2.7 有理数的乘法(一)

七年级数学上册 2.7 有理数乘法（第1课时）“负负得正”的乘法法则可以证明吗？（新版）北师大版关于“负负得正”的乘法法则，是否可以通过证明来确认这条法则呢？这个问题历来被老师们关注，有关专家对此也有各种看法，现将一篇文章转摘如下，供老师们参考(田载今，中学数学教学参考，2005年第3期)。

有理数的乘法法则中包括“负负得正”一条，“两个负有理数相乘，结果（积）是一个正有理数，其绝对值等于相乘两数的绝对值的乘积.”例如，（－2）×（－3）=＋6。

这条法则对刚学它的人来说，不是很容易理解，多数人是把它硬记下来的.记得水稻专家袁隆平院士说过他学正负数时想不清这个法则的道理，就去向老师请教，老师说：“你记住就行了.”编写教材时，大家为说明这条法则的道理想了很多办法,有的教材以实际问题为背景来说明,有的教材从运算律的角度进行说明,有的教材利用相反数的意义解释……教学中,许多老师都反映这条法则的道理不是很好讲.也有人考虑：是否可以通过证明来确认这条法则呢？教科书中哪种说法可以算是对它的证明呢？一种意见认为，“负负得正”有着丰富的实际背景，实践是检验真理的标准，这些实际背景对这一法则的证明.例如，考虑这样的问题：如果水位一直以每小时2厘米的速度下降，现在水位在水文标尺刻度的A处，3小时前水位在水文标尺的刻度在何处？为区分水位变化方向，我们规定水位上升为正，下降为负；显然3小时前水位在水文标尺刻度的A处上方6cm处，这可以表示为（－2）×（－3）=＋6.在许多情况下，都能找到类似这样的“负负得正”的原型，因此，“负负得正”可以认为是通过客观实践检验证明的.上面的意见中，以“实际事物的原型”替代“数学的证明”的做法是不妥的.数学中的证明不是个例的验证，数学不是物理、化学、生物那样的实验科学，它的命题具有一般性，不能依靠检验个别案例完成对一般结论的证明，而需要依据已有的结论（定义、公理和定理等）经合乎逻辑的推导来证明.这些客观事物中的原型，只有在人为地规定问题中有关量的正负意义之后，即经过数学化、抽象化之后，才具有了“负负得正”的意义，它们只能说明“负负得正”有实际背景，或作为应用“负负得正”法则的例子，而不能作为逻辑地推导这个法则的根据.另一种意见认为，可以通过运算律来证明“负负得正”这一法则，具体推导过程如下：有了有理数的加法法则以及“正正得正”，“正负得正”的乘法法则之后，由分配律，有（－1）×（－1）=（－1）×（1－2）=（－1）×1－（－1）×2=－1－（－2）=－1＋2=1 .进而由交换律和结合律可以推出任何两个负数相乘的结果,例如，（－2）×（－3）=（－1）×2×（－1）×3=（－1）×（－1）×2×3 =［（－1）×（－1）］×（2×3）=1×6=6.于是,得出“负负得正”这一法则.笔者认为,上面的意见中在应用分配律时,用到了（－1）×（1－2）=（－1）×1-（－1）×2. （1）当确立了有理数的加法法则以及“正正得正”,“正负得负”的乘法法则,而尚未确立“负负得正”这一法则时,这样做是缺乏根据的.在这时,我们可以确信（－1）×（2－1）=（－1）×2－（－1）×1.⑵这是因为⑵的左边为（－1）×（2－1）=（－1）×1=－1.⑵的右边为（－1）×2－（－1）×1=-2-(-1)=-2+1=-1.所以(2)的左边等于右边,即(2)成立.但是,我们不能用类似的方法推出⑴成立,因为⑴的左边为（－1）×（1－2）=（－1）×（－1），而（－1）×（－1）的法则此时尚未成立,所以无法确定⑴的左边是否等于右边,即此时分配律等于（－1）×（1－2）是否适用尚且存疑。

