2018-2019学年上海市建平中学高一上学期期中考试数学试题(解析版)
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2018-2019学年上海市浦东新区建平中学高一(上)期中数学试卷一、填空题1.设全集∪={1,2,3,4,5,6},集合A={2,4,6},则∁U A=.2.不等式<0的解集是.3.已知集合A={﹣1,0,2},B={a2+1},若B⊄A,则实数a的值为.4.用列举法写出集合A={y|y=x2﹣1,x∈Z,|x|≤1}=5.已知不等式x2﹣ax+b≤0的解集为[2,3],则a+b=6.命题“如果a≠0,那么a2>0”的逆否命题为.7.已知集合A={(x,y)|y=x+1,x∈R},B={(x,y)|y=3﹣x.x∈R},则A∩B=.8.若“x>1”是“x≥a”的充分不必要条件,则a的取值范围为.9.已知集合A={x||x﹣1|≤1},B={x|ax=2},若A∪B=A,则实数a的取值集合为10.已知集合{x|(x﹣2)(x2﹣2x+a)=0,x∈R}中的所有元素之和为2,则实数a的取值集合为.11.已知正实数x,y满足x+y=1,则﹣的最小值是12.若不等式x+4≤a(x+y)对任意x>0,y>0恒成立,则a的取值范围是.二、选择题13.“x>1”是“”成立的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件14.若实数a、b满足条件a>b,则下列不等式一定成立的是()A.<B.a2>b2C.ab>b2D.a3>b315.设集合P={m|﹣1<m≤0},Q={m|mx2+2mx﹣1<0}对任意x∈R恒成立,则P与Q的关系是()A.P⊄Q B.Q⊄P C.P=Q D.P∩Q=∅16.已知集合A={1,2,3,…n)(n∈N*},集合B={j1,j2,…j k)(k≥2,k∈N*)是集合A的子集,若1≤j1<j2<…<j m≤n且j i+1﹣j i≥m(i=1,2,……,k﹣1),满足集合B的个数记为n(k⊕m),则7(3⊕2)=()A.9B.10C.11D.12三、解答题17.已知x,y是实数,求证:x2+y2≥2x+2y﹣2.18.已知全集U=R,集合A={x|x2﹣x﹣12<0},B={y|y=,x∈R},求A∩B,A∪(∁U B).19.已知命题p:关于x的一元二次方程x2﹣2x+|m﹣2|=0有两个不相等的实数根;命题q:关于x的一元二次方程x2﹣mx+|a+1|+|a﹣3|=0对于任意实数a都没有实数根.(1)若命题p为真命题,求实数m的取值范围;(2)若命题p和命题q中有且只有一个为真命题,求实数m的取值范围.20.已知集合A={x|x2﹣x﹣2≥0},集合B={x|(1﹣m2)x2+2mx﹣1<0,m∈R}.(1)当m=2时,求集合∁R A和集合B;(2)若集合B∩Z为单元素集,求实数m的取值集合;(3)若集合(A∩B)∩Z的元素个数为n(n∈N*)个,求实数m的取值集合.21.已知集合P的元素个数为3n(n∈N*)个且元素为正整数,将集合P分成元素个数相同且两两没有公共元素的三个集合A、B、C,即P=A∪B∪C,A∩B=∅,A∩C=∅,B∩C=∅,其中A={a1,a2,…,a n},B={b1,b2,…b n},C={c1,c2,…,c n}.若集合A、B、C中的元素满足c1<c2<…<c n,a k+b k=c k,k=1,2,…n,则称集合P为“完美集合”.(1)若集合P={1,2,3},Q={1,2,3,4,5,6},判断集合P和集合Q是否为“完美集合”?并说明理由;(2)已知集合P={1,x,3,4,5,6}为“完美集合”,求正整数x的值;(3)设集合P={x|1≤x≤3n,n≥2,n∈N*}①证明:集合P为“完美集合”的一个必要条件是n=4k或n=4k+1(k∈N*)②判断当n=4时,集合P是否为“完美集合”,如果是,求出所有符合条件的集合C;如果不是,请说明理由.2018-2019学年上海市浦东新区建平中学高一(上)期中数学试卷参考答案与试卷解析一、填空题1.【解答】解:全集∪={1,2,3,4,5,6},集合A={2,4,6},则∁U A={1,3,5}.故答案为:{1,3,5}.2.【解答】解:∵<0,∴(x﹣1)(x+2)<0,解得:﹣2<x<1,故不等式的解集是(﹣2,1),故答案为:(﹣2,1).3.【解答】解:若B⊂A,则①a2+1=﹣1,a∈∅;②a2+1=0,a∈∅;③a2+1=2,a=±1;∵B⊄A,∴a≠±1.故答案为:a≠±1.4.【解答】解:∵|x|≤1,且x∈Z;∴x=﹣1,0,或1;∴x2=0,或1;∴y=﹣1,或0;∴A={﹣1,0}.故答案为:{﹣1,0}.5.【解答】解:不等式x2﹣ax+b≤0的解集为[2,3],∴方程x2﹣ax+b=0的实数根为2和3,∴,a=5,b=6;∴a+b=11.故答案为:11.6.【解答】解:原命题“如果a≠0,那么a2>0”,∴其逆否命题为:“若a2≤0,则a=0”.故答案为:若a2≤0,则a=0.7.【解答】解:A∩B={(x,y)|}={(1,2)}.故答案为:{(1,2)}.8.【解答】解:若“x>1”是“x≥a”的充分不必要条件,则a≤1,故答案为:a≤19.【解答】解:A={x|0≤x≤2},①B=∅,a=0,②B≠∅,B={},0<≤2,≥,∴a≥1,故实数a的取值集合为[1,+∞)∪{0}.故答案为:[1,+∞)∪{0}.10.【解答】解:∵集合{x|(x﹣2)(x2﹣2x+a)=0,x∈R}中的所有元素之和为2,∴x2﹣2x+a=0的解为x=0或无解,∴a=0或Δ=4﹣4a<0,解得a>1.∴实数a的取值集合为{a|a=0或a>1}.故答案为:{a|a=0或a>1}.11.【解答】解:正实数x,y满足x+y=1,则﹣===()[x+(y+1)]﹣4=(5+)﹣4=当且仅当且x+y=1即y=,x=时取得最小值是/故答案为:12.【解答】解:∵不等式x+4≤a(x+y),x>0,y>0,∴a≥=,令=t>0,可得:f(t)=.f′(t)===.可知:t=时函数f(t)取得最大值,=4.f(0)=0.∴0<f(t)≤4.∵不等式x+4≤a(x+y)对任意x>0,y>0恒成立,∴a的取值范围是a≥4.故答案为:[4,+∞).二、选择题13.【解答】解:若x>1,则0<,则成立,即充分性成立,若当x<0时,成立,但x>1不成立,即必要性不成立,即“x>1”是“”成立的充分不必要条件,故选:A.14.【解答】解:根据题意,依次分析选项:对于A、a=1,b=﹣1时,有>成立,故A错误;对于B、a=1,b=﹣2时,有a2<b2成立,故B错误;对于C、a=1,b=﹣2时,有ab<b2成立,故C错误;对于D、由不等式的性质分析可得若a>b,必有a3>b3成立,则D正确;故选:D.15.【解答】解:∵集合P={m|﹣1<m≤0},Q={m|mx2+2mx﹣1<0}对任意x∈R恒成立,∴Q={m|﹣1<m≤0}.∴P与Q的关系是P=Q.故选:C.16.【解答】解:由题意可得n=7,k=3,m=2,那么集合A={1,2,3,4,5,6,7};集合B={j1,j2,j3},1≤j1<j2≤7,j i+1﹣j i≥2满足集合B的个数列罗出来,可得:{1,3,5},{1,3,6},{1,3,7},{1,4,6},{1,4,7};{1,5,7},{2,4,6},{2,4,7},{2,5,7},{3,5,7},故选:B.三、解答题17.【解答】证明:因为x2﹣2x+1=(x﹣1)2≥0,可得x2≥2x﹣1,y2﹣2y+1=(y﹣1)2≥0,可得y2≥2y﹣1,所以x2+y2≥2x+2y﹣2.18.【解答】解:A={x|﹣3<x<4};∵x4+1≥2x2;∴;∴B={y|y≥2};∴A∩B=[2,4),∁U B={y|y<2};∴A∪(∁U B)=(﹣∞,4).19.【解答】解:(1)命题p:关于x的一元二次方程x2﹣2x+|m﹣2|=0有两个不相等的实数根,可得Δ=12﹣4|m﹣2|>0,解得﹣1<m<5;(2)命题q:关于x的一元二次方程x2﹣mx+|a+1|+|a﹣3|=0对于任意实数a都没有实数根,可得﹣x2+mx=|a+1|+|a﹣3|,由|a+1|+|a﹣3|≥|a+1﹣a+3|=4,可得﹣x2+mx﹣4≥0无实数解,可得Δ=m2﹣16<0,即﹣4<m<4,命题p和命题q中有且只有一个为真命题,可得或,即有4≤m<5或﹣4<m≤﹣1.20.【解答】解:集合A={x|x2﹣x﹣2≥0}={x|x≥2或x≤﹣1},集合{x|(1﹣m2)x2+2mx﹣1<0,m∈R}={x|[(1+m)x﹣1][(1﹣m)x+1]<0}(1)当m=2时,集合∁R A={x|﹣1<x<2};集合B={x|x>1或x<};(2)因为集合B∩Z为单元素集,且0∈B,所以,解得m=0,当m=0时,经验证,满足题意.故实数m的取值集合为{0}(3)集合(A∩B)∩Z的元素个数为n(n∈N*)个,等价于(1﹣m2)x2+2mx﹣1<0在(﹣∞,﹣1]∪[2,+∞)上有整数解,所以令f(x)=(1﹣m2)x2+2mx﹣1,依题意有1﹣m2≤0或或,解得m<﹣或m>0.21.【解答】解:(1)将P分为集合{1}、{2}、{3},满足条件,是完美集合.将Q分成3个,每个中有两个元素,若为完美集合,则a1+b1=c1、a2+b2=c2,Q中所有元素之和为21,21÷2=c1+c2=10.5,不符合要求;(2)若集合A={1,4},B={3,5},根据完美集合的概念知集合C={6,7},若集合A={1,5},B={3,6},根据完并集合的概念知集合C={4,11},若集合A={1,3},B={4,6},根据完并集合的概念知集合C={5,9},故x的一个可能值为7,9,11中任一个;(3)①证明:P中所有元素之和为1+2+…+3n==a1+b1+c1+a2+b2+c2+…+a n+b n+c n=2(c1+c2+…+c n﹣1+c n),∵c n=3n,∴=c1+c2+…+c n﹣1+3n,∴=c1+c2+…+c n﹣1,等号右边为正整数,则等式左边9n(n﹣1)可以被4整除,∴n=4k或n﹣1=4k,即n=4k或n=4k+1;②p是完美集合,A={1,4,3,2},B={6,5,8,10},C={7,9,11,12}或A={1,2,4,3},B={5,8,7,9},C={6,10,11,12}或A={2,4,3,1},B={6,5,7,11},C={8,9,10,12}.。
建平中学高一期中数学卷一.填空题1.已知全集{}5,6,7,8,9U =,{}6,7,8A =,那么U A =ð________.2.不等式211x x +<-的解集是________.3.已知,a b R ∈,命题:若0ab ≠,则0a ≠且0b ≠的逆否命题是__.4.已知函数()222019,0,0x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩,则()2f =________.5.若“x a >”是“5x >”的充分非必要条件,则实数a 的取值范围是________.6.若x 、y +∈R ,且4xy =,则4x y +的最小值是________.7.函数y =________.8.设函数()246,06,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩,则不等式()3f x >的解集是________.9.若函数()f x =的定义域为R ,则实数m 的取值范围是______.10.已知集合2{|(2)10,}A x x a x x R =+++=∈,{|0,}B x x x =>∈R ,若A B ⋂=∅,则实数a 的取值范围是________.11.关于x 的不等式2315x x a a+--≤-的解集不是∅,则实数a 的取值范围为______.12.已知x 、y +∈R ,21x y +=,可以利用不等式1ax x +≥42ay y +≥()0a >求得14x y +的最小值,则其中正数a 的值是________.二.选择题13.对于集合M 、N ,若M NÜ,则下面集合的运算结果一定是空集的是()A.U M NI ð B.U M Nð C.U UM N痧ID.M N⋂14.已知a ,b ,c 满足c b a <<,且0ac <,那么下列各式中不一定成立的是()A.ab ac >B.()0c b a ->C.22cb ab < D.()0ac a c -<15.若集合{}2540A x x x =-+<,{}1B x x a =-<,则“()2,3a ∈”是“B A ⊆”的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又不必要条件16.已知A 与B 是集合{}1,2,3,,100L 的两个子集,满足:A 与B 的元素个数相同,且A B ⋂为空集,若n A ∈时总有22n B +∈,则集合A B ⋃的元素个数最多为()A.62B.66C.68D.74三.解答题17.解不等式组()()31150x x x ⎧->⎪⎨--≥⎪⎩.18.若0a >,0b >,求证:22b a a b a b+≥+.19.若()f x x=+,()()02x g x x-=,()()()F x f x g x =+.(1)分别求()f x 与()g x 的定义域;(2)求()F x 的定义域与值域;(3)在平面直角坐标系内画出函数()F x 的图象,并标出特殊点的坐标.20.设集合{}210A x x =-=,集合{}20,B x x ax b x R =-+=∈,且B ≠∅.(1)若B A ⊆,求实数a 、b 的值;(2)若A C ⊆,且{}21,21,C m m =-+,求实数m 的值.21.按照某学者的理论,假设一个人生产某产品单件成本为a 元,如果他卖出该产品的单价为m 元,则他的满意度为m m a +;如果他买进该产品的单价为n 元,则他的满意度为nn a+.