1.5.1 第1课时 有理数的乘法

《有理数的乘方》教学设计教材分析：《乘方》是在学生学完有理数加、减、乘、除运算后的又一种新的运算，是有理数乘法中相同因数相乘的简单表示方法，他既是乘法的推广与延续，又是后面继续学习有理数混合运算、科学记数法的根底，起到承上启下的作用。

学情分析：学生刚进初中，在前面已学过有理数的加、减、乘、除四种运算，这四种运算在小学就已熟悉了，而乘方是到初中学的第一种全新的运算，因此本课引入时要让学生觉得本课内容虽是新知识但其实也很简单，只是旧知识的引伸得来的。

从思想方法上说，可以通过学生动脑来培养学生探索精神和观察、分析、辩别、归纳的能力，以及逻辑思维能力、推理论证能力。

通过实际有趣的问题的分析培养学生的数感。

教学目标：〔1〕认知目标在现实背景中理解有理数乘方的意义，正确理解乘方、幂、指数、底数等概念，会进行有理数乘方的运算。

〔2〕能力目标1.使学生能够灵活地进行乘方运算。

2. 通过对乘方意义的理解，培养学生观察、比较、分析、归纳、概括的能力，渗透转化的数学思想。

〔3〕情感目标1.通过对实例的讲解，让学生体会数学与生活的密切联系。

2.学会数学的转化思想，培养学生灵活处理现实问题的能力。

〔4〕过程与方法：1.通过对乘方义意义的引入及幂的符号法那么的探索培养学生积极探索和观察分析的能力2.通过对乘方的运算及实际问题的运用培养学生的逻辑思维能力教学重点：正确理解乘方的意义，掌握乘方运算法那么。

教学难点：正确理解乘方、底数、指数的概念，并合理运算。

教学关键：弄清底数、指数、幂等概念，区分n-与na(-的意义。

a)教学方法：考虑到七年级学生的认知水平和知识结构以及思维活动特点，本节课采用多媒体直观教学法，联想比较、发现教学法，设疑思考法，逐步渗透法和师生交流相结合的方法。

教学过程设计〔一〕体验感受，激发兴趣做游戏：拿出课前让学生准备好的纸，让学生动手折纸。

对折1次后，纸变成了几层？对折2次后变成几层？按照刚刚折纸的规律，将一张足够长的纸连续20次，应该是多少层？第1次对折的层数是：2第2次对折的层数是：2×2第3次对折的层数是：2×2×2第20次对折的层数是：2×2×2×2……×220个220个2相乘的结果是多少？如果这张纸的厚度为0.1毫米，那么折纸的高度比我们学校的教学楼要高得多，你相信吗？学了今天的内容你们就会明白了。

第一章有理数1.5 有理数的乘除1.5.1 有理数的乘法【知识与技能】（1）理解有理数的乘法法则;（2）能根据有理数的乘法法则进行有理数的乘法运算.【过程与方法】经历探索有理数的乘法法则的过程，发展观察、猜想、验证、归纳的能力.【情感态度与价值观】培养学生的语言表达能力，调动学生学习的积极性，培养学生学习数学的兴趣.有理数的乘法法则.有理数的乘法法则的运用.多媒体课件由于长期干旱，水库放水抗旱，水库的水位每天下降2米，已经放了3天，问：水位下降了多少米？你能写出算式吗？学生思考，得出算式：（-2）×3.观察所列的式子，涉及有理数的乘法运算，正是我们今天需要讨论的问题.一、思考探究，获取新知一、探索有理数的乘法.（1）观察下面的乘法算式，你能发现什么规律？3×3＝9，3×2＝6，3×1＝3，3×0＝0.规律：随着后一个乘数逐次递减1，.（2）要使这个规律在引入负数后仍然成立，那么应有：3×（-1）＝-3，3×（-2）＝，3×（-3）＝.（3）观察下面的算式，你又能发现什么规律？3×3＝9，2×3＝6，1×3＝3，0×3＝0.规律：.（4）要使（3）中的规律在引入负数后仍然成立，那么应有：（-1）×3＝，（-2）×3＝，（-3）×3＝.二、总结有理数的乘法法则.以小组为单位对以上问题从符号和绝对值两个角度进行观察、归纳，得出正数乘正数，正数乘负数，负数乘负数，0乘数的规律.学生讨论，师生共同归纳：有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.任何数与0相乘，都得0.三、总结倒数的概念.计算并观察学生自己计算.教师提问：观察这两个式子的计算结果，你能发现什么规律？肯定学生给出的合理答案，教师总结：乘积是1的两个数互为倒数.二、典例精析，掌握新知例1计算例2用正负数表示气温的变化量，上升为正，下降为负.登山队攀登一座山峰，每登高1 km气温的变化量为-6℃，攀登3 km后，气温有什么变化？【解】（-6）×3=-18（℃）.答：气温下降18℃.1.有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.任何数与0相乘，都得0.2.乘积是1的两个数互为倒数.教材P37习题1.4第1，2，3题。

