2018-2019学年上海市建平中学高一上学期期中考试数学试题(解析版)

2018-2019学年上海市浦东新区建平中学高一（上）期中数学试卷一、填空题1．设全集∪＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{2，4，6}，则∁U A＝．2．不等式＜0的解集是．3．已知集合A＝{﹣1，0，2}，B＝{a2+1}，若B⊄A，则实数a的值为．4．用列举法写出集合A＝{y|y＝x2﹣1，x∈Z，|x|≤1}＝5．已知不等式x2﹣ax+b≤0的解集为[2，3]，则a+b＝6．命题“如果a≠0，那么a2＞0”的逆否命题为．7．已知集合A＝{（x，y）|y＝x+1，x∈R}，B＝{（x，y）|y＝3﹣x．x∈R}，则A∩B＝．8．若“x＞1”是“x≥a”的充分不必要条件，则a的取值范围为．9．已知集合A＝{x||x﹣1|≤1}，B＝{x|ax＝2}，若A∪B＝A，则实数a的取值集合为10．已知集合{x|（x﹣2）（x2﹣2x+a）＝0，x∈R}中的所有元素之和为2，则实数a的取值集合为．11．已知正实数x，y满足x+y＝1，则﹣的最小值是12．若不等式x+4≤a（x+y）对任意x＞0，y＞0恒成立，则a的取值范围是．二、选择题13．“x＞1”是“”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件14．若实数a、b满足条件a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．＜B．a2＞b2C．ab＞b2D．a3＞b315．设集合P＝{m|﹣1＜m≤0}，Q＝{m|mx2+2mx﹣1＜0}对任意x∈R恒成立，则P与Q的关系是（）A．P⊄Q B．Q⊄P C．P＝Q D．P∩Q＝∅16．已知集合A＝{1，2，3，…n）（n∈N*}，集合B＝{j1，j2，…j k）（k≥2，k∈N*）是集合A的子集，若1≤j1＜j2＜…＜j m≤n且j i+1﹣j i≥m（i＝1，2，……，k﹣1），满足集合B的个数记为n（k⊕m），则7（3⊕2）＝（）A．9B．10C．11D．12三、解答题17．已知x，y是实数，求证：x2+y2≥2x+2y﹣2．18．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣x﹣12＜0}，B＝{y|y＝，x∈R}，求A∩B，A∪（∁U B）．19．已知命题p：关于x的一元二次方程x2﹣2x+|m﹣2|＝0有两个不相等的实数根；命题q：关于x的一元二次方程x2﹣mx+|a+1|+|a﹣3|＝0对于任意实数a都没有实数根．（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；（2）若命题p和命题q中有且只有一个为真命题，求实数m的取值范围．20．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2≥0}，集合B＝{x|（1﹣m2）x2+2mx﹣1＜0，m∈R}．（1）当m＝2时，求集合∁R A和集合B；（2）若集合B∩Z为单元素集，求实数m的取值集合；（3）若集合（A∩B）∩Z的元素个数为n（n∈N*）个，求实数m的取值集合．21．已知集合P的元素个数为3n（n∈N*）个且元素为正整数，将集合P分成元素个数相同且两两没有公共元素的三个集合A、B、C，即P＝A∪B∪C，A∩B＝∅，A∩C＝∅，B∩C＝∅，其中A＝{a1，a2，…，a n}，B＝{b1，b2，…b n}，C＝{c1，c2，…，c n}．若集合A、B、C中的元素满足c1＜c2＜…＜c n，a k+b k＝c k，k＝1，2，…n，则称集合P为“完美集合”．（1）若集合P＝{1，2，3}，Q＝{1，2，3，4，5，6}，判断集合P和集合Q是否为“完美集合”？并说明理由；（2）已知集合P＝{1，x，3，4，5，6}为“完美集合”，求正整数x的值；（3）设集合P＝{x|1≤x≤3n，n≥2，n∈N*}①证明：集合P为“完美集合”的一个必要条件是n＝4k或n＝4k+1（k∈N*）②判断当n＝4时，集合P是否为“完美集合”，如果是，求出所有符合条件的集合C；如果不是，请说明理由．2018-2019学年上海市浦东新区建平中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试卷解析一、填空题1．【解答】解：全集∪＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{2，4，6}，则∁U A＝{1，3，5}．故答案为：{1，3，5}．2．【解答】解：∵＜0，∴（x﹣1）（x+2）＜0，解得：﹣2＜x＜1，故不等式的解集是（﹣2，1），故答案为：（﹣2，1）．3．【解答】解：若B⊂A，则①a2+1＝﹣1，a∈∅；②a2+1＝0，a∈∅；③a2+1＝2，a＝±1；∵B⊄A，∴a≠±1．故答案为：a≠±1．4．【解答】解：∵|x|≤1，且x∈Z；∴x＝﹣1，0，或1；∴x2＝0，或1；∴y＝﹣1，或0；∴A＝{﹣1，0}．故答案为：{﹣1，0}．5．【解答】解：不等式x2﹣ax+b≤0的解集为[2，3]，∴方程x2﹣ax+b＝0的实数根为2和3，∴，a＝5，b＝6；∴a+b＝11．故答案为：11．6．【解答】解：原命题“如果a≠0，那么a2＞0”，∴其逆否命题为：“若a2≤0，则a＝0”．故答案为：若a2≤0，则a＝0．7．【解答】解：A∩B＝{（x，y）|}＝{（1，2）}．故答案为：{（1，2）}．8．【解答】解：若“x＞1”是“x≥a”的充分不必要条件，则a≤1，故答案为：a≤19．【解答】解：A＝{x|0≤x≤2}，①B＝∅，a＝0，②B≠∅，B＝{}，0＜≤2，≥，∴a≥1，故实数a的取值集合为[1，+∞）∪{0}．故答案为：[1，+∞）∪{0}．10．【解答】解：∵集合{x|（x﹣2）（x2﹣2x+a）＝0，x∈R}中的所有元素之和为2，∴x2﹣2x+a＝0的解为x＝0或无解，∴a＝0或Δ＝4﹣4a＜0，解得a＞1．∴实数a的取值集合为{a|a＝0或a＞1}．故答案为：{a|a＝0或a＞1}．11．【解答】解：正实数x，y满足x+y＝1，则﹣＝＝＝（）[x+（y+1）]﹣4＝（5+）﹣4＝当且仅当且x+y＝1即y＝，x＝时取得最小值是/故答案为：12．【解答】解：∵不等式x+4≤a（x+y），x＞0，y＞0，∴a≥＝，令＝t＞0，可得：f（t）＝．f′（t）＝＝＝．可知：t＝时函数f（t）取得最大值，＝4．f（0）＝0．∴0＜f（t）≤4．∵不等式x+4≤a（x+y）对任意x＞0，y＞0恒成立，∴a的取值范围是a≥4．故答案为：[4，+∞）．二、选择题13．【解答】解：若x＞1，则0＜，则成立，即充分性成立，若当x＜0时，成立，但x＞1不成立，即必要性不成立，即“x＞1”是“”成立的充分不必要条件，故选：A．14．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A、a＝1，b＝﹣1时，有＞成立，故A错误；对于B、a＝1，b＝﹣2时，有a2＜b2成立，故B错误；对于C、a＝1，b＝﹣2时，有ab＜b2成立，故C错误；对于D、由不等式的性质分析可得若a＞b，必有a3＞b3成立，则D正确；故选：D．15．【解答】解：∵集合P＝{m|﹣1＜m≤0}，Q＝{m|mx2+2mx﹣1＜0}对任意x∈R恒成立，∴Q＝{m|﹣1＜m≤0}．∴P与Q的关系是P＝Q．故选：C．16．【解答】解：由题意可得n＝7，k＝3，m＝2，那么集合A＝{1，2，3，4，5，6，7}；集合B＝{j1，j2，j3}，1≤j1＜j2≤7，j i+1﹣j i≥2满足集合B的个数列罗出来，可得：{1，3，5}，{1，3，6}，{1，3，7}，{1，4，6}，{1，4，7}；{1，5，7}，{2，4，6}，{2，4，7}，{2，5，7}，{3，5，7}，故选：B．三、解答题17．【解答】证明：因为x2﹣2x+1＝（x﹣1）2≥0，可得x2≥2x﹣1，y2﹣2y+1＝（y﹣1）2≥0，可得y2≥2y﹣1，所以x2+y2≥2x+2y﹣2．18．【解答】解：A＝{x|﹣3＜x＜4}；∵x4+1≥2x2；∴；∴B＝{y|y≥2}；∴A∩B＝[2，4），∁U B＝{y|y＜2}；∴A∪（∁U B）＝（﹣∞，4）．19．【解答】解：（1）命题p：关于x的一元二次方程x2﹣2x+|m﹣2|＝0有两个不相等的实数根，可得Δ＝12﹣4|m﹣2|＞0，解得﹣1＜m＜5；（2）命题q：关于x的一元二次方程x2﹣mx+|a+1|+|a﹣3|＝0对于任意实数a都没有实数根，可得﹣x2+mx＝|a+1|+|a﹣3|，由|a+1|+|a﹣3|≥|a+1﹣a+3|＝4，可得﹣x2+mx﹣4≥0无实数解，可得Δ＝m2﹣16＜0，即﹣4＜m＜4，命题p和命题q中有且只有一个为真命题，可得或，即有4≤m＜5或﹣4＜m≤﹣1．20．【解答】解：集合A＝{x|x2﹣x﹣2≥0}＝{x|x≥2或x≤﹣1}，集合{x|（1﹣m2）x2+2mx﹣1＜0，m∈R}＝{x|[（1+m）x﹣1][（1﹣m）x+1]＜0}（1）当m＝2时，集合∁R A＝{x|﹣1＜x＜2}；集合B＝{x|x＞1或x＜}；（2）因为集合B∩Z为单元素集，且0∈B，所以，解得m＝0，当m＝0时，经验证，满足题意．故实数m的取值集合为{0}（3）集合（A∩B）∩Z的元素个数为n（n∈N*）个，等价于（1﹣m2）x2+2mx﹣1＜0在（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）上有整数解，所以令f（x）＝（1﹣m2）x2+2mx﹣1，依题意有1﹣m2≤0或或，解得m＜﹣或m＞0．21．【解答】解：（1）将P分为集合{1}、{2}、{3}，满足条件，是完美集合．将Q分成3个，每个中有两个元素，若为完美集合，则a1+b1＝c1、a2+b2＝c2，Q中所有元素之和为21，21÷2＝c1+c2＝10.5，不符合要求；（2）若集合A＝{1，4}，B＝{3，5}，根据完美集合的概念知集合C＝{6，7}，若集合A＝{1，5}，B＝{3，6}，根据完并集合的概念知集合C＝{4，11}，若集合A＝{1，3}，B＝{4，6}，根据完并集合的概念知集合C＝{5，9}，故x的一个可能值为7，9，11中任一个；（3）①证明：P中所有元素之和为1+2+…+3n＝＝a1+b1+c1+a2+b2+c2+…+a n+b n+c n＝2（c1+c2+…+c n﹣1+c n），∵c n＝3n，∴＝c1+c2+…+c n﹣1+3n，∴＝c1+c2+…+c n﹣1，等号右边为正整数，则等式左边9n（n﹣1）可以被4整除，∴n＝4k或n﹣1＝4k，即n＝4k或n＝4k+1；②p是完美集合，A＝{1，4，3，2}，B＝{6，5，8，10}，C＝{7，9，11，12}或A＝{1，2，4，3}，B＝{5，8，7，9}，C＝{6，10，11，12}或A＝{2，4，3，1}，B＝{6，5，7，11}，C＝{8，9，10，12}．。