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为1h 和2h 现假设甲生产A 、B 两种产品的单件成本分别为12元和5元,乙生产A 、B 两种产品的单件成本分别为3元和20元,设产品A 、B 的单价分别为A m 元和B m 元,甲买进A 与卖出B 的综合满意度为h 甲,乙卖出A 与买进B 的综合满意度为h 乙(1)求h 甲和h 乙关于A m 、B m 的表达式;当35A B m m =时,求证:h 甲=h 乙;(2)设35A B m m =,当A m 、B m 分别为多少时,甲、乙两人的综合满意度均最大?最大的综合满意度为多少?(3)记(2)中最大的综合满意度为0h ,试问能否适当选取A m 、B m 的值,使得0h h ≥甲和0h h ≥乙同时成立,但等号不同时成立?试说明理由.建平中学高一期中数学卷一.填空题1.已知全集{}5,6,7,8,9U =,{}6,7,8A =,那么U A =ð________.【答案】{}5,9【分析】根据补集的定义可得出集合U A ð.【详解】 全集{}5,6,7,8,9U =,{}6,7,8A =,由补集的定义可得{}5,9U A ð=.故答案为{}5,9.【点睛】本题考查补集的计算,考查对补集定义的理解,属于基础题.2.不等式2101x x +<-的解集是________.【答案】112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【分析】将分式不等式等价变形为()()2110x x +-<,解此不等式即可.【详解】不等式2101x x +<-等价于()()2110x x +-<,解得112x -<<,因此,不等式2101x x +<-的解集是112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭.故答案为112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭.【点睛】本题考查分式不等式的求解,考查运算求解能力,属于基础题.3.已知,a b R ∈,命题:若0ab ≠,则0a ≠且0b ≠的逆否命题是__.【答案】若0a =或0b =,则0ab =【分析】根据逆否命题的定义进行求解即可.【详解】由逆否命题定义可得原命题的逆否命题为:若0a =或0b =,则0ab =故答案为:若0a =或0b =,则0ab =.【点睛】本题主要考查四种命题的关系,掌握逆否命题的定义是解决本题的关键.4.已知函数()222019,0,0x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩,则()2f =________.【答案】4-【分析】根据分段函数()y f x =的解析式可计算出()2f 的值.【详解】()222019,0,0x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩ ,()2224f ∴=-=-.故答案为4-.【点睛】本题考查分段函数值的计算,解题时要根据自变量所满足的定义域选择合适的解析式来进行计算,考查计算能力,属于基础题.5.若“x a >”是“5x >”的充分非必要条件,则实数a 的取值范围是________.【答案】()5,+∞【分析】根据充分非必要条件关系得出()(),5,a +∞+∞Ü,由此可得出实数a 的取值范围.【详解】 “x a >”是“5x >”的充分非必要条件,()(),5,a ∴+∞+∞Ü,则5a >.因此,实数a 的取值范围是()5,+∞.故答案为()5,+∞.【点睛】本题考查利用充分不必要条件求参数,一般转化为集合包含关系来求解,考查化归与转化思想的应用,属于基础题.6.若x 、y +∈R ,且4xy =,则4x y +的最小值是________.【答案】8【分析】直接利用基本不等式可求出4x y +的最小值.【详解】由基本不等式可得48x y +≥==,当且仅当4y x =时,等号成立.因此,4x y +的最小值为8.故答案为8.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值,在利用基本不等式求最值时,也要注意“一正、二定、三相等”条件的成立,考查计算能力,属于基础题.7.函数y =________.【答案】()2,∞+【分析】根据偶次根式被开方数非负、分式中分母不为零,列出关于x 的不等式组,解出即可得出函数的定义域.【详解】由题意可得2102520x x x -≥⎧⎨-+>⎩,解得2x >.因此,函数y =的定义域是()2,∞+.故答案为()2,∞+.【点睛】本题考查具体函数定义域的求解,解题时要根据函数解析式有意义列不等式组进行求解,考查计算能力,属于基础题.8.设函数()246,06,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩,则不等式()3f x >的解集是________.【答案】()()3,13,-+∞ 【分析】分0x ≥与0x <两种情况解不等式()3f x >,得出不等式的解集与定义域取交集,然后将两段解集取并集可得出()3f x >的解集.【详解】当0x ≥时,由()3f x >,得2463x x -+>,即2430x x -+>,解得1x <或3x >,此时,01x ≤<或3x >;当0x <时,由()3f x >,得63x +>,解得3x >-,此时,30x -<<.综上所述,不等式()3f x >的解集是()()3,13,-+∞ .故答案为()()3,13,-+∞ .【点睛】本题考查分段不等式的求解,解题时要注意对自变量的取值范围进行分类讨论,在得出不等式的解集后要注意与定义域取交集,考查运算求解能力,属于中等题.9.若函数()f x =的定义域为R ,则实数m 的取值范围是______.【答案】1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】由题意知,对任意的x R ∈,不等式()221940mx m x m ++++≥恒成立,然后分0m =和0m >⎧⎨∆≤⎩两种情况分析,由此可得出实数m 的取值范围.【详解】由题意可知,对任意的x R ∈,不等式()221940mx m x m ++++≥恒成立.①当0m =时,则有240x +≥,该不等式在R 上不恒成立;②当0m >时,由于不等式()221940mx m x m ++++≥在R 上恒成立,则()()()224149448210m m m m m ∆=+-+=⨯--+≤,即28210m m +-≥,解得12m ≤-或14m ≥,此时,14m ≥.因此,实数m 的取值范围是1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故答案为1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题考查利用函数的定义域求参数,解题的关键就是将问题转化二次不等式在R 上恒成立问题,利用首项系数和判别式的符号来进行求解,考查化归与转化思想的应用,属于中等题.10.已知集合2{|(2)10,}A x x a x x R =+++=∈,{|0,}B x x x =>∈R ,若A B ⋂=∅,则实数a 的取值范围是________.【答案】4a >-【分析】根据A B ⋂=∅可知,A =∅或方程2(2)10x a x +++=只有非正根,由此可解得a 的范围.【详解】分A ≠∅和A =∅两种情况讨论.①当A ≠∅时,A 中的元素为非正数,A B ⋂=∅,即方程2(2)10x a x +++=只有非正数解,所以2(2)40,(2)0,a a ⎧∆=+-≥⎨-+≤⎩解得0a ≥;②当A =∅时,2(2)40a ∆=+-<,解得40a -<<.综上所述,实数a 的取值范围是4a >-.故答案为:4a >-【点睛】当A B ⋂=∅时,包含A ≠∅和A =∅两种情况,A =∅容易被忽略.11.关于x 的不等式2315x x a a +--≤-的解集不是∅,则实数a 的取值范围为______.【答案】(][),14,-∞+∞ 【分析】由题意知,存在x R ∈,使得2315x x a a +--≤-,然后利用绝对值三角不等式求出31x x +--的最小值4-,将问题转化为解不等式254a a -≥-,解出即可.【详解】由题意知,存在x R ∈,使得2315x x a a +--≤-,则()2min531a a x x -≥+--.由绝对值三角不等式得()()31314x x x x +--≤+--=,4314x x ∴-≤+--≤,()2min 5314a a x x ∴-≥+--=-,即2540a a -+≥,解得1a ≤或4a ≥.因此,实数a 的取值范围是(][),14,-∞+∞ .故答案为(][),14,-∞+∞ .【点睛】本题考查绝对值不等式成立问题,一般转化为绝对值不等式的最值问题,可利用绝对值三角不等式来得到,考查化归与转化思想的应用,属于中等题.12.已知x、y +∈R ,21x y +=,可以利用不等式1ax x+≥42ay y +≥()0a >求得14x y +的最小值,则其中正数a 的值是________.【答案】9+【分析】利用两个基本不等式等号成立的条件得出x 、y 的表达式,代入21x y +=可求出实数a 的值.【详解】由基本不等式得1axx +≥()10,0ax x a x =>>时,即当x =.由基本不等式得42ay y +≥,当且仅当()420,0ay y a y =>>时,即当y=时,等号成立.此时,21x y+==1=+所以,(219a =+=+.故答案为9+【点睛】本题考查利用基本不等式求最值时等号成立的条件,求出对应的变量后,还应将变量代入定值条件求出参数,考查运算求解能力,属于中等题.二.选择题13.对于集合M 、N ,若M N Ü,则下面集合的运算结果一定是空集的是()A.U M N I ð B.U M Nð C.U UM N痧ID.M N⋂【答案】A【分析】作出韦恩图,利用韦恩图来判断出各选项集合运算的结果是否为空集.【详解】作出韦恩图如下图所示:如上图所示,U M N =∅I ð,U M N ≠∅I ð,U UM N ≠∅I 痧,M N M =≠∅I .故选A.【点睛】本题考查集合的运算,在解题时可以充分利用韦恩图法来表示,考查数形结合思想的应用,属于基础题.14.已知a ,b ,c 满足c b a <<,且0ac <,那么下列各式中不一定成立的是()A.ab ac >B.()0c b a ->C.22cb ab <D.()0ac a c -<【答案】C【分析】由已知可得0a >,0c <,再由不等式的基本性质逐一判断即可.【详解】解:因为c b a <<,且0ac <,所以0a >,0c <,对于A ,0a >,0b c ->,所以()0ab ac a b c -=->,所以ab ac >,故A 正确;对于B ,()0c b a ->,故B 正确;对于C ,当0b =时,22cb ab =,故C 错误;对于D ,0ac <,0a c ->,所以()0ac a c -<,故D 正确.故选:C .15.若集合{}2540A x x x =-+<,{}1B x x a =-<,则“()2,3a ∈”是“B A ⊆”的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又不必要条件【答案】A【分析】解出集合A 、B ,由B A ⊆得出关于a 的不等式组,求出实数a 的取值范围,由此可判断出“()2,3a ∈”是“B A ⊆”的充分非必要条件.【详解】解不等式2540x x -+<,解得14x <<,{}14A x x ∴=<<.解不等式1x a -<,即11x a -<-<,解得11a x a -<<+,{}11B x a x a ∴=-<<+.B A ⊆ ,则有1114a a -≥⎧⎨+≤⎩,解得23a ≤≤.因此,“()2,3a ∈”是“B A ⊆”的充分非必要条件.故选A【点睛】本题考查充分非必要条件的判断,一般将问题转化为集合的包含关系来判断,考查逻辑推理能力,属于中等题.16.已知A 与B 是集合{}1,2,3,,100L 的两个子集,满足:A 与B 的元素个数相同,且A B ⋂为空集,若n A ∈时总有22n B +∈,则集合A B ⋃的元素个数最多为()A.62 B.66C.68D.74【答案】B【分析】令22100n +≤,解得49n ≤,从A 中去掉形如22n +的数,此时A 中有26个元素,注意A 中还可含以下7个特殊元素:10、14、18、26、32、42、46,故A 中元素最多时,A 中共有33个元素,由此可得出结论.【详解】令22100n +≤,解得49n ≤,所以,集合A 是集合{}1,2,3,,49L 的一个非空子集.再由A B ⋂=∅,先从A 中去掉形如()22n n N *+∈的数,由2249n +≤,可得23n ≤,492326-=,此时,A 中有26个元素.由于集合A 中已经去掉了4、6、8、12、16、20、22这7个数,而它们对应的形如22n +的数分别为10、14、18、26、32、42、46,并且10、14、18、26、32、42、46对应的形如22n +的数都在集合B 中.故集合A 中还可有以下7个特殊元素:10、14、18、26、32、42、46,故集合A 中元素最多时,集合A 中共有33个元素,对应的集合B 也有33个元素,因此,A B ⋃中共有66个元素.故选B.【点睛】本题考查集合中参数的取值问题,同时也考查了集合中元素的个数问题,考查分类讨论思想的应用,属于中等题.三.解答题17.解不等式组()()31150x x x ⎧->⎪⎨--≥⎪⎩.【答案】[)(]1,24,5U 【分析】分别解出两个不等式,然后将两个不等式的解集取交集即可得出不等式组的解集.【详解】解不等式31x ->,即31x -<-或31x ->,解得2x <或>4x .解不等式()()150x x --≥,即()()150x x --≤,解得15x ≤≤.因此,不等式组()()31150x x x ⎧->⎪⎨--≥⎪⎩的解集为[)(]1,24,5U .