第一章 有理数1.5 有理数的乘方15.1 乘方第1课时 乘方学习目标：1.理解并掌握有理数的乘方、幂、底数、指数的概念及意义.2.能够正确进行有理数的乘方运算.重点：有理数的乘方、幂、底数、指数的概念及其相互间的关系.难点：能够正确进行有理数的乘方运算.一、知识链接1.有理数的乘法： （1）两数相乘，同号得______，异号得______，并把它们的____________相乘.（2）0乘以任何数都得_______.（3）几个不为0的因数相乘，积的符号由其中的________的个数确定，当_______的个数为______个时，积为负；当______的个数为_____个时，积为正.2.（1）边长为7的正方形面积怎么计算？结果是多少？（2）棱长5的正方体体积如何计算？结果是多少？二、新知预习做一做：1. 将一张纸对折再对折(纸不得撕裂),直到无法对折为止.猜猜看,这时纸有几层?2.对折1次纸变成2层,对折2次纸变成4层,依此类推,每对折1次层数就增加1倍.你折了多少次?请用算式表示你对折出来的纸层数.想一想62222⨯⨯⨯L 14243个 记作什么，读作什么？642222⨯⨯⨯L 14243个 记作什么，读作什么？2222n ⨯⨯⨯L 14243个 记作什么，读作什么？【自主归纳】一般地，n 个相同的数a 相乘，n aa a a a ⨯⨯⨯⨯L 1442443个简记为na ，即nn a a a a a a ⨯⨯⨯⨯=L 1442443个. 我们把n a 读作a 的n 次幂，也读作a 的n 次方.求n 个相同因数的积的运算叫做 .乘方的结果n a 叫做 .在na 中，a 叫做 ，n 叫做 .三、自学自测填空：在49中，底数是____，指数是_______，读作 ；在2(3)-中，底数是____，指数是______，读作 .四、我的疑惑______________________________________________________________________________________________________________________________________________________一、要点探究探究点1：乘方的意义问题1：某种细胞每30分钟便由一个分裂成两个.经过3小时这种细胞由1个能分裂成多少个？提示:这个细胞分裂一次可得多少个细胞?分裂两次呢?分裂三次呢?四次呢？那么,3小时共分裂了多少次?有多少个细胞？要点归纳：求几个相同因数的积的运算，叫做乘方.一般地，n 个相同的因数a 相乘，记作a n ，读作“a 的n 次幂（或a 的n 次方）”，即a ·这种求n 个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂.底数 （乘方的结果）一个数可以看作这个数本身的一次方，例如8就是81，指数1通常省略不写.问题2：23和32一样吗？为什么？例1 计算：(1) （-4）3； (2)（-2）4； (3)32.3⎛⎫- ⎪⎝⎭思考：你发现负数的幂的正负有什么规律？要点归纳：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数.正数的任何正整数次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0.例2 用计算器计算：(-8)5和(-3)6.探究点2：乘方的运算例3 计算（1）)3(2-×（-32） （2）-23×(-32)（3）64÷(-2)5（4）(-4)3÷(-1)200+2×(-3)4思考：通过以上计算，对于乘除和乘方的混合运算，你觉得有怎样的运算顺序？要点归纳：先算乘方，后算乘除；如果遇到括号就先进行括号里的运算.计算：（1）－（－3）3； （2）（－34）2；（3）（－23）3； （4）（－1）2015.1.填空：（1）)3(2--=______；（2）-32=______；（3）)5(3-=______；（4）1.03=______； （5）)1(9-=______；（6）)1(12-=______； (7))1(2-n =______;(8))1(12-+n =______; (9))1(-n =______（当n 是奇数时）______（当n 是偶数时）2. 在3|-3|-，33--（）,33-（），33-中,最大的数是( )A.3|-3|-B.33--（）C.33-（）D.33- 3.对任意实数a ，下列各式一定不成立的是（ ）A.22)(a a -=B.33)(a a -= C.a a -= D.02≥a8.一种纸的厚度是0.1毫米,若拿两张重叠在一起,将它们对折1次后,厚度为4×0.1毫米.(1)对折2次后,厚度为多少毫米?(2)对折6次后,厚度为多少毫米?。

