素与集合关系的判断【解析】【解答】①数集中，，故数集不具有性质；②数集满足对任意、（），与两数中至少有一个属于集合，故数集具有性质；③若数列A具有性质P，则a n+a n=2a n与a n-a n=0两数中至少有一个是该数列中的一项，∵0≤a1＜a2＜…＜a n，n≥3，而2a n不是该数列中的项，∴0是该数列中的项，∴a1=0；故③正确；④当 n=5时，取j=5，当i≥2时，a i+a5＞a5，由A具有性质P，a5-a i∈A，又i=1时，a5-a1∈A，∴a5-a i∈A，i=1，2，3，4，5∵0=a1＜a2＜a3＜a4＜a5，∴a5-a1＞a5-a2＞a5-a3＞a5-a4＞a5-a5=0，则a5-a1=a5， a5-a2=a4， a5-a3=a3，从而可得a2+a4=a5， a5=2a3， A2+a4=2a3，即答案为②③④.【分析】根据集合中元素的特点，结合集合中元素的互异性，逐一判断即可确定真命题个数.三、解答题17.设集合，集合.（1）若“ ”是“ ”的必要条件，求实数的取值范围；（2）若中只有一个整数，求实数的取值范围.【答案】（1）解：若“ ”是“ ”，则B⊆A，∵A={x|-1≤x≤2}，①当时，B={x|2m ＜x＜1}，此时-1≤2m＜1⇒；②当时，B=∅，有B⊆A成立；③当时B=∅，有B⊆A成立；；综上所述，所求m的取值范围是（2）解：∵A={x|-1≤x≤2}，∴∁R A={x|x＜-1或x＞2}，①当时，B={x|2m＜x＜1}，若∁R A∩B中只有一个整数，则-3≤2m＜-2，得②当m当时，不符合题意；③当时，不符合题意；综上知，m的取值范围是-【考点】集合关系中的参数取值问题【解析】【分析】（1）根据必要条件的概念，将集合的关系转化为端点值比较大小，即可求出实数m的取值范围；（2）根据交集、补集的概念，结合区间端点值的大小关系，即可求出实数m的取值范围.18.若“ ，求证：”除了用比较法证明外，还可以有如下证法：（当且仅当时等号成立），学习以上解题过程，尝试解决下列问题：（1）证明：若，，，则，并指出等号成立的条件；（2）试将上述不等式推广到（）个正数、、、、的情形，并证明. 【答案】（1）解：，∴，当且仅当时等号成立（2）解：故.当且仅当时等号成立【考点】归纳推理，类比推理【解析】【分析】（1）根据题干中证法及不等式的性质，结合基本不等式，即可证明相应的不等式成立；（2）根据具体例子，归纳推广即可证明相应的不等式.19.某公司有价值10万元的一条流水线，要提高该流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，改造就需要投入，相应就要提高产品附加值，假设附加值万元与技术改造投入万元之间的关系满足：①与和的乘积成正比；②当时，；③，其中为常数，且.（1）设，求出的表达式，并求出的定义域；（2）求出附加值的最大值，并求出此时的技术改造投入的的值.【答案】（1）解：设，当时，可得k=4，∴∴定义域为，t为常数，（2）解：因为定义域中函数在上单调递减，故.【考点】函数解析式的求解及常用方法，二次函数的性质【解析】【分析】（1）根据题意，采用待定系数法，设出表达式，求出相应的系数，即可得到f（x）机器定义域；（2）采用配方法，结合二次函数的单调性，求出函数的最大值即可.20.设数集由实数构成，且满足：若（且），则.（1）若，试证明中还有另外两个元素；（2）集合是否为双元素集合，并说明理由；（3）若中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合.【答案】（1）证明：若x∈A，则又∵2∈A，∴∵-1∈A，∴∴A中另外两个元素为，（2）解：，，，且，，，故集合中至少有3个元素，∴不是双元素集合（3）解：由，，可得，所有元素积为1，∴，、、，∴.【考点】元素与集合关系的判断【解析】【分析】（1）将x=2代入，即可求出集合A中的另外两个元素；（2）根据集合中元素的特点，确定集合A中至少有三个元素；（3）设出集合中相应的元素，结合元素之和，即可求出集合A.21.已知，设，，（，为常数）.（1）求的最小值及相应的的值；（2）设，若，求的取值范围；（3）若对任意，以、、为三边长总能构成三角形，求的取值范围.【答案】（1）解：。

2018-2019学年度建平中学高一年级期中考数学试卷一. 填空题1. 已知全集{1,2,3,4,5,6}U =，集合{2,4,6}A =，则U A =ð2. 不等式102x x -<+的解集为 3. 已知集合{1,0,2}A =-，2{1}B a =+，若B A ，则实数a 的值为4. 用列举法写出集合2{|1,,||1}A y y x x x ==-∈≤=Z5. 已知不等式20x ax b -+≤的解集为[2,3]，则a b +=6. 命题“如果0a ≠，那么20a >”的逆否命题为7. 已知集合{(,)|1,}A x y y x x ==+∈R ，{(,)|3,}B x y y x x ==-∈R ，则A B =8. 已知“1x >”是“x a ≥”的充分非必要条件，则a 的取值范围是9. 已知集合{||1|1}A x x =-≤，{|2}B x ax ==，若A B A = ，则实数a 的取值集合为10. 已知集合2{|(2)(2)0,}x x x x a x --+=∈R 中的所有元素之和为2，则实数a 的取值集 合为11. 已知正实数x 、y 满足1x y +=，则141y x y -+的最小值是12. 若不等式()x a x y +≤+对任意0x >，0y >恒成立，则a 的取值范围是二. 选择题13. “1x >”是“11x<”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件14. 设a 、b ∈R ，a b >，则下列不等式一定成立的是（ ） A. 11a b< B. 22a b > C. 2a ab > D. 33a b > 15. 设集合{|10}P m m =-<≤，2{|210Q m mx mx =+-<对任意x ∈R 恒成立}，则P 与Q 的关系是（ ）A. P Q B. Q P C. P Q = D. P Q =∅16. 已知集合{1,2,3,,}A n =⋅⋅⋅()n ∈*N ，集合12{,,,}k B j j j =⋅⋅⋅(2,)k k ≥∈*N 是集合A 的子集，若121m j j j n ≤<<⋅⋅⋅<≤且1i i j j m +-≥(1,2,,1)i k =⋅⋅⋅-，满足集合B 的个数记为()n k m ⊕，则7(32)⊕=（ ）A. 9 B. 10 C. 11 D. 12三. 解答题17. 已知x 、y 是实数，求证：22222x y x y +≥+-.18. 已知全集U =R ，集合2{|120}A x x x =--<，421{|,}x B y y x x+==∈R ， 求A B ，()U A B ð.19. 