课题：2.7.1有理数的乘法课型：新授课年级：七年级教学目标：1.经历探索有理数乘法法则的过程，发展观察、归纳、猜测、验证等能力．2.会进行有理数的乘法运算，理解倒数的概念．3.通过学习，激发学生的学习好奇心，锻炼学生的意志品质，张扬学生个性；培养学生科学严谨的学习态度，树立正确的价值观、人生观．教学重点与难点：重点：掌握有理数乘法法则，会进行有理数的乘法运算．难点：有理数乘法法则探究过程，符号法则及法则的理解．课前准备：多媒体课件．教学过程:一、创设情境，导入新课活动内容：（多媒体展示）甲水库的水位每天升高3厘米，乙水库的水位每天下降3厘米，4天后甲、乙水库的水位的总变化量各是多少?处理方式：教师多媒体演示，学生观察、思考交流速说出答案，这时老师再继续追问：(1)如果用正号表示水位上升，那么4天后甲水库的水位变化量应如何表示？（3+3+3+3+3=3×4=12）；（2）如果用负号表示水位下降，那么4天后乙水库的水位变化量应如何表示？[（-3）+（－3）+（－3）+（－3）=（－3）× 4=－12]；（3）特殊的加法运算就是乘法，如何进行有理数的乘法运算呢? 下面我们就来一起探索吧，出示课题，揭示目标．设计意图：通过问题情境的创设，引入了本课的课题，激发了学生的好奇心和求知欲，同时通过列式运算让学生复习回忆加法与乘法之间的关系，为下面学生探索有理数的乘法运算打下基础．二、合作交流，探究新知活动内容1：请仿照上述方法计算下列各题（－3）× 3 ＝_____；（－3）×2 ＝_____；（－3）×1 ＝_____；（－3）×0 ＝_____．处理方式：让学生仿照引例的计算方法将乘法转化成加法，学生能够计算出结果，并让学生说出计算的过程，教师点拨：将乘法运算转化成加法计算，体现了数学中转化的数学思想.接着教师追问：（1）观察算式的左边，一个因数不变，另一个因数如何变化？（一个因数不变，另一个因数每次减小1），继续追问：（2）一个因数不变，另一个因数每次减小1时，两数之积如何变化？（另一个因数每次减小1时，算式右边的积每次增加3.）设计意图：让学生仿照引例的计算方法将乘法转化成加法计算，既渗透了转化的数学思想，又能够让学生亲历知识的形成过程，发展学生观察、归纳等能力，完成了本节课的第二个目标，同时锻炼了学生的思维意志品质，张扬了学生的个性．通过继续追问算式中的变化规律，为下面得出两个负数相乘做好铺垫．活动内容2：根据上面发现的规律，请猜一猜下面这几算式的结果是多少？（－3）×（－-1）=（－3）×（－2）=（－3）×（－3）=（－3）×（－4）=处理方式：由一个因数每次减小1时，算式右边的积每次增加3，学生很容易猜出这4个算式的结果．活动内容3：探究有理数的乘法法则处理方式：教师提问：类比有理数的加法法则，想一想，两个有理数相乘符号如何取？绝对值如何确定？任何数与零相乘的结果是多少？当学生回答完后，继续追问3.你能用语言叙述有理数的乘法法则吗？学生回答后教师再用多媒体展示.流中互相补充，完善结论，培养了学生观察、归纳、合作的能力，培养了学生科学严谨的学习态度．三、例题解析 应用新知 活动1．利用乘法法则进行计算例1.计算： （1）.（－4）×5； （2）.（－7）×（－5）．处理方式：由师生先共同做一道题，教师板书步骤，强调解题的步骤，要先确定符号，再计算绝对值，然后让学生代表到黑板板书，其余学生在练习本上完成．设计意图：通过练习，巩固有理数的乘法法则，让学生养成先确定结果的符号，再进行绝对值的运算的习惯.活动2：理解倒数的意义例1.计算：（3）.）（）（3883-⨯-； （4）.）（）（313-⨯- ． 处理方式：由学生口述，教师利用多媒体课件展示，强调解题的步骤，要先确定符号，再计算绝对值．