2.7 有理数的乘法(一)
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七年级数学上册 2.7 有理数乘法(第1课时)“负负得正”的乘法法则可以证明吗?(新版)北师大版关于“负负得正”的乘法法则,是否可以通过证明来确认这条法则呢?这个问题历来被老师们关注,有关专家对此也有各种看法,现将一篇文章转摘如下,供老师们参考(田载今,中学数学教学参考,2005年第3期)。
有理数的乘法法则中包括“负负得正”一条,“两个负有理数相乘,结果(积)是一个正有理数,其绝对值等于相乘两数的绝对值的乘积.”例如,(-2)×(-3)=+6。
这条法则对刚学它的人来说,不是很容易理解,多数人是把它硬记下来的.记得水稻专家袁隆平院士说过他学正负数时想不清这个法则的道理,就去向老师请教,老师说:“你记住就行了.”编写教材时,大家为说明这条法则的道理想了很多办法,有的教材以实际问题为背景来说明,有的教材从运算律的角度进行说明,有的教材利用相反数的意义解释……教学中,许多老师都反映这条法则的道理不是很好讲.也有人考虑:是否可以通过证明来确认这条法则呢?教科书中哪种说法可以算是对它的证明呢?一种意见认为,“负负得正”有着丰富的实际背景,实践是检验真理的标准,这些实际背景对这一法则的证明.例如,考虑这样的问题:如果水位一直以每小时2厘米的速度下降,现在水位在水文标尺刻度的A处,3小时前水位在水文标尺的刻度在何处?为区分水位变化方向,我们规定水位上升为正,下降为负;显然3小时前水位在水文标尺刻度的A处上方6cm处,这可以表示为(-2)×(-3)=+6.在许多情况下,都能找到类似这样的“负负得正”的原型,因此,“负负得正”可以认为是通过客观实践检验证明的.上面的意见中,以“实际事物的原型”替代“数学的证明”的做法是不妥的.数学中的证明不是个例的验证,数学不是物理、化学、生物那样的实验科学,它的命题具有一般性,不能依靠检验个别案例完成对一般结论的证明,而需要依据已有的结论(定义、公理和定理等)经合乎逻辑的推导来证明.这些客观事物中的原型,只有在人为地规定问题中有关量的正负意义之后,即经过数学化、抽象化之后,才具有了“负负得正”的意义,它们只能说明“负负得正”有实际背景,或作为应用“负负得正”法则的例子,而不能作为逻辑地推导这个法则的根据.另一种意见认为,可以通过运算律来证明“负负得正”这一法则,具体推导过程如下:有了有理数的加法法则以及“正正得正”,“正负得正”的乘法法则之后,由分配律,有(-1)×(-1)=(-1)×(1-2)=(-1)×1-(-1)×2=-1-(-2)=-1+2=1 .进而由交换律和结合律可以推出任何两个负数相乘的结果,例如,(-2)×(-3)=(-1)×2×(-1)×3=(-1)×(-1)×2×3 =[(-1)×(-1)]×(2×3)=1×6=6.于是,得出“负负得正”这一法则.笔者认为,上面的意见中在应用分配律时,用到了(-1)×(1-2)=(-1)×1-(-1)×2. (1)当确立了有理数的加法法则以及“正正得正”,“正负得负”的乘法法则,而尚未确立“负负得正”这一法则时,这样做是缺乏根据的.在这时,我们可以确信(-1)×(2-1)=(-1)×2-(-1)×1.⑵这是因为⑵的左边为(-1)×(2-1)=(-1)×1=-1.⑵的右边为(-1)×2-(-1)×1=-2-(-1)=-2+1=-1.所以(2)的左边等于右边,即(2)成立.但是,我们不能用类似的方法推出⑴成立,因为⑴的左边为(-1)×(1-2)=(-1)×(-1),而(-1)×(-1)的法则此时尚未成立,所以无法确定⑴的左边是否等于右边,即此时分配律等于(-1)×(1-2)是否适用尚且存疑。
课题:2.7.1有理数的乘法课型:新授课年级:七年级教学目标:1.经历探索有理数乘法法则的过程,发展观察、归纳、猜测、验证等能力.2.会进行有理数的乘法运算,理解倒数的概念.3.通过学习,激发学生的学习好奇心,锻炼学生的意志品质,张扬学生个性;培养学生科学严谨的学习态度,树立正确的价值观、人生观.教学重点与难点:重点:掌握有理数乘法法则,会进行有理数的乘法运算.难点:有理数乘法法则探究过程,符号法则及法则的理解.课前准备:多媒体课件.教学过程:一、创设情境,导入新课活动内容:(多媒体展示)甲水库的水位每天升高3厘米,乙水库的水位每天下降3厘米,4天后甲、乙水库的水位的总变化量各是多少?