【点睛】本题考查不等式组的解法,涉及绝对值不等式和一元二次不等式的求解,考查运算求解能力,属于基础题.18.若0a >,0b >,求证:22b a a b a b+≥+.【答案】证明见解析.【分析】将不等式两边做差,变形为多个因式的积或商的形式,判断每个因式的正负即可.【详解】2233()()b a a b a b ab a b a b ab ⎛⎫+-++-+= ⎪⎝⎭()222()()()a b a ab b ab a b a b ab ab+-+-+-==.0a > ,0b >,0a b +>2()()0a b a b ab+-∴≥,22()0b a a b a b ⎛⎫∴+-+≥ ⎪⎝⎭∴原式得证.19.若()f x x=+,()()02x g x x -=,()()()F x f x g x =+.(1)分别求()f x 与()g x 的定义域;(2)求()F x 的定义域与值域;(3)在平面直角坐标系内画出函数()F x 的图象,并标出特殊点的坐标.【答案】(1)()f x 的定义域为()0,∞+,()g x 的定义域为()()0,22,+∞U ;(2)()F x 的定义域是()()0,22,+∞U ,()F x 的值域是[)2,∞+;(3)图象见解析.【分析】(1)根据函数解析式有意义列不等式组,由此可得出函数()y f x =和()y g x =的定义域;(2)将函数()y f x =和()y g x =的定义域取交集可得出函数()y F x =的定义域,并求出函数()y F x =的解析式,利用基本不等式可得出函数()y F x =的值域;(3)根据双勾函数的图象可得出函数()y F x =在其定义域上的图象.【详解】(1)对于函数()f x x =+0x >,则函数()f x x =+的定义域为()0,∞+.对于函数()()02x g x x --=,有2000x x x -≠⎧⎪≥⎨⎪≠⎩,解得0x >且2x ≠,所以,函数()()02x g x x -=的定义域为()()0,22,+∞U ;(2)()()()11x x F x f x g x x x x x x-=+=++=+Q ,定义域为()()0,22,+∞U .由基本不等式可得()12F x x x =+≥=,当且仅当1x =时,等号成立.因此,函数()y F x =的值域为[)2,∞+;(3)函数()1F x x x=+,()()0,22,x ∈+∞U为双勾函数图象的一部分,如下图所示:【点睛】本题考查函数的定义域与值域的求解,同时也涉及到了函数图象的画法,解题时要熟悉几种常见的函数,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.20.设集合{}210A x x =-=,集合{}20,B x x ax b x R =-+=∈,且B ≠∅.(1)若B A ⊆,求实数a 、b 的值;(2)若A C ⊆,且{}21,21,C m m =-+,求实数m 的值.【答案】(1)2a =,1b =或2a =-,1b =或0a =,1b =-;(2)0m =或1m =.【分析】(1)解出集合{}1,1A =-,分集合{}1B =-、{}1、{}1,1-三种情况讨论,结合韦达定理可得出实数a 、b 的值;(2)由A C ⊆可得出211m +=或21m =,并利用集合C 中的元素满足互异性得出实数m 的值.【详解】(1){}{}2101,1A x x =-==- ,B A ⊆ ,且B ≠∅,分以下三种情况讨论:①当{}1B =-时,由韦达定理得()212211a b =-⨯=-⎧⎪⎨=-=⎪⎩;②当{}1B =时,由韦达定理得212211a b =⨯=⎧⎨==⎩;③当{}1,1B =-时,由韦达定理得()()110111a b ⎧=+-=⎪⎨=⨯-=-⎪⎩.综上所述,2a =,1b =或2a =-,1b =或0a =,1b =-;(2)A C ⊆ ,且{}21,21,C m m =-+,211m ∴+=或21m =,解得0m =或1m =±.当0m =时,{}1,1,0C =-,集合C 中的元素满足互异性,合乎题意;当1m =-时,211m +=-,集合C 中的元素不满足互异性,舍去;当1m =时,{}1,3,1C =-,集合C 中的元素满足互异性,合乎题意.综上所述,0m =或1m =.【点睛】本题考查利用集合的包含关系求参数,同时也考查了一元二次方程根与系数的关系,解题时要注意有限集中的元素要满足互异性,考查分类讨论思想的应用,属于中等题.21.按照某学者的理论,假设一个人生产某产品单件成本为a 元,如果他卖出该产品的单价为m 元,则他的满意度为m m a +;如果他买进该产品的单价为n 元,则他的满意度为n n a+.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为1h 和2h现假设甲生产A 、B 两种产品的单件成本分别为12元和5元,乙生产A 、B 两种产品的单件成本分别为3元和20元,设产品A 、B 的单价分别为A m 元和B m 元,甲买进A 与卖出B 的综合满意度为h 甲,乙卖出A 与买进B 的综合满意度为h 乙(1)求h 甲和h 乙关于A m 、B m 的表达式;当35A B m m =时,求证:h 甲=h 乙;(2)设35A B m m =,当A m 、B m 分别为多少时,甲、乙两人的综合满意度均最大?最大的综合满意度为多少?(3)记(2)中最大的综合满意度为0h ,试问能否适当选取A m 、B m 的值,使得0h h ≥甲和0h h ≥乙同时成立,但等号不同时成立?试说明理由.【答案】(1)见解析(2)即20,12B A m m ==时,甲乙两人同时取到最大的综合满意度为5.(3)不存在满足条件的A m 、B m 的值【详解】本小题主要考查函数的概念、基本不等式等基础知识,考查数学建模能力、抽象概括能力以及数学阅读能力.满分16分.(1)当35A B m m =时,h ==甲h ==乙,h 甲=h 乙(2)当35A B m m =时,h =甲由111[5,20][,]205B B m m ∈∈得,故当1120B m =即20,12B A m m ==时,甲乙两人同时取到最大的综合满意度为105.(3)(方法一)由(2)知:0h=5由05h h ≥=甲得:12552A B A B m m m m ++⋅≤,令35,,A B x y m m ==则1[,1]4x y ∈、,即:5(14)(1)2x y ++≤.同理,由得:5(1)(14)2x y ++≤另一方面,1[,1]4x y ∈、51414[2,5],11[,2],2x y x y 、、++∈++∈55(14)(1),(1)(14),22x y x y ++≥++≥当且仅当14x y ==,即A m =B m 时,取等号.所以不能否适当选取A m 、B m 的值,使得0h h ≥甲和0h h ≥乙同时成立,但等号不同时成立.。
上海市建平中学2018届高三上学期期中考试数学试题2017.11一.填空题1. 函数f (x) Tog2(x—3)的定义域是 ___________x _12. 若集合A ={x| 0},则C R A二 ________x_33. 函数f (x)二sinx的零点是_________4 J!4. 已知二是第二象限角且cos ,则sin(二-')二__________5 42 1T5. 在扇形OAB中,中心角• AOB二幺,若弧AB的长为2二,则扇形OAB的面积为36. 函数y =sin(2x ')的单调递增区间为______________47. 函数f(x) =2cos2x sin2 x -1,x • [0「]的值域为___________28. 函数f(x) =As in •‘X ( A .0,u >0 )在[0,二]上至少取到一次振幅,则频率的最小值为_________9. 已知函数f (x)满足:对任意a,b R,a中b,都有af (a) bf (b) af (b) bf (a),则不等式f(|x|) ■ f(2x 1)的解集为______________Q *10. 若关于x的不等式x -axcos二x・4一0对任意N成立,则实数a的取值范围是11. 设函数f (x)、g(x)的定义域均为R,若对任意x1,x^ R,且x1:::x2,具有f (x1^l f (x2),则称函数f (x)为R上的单调非减函数,给出以下命题:①若f(x)关于点(a,0)和直线x=b( b=a)对称,则f (x)为周期函数,且2(b - a)是f(x)的一个周期;②若f(x)是周期函数,且关于直线X二a对称,则f(x)必关于无穷多条直线对称;③若f(x)是单调非减函数,且关于无穷多个点中心对称,则f(x)的图像是一条直线;④若f(x)是单调非减函数,且关于无穷多条平行于y轴的直线对称,则f (x)是常值函数;以上命题中,所有真命题的序号是___________12. 已知a1、a2、a3、a°与d、b?、R、是8个不同的实数,若方程|x—a1||x—a2||x—a3||x—a4|=|x—b1||x—b2||x— b3「|x — b4| 有有限多个解,则此方程的解最多有_________ 个3选择题13.将函数y =sin2x 的图像向左平移 二个单位,得到函数()的图像4A. y =sin2xB. y=cos2xC. y =—sin 2xD. y = —cos2x14. 下列函数在其定义域上既是奇函数,又是增函数的是(15.下列关于充分必要条件的判断中,错误的是()A. “ x • (0,二)”是“ sinx • — - 2 ”的充分条件2sin xB. “ a b _2 ”是“ ab _1 ”的必要条件 1C. “ x 0 ”是“ X • — _ 2 ”的充要条件xD. “ a 0, b • 0 ”是“ a b 2一 ab ”的非充分非必要条件16. 汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1升汽油行使的里程,下图描述了甲、乙、丙三辆 汽车在不同速度下的燃油效率情况,下列叙述中正确的是()A. 消耗1升汽油,乙车最多可行使5千米B. 以相同速度行使相同路程,三辆车中, 甲车消耗汽油最多C. 甲车以80千米/小时的速度行使1小时, 消耗10升汽油D. 某城市机动车最高限速 80千米/小时, 相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油三.解答题(1) 若cosB讨,求b 的值;(2) 若a =讦3,求 ABC 的面积的最大值A. y = lg(x . x -1)B.C.y =7^7 22-12D. y =2x1-2"17.在 ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为 cos A 二VHHI F ,1x 118.设函数 f(x)=4 -1 ( x_0 )的反函数为 f —(x), g(x^log 4(3x 1). (1 )求 f "(x);(2)若函数h(x) =2g(x) - f 」(x)的图像与直线y =a 有公共点,求实数 a 的取值范围19.某工程队共有500人,要建造一段6000米的高速公路,工程需要把 500人分成两组, 甲组的任务是完成一段 4000米的软土地带,乙组的任务是完成剩下的 2000米的硬土地带, 据测算,软、硬土地每米的工程量是 30工(工为计量单位)和 40工.(1 )若平均分配两组的人数,分别计算两组完工的时间,并求出此时全队的筑路工期; (2 )如何分配两组的人数会使得全队的筑路工期最短?20.已知函数 f (x) = x | x 「a | bx , a,b R .(1 )若a=0,判断f (x)的奇偶性,并说明理由; (2 )若b=0,求f(x)在[1,3]上的最小值;f (x) f (x) - g(x) 21.给定函数 f(x)、g(x),定义 F(f(x),g(x)) .l g(x) f(x)<g(x)/、"口f (x)+g(x) + | f (x)—g(x) |(1)证明:F(f(x),g(x)):(2 )若 f(x) =si n2x-cosx , g(x) =si n2x cosx ,证明:F (f (x), g(x))是周期函数; (3)若 f(x)=A t Si n “X ,in 2x , A=0,- - 0 , i =1,2,证明:f (x) • g(x)是周期函数的充要条件是为有理数.(3)若 b0, 且 f(x)二a 2b 2有三个不同实根,十的取值范围.填空题三.解答题精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