提问：观察(3)、（4）两个算式他们的结果有什么关系？学生发现算式结果的乘积都是1．接着指出象这样的两个数互为倒数，教师对倒数的解释：①倒数不能单独出现；②互为倒数的两个数的符号相同；③若两个数互为倒数，则它们的乘积是1．设计意图：巩固理解倒数的定义.跟踪训练：抢答题填空： (1) 6⨯(- 9)= ； (5) (-4) ⨯(-0.25)= ；(2) (- 6) ⨯(- 9)= ； （6）75-的倒数是 ； (3) (- 6) ⨯1= ； （7）－0.2的倒数是 ．(4) 0 ⨯(-6)= ；处理方式：由学生口述，教师利用多媒体课件展示，强调解题的步骤，要先确定符号，再计算绝对值．活动3：探究多个有理数相乘问题例2计算（1）（－4）× 5 ×（－0.25）（2）（－53）×（－65）×（－2） 处理方式：两名学生板演，其余学生独立在练习本上计算这两道题. 学生完成后师生共同点评，对学生出现的问题进行矫正．活动4：探究多个有理数相乘积的符号 抢答题： (1) .4⨯ 3 ⨯ 2 ⨯ 1 = (2). 4⨯(- 3) ⨯ 2⨯1 =(3) . 4⨯(- 3) ⨯ 2 ⨯ (- 1 ) = (4) . 4⨯(- 3) ⨯ (- 2 ) ⨯ (- 1 ) = (5) (- 4)⨯(- 3) ⨯ (- 2 ) ⨯ (- 1 ) = (6) 4⨯(- 31) ⨯ 23⨯15 ⨯ 0=处理方式：由学生独立思考后，展示交流，教师提出问题：观察这6个式子，你有什么发现？能得到什么结论？几个有理数相乘，因数都不为0时，积的符号怎样确定？有一个因设计意图：使学生进一步熟悉有理数乘法的计算方法，引导学生运用有理数的乘法法则解决问题.同时引导学生归纳多个有理数相乘，因数都不为0时，积的符号能如何确定确定，进一步提高学生的解题能力.跟踪训练：计算： ；)45(32)1(-⨯ ；340)716()1324()2(⨯⨯-⨯- ；)91()2.1(45)3(-⨯-⨯ ).158()21()73()4(-⨯-⨯- 处理方式：6名学生板演，其余学生独立在练习本上计算这两道题. 学生完成后师生共同点评，对学生出现的问题进行矫正．四、回顾反思 提炼新知这节课你学到了什么？请把你的收获分享给你的同学.处理方式：学生反思自己课堂的表现及所学习的知识和方法等内容，大家相互补充. 设计意图:学生在学习的过程中会有遗忘,因此必要的反复至关重要,每节课的小结更是 必不可少.课堂小结让学生充分发表自己的感受，相互补充．及时有效明确本节课的主要内容、思想和方法，同时培养学生的归纳能力和语言表达能力，以及善于反思的好习惯．让学生品尝收获的喜悦，坚定今后学习数学的信心．五、达标测试 反馈提高1.两数相乘， 得正， 得负，并把 相乘． 任何数与0相乘，积仍为0.2.几个不为0的有理数数相乘，积的符号由 的个数决定：当 有 个时，积的符号为负；当 有 个时，积的符号为正； 几个有理数相乘，只要有一个数为0，积就为0．3.倒数是它本身的数是 ．4. －2016 的倒数是 ． 4.计算：（1）（－3.2）×(－3)； ；)511(321)2(-⨯；）（)1.19(0)2.8(.573-⨯⨯-⨯ ).100(121)12.0()4(-⨯⨯- 处理方式:学生先独立完成，教师巡视.做的快的可以边巡视边批改,绝大多数完成后, 根据批改情况找学生错的比较多的问题讲解,由做错的学生进行纠错.留半分钟的时间纠错反思.设计意图:让学生独立完成,有利于把握学生对本节课的掌握情况.同时老师面批,有利于 查缺补漏,因材施教.最后留给学生反思,将错题真正改正,落实到实处.让学生最大程度地获得新知．六、布置作业 课堂延伸必做题： 习题2.10第1、2题 ． 拓展题：1.习题2.10 第3、4题2.用“＞”“＜”“＝”号填空。