建平中学高一期中数学卷一.填空题1.已知全集{}5,6,7,8,9U =，{}6,7,8A =，那么U A =ð________.2.不等式211x x +<-的解集是________.3.已知,a b R ∈，命题：若0ab ≠，则0a ≠且0b ≠的逆否命题是__．4.已知函数()222019,0,0x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，则()2f =________.5.若“x a >”是“5x >”的充分非必要条件，则实数a 的取值范围是________.6.若x 、y +∈R ，且4xy =，则4x y +的最小值是________.7.函数y =________.8.设函数()246,06,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，则不等式()3f x >的解集是________.9.若函数()f x =的定义域为R ，则实数m 的取值范围是______.10.已知集合2{|(2)10,}A x x a x x R =+++=∈，{|0,}B x x x =>∈R ，若A B ⋂=∅，则实数a 的取值范围是________．11.关于x 的不等式2315x x a a+--≤-的解集不是∅，则实数a 的取值范围为______.12.已知x 、y +∈R ，21x y +=，可以利用不等式1ax x +≥42ay y +≥()0a >求得14x y +的最小值，则其中正数a 的值是________.二.选择题13.对于集合M 、N ，若M NÜ，则下面集合的运算结果一定是空集的是（）A.U M NI ð B.U M Nð C.U UM N痧ID.M N⋂14.已知a ，b ，c 满足c b a <<，且0ac <，那么下列各式中不一定成立的是（）A.ab ac >B.()0c b a ->C.22cb ab < D.()0ac a c -<15.若集合{}2540A x x x =-+<，{}1B x x a =-<，则“()2,3a ∈”是“B A ⊆”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又不必要条件16.已知A 与B 是集合{}1,2,3,,100L 的两个子集，满足：A 与B 的元素个数相同，且A B ⋂为空集，若n A ∈时总有22n B +∈，则集合A B ⋃的元素个数最多为（）A.62B.66C.68D.74三.解答题17.解不等式组()()31150x x x ⎧->⎪⎨--≥⎪⎩.18.若0a >，0b >，求证：22b a a b a b+≥+.19.若()f x x=+，()()02x g x x-=，()()()F x f x g x =+.（1）分别求()f x 与()g x 的定义域；（2）求()F x 的定义域与值域；（3）在平面直角坐标系内画出函数()F x 的图象，并标出特殊点的坐标.20.设集合{}210A x x =-=，集合{}20,B x x ax b x R =-+=∈，且B ≠∅.（1）若B A ⊆，求实数a 、b 的值；（2）若A C ⊆，且{}21,21,C m m =-+，求实数m 的值.21.按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a 元，如果他卖出该产品的单价为m 元，则他的满意度为m m a +；如果他买进该产品的单价为n 元，则他的满意度为nn a+.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为1h 和2h 现假设甲生产A 、B 两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A 、B 两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A 、B 的单价分别为A m 元和B m 元，甲买进A 与卖出B 的综合满意度为h 甲，乙卖出A 与买进B 的综合满意度为h 乙(1)求h 甲和h 乙关于A m 、B m 的表达式；当35A B m m =时，求证：h 甲=h 乙；(2)设35A B m m =，当A m 、B m 分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？(3)记(2)中最大的综合满意度为0h ，试问能否适当选取A m 、B m 的值，使得0h h ≥甲和0h h ≥乙同时成立，但等号不同时成立？试说明理由．建平中学高一期中数学卷一.填空题1.已知全集{}5,6,7,8,9U =，{}6,7,8A =，那么U A =ð________.【答案】{}5,9【分析】根据补集的定义可得出集合U A ð.【详解】 全集{}5,6,7,8,9U =，{}6,7,8A =，由补集的定义可得{}5,9U A ð=.故答案为{}5,9.【点睛】本题考查补集的计算，考查对补集定义的理解，属于基础题.2.不等式2101x x +<-的解集是________.【答案】112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【分析】将分式不等式等价变形为()()2110x x +-<，解此不等式即可.【详解】不等式2101x x +<-等价于()()2110x x +-<，解得112x -<<，因此，不等式2101x x +<-的解集是112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭.故答案为112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭.【点睛】本题考查分式不等式的求解，考查运算求解能力，属于基础题.3.已知,a b R ∈，命题：若0ab ≠，则0a ≠且0b ≠的逆否命题是__．【答案】若0a =或0b =，则0ab =【分析】根据逆否命题的定义进行求解即可．【详解】由逆否命题定义可得原命题的逆否命题为：若0a =或0b =，则0ab =故答案为：若0a =或0b =，则0ab =.【点睛】本题主要考查四种命题的关系，掌握逆否命题的定义是解决本题的关键．4.已知函数()222019,0,0x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，则()2f =________.【答案】4-【分析】根据分段函数()y f x =的解析式可计算出()2f 的值.【详解】()222019,0,0x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩ ，()2224f ∴=-=-.故答案为4-.【点睛】本题考查分段函数值的计算，解题时要根据自变量所满足的定义域选择合适的解析式来进行计算，考查计算能力，属于基础题.5.若“x a >”是“5x >”的充分非必要条件，则实数a 的取值范围是________.【答案】()5,+∞【分析】根据充分非必要条件关系得出()(),5,a +∞+∞Ü，由此可得出实数a 的取值范围.【详解】 “x a >”是“5x >”的充分非必要条件，()(),5,a ∴+∞+∞Ü，则5a >.因此，实数a 的取值范围是()5,+∞.故答案为()5,+∞.【点睛】本题考查利用充分不必要条件求参数，一般转化为集合包含关系来求解，考查化归与转化思想的应用，属于基础题.6.若x 、y +∈R ，且4xy =，则4x y +的最小值是________.【答案】8【分析】直接利用基本不等式可求出4x y +的最小值.【详解】由基本不等式可得48x y +≥==，当且仅当4y x =时，等号成立.因此，4x y +的最小值为8.故答案为8.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，在利用基本不等式求最值时，也要注意“一正、二定、三相等”条件的成立，考查计算能力，属于基础题.7.函数y =________.【答案】()2,∞+【分析】根据偶次根式被开方数非负、分式中分母不为零，列出关于x 的不等式组，解出即可得出函数的定义域.【详解】由题意可得2102520x x x -≥⎧⎨-+>⎩，解得2x >.因此，函数y =的定义域是()2,∞+.故答案为()2,∞+.【点睛】本题考查具体函数定义域的求解，解题时要根据函数解析式有意义列不等式组进行求解，考查计算能力，属于基础题.8.设函数()246,06,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，则不等式()3f x >的解集是________.【答案】()()3,13,-+∞ 【分析】分0x ≥与0x <两种情况解不等式()3f x >，得出不等式的解集与定义域取交集，然后将两段解集取并集可得出()3f x >的解集.【详解】当0x ≥时，由()3f x >，得2463x x -+>，即2430x x -+>，解得1x <或3x >，此时，01x ≤<或3x >；当0x <时，由()3f x >，得63x +>，解得3x >-，此时，30x -<<.综上所述，不等式()3f x >的解集是()()3,13,-+∞ .故答案为()()3,13,-+∞ .【点睛】本题考查分段不等式的求解，解题时要注意对自变量的取值范围进行分类讨论，在得出不等式的解集后要注意与定义域取交集，考查运算求解能力，属于中等题.9.若函数()f x =的定义域为R ，则实数m 的取值范围是______.【答案】1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】由题意知，对任意的x R ∈，不等式()221940mx m x m ++++≥恒成立，然后分0m =和0m >⎧⎨∆≤⎩两种情况分析，由此可得出实数m 的取值范围.【详解】由题意可知，对任意的x R ∈，不等式()221940mx m x m ++++≥恒成立.①当0m =时，则有240x +≥，该不等式在R 上不恒成立；②当0m >时，由于不等式()221940mx m x m ++++≥在R 上恒成立，则()()()224149448210m m m m m ∆=+-+=⨯--+≤，即28210m m +-≥，解得12m ≤-或14m ≥，此时，14m ≥.因此，实数m 的取值范围是1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故答案为1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题考查利用函数的定义域求参数，解题的关键就是将问题转化二次不等式在R 上恒成立问题，利用首项系数和判别式的符号来进行求解，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.10.已知集合2{|(2)10,}A x x a x x R =+++=∈，{|0,}B x x x =>∈R ，若A B ⋂=∅，则实数a 的取值范围是________．【答案】4a >-【分析】根据A B ⋂=∅可知，A =∅或方程2(2)10x a x +++=只有非正根，由此可解得a 的范围.【详解】分A ≠∅和A =∅两种情况讨论．①当A ≠∅时，A 中的元素为非正数，A B ⋂=∅，即方程2(2)10x a x +++=只有非正数解，所以2(2)40,(2)0,a a ⎧∆=+-≥⎨-+≤⎩解得0a ≥；②当A =∅时，2(2)40a ∆=+-<，解得40a -<<．综上所述，实数a 的取值范围是4a >-．故答案为：4a >-【点睛】当A B ⋂=∅时，包含A ≠∅和A =∅两种情况，A =∅容易被忽略.11.关于x 的不等式2315x x a a +--≤-的解集不是∅，则实数a 的取值范围为______.【答案】(][),14,-∞+∞ 【分析】由题意知，存在x R ∈，使得2315x x a a +--≤-，然后利用绝对值三角不等式求出31x x +--的最小值4-，将问题转化为解不等式254a a -≥-，解出即可.【详解】由题意知，存在x R ∈，使得2315x x a a +--≤-，则()2min531a a x x -≥+--.由绝对值三角不等式得()()31314x x x x +--≤+--=，4314x x ∴-≤+--≤，()2min 5314a a x x ∴-≥+--=-，即2540a a -+≥，解得1a ≤或4a ≥.因此，实数a 的取值范围是(][),14,-∞+∞ .故答案为(][),14,-∞+∞ .【点睛】本题考查绝对值不等式成立问题，一般转化为绝对值不等式的最值问题，可利用绝对值三角不等式来得到，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.12.已知x、y +∈R ，21x y +=，可以利用不等式1ax x+≥42ay y +≥()0a >求得14x y +的最小值，则其中正数a 的值是________.【答案】9+【分析】利用两个基本不等式等号成立的条件得出x 、y 的表达式，代入21x y +=可求出实数a 的值.【详解】由基本不等式得1axx +≥()10,0ax x a x =>>时，即当x =.由基本不等式得42ay y +≥，当且仅当()420,0ay y a y =>>时，即当y=时，等号成立.此时，21x y+==1=+所以，(219a =+=+.故答案为9+【点睛】本题考查利用基本不等式求最值时等号成立的条件，求出对应的变量后，还应将变量代入定值条件求出参数，考查运算求解能力，属于中等题.二.选择题13.对于集合M 、N ，若M N Ü，则下面集合的运算结果一定是空集的是（）A.U M N I ð B.U M Nð C.U UM N痧ID.M N⋂【答案】A【分析】作出韦恩图，利用韦恩图来判断出各选项集合运算的结果是否为空集.【详解】作出韦恩图如下图所示：如上图所示，U M N =∅I ð，U M N ≠∅I ð，U UM N ≠∅I 痧，M N M =≠∅I .故选A.【点睛】本题考查集合的运算，在解题时可以充分利用韦恩图法来表示，考查数形结合思想的应用，属于基础题.14.已知a ，b ，c 满足c b a <<，且0ac <，那么下列各式中不一定成立的是（）A.ab ac >B.()0c b a ->C.22cb ab <D.()0ac a c -<【答案】C【分析】由已知可得0a >，0c <，再由不等式的基本性质逐一判断即可．【详解】解：因为c b a <<，且0ac <，所以0a >，0c <，对于A ，0a >，0b c ->，所以()0ab ac a b c -=->，所以ab ac >，故A 正确；对于B ，()0c b a ->，故B 正确；对于C ，当0b =时，22cb ab =，故C 错误；对于D ，0ac <，0a c ->，所以()0ac a c -<，故D 正确．故选：C ．15.若集合{}2540A x x x =-+<，{}1B x x a =-<，则“()2,3a ∈”是“B A ⊆”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又不必要条件【答案】A【分析】解出集合A 、B ，由B A ⊆得出关于a 的不等式组，求出实数a 的取值范围，由此可判断出“()2,3a ∈”是“B A ⊆”的充分非必要条件.【详解】解不等式2540x x -+<，解得14x <<，{}14A x x ∴=<<.解不等式1x a -<，即11x a -<-<，解得11a x a -<<+，{}11B x a x a ∴=-<<+.B A ⊆ ，则有1114a a -≥⎧⎨+≤⎩，解得23a ≤≤.因此，“()2,3a ∈”是“B A ⊆”的充分非必要条件.故选A【点睛】本题考查充分非必要条件的判断，一般将问题转化为集合的包含关系来判断，考查逻辑推理能力，属于中等题.16.已知A 与B 是集合{}1,2,3,,100L 的两个子集，满足：A 与B 的元素个数相同，且A B ⋂为空集，若n A ∈时总有22n B +∈，则集合A B ⋃的元素个数最多为（）A.62 B.66C.68D.74【答案】B【分析】令22100n +≤，解得49n ≤，从A 中去掉形如22n +的数，此时A 中有26个元素，注意A 中还可含以下7个特殊元素：10、14、18、26、32、42、46，故A 中元素最多时，A 中共有33个元素，由此可得出结论.【详解】令22100n +≤，解得49n ≤，所以，集合A 是集合{}1,2,3,,49L 的一个非空子集.再由A B ⋂=∅，先从A 中去掉形如()22n n N *+∈的数，由2249n +≤，可得23n ≤，492326-=，此时，A 中有26个元素.由于集合A 中已经去掉了4、6、8、12、16、20、22这7个数，而它们对应的形如22n +的数分别为10、14、18、26、32、42、46，并且10、14、18、26、32、42、46对应的形如22n +的数都在集合B 中.故集合A 中还可有以下7个特殊元素：10、14、18、26、32、42、46，故集合A 中元素最多时，集合A 中共有33个元素，对应的集合B 也有33个元素，因此，A B ⋃中共有66个元素.故选B.【点睛】本题考查集合中参数的取值问题，同时也考查了集合中元素的个数问题，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.三.解答题17.解不等式组()()31150x x x ⎧->⎪⎨--≥⎪⎩.【答案】[)(]1,24,5U 【分析】分别解出两个不等式，然后将两个不等式的解集取交集即可得出不等式组的解集.【详解】解不等式31x ->，即31x -<-或31x ->，解得2x <或>4x .解不等式()()150x x --≥，即()()150x x --≤，解得15x ≤≤.因此，不等式组()()31150x x x ⎧->⎪⎨--≥⎪⎩的解集为[)(]1,24,5U .【点睛】本题考查不等式组的解法，涉及绝对值不等式和一元二次不等式的求解，考查运算求解能力，属于基础题.18.若0a >，0b >，求证：22b a a b a b+≥+.【答案】证明见解析.【分析】将不等式两边做差，变形为多个因式的积或商的形式，判断每个因式的正负即可.【详解】2233()()b a a b a b ab a b a b ab ⎛⎫+-++-+= ⎪⎝⎭()222()()()a b a ab b ab a b a b ab ab+-+-+-==.0a > ，0b >，0a b +>2()()0a b a b ab+-∴≥，22()0b a a b a b ⎛⎫∴+-+≥ ⎪⎝⎭∴原式得证.19.若()f x x=+，()()02x g x x -=，()()()F x f x g x =+.（1）分别求()f x 与()g x 的定义域；（2）求()F x 的定义域与值域；（3）在平面直角坐标系内画出函数()F x 的图象，并标出特殊点的坐标.【答案】（1）()f x 的定义域为()0,∞+，()g x 的定义域为()()0,22,+∞U ；（2）()F x 的定义域是()()0,22,+∞U ，()F x 的值域是[)2,∞+；（3）图象见解析.【分析】（1）根据函数解析式有意义列不等式组，由此可得出函数()y f x =和()y g x =的定义域；（2）将函数()y f x =和()y g x =的定义域取交集可得出函数()y F x =的定义域，并求出函数()y F x =的解析式，利用基本不等式可得出函数()y F x =的值域；（3）根据双勾函数的图象可得出函数()y F x =在其定义域上的图象.【详解】（1）对于函数()f x x =+0x >，则函数()f x x =+的定义域为()0,∞+.对于函数()()02x g x x --=，有2000x x x -≠⎧⎪≥⎨⎪≠⎩，解得0x >且2x ≠，所以，函数()()02x g x x -=的定义域为()()0,22,+∞U ；（2）()()()11x x F x f x g x x x x x x-=+=++=+Q ，定义域为()()0,22,+∞U .由基本不等式可得()12F x x x =+≥=，当且仅当1x =时，等号成立.因此，函数()y F x =的值域为[)2,∞+；（3）函数()1F x x x=+，()()0,22,x ∈+∞U为双勾函数图象的一部分，如下图所示：【点睛】本题考查函数的定义域与值域的求解，同时也涉及到了函数图象的画法，解题时要熟悉几种常见的函数，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.20.设集合{}210A x x =-=，集合{}20,B x x ax b x R =-+=∈，且B ≠∅.（1）若B A ⊆，求实数a 、b 的值；（2）若A C ⊆，且{}21,21,C m m =-+，求实数m 的值.【答案】（1）2a =，1b =或2a =-，1b =或0a =，1b =-；（2）0m =或1m =.【分析】（1）解出集合{}1,1A =-，分集合{}1B =-、{}1、{}1,1-三种情况讨论，结合韦达定理可得出实数a 、b 的值；（2）由A C ⊆可得出211m +=或21m =，并利用集合C 中的元素满足互异性得出实数m 的值.【详解】（1）{}{}2101,1A x x =-==- ，B A ⊆ ，且B ≠∅，分以下三种情况讨论：①当{}1B =-时，由韦达定理得()212211a b =-⨯=-⎧⎪⎨=-=⎪⎩；②当{}1B =时，由韦达定理得212211a b =⨯=⎧⎨==⎩；③当{}1,1B =-时，由韦达定理得()()110111a b ⎧=+-=⎪⎨=⨯-=-⎪⎩.综上所述，2a =，1b =或2a =-，1b =或0a =，1b =-；（2）A C ⊆ ，且{}21,21,C m m =-+，211m ∴+=或21m =，解得0m =或1m =±.当0m =时，{}1,1,0C =-，集合C 中的元素满足互异性，合乎题意；当1m =-时，211m +=-，集合C 中的元素不满足互异性，舍去；当1m =时，{}1,3,1C =-，集合C 中的元素满足互异性，合乎题意.综上所述，0m =或1m =.【点睛】本题考查利用集合的包含关系求参数，同时也考查了一元二次方程根与系数的关系，解题时要注意有限集中的元素要满足互异性，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.21.按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a 元，如果他卖出该产品的单价为m 元，则他的满意度为m m a +；如果他买进该产品的单价为n 元，则他的满意度为n n a+.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为1h 和2h现假设甲生产A 、B 两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A 、B 两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A 、B 的单价分别为A m 元和B m 元，甲买进A 与卖出B 的综合满意度为h 甲，乙卖出A 与买进B 的综合满意度为h 乙(1)求h 甲和h 乙关于A m 、B m 的表达式；当35A B m m =时，求证：h 甲=h 乙；(2)设35A B m m =，当A m 、B m 分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？(3)记(2)中最大的综合满意度为0h ，试问能否适当选取A m 、B m 的值，使得0h h ≥甲和0h h ≥乙同时成立，但等号不同时成立？试说明理由．【答案】(1)见解析（2）即20,12B A m m ==时，甲乙两人同时取到最大的综合满意度为5.(3)不存在满足条件的A m 、B m 的值【详解】本小题主要考查函数的概念、基本不等式等基础知识，考查数学建模能力、抽象概括能力以及数学阅读能力．满分16分．(1)当35A B m m =时，h ==甲h ==乙,h 甲=h 乙（2）当35A B m m =时，h =甲由111[5,20][,]205B B m m ∈∈得，故当1120B m =即20,12B A m m ==时，甲乙两人同时取到最大的综合满意度为105．（3）（方法一）由（2）知：0h=5由05h h ≥=甲得：12552A B A B m m m m ++⋅≤，令35,,A B x y m m ==则1[,1]4x y ∈、，即：5(14)(1)2x y ++≤．同理，由得：5(1)(14)2x y ++≤另一方面，1[,1]4x y ∈、51414[2,5],11[,2],2x y x y 、、++∈++∈55(14)(1),(1)(14),22x y x y ++≥++≥当且仅当14x y ==，即A m =B m 时，取等号．所以不能否适当选取A m 、B m 的值，使得0h h ≥甲和0h h ≥乙同时成立，但等号不同时成立．。

上海市建平中学2018届高三上学期期中考试数学试题2017.11一.填空题1. 函数f (x) Tog2(x—3)的定义域是 ___________x _12. 若集合A ={x| 0}，则C R A二 ________x_33. 函数f (x)二sinx的零点是_________4 J!4. 已知二是第二象限角且cos ，则sin(二-')二__________5 42 1T5. 在扇形OAB中，中心角• AOB二幺，若弧AB的长为2二，则扇形OAB的面积为36. 函数y =sin(2x ')的单调递增区间为______________47. 函数f(x) =2cos2x sin2 x -1，x • ［0「］的值域为___________28. 函数f(x) =As in •‘X ( A .0，u >0 )在［0,二］上至少取到一次振幅，则频率的最小值为_________9. 已知函数f (x)满足：对任意a,b R，a中b，都有af (a) bf (b) af (b) bf (a)，则不等式f(|x|) ■ f(2x 1)的解集为______________Q *10. 若关于x的不等式x -axcos二x・4一0对任意N成立，则实数a的取值范围是11. 设函数f (x)、g(x)的定义域均为R，若对任意x1,x^ R，且x1：：：x2，具有f (x1^l f (x2)，则称函数f (x)为R上的单调非减函数，给出以下命题：①若f(x)关于点(a,0)和直线x=b( b=a)对称，则f (x)为周期函数，且2(b - a)是f(x)的一个周期；②若f(x)是周期函数，且关于直线X二a对称，则f(x)必关于无穷多条直线对称；③若f(x)是单调非减函数，且关于无穷多个点中心对称，则f(x)的图像是一条直线；④若f(x)是单调非减函数，且关于无穷多条平行于y轴的直线对称，则f (x)是常值函数；以上命题中，所有真命题的序号是___________12. 已知a1、a2、a3、a°与d、b?、R、是8个不同的实数，若方程|x—a1||x—a2||x—a3||x—a4|=|x—b1||x—b2||x— b3「|x — b4| 有有限多个解，则此方程的解最多有_________ 个3选择题13.将函数y =sin2x 的图像向左平移 二个单位，得到函数（）的图像4A. y =sin2xB. y=cos2xC. y =—sin 2xD. y = —cos2x14. 下列函数在其定义域上既是奇函数，又是增函数的是（15.下列关于充分必要条件的判断中，错误的是（）A. “ x • （0,二）”是“ sinx • — - 2 ”的充分条件2sin xB. “ a b _2 ”是“ ab _1 ”的必要条件 1C. “ x 0 ”是“ X • — _ 2 ”的充要条件xD. “ a 0， b • 0 ”是“ a b 2一 ab ”的非充分非必要条件16. 汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1升汽油行使的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆 汽车在不同速度下的燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）A. 消耗1升汽油，乙车最多可行使5千米B. 以相同速度行使相同路程，三辆车中， 甲车消耗汽油最多C. 甲车以80千米/小时的速度行使1小时, 消耗10升汽油D. 某城市机动车最高限速 80千米/小时, 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油三.解答题（1） 若cosB讨，求b 的值；（2） 若a =讦3，求 ABC 的面积的最大值A. y = lg(x . x -1)B.C.y =7^7 22-12D. y =2x1-2"17.在 ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为 cos A 二VHHI F ，1x 118.设函数 f(x)=4 -1 ( x_0 )的反函数为 f —(x), g(x^log 4(3x 1). (1 )求 f "(x)；(2)若函数h(x) =2g(x) - f 」(x)的图像与直线y =a 有公共点，求实数 a 的取值范围19.某工程队共有500人，要建造一段6000米的高速公路，工程需要把 500人分成两组, 甲组的任务是完成一段 4000米的软土地带，乙组的任务是完成剩下的 2000米的硬土地带, 据测算，软、硬土地每米的工程量是 30工(工为计量单位)和 40工.(1 )若平均分配两组的人数，分别计算两组完工的时间，并求出此时全队的筑路工期； (2 )如何分配两组的人数会使得全队的筑路工期最短？20.已知函数 f (x) = x | x 「a | bx ， a,b R .(1 )若a=0，判断f (x)的奇偶性，并说明理由; (2 )若b=0，求f(x)在［1,3］上的最小值;f (x) f (x) - g(x) 21.给定函数 f(x)、g(x)，定义 F(f(x),g(x)) .l g(x) f(x)<g(x)/、"口f (x)+g(x) + | f (x)—g(x) |(1)证明:F(f(x),g(x))：(2 )若 f(x) =si n2x-cosx ， g(x) =si n2x cosx ，证明：F (f (x), g(x))是周期函数; (3)若 f(x)=A t Si n “X ，in 2x ， A=0，- - 0 , i =1,2，证明：f (x) • g(x)是周期函数的充要条件是为有理数.(3)若 b0， 且 f(x)二a 2b 2有三个不同实根,十的取值范围.填空题三.解答题精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