处理方式:教师多媒体演示,学生观察、思考交流速说出答案,这时老师再继续追问:(1)如果用正号表示水位上升,那么4天后甲水库的水位变化量应如何表示?(3+3+3+3+3=3×4=12);(2)如果用负号表示水位下降,那么4天后乙水库的水位变化量应如何表示?[(-3)+(-3)+(-3)+(-3)=(-3)× 4=-12];(3)特殊的加法运算就是乘法,如何进行有理数的乘法运算呢? 下面我们就来一起探索吧,出示课题,揭示目标.设计意图:通过问题情境的创设,引入了本课的课题,激发了学生的好奇心和求知欲,同时通过列式运算让学生复习回忆加法与乘法之间的关系,为下面学生探索有理数的乘法运算打下基础.二、合作交流,探究新知活动内容1:请仿照上述方法计算下列各题(-3)× 3 =_____;(-3)×2 =_____;(-3)×1 =_____;(-3)×0 =_____.处理方式:让学生仿照引例的计算方法将乘法转化成加法,学生能够计算出结果,并让学生说出计算的过程,教师点拨:将乘法运算转化成加法计算,体现了数学中转化的数学思想.接着教师追问:(1)观察算式的左边,一个因数不变,另一个因数如何变化?(一个因数不变,另一个因数每次减小1),继续追问:(2)一个因数不变,另一个因数每次减小1时,两数之积如何变化?(另一个因数每次减小1时,算式右边的积每次增加3.)设计意图:让学生仿照引例的计算方法将乘法转化成加法计算,既渗透了转化的数学思想,又能够让学生亲历知识的形成过程,发展学生观察、归纳等能力,完成了本节课的第二个目标,同时锻炼了学生的思维意志品质,张扬了学生的个性.通过继续追问算式中的变化规律,为下面得出两个负数相乘做好铺垫.活动内容2:根据上面发现的规律,请猜一猜下面这几算式的结果是多少?(-3)×(--1)=(-3)×(-2)=(-3)×(-3)=(-3)×(-4)=处理方式:由一个因数每次减小1时,算式右边的积每次增加3,学生很容易猜出这4个算式的结果.活动内容3:探究有理数的乘法法则处理方式:教师提问:类比有理数的加法法则,想一想,两个有理数相乘符号如何取?绝对值如何确定?任何数与零相乘的结果是多少?当学生回答完后,继续追问3.你能用语言叙述有理数的乘法法则吗?学生回答后教师再用多媒体展示.流中互相补充,完善结论,培养了学生观察、归纳、合作的能力,培养了学生科学严谨的学习态度.三、例题解析 应用新知 活动1.利用乘法法则进行计算例1.计算: (1).(-4)×5; (2).(-7)×(-5).处理方式:由师生先共同做一道题,教师板书步骤,强调解题的步骤,要先确定符号,再计算绝对值,然后让学生代表到黑板板书,其余学生在练习本上完成.设计意图:通过练习,巩固有理数的乘法法则,让学生养成先确定结果的符号,再进行绝对值的运算的习惯.活动2:理解倒数的意义例1.计算:(3).)()(3883-⨯-; (4).)()(313-⨯- . 处理方式:由学生口述,教师利用多媒体课件展示,强调解题的步骤,要先确定符号,再计算绝对值.提问:观察(3)、(4)两个算式他们的结果有什么关系?学生发现算式结果的乘积都是1.接着指出象这样的两个数互为倒数,教师对倒数的解释:①倒数不能单独出现;②互为倒数的两个数的符号相同;③若两个数互为倒数,则它们的乘积是1.设计意图:巩固理解倒数的定义.跟踪训练:抢答题填空: (1) 6⨯(- 9)= ; (5) (-4) ⨯(-0.25)= ;(2) (- 6) ⨯(- 9)= ; (6)75-的倒数是 ; (3) (- 6) ⨯1= ; (7)-0.2的倒数是 .(4) 0 ⨯(-6)= ;处理方式:由学生口述,教师利用多媒体课件展示,强调解题的步骤,要先确定符号,再计算绝对值.活动3:探究多个有理数相乘问题例2计算(1)(-4)× 5 ×(-0.25)(2)(-53)×(-65)×(-2) 处理方式:两名学生板演,其余学生独立在练习本上计算这两道题. 学生完成后师生共同点评,对学生出现的问题进行矫正.活动4:探究多个有理数相乘积的符号 抢答题: (1) .4⨯ 3 ⨯ 2 ⨯ 1 = (2). 4⨯(- 3) ⨯ 2⨯1 =(3) . 4⨯(- 3) ⨯ 2 ⨯ (- 1 ) = (4) . 4⨯(- 3) ⨯ (- 2 ) ⨯ (- 1 ) = (5) (- 4)⨯(- 3) ⨯ (- 2 ) ⨯ (- 1 ) = (6) 4⨯(- 31) ⨯ 23⨯15 ⨯ 0=处理方式:由学生独立思考后,展示交流,教师提出问题:观察这6个式子,你有什么发现?