北师大版数学七年级上册2.7《有理数的乘法》（第1课时）教案一. 教材分析《有理数的乘法》是北师大版数学七年级上册第2.7节的内容，本节课的主要内容是让学生掌握有理数的乘法法则，并能够运用这些法则进行计算。

教材通过实例引入有理数的乘法，让学生在实际计算中体会和理解有理数乘法的规律。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了有理数的加法、减法、除法，对负数的概念也有了一定的了解。

但学生在处理有理数乘法时，可能会受到正负数乘法规律的干扰，对有理数乘法的法则理解不够深入。

因此，在教学过程中，教师需要引导学生通过实际计算，发现和总结有理数乘法的规律。

三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握有理数的乘法法则，能够正确进行有理数的乘法计算。

2.过程与方法：通过实例引入有理数的乘法，让学生在实际计算中发现和总结有理数乘法的规律。

3.情感态度价值观：培养学生对数学的兴趣，提高学生解决实际问题的能力。

四. 教学重难点1.教学重点：有理数的乘法法则。

2.教学难点：理解有理数乘法的规律，能够运用乘法法则进行计算。

五. 教学方法采用启发式教学法、实例教学法和小组合作学习法。

通过实例引入有理数的乘法，引导学生发现和总结乘法规律，激发学生的学习兴趣。

在教学过程中，鼓励学生进行小组讨论，培养学生的合作意识和解决问题的能力。

六. 教学准备1.教学PPT：制作有关有理数乘法的PPT，包括实例、习题和教学环节。

2.教学素材：准备一些有关有理数乘法的习题，用于巩固和拓展学生的知识。

3.教学工具：多媒体设备、黑板、粉笔。

七. 教学过程利用PPT展示实例：小明买了一本书，原价是8元，因为打折，小明用了6.4元买到了这本书。

请同学们思考，小明买了这本书的几折？让学生回答问题，引导学生思考有理数的乘法。

2.呈现（10分钟）教师引导学生总结有理数的乘法法则。

通过PPT展示有理数的乘法法则，让学生跟随PPT一起朗读。

有理数的乘法法则：（1）同号相乘，取相同符号，并把绝对值相乘。

2.7有理数的乘法一、单选题1．﹣13的倒数是（ ）A．﹣13B．13C．﹣3D．3【答案】C【分析】直接利用倒数定义解答即可．【解析】13-的倒数是－3；故答案为:C【点睛】本题主要考查了倒数，掌握相关定义是解答本题的关键2．193-´的结果是（）A．3-B．3C．13-D．13【答案】A【分析】根据有理数的乘法法则计算可得．【解析】1199333æö-´=-´=-ç÷èø故选A ．【点睛】本题考查了有理数的乘法，是基础题型，符号问题是本题的易错点．3．若实数m n ，互为倒数，则下列等式中成立的是（）A ．m n 0-=B ．mn 1=C ．m n 0+=D ．mn 1=-【答案】B【分析】根据倒数的意义，可得答案．【解析】m n 0-=，得m n =，故A 错误；mn 1=，得m 与n 互为倒数，故B 符合题意；m n 0+=，得m 与n 互为相反数，故C 错误；mn 1=-，得m 与n 互为负倒数，故D 错误；故选B ．【点睛】本题考查了倒数的定义，两个数互为倒数，则乘积为1；两个数互为负倒数，则乘积为-1．4．下列语句中，正确的是（）A ．任何数的负倒数都是负数B ．倒数等于它本身的数是1C ．-1的倒数等于它本身D ．任何数的倒数都小于1【答案】C【分析】根据倒数的定义和性质逐一判断即可．【解析】A ．负数的负倒数是正数,故本选项错误；B ．倒数等于它本身的数是-1和1,故本选项错误；C ．-1的倒数等于它本身，故本选项正确；D ．12任何数的倒数是2＞1，故本选项错误．故选C ．【点睛】此题考查的是倒数，掌握倒数的定义和性质是解决此题的关键．5．计算()()1717æö´´-ç÷è-ø-的结果是（ ）A ．-1B ．1C ．149-D ．-49【答案】A【分析】由题意根据有理数的乘法，两个负数相乘为负数，一正一负相乘为负数进行运算即可．【解析】解：()()1717æö´´-ç÷è-ø-177æö=´-ç÷èø1=-故选：A．【点睛】本题考查有理数的乘法，熟练掌握两个负数相乘为负数，一正一负相乘为负数是解题的关键．6．2013个数的乘积为0，则（）A．均为0B．最多有一个为0C．至少有一个为0D．有两个数是相反数【答案】C【分析】根据有理数的乘法法则，0乘以任何数等于0即可判断．【解析】∵0乘以任何数都为0∴2013个数乘积为0，则至少有一个为0即可故选C．【点睛】本题考查了有理数的乘法，熟记0乘以任何数均等于0是本题的关键．7．已知|x|=3,|y|=8,且xy<0,则x+y的值等于( )A．±5B．±11C．−5或11D．−5或−11【答案】A【分析】先由绝对值的性质求得x、y的值，然后由xy＜0，分类讨论，然后计算即可．【解析】解：∵|x|＝3，|y|＝8，∴x＝±3，y＝±8．∵xy＜0，∴x，y异号，当x＝3，y＝−8时，x＋y＝3＋（−8）＝−5，当x＝−3，y＝8时．