已知命题p ：关于x 的一元二次方程2|2|0x m -+-=有两个不相等的实数根，命题q ：关于x 的一元二次方程2|1||3|0x mx a a -+++-=对于任意实数a 都没有实数根.（1）若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若命题p 和命题q 中有且只有一个为真命题，求实数m 的取值范围.20. 已知集合2{|20}A x x x =--≥，集合22{|(1)210,}B x m x mx m =-+-<∈R .（1）当2m =时，求集合A R ð和集合B ；（2）若集合B Z 为单元素集，求实数m 的取值集合；（3）若集合()A B Z 的元素个数为n ()n ∈*N 个，求实数m 的取值集合.21. 已知集合P 的元素个数为3n ()n ∈*N 个且元素为正整数，将集合P 分成元素个数相同且两两没有公共元素的三个集合A 、B 、C ，即P A B C = ，A B =∅ ，A C =∅ ，B C =∅ ，其中12{,,,}n A a a a =⋅⋅⋅，12{,,,}n B b b b =⋅⋅⋅，12{,,,}n C c c c =⋅⋅⋅. 若集合A 、B 、C 中的元素满足12n c c c <<⋅⋅⋅<，k k k a b c +=，1,2,,k n =⋅⋅⋅，则称集合P 为“完美集合”.（1）若集合{1,2,3}P =，{1,2,3,4,5,6}Q =，判断集合P 和集合Q 是否为“完美集合”？并说明理由；（2）已知集合{1,,3,4,5,6}P x =为“完美集合”，求正整数x 的值；（3）设集合{|13,2,}P x x n n n =≤≤≥∈*N ，① 证明：集合P 为“完美集合”的一个必要条件是4n k =或41n k =+()k ∈*N ；② 判断当4n =时，集合P 是否为“完美集合”，如果是，求出所有符合条件的集合C ，如果不是，请说明理由.2018-2019学年度建平中学高一年级期中考数学试卷2018.11参考答案一. 填空题1. {1,3,5}；2. (2,1)- ；3. 1±；4. {1,0}-；5. 11；6. 如果20a ≤，则0a = ；7. {(1,2)}；8. 1a ≤；9. {0}[1,)+∞ ； 10. {0}(1,)+∞ ； 11.12； 12. 4a ≥； 二. 选择题13. A 14. D 15. C 16. B三. 解答题17. 22(1)(1)0x y -+-≥. 18. (3,4)A =-，[2,)B =+∞，(,2)U B =-∞ð，[2,4)A B = ，()(,4)U A B =-∞ ð.19.（1）(1,5)-；（2）命题q ：44m -<<，∴范围为(4,1][4,5)-- .20.（1）(1,2)A =-R ð，1(,)(1,)3B =-∞+∞ ；（2）{0}；（3）略.21.（1）P 是，Q 不是；（2）7、9、11；（3）略.。

上海市建平中学2019—2019 学年度高三第一学期期中考试数学试题（理科）2019.11.12一、填空题：本题有 14 小题，每小题 4 分，共 56 分1．已知集合 U 1，2, 3, 4, 5 , A 2，4 ，B4，5 ，则 AC U B2．函数 y x 2 的递减区间为3．已知 zC ，且 f ( z) z 1，则 f (i)x, x 0 z 14．函数 yyx 2 , x 的反函数是5．已知圆的极坐标方程为2sin，则圆心的极坐标为x 2 4t6．已知直线 l 的方程为1 ，则直线 l 的斜率为y 3t7．设函数 y a xb(a 0, a 1) 的图象过点 1, 2 ，函数 y log b ( xa)(b 0, b 1) 的图像过点 0 , 2 ,则 a b 等于8．若不等式 x 1 1 a 的解集非空，则整数 a 的最小值是9．函数 y a 1 x (a 0， a 1) 的图象恒过定点 A ，若点 A 在直线 mx ny 1 0 上，则 m 2 n 的最小值为10．已知关于 x 的方程lg (x 2 2x 11) t 1 0 有实数解，则实数 t 的范围是11．已知 f (x)(2a 1)x 4a x 1 ,) 上的减函数，那么 a 的取值范围是log a x是 (12xx 1 x) 02019 2019．若关于 的方程 f (2008x) f ( a恰有 个根，且所有根的和为，则实数 a 的值 为．13．已知函数 f ( x)1 x，规定：anmf ( 1) f ( 2) f ( 3)f (m) (n, m N ) ，xn nn n且 S n m a 1m a 2m a n m (n, m N ) ，则 S 20102010 的值是14．若存在实数a R ，使得不等式 x x ab 0 对于任意的 x [0,1] 都成立，则实数 b 的取值范围是二、选择题：本题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分15．不等式1 1的解集是（）A ． ( x 2B ． (2,, 2) ) C ． (0, 2) D ． ( ,0) (2, )16．若 y f ( x) 是定义在 R 上的函数，则 “f (0) 0 ”是 “y f ( x) 是奇函数 ”的（）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件17．满足方程 f (x) x 的根 x 0 称为函数 yf (x) 的不动点，设函数 y f (x) ， y g(x) 都有不动点，则 下列陈述正确的是（）A ． y f ( g(x)) 与 yf (x) 具有相同数目的不动点B ． y f ( g(x)) 一定有不动点C ． yf (g( x)) 与 y g( x) 具有相同数目的不动点D ． y f (g( x)) 可以无不动点18．函数f1x 1 x ， f2 x 1 | x | ， f3 x 1 x ， f4 x 1 | x | 的图像分别是点集C1，C2，C3，C4，这些图像关于直线x = 0 的对称曲线分别是点集D1，D2，D3，D4，现给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（）① D1 D2 ② D1∪ D3 = D 2∪ D4 ③ D4 D3 ④ D1∩ D 3 = D2∩ D4A．① ③B．① ②C．② ④D．③ ④三、解答题：（本题共有 5 道大题，满分78 分），解答下列各题必须写出必要的步骤．19．（本题满分14 分）本题共 2 小题，第 1 小题6 分，第 2 小题8 分已知关于t 的方程t 2 2t a 0 一个根为 1 3i ． a R（ 1）求方程的另一个根及实数 a 的值；（ 2）若x a m2 3m 6 在x (0, ) 上恒成立，试求实数m 的取值范围．x20．