上海市高一上学期数学期中考试试卷一、单选题1.如图,为全集,、、是的三个子集,则阴影部分所表示的集合是()A. B. C . D.【答案】C【考点】交、并、补集的混合运算【解析】【解答】图中的阴影部分是:M∩P的子集,不属于集合S,属于集合S的补集即是C I S的子集则阴影部分所表示的集合是(M∩P)∩∁I S故答案为:C.【分析】根据集合的运算结合韦恩图,即可确定阴影部分所表示的集合.2.下列各组函数中,表示同一函数的是()A. 与B. 与C. 与D. ()与()【答案】D【考点】判断两个函数是否为同一函数【解析】【解答】对于A选项,,f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为[0,+∞),∴不是同一函数;对于B选项的定义域为的定义域为∴不是同一函数;对于C选项,f(0)=-1,g(0)=1,f(0)≠g(0),∴不是同一函数.对于B选项,f(x)的定义域为,g(x)的定义域为,且且两函数解析式化简后为同一解析式,∴是同一函数.故答案为:D.【分析】判断两个函数是否表示同一个,看定义域和对应关系是否相同即可.3.已知,则“ ”是“ ”的()A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】由题意可知:a,b∈R+,若“a2+b2<1”则a2+2ab+b2<1+2ab+a2•b2,∴(a+b)2<(1+ab)2∴ab+1>a+b.若ab+1>a+b,当a=b=2时,ab+1>a+b成立,但a2+b2<1不成立.综上可知:“a2+b2<1”是“ab+1>a+b”的充分不必要条件.故答案为:A.【分析】根据不等式的性质,结合充分、必要条件的概念进行判断即可.4.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行使的里程,下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下得燃油效率情况,下列叙述中正确的是()A. 消耗1升汽油,乙车最多可行使5千米B. 以相同速度行使相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多C. 甲车以80千米/小时的速度行使1小时,消耗10升汽油D. 某城市机动车最高限速80千米/小时,相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油【答案】D【考点】函数的图象【解析】【解答】对于A,消耗升汽油,乙车行驶的距离比千米小得多,故错;对于B, 以相同速度行驶相同路程,三辆车中甲车消耗汽油最少,故错;对于C, 甲车以千米/小时的速度行驶小时,消耗升汽油, 故错;对于D,车速低于千米/小时,丙的燃油效率高于乙的燃油效率,用丙车比用乙车量多省油,故对.故答案为:D.【分析】根据图象的实际意义,对选项逐一判断即可.二、填空题5.函数的定义域为________【答案】【考点】函数的定义域及其求法【解析】【解答】由题意得,即定义域为【分析】要使函数有意义,应满足分式的分母不为0,偶次根式被开方数非负,解不等式组即可求出函数的定义域.6.已知集合,,则________【答案】【考点】交集及其运算【解析】【解答】由题集合集合故.故答案为.【分析】通过求函数的定义域求出集合A,通过求二次函数的值域求出集合B,根据交集的含义求出相应的集合即可.7.不等式的解集是________【答案】【考点】其他不等式的解法【解析】【解答】不等式,则故答案为.【分析】通过作差,将分式不等式转化为整式不等式,解相应的一元二次不等式即可求不相应的解集. 8.“若且,则”的否命题是________【答案】若或,则【考点】四种命题【解析】【解答】“若且,则”的否命题是“若或,则”.即答案为:若或,则【分析】将原命题的条件和结论都进行否定,即可得到否命题.9.已知,则的取值范围是________【答案】【考点】简单线性规划【解析】【解答】作出所对应的可行域,即(如图阴影),目标函数z=a-b可化为b=a-z,可看作斜率为1的直线,平移直线可知,当直线经过点A(1,-1)时,z取最小值-2,当直线经过点O(0,0)时,z取最大值0,∴a-b的取值范围是,故答案为:.【分析】作出可行域及目标函数相应的直线,平移直线即可求出相应的取值范围.10.若,,且,则的取值范围是_________【答案】【考点】集合关系中的参数取值问题【解析】【解答】由题,,且,当时,,则;当时,,则可得故的取值范围是.【分析】通过解绝对值不等式表示出集合A,将集合之间的关系转化为区间端点值的大小比较,即可求出实数a的取值范围.11.若关于的不等式的解集是,则实数的取值范围是________ 【答案】【考点】不等式的综合【解析】【解答】略【分析】对二次项系数的取值分类讨论,当系数为0时,求出a值,直接验证符合题意;当二次项系数不为0时,开口向下,判别式小于0,解不等式组即可求出实数a的取值范围.12.若函数,则________【答案】【考点】函数解析式的求解及常用方法【解析】【解答】设,则则即即答案为.【分析】采用换元法,求出函数f(x)的表达式,代入即可求出f(2x+1).13.若关于的不等式在上恒成立,则实数的最小值是__【答案】【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】【解答】∵关于的不等式在上恒成立,∴,∵x>,∴,当且仅当,即时取等号,∴,∴,解得,,∴实数a的最小值为.故答案为.【分析】将不等式恒成立问题进行转化,结合基本不等式求出相应式子的最值,即可求出实数a的最小值.14.已知函数,(),若不存在实数使得和同时成立,则的取值范围是________【答案】【考点】其他不等式的解法【解析】【解答】由f(x)>1,得>1,化简整理得,解得即的解集为A={x|-2<x<-1或2<x<3}.由g(x)<0得x2-3ax+2a2<0,即(x-a)(x-2a)<0,g(x)<0的解集为B={x|2a<x<a,a<0}.由题意A∩B=∅,因此a≤-2或-1≤2a<0,A的取值范围是{a|a≤-2或- ≤a<0}.即答案为.【分析】分别解相应的不等式,结合不等式的解集即可确定实数a的取值范围.15.当时,可以得到不等式,,,由此可以推广为,则________【答案】【考点】归纳推理【解析】【解答】∵x∈R+时可得到不等式,∴在p位置出现的数恰好是分母的指数的指数次方即答案为.【分析】根据已知式子归纳猜想,得到相应的关系即可确定P.16.已知数集(,)具有性质:对任意、(),与两数中至少有一个属于集合,现给出以下四个命题:①数集具有性质;②数集具有性质;③若数集具有性质,则;④若数集()具有性质,则;其中真命题有________(填写序号)【答案】②③④【考点】元素与集合关系的判断【解析】【解答】①数集中,,故数集不具有性质;②数集满足对任意、(),与两数中至少有一个属于集合,故数集具有性质;③若数列A具有性质P,则a n+a n=2a n与a n-a n=0两数中至少有一个是该数列中的一项,∵0≤a1<a2<…<a n,n≥3,而2a n不是该数列中的项,∴0是该数列中的项,∴a1=0;故③正确;④当 n=5时,取j=5,当i≥2时,a i+a5>a5,由A具有性质P,a5-a i∈A,又i=1时,a5-a1∈A,∴a5-a i∈A,i=1,2,3,4,5∵0=a1<a2<a3<a4<a5,∴a5-a1>a5-a2>a5-a3>a5-a4>a5-a5=0,则a5-a1=a5, a5-a2=a4, a5-a3=a3,从而可得a2+a4=a5, a5=2a3, A2+a4=2a3,即答案为②③④.【分析】根据集合中元素的特点,结合集合中元素的互异性,逐一判断即可确定真命题个数.三、解答题17.设集合,集合.(1)若“ ”是“ ”的必要条件,求实数的取值范围;(2)若中只有一个整数,求实数的取值范围.【答案】(1)解:若“ ”是“ ”,则B⊆A,∵A={x|-1≤x≤2},①当时,B={x|2m <x<1},此时-1≤2m<1⇒;②当时,B=∅,有B⊆A成立;③当时B=∅,有B⊆A成立;;综上所述,所求m的取值范围是(2)解:∵A={x|-1≤x≤2},∴∁R A={x|x<-1或x>2},①当时,B={x|2m<x<1},若∁R A∩B中只有一个整数,则-3≤2m<-2,得②当m当时,不符合题意;③当时,不符合题意;综上知,m的取值范围是-【考点】集合关系中的参数取值问题【解析】【分析】(1)根据必要条件的概念,将集合的关系转化为端点值比较大小,即可求出实数m的取值范围;(2)根据交集、补集的概念,结合区间端点值的大小关系,即可求出实数m的取值范围.18.若“ ,求证:”除了用比较法证明外,还可以有如下证法:(当且仅当时等号成立),学习以上解题过程,尝试解决下列问题:(1)证明:若,,,则,并指出等号成立的条件;(2)试将上述不等式推广到()个正数、、、、的情形,并证明. 【答案】(1)解:,∴,当且仅当时等号成立(2)解:故.当且仅当时等号成立【考点】归纳推理,类比推理【解析】【分析】(1)根据题干中证法及不等式的性质,结合基本不等式,即可证明相应的不等式成立;(2)根据具体例子,归纳推广即可证明相应的不等式.19.某公司有价值10万元的一条流水线,要提高该流水线的生产能力,就要对其进行技术改造,改造就需要投入,相应就要提高产品附加值,假设附加值万元与技术改造投入万元之间的关系满足:①与和的乘积成正比;②当时,;③,其中为常数,且.(1)设,求出的表达式,并求出的定义域;(2)求出附加值的最大值,并求出此时的技术改造投入的的值.【答案】(1)解:设,当时,可得k=4,∴∴定义域为,t为常数,(2)解:因为定义域中函数在上单调递减,故.【考点】函数解析式的求解及常用方法,二次函数的性质【解析】【分析】(1)根据题意,采用待定系数法,设出表达式,求出相应的系数,即可得到f(x)机器定义域;(2)采用配方法,结合二次函数的单调性,求出函数的最大值即可.20.设数集由实数构成,且满足:若(且),则.(1)若,试证明中还有另外两个元素;(2)集合是否为双元素集合,并说明理由;(3)若中元素个数不超过8个,所有元素的和为,且中有一个元素的平方等于所有元素的积,求集合.【答案】(1)证明:若x∈A,则又∵2∈A,∴∵-1∈A,∴∴A中另外两个元素为,(2)解:,,,且,,,故集合中至少有3个元素,∴不是双元素集合(3)解:由,,可得,所有元素积为1,∴,、、,∴.【考点】元素与集合关系的判断【解析】【分析】(1)将x=2代入,即可求出集合A中的另外两个元素;(2)根据集合中元素的特点,确定集合A中至少有三个元素;(3)设出集合中相应的元素,结合元素之和,即可求出集合A.21.已知,设,,(,为常数).(1)求的最小值及相应的的值;(2)设,若,求的取值范围;(3)若对任意,以、、为三边长总能构成三角形,求的取值范围.【答案】(1)解:。
2018-2019学年度建平中学高一年级期中考数学试卷一. 填空题1. 已知全集{1,2,3,4,5,6}U =,集合{2,4,6}A =,则U A =ð2. 不等式102x x -<+的解集为 3. 已知集合{1,0,2}A =-,2{1}B a =+,若B A ,则实数a 的值为4. 用列举法写出集合2{|1,,||1}A y y x x x ==-∈≤=Z5. 已知不等式20x ax b -+≤的解集为[2,3],则a b +=6. 命题“如果0a ≠,那么20a >”的逆否命题为7. 已知集合{(,)|1,}A x y y x x ==+∈R ,{(,)|3,}B x y y x x ==-∈R ,则A B =8. 已知“1x >”是“x a ≥”的充分非必要条件,则a 的取值范围是9. 已知集合{||1|1}A x x =-≤,{|2}B x ax ==,若A B A = ,则实数a 的取值集合为10. 已知集合2{|(2)(2)0,}x x x x a x --+=∈R 中的所有元素之和为2,则实数a 的取值集 合为11. 已知正实数x 、y 满足1x y +=,则141y x y -+的最小值是12. 若不等式()x a x y +≤+对任意0x >,0y >恒成立,则a 的取值范围是二. 选择题13. “1x >”是“11x<”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件14. 设a 、b ∈R ,a b >,则下列不等式一定成立的是( ) A. 11a b< B. 22a b > C. 2a ab > D. 33a b > 15. 设集合{|10}P m m =-<≤,2{|210Q m mx mx =+-<对任意x ∈R 恒成立},则P 与Q 的关系是( )A. P Q B. Q P C. P Q = D. P Q =∅16. 已知集合{1,2,3,,}A n =⋅⋅⋅()n ∈*N ,集合12{,,,}k B j j j =⋅⋅⋅(2,)k k ≥∈*N 是集合A 的子集,若121m j j j n ≤<<⋅⋅⋅<≤且1i i j j m +-≥(1,2,,1)i k =⋅⋅⋅-,满足集合B 的个数记为()n k m ⊕,则7(32)⊕=( )A. 9 B. 10 C. 11 D. 12三. 解答题17. 已知x 、y 是实数,求证:22222x y x y +≥+-.18. 已知全集U =R ,集合2{|120}A x x x =--<,421{|,}x B y y x x+==∈R , 求A B ,()U A B ð.19. 已知命题p :关于x 的一元二次方程2|2|0x m -+-=有两个不相等的实数根,命题q :关于x 的一元二次方程2|1||3|0x mx a a -+++-=对于任意实数a 都没有实数根.(1)若命题p 为真命题,求实数m 的取值范围;(2)若命题p 和命题q 中有且只有一个为真命题,求实数m 的取值范围.20. 已知集合2{|20}A x x x =--≥,集合22{|(1)210,}B x m x mx m =-+-<∈R .(1)当2m =时,求集合A R ð和集合B ;(2)若集合B Z 为单元素集,求实数m 的取值集合;(3)若集合()A B Z 的元素个数为n ()n ∈*N 个,求实数m 的取值集合.21. 已知集合P 的元素个数为3n ()n ∈*N 个且元素为正整数,将集合P 分成元素个数相同且两两没有公共元素的三个集合A 、B 、C ,即P A B C = ,A B =∅ ,A C =∅ ,B C =∅ ,其中12{,,,}n A a a a =⋅⋅⋅,12{,,,}n B b b b =⋅⋅⋅,12{,,,}n C c c c =⋅⋅⋅. 若集合A 、B 、C 中的元素满足12n c c c <<⋅⋅⋅<,k k k a b c +=,1,2,,k n =⋅⋅⋅,则称集合P 为“完美集合”.(1)若集合{1,2,3}P =,{1,2,3,4,5,6}Q =,判断集合P 和集合Q 是否为“完美集合”?并说明理由;(2)已知集合{1,,3,4,5,6}P x =为“完美集合”,求正整数x 的值;(3)设集合{|13,2,}P x x n n n =≤≤≥∈*N ,① 证明:集合P 为“完美集合”的一个必要条件是4n k =或41n k =+()k ∈*N ;② 判断当4n =时,集合P 是否为“完美集合”,如果是,求出所有符合条件的集合C ,如果不是,请说明理由.2018-2019学年度建平中学高一年级期中考数学试卷2018.11参考答案一. 填空题1. {1,3,5};2. (2,1)- ;3. 1±;4. {1,0}-;5. 11;6. 如果20a ≤,则0a = ;7. {(1,2)};8. 1a ≤;9. {0}[1,)+∞ ; 10. {0}(1,)+∞ ; 11.12; 12. 4a ≥; 二. 选择题13. A 14. D 15. C 16. B三. 解答题17. 22(1)(1)0x y -+-≥. 18. (3,4)A =-,[2,)B =+∞,(,2)U B =-∞ð,[2,4)A B = ,()(,4)U A B =-∞ ð.19.(1)(1,5)-;(2)命题q :44m -<<,∴范围为(4,1][4,5)-- .20.(1)(1,2)A =-R ð,1(,)(1,)3B =-∞+∞ ;(2){0};(3)略.21.(1)P 是,Q 不是;(2)7、9、11;(3)略.。