x＋y＝−3＋8＝5，故选A．【点睛】本题主要考查的是绝对值的定义、有理数的乘法、有理数的加法，根据x，y异号进行分类讨论是解题的关键．8．绝对值不大于133的所有整数的乘积是（）A．6B．-6C．-36D．0【答案】D【分析】先写出满足条件的所有整数，再求出它们的积．【解析】解：绝对值不大于133的所有整数有：0、1、-1、2、-2、3、-3，它们的积为：()()() 01231230´´´´-´-´-=．故选D．【点睛】本题考查绝对值和整数的综合应用，根据已知条件写出满足条件的所有整数是解题关键．9．下列说法中，正确的是（）A ．若0a ³，0b ³，则0a b +>B ．若0a £，0b £，则0ab ³C ．若0a ³，0b £，则0ab ³D ．若0a >，0b ³，则0ab <【答案】B【分析】根据有理数的加法和乘法运算法则判断下列选项的正确性．【解析】A 选项错误，应该是0a b +³；B 选项正确；C 选项错误，应该是0ab ≤；D 选项错误，应该是0ab ³．故选：B ．【点睛】本题考查有理数的加法和乘法运算法则，解题的关键是利用运算法则判断正负性．10．从1、2、3、4、…、100共100个正整数中取出若干个数，使其中任意三个数a 、b 、c ()a b c <<，都有a b c ´¹，则最多能取出（）个数．A ．50B ．76C ．87D ．92【答案】D【分析】如果有1，则无法取其他所有的数2、3、4、5…，如果取了3，不能取所有3的倍数6、9、12、…，由此可知从大数开始取，按此规律解答问题．【解析】解：由题意可知：∵1与任何数的乘积都等于它本身，∴1可以取；100=2×50，99=3×33，...，90=9×10，∴将2~9拿去，剩下的数满足题意，则最多能取出100-（9-2+1）=92个数，故选D ．【点睛】此题不仅考查了整数问题，还考查了逻辑推理能力，解答此题关键在于从大数分析，容易找到问题的突破口．二、填空题11．计算11112462æö+-´=ç÷èø__________．【答案】-1【分析】根据乘法分配律计算即可.【解析】11112462æö+-´ç÷èø14=´1216+´1212-´12＝3+2﹣6＝5﹣6＝-1故答案为-1.【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是熟练运用乘法分配律进行简便计算．12．计算：()58312æö÷ç÷ç÷çèø-´´-=____________；()()2.50.42-´-´=________________．【答案】102【分析】利用有理数的乘法法则计算即可．【解析】解：()58312æö÷ç÷ç÷ø-´ç´-è()53812æöç=-´çø-è´ç584=10=；()()2.50.42-´-´12=´2=；故答案是：10，2．【点睛】本题考查了有理数的乘法法则，熟悉相关性质是解题的关键．13．在数﹣5，1，﹣3，5，﹣2中任选两个数相乘，其中最大的积是___．【答案】15【分析】根据题意确定出积最大的即可．【解析】解：根据题意得：（﹣5）×（﹣3）=15，故答案为：15【点睛】此题考查了有理数的乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．14．填空：（1）（－2）×（－2）×2×（－2）的积的符号是____；（2）47æö-ç÷èø×35æö-ç÷èø×23æö-ç÷èø×12æö-ç÷èø的积的符号是___．【答案】－+【分析】（1）根据两数相乘，同号得正，异号得负即可解决；（2）根据两数相乘，同号得正，异号得负即可解决．【解析】（1）（－2）×（－2）×2×（－2）中有3个乘数为负，积的符号是－；（2）47æö-ç÷èø×35æö-ç÷èø×23æö-ç÷èø×12æö-ç÷èø中有4个乘数为负，积的符号是+．故答案为：－；+．【点睛】本题考查了有理数乘法及应用，熟练掌握运算法则是解题的关键．15．()()()()()12345678910-´-´-´-´-=______．【答案】-1【分析】原式先计算括号中的减法运算，再计算乘法运算即可得到结果．【解析】解：原式()()()()()11111=-´-´-´-´-1=-，故答案为：1-．【点睛】此题考查了有理数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．16．计算：191819×（﹣38）＝_____．【答案】﹣758．【分析】将原式变形为（20﹣119）×（﹣38），再利用乘法分配律计算可得．【解析】原式＝（20﹣119）×（﹣38）＝20×（﹣38）﹣119×（﹣38）＝﹣760+2＝﹣758，故答案为：﹣758．【点睛】本题主要考查有理数的乘法，解题的关键是掌握有理数的乘法法则和运算律．17．某商店营业员每月的基本工资为4000元，奖金制度是每月完成规定指标10000元营业额，发奖金300元；若营业额超过规定指标，另奖超额部分营业额的5%．