（本题满分14分）本题共 2 小题，第 1 小题 7 分，第2 小题 7 分如图在长方体 ABCD －A1B1C1 D1 中，AD 1 ，AB= 2 ，点E 是棱AB 上的动点．AA 1（ 1）若异面直线AD1与EC所成角为600，试确定此时动点 E 的位置；（ 2）求三棱锥C－DED1的体积． D1 C1A1B1D CA E B21．（本题满分 16 分）本题共 2 小题，第 1 小题 8 分，第 2 小题 8 分某投资公司计划投资 A 、 B 两种金融产品，根据市场调查与预测， A 产品的利润 y 与投资量 x 成正 比例，其关系如图 1， B 产品的利润 y 与投资量 x 的算术平方根成正比例，其关系如图 2，（注：利润与投 资量单位：万元）（ 1）分别将 A 、 B 两产品的利润表示为投资量的函数关系式；（ 2）该公司已有 10 万元资金，并全部投入 A 、 B 两种产品中，问：怎样分配这10 万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？yy0.3 2.4 0.21.6o11.5 xo49x图 1图 222．（本题满分 16 分）本题共 3 个小题，第 1 小题 4 分，第 2 小题 6 分，第 3 小题 6 分已 知 函 数 f xlog 1 x 1 ， 当 点 P ( x 0， y 0 ) 在 y f (x)的 图 像 上 移 动 时 ， 点2Q (x 0t 1 在函数 yg(x) 的图像上移动。

2018-2019学年上海市上海中学高一上学期期中考试数学试题一、单选题1．已知集合，则中元素的个数为A．9 B．8 C．5 D．4【答案】A【解析】分析：根据枚举法，确定圆及其内部整点个数.详解：，当时，；当时，；当时，；所以共有9个，选A.点睛：本题考查集合与元素关系，点与圆位置关系，考查学生对概念理解与识别. 2．已知实数x，y，则“”是“”的（）A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】找出与所表示的区域，再根据小范围推大范围可得结果．【详解】表示的区域是以为顶点的正方形及内部，表示的区域是以为圆心，1为半径的圆及内部，正方形是圆的内接正方形，，推不出，“”是“”的充分而不必要条件．故选：B．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，考查了不等式组表示的区域，考查了推理能力，属于中档题．3．设，，且，则（）A．B．C．D．以上都不能恒成立【答案】A【解析】利用反证法可证得，进而由可得解.【详解】利用反证法：只需证明，假设，则：所以：，但是，故：，，．所以：与矛盾．所以：假设错误，故：，所以：，故选：A．【点睛】本题考查的知识要点：反证法的应用，关系式的恒等变换，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题型．4．对二次函数（为非零常数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是（）A．是的零点B．1是的极值点C．3是的极值D．点在曲线上【答案】A【解析】若选项A错误时，选项B、C、D正确，，因为是的极值点，是的极值，所以，即，解得：，因为点在曲线上，所以，即，解得：，所以，，所以，因为，所以不是的零点，所以选项A错误，选项B、C、D正确，故选A．【考点定位】1、函数的零点；2、利用导数研究函数的极值．二、填空题5．已知集合，用列举法表示集合______．【答案】0，1，【解析】先由x的范围推出y的范围，然后从中取整数即可．【详解】因为，，即，又，，，，，，，故答案为：0，1，【点睛】本题考查了集合的表示法属基础题．6．设集合，集合，则______．【答案】【解析】根据交集定义求出即可．【详解】，，故答案为：．【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．7．能说明“若a﹥b，则”为假命题的一组a，b的值依次为_________.【答案】（答案不唯一）【解析】分析：举出一个反例即可．详解：当时，不成立，即可填．点睛：本题考查不等式的性质等知识，意在考查学生的数学思维能力．8．集合，，若，则a的取值范围是______．【答案】【解析】先求出集合A，根据，即可求出a的取值范围．【详解】，，若，则，故答案为：．【点睛】本题主要考查集合子集关系的应用，利用不等式的解法以及数轴是解决此类问题的关键．9．命题“若，则且”的逆否命题是______．【答案】若或,则【解析】试题分析：原命题：若则。

上海市建平中学2018-2019学年上学期高三期中数学模拟题 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 若集合,则= ( )ABC D2． 若{}n a 为等差数列，n S 为其前项和，若10a >，0d <，48S S =，则0n S >成立的最大自 然数为（ ）A ．11B ．12C ．13D ．14 3． 设a ，b ∈R ，i 为虚数单位，若2＋a i1＋i ＝3＋b i ，则a －b 为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．04． 已知集合A={x ∈Z|（x+1）（x ﹣2）≤0}，B={x|﹣2＜x ＜2}，则A ∩B=（ ） A ．{x|﹣1≤x ＜2} B ．{﹣1，0，1} C ．{0，1，2}D ．{﹣1，1}5． 已知实数[1,1]x ∈-，[0,2]y ∈，则点(,)P x y 落在区域20210220x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪-+⎩……… 内的概率为（ ）A.34B.38C.14D.18【命题意图】本题考查线性规划、几何概型等基础知识，意在考查数形结合思想及基本运算能力. 6． 已知全集为R ，且集合}2)1(log |{2<+=x x A ，}012|{≥--=x x x B ，则)(B C A R 等于（ ） A ．)1,1(- B ．]1,1(- C ．)2,1[ D ．]2,1[【命题意图】本题考查集合的交集、补集运算，同时也考查了简单对数不等式、分式不等式的解法及数形结合的思想方法，属于容易题.7． 设函数()y f x =对一切实数x 都满足(3)(3)f x f x +=-，且方程()0f x =恰有6个不同的实根，则这6个实根的和为（ ）A.18B.12C.9D.0【命题意图】本题考查抽象函数的对称性与函数和方程等基础知识，意在考查运算求解能力.8． 已知2,0()2, 0ax x x f x x x ⎧+>=⎨-≤⎩，若不等式(2)()f x f x -≥对一切x R ∈恒成立，则a 的最大值为（ ）A ．716-B ．