上海市高一上学期数学期中考试试卷一、单选题1.如图，为全集，、、是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（）A. B. C . D.【答案】C【考点】交、并、补集的混合运算【解析】【解答】图中的阴影部分是：M∩P的子集，不属于集合S，属于集合S的补集即是C I S的子集则阴影部分所表示的集合是（M∩P）∩∁I S故答案为：C．【分析】根据集合的运算结合韦恩图，即可确定阴影部分所表示的集合.2.下列各组函数中，表示同一函数的是（）A. 与B. 与C. 与D. （）与（）【答案】D【考点】判断两个函数是否为同一函数【解析】【解答】对于A选项，，f（x）的定义域为R，g（x）的定义域为[0，+∞），∴不是同一函数；对于B选项的定义域为的定义域为∴不是同一函数；对于C选项，f（0）=-1，g（0）=1，f（0）≠g（0），∴不是同一函数．对于B选项，f（x）的定义域为，g（x）的定义域为，且且两函数解析式化简后为同一解析式，∴是同一函数.故答案为：D.【分析】判断两个函数是否表示同一个，看定义域和对应关系是否相同即可.3.已知，则“ ”是“ ”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】由题意可知：a，b∈R+，若“a2+b2＜1”则a2+2ab+b2＜1+2ab+a2•b2，∴（a+b）2＜（1+ab）2∴ab+1＞a+b．若ab+1＞a+b，当a=b=2时，ab+1＞a+b成立，但a2+b2＜1不成立．综上可知：“a2+b2＜1”是“ab+1＞a+b”的充分不必要条件．故答案为：A．【分析】根据不等式的性质，结合充分、必要条件的概念进行判断即可.4.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行使的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下得燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）A. 消耗1升汽油，乙车最多可行使5千米B. 以相同速度行使相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C. 甲车以80千米/小时的速度行使1小时，消耗10升汽油D. 某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油【答案】D【考点】函数的图象【解析】【解答】对于A，消耗升汽油，乙车行驶的距离比千米小得多，故错；对于B, 以相同速度行驶相同路程，三辆车中甲车消耗汽油最少，故错；对于C, 甲车以千米/小时的速度行驶小时，消耗升汽油, 故错；对于D,车速低于千米/小时，丙的燃油效率高于乙的燃油效率，用丙车比用乙车量多省油，故对.故答案为：D.【分析】根据图象的实际意义，对选项逐一判断即可.二、填空题5.函数的定义域为________【答案】【考点】函数的定义域及其求法【解析】【解答】由题意得，即定义域为【分析】要使函数有意义，应满足分式的分母不为0，偶次根式被开方数非负，解不等式组即可求出函数的定义域.6.已知集合，，则________【答案】【考点】交集及其运算【解析】【解答】由题集合集合故.故答案为.【分析】通过求函数的定义域求出集合A，通过求二次函数的值域求出集合B，根据交集的含义求出相应的集合即可.7.不等式的解集是________【答案】【考点】其他不等式的解法【解析】【解答】不等式，则故答案为.【分析】通过作差，将分式不等式转化为整式不等式，解相应的一元二次不等式即可求不相应的解集. 8.“若且，则”的否命题是________【答案】若或，则【考点】四种命题【解析】【解答】“若且，则”的否命题是“若或，则”.即答案为：若或，则【分析】将原命题的条件和结论都进行否定，即可得到否命题.9.已知，则的取值范围是________【答案】【考点】简单线性规划【解析】【解答】作出所对应的可行域，即（如图阴影），目标函数z=a-b可化为b=a-z，可看作斜率为1的直线，平移直线可知，当直线经过点A（1，-1）时，z取最小值-2，当直线经过点O（0，0）时，z取最大值0，∴a-b的取值范围是，故答案为：．【分析】作出可行域及目标函数相应的直线，平移直线即可求出相应的取值范围.10.若，，且，则的取值范围是_________【答案】【考点】集合关系中的参数取值问题【解析】【解答】由题，，且，当时，，则；当时，，则可得故的取值范围是.【分析】通过解绝对值不等式表示出集合A，将集合之间的关系转化为区间端点值的大小比较，即可求出实数a的取值范围.11.若关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是________ 【答案】【考点】不等式的综合【解析】【解答】略【分析】对二次项系数的取值分类讨论，当系数为0时，求出a值，直接验证符合题意；当二次项系数不为0时，开口向下，判别式小于0，解不等式组即可求出实数a的取值范围.12.若函数，则________【答案】【考点】函数解析式的求解及常用方法【解析】【解答】设,则则即即答案为.【分析】采用换元法，求出函数f（x）的表达式，代入即可求出f（2x+1）.13.若关于的不等式在上恒成立，则实数的最小值是__【答案】【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】【解答】∵关于的不等式在上恒成立，∴，∵x＞，∴，当且仅当，即时取等号，∴，∴，解得，，∴实数a的最小值为．故答案为．【分析】将不等式恒成立问题进行转化，结合基本不等式求出相应式子的最值，即可求出实数a的最小值.14.已知函数，（），若不存在实数使得和同时成立，则的取值范围是________【答案】【考点】其他不等式的解法【解析】【解答】由f（x）＞1，得＞1，化简整理得，解得即的解集为A={x|-2＜x＜-1或2＜x＜3}．由g（x）＜0得x2-3ax+2a2＜0，即（x-a）（x-2a）＜0，g（x）＜0的解集为B={x|2a＜x＜a，a＜0}．由题意A∩B=∅，因此a≤-2或-1≤2a＜0，A的取值范围是{a|a≤-2或- ≤a＜0}．即答案为.【分析】分别解相应的不等式，结合不等式的解集即可确定实数a的取值范围.15.当时，可以得到不等式，，，由此可以推广为，则________【答案】【考点】归纳推理【解析】【解答】∵x∈R+时可得到不等式，∴在p位置出现的数恰好是分母的指数的指数次方即答案为.【分析】根据已知式子归纳猜想，得到相应的关系即可确定P.16.已知数集（，）具有性质：对任意、（），与两数中至少有一个属于集合，现给出以下四个命题：①数集具有性质；②数集具有性质；③若数集具有性质，则；④若数集（）具有性质，则；其中真命题有________（填写序号）【答案】②③④【考点】元素与集合关系的判断【解析】【解答】①数集中，，故数集不具有性质；②数集满足对任意、（），与两数中至少有一个属于集合，故数集具有性质；③若数列A具有性质P，则a n+a n=2a n与a n-a n=0两数中至少有一个是该数列中的一项，∵0≤a1＜a2＜…＜a n，n≥3，而2a n不是该数列中的项，∴0是该数列中的项，∴a1=0；故③正确；④当 n=5时，取j=5，当i≥2时，a i+a5＞a5，由A具有性质P，a5-a i∈A，又i=1时，a5-a1∈A，∴a5-a i∈A，i=1，2，3，4，5∵0=a1＜a2＜a3＜a4＜a5，∴a5-a1＞a5-a2＞a5-a3＞a5-a4＞a5-a5=0，则a5-a1=a5， a5-a2=a4， a5-a3=a3，从而可得a2+a4=a5， a5=2a3， A2+a4=2a3，即答案为②③④.【分析】根据集合中元素的特点，结合集合中元素的互异性，逐一判断即可确定真命题个数.三、解答题17.设集合，集合.（1）若“ ”是“ ”的必要条件，求实数的取值范围；（2）若中只有一个整数，求实数的取值范围.【答案】（1）解：若“ ”是“ ”，则B⊆A，∵A={x|-1≤x≤2}，①当时，B={x|2m ＜x＜1}，此时-1≤2m＜1⇒；②当时，B=∅，有B⊆A成立；③当时B=∅，有B⊆A成立；；综上所述，所求m的取值范围是（2）解：∵A={x|-1≤x≤2}，∴∁R A={x|x＜-1或x＞2}，①当时，B={x|2m＜x＜1}，若∁R A∩B中只有一个整数，则-3≤2m＜-2，得②当m当时，不符合题意；③当时，不符合题意；综上知，m的取值范围是-【考点】集合关系中的参数取值问题【解析】【分析】（1）根据必要条件的概念，将集合的关系转化为端点值比较大小，即可求出实数m的取值范围；（2）根据交集、补集的概念，结合区间端点值的大小关系，即可求出实数m的取值范围.18.若“ ，求证：”除了用比较法证明外，还可以有如下证法：（当且仅当时等号成立），学习以上解题过程，尝试解决下列问题：（1）证明：若，，，则，并指出等号成立的条件；（2）试将上述不等式推广到（）个正数、、、、的情形，并证明. 【答案】（1）解：，∴，当且仅当时等号成立（2）解：故.当且仅当时等号成立【考点】归纳推理，类比推理【解析】【分析】（1）根据题干中证法及不等式的性质，结合基本不等式，即可证明相应的不等式成立；（2）根据具体例子，归纳推广即可证明相应的不等式.19.某公司有价值10万元的一条流水线，要提高该流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，改造就需要投入，相应就要提高产品附加值，假设附加值万元与技术改造投入万元之间的关系满足：①与和的乘积成正比；②当时，；③，其中为常数，且.（1）设，求出的表达式，并求出的定义域；（2）求出附加值的最大值，并求出此时的技术改造投入的的值.【答案】（1）解：设，当时，可得k=4，∴∴定义域为，t为常数，（2）解：因为定义域中函数在上单调递减，故.【考点】函数解析式的求解及常用方法，二次函数的性质【解析】【分析】（1）根据题意，采用待定系数法，设出表达式，求出相应的系数，即可得到f（x）机器定义域；（2）采用配方法，结合二次函数的单调性，求出函数的最大值即可.20.设数集由实数构成，且满足：若（且），则.（1）若，试证明中还有另外两个元素；（2）集合是否为双元素集合，并说明理由；（3）若中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合.【答案】（1）证明：若x∈A，则又∵2∈A，∴∵-1∈A，∴∴A中另外两个元素为，（2）解：，，，且，，，故集合中至少有3个元素，∴不是双元素集合（3）解：由，，可得，所有元素积为1，∴，、、，∴.【考点】元素与集合关系的判断【解析】【分析】（1）将x=2代入，即可求出集合A中的另外两个元素；（2）根据集合中元素的特点，确定集合A中至少有三个元素；（3）设出集合中相应的元素，结合元素之和，即可求出集合A.21.已知，设，，（，为常数）.（1）求的最小值及相应的的值；（2）设，若，求的取值范围；（3）若对任意，以、、为三边长总能构成三角形，求的取值范围.【答案】（1）解：。

2018-2019学年度建平中学高一年级期中考数学试卷一. 填空题1. 已知全集{1,2,3,4,5,6}U =，集合{2,4,6}A =，则U A =ð2. 不等式102x x -<+的解集为 3. 已知集合{1,0,2}A =-，2{1}B a =+，若B A ，则实数a 的值为4. 用列举法写出集合2{|1,,||1}A y y x x x ==-∈≤=Z5. 已知不等式20x ax b -+≤的解集为[2,3]，则a b +=6. 命题“如果0a ≠，那么20a >”的逆否命题为7. 已知集合{(,)|1,}A x y y x x ==+∈R ，{(,)|3,}B x y y x x ==-∈R ，则A B =8. 已知“1x >”是“x a ≥”的充分非必要条件，则a 的取值范围是9. 已知集合{||1|1}A x x =-≤，{|2}B x ax ==，若A B A = ，则实数a 的取值集合为10. 已知集合2{|(2)(2)0,}x x x x a x --+=∈R 中的所有元素之和为2，则实数a 的取值集 合为11. 已知正实数x 、y 满足1x y +=，则141y x y -+的最小值是12. 若不等式()x a x y +≤+对任意0x >，0y >恒成立，则a 的取值范围是二. 选择题13. “1x >”是“11x<”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件14. 设a 、b ∈R ，a b >，则下列不等式一定成立的是（ ） A. 11a b< B. 22a b > C. 2a ab > D. 33a b > 15. 设集合{|10}P m m =-<≤，2{|210Q m mx mx =+-<对任意x ∈R 恒成立}，则P 与Q 的关系是（ ）A. P Q B. Q P C. P Q = D. P Q =∅16. 已知集合{1,2,3,,}A n =⋅⋅⋅()n ∈*N ，集合12{,,,}k B j j j =⋅⋅⋅(2,)k k ≥∈*N 是集合A 的子集，若121m j j j n ≤<<⋅⋅⋅<≤且1i i j j m +-≥(1,2,,1)i k =⋅⋅⋅-，满足集合B 的个数记为()n k m ⊕，则7(32)⊕=（ ）A. 9 B. 10 C. 11 D. 12三. 解答题17. 已知x 、y 是实数，求证：22222x y x y +≥+-.18. 已知全集U =R ，集合2{|120}A x x x =--<，421{|,}x B y y x x+==∈R ， 求A B ，()U A B ð.19. 已知命题p ：关于x 的一元二次方程2|2|0x m -+-=有两个不相等的实数根，命题q ：关于x 的一元二次方程2|1||3|0x mx a a -+++-=对于任意实数a 都没有实数根.（1）若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若命题p 和命题q 中有且只有一个为真命题，求实数m 的取值范围.20. 已知集合2{|20}A x x x =--≥，集合22{|(1)210,}B x m x mx m =-+-<∈R .（1）当2m =时，求集合A R ð和集合B ；（2）若集合B Z 为单元素集，求实数m 的取值集合；（3）若集合()A B Z 的元素个数为n ()n ∈*N 个，求实数m 的取值集合.21. 已知集合P 的元素个数为3n ()n ∈*N 个且元素为正整数，将集合P 分成元素个数相同且两两没有公共元素的三个集合A 、B 、C ，即P A B C = ，A B =∅ ，A C =∅ ，B C =∅ ，其中12{,,,}n A a a a =⋅⋅⋅，12{,,,}n B b b b =⋅⋅⋅，12{,,,}n C c c c =⋅⋅⋅. 若集合A 、B 、C 中的元素满足12n c c c <<⋅⋅⋅<，k k k a b c +=，1,2,,k n =⋅⋅⋅，则称集合P 为“完美集合”.（1）若集合{1,2,3}P =，{1,2,3,4,5,6}Q =，判断集合P 和集合Q 是否为“完美集合”？并说明理由；（2）已知集合{1,,3,4,5,6}P x =为“完美集合”，求正整数x 的值；（3）设集合{|13,2,}P x x n n n =≤≤≥∈*N ，① 证明：集合P 为“完美集合”的一个必要条件是4n k =或41n k =+()k ∈*N ；② 判断当4n =时，集合P 是否为“完美集合”，如果是，求出所有符合条件的集合C ，如果不是，请说明理由.2018-2019学年度建平中学高一年级期中考数学试卷2018.11参考答案一. 填空题1. {1,3,5}；2. (2,1)- ；3. 1±；4. {1,0}-；5. 11；6. 如果20a ≤，则0a = ；7. {(1,2)}；8. 1a ≤；9. {0}[1,)+∞ ； 10. {0}(1,)+∞ ； 11.12； 12. 4a ≥； 二. 选择题13. A 14. D 15. C 16. B三. 解答题17. 22(1)(1)0x y -+-≥. 18. (3,4)A =-，[2,)B =+∞，(,2)U B =-∞ð，[2,4)A B = ，()(,4)U A B =-∞ ð.19.（1）(1,5)-；（2）命题q ：44m -<<，∴范围为(4,1][4,5)-- .20.（1）(1,2)A =-R ð，1(,)(1,)3B =-∞+∞ ；（2）{0}；（3）略.21.（1）P 是，Q 不是；（2）7、9、11；（3）略.。

上海市建平中学2019—2019 学年度高三第一学期期中考试数学试题（理科）2019.11.12一、填空题：本题有 14 小题，每小题 4 分，共 56 分1．已知集合 U 1，2, 3, 4, 5 , A 2，4 ，B4，5 ，则 AC U B2．函数 y x 2 的递减区间为3．已知 zC ，且 f ( z) z 1，则 f (i)x, x 0 z 14．函数 yyx 2 , x 的反函数是5．已知圆的极坐标方程为2sin，则圆心的极坐标为x 2 4t6．已知直线 l 的方程为1 ，则直线 l 的斜率为y 3t7．设函数 y a xb(a 0, a 1) 的图象过点 1, 2 ，函数 y log b ( xa)(b 0, b 1) 的图像过点 0 , 2 ,则 a b 等于8．若不等式 x 1 1 a 的解集非空，则整数 a 的最小值是9．函数 y a 1 x (a 0， a 1) 的图象恒过定点 A ，若点 A 在直线 mx ny 1 0 上，则 m 2 n 的最小值为10．已知关于 x 的方程lg (x 2 2x 11) t 1 0 有实数解，则实数 t 的范围是11．已知 f (x)(2a 1)x 4a x 1 ,) 上的减函数，那么 a 的取值范围是log a x是 (12xx 1 x) 02019 2019．若关于 的方程 f (2008x) f ( a恰有 个根，且所有根的和为，则实数 a 的值 为．13．已知函数 f ( x)1 x，规定：anmf ( 1) f ( 2) f ( 3)f (m) (n, m N ) ，xn nn n且 S n m a 1m a 2m a n m (n, m N ) ，则 S 20102010 的值是14．若存在实数a R ，使得不等式 x x ab 0 对于任意的 x [0,1] 都成立，则实数 b 的取值范围是二、选择题：本题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分15．不等式1 1的解集是（）A ． ( x 2B ． (2,, 2) ) C ． (0, 2) D ． ( ,0) (2, )16．若 y f ( x) 是定义在 R 上的函数，则 “f (0) 0 ”是 “y f ( x) 是奇函数 ”的（）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件17．满足方程 f (x) x 的根 x 0 称为函数 yf (x) 的不动点，设函数 y f (x) ， y g(x) 都有不动点，则 下列陈述正确的是（）A ． y f ( g(x)) 与 yf (x) 具有相同数目的不动点B ． y f ( g(x)) 一定有不动点C ． yf (g( x)) 与 y g( x) 具有相同数目的不动点D ． y f (g( x)) 可以无不动点18．函数f1x 1 x ， f2 x 1 | x | ， f3 x 1 x ， f4 x 1 | x | 的图像分别是点集C1，C2，C3，C4，这些图像关于直线x = 0 的对称曲线分别是点集D1，D2，D3，D4，现给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（）① D1 D2 ② D1∪ D3 = D 2∪ D4 ③ D4 D3 ④ D1∩ D 3 = D2∩ D4A．① ③B．① ②C．② ④D．③ ④三、解答题：（本题共有 5 道大题，满分78 分），解答下列各题必须写出必要的步骤．19．（本题满分14 分）本题共 2 小题，第 1 小题6 分，第 2 小题8 分已知关于t 的方程t 2 2t a 0 一个根为 1 3i ． a R（ 1）求方程的另一个根及实数 a 的值；（ 2）若x a m2 3m 6 在x (0, ) 上恒成立，试求实数m 的取值范围．x20．（本题满分14分）本题共 2 小题，第 1 小题 7 分，第2 小题 7 分如图在长方体 ABCD －A1B1C1 D1 中，AD 1 ，AB= 2 ，点E 是棱AB 上的动点．AA 1（ 1）若异面直线AD1与EC所成角为600，试确定此时动点 E 的位置；（ 2）求三棱锥C－DED1的体积． D1 C1A1B1D CA E B21．（本题满分 16 分）本题共 2 小题，第 1 小题 8 分，第 2 小题 8 分某投资公司计划投资 A 、 B 两种金融产品，根据市场调查与预测， A 产品的利润 y 与投资量 x 成正 比例，其关系如图 1， B 产品的利润 y 与投资量 x 的算术平方根成正比例，其关系如图 2，（注：利润与投 资量单位：万元）（ 1）分别将 A 、 B 两产品的利润表示为投资量的函数关系式；（ 2）该公司已有 10 万元资金，并全部投入 A 、 B 两种产品中，问：怎样分配这10 万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？yy0.3 2.4 0.21.6o11.5 xo49x图 1图 222．（本题满分 16 分）本题共 3 个小题，第 1 小题 4 分，第 2 小题 6 分，第 3 小题 6 分已 知 函 数 f xlog 1 x 1 ， 当 点 P ( x 0， y 0 ) 在 y f (x)的 图 像 上 移 动 时 ， 点2Q (x 0t 1 在函数 yg(x) 的图像上移动。

2018-2019学年上海市上海中学高一上学期期中考试数学试题一、单选题1．已知集合，则中元素的个数为A．9 B．8 C．5 D．4【答案】A【解析】分析：根据枚举法，确定圆及其内部整点个数.详解：，当时，；当时，；当时，；所以共有9个，选A.点睛：本题考查集合与元素关系，点与圆位置关系，考查学生对概念理解与识别. 2．已知实数x，y，则“”是“”的（）A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】找出与所表示的区域，再根据小范围推大范围可得结果．【详解】表示的区域是以为顶点的正方形及内部，表示的区域是以为圆心，1为半径的圆及内部，正方形是圆的内接正方形，，推不出，“”是“”的充分而不必要条件．故选：B．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，考查了不等式组表示的区域，考查了推理能力，属于中档题．3．设，，且，则（）A．B．C．D．以上都不能恒成立【答案】A【解析】利用反证法可证得，进而由可得解.【详解】利用反证法：只需证明，假设，则：所以：，但是，故：，，．所以：与矛盾．所以：假设错误，故：，所以：，故选：A．【点睛】本题考查的知识要点：反证法的应用，关系式的恒等变换，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题型．4．对二次函数（为非零常数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是（）A．是的零点B．1是的极值点C．3是的极值D．点在曲线上【答案】A【解析】若选项A错误时，选项B、C、D正确，，因为是的极值点，是的极值，所以，即，解得：，因为点在曲线上，所以，即，解得：，所以，，所以，因为，所以不是的零点，所以选项A错误，选项B、C、D正确，故选A．【考点定位】1、函数的零点；2、利用导数研究函数的极值．二、填空题5．已知集合，用列举法表示集合______．【答案】0，1，【解析】先由x的范围推出y的范围，然后从中取整数即可．【详解】因为，，即，又，，，，，，，故答案为：0，1，【点睛】本题考查了集合的表示法属基础题．6．设集合，集合，则______．【答案】【解析】根据交集定义求出即可．【详解】，，故答案为：．【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．7．能说明“若a﹥b，则”为假命题的一组a，b的值依次为_________.【答案】（答案不唯一）【解析】分析：举出一个反例即可．详解：当时，不成立，即可填．点睛：本题考查不等式的性质等知识，意在考查学生的数学思维能力．8．集合，，若，则a的取值范围是______．【答案】【解析】先求出集合A，根据，即可求出a的取值范围．【详解】，，若，则，故答案为：．【点睛】本题主要考查集合子集关系的应用，利用不等式的解法以及数轴是解决此类问题的关键．9．命题“若，则且”的逆否命题是______．【答案】若或,则【解析】试题分析：原命题：若则。