上海市建平中学2019—2019 学年度高三第一学期期中考试数学试题(理科)2019.11.12一、填空题:本题有 14 小题,每小题 4 分,共 56 分1.已知集合 U 1,2, 3, 4, 5 , A 2,4 ,B4,5 ,则 AC U B2.函数 y x 2 的递减区间为3.已知 zC ,且 f ( z) z 1,则 f (i)x, x 0 z 14.函数 yyx 2 , x 的反函数是5.已知圆的极坐标方程为2sin,则圆心的极坐标为x 2 4t6.已知直线 l 的方程为1 ,则直线 l 的斜率为y 3t7.设函数 y a xb(a 0, a 1) 的图象过点 1, 2 ,函数 y log b ( xa)(b 0, b 1) 的图像过点 0 , 2 ,则 a b 等于8.若不等式 x 1 1 a 的解集非空,则整数 a 的最小值是9.函数 y a 1 x (a 0, a 1) 的图象恒过定点 A ,若点 A 在直线 mx ny 1 0 上,则 m 2 n 的最小值为10.已知关于 x 的方程lg (x 2 2x 11) t 1 0 有实数解,则实数 t 的范围是11.已知 f (x)(2a 1)x 4a x 1 ,) 上的减函数,那么 a 的取值范围是log a x是 (12xx 1 x) 02019 2019.若关于 的方程 f (2008x) f ( a恰有 个根,且所有根的和为,则实数 a 的值 为.13.已知函数 f ( x)1 x,规定:anmf ( 1) f ( 2) f ( 3)f (m) (n, m N ) ,xn nn n且 S n m a 1m a 2m a n m (n, m N ) ,则 S 20102010 的值是14.若存在实数a R ,使得不等式 x x ab 0 对于任意的 x [0,1] 都成立,则实数 b 的取值范围是二、选择题:本题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分15.不等式1 1的解集是()A . ( x 2B . (2,, 2) ) C . (0, 2) D . ( ,0) (2, )16.若 y f ( x) 是定义在 R 上的函数,则 “f (0) 0 ”是 “y f ( x) 是奇函数 ”的()A .必要不充分条件B .充分不必要条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件17.满足方程 f (x) x 的根 x 0 称为函数 yf (x) 的不动点,设函数 y f (x) , y g(x) 都有不动点,则 下列陈述正确的是()A . y f ( g(x)) 与 yf (x) 具有相同数目的不动点B . y f ( g(x)) 一定有不动点C . yf (g( x)) 与 y g( x) 具有相同数目的不动点D . y f (g( x)) 可以无不动点18.函数f1x 1 x , f2 x 1 | x | , f3 x 1 x , f4 x 1 | x | 的图像分别是点集C1,C2,C3,C4,这些图像关于直线x = 0 的对称曲线分别是点集D1,D2,D3,D4,现给出下列四个命题,其中正确命题的序号是()① D1 D2 ② D1∪ D3 = D 2∪ D4 ③ D4 D3 ④ D1∩ D 3 = D2∩ D4A.① ③B.① ②C.② ④D.③ ④三、解答题:(本题共有 5 道大题,满分78 分),解答下列各题必须写出必要的步骤.19.(本题满分14 分)本题共 2 小题,第 1 小题6 分,第 2 小题8 分已知关于t 的方程t 2 2t a 0 一个根为 1 3i . a R( 1)求方程的另一个根及实数 a 的值;( 2)若x a m2 3m 6 在x (0, ) 上恒成立,试求实数m 的取值范围.x20.(本题满分14分)本题共 2 小题,第 1 小题 7 分,第2 小题 7 分如图在长方体 ABCD -A1B1C1 D1 中,AD 1 ,AB= 2 ,点E 是棱AB 上的动点.AA 1( 1)若异面直线AD1与EC所成角为600,试确定此时动点 E 的位置;( 2)求三棱锥C-DED1的体积. D1 C1A1B1D CA E B21.(本题满分 16 分)本题共 2 小题,第 1 小题 8 分,第 2 小题 8 分某投资公司计划投资 A 、 B 两种金融产品,根据市场调查与预测, A 产品的利润 y 与投资量 x 成正 比例,其关系如图 1, B 产品的利润 y 与投资量 x 的算术平方根成正比例,其关系如图 2,(注:利润与投 资量单位:万元)( 1)分别将 A 、 B 两产品的利润表示为投资量的函数关系式;( 2)该公司已有 10 万元资金,并全部投入 A 、 B 两种产品中,问:怎样分配这10 万元投资,才能使公司获得最大利润?其最大利润为多少万元?yy0.3 2.4 0.21.6o11.5 xo49x图 1图 222.(本题满分 16 分)本题共 3 个小题,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 6 分已 知 函 数 f xlog 1 x 1 , 当 点 P ( x 0, y 0 ) 在 y f (x)的 图 像 上 移 动 时 , 点2Q (x 0t 1 在函数 yg(x) 的图像上移动。
2018-2019学年上海市上海中学高一上学期期中考试数学试题一、单选题1.已知集合,则中元素的个数为A.9 B.8 C.5 D.4【答案】A【解析】分析:根据枚举法,确定圆及其内部整点个数.详解:,当时,;当时,;当时,;所以共有9个,选A.点睛:本题考查集合与元素关系,点与圆位置关系,考查学生对概念理解与识别. 2.已知实数x,y,则“”是“”的()A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】找出与所表示的区域,再根据小范围推大范围可得结果.【详解】表示的区域是以为顶点的正方形及内部,表示的区域是以为圆心,1为半径的圆及内部,正方形是圆的内接正方形,,推不出,“”是“”的充分而不必要条件.故选:B.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,考查了不等式组表示的区域,考查了推理能力,属于中档题.3.设,,且,则()A.B.C.D.以上都不能恒成立【答案】A【解析】利用反证法可证得,进而由可得解.【详解】利用反证法:只需证明,假设,则:所以:,但是,故:,,.所以:与矛盾.所以:假设错误,故:,所以:,故选:A.【点睛】本题考查的知识要点:反证法的应用,关系式的恒等变换,主要考查学生的运算能力和转化能力,属于中档题型.4.对二次函数(为非零常数),四位同学分别给出下列结论,其中有且仅有一个结论是错误的,则错误的结论是()A.是的零点B.1是的极值点C.3是的极值D.点在曲线上【答案】A【解析】若选项A错误时,选项B、C、D正确,,因为是的极值点,是的极值,所以,即,解得:,因为点在曲线上,所以,即,解得:,所以,,所以,因为,所以不是的零点,所以选项A错误,选项B、C、D正确,故选A.【考点定位】1、函数的零点;2、利用导数研究函数的极值.二、填空题5.已知集合,用列举法表示集合______.【答案】0,1,【解析】先由x的范围推出y的范围,然后从中取整数即可.【详解】因为,,即,又,,,,,,,故答案为:0,1,【点睛】本题考查了集合的表示法属基础题.6.设集合,集合,则______.【答案】【解析】根据交集定义求出即可.【详解】,,故答案为:.【点睛】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.7.能说明“若a﹥b,则”为假命题的一组a,b的值依次为_________.【答案】(答案不唯一)【解析】分析:举出一个反例即可.详解:当时,不成立,即可填.点睛:本题考查不等式的性质等知识,意在考查学生的数学思维能力.8.集合,,若,则a的取值范围是______.【答案】【解析】先求出集合A,根据,即可求出a的取值范围.【详解】,,若,则,故答案为:.【点睛】本题主要考查集合子集关系的应用,利用不等式的解法以及数轴是解决此类问题的关键.9.命题“若,则且”的逆否命题是______.【答案】若或,则【解析】试题分析:原命题:若则。
上海市建平中学2018-2019学年上学期高三期中数学模拟题 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1. 若集合,则= ( )ABC D2. 若{}n a 为等差数列,n S 为其前项和,若10a >,0d <,48S S =,则0n S >成立的最大自 然数为( )A .11B .12C .13D .14 3. 设a ,b ∈R ,i 为虚数单位,若2+a i1+i =3+b i ,则a -b 为( )A .3B .2C .1D .04. 已知集合A={x ∈Z|(x+1)(x ﹣2)≤0},B={x|﹣2<x <2},则A ∩B=( ) A .{x|﹣1≤x <2} B .{﹣1,0,1} C .{0,1,2}D .{﹣1,1}5. 已知实数[1,1]x ∈-,[0,2]y ∈,则点(,)P x y 落在区域20210220x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪-+⎩……… 内的概率为( )A.34B.38C.14D.18【命题意图】本题考查线性规划、几何概型等基础知识,意在考查数形结合思想及基本运算能力. 6. 已知全集为R ,且集合}2)1(log |{2<+=x x A ,}012|{≥--=x x x B ,则)(B C A R 等于( ) A .)1,1(- B .]1,1(- C .)2,1[ D .]2,1[【命题意图】本题考查集合的交集、补集运算,同时也考查了简单对数不等式、分式不等式的解法及数形结合的思想方法,属于容易题.7. 设函数()y f x =对一切实数x 都满足(3)(3)f x f x +=-,且方程()0f x =恰有6个不同的实根,则这6个实根的和为( )A.18B.12C.9D.0【命题意图】本题考查抽象函数的对称性与函数和方程等基础知识,意在考查运算求解能力.8. 已知2,0()2, 0ax x x f x x x ⎧+>=⎨-≤⎩,若不等式(2)()f x f x -≥对一切x R ∈恒成立,则a 的最大值为( )A .716-B .916-C .12-D .14-9. 函数()2cos()f x x ωϕ=+(0ω>,0ϕ-π<<)的部分图象如右图所示,则 f (0)的值为( ) A.32-B.1-C.D.【命题意图】本题考查诱导公式,三角函数的图象和性质,数形结合思想的灵活应用. 10.已知角α的终边经过点(sin15,cos15)-,则2cos α的值为( )A.12+B.12 C. 34 D .0 11.已知,,a b c 为ABC ∆的三个角,,A B C 所对的边,若3cos (13cos )b C c B =-,则sin :sin C A =( )A .2︰3B .4︰3C .3︰1D .3︰2 【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理,意在考查转化能力、运算求解能力.12.已知实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+≤-5342y x y x x y ,若目标函数mx y z -=取得最大值时有唯一的最优解)3,1(,则实数m 的取值范围是( )A .1-<mB .10<<mC .1>mD .1≥m【命题意图】本题考查了线性规划知识,突出了对线性目标函数在给定可行域上最值的探讨,该题属于逆向问题,重点把握好作图的准确性及几何意义的转化,难度中等.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填写在横线上)13.若函数63e ()()32ex x bf x x a =-∈R 为奇函数,则ab =___________. 【命题意图】本题考查函数的奇偶性,意在考查方程思想与计算能力.14.在ABC ∆中,角A B C 、、的对边分别为a b c 、、,若1cos 2c B a b ⋅=+,ABC ∆的面积12S c =, 则边c 的最小值为_______.【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、基本不等式等基础知识,意在考查基本运算能力.15.已知,0()1,0x e x f x x ì³ï=í<ïî,则不等式2(2)()f x f x ->的解集为________.【命题意图】本题考查分段函数、一元二次不等式等基础知识,意在考查分类讨论思想和基本运算能力. 16.三角形ABC中,2,60AB BC C ==∠=,则三角形ABC 的面积为 .三、解答题(本大共6小题,共70分。