能得到什么结论?几个有理数相乘,因数都不为0时,积的符号怎样确定?有一个因设计意图:使学生进一步熟悉有理数乘法的计算方法,引导学生运用有理数的乘法法则解决问题.同时引导学生归纳多个有理数相乘,因数都不为0时,积的符号能如何确定确定,进一步提高学生的解题能力.跟踪训练:计算: ;)45(32)1(-⨯ ;340)716()1324()2(⨯⨯-⨯- ;)91()2.1(45)3(-⨯-⨯ ).158()21()73()4(-⨯-⨯- 处理方式:6名学生板演,其余学生独立在练习本上计算这两道题. 学生完成后师生共同点评,对学生出现的问题进行矫正.四、回顾反思 提炼新知这节课你学到了什么?请把你的收获分享给你的同学.处理方式:学生反思自己课堂的表现及所学习的知识和方法等内容,大家相互补充. 设计意图:学生在学习的过程中会有遗忘,因此必要的反复至关重要,每节课的小结更是 必不可少.课堂小结让学生充分发表自己的感受,相互补充.及时有效明确本节课的主要内容、思想和方法,同时培养学生的归纳能力和语言表达能力,以及善于反思的好习惯.让学生品尝收获的喜悦,坚定今后学习数学的信心.五、达标测试 反馈提高1.两数相乘, 得正, 得负,并把 相乘. 任何数与0相乘,积仍为0.2.几个不为0的有理数数相乘,积的符号由 的个数决定:当 有 个时,积的符号为负;当 有 个时,积的符号为正; 几个有理数相乘,只要有一个数为0,积就为0.3.倒数是它本身的数是 .4. -2016 的倒数是 . 4.计算:(1)(-3.2)×(-3); ;)511(321)2(-⨯;)()1.19(0)2.8(.573-⨯⨯-⨯ ).100(121)12.0()4(-⨯⨯- 处理方式:学生先独立完成,教师巡视.做的快的可以边巡视边批改,绝大多数完成后, 根据批改情况找学生错的比较多的问题讲解,由做错的学生进行纠错.留半分钟的时间纠错反思.设计意图:让学生独立完成,有利于把握学生对本节课的掌握情况.同时老师面批,有利于 查缺补漏,因材施教.最后留给学生反思,将错题真正改正,落实到实处.让学生最大程度地获得新知.六、布置作业 课堂延伸必做题: 习题2.10第1、2题 . 拓展题:1.习题2.10 第3、4题2.用“>”“<”“=”号填空。
北师大版数学七年级上册2.7《有理数的乘法》(第1课时)教案一. 教材分析《有理数的乘法》是北师大版数学七年级上册第2.7节的内容,本节课的主要内容是让学生掌握有理数的乘法法则,并能够运用这些法则进行计算。
教材通过实例引入有理数的乘法,让学生在实际计算中体会和理解有理数乘法的规律。
二. 学情分析学生在学习本节课之前,已经学习了有理数的加法、减法、除法,对负数的概念也有了一定的了解。
但学生在处理有理数乘法时,可能会受到正负数乘法规律的干扰,对有理数乘法的法则理解不够深入。
因此,在教学过程中,教师需要引导学生通过实际计算,发现和总结有理数乘法的规律。
三. 教学目标1.知识与技能:让学生掌握有理数的乘法法则,能够正确进行有理数的乘法计算。
2.过程与方法:通过实例引入有理数的乘法,让学生在实际计算中发现和总结有理数乘法的规律。
3.情感态度价值观:培养学生对数学的兴趣,提高学生解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.教学重点:有理数的乘法法则。
2.教学难点:理解有理数乘法的规律,能够运用乘法法则进行计算。
五. 教学方法采用启发式教学法、实例教学法和小组合作学习法。
通过实例引入有理数的乘法,引导学生发现和总结乘法规律,激发学生的学习兴趣。
在教学过程中,鼓励学生进行小组讨论,培养学生的合作意识和解决问题的能力。
六. 教学准备1.教学PPT:制作有关有理数乘法的PPT,包括实例、习题和教学环节。
2.教学素材:准备一些有关有理数乘法的习题,用于巩固和拓展学生的知识。
3.教学工具:多媒体设备、黑板、粉笔。
七. 教学过程利用PPT展示实例:小明买了一本书,原价是8元,因为打折,小明用了6.4元买到了这本书。
请同学们思考,小明买了这本书的几折?让学生回答问题,引导学生思考有理数的乘法。
2.呈现(10分钟)教师引导学生总结有理数的乘法法则。
通过PPT展示有理数的乘法法则,让学生跟随PPT一起朗读。
有理数的乘法法则:(1)同号相乘,取相同符号,并把绝对值相乘。