上海市建平中学2018-2019学年上学期高三期中数学模拟题 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 若集合,则= ( )ABC D2． 若{}n a 为等差数列，n S 为其前项和，若10a >，0d <，48S S =，则0n S >成立的最大自 然数为（ ）A ．11B ．12C ．13D ．14 3． 设a ，b ∈R ，i 为虚数单位，若2＋a i1＋i ＝3＋b i ，则a －b 为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．04． 已知集合A={x ∈Z|（x+1）（x ﹣2）≤0}，B={x|﹣2＜x ＜2}，则A ∩B=（ ） A ．{x|﹣1≤x ＜2} B ．{﹣1，0，1} C ．{0，1，2}D ．{﹣1，1}5． 已知实数[1,1]x ∈-，[0,2]y ∈，则点(,)P x y 落在区域20210220x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪-+⎩……… 内的概率为（ ）A.34B.38C.14D.18【命题意图】本题考查线性规划、几何概型等基础知识，意在考查数形结合思想及基本运算能力. 6． 已知全集为R ，且集合}2)1(log |{2<+=x x A ，}012|{≥--=x x x B ，则)(B C A R 等于（ ） A ．)1,1(- B ．]1,1(- C ．)2,1[ D ．]2,1[【命题意图】本题考查集合的交集、补集运算，同时也考查了简单对数不等式、分式不等式的解法及数形结合的思想方法，属于容易题.7． 设函数()y f x =对一切实数x 都满足(3)(3)f x f x +=-，且方程()0f x =恰有6个不同的实根，则这6个实根的和为（ ）A.18B.12C.9D.0【命题意图】本题考查抽象函数的对称性与函数和方程等基础知识，意在考查运算求解能力.8． 已知2,0()2, 0ax x x f x x x ⎧+>=⎨-≤⎩，若不等式(2)()f x f x -≥对一切x R ∈恒成立，则a 的最大值为（ ）A ．716-B ．916-C ．12-D ．14-9． 函数()2cos()f x x ωϕ=+（0ω>，0ϕ-π<<）的部分图象如右图所示，则 f （0）的值为（ ） A.32-B.1-C.D.【命题意图】本题考查诱导公式，三角函数的图象和性质，数形结合思想的灵活应用. 10．已知角α的终边经过点(sin15,cos15)-，则2cos α的值为（ ）A．12+B．12 C. 34 D ．0 11．已知,,a b c 为ABC ∆的三个角,,A B C 所对的边，若3cos (13cos )b C c B =-，则sin :sin C A =（ ）A ．2︰3B ．4︰3C ．3︰1D ．3︰2 【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理，意在考查转化能力、运算求解能力．12．已知实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+≤-5342y x y x x y ，若目标函数mx y z -=取得最大值时有唯一的最优解)3,1(，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1-<mB ．10<<mC ．1>mD ．1≥m【命题意图】本题考查了线性规划知识，突出了对线性目标函数在给定可行域上最值的探讨，该题属于逆向问题，重点把握好作图的准确性及几何意义的转化，难度中等.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．若函数63e ()()32ex x bf x x a =-∈R 为奇函数，则ab =___________． 【命题意图】本题考查函数的奇偶性，意在考查方程思想与计算能力．14．在ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，若1cos 2c B a b ⋅=+，ABC ∆的面积12S c =， 则边c 的最小值为_______．【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、基本不等式等基础知识，意在考查基本运算能力．15．已知,0()1,0x e x f x x ì³ï=í<ïî，则不等式2(2)()f x f x ->的解集为________．【命题意图】本题考查分段函数、一元二次不等式等基础知识，意在考查分类讨论思想和基本运算能力． 16．三角形ABC中，2,60AB BC C ==∠=，则三角形ABC 的面积为 .三、解答题（本大共6小题，共70分。

建平中学高一期中数学试卷2018.11一.填空题1.已知全集{1,2,3,4,5,6}U =，集合{2,4,6}A =，则U A =ð2.不等式102x x -<+的解集为3.已知集合{1,0,2}A =-，2{1}B a =+，若B A ，则实数a 的值为4.用列举法写出集合2{|1,,||1}A y y x x x ==-∈≤=Z5.已知不等式20x ax b -+≤的解集为[2,3]，则a b +=6.命题“如果0a ≠，那么20a >”的逆否命题为7.已知集合{(,)|1,}A x y y x x ==+∈R ，{(,)|3,}B x y y x x ==-∈R ，则A B = 8.已知“1x >”是“x a ≥”的充分非必要条件，则a 的取值范围是9.已知集合{||1|1}A x x =-≤，{|2}B x ax ==，若A B A = ，则实数a 的取值集合为10.已知集合2{|(2)(2)0,}x x x x a x --+=∈R 中的所有元素之和为2，则实数a 的取值集合为11.已知正实数x 、y 满足1x y +=，则141yx y -+的最小值是12.若不等式()x a x y +≤+对任意0x >，0y >恒成立，则a 的取值范围是二.选择题13.“1x >”是“11x <”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件14.设a 、b ∈R ，a b >，则下列不等式一定成立的是（）A.11a b < B.22a b > C.2a ab > D.33a b >15.设集合{|10}P m m =-<≤，2{|210Q m mx mx =+-<对任意x ∈R 恒成立}，则P 与Q 的关系是（）A.P QB.Q PC.P Q =D.P Q =∅16.已知集合{1,2,3,,}A n =⋅⋅⋅()n ∈*N ，集合12{,,,}k B j j j =⋅⋅⋅(2,)k k ≥∈*N 是集合A 的子集，若121m j j j n ≤<<⋅⋅⋅<≤且1i i j j m +-≥(1,2,,1)i k =⋅⋅⋅-，满足集合B 的个数记为()n k m ⊕，则7(32)⊕=（）A.9 B.10 C.11 D.12三.解答题17.已知x 、y 是实数，求证：22222x y x y +≥+-.18.已知全集U =R ，集合2{|120}A x x x =--<，421{|,}x B y y x x +==∈R ，求A B ，()U A B ð.19.已知命题p ：关于x 的一元二次方程2|2|0x m -+-=有两个不相等的实数根，命题q ：关于x 的一元二次方程2|1||3|0x mx a a -+++-=对于任意实数a 都没有实数根.（1）若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若命题p 和命题q 中有且只有一个为真命题，求实数m 的取值范围.20.已知集合2{|20}A x x x =--≥，集合22{|(1)210,}B x m x mx m =-+-<∈R .（1）当2m =时，求集合A R ð和集合B ；（2）若集合B Z 为单元素集，求实数m 的取值集合；（3）若集合()A B Z 的元素个数为n ()n ∈*N 个，求实数m 的取值集合.21.已知集合P 的元素个数为3n ()n ∈*N 个且元素为正整数，将集合P 分成元素个数相同且两两没有公共元素的三个集合A 、B 、C ，即P A B C = ，A B =∅ ，A C =∅ ，B C =∅ ，其中12{,,,}n A a a a =⋅⋅⋅，12{,,,}n B b b b =⋅⋅⋅，12{,,,}n C c c c =⋅⋅⋅.若集合A 、B 、C 中的元素满足12n c c c <<⋅⋅⋅<，k k k a b c +=，1,2,,k n =⋅⋅⋅，则称集合P 为“完美集合”.（1）若集合{1,2,3}P =，{1,2,3,4,5,6}Q =，判断集合P 和集合Q 是否为“完美集合”？并说明理由；（2）已知集合{1,,3,4,5,6}P x =为“完美集合”，求正整数x 的值；（3）设集合{|13,2,}P x x n n n =≤≤≥∈*N ，①证明：集合P 为“完美集合”的一个必要条件是4n k =或41n k =+()k ∈*N ；②判断当4n =时，集合P 是否为“完美集合”，如果是，求出所有符合条件的集合C ，如果不是，请说明理由.参考答案一.填空题1.{1,3,5}2.(2,1)-3.1±4.{1,0}-5.116.如果20a ≤，则0a =7.{(1,2)}8.1a ≤9.{0}[1,)+∞ 10.{0}(1,)+∞ 11.1212.4a ≥二.选择题13.A14.D 15.C 16.B 三.解答题17.22(1)(1)0x y -+-≥.18.(3,4)A =-，[2,)B =+∞，(,2)U B =-∞ð，[2,4)A B = ，()(,4)U A B =-∞ ð.19.（1）(1,5)-；（2）命题q ：44m -<<，∴范围为(4,1][4,5)-- .20.（1）(1,2)A =-R ð，1(,)(1,)3B =-∞+∞ ；（2）{0}；（3）略.21.（1）P 是，Q 不是；（2）7、9、11；（3）略.。