916-C ．12-D ．14-9． 函数()2cos()f x x ωϕ=+（0ω>，0ϕ-π<<）的部分图象如右图所示，则 f （0）的值为（ ） A.32-B.1-C.D.【命题意图】本题考查诱导公式，三角函数的图象和性质，数形结合思想的灵活应用. 10．已知角α的终边经过点(sin15,cos15)-，则2cos α的值为（ ）A．12+B．12 C. 34 D ．0 11．已知,,a b c 为ABC ∆的三个角,,A B C 所对的边，若3cos (13cos )b C c B =-，则sin :sin C A =（ ）A ．2︰3B ．4︰3C ．3︰1D ．3︰2 【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理，意在考查转化能力、运算求解能力．12．已知实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+≤-5342y x y x x y ，若目标函数mx y z -=取得最大值时有唯一的最优解)3,1(，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1-<mB ．10<<mC ．1>mD ．1≥m【命题意图】本题考查了线性规划知识，突出了对线性目标函数在给定可行域上最值的探讨，该题属于逆向问题，重点把握好作图的准确性及几何意义的转化，难度中等.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．若函数63e ()()32ex x bf x x a =-∈R 为奇函数，则ab =___________． 【命题意图】本题考查函数的奇偶性，意在考查方程思想与计算能力．14．在ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，若1cos 2c B a b ⋅=+，ABC ∆的面积12S c =， 则边c 的最小值为_______．【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、基本不等式等基础知识，意在考查基本运算能力．15．已知,0()1,0x e x f x x ì³ï=í<ïî，则不等式2(2)()f x f x ->的解集为________．【命题意图】本题考查分段函数、一元二次不等式等基础知识，意在考查分类讨论思想和基本运算能力． 16．三角形ABC中，2,60AB BC C ==∠=，则三角形ABC 的面积为 .三、解答题（本大共6小题，共70分。

建平中学高一期中数学试卷2018.11一.填空题1.已知全集{1,2,3,4,5,6}U =，集合{2,4,6}A =，则U A =ð2.不等式102x x -<+的解集为3.已知集合{1,0,2}A =-，2{1}B a =+，若B A ，则实数a 的值为4.用列举法写出集合2{|1,,||1}A y y x x x ==-∈≤=Z5.已知不等式20x ax b -+≤的解集为[2,3]，则a b +=6.命题“如果0a ≠，那么20a >”的逆否命题为7.已知集合{(,)|1,}A x y y x x ==+∈R ，{(,)|3,}B x y y x x ==-∈R ，则A B = 8.已知“1x >”是“x a ≥”的充分非必要条件，则a 的取值范围是9.已知集合{||1|1}A x x =-≤，{|2}B x ax ==，若A B A = ，则实数a 的取值集合为10.已知集合2{|(2)(2)0,}x x x x a x --+=∈R 中的所有元素之和为2，则实数a 的取值集合为11.已知正实数x 、y 满足1x y +=，则141yx y -+的最小值是12.若不等式()x a x y +≤+对任意0x >，0y >恒成立，则a 的取值范围是二.选择题13.“1x >”是“11x <”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件14.设a 、b ∈R ，a b >，则下列不等式一定成立的是（）A.11a b < B.22a b > C.2a ab > D.33a b >15.设集合{|10}P m m =-<≤，2{|210Q m mx mx =+-<对任意x ∈R 恒成立}，则P 与Q 的关系是（）A.P QB.Q PC.P Q =D.P Q =∅16.已知集合{1,2,3,,}A n =⋅⋅⋅()n ∈*N ，集合12{,,,}k B j j j =⋅⋅⋅(2,)k k ≥∈*N 是集合A 的子集，若121m j j j n ≤<<⋅⋅⋅<≤且1i i j j m +-≥(1,2,,1)i k =⋅⋅⋅-，满足集合B 的个数记为()n k m ⊕，则7(32)⊕=（）A.9 B.10 C.11 D.12三.解答题17.已知x 、y 是实数，求证：22222x y x y +≥+-.18.已知全集U =R ，集合2{|120}A x x x =--<，421{|,}x B y y x x +==∈R ，求A B ，()U A B ð.19.已知命题p ：关于x 的一元二次方程2|2|0x m -+-=有两个不相等的实数根，命题q ：关于x 的一元二次方程2|1||3|0x mx a a -+++-=对于任意实数a 都没有实数根.（1）若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若命题p 和命题q 中有且只有一个为真命题，求实数m 的取值范围.20.已知集合2{|20}A x x x =--≥，集合22{|(1)210,}B x m x mx m =-+-<∈R .（1）当2m =时，求集合A R ð和集合B ；（2）若集合B Z 为单元素集，求实数m 的取值集合；（3）若集合()A B Z 的元素个数为n ()n ∈*N 个，求实数m 的取值集合.21.已知集合P 的元素个数为3n ()n ∈*N 个且元素为正整数，将集合P 分成元素个数相同且两两没有公共元素的三个集合A 、B 、C ，即P A B C = ，A B =∅ ，A C =∅ ，B C =∅ ，其中12{,,,}n A a a a =⋅⋅⋅，12{,,,}n B b b b =⋅⋅⋅，12{,,,}n C c c c =⋅⋅⋅.若集合A 、B 、C 中的元素满足12n c c c <<⋅⋅⋅<，k k k a b c +=，1,2,,k n =⋅⋅⋅，则称集合P 为“完美集合”.（1）若集合{1,2,3}P =，{1,2,3,4,5,6}Q =，判断集合P 和集合Q 是否为“完美集合”？