2.7有理数的乘法一、单选题1.﹣13的倒数是( )A.﹣13B.13C.﹣3D.3【答案】C【分析】直接利用倒数定义解答即可.【解析】13-的倒数是-3;故答案为:C【点睛】本题主要考查了倒数,掌握相关定义是解答本题的关键2.193-´的结果是()A.3-B.3C.13-D.13【答案】A【分析】根据有理数的乘法法则计算可得.【解析】1199333æö-´=-´=-ç÷èø故选A .【点睛】本题考查了有理数的乘法,是基础题型,符号问题是本题的易错点.3.若实数m n ,互为倒数,则下列等式中成立的是()A .m n 0-=B .mn 1=C .m n 0+=D .mn 1=-【答案】B【分析】根据倒数的意义,可得答案.【解析】m n 0-=,得m n =,故A 错误;mn 1=,得m 与n 互为倒数,故B 符合题意;m n 0+=,得m 与n 互为相反数,故C 错误;mn 1=-,得m 与n 互为负倒数,故D 错误;故选B .【点睛】本题考查了倒数的定义,两个数互为倒数,则乘积为1;两个数互为负倒数,则乘积为-1.4.下列语句中,正确的是()A .任何数的负倒数都是负数B .倒数等于它本身的数是1C .-1的倒数等于它本身D .任何数的倒数都小于1【答案】C【分析】根据倒数的定义和性质逐一判断即可.【解析】A .负数的负倒数是正数,故本选项错误;B .倒数等于它本身的数是-1和1,故本选项错误;C .-1的倒数等于它本身,故本选项正确;D .12任何数的倒数是2>1,故本选项错误.故选C .【点睛】此题考查的是倒数,掌握倒数的定义和性质是解决此题的关键.5.计算()()1717æö´´-ç÷è-ø-的结果是( )A .-1B .1C .149-D .-49【答案】A【分析】由题意根据有理数的乘法,两个负数相乘为负数,一正一负相乘为负数进行运算即可.【解析】解:()()1717æö´´-ç÷è-ø-177æö=´-ç÷èø1=-故选:A.【点睛】本题考查有理数的乘法,熟练掌握两个负数相乘为负数,一正一负相乘为负数是解题的关键.6.2013个数的乘积为0,则()A.均为0B.最多有一个为0C.至少有一个为0D.有两个数是相反数【答案】C【分析】根据有理数的乘法法则,0乘以任何数等于0即可判断.【解析】∵0乘以任何数都为0∴2013个数乘积为0,则至少有一个为0即可故选C.【点睛】本题考查了有理数的乘法,熟记0乘以任何数均等于0是本题的关键.7.已知|x|=3,|y|=8,且xy<0,则x+y的值等于( )A.±5B.±11C.−5或11D.−5或−11【答案】A【分析】先由绝对值的性质求得x、y的值,然后由xy<0,分类讨论,然后计算即可.【解析】解:∵|x|=3,|y|=8,∴x=±3,y=±8.∵xy<0,∴x,y异号,当x=3,y=−8时,x+y=3+(−8)=−5,当x=−3,y=8时.x+y=−3+8=5,故选A.【点睛】本题主要考查的是绝对值的定义、有理数的乘法、有理数的加法,根据x,y异号进行分类讨论是解题的关键.8.绝对值不大于133的所有整数的乘积是()A.6B.-6C.-36D.0【答案】D【分析】先写出满足条件的所有整数,再求出它们的积.【解析】解:绝对值不大于133的所有整数有:0、1、-1、2、-2、3、-3,它们的积为:()()() 01231230´´´´-´-´-=.故选D.【点睛】本题考查绝对值和整数的综合应用,根据已知条件写出满足条件的所有整数是解题关键.9.下列说法中,正确的是()A .若0a ³,0b ³,则0a b +>B .若0a £,0b £,则0ab ³C .若0a ³,0b £,则0ab ³D .若0a >,0b ³,则0ab <【答案】B【分析】根据有理数的加法和乘法运算法则判断下列选项的正确性.【解析】A 选项错误,应该是0a b +³;B 选项正确;C 选项错误,应该是0ab ≤;D 选项错误,应该是0ab ³.故选:B .【点睛】本题考查有理数的加法和乘法运算法则,解题的关键是利用运算法则判断正负性.10.从1、2、3、4、…、100共100个正整数中取出若干个数,使其中任意三个数a 、b 、c ()a b c <<,都有a b c ´¹,则最多能取出()个数.A .50B .76C .87D .92【答案】D【分析】如果有1,则无法取其他所有的数2、3、4、5…,如果取了3,不能取所有3的倍数6、9、12、…,由此可知从大数开始取,按此规律解答问题.