2018-2019学年上海市浦东新区建平中学高三（上）期中数学试卷副标题一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.已知实数x，y满足a x<a y(0<a<1)，则下列关系式恒成立的是()A. 1x2+1>1y2+1B. ln(x2+1)>ln(y2+1)C. sin x>sin yD. x3>y3【答案】D【解析】解：∵实数x，y满足a x<a y(0<a<1)，∴x>y，A.取x=2，y=−1，不成立；B.取x=0，y=−1，不成立C.取x=π，y=−π，不成立；D.由于y=x3在R上单调递增，因此正确故选：D．实数x，y满足a x<a y(0<a<1)，可得x>y，对于A.B.C分别举反例即可否定，对于D：由于y=x3在R上单调递增，即可判断出正误．本题主要考查函数值的大小比较，利用不等式的性质以及函数的单调性是解决本题的关键．2.已知点A(−2,0)、B(3,0)，动点P(x,y)满足PA⋅PB=x2，则点P的轨迹是()A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线【答案】D【解析】解：∵动点P(x,y)满足PA⋅PB=x2，∴(−2−x,−y)⋅(3−x,−y)=x2，∴(−2−x)(3−x)+y2=x2，解得y2=x+6．∴点P的轨迹方程是抛物线．故选：D．由题意知(−2−x,y)⋅(3−x,y)=x2，化简可得点P的轨迹．本题考查点的轨迹方程，解题时要注意公式的灵活运用．3.已知数列{a n}是公比为q(q≠1)的等比数列，则数列：①{2a n}；②{a n2}；③{1a n2}；④{a n a n+1}；⑤{a n+a n+1}；等比数列的个数为()A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】解：数列{a n}是公比为q(q≠1)的等比数列，则①2a n+12a n=2a n+1−a n，不是等比数列；②a n +12a n2=q 2；③{1a n2}是公比为1q 2的等比数列；④{a n a n +1}是公比为q 2的等比数列；⑤{a n +a n +1}不一定是等比数列，例如(−1)n ．综上：等比数列的个数为3． 故选：B ．利用等比数列的定义通项公式即可得出．本题考查了等比数列的定义通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4. 设函数f 1(x )=x 2，f 2(x )=2(x −x 2)，f 3(x )=13|sin2πx |，a i =i99，i =0，1，2，…，99.记I k =|f k (a 1)−f k (a 0)|+|f k (a 2)−f k (a 1)丨+⋯+|f k (a 99)−f k (a 98)|，k =1，2，3，则( ) A. I 1<I 2<I 3 B. I 2<I 1<I 3 C. I 1<I 3<I 2 D. I 3<I 2<I 1 【答案】B【解析】解：由|(i99)2−(i−199)2|=199×2i−199，故I 1=199(199+399+599+⋯+2×99−199)=199×99299=1，由2|i99−i−199−(i 99)2+(i−199)2|=2×199|99−(2i−1)99|，故I 2=2×199×58(98+0)2×99=9899×10099<1，I 3=1[||sin2π⋅1|−|sin2π⋅0||+||sin2π⋅2|−|sin2π⋅1||+⋯+||sin2π⋅99|−|sin2π⋅9899||] =13(2sin2π⋅2599−2sin2π⋅7499)>1，故I 2<I 1<I 3， 故选：B ．根据记I k =|f k (a 1)−f k (a 0)|+|f k (a 2)−f k (a 1)丨+⋯+|f k (a 99)−f k (a 98)|，分别求出I 1，I 2，I 3与1的关系，继而得到答案本题主要考查了函数的性质，关键是求出这三个数与1的关系，属于难题．二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5. 设函数f (x )= π(x 2−5)x ≥1cos x x <1，则f (f (2))=______【答案】−1【解析】解：∵函数f (x )= π(x 2−5)x ≥1cos x x <1， ∴f (2)=π(4−5)=−π，f (f (2))=f (−π)=cos(−π)=cos π=−1． 故答案为：−1．推导出f (2)=π(4−5)=−π，从而f (f (2))=f (−π)=cos(−π)=cos π，由此能求出结果．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.在各项为实数的等比数列{a n}中，a5+8a2=0，则公比q的值为______【答案】−2【解析】解：∵a5+8a2=0，∴a2q3+8a2=0，即q3=−8，解得q=−2．故答案为：−2．由等比数列的性质知q3=−8，从而解得．本题考查了等比数列的性质，属于基础题．7.若m=(1,2)，n=(−2,1)，p=(cosα,sinα)，m⋅p=3n⋅p，则tanα=______【答案】7【解析】解：因为m⋅p=(1,2)⋅(cosα,sinα)=cosα+2sinα，3n⋅p=3(−2,1)⋅(cosα,sinα)=−6cosα+3sinα，∴cosα+2sinα=−6cosα+3sinα，∴sinα=7cosα，tanα=7，故答案为：7．利用向量的数量积和三角函数同角公式可得．本题考查了平面向量数量积的性质及其运算.属基础题．8.设集合A={x|x2−2x≥0}，B={x|2x−1≤1}，则(∁R A)∩B=______【答案】(0,1]【解析】解：集合A={x|x2−2x≥0}={x|x≤0或x≥2}，集合B={x|2x−1≤1}={x|x−1≤0}={x|x≤1}，∴∁R A={x|0<x<2}，∴(∁R A)∩B={x|0<x≤1}=(0,1]．故答案为：(0,1]．化简集合A、B，根据补集与交集的定义计算即可．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．9.某校邀请5位同学的父母共10人中的4位来学校介绍经验，如果这4位来自4个不同的家庭，那么不同的邀请方案的种数是______【答案】80【解析】解：分步进行：第一步：从5个家庭中选出4个家庭，有C54=5种；第二步：从选出的4个家庭的每个家庭的父母亲中选出1位来，有C21×C21×C21×C21= 16；根据分步计数原理得：不同的邀请方案的种数数：5×16=80．故答案为：80．用分步计数原理：①从5个家庭中选4个家庭；②从每个家庭中选出1个.然后相乘可得．本题考查了排列、组合及简单计数问题，属基础题．10.从原点O向圆x2+y2−12y+27=0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为______．【答案】2π【解析】解：把圆的方程化为标准方程为：x2+(y−6)2=9，得到圆心C的坐标为(0,6)，圆的半径r=3，由圆切线的性质可知，∠CBO=∠CAO=90∘，且AC=BC=3，OC=6，则∠AOB=∠BOC+∠AOC=60∘，所以∠ACB=120∘，所以该圆夹在两条切线间的劣弧长l=120∘π×3180∘=2π．故答案为：2π把圆的方程化为标准方程后，找出圆心C的坐标和圆的半径r，根据AC与BC为圆的半径等于3，OC的长度等于6，利用直角三角形中一直角边等于斜边的一半得到角AOB 等于2×30∘，然后根据四边形的内角和定理求出角BCA的度数，然后由角BCA的度数和圆的半径，利用弧长公式即可求出该圆夹在两条切线间的劣弧长．此题考查学生掌握直线与圆相切时所满足的条件，掌握直角三角形的性质，灵活运用弧长公式化简求值，是一道综合题．11.已知数列{a n}的前n项和S n满足：对于任意m，n∈N∗，都有S n+S m=S n+m+2mn，若a1=1，则a2018=______【答案】−4033【解析】解：根据题意，在S n+S m=S n+m+2mn中，令m=1可得：S n+S1=S n+1+2n，又由a1=1，即S1=a1=1，则有S n+1=S n+1+2n，变形可得：S n+1−S n=1−2n，则a2018=S2018−S2017=1−2×2017=−4033；故答案为：−4033．根据题意，在S n+S m=S n+m+2mn中，用特殊值法分析：令m=1可得：S n+S1=S n+1+2n，变形可得S n+1−S n=1−2n，再令n=2018计算可得答案．本题考查数列的递推公式，注意特殊值法分析数列的递推公式，属于中档题．12.已知函数f(x)的定义域为R，当x<0时，f(x)=x3−1；当−1≤x≤1时，f(−x)=−f(x)；当x>12时，f(x+12)=f(x−12)，则f(6)=______．【答案】2【解析】解：∵当x>12时，f(x+12)=f(x−12)，∴当x>12时，f(x+1)=f(x)，即周期为1．∴f(6)=f(1)，∵当−1≤x≤1时，f(−x)=−f(x)，∴f(1)=−f(−1)，∵当x<0时，f(x)=x3−1，∴f(−1)=−2，∴f(1)=−f(−1)=2，∴f(6)=2；故答案为：2求得函数的周期为1，再利用当−1≤x≤1时，f(−x)=−f(x)，得到f(1)=−f(−1)，当x<0时，f(x)=x3−1，得到f(−1)=−2，即可得出结论．本题考查函数值的计算，考查函数的周期性，考查学生的计算能力，属于中档题．13.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(−∞,0]上单调递增，若实数a满足f(log2|a−1|)>f(−2)，则a的取值范围是______【答案】(3,34)∪(54,5)【解析】解：根据题意，f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(−∞,0]上单调递增，则f(x)在[0,+∞)上为减函数，则f(log2|a−1|)>f(−2)⇒f(|log2|a−1||)>f(2)⇒|log2|a−1||<2⇒−2<log2|a−1|<2，变形可得：14<|a−1|<4，解可得：−3<a<34或54<x<5；即不等式的解集为(−3,34)∪(54,5)；故答案为：(−3,34)∪(54,5)．根据题意，分析可得f(x)在[0,+∞)上为减函数，结合函数的奇偶性分析可得f(log2|a−1|)>f(−2)可以转化为−2<log2|a−1|<2，解可得a的取值范围，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意分析函数在[0,+∞)上的单调性，属于基础题．14.在锐角三角形ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，a2+b2=6ab cos C，则tan C1tan B−tan C1tan A=______【答案】4【解析】解：在锐角三角形ABC中，∵a2+b2=6ab cos C=6ab⋅a2+b2−c22ab，∴c2=23(a2+b2).则tan C1tan B−tan C1tan A=tan Ctan A+tan Ctan B=tan C(1tan A+1tan B)=sin Ccos C⋅(cos Asin A+cos Bsin B)=sin Ccos C⋅sin(A+B) sin A sin B =sin C⋅sin Csin A sin B cos C=c2ab⋅a2+b2−c2=2c2a+b−c=4，故答案为：4．由题意利用余弦定理可得c2=23(a2+b2)，再利用行列式的运算、同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．本题主要考查余弦定理、同角三角函数的基本关系，行列式的运算，属于中档题．15.已知关于x的一元二次不等式ax2+2x+b>0的解集为{x|x≠c}，则a2+b2+7a+c(其中a+c≠0)的取值范围为______．【答案】(−∞,−6]∪[6,+∞)【解析】解：根据关于x的一元二次不等式ax2+2x+b>0的解集为{x|x≠c}，可得a>0，对应的二次函数的图象的对称轴为x=−1a=c，△=4−4ab=0，∴ac=−1，ab=1，∴c=−1a ，b=1a．则a2+b2+7a+c =(a−b)2+9a−b=(a−b)+9a−b，当a−b>0时，由基本不等式求得(a−b)+9a−b≥6，当a−b<0时，由基本不等式求得−(a−b)−9a−b ≥6，即(a−b)+9a−b≤−6故a2+b2+7a+c(其中a+c≠0)的取值范围为：(−∞,−6]∪[6,+∞)，故答案为：(−∞,−6]∪[6,+∞)．由条件利用二次函数的性质可得ac=−1，ab=1，再根据则a2+b2+7a+c =(a−b)+9a−b，利用基本不等式求得它的范围．本题主要考查二次函数的性质，基本不等式的应用，属于中档题．16.若定义域均为D的三个函数f(x)，g(x)，ℎ(x)满足条件：对任意x∈D，点(x,g(x)与点(x,ℎ(x)都关于点(x,f(x)对称，则称ℎ(x)是g(x)关于f(x)的“对称函数”.已知g(x)=1−x2，f(x)=2x+b，ℎ(x)是g(x)关于f(x)的“对称函数”，且ℎ(x)≥g(x)恒成立，则实数b的取值范围是______．【答案】[+∞)【解析】解：解：∵x∈D，点(x,g(x))与点(x,ℎ(x))都关于点(x,f(x))对称，∴g(x)+ℎ(x)=2f(x)，∵ℎ(x)≥g(x)恒成立，∴2f(x)=g(x)+ℎ(x)≥g(x)+g(x)=2g(x)，即f(x)≥g(x)恒成立，作出g(x)和f(x)的图象，若ℎ(x)≥g(x)恒成立，则ℎ(x)在直线f(x)的上方，即g(x)在直线f(x)的下方，则直线f(x)的截距b>0，且原点到直线y=2x+b的距离d≥1，d=22+1=5≥1⇒b≥5或b≤−5(舍去)即实数b的取值范围是[5,+∞)，根据对称函数的定义，结合ℎ(x)≥g(x)恒成立，转化为点到直线的距离d≥1，利用点到直线的距离公式进行求解即可．本题主要考查不等式恒成立问题，根据对称函数的定义转化为点到直线的距离关系，利用数形结合是解决本题的关键.综合性较强，有一定的难度．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，BC //AD ，AB ⊥BC ，∠ADC =45∘，PA ⊥平面ABCD ，AB =AP =1，AD =3．(1)求异面直线PB 与CD 所成角的大小； (2)求点D 到平面PBC 的距离．【答案】解：(1)以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则P (0,0，1)，B (1,0，0)，C (1,2，0)D (0，3，0)， ∴PB =(1,0，−1)，CD =(−1,1，0)，……(3分) 设异面直线PB 与CD 所成角为θ， 则cos θ=|PB ⋅CD ||PB|⋅|CD |=12，……(6分)所以异面直线PB 与CD 所成角大小为π3.……(7分)(2)设平面PBC 的一个法向量为n =(x ,y ，z )，PB =(1,0，−1)，BC =(0,2，0)，CD =(−1,1，0)， 则 n ⋅PB =x −z =0n ⋅BC =2y =0，取x =1，得n=(1,0，1)，……(4分) ∴点D 到平面PBC 的距离d =|n ⋅CD ||n |=22.……(7分) 【解析】(1)以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PB 与CD 所成角大小．(2)求出平面PBC 的一个法向量，利用向量法能求出点D 到平面PBC 的距离．本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查点到直线的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．18. 设函数f (x )=sin(ωx −π6)+sin(ωx −π2)，其中0<ω<3，已知f (π6)=0．(Ⅰ)求ω；(Ⅱ)将函数y =f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y =g (x )的图象，求g (x )在[−π4,3π4]上的最小值．【答案】解：(Ⅰ)函数f (x )=sin(ωx −π6)+sin(ωx −π2)=sin ωx cos π6−cos ωx sin π6−sin(π2−ωx )=3sin ωx −3cos ωx = 3sin(ωx −π3)，又f (π6)= 3sin(π6ω−π3)=0， ∴π6ω−π3=kπ，k ∈Z ，解得ω=6k+2，又0<ω<3，∴ω=2；(Ⅱ)由(Ⅰ)知，f(x)=3sin(2x−π3)，将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y=3sin(x−π3)的图象；再将得到的图象向左平移π4个单位，得到y=x+π4−π3)的图象，∴函数y=g(x)=3sin(x−π12)；当x∈[−π4,3π4]时，x−π12∈[−π3,2π3]，∴sin(x−π12)∈[−32,1]，∴当x=−π4时，g(x)取得最小值是−32×3=−32．【解析】(Ⅰ)利用三角恒等变换化函数f(x)为正弦型函数，根据f(π6)=0求出ω的值；(Ⅱ)写出f(x)解析式，利用平移法则写出g(x)的解析式，求出x∈[−π4,3π4]时g(x)的最小值．本题考查了三角恒等变换与正弦型函数在闭区间上的最值问题，是中档题．19.某沿海城市的海边有两条相互垂直的直线型公路l1、l2，海岸边界MPN近似地看成一条曲线段.为开发旅游资源，需修建一条连接两条公路的直线型观光大道AB，且直线AB与曲线MPN有且仅有一个公共点P(即直线与曲线相切)，如图所示.若曲线段MPN是函数y=ax图象的一段，点M到l1、l2的距离分别为8千米和1千米，点N到l2的距离为10千米，以l1、l2分别为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系xOy，设点P的横坐标为p．(1)求曲线段MPN的函数关系式，并指出其定义域；(2)若某人从点O沿公路至点P观景，要使得沿折线OAP比沿折线OBP的路程更近，求p的取值范围．【答案】解：(1)由题意得M(1,8)，则a=8，故曲线段MPN的函数关系式为y=8x，(4分)又得N(10,45)，所以定义域为[1,10].…(6分)(2)P(p,8p )，设AB：y−8p=k(x−p)由y−8p=k(x−p)y=8x得kpx2+(8−kp2)x−8p=0，△=(8−kp2)2+32kp2=(kp2+8)2=0，…(8分)∴kp2+8=0，∴k=−8p ，得直线AB方程为y−8p=−8p(x−p)，…(10分)得A(0,16p)、B(2p,0)，故点P为AB线段的中点，由2p−16p =2⋅p2−8p>0即p2−8>0…(12分)得p>2时，OA<OB，所以，当22<p≤10时，经点A至P路程最近.(14分)【解析】(1)由题意得M(1,8)，则a=8，故曲线段MPN的函数关系式为y=8x，可得其定义域；(2)P(p,8p )，设AB：y−8p=k(x−p)与y=8x联立求出A，B的坐标，即可求出最短长度p的取值范围．本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生分析解决问题的能力，确定函数关系是关键．20.对于函数f(x)=11−x，定义f1(x)=f(x)，f n+1(x)=f[f n(x)](n∈N∗)，已知偶函数g(x)的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，g(1)=0，当x>0且x≠1时，g(x)=f2018(x)．(1)求f2(x)，f3(x)，f4(x)，f2018(x)；(2)求出函数y=g(x)的解析式；(3)若存在实数a、b(a<b)，使得函数g(x)在[a,b]上的值域为[mb,ma]，求实数m的取值范围．【答案】解：(1)因为函数f(x)=11−x，定义f1(x)=f(x)，f n+1(x)=f[f n(x)](n∈N∗)，f1(x)=11−x，f2(x)=f[f1(x)]=11−1=x−1x，(x≠0且x≠1)，f3(x)=f[f2(x)]=11−x−1=x，(x≠0且x≠1)，f4(x)=f[f3(x)]=11−x，(x≠0且x≠1)，故对任意的n∈N⋅，有f3n+i(x)=f i(x)(i=2,3，4)，于是f2018(x)=f3×672+2=f2(x)=1−1x，(x≠0且x≠1)；(2)当x>0且x≠1时，g(x)=f2018(x)=1−1x，又g(1)=0，由g(x)为偶函数，当x<0时，−x>0，g(x)=g(−x)=1+1x，可得g(x)=1+1x,x<01−1x,x>0；(3)由于y=g(x)的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，又a<b，mb<ma，可知a与b同号，且m<0，进而g(x)在[a,b]递减，且a<b<0，当a，b∈(0,1)时，g(x)=1−1x为增函数，故1−1a=mb1−1b=ma，即m=a−1ab=b−1ab，得a−1=b−1，即a=b，与a<b矛盾，∴此时a，b不存在；函数y=g(x)的图象，如图所示.由题意，有g(a)=1+1a=mag(b)=1+1b=mb，故a，b是方程1+1x=mx的两个不相等的负实数根，即方程mx2−x−1=0在(−∞,0)上有两个不相等的实根，于是△=1+4m>0a+b=1m<0ab=−1m>0，解得−14<m<0．综合上述，得实数m的取值范围为(−14,0)．【解析】(1)根据函数关系代入计算进行求解即可；(2)由偶函数的定义，计算可得所求解析式；(3)根据函数奇偶性和单调性的性质，结合函数的值域关系进行求解即可．本题主要考查函数解析式的求解以及函数奇偶性的应用，考查分类讨论思想方法、运算和推理能力，属于中档题．21.对于无穷数列{a n}，记T={x|x=a j−a i,i<j}，若数列{a n}满足：“存在t∈T，使得只要a m−a k=t(m,k∈N∗,m>k)，必有a m+1−a k+1=t”，则称数列具有性质P(t)．(1)若数列{a n}满足a n=2n n≤22n−5n≥3，判断数列{a n}是否具有性质P(2)？是否具有性质P(4)？说明理由；(2)求证：“T是有限集”是“数列{a n}具有性质P(0)”的必要不充分条件；(3)已知{b n}是各项均为正整数的数列，且{b n}既具有性质P(2)，又具有性质P(5)，求证：存在正整数N，使得a N，a N+1，a N+2，…，a N+K，…是等差数列．【答案】解：(1)∵a n=2n n≤2 2n−5n≥3，a2−a1=2，但a3−a2=−1≠2，数列{a n}不具有性质P(2)；同理可得，数列{a n}具有性质P(4)．(2)证明：(不充分性)对于周期数列1，1，2，2，1，1，2，2，…，T={−1,0，1}是有限集，但是由于a2−a1=0，a3−a2=1，所以不具有性质P(0)；(必要性)因为数列{a n}具有性质P(0)，所以一定存在一组最小的且m>k，满足a m−a k=0，即a m=a k由性质P(0)的含义可得a m+1=a k+1，a m+2=a k+2，…，a2m−k−1=a m−1，a2m−k=a m，…所以数列{a n}中，从第k项开始的各项呈现周期性规律：a k，a k+1，…，a m−1为一个周期中的各项，所以数列{a n}中最多有m−1个不同的项，所以T最多有C m−12个元素，即T是有限集；(3)证明：因为数列{b n}具有性质P(2)，数列{b n}具有性质P(5)，所以存在M′、N′，使得，，其中p，q分别是满足上述关系式的最小的正整数，由性质P(2)，P(5)的含义可得，，，若，则取，可得；若N {{'}}'/>，则取，可得．记，则对于b M，有b M+p−b M=2，b M+q−b M=5，显然p≠q，由性质P(2)，P(5)的含义可得，b M+p+k−b M+k=2，b N+q+k−b N+k=5，所以b M+qp−b M=(b M+qp−b M+(q−1)p)+(b M+(q−1)p−b M+(q−2)p)+⋯+(b M+p−b M)=2qb M+qp−b M=(b M+pq−b M+(p−1)q)+(b M+(p−1)q−b M+(p−2)q)+⋯+(b M+q−b M)=5p所以b M+qp=b M+2q=b M+5p．所以2q=5p，又p，q是满足b M+p−b M=2，b M+q−b M=5的最小的正整数，所以q=5，p=2，b M+2−b M=2，b M+5−b M=5，所以，b M+2+k−b M+k=2，b M+5+k−b M+k=5，所以，b M+2k=b M+2(k−1)+2=⋯=b M+2k，b M+5k=b M+5(k−1)+5=⋯=b M+5k，取N=M+5，若k是偶数，则b N+k=b N+k；若k是奇数，则b N+k=b N+5+(k−5)=b N+5+(k−5)=b N+5+(k−5)=b N+k，所以，b N+k=b N+k，所以b N，b N+1，b N+2，…，b N+k，…是公差为1的等差数列【解析】(1)由a n=2n n≤22n−5n≥3，可得a2−a1=2，但a3−a2=−1≠2，数列{a n}不具有性质P(2)；同理可判断数列{a n}具有性质P(4)；(2)举例“周期数列1，1，2，2，1，1，2，2，…，T={−1,0，1}是有限集，利用新定义可证数列{a n}不具有性质P(0)，即不充分性成立；再证明其必要性即可；(3)依题意，数列{b n}是各项为正整数的数列，且{b n}既具有性质P(2)，又具有性质P(5)，可证得存在整数N，使得b N，b N+1，b N+2，…，b N+k，…是等差数列．本题考查数列递推式的应用，考查充分、必要条件的判定，考查推理与论证能力，属于难题．。