第一章有理数1.5 有理数的乘方1.5.1 乘方第1课时一、教学目标【知识与技能】1.正确理解乘方、幂、指数、底数等概念．2.会进行有理数乘方的运算．【过程与方法】通过对乘方意义的理解,培养学生观察比较、分析、归纳概括的能力,渗透转化思想．【情感态度与价值观】培养探索精神,体验小组交流、合作学习的重要性．二、课型新授课三、课时第1课时,共2课时。

四、教学重难点【教学重点】正确理解乘方的意义,掌握乘方运算法则．【教学难点】正确理解乘方、底数、指数的概念,并合理运算．五、课前准备教师：课件、直尺、计算器等。

学生：三角尺、练习本、铅笔、圆珠笔或钢笔。

六、教学过程（一）导入新课珠穆朗玛峰是世界最高的山峰,它的海拔高度约是8844米．把一张足够大的厚度为0.1毫米的纸,连续对折30次的厚度能超过珠穆朗玛峰,这是真的吗？（出示课件2）（二）探索新知1.师生互动,探究乘方的意义教师问1：我们知道,边长为2 cm的正方形的面积为2×2＝4(cm2)；棱长为2 cm的正方体的面积为2×2×2＝8(cm2)．观察式子2×2,2×2×2有何共同特点？学生回答：都是相同因数的乘法．教师问2：为了简便,我们可以将它们记作什么,读作什么？学生回答：2×2记作22,读作2的平方；2×2×2记作23,读作2的立方.教师问3：某种细胞每30分钟便由一个分裂成两个,经过3小时这种细胞由1个能分裂成多少个？（出示课件4）分裂方式如下所示:（出示课件5）学生讨论后回答：2×6=12.教师问4：这个细胞分裂一次可得多少个细胞?分裂两次呢?分裂三次呢?四次呢？那么,3小时共分裂了多少次?有多少个细胞？（出示课件6）师生共同解答如下：一次：2个两次：2×2个三次：2×2×2个四次：2×2×2×2个六次：2×2×2×2×2×2个教师问5：请比较细胞分裂四次后的个数式子:2×2×2×2和细胞分裂六次后的个数式子: 2×2×2×2×2×2. 这两个式子有什么相同点?（出示课件7）学生回答：它们都是乘法,并且它们各自的因数都相同.教师问6：这样的运算能像平方、立方那样简写吗？学生回答：2×2×2×2记作24,2×2×2×2×2×2记作26.教师问7：24读作2的4次方(幂),26读作2的6次方(幂).同样：(－2)×(－2)×(－2)×(－2)记作什么？读作什么？(－25)×(－25)×(－25)×(－25)×(－25)记作什么？读作什么？学生回答：(－2)×(－2)×(－2)×(－2)记作（-2）2,读作负2的四次方(幂).(－25)×(－25)×(－25)×(－25)×(－25)记作（-25）5,读作负五分之二的五次方(幂).教师问8：a·a·a·a·a·a可以记作什么？读作什么？学生回答：a·a·a·a·a·a可以记作a6,读作a的六次方（幂）教师问9：进一步提出：a·a·…·a,（n个a相乘）(n为正整数)呢？学生回答：可以记作a n,读作a的n次方．教师讲解：对于a n中的a,不仅可以取正数,还可以取0和负数,也就是说a可以取任意有理数.总结点拨：（出示课件8）一般地,n个相同的因数a相乘,记作a n,读作“a的n次幂（或a的n次方）”,即教师讲解：求n个相同因数的积的运算,叫做乘方．乘方的结果叫做幂,相同的因数叫做底数,相同的因数的个数叫做指数．一般地,在a n中,a取任意有理数,n取正整数．注意：乘方是一种运算,幂是乘方运算的结果．a n看做是a的n次方的结果时,也可读作a的n次幂,一个数可以看做是它本身的1次方．总结点拨：（出示课件9）这种求n个相同因数的积的运算叫做乘方,乘方的结果叫做幂.一个数可以看作这个数本身的一次方,例如,8就是81,指数1通常省略不写.因为a n就是n个a相乘,所以可以利用有理数的乘法运算来进行有理数的乘方运算.例1：计算：（出示课件11）2）3.（1）(–4)3；（2）(–2)4；（3）（-3师生共同解答如下：解：（1）(–4)3=(–4)×(–4)×(–4)=–64；（2）(–2)4 =(–2)×(–2)×(–2)×(–2)=16；（3）.322228333327⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-⨯-⨯-=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭教师问10：进一步提出问题：观察以上运算的结果,你发现负数的幂的正负有什么规律？