【解析】解:由题意可知:∵1与任何数的乘积都等于它本身,∴1可以取;100=2×50,99=3×33,...,90=9×10,∴将2~9拿去,剩下的数满足题意,则最多能取出100-(9-2+1)=92个数,故选D .【点睛】此题不仅考查了整数问题,还考查了逻辑推理能力,解答此题关键在于从大数分析,容易找到问题的突破口.二、填空题11.计算11112462æö+-´=ç÷èø__________.【答案】-1【分析】根据乘法分配律计算即可.【解析】11112462æö+-´ç÷èø14=´1216+´1212-´12=3+2﹣6=5﹣6=-1故答案为-1.【点睛】本题考查有理数的混合运算,解答本题的关键是熟练运用乘法分配律进行简便计算.12.计算:()58312æö÷ç÷ç÷çèø-´´-=____________;()()2.50.42-´-´=________________.【答案】102【分析】利用有理数的乘法法则计算即可.【解析】解:()58312æö÷ç÷ç÷ø-´ç´-è()53812æöç=-´çø-è´ç584=10=;()()2.50.42-´-´12=´2=;故答案是:10,2.【点睛】本题考查了有理数的乘法法则,熟悉相关性质是解题的关键.13.在数﹣5,1,﹣3,5,﹣2中任选两个数相乘,其中最大的积是___.【答案】15【分析】根据题意确定出积最大的即可.【解析】解:根据题意得:(﹣5)×(﹣3)=15,故答案为:15【点睛】此题考查了有理数的乘法,熟练掌握运算法则是解本题的关键.14.填空:(1)(-2)×(-2)×2×(-2)的积的符号是____;(2)47æö-ç÷èø×35æö-ç÷èø×23æö-ç÷èø×12æö-ç÷èø的积的符号是___.【答案】-+【分析】(1)根据两数相乘,同号得正,异号得负即可解决;(2)根据两数相乘,同号得正,异号得负即可解决.【解析】(1)(-2)×(-2)×2×(-2)中有3个乘数为负,积的符号是-;(2)47æö-ç÷èø×35æö-ç÷èø×23æö-ç÷èø×12æö-ç÷èø中有4个乘数为负,积的符号是+.故答案为:-;+.【点睛】本题考查了有理数乘法及应用,熟练掌握运算法则是解题的关键.15.()()()()()12345678910-´-´-´-´-=______.【答案】-1【分析】原式先计算括号中的减法运算,再计算乘法运算即可得到结果.【解析】解:原式()()()()()11111=-´-´-´-´-1=-,故答案为:1-.【点睛】此题考查了有理数的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.16.计算:191819×(﹣38)=_____.【答案】﹣758.【分析】将原式变形为(20﹣119)×(﹣38),再利用乘法分配律计算可得.【解析】原式=(20﹣119)×(﹣38)=20×(﹣38)﹣119×(﹣38)=﹣760+2=﹣758,故答案为:﹣758.【点睛】本题主要考查有理数的乘法,解题的关键是掌握有理数的乘法法则和运算律.17.某商店营业员每月的基本工资为4000元,奖金制度是每月完成规定指标10000元营业额,发奖金300元;若营业额超过规定指标,另奖超额部分营业额的5%.该商店的一名营业员九月份完成营业额13200元,则他九月份的收入为________元.【答案】4460【分析】工资应分两个部分:基本工资+奖金,而奖金又分区间,所以分段计算,最后求和.【解析】根据题意,得他九月份工资为4000300(1320010000)5%4460++-´=(元).故答案为:4460.【点睛】主要考查了有理数的混合运算,解题的关键是正确理解文字语言中的关键词,找到其中的数量关系,列出式子计算即可.18.已知有理数a 、b 互为相反数,c 、d 互为倒数,4m =,则252a cd m b --+的值为___.【答案】9-、1-.【分析】根据题意得出0a b +=,1cd =,4m =或4m =-,再分情况计算可得.【解析】根据题意知0a b +=,1cd =,4m =或4m =-,当4m =时,原式()2520549a b cd m =+--=´--=-;当4m =-时,原式()2520541a b cd m =+--=´-+=-;故答案为:9-、1-.【点睛】本题主要考查有理数的混合运算,解题的关键是熟练掌握相反数的性质、倒数的定义及绝对值的性质、有理数的混合运算顺序与法则.19.