并说明理由；（2）已知集合{1,,3,4,5,6}P x =为“完美集合”，求正整数x 的值；（3）设集合{|13,2,}P x x n n n =≤≤≥∈*N ，①证明：集合P 为“完美集合”的一个必要条件是4n k =或41n k =+()k ∈*N ；②判断当4n =时，集合P 是否为“完美集合”，如果是，求出所有符合条件的集合C ，如果不是，请说明理由.参考答案一.填空题1.{1,3,5}2.(2,1)-3.1±4.{1,0}-5.116.如果20a ≤，则0a =7.{(1,2)}8.1a ≤9.{0}[1,)+∞ 10.{0}(1,)+∞ 11.1212.4a ≥二.选择题13.A14.D 15.C 16.B 三.解答题17.22(1)(1)0x y -+-≥.18.(3,4)A =-，[2,)B =+∞，(,2)U B =-∞ð，[2,4)A B = ，()(,4)U A B =-∞ ð.19.（1）(1,5)-；（2）命题q ：44m -<<，∴范围为(4,1][4,5)-- .20.（1）(1,2)A =-R ð，1(,)(1,)3B =-∞+∞ ；（2）{0}；（3）略.21.（1）P 是，Q 不是；（2）7、9、11；（3）略.。

2018-2019学年上海市浦东新区建平中学高三（上）期中数学试卷副标题一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.已知实数x，y满足a x<a y(0<a<1)，则下列关系式恒成立的是()A. 1x2+1>1y2+1B. ln(x2+1)>ln(y2+1)C. sin x>sin yD. x3>y3【答案】D【解析】解：∵实数x，y满足a x<a y(0<a<1)，∴x>y，A.取x=2，y=−1，不成立；B.取x=0，y=−1，不成立C.取x=π，y=−π，不成立；D.由于y=x3在R上单调递增，因此正确故选：D．实数x，y满足a x<a y(0<a<1)，可得x>y，对于A.B.C分别举反例即可否定，对于D：由于y=x3在R上单调递增，即可判断出正误．本题主要考查函数值的大小比较，利用不等式的性质以及函数的单调性是解决本题的关键．2.已知点A(−2,0)、B(3,0)，动点P(x,y)满足PA⋅PB=x2，则点P的轨迹是()A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线【答案】D【解析】解：∵动点P(x,y)满足PA⋅PB=x2，∴(−2−x,−y)⋅(3−x,−y)=x2，∴(−2−x)(3−x)+y2=x2，解得y2=x+6．∴点P的轨迹方程是抛物线．故选：D．由题意知(−2−x,y)⋅(3−x,y)=x2，化简可得点P的轨迹．本题考查点的轨迹方程，解题时要注意公式的灵活运用．3.已知数列{a n}是公比为q(q≠1)的等比数列，则数列：①{2a n}；②{a n2}；③{1a n2}；④{a n a n+1}；⑤{a n+a n+1}；等比数列的个数为()A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】解：数列{a n}是公比为q(q≠1)的等比数列，则①2a n+12a n=2a n+1−a n，不是等比数列；②a n +12a n2=q 2；③{1a n2}是公比为1q 2的等比数列；④{a n a n +1}是公比为q 2的等比数列；⑤{a n +a n +1}不一定是等比数列，例如(−1)n ．综上：等比数列的个数为3． 故选：B ．利用等比数列的定义通项公式即可得出．本题考查了等比数列的定义通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4. 设函数f 1(x )=x 2，f 2(x )=2(x −x 2)，f 3(x )=13|sin2πx |，a i =i99，i =0，1，2，…，99.记I k =|f k (a 1)−f k (a 0)|+|f k (a 2)−f k (a 1)丨+⋯+|f k (a 99)−f k (a 98)|，k =1，2，3，则( ) A. I 1<I 2<I 3 B. I 2<I 1<I 3 C. I 1<I 3<I 2 D. I 3<I 2<I 1 【答案】B【解析】解：由|(i99)2−(i−199)2|=199×2i−199，故I 1=199(199+399+599+⋯+2×99−199)=199×99299=1，由2|i99−i−199−(i 99)2+(i−199)2|=2×199|99−(2i−1)99|，故I 2=2×199×58(98+0)2×99=9899×10099<1，I 3=1[||sin2π⋅1|−|sin2π⋅0||+||sin2π⋅2|−|sin2π⋅1||+⋯+||sin2π⋅99|−|sin2π⋅9899||] =13(2sin2π⋅2599−2sin2π⋅7499)>1，故I 2<I 1<I 3， 故选：B ．根据记I k =|f k (a 1)−f k (a 0)|+|f k (a 2)−f k (a 1)丨+⋯+|f k (a 99)−f k (a 98)|，分别求出I 1，I 2，I 3与1的关系，继而得到答案本题主要考查了函数的性质，关键是求出这三个数与1的关系，属于难题．二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5. 设函数f (x )= π(x 2−5)x ≥1cos x x <1，则f (f (2))=______【答案】−1【解析】解：∵函数f (x )= π(x 2−5)x ≥1cos x x <1， ∴f (2)=π(4−5)=−π，f (f (2))=f (−π)=cos(−π)=cos π=−1． 故答案为：−1．推导出f (2)=π(4−5)=−π，从而f (f (2))=f (−π)=cos(−π)=cos π，由此能求出结果．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.在各项为实数的等比数列{a n}中，a5+8a2=0，则公比q的值为______【答案】−2【解析】解：∵a5+8a2=0，∴a2q3+8a2=0，即q3=−8，解得q=−2．故答案为：−2．由等比数列的性质知q3=−8，从而解得．本题考查了等比数列的性质，属于基础题．7.若m=(1,2)，n=(−2,1)，p=(cosα,sinα)，m⋅p=3n⋅p，则tanα=______【答案】7【解析】解：因为m⋅p=(1,2)⋅(cosα,sinα)=cosα+2sinα，3n⋅p=3(−2,1)⋅(cosα,sinα)=−6cosα+3sinα，∴cosα+2sinα=−6cosα+3sinα，∴sinα=7cosα，tanα=7，故答案为：7．利用向量的数量积和三角函数同角公式可得．本题考查了平面向量数量积的性质及其运算.属基础题．8.