2017-2018学年上海市建平中学高一（上）期中数学试卷一、填空题1．（5分）已知集合A={x|﹣2＜x≤1}，B={﹣2，﹣1，0，1}，则A∩B=．2．（5分）设集合A={1，a}，B={﹣1，a2}，若A=B，则实数a=．3．（5分）不等式﹣1≤0的解集是．4．（5分）已知x∈R，命题“若2＜x＜5，则x2﹣7x+10＜0”的否命题是．5．（5分）如果全集U={1，2，3，4，5，6}，A∩B={2}，∁U A∩∁U B={1}，（∁U A）∩B={4，6}，A∩（∁U B）=．6．（5分）已知a，b，c∈R+，则++的最小值为．7．（5分）关于x的不等式＞1的解集是M，若2∉M，则常数a的取值范围是．8．（5分）已知非空集合A={x|m+1≤x≤2m﹣1}，集合B={x|10+3x﹣x2≥0}，若A∩B=∅，则实数m的取值范围为．9．（5分）若关于x的不等式mx2+6mx+m+8≤0的解集为空集，则实数m的取值范围是．10．（5分）在1×（）+4（）=30的两个（）中，分别填入两个正整数，使他们的倒数和最小，则这两个数的和为．11．（5分）若不等式0＜ax2+bx+c＜1的解集为（0，1），则实数a的取值范围是．12．（5分）已知△ABC的三条边长分别为a，b，c，其中边c为最长边（即a≤c，b≤c），且+=1，则c的取值范围是．二、选择题.13．（5分）三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中对勾股定理的证明可用现代数学表述为如图所示，我们教材中利用该图作为“（）”的几何解释．A．如果a＞b，b＞c，那么a＞cB．如果a＞b＞0，那么a2＞b2C．对任意实数a和b，有a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时等号成立D．如果a＞b，c＞0那么ac＞bc14．（5分）如果命题“若α，则β”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则α是β的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也必要条件15．（5分）下列四个命题中，为真命题的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b，c＞d则a﹣c＞b﹣dC．若a＞|b|，则a2＞b2D．若a＞b，则＜16．（5分）已知a，b∈R+，则下列不等式一定成立的有（）（1）a2+b2≥2ab（2）≥2b﹣a（3）+≥a+b（4）+≥+．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个三、解答题17．解不等式组．18．某栋高层的东面正在维修一条南北方向的公路，在距离这栋高层的北偏东30°的500米处，一辆压路机正在工作，已知压路机以每分钟20米的速度缓慢的向正南方向行驶，距高层300米以内，居民都会受到噪音的影响，问从现在起多少分钟后，该高层居民将受压路机的噪音影响，影响的时间大约多久？（四舍五入精确到1分钟）．19．已知关于x的不等式|x﹣3|＜的解集为A．（1）若a=1，试求不等式的解集A；（2）是否存在实数a，使得A∩Z={3，4}，若存在求出a的取值范围；若不存在，则说明理由．20．已知关于x的不等式（kx﹣k2﹣6）（x﹣4）＞0，其中k∈R．（1）若k＞0，试求不等式的解集A；（2）对于不等式的解集A，记B=A∩Z（其中Z为整数集），若要使集合B中元素个数最少，求实数k的取值范围．21．对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若＞，那么称点（a，b）是点（c，d）的“上位点”，同时点（c，d）是点（a，b）的“下位点”．（1）试写出点（3，5）的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；（2）已知点（a，b）是点（c，d）的“上位点”，判断是否一定存在点P满足是点（c，d）的“上位点”，又是点（a，b）的“下位点”，若存在，写出一个点P坐标，并证明；若不存在，则说明理由；（3）设正整数n满足以下条件，对集合m∈{t|0＜t＜2017，t∈Z}，总存在k∈N*，使得点（n，k）既是点（100，m）的“下位点”，又是点（101，m+1）的“上位点”，求正整数n的最小值．2017-2018学年上海市建平中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．（5分）已知集合A={x|﹣2＜x≤1}，B={﹣2，﹣1，0，1}，则A∩B={﹣1，0，1} ．【解答】解：集合A={x|﹣2＜x≤1}，B={﹣2，﹣1，0，1}，则A∩B={﹣1，0，1}．故答案为：{﹣1，0，1}．2．（5分）设集合A={1，a}，B={﹣1，a2}，若A=B，则实数a=﹣1．【解答】解：∵集合A={1，a}，B={﹣1，a2}，A=B，∴a=﹣1且a2=1，解得a=﹣1．故答案为：﹣1．3．（5分）不等式﹣1≤0的解集是{x|x＜0或x≥1} ．【解答】解：由﹣1≤0得≤0，即x（x﹣1）≥0且，x≠0，解得x＜0或x≥1，故不等式的解集为{x|x＜0或x≥1}，故答案为：{x|x＜0或x≥1}．4．（5分）已知x∈R，命题“若2＜x＜5，则x2﹣7x+10＜0”的否命题是若x≤2或x≥5，则x2﹣7x+10≥0．【解答】解：原命题为：“若2＜x＜5，则x2﹣7x+10＜0”，否定它的条件和结论，得：否命题为：“若x≤2或x≥5，则x2﹣7x+10≥0”，故答案为：若x≤2或x≥5，则x2﹣7x+10≥0．5．（5分）如果全集U={1，2，3，4，5，6}，A∩B={2}，∁U A∩∁U B={1}，（∁U A）∩B={4，6}，A∩（∁U B）={3，5} ．【解答】解：全集U={1，2，3，4，5，6}，A∩B={2}，∁U A∩∁U B={1}，（∁U A）∩B={4，6}，∴A={2，3，5}，B={2，4，6}，∴∁U B={1，3，5}，∴A∩（∁U B）={3，5}，故答案为：{3，5}6．（5分）已知a，b，c∈R+，则++的最小值为6．【解答】解：∵a，b，c∈R+，∴++=（+）+（+）+（+）≥2+2+2=6，当且仅当=且=且=即a=b=c时取等号，故答案为：6．7．（5分）关于x的不等式＞1的解集是M，若2∉M，则常数a的取值范围是[﹣2，1] ．【解答】解：由题意，2∉M，必然有，可得等价于（a﹣1）（a+2）≤0，且a≠﹣2解得：﹣2＜a≤1．当a=﹣2时，可得，解得：1＜x＜2，满足题意．∴a的取值范围是[﹣2，1]．故答案为：[﹣2，1]．8．（5分）已知非空集合A={x|m+1≤x≤2m﹣1}，集合B={x|10+3x﹣x2≥0}，若A∩B=∅，则实数m的取值范围为（4，+∞）．【解答】解：∵非空集合A={x|m+1≤x≤2m﹣1}，集合B={x|10+3x﹣x2≥0}={x|﹣2≤x≤5}，A∩B=∅，∴或，解得m＞4．∴实数m的取值范围为（4，+∞）．故答案为：（4，+∞）．9．（5分）若关于x的不等式mx2+6mx+m+8≤0的解集为空集，则实数m的取值范围是[0，1）．【解答】解：∵关于x的不等式mx2+6mx+m+8≤0的解集为空集，∴mx2+6mx+m+8＞0恒成立，当m=0时，有8＞0，恒成立；当m≠0时，有，解得0＜m＜1，综上所述，实数k的取值范围是0≤m＜1．故答案为：[0，1）．10．（5分）在1×（）+4（）=30的两个（）中，分别填入两个正整数，使他们的倒数和最小，则这两个数的和为15．【解答】解：令x+4y=30，①当y=1时，解得x=26．②当y=2时，解得x=22．③当y=3时，解得x=18．④当y=4时，解得：x=14．⑤当y=5时，解得x=10．⑥当y=6时，解得x=6．⑦当y=7时，解得x=2．故：当的和最小时，解得x=10，y=5．故答案为：15．11．（5分）若不等式0＜ax2+bx+c＜1的解集为（0，1），则实数a的取值范围是（﹣4，4）．【解答】解：由题意可得，在不等式成立的情况下只有这几种情况．当a=0时，b≠0，不等式的解集（0，1），适当选取b，c可以满足题意．当a＞0时，不等式0＜ax2+bx+c＜1对应的二次函数的对称轴为x=，开口向上，所以x=0时，ax2+bx+c=c=1，x=1时，a+b+c=1，最小值为x=时，＞0，联立解这个不等式组得：a＜4，在a＜0时，不等式0＜ax2+bx+c＜1对应的二次函数的对称轴为x=，开口向下．所以x=0时，ax2+bx+c=c=0，且x=1时，ax2+bx+c=a+b=0最大值为x=时，，联立解这个不等式组得：a＞﹣4．综上a的范围是：（﹣4，4）．12．（5分）已知△ABC的三条边长分别为a，b，c，其中边c为最长边（即a≤c，b≤c），且+=1，则c的取值范围是（0，16]．．【解答】解：边c为最长边，且+=1，那么：a+b=+（a+b）=10+≥10+2=16，当且仅当b=3a=12时取等号，△ABC的三条边长分别为a，b，c，要使a+b≥c成立，则c的取值范围是（0，16]．故答案为：（0，16]．二、选择题.13．（5分）三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中对勾股定理的证明可用现代数学表述为如图所示，我们教材中利用该图作为“（）”的几何解释．A．如果a＞b，b＞c，那么a＞cB．如果a＞b＞0，那么a2＞b2C．对任意实数a和b，有a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时等号成立D．如果a＞b，c＞0那么ac＞bc【解答】解：可将直角三角形的两直角边长度取作a，b，斜边为c（c2=a2+b2），则外围的正方形的面积为c2，也就是a2+b2，四个阴影面积之和刚好为2ab，对任意正实数a和b，有a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时等号成立．故选：C．14．（5分）如果命题“若α，则β”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则α是β的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也必要条件【解答】解：若α，则β”的否命题是真命题，则根据逆否命题的等价性可知逆命题为真命题，即β⇒α成立，因为“若α，则β”的逆否命题是假命题，则原命题为假命题，即α⇒β不成立，即充分性不成立，故α是β的必要不充分条件，故选：B．15．（5分）下列四个命题中，为真命题的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b，c＞d则a﹣c＞b﹣dC．若a＞|b|，则a2＞b2D．若a＞b，则＜【解答】解：A，若a＞b，当c=0时，ac2=bc2，A错误；B，若a=3，b=2，c=2，d=0，满足a＞b，c＞d，但a﹣c=1＜b﹣d=2，故B错误；C，若a＞|b|，则a2＞|b|2=b2，正确；D，若a=2＞﹣1=b，则＞﹣1，故＜错误．故选：C．16．（5分）已知a，b∈R+，则下列不等式一定成立的有（）（1）a2+b2≥2ab（2）≥2b﹣a（3）+≥a+b（4）+≥+．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：对于A，显然成立，对于B，得b2≥2ab﹣a2，得a2+b2≥2ab，成立，对于C，得：（a+b）（a2﹣ab+b2）≥ab（a+b），得：a2﹣ab+b2≥ab，显然成立，对于D，得b3+a3≥ab2+a2b，得（a+b）（a2﹣ab+b2）≥ab（a+b），由C判断，显然成立，故正确的是4个，故选：D．三、解答题17．解不等式组．【解答】解：不等式组．由|2x﹣1|≥x+1，可得：2x﹣1≥x+1或2x﹣1≤﹣x﹣1解得：x≥2或x≤0．由x2﹣x﹣2＜0，解得：﹣1＜x＜2，∴原不等式的解集为（﹣1，0）．18．某栋高层的东面正在维修一条南北方向的公路，在距离这栋高层的北偏东30°的500米处，一辆压路机正在工作，已知压路机以每分钟20米的速度缓慢的向正南方向行驶，距高层300米以内，居民都会受到噪音的影响，问从现在起多少分钟后，该高层居民将受压路机的噪音影响，影响的时间大约多久？（四舍五入精确到1分钟）．【解答】解：设高层居民楼为A，压路机开始工作地点为N，运动到B处时居民开始受到噪音影响，运动到C处噪音影响消失，则在△ABN中，∠ANB=30°，AN=500，AB=300，由余弦定理可得：90000=250000+BN2﹣2×500×BN×cos30°，解得BN=250﹣50或BN=250+50，∴BN=250﹣50，CN=250+50，≈13，∴大约13分钟后开始受到噪音影响．BC=CN﹣BN=100，≈17．∴影响的时间大约为17分钟．19．已知关于x的不等式|x﹣3|＜的解集为A．（1）若a=1，试求不等式的解集A；（2）是否存在实数a，使得A∩Z={3，4}，若存在求出a的取值范围；若不存在，则说明理由．【解答】解：（1）a=1时，|x﹣3|＜，故x≥3时，x﹣3＜，解得：x＜7，∴3≤x＜7，x＜3时，3﹣x＜，解得：x＞，∴＜x＜3综上可得：不等式的解集是A=（，7）；（2）故x≥3时，x﹣3＜，解得：x＜a+6，x＜3时，3﹣x＜，解得：x＞，当a≤﹣3时，不等式的解集是A=∅，满足题意；当a＞﹣3时，不等式的解集是A=（，a+6），若A∩Z={3，4}，则解得：﹣2＜a≤﹣1．20．已知关于x的不等式（kx﹣k2﹣6）（x﹣4）＞0，其中k∈R．（1）若k＞0，试求不等式的解集A；（2）对于不等式的解集A，记B=A∩Z（其中Z为整数集），若要使集合B中元素个数最少，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）设原不等式的解集为A，当k=0时，不等式化为x﹣4＜0，解得x＜4；∴A=（﹣∞，4）；当k＞0时，原不等式化为[x﹣（k+）]（x﹣4）＞0，∵k+≥2＞4，∴解不等式得x＜4或x＞k+；∴A=（﹣∞，4）∪（k+，+∞）；（2）由（1）知：当k≥0时，A中整数的个数为无限个；当k＜0时，原不等式化为[x﹣（k+）]（x﹣4）＜0，解得k+＜x＜4，∴A=（k+，4）；此时A中整数的个数为有限个，因为k+≤﹣2，当且仅当k=，即k=﹣（k=舍去）时取等号；又﹣2=﹣＞﹣5，∴k+≤﹣5，即k2+5k+6≤0，解得﹣3≤k≤﹣2，∴A中整数的个数最少时，k的取值范围是[﹣3，﹣2]．21．对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若＞，那么称点（a，b）是点（c，d）的“上位点”，同时点（c，d）是点（a，b）的“下位点”．（1）试写出点（3，5）的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；（2）已知点（a，b）是点（c，d）的“上位点”，判断是否一定存在点P满足是点（c，d）的“上位点”，又是点（a，b）的“下位点”，若存在，写出一个点P坐标，并证明；若不存在，则说明理由；（3）设正整数n满足以下条件，对集合m∈{t|0＜t＜2017，t∈Z}，总存在k∈N*，使得点（n，k）既是点（100，m）的“下位点”，又是点（101，m+1）的“上位点”，求正整数n的最小值．【解答】解：（1）∵对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若＞，那么称点（a，b）是点（c，d）的“上位点”，同时点（c，d）是点（a，b）的“下位点”．∴点（3，5）的一个“上位点”坐标是（3，4），一个“下位点”坐标是（3，6）．（2）∵点（a，b）是点（c，d）的“上位点”，∴一定存在点P（a+c，b+d）满足是点（c，d）的“上位点”，又是点（a，b）的“下位点”．证明如下：∵点（a，b）是点（c，d）的“上位点”，∴＞，即ad＞bc，∴﹣==＞0，即＞，即点P （a +c ，b +d ）是点（c ，d ）的“上位点”，﹣==＜0， 即＞， 即点P （a +c ，b +d ）是点（a ，b ）的“下位点”．综上可得：点P （a +c ，b +d ）满足是点（c ，d ）的“上位点”，又是点（a ，b ）的“下位点”．（3）若正整数n 满足条件， 则，在m ∈{t |0＜t ＜2017，t ∈Z }时恒成立，由（2）中结论可得：k=2m +1，n=201时，满足条件，若n ≤200，则不成立， 故n 的最小值为201，赠送：初中数学几何模型举例 【模型四】几何最值模型：图形特征： PA Bl运用举例：1. △ABC 中，AB =6，AC =8，BC =10，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为AP 的中点，则MF 的最小值为B2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。

2018-2019学年上海市浦东新区建平中学高一（上）期中数学试卷试题数：21.满分：01.（填空题.3分）设全集∪={1.2.3.4.5.6}.集合A={2.4.6}.则∁U A=___ ．2.（填空题.3分）不等式x−1x+2＜0的解集是___ ．3.（填空题.3分）已知集合A={-1.0.2}.B={a2+1}.若B⊄A.则实数a的值为___ ．4.（填空题.3分）用列举法写出集合A={y|y=x2-1.x∈Z.|x|≤1}=___5.（填空题.3分）已知不等式x2-ax+b≤0的解集为[2.3].则a+b=___6.（填空题.3分）命题“如果a≠0.那么a2＞0”的逆否命题为___ ．7.（填空题.3分）已知集合A={（x.y）|y=x+1.x∈R}.B={（x.y）|y=3-x．x∈R}.则A∩B=___ ．8.（填空题.3分）若“x＞1”是“x≥a”的充分不必要条件.则a的取值范围为___ ．9.（填空题.3分）已知集合A={x||x-1|≤1}.B={x|ax=2}.若A∪B=A.则实数a的取值集合为___10.（填空题.3分）已知集合{x|（x-2）（x2-2x+a）=0.x∈R}中的所有元素之和为2.则实数a 的取值集合为___ ．11.（填空题.3分）已知正实数x.y满足x+y=1.则1x - 4yy+1的最小值是___12.（填空题.3分）若不等式x+4 √3xy≤a（x+y）对任意x＞0.y＞0恒成立.则a的取值范围是___ ．13.（单选题.3分）“x＞1”是“ 1x＜1”成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件14.（单选题.3分）若实数a、b满足条件a＞b.则下列不等式一定成立的是（）A. 1a ＜1bB.a2＞b2C.ab＞b2D.a3＞b315.（单选题.3分）设集合P={m|-1＜m≤0}.Q={m|mx2+2mx-1＜0}对任意x∈R恒成立.则P与Q的关系是（）A.P⊄QB.Q⊄PC.P=QD.P∩Q=∅16.（单选题.3分）已知集合A={1.2.3.…n）（n∈N*}.集合B={j1.j2.…j k）（k≥2.k∈N*）是集合A 的子集.若1≤j1＜j2＜…＜j m≤n且j i+1-j i≥m（i=1.2.…….k-1）.满足集合B的个数记为n（k⊕m）.则7（3⊕2）=（）A.9B.10C.11D.1217.（问答题.0分）已知x.y是实数.求证：x2+y2≥2x+2y-2．.x∈R}.求A∩B.A∪18.（问答题.0分）已知全集U=R.集合A={x|x2-x-12＜0}.B={y|y= x4+1x2（∁U B）．19.（问答题.0分）已知命题p：关于x的一元二次方程x2-2 √3 x+|m-2|=0有两个不相等的实数根；命题q：关于x的一元二次方程x2-mx+|a+1|+|a-3|=0对于任意实数a都没有实数根．（1）若命题p为真命题.求实数m的取值范围；（2）若命题p和命题q中有且只有一个为真命题.求实数m的取值范围．20.（问答题.0分）已知集合A={x|x2-x-2≥0}.集合B={x|（1-m2）x2+2mx-1＜0.m∈R}．（1）当m=2时.求集合∁R A和集合B；（2）若集合B∩Z为单元素集.求实数m的取值集合；（3）若集合（A∩B）∩Z的元素个数为n（n∈N*）个.求实数m的取值集合．21.（问答题.0分）已知集合P的元素个数为3n（n∈N*）个且元素为正整数.将集合P分成元素个数相同且两两没有公共元素的三个集合A、B、C.即P=A∪B∪C.A∩B=∅.A∩C=∅.B∩C=∅.其中A={a1.a2.….a n}.B={b1.b2.…b n}.C={c1.c2.….c n}．若集合A、B、C中的元素满足c1＜c2＜…＜c n.a k+b k=c k.k=1.2.…n.则称集合P为“完美集合”．（1）若集合P={1.2.3}.Q={1.2.3.4.5.6}.判断集合P和集合Q是否为“完美集合”？并说明理由；（2）已知集合P={1.x.3.4.5.6}为“完美集合”.求正整数x的值；（3）设集合P={x|1≤x≤3n.n≥2.n∈N*}① 证明：集合P为“完美集合”的一个必要条件是n=4k或n=4k+1（k∈N*）② 判断当n=4时.集合P是否为“完美集合”.如果是.求出所有符合条件的集合C；如果不是.请说明理由．2018-2019学年上海市浦东新区建平中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：21.满分：01.（填空题.3分）设全集∪={1.2.3.4.5.6}.集合A={2.4.6}.则∁U A=___ ．【正确答案】：[1]{1.3.5}【解析】：根据补集的定义写出∁U A．【解答】：解：全集∪={1.2.3.4.5.6}.集合A={2.4.6}.则∁U A={1.3.5}．故答案为：{1.3.5}．【点评】：本题考查了补集的定义与应用问题.是基础题．＜0的解集是___ ．2.（填空题.3分）不等式x−1x+2【正确答案】：[1]（-2.1）【解析】：问题转化为（x-1）（x+2）＜0.求出不等式的解集即可．＜0.【解答】：解：∵ x−1x+2∴（x-1）（x+2）＜0.解得：-2＜x＜1.故不等式的解集是（-2.1）.故答案为：（-2.1）．＞0.再转化为整式不等式F（x）【点评】：解分式不等式的方法是：移项.通分化不等式为F(x)G(x)G（x）＞0.然后利用二次不等式或高次不等式的结论求解．3.（填空题.3分）已知集合A={-1.0.2}.B={a2+1}.若B⊄A.则实数a的值为___ ．【正确答案】：[1]a≠±1【解析】：先假设B⊂A.得a2+1=-1.a∈∅；a2+1=0.a∈∅；a2+1=2.a=±1；取补集得结果．【解答】：解：若B⊂A.则① a2+1=-1.a∈∅；② a2+1=0.a∈∅；③ a2+1=2.a=±1；∵B⊄A.∴a≠±1．故答案为：a≠±1．【点评】：本题考查的知识点集合的包含关系应用.难度不大.属于基础题．4.（填空题.3分）用列举法写出集合A={y|y=x2-1.x∈Z.|x|≤1}=___【正确答案】：[1]{-1.0}【解析】：由|x|≤1及x∈Z即可求出x=-1.0.或1.从而得出x2=0.或1.进而得出y的值.从而得出集合A．【解答】：解：∵|x|≤1.且x∈Z；∴x=-1.0.或1；∴x2=0.或1；∴y=-1.或0；∴A={-1.0}．故答案为：{-1.0}．【点评】：考查描述法、列举法的定义.以及绝对值不等式的解法．5.（填空题.3分）已知不等式x2-ax+b≤0的解集为[2.3].则a+b=___【正确答案】：[1]11【解析】：利用不等式与对应方程的关系.结合根与系数的关系求出a、b的值．【解答】：解：不等式x2-ax+b≤0的解集为[2.3].∴方程x2-ax+b=0的实数根为2和3.∴ {2+3=a.2×3=ba=5.b=6；∴a+b=11．故答案为：11．【点评】：本题考查了一元二次不等式与对应方程的关系应用问题.是基础题．6.（填空题.3分）命题“如果a≠0.那么a2＞0”的逆否命题为___ ．【正确答案】：[1]若a2≤0.则a=0【解析】：根据逆否命题的定义.即把结论和条件的否定后作为逆否命题的条件和结论即可．【解答】：解：原命题“如果a≠0.那么a2＞0”.∴其逆否命题为：“若a2≤0.则a=0”．故答案为：若a2≤0.则a=0．【点评】：本题考查的知识点是逆否命题的定义.需要正确写出对条件的结论的否定.这是关键和易出错的地方．7.（填空题.3分）已知集合A={（x.y）|y=x+1.x∈R}.B={（x.y）|y=3-x．x∈R}.则A∩B=___ ．【正确答案】：[1]{（1.2）}【解析】：根据交集定义得A∩B={（x.y）| {y=x+1y=3−x }=（1.2）．【解答】：解：A∩B={（x.y）| {y=x+1y=3−x }={（1.2）}．故答案为：{（1.2）}．【点评】：此题考查了交集及其运算.需要注意此题是点集.是基础题．8.（填空题.3分）若“x＞1”是“x≥a”的充分不必要条件.则a的取值范围为___ ．【正确答案】：[1]a≤1【解析】：根据充分条件和必要条件的定义进行求解即可．【解答】：解：若“x＞1”是“x≥a”的充分不必要条件.则a≤1.故答案为：a≤1【点评】：本题主要考查充分条件和必要条件的判断.比较基础．9.（填空题.3分）已知集合A={x||x-1|≤1}.B={x|ax=2}.若A∪B=A.则实数a的取值集合为___ 【正确答案】：[1][1.+∞）∪{0}．【解析】：分为B=∅.和B≠∅两种情况讨论.取并集得结论．【解答】：解：A={x|0≤x≤2}.① B=∅.a=0.② B≠∅.B={ 2a}.0＜2a ≤2. a2≥ 12.∴a≥1.故实数a的取值集合为[1.+∞）∪{0}．故答案为：[1.+∞）∪{0}．【点评】：本题考查了集合的化简与集合的运算的应用.注意不要漏掉B=∅.属于基础题．10.（填空题.3分）已知集合{x|（x-2）（x2-2x+a）=0.x∈R}中的所有元素之和为2.则实数a 的取值集合为___ ．【正确答案】：[1]{a|a=0或a＞1}【解析】：推导出x2-2x+a=0的解为x=0或无解.由此能求出实数a的取值集合．【解答】：解：∵集合{x|（x-2）（x2-2x+a）=0.x∈R}中的所有元素之和为2.∴x2-2x+a=0的解为x=0或无解.∴a=0或△=4-4a＜0.解得a＞1．∴实数a的取值集合为{a|a=0或a＞1}．故答案为：{a|a=0或a＞1}．【点评】：本题考查实数的取值集合的求法.考查集合定义等基础知识.考查运算求解能力.是基础题．11.（填空题.3分）已知正实数x.y满足x+y=1.则1x - 4yy+1的最小值是___【正确答案】：[1] 12【解析】：由已知分离1x - 4yy+1= 1x−4y+4−4y+1= 1x+4y+1−4 .然后进行1的代换后利用基本不等式即可求解．【解答】：解：正实数x.y满足x+y=1.则1x - 4yy+1= 1x−4y+4−4y+1= 1x+4y+1−4= 12（1x+4y+1）[x+（y+1）]-4= 12 （5+y+1x +4x y+1 ）-4 ≥12(5+4)−4 = 12当且仅当y+1x =4xy+1 且x+y=1即y= 13 .x= 23 时取得最小值是 12 /故答案为： 12【点评】：本题主要考查了利用基本不等式求解最值.解题的关键是进行分离后利用1的代换 12.（填空题.3分）若不等式x+4 √3xy ≤a （x+y ）对任意x ＞0.y ＞0恒成立.则a 的取值范围是___ ．【正确答案】：[1][4.+∞）【解析】：不等式x+4 √3xy ≤a （x+y ）.x ＞0.y ＞0.a≥ x+4√3xy x+y=x y +4√3•x y x y+1 .令 √x y=t ＞0.可得：f（t ）= t 2+4√3tt 2+1．利用导数研究其单调性极值最值即可得出．【解答】：解：∵不等式x+4 √3xy ≤a （x+y ）.x ＞0.y ＞0. ∴a≥x+4√3xy x+y=x y +4√3•x y x y+1 .令 √x y=t ＞0.可得：f （t ）=t 2+4√3tt 2+1． f′（t ）= (2t+4√3)(t 2+1)−2t(t 2+4√3t)(t 2+1)2 = −4√3t 2+2t+4√3(t 2+1)2 = −(t+√32)(t−2√33)(t 2+1)2 ． 可知：t=2√33时函数f （t ）取得最大值. f (2√33) =4． f （0）=0． ∴0＜f （t ）≤4．∵不等式x+4 √3xy ≤a （x+y ）对任意x ＞0.y ＞0恒成立. ∴a 的取值范围是a≥4． 故答案为：[4.+∞）．【点评】：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法、方程与不等式的解法.考查了推理能力与计算能力.属于难题． 13.（单选题.3分）“x ＞1”是“ 1x ＜1 ”成立的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：A【解析】：根据不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】：解：若x＞1.则0＜1x ＜1 .则1x＜1成立.即充分性成立.若当x＜0时. 1x＜1成立.但x＞1不成立.即必要性不成立.即“x＞1”是“ 1x＜1”成立的充分不必要条件.故选：A．【点评】：本题主要考查充分条件和必要条件的判断.根据不等式的性质结合充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．14.（单选题.3分）若实数a、b满足条件a＞b.则下列不等式一定成立的是（）A. 1a ＜1bB.a2＞b2C.ab＞b2D.a3＞b3【正确答案】：D【解析】：根据题意.由不等式的性质依次分析选项.综合即可得答案．【解答】：解：根据题意.依次分析选项：对于A、a=1.b=-1时.有1a ＞1b成立.故A错误；对于B、a=1.b=-2时.有a2＜b2成立.故B错误；对于C、a=1.b=-2时.有ab＜b2成立.故C错误；对于D、由不等式的性质分析可得若a＞b.必有a3＞b3成立.则D正确；故选：D．【点评】：本题考查不等式的性质.对于错误的结论举出反例即可．15.（单选题.3分）设集合P={m|-1＜m≤0}.Q={m|mx2+2mx-1＜0}对任意x∈R恒成立.则P与Q的关系是（）A.P⊄QB.Q⊄PC.P=QD.P∩Q=∅【正确答案】：C【解析】：先分别求出集合P.Q.由此能求出P与Q的关系．【解答】：解：∵集合P={m|-1＜m≤0}.Q={m|mx2+2mx-1＜0}对任意x∈R恒成立.∴Q={m|-1＜m≤0}．∴P与Q的关系是P=Q．故选：C．【点评】：本题考查集合的关系的判断.考查不等式性质等基础知识.考查运算求解能力.是基础题．16.（单选题.3分）已知集合A={1.2.3.…n）（n∈N*}.集合B={j1.j2.…j k）（k≥2.k∈N*）是集合A 的子集.若1≤j1＜j2＜…＜j m≤n且j i+1-j i≥m（i=1.2.…….k-1）.满足集合B的个数记为n（k⊕m）.则7（3⊕2）=（）A.9B.10C.11D.12【正确答案】：B【解析】：根据n（k⊕m）和7（3⊕2）.可得n=7.k=3.m=2.集合A={1.2.3.4.5.6.7}；集合B={j1.j2.j3}.1≤j1＜j2≤7满足集合B的个数列罗出来.可得答案．【解答】：解：由题意可得n=7.k=3.m=2.那么集合A={1.2.3.4.5.6.7}；集合B={j1.j2.j3}.1≤j1＜j2≤7.j i+1-j i≥2满足集合B的个数列罗出来.可得：{1.3.5}.{1.3.6}.{1.3.7}.{1.4.6}.{1.4.7}；{1.5.7}.{2.4.6}.{2.4.7}.{2.5.7}.{3.5.7}.故选：B．【点评】：本题考查子集与真子集.并且即时定义新的集合.主要考查学生的阅读理解能力．17.（问答题.0分）已知x.y是实数.求证：x2+y2≥2x+2y-2．【正确答案】：【解析】：利用综合法.证明不等式即可．【解答】：证明：因为x2-2x+1=（x-1）2≥0.可得x2≥2x-1.y2-2y+1=（y-1）2≥0.可得y2≥2y-1.所以x2+y2≥2x+2y-2．【点评】：本题考查不等式的证明.综合法的应用.是基本知识的考查．18.（问答题.0分）已知全集U=R.集合A={x|x2-x-12＜0}.B={y|y= x4+1.x∈R}.求A∩B.A∪x2（∁U B）．【正确答案】：【解析】：先求出A.B.然后进行交集、并集和补集的运算即可．【解答】：解：A={x|-3＜x＜4}；∵x4+1≥2x2；∴ x4+1≥2；x2∴B={y|y≥2}；∴A∩B=[2.4）.∁U B={y|y＜2}；∴A∪（∁U B）=（-∞.4）．【点评】：考查描述法表示集合的定义.a2+b2≥2ab.以及交集、并集和补集的运算．19.（问答题.0分）已知命题p：关于x的一元二次方程x2-2 √3 x+|m-2|=0有两个不相等的实数根；命题q：关于x的一元二次方程x2-mx+|a+1|+|a-3|=0对于任意实数a都没有实数根．（1）若命题p为真命题.求实数m的取值范围；（2）若命题p和命题q中有且只有一个为真命题.求实数m的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）由题意可得判别式大于0.由绝对值不等式的解法可得m 的范围；（2）考虑命题q 真.运用绝对值不等式的性质和判别式小于0.解不等式可得m 的范围.由p.q 一真一假.解不等式即可得到所求范围．【解答】：解：（1）命题p ：关于x 的一元二次方程x 2-2 √3 x+|m-2|=0有两个不相等的实数根.可得△=12-4|m-2|＞0.解得-1＜m ＜5；（2）命题q ：关于x 的一元二次方程x 2-mx+|a+1|+|a-3|=0对于任意实数a 都没有实数根. 可得-x 2+mx=|a+1|+|a-3|.由|a+1|+|a-3|≥|a+1-a+3|=4.可得-x 2+mx-4≥0无实数解.可得△=m 2-16＜0.即-4＜m ＜4.命题p 和命题q 中有且只有一个为真命题.可得 {−1＜m ＜5m ≥4或m ≤−4 或 {m ≥5或m ≤−1−4＜m ＜4. 即有4≤m ＜5或-4＜m≤-1．【点评】：本题考查二次方程和二次不等式的解法.注意运用判别式和绝对值不等式的性质.考查化简运算能力.属于基础题．20.（问答题.0分）已知集合A={x|x 2-x-2≥0}.集合B={x|（1-m 2）x 2+2mx-1＜0.m∈R}．（1）当m=2时.求集合∁R A 和集合B ；（2）若集合B∩Z 为单元素集.求实数m 的取值集合；（3）若集合（A∩B ）∩Z 的元素个数为n （n∈N *）个.求实数m 的取值集合．【正确答案】：【解析】：（1）m=2时.化简集合A.B.即可得集合∁R A 和集合B ；（2）集合B∩Z 为单元素集.所以集合B 中有且只有一个整数.而0∈B .所以抛物线y=（1-m 2）x 2+2mx-1的开口向上.且与x 轴的两个交点都在[-1.1]内.据此列式可得m=0；（3）集合（A∩B ）∩Z 的元素个数为n （n∈N *）个.等价于（1-m 2）x 2+2mx-1＜0在（-∞.-1]∪[2.+∞）上有整数解．【解答】：解：集合A={x|x 2-x-2≥0}={x|x≥2或x≤-1}.集合{x|（1-m 2）x 2+2mx-1＜0.m∈R}={x|[（1+m ）x-1][（1-m ）x+1]＜0}（1）当m=2时.集合∁R A={x|-1＜x ＜2}；集合B={x|x ＞1或x ＜ 13 }；（2）因为集合B∩Z 为单元素集.且0∈B .所以 {(1−m 2)×(−1)2−2m −1≥0(1−m 2)×12+2m −1≥0.解得m=0. 当m=0时.经验证.满足题意．故实数m 的取值集合为{0}（3）集合（A∩B ）∩Z 的元素个数为n （n∈N *）个.等价于（1-m 2）x 2+2mx-1＜0在（-∞.-1]∪[2.+∞）上有整数解.所以令f （x ）=（1-m 2）x 2+2mx-1.依题意有1-m 2≤0或 {1−m 2＞0f (−1)＜0 或 {1−m 2＞0f (2)＜0 . 解得m ＜- 12或m ＞0．【点评】：本题考查了交、并、补集的混合运算．属难题．21.（问答题.0分）已知集合P 的元素个数为3n （n∈N *）个且元素为正整数.将集合P 分成元素个数相同且两两没有公共元素的三个集合A 、B 、C.即P=A∪B∪C .A∩B=∅.A∩C=∅.B∩C=∅.其中A={a 1.a 2.….a n }.B={b 1.b 2.…b n }.C={c 1.c 2.….c n }．若集合A 、B 、C 中的元素满足c 1＜c 2＜…＜c n .a k +b k =c k .k=1.2.…n .则称集合P 为“完美集合”．（1）若集合P={1.2.3}.Q={1.2.3.4.5.6}.判断集合P 和集合Q 是否为“完美集合”？并说明理由；（2）已知集合P={1.x.3.4.5.6}为“完美集合”.求正整数x 的值；（3）设集合P={x|1≤x≤3n .n≥2.n∈N *}① 证明：集合P 为“完美集合”的一个必要条件是n=4k 或n=4k+1（k∈N *）② 判断当n=4时.集合P 是否为“完美集合”.如果是.求出所有符合条件的集合C ；如果不是.请说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）根据完美集合的定义.将P 分为集合{1}、{2}、{3}符合条件.将Q 分成3个.每个中有两个元素.根据完美集合的定义进一步判断即可；（2）根据完美集合的概念直接求出集合C.从而得到x 的值；（3） ① P 中所有元素之和为 3n (3n+1)2 =2（c 1+c 2+…+c n-1+c n ）.根据 9n (n−1)4=c 1+c 2+…+c n-1.等号右边为正整数.可得等式左边9n （n-1）可以被4整除.从而证明结论； ② 根据p 是完美集合.直接列出集合A.B.C 即可．【解答】：解：（1）将P 分为集合{1}、{2}、{3}.满足条件.是完美集合．将Q 分成3个.每个中有两个元素.若为完美集合.则a 1+b 1=c 1 、a 2+b 2=c 2.Q 中所有元素之和为21.21÷2=c 1+c 2=10.5.不符合要求；（2）若集合A={1.4}.B={3.5}.根据完美集合的概念知集合C={6.7}.若集合A={1.5}.B={3.6}.根据完并集合的概念知集合C={4.11}.若集合A={1.3}.B={4.6}.根据完并集合的概念知集合C={5.9}.故x 的一个可能值为7.9.11 中任一个；（3） ① 证明：P 中所有元素之和为1+2+…+3n= 3n (3n+1)2=a 1+b 1+c 1+a 2+b 2+c 2+…+a n +b n +c n =2（c 1+c 2+…+c n-1+c n ）.∵c n =3n.∴3n (3n+1)4 =c 1+c 2+…+c n-1+3n. ∴ 9n (n−1)4=c 1+c 2+…+c n-1.等号右边为正整数. 则等式左边9n （n-1）可以被4整除.∴n=4k 或n-1=4k.即n=4k 或n=4k+1；② p 是完美集合.A={1.4.3.2}.B={6.5.8.10}.C={7.9.11.12}或A={1.2.4.3}.B={5.8.7.9}.C={6.10.11.12}或A={2.4.3.1}.B={6.5.7.11}.C={8.9.10.12}．【点评】：本题考查了集合的交、并、补集的混合运算和等差数列的前n 项和.考查了分类讨论思想和计算能力.属难题．。