如果三个非零有理数的积为正数,那么下列结论:①这三个数同号;②若其中一个数是正数,则另外两个数同号;③若其中一个数是负数,则另外两个数同号;④若其中一个数是负数,则另外两个数异号.其中必成立的有__________.(填序号)【答案】②④【解析】【分析】根据题意,利用有理数乘法法则判断即可得到结果【解析】三个非零有理数的积为正数,则其中一个数是正数,另外两个数同号;其中一个数是负数,另外两个数异号,则其中必成立的有②④.故答案为:②④【点睛】此题考查有理数的乘法,解题关键在于熟练掌握法则20.四个互不相等的整数a 、b 、c 、d ,使(3)(3)(3)(3)25a b c d ----=,则a b c d +++=______.【答案】12【分析】由a 、b 、c 、d 是四个互不相等的整数可得a -3、b -3、c -3、d -3也是四个互不相等的整数,由()()()()333325a b c d ----=可得a -3、b -3、c -3、d -3只能是﹣1、1、﹣5、5,进一步即可求出结果.【解析】解:∵a 、b 、c 、d 是四个互不相等的整数,∴a -3、b -3、c -3、d -3也是四个互不相等的整数,∵()()()()333325a b c d ----=,∴a -3、b -3、c -3、d -3只能是﹣1,1,﹣5,5,∴a -3+b -3+c -3+d -3=﹣1+1﹣5+5=0,∴12a b c d +++=.故答案为:12.【点睛】本题考查了有理数的乘法和整数问题的应用,解题的关键是由条件确定a -3、b -3、c -3、d -3的值只能是﹣1、1、﹣5、5,再运用整体的思想求解.三、解答题21.计算:5511(36)(4612-´--.【答案】18【分析】利用乘法分配律计算即可,注意同号得正,异号得负.【解析】原式5511363636453033184612=-´+´+´=-++=.故答案为18.【点睛】本题考查了有理数乘法分配律,根据题将括号打开,注意去括号时的符号变号问题,这是本题的易错点.22.计算:(1)()()()4 3.725-´-´-.(2)()()()5870.25-´´-´-.(3)()1182540æö-´-´ç÷èø. (4)550.481278æöæö´-´-ç÷ç÷èøèø.(5)1111823æö--´ç÷èø. (6)()246339æö-´-++ç÷èø.(7)391540´.(8)()()()()3.720.2 6.280.2-´-+-´-.【答案】(1)370-;(2)70-;(3)205;(4)5425或2.16;(5)3;(6)2163-;(7)5148;(8)2.【分析】(1)根据有理数乘法的交换律即可得;(2)根据有理数乘法法则和交换律即可得;.(3)先将带分数化为假分数,再根据有理数乘法的结合律即可得;(4)方法一:先将小数化为分数、带分数化为假分数,再根据有理数乘法法则和结合律即可得;方法二:先将带分数化为假分数,再根据有理数乘法法则和结合律即可得;(5)根据有理数乘法的分配律即可得;(6)根据有理数乘法的分配律即可得;(7)先将3940写成1014-,再根据有理数乘法的分配律即可得;(8)根据有理数乘法的分配律即可得.【解析】(1)原式()()()425 3.7-´-´-=,()100 3.7´-=,370=-;(2)原式()()()4070.25-´-´-=,()()()400.257-=-´´-,()710=´-,70=-;(3)原式()4182540æö=-´-´éùç÷ëûèø,()4120040æö=-´-ç÷èø,205=;(4)方法一:原式1225781221æöæö=´-´-ç÷ç÷èøèø,1225781221éùæöæö=´-´-ç÷ç÷êúèøèøëû,912252=´,5425=;方法二:原式0.48781221æöæö=´-´-ç÷ç÷èøèø,0.48781221éùæöæö=´-´-ç÷ç÷êúèøèøëû,90.482=´,2.16=;(5)原式11118181823=´-´-´,1896=--,96=-,3=;(6)原式()()()24663639æö=-´-+-´+-´ç÷èø,()84318æö=+-+-ç÷èø,8314=--,2163=-;(7)原式151410æö=´-ç÷èø,15111540=´-´,3158=-,8145=;(8)原式()()()3.72 6.280.2=éù-û´-ë-+,()()100.2-´-=,2=.