建平中学高一期中数学试卷2018.11一.填空题1.已知全集{1,2,3,4,5,6}U =,集合{2,4,6}A =,则U A =ð2.不等式102x x -<+的解集为3.已知集合{1,0,2}A =-,2{1}B a =+,若B A ,则实数a 的值为4.用列举法写出集合2{|1,,||1}A y y x x x ==-∈≤=Z5.已知不等式20x ax b -+≤的解集为[2,3],则a b +=6.命题“如果0a ≠,那么20a >”的逆否命题为7.已知集合{(,)|1,}A x y y x x ==+∈R ,{(,)|3,}B x y y x x ==-∈R ,则A B = 8.已知“1x >”是“x a ≥”的充分非必要条件,则a 的取值范围是9.已知集合{||1|1}A x x =-≤,{|2}B x ax ==,若A B A = ,则实数a 的取值集合为10.已知集合2{|(2)(2)0,}x x x x a x --+=∈R 中的所有元素之和为2,则实数a 的取值集合为11.已知正实数x 、y 满足1x y +=,则141yx y -+的最小值是12.若不等式()x a x y +≤+对任意0x >,0y >恒成立,则a 的取值范围是二.选择题13.“1x >”是“11x <”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件14.设a 、b ∈R ,a b >,则下列不等式一定成立的是()A.11a b < B.22a b > C.2a ab > D.33a b >15.设集合{|10}P m m =-<≤,2{|210Q m mx mx =+-<对任意x ∈R 恒成立},则P 与Q 的关系是()A.P QB.Q PC.P Q =D.P Q =∅16.已知集合{1,2,3,,}A n =⋅⋅⋅()n ∈*N ,集合12{,,,}k B j j j =⋅⋅⋅(2,)k k ≥∈*N 是集合A 的子集,若121m j j j n ≤<<⋅⋅⋅<≤且1i i j j m +-≥(1,2,,1)i k =⋅⋅⋅-,满足集合B 的个数记为()n k m ⊕,则7(32)⊕=()A.9 B.10 C.11 D.12三.解答题17.已知x 、y 是实数,求证:22222x y x y +≥+-.18.已知全集U =R ,集合2{|120}A x x x =--<,421{|,}x B y y x x +==∈R ,求A B ,()U A B ð.19.已知命题p :关于x 的一元二次方程2|2|0x m -+-=有两个不相等的实数根,命题q :关于x 的一元二次方程2|1||3|0x mx a a -+++-=对于任意实数a 都没有实数根.(1)若命题p 为真命题,求实数m 的取值范围;(2)若命题p 和命题q 中有且只有一个为真命题,求实数m 的取值范围.20.已知集合2{|20}A x x x =--≥,集合22{|(1)210,}B x m x mx m =-+-<∈R .(1)当2m =时,求集合A R ð和集合B ;(2)若集合B Z 为单元素集,求实数m 的取值集合;(3)若集合()A B Z 的元素个数为n ()n ∈*N 个,求实数m 的取值集合.21.已知集合P 的元素个数为3n ()n ∈*N 个且元素为正整数,将集合P 分成元素个数相同且两两没有公共元素的三个集合A 、B 、C ,即P A B C = ,A B =∅ ,A C =∅ ,B C =∅ ,其中12{,,,}n A a a a =⋅⋅⋅,12{,,,}n B b b b =⋅⋅⋅,12{,,,}n C c c c =⋅⋅⋅.若集合A 、B 、C 中的元素满足12n c c c <<⋅⋅⋅<,k k k a b c +=,1,2,,k n =⋅⋅⋅,则称集合P 为“完美集合”.(1)若集合{1,2,3}P =,{1,2,3,4,5,6}Q =,判断集合P 和集合Q 是否为“完美集合”?并说明理由;(2)已知集合{1,,3,4,5,6}P x =为“完美集合”,求正整数x 的值;(3)设集合{|13,2,}P x x n n n =≤≤≥∈*N ,①证明:集合P 为“完美集合”的一个必要条件是4n k =或41n k =+()k ∈*N ;②判断当4n =时,集合P 是否为“完美集合”,如果是,求出所有符合条件的集合C ,如果不是,请说明理由.参考答案一.填空题1.{1,3,5}2.(2,1)-3.1±4.{1,0}-5.116.如果20a ≤,则0a =7.{(1,2)}8.1a ≤9.{0}[1,)+∞ 10.{0}(1,)+∞ 11.1212.4a ≥二.选择题13.A14.D 15.C 16.B 三.解答题17.22(1)(1)0x y -+-≥.18.(3,4)A =-,[2,)B =+∞,(,2)U B =-∞ð,[2,4)A B = ,()(,4)U A B =-∞ ð.19.(1)(1,5)-;(2)命题q :44m -<<,∴范围为(4,1][4,5)-- .20.(1)(1,2)A =-R ð,1(,)(1,)3B =-∞+∞ ;(2){0};(3)略.21.(1)P 是,Q 不是;(2)7、9、11;(3)略.。
2018-2019学年上海市浦东新区建平中学高三(上)期中数学试卷副标题一、选择题(本大题共4小题,共12.0分)1.已知实数x,y满足a x<a y(0<a<1),则下列关系式恒成立的是()A. 1x2+1>1y2+1B. ln(x2+1)>ln(y2+1)C. sin x>sin yD. x3>y3【答案】D【解析】解:∵实数x,y满足a x<a y(0<a<1),∴x>y,A.取x=2,y=−1,不成立;B.取x=0,y=−1,不成立C.取x=π,y=−π,不成立;D.由于y=x3在R上单调递增,因此正确故选:D.实数x,y满足a x<a y(0<a<1),可得x>y,对于A.B.C分别举反例即可否定,对于D:由于y=x3在R上单调递增,即可判断出正误.本题主要考查函数值的大小比较,利用不等式的性质以及函数的单调性是解决本题的关键.2.已知点A(−2,0)、B(3,0),动点P(x,y)满足PA⋅PB=x2,则点P的轨迹是()A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线【答案】D【解析】解:∵动点P(x,y)满足PA⋅PB=x2,∴(−2−x,−y)⋅(3−x,−y)=x2,∴(−2−x)(3−x)+y2=x2,解得y2=x+6.∴点P的轨迹方程是抛物线.故选:D.由题意知(−2−x,y)⋅(3−x,y)=x2,化简可得点P的轨迹.本题考查点的轨迹方程,解题时要注意公式的灵活运用.3.已知数列{a n}是公比为q(q≠1)的等比数列,则数列:①{2a n};②{a n2};③{1a n2};④{a n a n+1};⑤{a n+a n+1};等比数列的个数为()A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】解:数列{a n}是公比为q(q≠1)的等比数列,则①2a n+12a n=2a n+1−a n,不是等比数列;②a n +12a n2=q 2;③{1a n2}是公比为1q 2的等比数列;④{a n a n +1}是公比为q 2的等比数列;⑤{a n +a n +1}不一定是等比数列,例如(−1)n .综上:等比数列的个数为3. 故选:B .利用等比数列的定义通项公式即可得出.本题考查了等比数列的定义通项公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.4. 设函数f 1(x )=x 2,f 2(x )=2(x −x 2),f 3(x )=13|sin2πx |,a i =i99,i =0,1,2,…,99.记I k =|f k (a 1)−f k (a 0)|+|f k (a 2)−f k (a 1)丨+⋯+|f k (a 99)−f k (a 98)|,k =1,2,3,则( ) A. I 1<I 2<I 3 B. I 2<I 1<I 3 C. I 1<I 3<I 2 D. I 3<I 2<I 1 【答案】B【解析】解:由|(i99)2−(i−199)2|=199×2i−199,故I 1=199(199+399+599+⋯+2×99−199)=199×99299=1,由2|i99−i−199−(i 99)2+(i−199)2|=2×199|99−(2i−1)99|,故I 2=2×199×58(98+0)2×99=9899×10099<1,I 3=1[||sin2π⋅1|−|sin2π⋅0||+||sin2π⋅2|−|sin2π⋅1||+⋯+||sin2π⋅99|−|sin2π⋅9899||] =13(2sin2π⋅2599−2sin2π⋅7499)>1,故I 2<I 1<I 3, 故选:B .根据记I k =|f k (a 1)−f k (a 0)|+|f k (a 2)−f k (a 1)丨+⋯+|f k (a 99)−f k (a 98)|,分别求出I 1,I 2,I 3与1的关系,继而得到答案本题主要考查了函数的性质,关键是求出这三个数与1的关系,属于难题.二、填空题(本大题共12小题,共36.0分)5. 设函数f (x )= π(x 2−5)x ≥1cos x x <1,则f (f (2))=______【答案】−1【解析】解:∵函数f (x )= π(x 2−5)x ≥1cos x x <1, ∴f (2)=π(4−5)=−π,f (f (2))=f (−π)=cos(−π)=cos π=−1. 故答案为:−1.推导出f (2)=π(4−5)=−π,从而f (f (2))=f (−π)=cos(−π)=cos π,由此能求出结果.本题考查函数值的求法,考查函数性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.6.在各项为实数的等比数列{a n}中,a5+8a2=0,则公比q的值为______【答案】−2【解析】解:∵a5+8a2=0,∴a2q3+8a2=0,即q3=−8,解得q=−2.故答案为:−2.由等比数列的性质知q3=−8,从而解得.本题考查了等比数列的性质,属于基础题.7.若m=(1,2),n=(−2,1),p=(cosα,sinα),m⋅p=3n⋅p,则tanα=______【答案】7【解析】解:因为m⋅p=(1,2)⋅(cosα,sinα)=cosα+2sinα,3n⋅p=3(−2,1)⋅(cosα,sinα)=−6cosα+3sinα,∴cosα+2sinα=−6cosα+3sinα,∴sinα=7cosα,tanα=7,故答案为:7.利用向量的数量积和三角函数同角公式可得.本题考查了平面向量数量积的性质及其运算.属基础题.8.设集合A={x|x2−2x≥0},B={x|2x−1≤1},则(∁R A)∩B=______【答案】(0,1]【解析】解:集合A={x|x2−2x≥0}={x|x≤0或x≥2},集合B={x|2x−1≤1}={x|x−1≤0}={x|x≤1},∴∁R A={x|0<x<2},∴(∁R A)∩B={x|0<x≤1}=(0,1].故答案为:(0,1].化简集合A、B,根据补集与交集的定义计算即可.本题考查了集合的化简与运算问题,是基础题.9.某校邀请5位同学的父母共10人中的4位来学校介绍经验,如果这4位来自4个不同的家庭,那么不同的邀请方案的种数是______【答案】80【解析】解:分步进行:第一步:从5个家庭中选出4个家庭,有C54=5种;第二步:从选出的4个家庭的每个家庭的父母亲中选出1位来,有C21×C21×C21×C21= 16;根据分步计数原理得:不同的邀请方案的种数数:5×16=80.故答案为:80.用分步计数原理:①从5个家庭中选4个家庭;②从每个家庭中选出1个.然后相乘可得.本题考查了排列、组合及简单计数问题,属基础题.10.从原点O向圆x2+y2−12y+27=0作两条切线,则该圆夹在两条切线间的劣弧长为______.【答案】2π【解析】解:把圆的方程化为标准方程为:x2+(y−6)2=9,得到圆心C的坐标为(0,6),圆的半径r=3,由圆切线的性质可知,∠CBO=∠CAO=90∘,且AC=BC=3,OC=6,则∠AOB=∠BOC+∠AOC=60∘,所以∠ACB=120∘,所以该圆夹在两条切线间的劣弧长l=120∘π×3180∘=2π.故答案为:2π把圆的方程化为标准方程后,找出圆心C的坐标和圆的半径r,根据AC与BC为圆的半径等于3,OC的长度等于6,利用直角三角形中一直角边等于斜边的一半得到角AOB 等于2×30∘,然后根据四边形的内角和定理求出角BCA的度数,然后由角BCA的度数和圆的半径,利用弧长公式即可求出该圆夹在两条切线间的劣弧长.此题考查学生掌握直线与圆相切时所满足的条件,掌握直角三角形的性质,灵活运用弧长公式化简求值,是一道综合题.11.已知数列{a n}的前n项和S n满足:对于任意m,n∈N∗,都有S n+S m=S n+m+2mn,若a1=1,则a2018=______【答案】−4033【解析】解:根据题意,在S n+S m=S n+m+2mn中,令m=1可得:S n+S1=S n+1+2n,又由a1=1,即S1=a1=1,则有S n+1=S n+1+2n,变形可得:S n+1−S n=1−2n,则a2018=S2018−S2017=1−2×2017=−4033;故答案为:−4033.根据题意,在S n+S m=S n+m+2mn中,用特殊值法分析:令m=1可得:S n+S1=S n+1+2n,变形可得S n+1−S n=1−2n,再令n=2018计算可得答案.本题考查数列的递推公式,注意特殊值法分析数列的递推公式,属于中档题.12.已知函数f(x)的定义域为R,当x<0时,f(x)=x3−1;当−1≤x≤1时,f(−x)=−f(x);当x>12时,f(x+12)=f(x−12),则f(6)=______.