该商店的一名营业员九月份完成营业额13200元，则他九月份的收入为________元．【答案】4460【分析】工资应分两个部分：基本工资+奖金，而奖金又分区间，所以分段计算，最后求和．【解析】根据题意，得他九月份工资为4000300(1320010000)5%4460++-´=（元）．故答案为：4460．【点睛】主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是正确理解文字语言中的关键词，找到其中的数量关系，列出式子计算即可．18．已知有理数a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，4m =，则252a cd m b --+的值为___．【答案】9-、1-.【分析】根据题意得出0a b +=，1cd =，4m =或4m =-，再分情况计算可得．【解析】根据题意知0a b +=，1cd =，4m =或4m =-，当4m =时，原式()2520549a b cd m =+--=´--=-；当4m =-时，原式()2520541a b cd m =+--=´-+=-；故答案为：9-、1-．【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握相反数的性质、倒数的定义及绝对值的性质、有理数的混合运算顺序与法则．19．如果三个非零有理数的积为正数，那么下列结论：①这三个数同号；②若其中一个数是正数，则另外两个数同号；③若其中一个数是负数，则另外两个数同号；④若其中一个数是负数，则另外两个数异号．其中必成立的有__________．(填序号)【答案】②④【解析】【分析】根据题意,利用有理数乘法法则判断即可得到结果【解析】三个非零有理数的积为正数,则其中一个数是正数,另外两个数同号;其中一个数是负数,另外两个数异号,则其中必成立的有②④．故答案为:②④【点睛】此题考查有理数的乘法，解题关键在于熟练掌握法则20．四个互不相等的整数a 、b 、c 、d ，使(3)(3)(3)(3)25a b c d ----=，则a b c d +++=______．【答案】12【分析】由a 、b 、c 、d 是四个互不相等的整数可得a －3、b －3、c －3、d －3也是四个互不相等的整数，由()()()()333325a b c d ----=可得a －3、b －3、c －3、d －3只能是﹣1、1、﹣5、5，进一步即可求出结果．【解析】解：∵a 、b 、c 、d 是四个互不相等的整数，∴a －3、b －3、c －3、d －3也是四个互不相等的整数，∵()()()()333325a b c d ----=，∴a －3、b －3、c －3、d －3只能是﹣1，1，﹣5，5，∴a －3+b －3+c －3+d －3=﹣1+1﹣5+5=0，∴12a b c d +++=．故答案为：12．【点睛】本题考查了有理数的乘法和整数问题的应用，解题的关键是由条件确定a －3、b －3、c －3、d －3的值只能是﹣1、1、﹣5、5，再运用整体的思想求解．三、解答题21．计算：5511(36)(4612-´--．【答案】18【分析】利用乘法分配律计算即可，注意同号得正，异号得负．【解析】原式5511363636453033184612=-´+´+´=-++=．故答案为18．【点睛】本题考查了有理数乘法分配律，根据题将括号打开，注意去括号时的符号变号问题，这是本题的易错点．22．计算：（1）()()()4 3.725-´-´-．（2）()()()5870.25-´´-´-．（3）()1182540æö-´-´ç÷èø． （4）550.481278æöæö´-´-ç÷ç÷èøèø．（5）1111823æö--´ç÷èø． （6）()246339æö-´-++ç÷èø．（7）391540´．（8）()()()()3.720.2 6.280.2-´-+-´-．【答案】（1）370-；（2）70-；（3）205；（4）5425或2.16；（5）3；（6）2163-；（7）5148；（8）2．【分析】（1）根据有理数乘法的交换律即可得；（2）根据有理数乘法法则和交换律即可得；．（3）先将带分数化为假分数，再根据有理数乘法的结合律即可得；（4）方法一：先将小数化为分数、带分数化为假分数，再根据有理数乘法法则和结合律即可得；方法二：先将带分数化为假分数，再根据有理数乘法法则和结合律即可得；（5）根据有理数乘法的分配律即可得；（6）根据有理数乘法的分配律即可得；（7）先将3940写成1014-，再根据有理数乘法的分配律即可得；（8）根据有理数乘法的分配律即可得．