设集合A={x|x2−2x≥0}，B={x|2x−1≤1}，则(∁R A)∩B=______【答案】(0,1]【解析】解：集合A={x|x2−2x≥0}={x|x≤0或x≥2}，集合B={x|2x−1≤1}={x|x−1≤0}={x|x≤1}，∴∁R A={x|0<x<2}，∴(∁R A)∩B={x|0<x≤1}=(0,1]．故答案为：(0,1]．化简集合A、B，根据补集与交集的定义计算即可．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．9.某校邀请5位同学的父母共10人中的4位来学校介绍经验，如果这4位来自4个不同的家庭，那么不同的邀请方案的种数是______【答案】80【解析】解：分步进行：第一步：从5个家庭中选出4个家庭，有C54=5种；第二步：从选出的4个家庭的每个家庭的父母亲中选出1位来，有C21×C21×C21×C21= 16；根据分步计数原理得：不同的邀请方案的种数数：5×16=80．故答案为：80．用分步计数原理：①从5个家庭中选4个家庭；②从每个家庭中选出1个.然后相乘可得．本题考查了排列、组合及简单计数问题，属基础题．10.从原点O向圆x2+y2−12y+27=0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为______．【答案】2π【解析】解：把圆的方程化为标准方程为：x2+(y−6)2=9，得到圆心C的坐标为(0,6)，圆的半径r=3，由圆切线的性质可知，∠CBO=∠CAO=90∘，且AC=BC=3，OC=6，则∠AOB=∠BOC+∠AOC=60∘，所以∠ACB=120∘，所以该圆夹在两条切线间的劣弧长l=120∘π×3180∘=2π．故答案为：2π把圆的方程化为标准方程后，找出圆心C的坐标和圆的半径r，根据AC与BC为圆的半径等于3，OC的长度等于6，利用直角三角形中一直角边等于斜边的一半得到角AOB 等于2×30∘，然后根据四边形的内角和定理求出角BCA的度数，然后由角BCA的度数和圆的半径，利用弧长公式即可求出该圆夹在两条切线间的劣弧长．此题考查学生掌握直线与圆相切时所满足的条件，掌握直角三角形的性质，灵活运用弧长公式化简求值，是一道综合题．11.已知数列{a n}的前n项和S n满足：对于任意m，n∈N∗，都有S n+S m=S n+m+2mn，若a1=1，则a2018=______【答案】−4033【解析】解：根据题意，在S n+S m=S n+m+2mn中，令m=1可得：S n+S1=S n+1+2n，又由a1=1，即S1=a1=1，则有S n+1=S n+1+2n，变形可得：S n+1−S n=1−2n，则a2018=S2018−S2017=1−2×2017=−4033；故答案为：−4033．根据题意，在S n+S m=S n+m+2mn中，用特殊值法分析：令m=1可得：S n+S1=S n+1+2n，变形可得S n+1−S n=1−2n，再令n=2018计算可得答案．本题考查数列的递推公式，注意特殊值法分析数列的递推公式，属于中档题．12.已知函数f(x)的定义域为R，当x<0时，f(x)=x3−1；当−1≤x≤1时，f(−x)=−f(x)；当x>12时，f(x+12)=f(x−12)，则f(6)=______．【答案】2【解析】解：∵当x>12时，f(x+12)=f(x−12)，∴当x>12时，f(x+1)=f(x)，即周期为1．∴f(6)=f(1)，∵当−1≤x≤1时，f(−x)=−f(x)，∴f(1)=−f(−1)，∵当x<0时，f(x)=x3−1，∴f(−1)=−2，∴f(1)=−f(−1)=2，∴f(6)=2；故答案为：2求得函数的周期为1，再利用当−1≤x≤1时，f(−x)=−f(x)，得到f(1)=−f(−1)，当x<0时，f(x)=x3−1，得到f(−1)=−2，即可得出结论．本题考查函数值的计算，考查函数的周期性，考查学生的计算能力，属于中档题．13.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(−∞,0]上单调递增，若实数a满足f(log2|a−1|)>f(−2)，则a的取值范围是______【答案】(3,34)∪(54,5)【解析】解：根据题意，f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(−∞,0]上单调递增，则f(x)在[0,+∞)上为减函数，则f(log2|a−1|)>f(−2)⇒f(|log2|a−1||)>f(2)⇒|log2|a−1||<2⇒−2<log2|a−1|<2，变形可得：14<|a−1|<4，解可得：−3<a<34或54<x<5；即不等式的解集为(−3,34)∪(54,5)；故答案为：(−3,34)∪(54,5)．根据题意，分析可得f(x)在[0,+∞)上为减函数，结合函数的奇偶性分析可得f(log2|a−1|)>f(−2)可以转化为−2<log2|a−1|<2，解可得a的取值范围，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意分析函数在[0,+∞)上的单调性，属于基础题．14.在锐角三角形ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，a2+b2=6ab cos C，则tan C1tan B−tan C1tan A=______【答案】4【解析】解：在锐角三角形ABC中，∵a2+b2=6ab cos C=6ab⋅a2+b2−c22ab，∴c2=23(a2+b2).则tan C1tan B−tan C1tan A=tan Ctan A+tan Ctan B=tan C(1tan A+1tan B)=sin Ccos C⋅(cos Asin A+cos Bsin B)=sin Ccos C⋅sin(A+B) sin A sin B =sin C⋅sin Csin A sin B cos C=c2ab⋅a2+b2−c2=2c2a+b−c=4，故答案为：4．由题意利用余弦定理可得c2=23(a2+b2)，再利用行列式的运算、同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．本题主要考查余弦定理、同角三角函数的基本关系，行列式的运算，属于中档题．15.已知关于x的一元二次不等式ax2+2x+b>0的解集为{x|x≠c}，则a2+b2+7a+c(其中a+c≠0)的取值范围为______．【答案】(−∞,−6]∪[6,+∞)【解析】解：根据关于x的一元二次不等式ax2+2x+b>0的解集为{x|x≠c}，可得a>0，对应的二次函数的图象的对称轴为x=−1a=c，△=4−4ab=0，∴ac=−1，ab=1，∴c=−1a ，b=1a．