【答案】2【解析】解:∵当x>12时,f(x+12)=f(x−12),∴当x>12时,f(x+1)=f(x),即周期为1.∴f(6)=f(1),∵当−1≤x≤1时,f(−x)=−f(x),∴f(1)=−f(−1),∵当x<0时,f(x)=x3−1,∴f(−1)=−2,∴f(1)=−f(−1)=2,∴f(6)=2;故答案为:2求得函数的周期为1,再利用当−1≤x≤1时,f(−x)=−f(x),得到f(1)=−f(−1),当x<0时,f(x)=x3−1,得到f(−1)=−2,即可得出结论.本题考查函数值的计算,考查函数的周期性,考查学生的计算能力,属于中档题.13.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(−∞,0]上单调递增,若实数a满足f(log2|a−1|)>f(−2),则a的取值范围是______【答案】(3,34)∪(54,5)【解析】解:根据题意,f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(−∞,0]上单调递增,则f(x)在[0,+∞)上为减函数,则f(log2|a−1|)>f(−2)⇒f(|log2|a−1||)>f(2)⇒|log2|a−1||<2⇒−2<log2|a−1|<2,变形可得:14<|a−1|<4,解可得:−3<a<34或54<x<5;即不等式的解集为(−3,34)∪(54,5);故答案为:(−3,34)∪(54,5).根据题意,分析可得f(x)在[0,+∞)上为减函数,结合函数的奇偶性分析可得f(log2|a−1|)>f(−2)可以转化为−2<log2|a−1|<2,解可得a的取值范围,即可得答案.本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用,注意分析函数在[0,+∞)上的单调性,属于基础题.14.在锐角三角形ABC中,A、B、C的对边分别为a、b、c,a2+b2=6ab cos C,则tan C1tan B−tan C1tan A=______【答案】4【解析】解:在锐角三角形ABC中,∵a2+b2=6ab cos C=6ab⋅a2+b2−c22ab,∴c2=23(a2+b2).则tan C1tan B−tan C1tan A=tan Ctan A+tan Ctan B=tan C(1tan A+1tan B)=sin Ccos C⋅(cos Asin A+cos Bsin B)=sin Ccos C⋅sin(A+B) sin A sin B =sin C⋅sin Csin A sin B cos C=c2ab⋅a2+b2−c2=2c2a+b−c=4,故答案为:4.由题意利用余弦定理可得c2=23(a2+b2),再利用行列式的运算、同角三角函数的基本关系,求得要求式子的值.本题主要考查余弦定理、同角三角函数的基本关系,行列式的运算,属于中档题.15.已知关于x的一元二次不等式ax2+2x+b>0的解集为{x|x≠c},则a2+b2+7a+c(其中a+c≠0)的取值范围为______.【答案】(−∞,−6]∪[6,+∞)【解析】解:根据关于x的一元二次不等式ax2+2x+b>0的解集为{x|x≠c},可得a>0,对应的二次函数的图象的对称轴为x=−1a=c,△=4−4ab=0,∴ac=−1,ab=1,∴c=−1a ,b=1a.则a2+b2+7a+c =(a−b)2+9a−b=(a−b)+9a−b,当a−b>0时,由基本不等式求得(a−b)+9a−b≥6,当a−b<0时,由基本不等式求得−(a−b)−9a−b ≥6,即(a−b)+9a−b≤−6故a2+b2+7a+c(其中a+c≠0)的取值范围为:(−∞,−6]∪[6,+∞),故答案为:(−∞,−6]∪[6,+∞).由条件利用二次函数的性质可得ac=−1,ab=1,再根据则a2+b2+7a+c =(a−b)+9a−b,利用基本不等式求得它的范围.本题主要考查二次函数的性质,基本不等式的应用,属于中档题.16.若定义域均为D的三个函数f(x),g(x),ℎ(x)满足条件:对任意x∈D,点(x,g(x)与点(x,ℎ(x)都关于点(x,f(x)对称,则称ℎ(x)是g(x)关于f(x)的“对称函数”.已知g(x)=1−x2,f(x)=2x+b,ℎ(x)是g(x)关于f(x)的“对称函数”,且ℎ(x)≥g(x)恒成立,则实数b的取值范围是______.【答案】[+∞)【解析】解:解:∵x∈D,点(x,g(x))与点(x,ℎ(x))都关于点(x,f(x))对称,∴g(x)+ℎ(x)=2f(x),∵ℎ(x)≥g(x)恒成立,∴2f(x)=g(x)+ℎ(x)≥g(x)+g(x)=2g(x),即f(x)≥g(x)恒成立,作出g(x)和f(x)的图象,若ℎ(x)≥g(x)恒成立,则ℎ(x)在直线f(x)的上方,即g(x)在直线f(x)的下方,则直线f(x)的截距b>0,且原点到直线y=2x+b的距离d≥1,d=22+1=5≥1⇒b≥5或b≤−5(舍去)即实数b的取值范围是[5,+∞),根据对称函数的定义,结合ℎ(x)≥g(x)恒成立,转化为点到直线的距离d≥1,利用点到直线的距离公式进行求解即可.本题主要考查不等式恒成立问题,根据对称函数的定义转化为点到直线的距离关系,利用数形结合是解决本题的关键.综合性较强,有一定的难度.三、解答题(本大题共5小题,共60.0分)17. 如图,在四棱锥P −ABCD 中,底面ABCD 为直角梯形,BC //AD ,AB ⊥BC ,∠ADC =45∘,PA ⊥平面ABCD ,AB =AP =1,AD =3.(1)求异面直线PB 与CD 所成角的大小; (2)求点D 到平面PBC 的距离.【答案】解:(1)以A 为原点,AB 为x 轴,AD 为y 轴,AP 为z 轴,建立如图所示空间直角坐标系,则P (0,0,1),B (1,0,0),C (1,2,0)D (0,3,0), ∴PB =(1,0,−1),CD =(−1,1,0),……(3分) 设异面直线PB 与CD 所成角为θ, 则cos θ=|PB ⋅CD ||PB|⋅|CD |=12,……(6分)所以异面直线PB 与CD 所成角大小为π3.……(7分)(2)设平面PBC 的一个法向量为n =(x ,y ,z ),PB =(1,0,−1),BC =(0,2,0),CD =(−1,1,0), 则 n ⋅PB =x −z =0n ⋅BC =2y =0,取x =1,得n=(1,0,1),……(4分) ∴点D 到平面PBC 的距离d =|n ⋅CD ||n |=22.……(7分) 【解析】(1)以A 为原点,AB 为x 轴,AD 为y 轴,AP 为z 轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出异面直线PB 与CD 所成角大小.(2)求出平面PBC 的一个法向量,利用向量法能求出点D 到平面PBC 的距离.本题考查异面直线所成角的余弦值的求法,考查点到直线的距离的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是中档题.18. 设函数f (x )=sin(ωx −π6)+sin(ωx −π2),其中0<ω<3,已知f (π6)=0.(Ⅰ)求ω;(Ⅱ)将函数y =f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移π4个单位,得到函数y =g (x )的图象,求g (x )在[−π4,3π4]上的最小值.【答案】解:(Ⅰ)函数f (x )=sin(ωx −π6)+sin(ωx −π2)=sin ωx cos π6−cos ωx sin π6−sin(π2−ωx )=3sin ωx −3cos ωx = 3sin(ωx −π3),又f (π6)= 3sin(π6ω−π3)=0, ∴π6ω−π3=kπ,k ∈Z ,解得ω=6k+2,又0<ω<3,∴ω=2;(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)=3sin(2x−π3),将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数y=3sin(x−π3)的图象;再将得到的图象向左平移π4个单位,得到y=x+π4−π3)的图象,∴函数y=g(x)=3sin(x−π12);当x∈[−π4,3π4]时,x−π12∈[−π3,2π3],∴sin(x−π12)∈[−32,1],∴当x=−π4时,g(x)取得最小值是−32×3=−32.【解析】(Ⅰ)利用三角恒等变换化函数f(x)为正弦型函数,根据f(π6)=0求出ω的值;(Ⅱ)写出f(x)解析式,利用平移法则写出g(x)的解析式,求出x∈[−π4,3π4]时g(x)的最小值.本题考查了三角恒等变换与正弦型函数在闭区间上的最值问题,是中档题.19.某沿海城市的海边有两条相互垂直的直线型公路l1、l2,海岸边界MPN近似地看成一条曲线段.为开发旅游资源,需修建一条连接两条公路的直线型观光大道AB,且直线AB与曲线MPN有且仅有一个公共点P(即直线与曲线相切),如图所示.若曲线段MPN是函数y=ax图象的一段,点M到l1、l2的距离分别为8千米和1千米,点N到l2的距离为10千米,以l1、l2分别为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系xOy,设点P的横坐标为p.(1)求曲线段MPN的函数关系式,并指出其定义域;(2)若某人从点O沿公路至点P观景,要使得沿折线OAP比沿折线OBP的路程更近,求p的取值范围.【答案】解:(1)由题意得M(1,8),则a=8,故曲线段MPN的函数关系式为y=8x,(4分)又得N(10,45),所以定义域为[1,10].…(6分)(2)P(p,8p ),设AB:y−8p=k(x−p)由y−8p=k(x−p)y=8x得kpx2+(8−kp2)x−8p=0,△=(8−kp2)2+32kp2=(kp2+8)2=0,…(8分)∴kp2+8=0,∴k=−8p ,得直线AB方程为y−8p=−8p(x−p),…(10分)得A(0,16p)、B(2p,0),故点P为AB线段的中点,由2p−16p =2⋅p2−8p>0即p2−8>0…(12分)得p>2时,OA<OB,所以,当22<p≤10时,经点A至P路程最近.(14分)【解析】(1)由题意得M(1,8),则a=8,故曲线段MPN的函数关系式为y=8x,可得其定义域;(2)P(p,8p ),设AB:y−8p=k(x−p)与y=8x联立求出A,B的坐标,即可求出最短长度p的取值范围.本题考查利用数学知识解决实际问题,考查学生分析解决问题的能力,确定函数关系是关键.20.对于函数f(x)=11−x,定义f1(x)=f(x),f n+1(x)=f[f n(x)](n∈N∗),已知偶函数g(x)的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞),g(1)=0,当x>0且x≠1时,g(x)=f2018(x).(1)求f2(x),f3(x),f4(x),f2018(x);(2)求出函数y=g(x)的解析式;(3)若存在实数a、b(a<b),使得函数g(x)在[a,b]上的值域为[mb,ma],求实数m的取值范围.【答案】解:(1)因为函数f(x)=11−x,定义f1(x)=f(x),f n+1(x)=f[f n(x)](n∈N∗),f1(x)=11−x,f2(x)=f[f1(x)]=11−1=x−1x,(x≠0且x≠1),f3(x)=f[f2(x)]=11−x−1=x,(x≠0且x≠1),f4(x)=f[f3(x)]=11−x,(x≠0且x≠1),故对任意的n∈N⋅,有f3n+i(x)=f i(x)(i=2,3,4),于是f2018(x)=f3×672+2=f2(x)=1−1x,(x≠0且x≠1);(2)当x>0且x≠1时,g(x)=f2018(x)=1−1x,又g(1)=0,由g(x)为偶函数,当x<0时,−x>0,g(x)=g(−x)=1+1x,可得g(x)=1+1x,x<01−1x,x>0;(3)由于y=g(x)的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞),又a<b,mb<ma,可知a与b同号,且m<0,进而g(x)在[a,b]递减,且a<b<0,当a,b∈(0,1)时,g(x)=1−1x为增函数,故1−1a=mb1−1b=ma,即m=a−1ab=b−1ab,得a−1=b−1,即a=b,与a<b矛盾,∴此时a,b不存在;函数y=g(x)的图象,如图所示.由题意,有g(a)=1+1a=mag(b)=1+1b=mb,故a,b是方程1+1x=mx的两个不相等的负实数根,即方程mx2−x−1=0在(−∞,0)上有两个不相等的实根,于是△=1+4m>0a+b=1m<0ab=−1m>0,解得−14<m<0.综合上述,得实数m的取值范围为(−14,0).【解析】(1)根据函数关系代入计算进行求解即可;(2)由偶函数的定义,计算可得所求解析式;(3)根据函数奇偶性和单调性的性质,结合函数的值域关系进行求解即可.本题主要考查函数解析式的求解以及函数奇偶性的应用,考查分类讨论思想方法、运算和推理能力,属于中档题.21.对于无穷数列{a n},记T={x|x=a j−a i,i<j},若数列{a n}满足:“存在t∈T,使得只要a m−a k=t(m,k∈N∗,m>k),必有a m+1−a k+1=t”,则称数列具有性质P(t).(1)若数列{a n}满足a n=2n n≤22n−5n≥3,判断数列{a n}是否具有性质P(2)?是否具有性质P(4)?说明理由;(2)求证:“T是有限集”是“数列{a n}具有性质P(0)”的必要不充分条件;(3)已知{b n}是各项均为正整数的数列,且{b n}既具有性质P(2),又具有性质P(5),求证:存在正整数N,使得a N,a N+1,a N+2,…,a N+K,…是等差数列.