【解析】（1）原式()()()425 3.7-´-´-=，()100 3.7´-=，370=-；（2）原式()()()4070.25-´-´-=，()()()400.257-=-´´-，()710=´-，70=-；（3）原式()4182540æö=-´-´éùç÷ëûèø，()4120040æö=-´-ç÷èø，205=；（4）方法一：原式1225781221æöæö=´-´-ç÷ç÷èøèø，1225781221éùæöæö=´-´-ç÷ç÷êúèøèøëû，912252=´，5425=；方法二：原式0.48781221æöæö=´-´-ç÷ç÷èøèø，0.48781221éùæöæö=´-´-ç÷ç÷êúèøèøëû，90.482=´，2.16=；（5）原式11118181823=´-´-´，1896=--，96=-，3=；（6）原式()()()24663639æö=-´-+-´+-´ç÷èø，()84318æö=+-+-ç÷èø，8314=--，2163=-；（7）原式151410æö=´-ç÷èø，15111540=´-´，3158=-，8145=；（8）原式()()()3.72 6.280.2=éù-û´-ë-+，()()100.2-´-=，2=．【点睛】本题考查了有理数的乘法法则与运算律，熟记运算法则和运算律是解题关键．23．已知a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，求()4223a b cd ++-的值．【答案】23【分析】根据相反数和倒数的定义求解．【解析】解：∵a 和b 互为相反数，∴0a b +=，∵c 和d 互为倒数，∴1cd =，()()448222022123333a b cd ++-=´+-´=-= ．【点睛】本题考查相反数和倒数的定义，解题的关键是根据相反数和倒数的定义求出a 和b ，c 和d 的关系．24．如图．请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算：（1）999×（-15）；（2）999×1845＋999×15æö-ç÷èø-999×11835．【答案】（1）-14985；（2）-99900．【分析】（1）把999变形为(1000-1)后，利用乘法分配律计算即可得到结果；（2）原式逆用乘法分配律计算即可得到结果．【解析】（1）原式=(1000-1)×(-15)=-15000+15=-14 985；（2）999×1845＋999×15æö-ç÷èø-999×11835=999×41318118555éùæö+--ç÷êúèøëû=999×941593555æö--ç÷èø=999×（-100）=-99900．【点睛】本题考查了有理数的乘法运算律，熟练掌握乘法分配律是解本题的关键．25．计算：1324352019202122334420202020æöæöæöæö´´´´´´´´ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèøL ．【答案】20214040【分析】先去括号写成乘法的形式，再约分计算即可.【解析】1324352019202122334420202020æöæöæöæö´´´´´´´´ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèøL 1324352019202122334420202020=´´´´´´´´L 1202122020=´20214040=．【点睛】本题考查有历史的乘法，根据式子特点，去括号后约分是解题的关键.26．在学习有理数乘法时，李老师和同学们做了这样的游戏，将2017这个数说给第一位同学，第一位同学将它减去它的12的结果告诉第二位同学，第二位同学再将听到的结果减去它的13的结果告诉第三位同学，而第三为同学再将听到的结果减去它的14的结果告诉第四位同学，……按照这样的方法直到全班40人全部传完，最后一位同学将听到的结果告诉李老师，你知道最后的结果吗？【答案】2017 40．【分析】根据题意列出式子即可求解．【解析】解：2017×（1-12）（1-13）×（1-14）×…×（1-140）=2017×12×23×34×…×3940=2017×140=201740．【点睛】此题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是熟知其运算法则．27．学习了有理数的运算后，老师给同学们布置了下面一道题：计算：1571(8)16´-，看谁算得又对又快．下面是甲、乙两名同学给出的解法：甲：原式=115192081857516162-´=-=-，乙：原式=15151 (71(8)71(8)(8)575 16162 +´-=´-¸´-=-你认为谁的解法好？你还能想出别的简便方法吗？试一下！【答案】-1 5752【解析】试题分析:本题考查了一题多解,选择的方法得当,能使运算简化,本题利用拆项法,再用乘法的分配律比直接相乘计算量要小一些.乙的解法好，还有方法如下：原式．28．某检修小组乘汽车沿公路检修线路，约定前进为正，后退为负．某天自Ａ地出发到收工时所走路线（单位：千米）为：+10，-3，+4，+2，-8，-12，-2，+12，+8，+5．（1）问收工时距Ａ地多远？