2019-2020学年上海市浦东新区建平中学高一(上)期中数学试卷一'选择题(本大题共4小题，共12.0分)1.“/〈I”是“xvl”的()条件.A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要2.若a>b,则下列不等式中正确的是()A.a2 >b2B.->|C. ac2>be2D.a3 >b3a b3.集合P=(x|y=Vx+1)»集合Q={y\y=Vx-1).则P与Q的关系是()A.P=QB.P^QC.P^QD. FCQ=04.己知集合为={0,123},B={x|x2_x=o),则集合A C\B的子集个数为()A.2B.4C.6D. 8二、填空题(本大题共12小题，共36.0分)5.设全集U=(-1,2.4}.集合4={一1,4},则C b4=.6.不等式刍VI的解集为.7.已知={x\x2 =1).B={x\ax=1),若B d则实数“的值为.8.用列举法表示集合M=(m|-^eN.mEZ)=:9.若关于a的不等式ax2+6x-a2<0的解集是(-cx>,l)U(rn,+co).则实数m.10.命题“若x<1,则/<1”的逆否命题为.1L集合4={(x,y)|x-y=0},B=((x,y)|2x-3y+4=0).则AnB=.12.“a=O”是“函数/•(x)=x3+ax2(x€R)为奇函数”的条件.13.已知集={x\x z=1),B=(x|ax=1),B=A,则实数a=.14.己知集^A={a+2016,fl2-2015a+2016,2015).且2016E4,则实数“的取值集合为15.已知正实数满足2x+y=l，则土+上的最小值为・16.在A上定义运算“*”：x*y=x(l—y).若不等式(x-a)*(x+a)<1对任意的；v恒成立，则实数〃的取值范围是.三、解答题(本大题共5小题，共60.0分)17.已知x,yER,且|x|Vl,|y|<1.求证：土+&2亡>18.已知集合A=(x\y=1B={x\x—5<0).⑴知n B；(2)若全集u=R,求(GM)nB,(C")U(C〃B)：19.已知函数/•(x)=|2x+a|+x・(1)若q=2,解不等式/(x)V2:(2)若FER, /(%-«)</(%)+a2"是直命题，求实数“的取值范围.20.已知集合A={x|l V2x-1V7},集合5=(x|x2-2%-3<0).⑴求"B；(2)求C R(AUB).21.己知集合4={4,尸+4。