则a2+b2+7a+c =(a−b)2+9a−b=(a−b)+9a−b，当a−b>0时，由基本不等式求得(a−b)+9a−b≥6，当a−b<0时，由基本不等式求得−(a−b)−9a−b ≥6，即(a−b)+9a−b≤−6故a2+b2+7a+c(其中a+c≠0)的取值范围为：(−∞,−6]∪[6,+∞)，故答案为：(−∞,−6]∪[6,+∞)．由条件利用二次函数的性质可得ac=−1，ab=1，再根据则a2+b2+7a+c =(a−b)+9a−b，利用基本不等式求得它的范围．本题主要考查二次函数的性质，基本不等式的应用，属于中档题．16.若定义域均为D的三个函数f(x)，g(x)，ℎ(x)满足条件：对任意x∈D，点(x,g(x)与点(x,ℎ(x)都关于点(x,f(x)对称，则称ℎ(x)是g(x)关于f(x)的“对称函数”.已知g(x)=1−x2，f(x)=2x+b，ℎ(x)是g(x)关于f(x)的“对称函数”，且ℎ(x)≥g(x)恒成立，则实数b的取值范围是______．【答案】[+∞)【解析】解：解：∵x∈D，点(x,g(x))与点(x,ℎ(x))都关于点(x,f(x))对称，∴g(x)+ℎ(x)=2f(x)，∵ℎ(x)≥g(x)恒成立，∴2f(x)=g(x)+ℎ(x)≥g(x)+g(x)=2g(x)，即f(x)≥g(x)恒成立，作出g(x)和f(x)的图象，若ℎ(x)≥g(x)恒成立，则ℎ(x)在直线f(x)的上方，即g(x)在直线f(x)的下方，则直线f(x)的截距b>0，且原点到直线y=2x+b的距离d≥1，d=22+1=5≥1⇒b≥5或b≤−5(舍去)即实数b的取值范围是[5,+∞)，根据对称函数的定义，结合ℎ(x)≥g(x)恒成立，转化为点到直线的距离d≥1，利用点到直线的距离公式进行求解即可．本题主要考查不等式恒成立问题，根据对称函数的定义转化为点到直线的距离关系，利用数形结合是解决本题的关键.综合性较强，有一定的难度．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，BC //AD ，AB ⊥BC ，∠ADC =45∘，PA ⊥平面ABCD ，AB =AP =1，AD =3．(1)求异面直线PB 与CD 所成角的大小； (2)求点D 到平面PBC 的距离．【答案】解：(1)以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则P (0,0，1)，B (1,0，0)，C (1,2，0)D (0，3，0)， ∴PB =(1,0，−1)，CD =(−1,1，0)，……(3分) 设异面直线PB 与CD 所成角为θ， 则cos θ=|PB ⋅CD ||PB|⋅|CD |=12，……(6分)所以异面直线PB 与CD 所成角大小为π3.……(7分)(2)设平面PBC 的一个法向量为n =(x ,y ，z )，PB =(1,0，−1)，BC =(0,2，0)，CD =(−1,1，0)， 则 n ⋅PB =x −z =0n ⋅BC =2y =0，取x =1，得n=(1,0，1)，……(4分) ∴点D 到平面PBC 的距离d =|n ⋅CD ||n |=22.……(7分) 【解析】(1)以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PB 与CD 所成角大小．(2)求出平面PBC 的一个法向量，利用向量法能求出点D 到平面PBC 的距离．本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查点到直线的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．18. 设函数f (x )=sin(ωx −π6)+sin(ωx −π2)，其中0<ω<3，已知f (π6)=0．(Ⅰ)求ω；(Ⅱ)将函数y =f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y =g (x )的图象，求g (x )在[−π4,3π4]上的最小值．【答案】解：(Ⅰ)函数f (x )=sin(ωx −π6)+sin(ωx −π2)=sin ωx cos π6−cos ωx sin π6−sin(π2−ωx )=3sin ωx −3cos ωx = 3sin(ωx −π3)，又f (π6)= 3sin(π6ω−π3)=0， ∴π6ω−π3=kπ，k ∈Z ，解得ω=6k+2，又0<ω<3，∴ω=2；(Ⅱ)由(Ⅰ)知，f(x)=3sin(2x−π3)，将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y=3sin(x−π3)的图象；再将得到的图象向左平移π4个单位，得到y=x+π4−π3)的图象，∴函数y=g(x)=3sin(x−π12)；当x∈[−π4,3π4]时，x−π12∈[−π3,2π3]，∴sin(x−π12)∈[−32,1]，∴当x=−π4时，g(x)取得最小值是−32×3=−32．【解析】(Ⅰ)利用三角恒等变换化函数f(x)为正弦型函数，根据f(π6)=0求出ω的值；(Ⅱ)写出f(x)解析式，利用平移法则写出g(x)的解析式，求出x∈[−π4,3π4]时g(x)的最小值．本题考查了三角恒等变换与正弦型函数在闭区间上的最值问题，是中档题．19.某沿海城市的海边有两条相互垂直的直线型公路l1、l2，海岸边界MPN近似地看成一条曲线段.为开发旅游资源，需修建一条连接两条公路的直线型观光大道AB，且直线AB与曲线MPN有且仅有一个公共点P(即直线与曲线相切)，如图所示.若曲线段MPN是函数y=ax图象的一段，点M到l1、l2的距离分别为8千米和1千米，点N到l2的距离为10千米，以l1、l2分别为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系xOy，设点P的横坐标为p．(1)求曲线段MPN的函数关系式，并指出其定义域；(2)若某人从点O沿公路至点P观景，要使得沿折线OAP比沿折线OBP的路程更近，求p的取值范围．【答案】解：(1)由题意得M(1,8)，则a=8，故曲线段MPN的函数关系式为y=8x，(4分)又得N(10,45)，所以定义域为[1,10].…(6分)(2)P(p,8p )，设AB：y−8p=k(x−p)由y−8p=k(x−p)y=8x得kpx2+(8−kp2)x−8p=0，△=(8−kp2)2+32kp2=(kp2+8)2=0，…(8分)∴kp2+8=0，∴k=−8p ，得直线AB方程为y−8p=−8p(x−p)，…(10分)得A(0,16p)、B(2p,0)，故点P为AB线段的中点，由2p−16p =2⋅p2−8p>0即p2−8>0…(12分)得p>2时，OA<OB，所以，当22<p≤10时，经点A至P路程最近.