【点睛】本题考查了有理数的乘法法则与运算律,熟记运算法则和运算律是解题关键.23.已知a 、b 互为相反数,c 、d 互为倒数,求()4223a b cd ++-的值.【答案】23【分析】根据相反数和倒数的定义求解.【解析】解:∵a 和b 互为相反数,∴0a b +=,∵c 和d 互为倒数,∴1cd =,()()448222022123333a b cd ++-=´+-´=-= .【点睛】本题考查相反数和倒数的定义,解题的关键是根据相反数和倒数的定义求出a 和b ,c 和d 的关系.24.如图.请你参考黑板中老师的讲解,用运算律简便计算:(1)999×(-15);(2)999×1845+999×15æö-ç÷èø-999×11835.【答案】(1)-14985;(2)-99900.【分析】(1)把999变形为(1000-1)后,利用乘法分配律计算即可得到结果;(2)原式逆用乘法分配律计算即可得到结果.【解析】(1)原式=(1000-1)×(-15)=-15000+15=-14 985;(2)999×1845+999×15æö-ç÷èø-999×11835=999×41318118555éùæö+--ç÷êúèøëû=999×941593555æö--ç÷èø=999×(-100)=-99900.【点睛】本题考查了有理数的乘法运算律,熟练掌握乘法分配律是解本题的关键.25.计算:1324352019202122334420202020æöæöæöæö´´´´´´´´ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèøL .【答案】20214040【分析】先去括号写成乘法的形式,再约分计算即可.【解析】1324352019202122334420202020æöæöæöæö´´´´´´´´ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèøL 1324352019202122334420202020=´´´´´´´´L 1202122020=´20214040=.【点睛】本题考查有历史的乘法,根据式子特点,去括号后约分是解题的关键.26.在学习有理数乘法时,李老师和同学们做了这样的游戏,将2017这个数说给第一位同学,第一位同学将它减去它的12的结果告诉第二位同学,第二位同学再将听到的结果减去它的13的结果告诉第三位同学,而第三为同学再将听到的结果减去它的14的结果告诉第四位同学,……按照这样的方法直到全班40人全部传完,最后一位同学将听到的结果告诉李老师,你知道最后的结果吗?【答案】2017 40.【分析】根据题意列出式子即可求解.【解析】解:2017×(1-12)(1-13)×(1-14)×…×(1-140)=2017×12×23×34×…×3940=2017×140=201740.【点睛】此题主要考查有理数的混合运算,解题的关键是熟知其运算法则.27.学习了有理数的运算后,老师给同学们布置了下面一道题:计算:1571(8)16´-,看谁算得又对又快.下面是甲、乙两名同学给出的解法:甲:原式=115192081857516162-´=-=-,乙:原式=15151 (71(8)71(8)(8)575 16162 +´-=´-¸´-=-你认为谁的解法好?你还能想出别的简便方法吗?试一下!【答案】-1 5752【解析】试题分析:本题考查了一题多解,选择的方法得当,能使运算简化,本题利用拆项法,再用乘法的分配律比直接相乘计算量要小一些.乙的解法好,还有方法如下:原式.28.某检修小组乘汽车沿公路检修线路,约定前进为正,后退为负.某天自A地出发到收工时所走路线(单位:千米)为:+10,-3,+4,+2,-8,-12,-2,+12,+8,+5.(1)问收工时距A地多远?(2)若每千米路程耗油0.2升,问从A地出发到收工共耗油多少升?【答案】(1)收工时距A地16千米;(2)若每千米路程耗油0.2升,问从A地出发到收工共耗油13.2升.【分析】(1)将表示所走路线的十个数相加即可得;(2)将表示所走路线的十个数的绝对值相加,再乘以0.2即可得.