【答案】解:(1)∵a n=2n n≤2 2n−5n≥3,a2−a1=2,但a3−a2=−1≠2,数列{a n}不具有性质P(2);同理可得,数列{a n}具有性质P(4).(2)证明:(不充分性)对于周期数列1,1,2,2,1,1,2,2,…,T={−1,0,1}是有限集,但是由于a2−a1=0,a3−a2=1,所以不具有性质P(0);(必要性)因为数列{a n}具有性质P(0),所以一定存在一组最小的且m>k,满足a m−a k=0,即a m=a k由性质P(0)的含义可得a m+1=a k+1,a m+2=a k+2,…,a2m−k−1=a m−1,a2m−k=a m,…所以数列{a n}中,从第k项开始的各项呈现周期性规律:a k,a k+1,…,a m−1为一个周期中的各项,所以数列{a n}中最多有m−1个不同的项,所以T最多有C m−12个元素,即T是有限集;(3)证明:因为数列{b n}具有性质P(2),数列{b n}具有性质P(5),所以存在M′、N′,使得,,其中p,q分别是满足上述关系式的最小的正整数,由性质P(2),P(5)的含义可得,,,若,则取,可得;若N {{'}}'/>,则取,可得.记,则对于b M,有b M+p−b M=2,b M+q−b M=5,显然p≠q,由性质P(2),P(5)的含义可得,b M+p+k−b M+k=2,b N+q+k−b N+k=5,所以b M+qp−b M=(b M+qp−b M+(q−1)p)+(b M+(q−1)p−b M+(q−2)p)+⋯+(b M+p−b M)=2qb M+qp−b M=(b M+pq−b M+(p−1)q)+(b M+(p−1)q−b M+(p−2)q)+⋯+(b M+q−b M)=5p所以b M+qp=b M+2q=b M+5p.所以2q=5p,又p,q是满足b M+p−b M=2,b M+q−b M=5的最小的正整数,所以q=5,p=2,b M+2−b M=2,b M+5−b M=5,所以,b M+2+k−b M+k=2,b M+5+k−b M+k=5,所以,b M+2k=b M+2(k−1)+2=⋯=b M+2k,b M+5k=b M+5(k−1)+5=⋯=b M+5k,取N=M+5,若k是偶数,则b N+k=b N+k;若k是奇数,则b N+k=b N+5+(k−5)=b N+5+(k−5)=b N+5+(k−5)=b N+k,所以,b N+k=b N+k,所以b N,b N+1,b N+2,…,b N+k,…是公差为1的等差数列【解析】(1)由a n=2n n≤22n−5n≥3,可得a2−a1=2,但a3−a2=−1≠2,数列{a n}不具有性质P(2);同理可判断数列{a n}具有性质P(4);(2)举例“周期数列1,1,2,2,1,1,2,2,…,T={−1,0,1}是有限集,利用新定义可证数列{a n}不具有性质P(0),即不充分性成立;再证明其必要性即可;(3)依题意,数列{b n}是各项为正整数的数列,且{b n}既具有性质P(2),又具有性质P(5),可证得存在整数N,使得b N,b N+1,b N+2,…,b N+k,…是等差数列.本题考查数列递推式的应用,考查充分、必要条件的判定,考查推理与论证能力,属于难题.。
2018-2019学年上海市建平中学高一上学期期中考试数学试题一、单选题1.“”是“”成立的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析:由题意得“”,解得或,所以“”是“”的充分不必要条件,故选A.【考点】充分不必要条件的判定.2.若实数a、b满足条件,则下列不等式一定成立的是A.B.C.D.【答案】D【解析】根据题意,由不等式的性质依次分析选项,综合即可得答案.【详解】根据题意,依次分析选项:对于A、,时,有成立,故A错误;对于B、,时,有成立,故B错误;对于C、,时,有成立,故C错误;对于D、由不等式的性质分析可得若,必有成立,则D正确;故选:D.【点睛】本题考查不等式的性质,对于错误的结论举出反例即可.3.设集合,对任意恒成立,则P与Q的关系是A.B.C.D.【答案】C【解析】先分别求出集合P,Q,由此能求出P与Q的关系.【详解】集合,对任意恒成立,当m=0时,-1<0,满足题意,当时,结合二次函数的性质得到.与Q的关系是.故选:C.【点睛】本题考查集合的关系的判断,考查不等式性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.4.已知集合2,3,,集合是集合A的子集,若且2,,,满足集合B的个数记为,则A.9 B.10 C.11 D.12【答案】B【解析】根据和,可得,,,集合2,3,4,5,6,;集合,满足集合B的个数列罗列出来,可得答案.【详解】由题意可得,,,那么集合2,3,4,5,6,;集合,,满足集合B的个数列罗列出来,可得:3,,3,,3,,4,,4,;5,,4,,4,,5,,5,,故选:B.【点睛】本题考查子集与真子集,并且即时定义新的集合,主要考查学生的阅读理解能力.二、填空题5.设全集2,3,4,5,,集合4,,则______.【答案】3,【解析】根据补集的定义写出 A.【详解】全集2,3,4,5,,集合4,,则3,.故答案为:3,.【点睛】本题考查了补集的定义与应用问题,是基础题.6.不等式的解集为______.【答案】【解析】不等式等价于,根据一元二次不等式的解集的特征,可以断定原不等式的解集为.7.已知集合0,,,若,则实数a的值为______.【答案】【解析】先假设,得,;,;,;取补集得结果.【详解】若,则,;,;,;,.故答案为:.【点睛】本题考查的知识点集合的包含关系应用,难度不大,属于基础题.8.用列举法写出集合______【答案】【解析】由及即可求出,0,或1,从而得出,或1,进而得出y的值,从而得出集合A.【详解】,且;,0,或1;,或1;,或0;.故答案为:.【点睛】考查描述法、列举法的定义,以及绝对值不等式的解法.9.已知不等式的解集为,则______【答案】11【解析】利用不等式与对应方程的关系,结合根与系数的关系求出a、b的值.【详解】不等式的解集为,方程的实数根为2和3,,,;.故答案为:11.【点睛】本题考查了一元二次不等式与对应方程的关系应用问题,是基础题.10.命题“如果,那么”的逆否命题为______.【答案】若,则【解析】根据逆否命题的定义,即把结论和条件的否定后作为逆否命题的条件和结论即可.【详解】原命题“如果,那么”,其逆否命题为:“若,则”.故答案为:若,则.【点睛】本题考查的知识点是逆否命题的定义,需要正确写出对条件的结论的否定,这是关键和易出错的地方.11.已知集合,,,则______.【答案】【解析】根据交集定义得.【详解】.故答案为:.【点睛】此题考查了交集及其运算,需要注意此题是点集,是基础题.12.若“”是“”的充分不必要条件,则a的取值范围为______.【答案】【解析】根据充分条件和必要条件的定义进行求解即可.【详解】若“”是“”的充分不必要条件,则,则,故答案为:【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,比较基础.判断充要条件的方法是:①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题,则命题p是命题q的充分不必要条件;②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题,则命题p是命题q的必要不充分条件;③若p⇒q为真命题且q⇒p 为真命题,则命题p是命题q的充要条件;④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题,则命题p是命题q的即不充分也不必要条件.⑤判断命题p与命题q所表示的范围,再根据“谁大谁必要,谁小谁充分”的原则,判断命题p与命题q的关系.13.已知集合,,若,则实数a的取值集合为______【答案】【解析】分为,和两种情况讨论,取并集得结论.【详解】,,,,,,,,故实数a的取值集合为.故答案为:.【点睛】本题考查了集合的化简与集合的运算的应用,注意不要漏掉,属于基础题.14.已知集合中的所有元素之和为2,则实数a的取值集合为______.【答案】或【解析】推导出的解为或无解,由此能求出实数a的取值集合.【详解】集合中的所有元素之和为2,已经确定2是其中的元素,的解为或无解,或,解得.实数a的取值集合为或.故答案为:或.【点睛】本题考查实数的取值集合的求法,考查集合定义等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.15.已知正实数x,y满足,则的最小值是______【答案】【解析】由已知分离,然后进行1的代换后利用基本不等式即可求解.【详解】正实数x,y满足,则当且仅当且即,时取得最小值是故答案为:【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求解最值,解题的关键是进行分离后利用1的代换,在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用,否则会出现错误.16.若不等式对任意,恒成立,则a的取值范围是______.【答案】【解析】不等式,,,,令,可得:利用导数研究其单调性极值最值即可得出.【详解】不等式,,,,令,可得:..函数在,可知:时函数取得最大值,..不等式对任意,恒成立,的取值范围是.故答案为:.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法、方程与不等式的解法,考查了推理能力与计算能力,属于难题.三、解答题17.已知x,y是实数,求证:.【答案】见解析【解析】利用综合法,证明不等式即可.【详解】因为,可得,,可得,所以.【点睛】本题考查不等式的证明,综合法的应用,是基本知识的考查.18.已知全集,集合,,求,.【答案】,【解析】先求出A,B,然后进行交集、并集和补集的运算即可.【详解】;;;;,;.【点睛】考查描述法表示集合的定义,,以及交集、并集和补集的运算.19.已知命题p:关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根;命题q:关于x的一元二次方程对于任意实数a都没有实数根.若命题p为真命题,求实数m的取值范围;若命题p和命题q中有且只有一个为真命题,求实数m的取值范围.【答案】(1);(2)或.【解析】由题意可得判别式大于0,由绝对值不等式的解法可得m的范围;考虑命题q真,运用绝对值不等式的性质和判别式小于0,解不等式可得m的范围,由p,q 一真一假,解不等式即可得到所求范围.【详解】命题p:关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根,可得,解得;命题q:关于x的一元二次方程对于任意实数a都没有实数根,可得,由,可得无实数解,可得,即,命题p和命题q中有且只有一个为真命题,可得或,即有或.【点睛】本题考查二次方程和二次不等式的解法,注意运用判别式和绝对值不等式的性质,考查化简运算能力,属于基础题.20.已知集合,集合当时,求集合和集合B;若集合为单元素集,求实数m的取值集合;若集合的元素个数为个,求实数m的取值集合【答案】(1),;(2);(3)【解析】(1)m=2时,化简集合A,B,即可得集合∁R A和集合B;(2)集合B∩Z为单元素集,所以集合B中有且只有一个整数,而0∈B,所以抛物线y=(1﹣m2)x2+2mx ﹣1的开口向上,且与x轴的两个交点都在[﹣1,1]内,据此列式可得m=0;(3)因为A=(﹣∞,﹣1)∪(2,+∞),(A∩B)∩Z中由n个元素,所以1﹣m2>0,即﹣1<m<1;A∩B中至少有3或﹣2中的一个,由此列式可得.【详解】集合A={x|x2﹣x﹣2≥0}={x|x≥2或x≤﹣1},集合{x|(1﹣m2)x2+2mx﹣1<0,m∈R}={x|[(1+m)x﹣1][(1﹣m)x+1]<0}(1)当m=2时,集合∁R A={x|﹣1<x<2};集合B={x|﹣1<x<};(2)因为集合B∩Z为单元素集,且0∈B,所以,解得m=0,当m=0时,经验证,满足题意.故实数m的取值集合为{0}(3)集合(A∩B)∩Z的元素个数为n(n∈N)个,A∩B中至少有3或﹣2中的一个,所以令f(x)=(1﹣m2)x2+2mx﹣1,依题意有或,解得﹣1<m<﹣或<m<1∴【点睛】本题考查了交、并、补集的混合运算属难题.21.已知集合P的元素个数为个且元素为正整数,将集合P分成元素个数相同且两两没有公共元素的三个集合A、B、C,即,,,,其中,,若集合A、B、C中的元素满足,,,2,,则称集合P为“完美集合”.若集合2,,2,3,4,5,,判断集合P和集合Q是否为“完美集合”?并说明理由;已知集合x,3,4,5,为“完美集合”,求正整数x的值;【答案】(1)见解析;(2)见解析【解析】(1)讨论集合A与集合B,根据完美集合的概念知集合C,根据a k+b k=c k ,可依次判断集合P与Q是否为完美集合;(2)讨论集合AB,根据完美集合的定义,建立等式求x的值.【详解】(1)集合P=2,为“完美集合”,令A={1},B={2},C={3}.则集合A、B、C中的元素满足a k+b k=c k,集合Q=2,3,4,5,不是“完美集合”,若集合Q为“完美集合”,则C中元素最小为3,若C的最小元素为3,则a1+b1=1+2=3,a2+b2=4+5=c2=6不可能成立,若C的最小元素为4,则a1+b1=1+3=4,a2+b2=2+5=c2=6不可能成立,若C的最小元素为5,则a1+b1=1+4=5,a2+b2=2+3=c2=6不可能成立,综上可得集合Q={1,2,3,4,5,6}不是“完美集合”(2)由(1)可得x≠2,若A={1,3},4∈B,则5∈C,6∈B,x=3+6=9∈C满足“完美集合”的定义;若A={1,3},5∈B,则6∈C,5∈B,x=3+5=8∈C满足“完美集合”的定义;【点睛】这个题目考查了集合的新概念型问题,关键是读懂题意,按照题目所给的定义求解.。