(14分)【解析】(1)由题意得M(1,8)，则a=8，故曲线段MPN的函数关系式为y=8x，可得其定义域；(2)P(p,8p )，设AB：y−8p=k(x−p)与y=8x联立求出A，B的坐标，即可求出最短长度p的取值范围．本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生分析解决问题的能力，确定函数关系是关键．20.对于函数f(x)=11−x，定义f1(x)=f(x)，f n+1(x)=f[f n(x)](n∈N∗)，已知偶函数g(x)的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，g(1)=0，当x>0且x≠1时，g(x)=f2018(x)．(1)求f2(x)，f3(x)，f4(x)，f2018(x)；(2)求出函数y=g(x)的解析式；(3)若存在实数a、b(a<b)，使得函数g(x)在[a,b]上的值域为[mb,ma]，求实数m的取值范围．【答案】解：(1)因为函数f(x)=11−x，定义f1(x)=f(x)，f n+1(x)=f[f n(x)](n∈N∗)，f1(x)=11−x，f2(x)=f[f1(x)]=11−1=x−1x，(x≠0且x≠1)，f3(x)=f[f2(x)]=11−x−1=x，(x≠0且x≠1)，f4(x)=f[f3(x)]=11−x，(x≠0且x≠1)，故对任意的n∈N⋅，有f3n+i(x)=f i(x)(i=2,3，4)，于是f2018(x)=f3×672+2=f2(x)=1−1x，(x≠0且x≠1)；(2)当x>0且x≠1时，g(x)=f2018(x)=1−1x，又g(1)=0，由g(x)为偶函数，当x<0时，−x>0，g(x)=g(−x)=1+1x，可得g(x)=1+1x,x<01−1x,x>0；(3)由于y=g(x)的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，又a<b，mb<ma，可知a与b同号，且m<0，进而g(x)在[a,b]递减，且a<b<0，当a，b∈(0,1)时，g(x)=1−1x为增函数，故1−1a=mb1−1b=ma，即m=a−1ab=b−1ab，得a−1=b−1，即a=b，与a<b矛盾，∴此时a，b不存在；函数y=g(x)的图象，如图所示.由题意，有g(a)=1+1a=mag(b)=1+1b=mb，故a，b是方程1+1x=mx的两个不相等的负实数根，即方程mx2−x−1=0在(−∞,0)上有两个不相等的实根，于是△=1+4m>0a+b=1m<0ab=−1m>0，解得−14<m<0．综合上述，得实数m的取值范围为(−14,0)．【解析】(1)根据函数关系代入计算进行求解即可；(2)由偶函数的定义，计算可得所求解析式；(3)根据函数奇偶性和单调性的性质，结合函数的值域关系进行求解即可．本题主要考查函数解析式的求解以及函数奇偶性的应用，考查分类讨论思想方法、运算和推理能力，属于中档题．21.对于无穷数列{a n}，记T={x|x=a j−a i,i<j}，若数列{a n}满足：“存在t∈T，使得只要a m−a k=t(m,k∈N∗,m>k)，必有a m+1−a k+1=t”，则称数列具有性质P(t)．(1)若数列{a n}满足a n=2n n≤22n−5n≥3，判断数列{a n}是否具有性质P(2)？是否具有性质P(4)？说明理由；(2)求证：“T是有限集”是“数列{a n}具有性质P(0)”的必要不充分条件；(3)已知{b n}是各项均为正整数的数列，且{b n}既具有性质P(2)，又具有性质P(5)，求证：存在正整数N，使得a N，a N+1，a N+2，…，a N+K，…是等差数列．【答案】解：(1)∵a n=2n n≤2 2n−5n≥3，a2−a1=2，但a3−a2=−1≠2，数列{a n}不具有性质P(2)；同理可得，数列{a n}具有性质P(4)．(2)证明：(不充分性)对于周期数列1，1，2，2，1，1，2，2，…，T={−1,0，1}是有限集，但是由于a2−a1=0，a3−a2=1，所以不具有性质P(0)；(必要性)因为数列{a n}具有性质P(0)，所以一定存在一组最小的且m>k，满足a m−a k=0，即a m=a k由性质P(0)的含义可得a m+1=a k+1，a m+2=a k+2，…，a2m−k−1=a m−1，a2m−k=a m，…所以数列{a n}中，从第k项开始的各项呈现周期性规律：a k，a k+1，…，a m−1为一个周期中的各项，所以数列{a n}中最多有m−1个不同的项，所以T最多有C m−12个元素，即T是有限集；(3)证明：因为数列{b n}具有性质P(2)，数列{b n}具有性质P(5)，所以存在M′、N′，使得，，其中p，q分别是满足上述关系式的最小的正整数，由性质P(2)，P(5)的含义可得，，，若，则取，可得；若N {{'}}'/>，则取，可得．记，则对于b M，有b M+p−b M=2，b M+q−b M=5，显然p≠q，由性质P(2)，P(5)的含义可得，b M+p+k−b M+k=2，b N+q+k−b N+k=5，所以b M+qp−b M=(b M+qp−b M+(q−1)p)+(b M+(q−1)p−b M+(q−2)p)+⋯+(b M+p−b M)=2qb M+qp−b M=(b M+pq−b M+(p−1)q)+(b M+(p−1)q−b M+(p−2)q)+⋯+(b M+q−b M)=5p所以b M+qp=b M+2q=b M+5p．所以2q=5p，又p，q是满足b M+p−b M=2，b M+q−b M=5的最小的正整数，所以q=5，p=2，b M+2−b M=2，b M+5−b M=5，所以，b M+2+k−b M+k=2，b M+5+k−b M+k=5，所以，b M+2k=b M+2(k−1)+2=⋯=b M+2k，b M+5k=b M+5(k−1)+5=⋯=b M+5k，取N=M+5，若k是偶数，则b N+k=b N+k；若k是奇数，则b N+k=b N+5+(k−5)=b N+5+(k−5)=b N+5+(k−5)=b N+k，所以，b N+k=b N+k，所以b N，b N+1，b N+2，…，b N+k，…是公差为1的等差数列【解析】(1)由a n=2n n≤22n−5n≥3，可得a2−a1=2，但a3−a2=−1≠2，数列{a n}不具有性质P(2)；同理可判断数列{a n}具有性质P(4)；(2)举例“周期数列1，1，2，2，1，1，2，2，…，T={−1,0，1}是有限集，利用新定义可证数列{a n}不具有性质P(0)，即不充分性成立；再证明其必要性即可；(3)依题意，数列{b n}是各项为正整数的数列，且{b n}既具有性质P(2)，又具有性质P(5)，可证得存在整数N，使得b N，b N+1，b N+2，…，b N+k，…是等差数列．本题考查数列递推式的应用，考查充分、必要条件的判定，考查推理与论证能力，属于难题．。