【解析】(1)由题意,将表示所走路线的十个数相加得:10(3)42(8)(12)(2)128516++-+++-+-+-+++=(千米)答:收工时距A地16千米;(2)因为不管是前进还是后退,汽车均需耗油,所以需将表示所走路线的十个数的绝对值相加,再乘以0.2来计算总共的耗油量即(1034281221285)0.2+-+++-+-+-+++´(1034281221285)0.2=+++++++++´660.2=´13.2=(升)答:若每千米路程耗油0.2升,问从A 地出发到收工共耗油13.2升.【点睛】本题考查了正数与负数的实际应用、有理数的加减法以及乘法运算、绝对值运算,理解题意正确列出数学式子是解题关键.29.观察下列各式:11(1)122-´=-+;11112323æö-´=-+ç÷èø;11113434æö-´=-+ç÷èø;…则可推测1120192020æö-´=ç÷èø________.根据以上规律计算:111111112233420192020æöæöæöæö-´+-´+-´++-´ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèøL ;【答案】1120192020-+,20192020-【解析】【分析】根据观察,可得规律111n n æö-´=ç÷èø+111n n -++【解析】解:根据观察可得1120192020æö-´=ç÷èø1120192020-+ 根据规律,原式11111111201911223342019202020202020=-+-+-+-¼-+=-+=-【点睛】考核知识点:有理数乘法中的规律问题.观察分析,寻找规律是关键.30.在数轴上,点A到原点的距离为3,点B到原点的距离为5,如果点A表示的有理数为a,点B表示的有理数为b,求a与b的乘积.【答案】a与b的乘积为15或-15.【解析】试题分析:由点A到原点的距离为3,点B到原点的距离为5,可求得a、b的值,再分点A与点B位于原点的同侧和异侧两种情况求解即可.试题解析:由题意知,a=3或a=-3,b=5或b=-5.当点A与点B位于原点的同侧时,a,b的符号相同,则ab=3×5=15或ab=(-3)×(-5)=15;当点A与点B位于原点的异侧时,a,b的符号相反,则ab=3×(-5)=-15或ab=(-3)×5=-15.综上所述,a与b的乘积为15或-15.点睛:根据点到原点的距离正确求出点所表示的数是解决本题的关键,解决本题时还要注意分情况讨论.31.观察下列等式112´=1﹣12,123´=12﹣13,134´=13﹣14,将以上三个等式两边分别相加得1 12´+123´+134´=1﹣12+12﹣13+13﹣14=1﹣14=34.(1)猜想并写出1(1)n n=+;(2)112´+123´+134´+…+120162017´=;(3)探究并计算:1111 24466820162018 ++++´´´´L;(4)计算:11111111141224406084112144180++++++++.【答案】(1)111n n -+;(2)20162017;(3)2521009;(4)920.【分析】(1)观察已知等式,进行归纳类推即可得;(2)根据(1)中的猜想进行计算即可得;(3)先根据乘法分配律提取14,再参照(2)进行计算即可得;(4)先根据乘法分配律提取12,再参照(2)进行计算即可得.【解析】(1)111122=-´,1112323=-´,1113434=-´,归纳类推得:111(1)1n n n n =-++,故答案为:111n n -+;(2)111112233420162017L ++++´´´´,111111112233420162017=-+-+-++-L ,112017=-,20162017=,故答案为:20162017;(3)111124466820162018++++´´´´L ,11111412233410081009æö=´+++¼+ç÷´´´´èø,11111111223143410081009-+-+-+æö=´ç÷è+-øL ,11141009æö=´-ç÷èø,1100841009=´,2521009=;(4)11111111141224406084112144180++++++++,111111111203012261245292607æö++++++++ç÷è´ø=,111112122334910æö=´++++ç÷´´´´èøL ,111111112223490131-+-+-æ++ö=´ç÷è-øL ,111210æö=´-ç÷èø,19210=´,920=.【点睛】本题考查了有理数乘法与加减法的规律性问题,依据题意,正确归纳类推出一般规律是解题关键.。