2019-2020学年上海市建平中学高一上学期期中考试数学试题一、填空题（本答题共有12题，满分36分）考生应在答题纸相应的编号空格内直接填写结果.每个空格填对得3分，否则一律得零分.1.若实数a 满足：a 2∈{1，4，a}，则实数a 的取值集合为_____． 2.函数lg(3)y x =-的定义域为_____． 3.命题“若ab ＝0，则b ＝0”的逆否命题是______． 4.函数y=1x+2的单调区间是_____． 5.已知()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ³时，()(1)f x x x =+，则当0x <时，()f x =__________．6.已知符号函数sgn （x ）1,00,01,0x x x ì>ïï==íï-<ïî，则函数f （x ）=sgn （x ）﹣2x 的所有零点构成的集合为_____．7.函数3()log (81)x f x =+的值域为_______.8.已知a ＞0，b ＞0，则224442a ab b a b++++的最小值为_____．9.设集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={x ∈R ﹣1≤x ≤5}，则（A ∪B ）∩C=_____ 10.若y=f （x ）是定义在（﹣∞，+∞）上的单调减函数，且f （x ）＜f （2x ﹣2），则x 的取值范围_____．11.若函数()[]()()2,1,12,1,x x f x f x x ì?ï=í-??ïî，则()5f =_____．12.定义：若平面点集A 中的任一个点（x 0，y 0），总存在正实数r ，使得集合(){x,y }A r <?，则称A 为一个开集．给出下列集合：①{（x ，y ） x 2+y 2=1}； ②{（x ，y ） x+y+2＞0}； ③{（x ，y ） x+y ≤6}； ④()(22{,|01}x y x y <+-< ．二、选择题：（本大题共4题，满分12分）每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸相应的编号空格内直接填写选项，选对得3分，否则一律得零分. 13.已知实数a b 、满足0ab >，则“11a b<成立”是“a b >成立”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 非充分非必要条件 14.已知函数()y f x =的定义域为[],a b ，(){}(){},|(),,|0x y y f x a x b x y x =＃?只有一个子集，则 （ ） A. 0ab > B. 0ab ³ C. 0ab < D. 0ab £ 15.设()f x 是定义在R 上的函数. ①若存在1212,,x x R x x ?，使()()12f x f x <成立，则函数()f x 在R 上单调递增； ②若存在1212,,x x R x x ?，使()()12f x f x £成立，则函数()f x 在R 上不可能单调递减；③若存在20x >对于任意1x R Î都有()()112f x f x x <+成立，则函数()f x 在R 上单调递减. 则以上真命题的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 316.某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( ) A. y ＝[]10x B. y ＝3[]10x + C. y ＝4[]10x + D. y ＝5[]10x + 三、解答题：（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.已知集合{}2|0,,|22,3x A x x R B x x a x R x 禳-镲=>?-Ｎ睚镲-铪，若A B R ?，求实数a 的取值范围.18.已知关于x 的不等式210x ax -+?有解，求关于x 的不等式472ax x +>-的解.19.设函数()()20a x f x a x+=>． （1）判断函数的奇偶性；（2）探究函数()()20a x f x a x+=>，)x ??上的单调性，并用单调性的定义证明．20.运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x ≤100（单位：千米/时）．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油22360x 骣琪+琪桫升，司机的工资是每小时14元．（1）求这次行车总费用y 关于x 的表达式；（2）当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．21.对于函数()()()212a 0f x ax b x b =+++-?（），若存在实数0x ,使 ()00 f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点.（1）当2,2a b ==-时，求()f x 的不动点；（2）若对于任意的实数,b 函数 ()f x 恒有两个相异的不动点，求实数a 的取值范围； （3）在（2）的条件下，若()y f x =的图象上,A B 两点的横坐标是函数()f x 的不动点，且直线2121y kx a =++ 是线段AB 的垂直平分线，求实数b 的取值范围.2019-2020学年上海市建平中学高一上学期期中考试数学试题一、填空题（本答题共有12题，满分36分）考生应在答题纸相应的编号空格内直接填写结果.每个空格填对得3分，否则一律得零分.1.若实数a 满足：a 2∈{1，4，a}，则实数a 的取值集合为_____． 【答案】{﹣1，﹣2，2，0} 【解析】 【分析】由2a ∈{1，4，a}，得到2a =1或2a =4，或2a =a ，由此求出实数a 的取值，根据互异性验证后可得所求集合．【详解】∵实数a 满足：2a ∈{1，4，a }， ∴2a =1或2a =4，或2a =a ，解得a=﹣2或a=2或a=﹣1或a=1或a=0，当a=1时，集合为{1，4，1}，不合题意；当a=﹣1，或a=±2，或a=0时，满足题意．∴实数a的取值集合为{﹣1，﹣2，2，0}．故答案为：{﹣1，﹣2，2，0}．【点睛】本题考查集合的求法，是基础题，解题时要认真审题，对得到的结果要进行验证，注意集合中元素性质的合理运用．2.函数lg(3)y x=-的定义域为_____．【答案】[﹣2，3）【解析】【分析】由根式内部的代数式大于等于0和对数的真数大于0得到关于变量x的不等式组，解不等式组后可得定义域．【详解】由题意得2030xxì+?ïí->ïî，解得23x-?．∴函数的定义域为：[﹣2，3）．故答案为：[﹣2，3）．【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，解题的关键是构造关于自变量的的不等式（组），是基础题．3.命题“若ab＝0，则b＝0”的逆否命题是______．【答案】“若b≠0，则ab≠0”【解析】因为一个命题的逆否命题，是将原命题逆命题的条件与结论同时否定得到，所以命题“若ab＝0，则b＝0”的逆否命题是“若b≠0，则ab≠0”.故答案为：“若b≠0，则ab≠0”.4.函数y=1x+2的单调区间是_____．【答案】（﹣∞，0）和（0，+∞）【解析】 【分析】求出函数的定义域，利用反比例函数的单调性可求得答案． 【详解】由题意得函数1y 2x=+的定义域为()(),00,ゥ-?，又函数1y x =在(),0¥-和()0,¥+上单调递减， 所以函数1y 2x=+的单调减区间是(),0¥-和()0,¥+．故答案为：（-∞，0）和（0，+∞）．【点睛】本题考查函数单调区间的求法，属于基础题，熟练掌握常见基本函数的单调性是解题的基础，同时还应注意函数的单调区间不能并在一起．5.已知()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ³时，()(1)f x x x =+，则当0x <时，()f x =__________． 【答案】(1)x x - 【解析】 设0x <，则0x ->由已知当0x ³时，()()1f x x x =+，\当0x ->时，可得()()1f x x x -=--()()()1f x f x x x \=--=-6.已知符号函数sgn （x ）1,00,01,0x x x ì>ïï==íï-<ïî，则函数f （x ）=sgn （x ）﹣2x 的所有零点构成的集合为_____．【答案】11,0,22禳镲-睚镲铪 【解析】 【分析】根据x 的取值进行分类讨论，得到等价函数后分别求出其零点，然后可得所求集合．【详解】①当x ＞0时，函数f （x ）=sgn （x ）﹣2x =1﹣2x ，令1﹣2x=0，得x=12，即当x ＞0时，函数f （x ）的零点是12；②当x=0时，函数f （x ）=0，故函数f （x ）的零点是0； ③当x ＜0时，函数f （x ）=﹣1﹣2x ，令﹣1﹣2x=0，得x=12-， 即当x ＜0时，函数f （x ）的零点是12-． 综上可得函数f （x ）=sgn （x ）﹣x 的零点的集合为：11,0,22禳镲-睚镲铪． 故答案为：11,0,22禳镲-睚镲铪． 【点睛】本题主要考查函数零点的求法，解题的关键是根据题意得到函数的解析式，考查转化思想、分类讨论思想，是基础题． 7.函数3()log (81)x f x =+的值域为_______. 【答案】(0,)+? 【解析】由指数函数的性质可知：80,811x x >\+>， 据此可知：()()3log 810x f x =+>， 函数的值域为()0,+?.8.已知a ＞0，b ＞0，则224442a ab b a b++++的最小值为_____．【答案】4 【解析】 【分析】由题意构造出基本不等式的形式，然后根据基本不等式求解即可．【详解】由题意得222444(2)44(2)222a ab b a b a b a b a b a b+++++==+++++， ∵0,0a b >>，∴20a b +>，∴4(2)42a b a b ++?+，当且仅当422a b a b+=+，即22a b +=时等号成立． ∴224442a ab b a b++++的最小值为4．故答案为：4．【点睛】应用基本不等式求最值时，需要注意使用的条件，即“一正、二定、三相等”，若不满足此条件，则要通过“拼、凑”等方法进行变形，使得满足所需条件．本题考查“构造思想”与基本不等式的运用，属于基础题．9.设集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={x ∈R ﹣1≤x ≤5}，则（A ∪B ）∩C=_____ 【答案】{1，2，4} 【解析】 【分析】根据并集与交集的定义计算即可． 【详解】∵A={1，2，6}，B={2，4}， ∴A ∪B={1，2，4，6}， 又C={x ﹣1≤x ≤5，x ∈R}， ∴（A ∪B ）∩C={1，2，4}． 故答案为：{1，2，4}．【点睛】本题考查交集与并集的运算，解题时根据集合运算的定义求解即可，是基础题． 10.若y=f （x ）是定义在（﹣∞，+∞）上的单调减函数，且f （x ）＜f （2x ﹣2），则x 的取值范围_____． 【答案】（﹣∞，2） 【解析】 【分析】根据y=f （x ）是定义在（﹣∞，+∞）上的单调减函数可由f （x ）＜f （2x ﹣2）得到x ＞2x ﹣2，解不等式可得x 的取值范围．【详解】∵f （x ）＜f （2x ﹣2），且y=f （x ）是定义在（﹣∞，+∞）上的单调减函数， ∴x ＞2x ﹣2，解得x ＜2．∴x 的取值范围为（﹣∞，2）． 故答案为：（﹣∞，2）．【点睛】本题考查函数单调性的应用及一元一次不等式的解法，解题时注意转化思想方法的运用，属于简单题．11.若函数()[]()()2,1,12,1,x x f x f x x ì?ï=í-??ïî，则()5f =_____．【答案】1 【解析】 【分析】根据函数的解析式可推导出f （5）=f （3）=f （1），由此可得所求结果． 【详解】由题意得()()()()()2552332111f f f f f =-==-===． 故答案为：1．【点睛】本题考查求分段函数的函数值和运算求解能力，解题的关键是分清自变量所在的范围，然后代入求值，属于基础题．12.定义：若平面点集A 中的任一个点（x 0，y 0），总存在正实数r ，使得集合(){x,y }A r <?，则称A 为一个开集．给出下列集合：①{（x ，y ） x 2+y 2=1}； ②{（x ，y ） x+y+2＞0}； ③{（x ，y ） x+y ≤6}； ④()(22{,|01}x y x y <+-< ．其中不是开集的是_____．（请写出所有符合条件的序号） 【答案】①③ 【解析】 【分析】弄清开集的定义是解决本题的关键，解答本题时根据新定义进行计算后判断，即所选的集合需要满足：存在以该集合内任意点为圆心、以正实数为半径的圆，且圆的内部均在该集合内． 【详解】对于①，集合A={（x ，y ） x 2+y 2=1}表示以原点为圆心，1为半径的圆，则在该圆上任意取点（x 0，y 0），以任意正实数r 为半径的圆面，均不满足()B {x,y |}A r =?，故①不是开集．对于②，集合A={（x，y） x+y+2＞0}，对于A中的任一点（x0，y0），设该点到直线x+y+2=0的距离为d，取r=d，则满足()B{x,y|}Ar=?，故②是开集．对于③，集合A={（x，y） x+y ≤6}，在曲线 x+y =6任意取点（x0，y0），以任意正实数r为半径的圆面，均不满足()B{x,y|}Ar=?，故该集合不是开集．对于④，集合A=()(22{,|01}x y x y<+-<表示以点(为圆心，以1为半径除去圆心和圆周的圆面，在该平面点集A中的任一点（x0，y0），则该点到圆周上的点的最短距离为d，取r=d，则满足()B{x,y|}Ar=?，故该集合是开集．综上可得①③中的集合不是开集．故答案为：①③．【点睛】本题属于集合的新定义型问题，考查学生即时掌握信息、解决问题的能力，正确理解开集的定义是解决本题的关键．二、选择题：（本大题共4题，满分12分）每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸相应的编号空格内直接填写选项，选对得3分，否则一律得零分.13.已知实数a b、满足0ab>，则“11a b<成立”是“a b>成立”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 非充分非必要条件【答案】C【解析】【分析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】由11b aa b ab--=，0 ab>，\若11a b<成立,则0b a-<，即a b>成立，反之若a b>，0 ab>，11b aa b ab-\-=<，即11a b<成立，\“11a b<成立”是“a b > 成立”充要条件，故选C. 【点睛】本题主要考查不等式的性质以及充分条件和必要条件的应用，属于中档题. 判断充要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q qp 揶.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.14.已知函数()y f x =的定义域为[],a b ，(){}(){},|(),,|0x y y f x a x b x y x =＃?只有一个子集，则 （ ） A. 0ab > B. 0ab ³ C. 0ab < D. 0ab £ 【答案】A 【解析】空集是任何集合的子集,只有一个子集那只能是空集,所以()(){}(){},|,,|0x y y f x a x b x y x =＃?=Φ所以f(x)的定义域不包含x=0,所以,a 、b 同号,且均不为零,所以ab ＞0 故选：A点睛：本题主要考查了函数的定义，对定义域上的每个x ，有且只有一个y 值与其对应，若x 不在定义域上，当然就不存在y 值与其对应，此时()(){}(){},|,,|0x y y f x a x b x y x =＃?=Φ.15.设()f x 是定义在R 上的函数. ①若存在1212,,x x R x x ?，使()()12f x f x <成立，则函数()f x 在R 上单调递增； ②若存在1212,,x x R x x ?，使()()12f x f x £成立，则函数()f x 在R 上不可能单调递减；③若存在20x >对于任意1x R Î都有()()112f x f x x <+成立，则函数()f x 在R 上单调递减. 则以上真命题的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B【分析】根据增函数和减函数的定义判断，注意关键的条件：“存在” 、“任意”以及对应的自变量和函数值的关系.【详解】对于①，“任意”1212,,x x R x x ?，使()()12f x f x <成立，函数()f x 在R 上单调递增，故①不对；对于②，由减函数的定义知，必须有“任意”1212,,x x R x x ?，使()()12f x f x >成立，即若存在12x x <，使()()12f x f x £成立，函数()f x 在R 上不可能单调递减，故②对；对于③，存在20x >对于任意1x R Î都有()()112f x f x x <+成立，则函数()f x 不在R 上单调递减，故③不对；即真命题的个数为1，故选B.【点睛】本题主要考查阅读能力以及对增函数与减函数定义的理解与应用，意在考查对基本概念掌握的熟练程度和灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.16.某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( ) A. y ＝[]10x B. y ＝3[]10x + C. y ＝4[]10x + D. y ＝5[]10x + 【答案】B 【解析】 【分析】根据规定10推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增加一名代表，即余数分别为7，8，9时可以增选一名代表，也就是x 要进一位，所以最小应该加3．进而得到解析式． 【详解】根据规定10推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增加一名代表，即余数分别为7，8，9时可以增选一名代表，也就是x 要进一位，所以最小应该加3．因此利用取整函数可表示为y=[310x +] 也可以用特殊取值法若x=56，y=5，排除C 、D ，若x=57，y=6，排除A ；【点睛】本题主要考查给定条件求函数解析式的问题，这里主要是要读懂题意，再根据数学知识即可得到答案．对于选择题要会选择最恰当的方法．三、解答题：（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.已知集合{}2|0,,|22,3x A x x R B x x a x R x 禳-镲=>?-Ｎ睚镲-铪，若A B R ?，求实数a 的取值范围.【答案】1,22轾犏犏臌【解析】 【分析】利用分式不等式的解法化简集合,A 利用绝对值不等式的解法化简集合B ，再由A B R ?,根据并集的定义直接求实数a 的取值范围. 【详解】集合{20,|23x A x x Rx x x 禳-镲=?<睚-镲铪或}3x >，{}{}|22,|2222B x x a x R x a xa =-Ｎ=-＃+， 若A B R ?，则222223a a ì-?ïí+?ïî，得122a ＃，所以实数a 的取值范围1,22轾犏犏臌.【点睛】集合的基本运算的关注点：（1）看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提；（2）有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决；（3）注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图． 18.已知关于x 的不等式210x ax -+?有解，求关于x 的不等式472ax x +>-的解.【答案】见解析. 【解析】 【分析】由关于x 的不等式210x ax -+?有解，可知，240a D=-?,又由()47223ax x a x +>-?>,分20a +>或20a +=或20a +<三种情况，解出不等式的解即可得到结果. 【详解】由于关于x 的不等式210x ax -+?有解， 则240a D=-?，即2a ³或2a ?， 又由 472ax x +>-等价于()23a x +> , 则当2a ³时，20a +>，所以不等式472ax x +>-的解为32x a >+， 当2a =-时，不等式无解， 当2a <-时,20a +< ,所以不等式472ax x +>-的解为32x a <+. 【点睛】分类讨论思想的常见类型⑴问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的； ⑵问题中的条件是分类给出的；⑶解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的；⑷涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的.19.设函数()()20a x f x a x+=>． （1）判断函数的奇偶性；（2）探究函数()()20a x f x a x+=>，)x ??上的单调性，并用单调性的定义证明．【答案】（1）奇函数；（2）单调递增，证明见解析． 【解析】试题分析：（1）由函数可得函数的定义域关于原点对称，再化简得()()f x f x -=-，即可判定函数的奇偶性；（2）利用函数的单调性的定义，即可证明函数()y f x =在)+?上的单调递增．试题解析：（1）()f x 的定义域()(),00,-ト+?，()()()22a x a x f x f x xx+-+-==-=-- ()f x \为奇函数；（2）函数()y f x =在)+?上的单调递增，证明：()()20a x f x a x+=>，)x ??，任取)12,x x ??，且12x x <则()()()1212121a f x f x x x x x 骣琪-=--琪桫)12,Qx x ??，且12x x <，120x x -<，1210ax x ->，则()()120f x f x -<， 即()()12f x f x >\函数()y f x =在)+?上的单调递增．考点：函数的性质的判定与证明．【方法点晴】本题主要考查了函数的性质的判定与证明，其中解答中涉及到函数奇偶性的判定与证明，函数的单调性的判定与证明，函数单调性的定义等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解得中熟记函数的奇偶性和单调性的判定方法是解答的关键，试题比较基础，属于基础题．20.运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x ≤100（单位：千米/时）．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油22360x 骣琪+琪桫升，司机的工资是每小时14元．（1）求这次行车总费用y 关于x 的表达式；（2）当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．【答案】（1）y ＝21201202(2)12360x x x创++?，x ∈[50,100]．（2）当x＝总费用最低，最低费用为 【解析】试题分析：（1）由行车所以时间130t x=小时，即可列出行车总费用y 关于x 的表达式；（2）由（1）知，利用基本不等式求解最值，即可求解结论． 试题解析：（1）行车所以时间130t x=小时， ∴[]()21301413023401322,50,10036018x y x x x x x 骣´琪=创++=+?琪桫；．．．．．．．．．．．6分 （2）23401318y x x =+?23401318x x =，即x =所以当x =．．．．．．．．．．．．12分 考点：函数的解析式；基本不等式的应用．【方法点晴】本题主要考查了实际问题的应用，其中解答中涉及到函数的解析式、基本不等式的求最值及其应用等知识点的综合考查，注重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，试题比较基础，属于基础题，此类问题的解答中准确审题，根据题设条件，列出关系式是解答的关键．21.对于函数()()()212a 0f x ax b x b =+++-?（），若存在实数0x ,使 ()00 f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点.（1）当2,2a b ==-时，求()f x 的不动点；（2）若对于任意的实数,b 函数 ()f x 恒有两个相异的不动点，求实数a 的取值范围； （3）在（2）的条件下，若()y f x =的图象上,A B 两点的横坐标是函数()f x 的不动点，且直线2121y kx a =++ 是线段AB 的垂直平分线，求实数b 的取值范围.【答案】（1）1,2-；（2）02a <<；（3）4÷ê-÷ê滕. 【解析】 【分析】(1)设x 为不动点，则有224x x x --=,变形为22240x x --=,解方程即可；(2)将()f x x =转化为220ax bx b ++-=，由已知，此方程有相异二实根，则有0x D >恒成立，可得()2420b a b -->，由0b D <可得结果；(3)由垂直平分线的定义解答，由,A B 两点的横坐标是函数()f x 的不动点,则有1AB k = ,再由直线2121y kx a =++是线段AB 的垂直平分线，得到1k =-，再由中点在直线上2121y kx a =++可得211212a b a a a=-=-++利用基本不等式求解即可.【详解】()()2120ax b x b a +++-?， （1）当2,2a b ==-时，()224f x x x =--， 设x 为其不动点，即224x x x --=, 则2122240,1,2x x x x --==-=, 即()f x 的不动点是1,2-.(2)由()f x x =得220ax bx b ++-=，由已知，此方程有相异二实根，则有0x D >恒成立即()2420b a b -->，即2480b ab a -+>对任意b R Î恒成立，20,16320b a a \D <\-<，02a \<<.(3)设()()1122,,,A x x B x x ， 直线2121y kx a =++是线段AB 的垂直平分线，1k \=-，记AB 的中点()00,M x x ，由（2）知02bx a=-， M 在2121y kx a =++上，212221b b a a a \-=++，化简得2112142a b a a a=-=-?=-++（当a =时，等号成立）即0b >?4÷ê-÷ê滕. 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系、直线的方程以及利用基本不等式求最值与新定义问题，属于难题.新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.。

2019-2020年上海市建平中学高一上期中一. 填空题1. 已知全集{5,6,7,8,9}U =，{6,7,8}A =，那么U A =ð2. 不等式2101x x +<-的解集是 3. 命题“若0xy ≠，则0x ≠且0y ≠”的逆否命题是4. 已知函数2220190()0x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，则(2)f = 5. 若“x a >”是“5x >”的充分非必要条件，则实数a 的取值范围是6. 若,x y +∈R ，且4xy =，则4x y +的最小值是7. 函数y =的定义域是8. 设函数2460()60x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，则不等式()3f x >的解集是9. 若函数()f x =的定义域为R ，则实数m 的取值范围是10. 若2{|(2)10,}A x x m x x =+++=∈R ，且A +=∅R I ，则m 的取值范围是11. 关于x 的不等式2|3||1|5x x a a +--≤-的解集不是∅，则实数a 的取值范围为12. 已知,x y +∈R ，21x y +=，可以利用不等式1ax x +≥42ay y +≥0a >） 求得14x y +的最小值，则其中正数a 的值是二. 选择题13. 对于集合M 、N ，若MN ，则下面集合的运算结果一定是空集的是（ ） A. U M N ð B. U M N ð C. U U M N 痧I D. M N I14. 如果a 、b 、c 满足c b a <<且0ac <，那么下列选项中不一定成立的是（ ）A. ab ac >B. 22cb ab <C. ()0c b a ->D. ()0ac a c -<15. 若集合2{|540}A x x x =-+<，{|||1}B x x a =-<，则“(2,3)a ∈”是“B A ⊆”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又不必要条件16. 已知A 与B 是集合{1,2,3,,100}⋅⋅⋅的两个子集，满足：A 与B 的元素个数相同，且A BI为空集，若n A ∈时总有22n B +∈，则集合A B U 的元素个数最多为（ ）A. 62B. 66C. 68D. 74三. 解答题17. 解不等式组|3|1(1)(5)0x x x ->⎧⎨--≥⎩.18. 已知：a 、b 是正实数，求证：22a b a b b a+≥+.19. 若()f x x=()g x =()()()F x f x g x =+. （1）分别求()f x 与()g x 的定义域；（2）求()F x 的定义域与值域；（3）在平面直角坐标系内画出函数()F x 的图像，并标出特殊点的坐标.20. 设集合2{|10}A x x =-=，集合2{|0,}B x x ax b x =-+=∈R ，且B ≠∅.（1）若B A ⊆，求实数a 、b 的值；（2）若A C ⊆，且2{1,21,}C m m =-+，求实数m 的值；21. 按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a 元，如果他卖出该产品的单价 为m 元，则他的满意度为m m a +，如果他买进该产品的单价为n 元，则他的满意度为n n a +， 如果一个人对两种交易（卖出或买进）的满意度分别为1h 和2h ，则他对这两种交易的综合现假设甲生产A 、B 两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A 、B 两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A 、B 的单价分别为A m 元和B m 元（根据经济学常识，212A m ≤≤，520B m ≤≤），甲买进A 与卖出B 的综合满意度为h 甲，乙卖出A 与买 进B 的综合满意度为h 乙.（1）求h 甲和h 乙关于A m 、B m 的表达式，当35A B m m =时，求证：h h =乙甲； （2）设35A B m m =，当A m 、B m 分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大 的综合满意度为多少？（3）记（2）中最大的综合满意度为0h ，试问能否适当选取A m 、B m 的值，使得0h h ≥甲和0h h ≥乙同时成立，但等号不同时成立？试说明理由.参考答案一. 填空题1. {5,9}2. 1{|1}2x x -<< 3. 若0x =或0y =，则0xy = 4. 4- 5. (5,)+∞ 6. 8 7. (2,)+∞ 8. (3,1)(3,)-+∞U 9. 1[,)4+∞ 10. (4,)-+∞11. (,1][4,)-∞+∞U12. 9+二. 选择题13. A 14. B 15. A 16. B三. 解答题17. [1,2)(4,5]U18. 证明略.19.（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，()g x 的定义域为(0,2)(2,)+∞U ；（2）()F x 的定义域 是(0,2)(2,)+∞U ，()F x 的值域是[2,)+∞；（3）1()F x x x=+，(0,2)(2,)x ∈+∞U . 20.（1）若{1}B =，则2a =，1b =；若{1}B =-，则2a =-，1b =；若{1,1}B =-， 则0a =，1b =-；（2）0m =或1m =.21.（1）h =甲h =乙[3,12]A m ∈，[5,20]B m ∈）； 证明略；（2）当12A m =，20B m =（3）不存在满足条件的A m 、B m 的值.。