（2）若每千米路程耗油0.2升，问从Ａ地出发到收工共耗油多少升？【答案】（1）收工时距A地16千米；（2）若每千米路程耗油0.2升，问从A地出发到收工共耗油13.2升.【分析】（1）将表示所走路线的十个数相加即可得；（2）将表示所走路线的十个数的绝对值相加，再乘以0.2即可得.【解析】（1）由题意，将表示所走路线的十个数相加得：10(3)42(8)(12)(2)128516++-+++-+-+-+++=（千米）答：收工时距A地16千米；（2）因为不管是前进还是后退，汽车均需耗油，所以需将表示所走路线的十个数的绝对值相加，再乘以0.2来计算总共的耗油量即(1034281221285)0.2+-+++-+-+-+++´(1034281221285)0.2=+++++++++´660.2=´13.2=（升）答：若每千米路程耗油0.2升，问从A 地出发到收工共耗油13.2升.【点睛】本题考查了正数与负数的实际应用、有理数的加减法以及乘法运算、绝对值运算，理解题意正确列出数学式子是解题关键.29．观察下列各式：11(1)122-´=-+；11112323æö-´=-+ç÷èø；11113434æö-´=-+ç÷èø；…则可推测1120192020æö-´=ç÷èø________.根据以上规律计算：111111112233420192020æöæöæöæö-´+-´+-´++-´ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèøL ；【答案】1120192020-+，20192020-【解析】【分析】根据观察，可得规律111n n æö-´=ç÷èø+111n n -++【解析】解：根据观察可得1120192020æö-´=ç÷èø1120192020-+ 根据规律，原式11111111201911223342019202020202020=-+-+-+-¼-+=-+=-【点睛】考核知识点：有理数乘法中的规律问题.观察分析，寻找规律是关键.30．在数轴上，点A到原点的距离为3，点B到原点的距离为5，如果点A表示的有理数为a，点B表示的有理数为b，求a与b的乘积．【答案】a与b的乘积为15或-15.【解析】试题分析：由点A到原点的距离为3，点B到原点的距离为5，可求得a、b的值，再分点A与点B位于原点的同侧和异侧两种情况求解即可.试题解析：由题意知,a＝3或a＝-3，b＝5或b＝-5.当点A与点B位于原点的同侧时，a，b的符号相同，则ab＝3×5＝15或ab＝（-3）×（-5）＝15；当点A与点B位于原点的异侧时，a，b的符号相反，则ab＝3×（-5）＝-15或ab＝（-3）×5＝-15.综上所述，a与b的乘积为15或-15.点睛：根据点到原点的距离正确求出点所表示的数是解决本题的关键，解决本题时还要注意分情况讨论．31．观察下列等式112´＝1﹣12，123´＝12﹣13，134´＝13﹣14，将以上三个等式两边分别相加得1 12´+123´+134´＝1﹣12+12﹣13+13﹣14＝1﹣14＝34．（1）猜想并写出1(1)n n=+；（2）112´+123´+134´+…+120162017´＝；（3）探究并计算：1111 24466820162018 ++++´´´´L；（4）计算：11111111141224406084112144180++++++++．【答案】（1）111n n -+；（2）20162017；（3）2521009；（4）920．【分析】（1）观察已知等式，进行归纳类推即可得；（2）根据（1）中的猜想进行计算即可得；（3）先根据乘法分配律提取14，再参照（2）进行计算即可得；（4）先根据乘法分配律提取12，再参照（2）进行计算即可得．【解析】（1）111122=-´，1112323=-´，1113434=-´，归纳类推得：111(1)1n n n n =-++，故答案为：111n n -+；（2）111112233420162017L ++++´´´´，111111112233420162017=-+-+-++-L ，112017=-，20162017=，故答案为：20162017；（3）111124466820162018++++´´´´L ，11111412233410081009æö=´+++¼+ç÷´´´´èø，11111111223143410081009-+-+-+æö=´ç÷è+-øL ，11141009æö=´-ç÷èø，1100841009=´，2521009=；（4）11111111141224406084112144180++++++++，111111111203012261245292607æö++++++++ç÷è´ø=，111112122334910æö=´++++ç÷´´´´èøL ，111111112223490131-+-+-æ++ö=´ç÷è-øL ，111210æö=´-ç÷èø，19210=´，920=．【点睛】本题考查了有理数乘法与加减法的规律性问题，依据题意，正确归纳类推出一般规律是解题关键．。