师生共同解答如下：（出示课件12）负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数．正数的任何正整数次幂都是正数,0的任何正整数次幂都是0.例2：用计算器计算(–8)5和(–3)6.（出示课件14）师生共同解答如下：开启计算器后按照下列步骤进行：8 5显示：（－8）^ 5－32768 即（－8）5=－327683 6显示：（－3）^ 6729 即（－3）6=7298 5 =显示：－327683 6显示：729所以（－8）5=－32768 （－3）6=729 例3：计算：（出示课件16）（1）22 -3-3⨯（）（）（2）–23×(–32)（3）64÷(–2)5（4）(–4)3÷(–1)200+2×(–3)4师生共同解答如下:解：（1）22(-3)(-)329(-)6;3=⨯=-⨯（2）–23×(–32)= –8×(–9)=72；（3）64÷(–2)5=64÷(–32)= –2；（4）(–4)3÷(–1)200+2×(–3)4= –64÷1+2×81=98教师问11：通过以上计算,对于乘除和乘方的混合运算,你觉得有怎样的运算顺序？（出示课件17）学生回答：先算乘方,后算乘除；如果遇到括号,就先进行括号里的运算.（三）课堂练习（出示课件19-23）1.计算(–3)2等于（）A．5 B．–5C．9 D．–92.计算(–1)2017的结果是（）A. –1B. 1C. 2017D. –20173.下列说法中正确的是（ ）A. 23表示2×3的积B. 任何一个有理数的偶次幂是正数C. -32与(-3)2互为相反数D.一个数的平方是94 ,这个数一定是 32 4.在 – |–3|3,– (–3)3, (–3)3 , –33中,最大的数是( )A.– |–3|3B.– (–3)3C. (–3)3D. –335.对任意实数a,下列各式不一定成立的是（ ）A. a 2= (–a)2B. a 3= (–a)3C. |a| = |–a|D. a 2 ≥06.填空：（1）–(–3)2= ______ ; （2）–32= ___________ ;（3）(–5)3= _______ ; （4）0.13= ___________ ;（5）(–1)9= ________ ; （6）(–1)12= _________;（7）(–1)2n =_________ ; （8）(–1)2n+1=________;（9）(–1)n =____________. .7.计算：（-6）2×（31-21） . 8.厚度是0.1毫米的纸,将它对折1次后,厚度为0.2毫米.（1）对折3次后,厚度为多少毫米?（2）对折7次后,厚度为多少毫米?（3）用计算器计算对折30次后纸的厚度.参考答案：1.C2.A3.C4.B5.B6.（1）-9；（2）-9；（3）-125；（4）0.001；（5）-1；（6）1；（7）1；（8）-1；（9）-1（当n 为奇数时）,1（当n 为偶数时）7.解：（-6）2×（31-21）=36×21-36×31=18-12=6 8.（1）0.8毫米；（2）12.8毫米；（3）0.1×230=0.1×1073741824=107374182.4（毫米）107374182.4毫米=107374.1824米.教师补充：107374.1824米＞8848.86米（珠穆朗玛峰高度）（四）课堂小结今天我们学了哪些内容:1.有理数乘方的意义2.有理数乘方运算的符号法则：负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数．正数的任何次幂都是正数,0的任何正整数次幂都是0.3．与乘方有关的探求规律问题.（五）课前预习预习下节课（1.5.1）43页到44页的相关内容。

1.5.1 乘方《第1课时乘方》教案【教学目标】:1.通过现实背景理解有理数乘方的意义,能进行有理数乘方的运算.2.已知一个数,会求出它的正整数指数幂,渗透转化思想.3.培养学生观察、归纳能力,以及思考问题、解决问题的能力,切实提高学生的运算能力.【教学重点】:正确理解乘方的意义,能利用乘方运算法则进行有理数乘方运算.【教学难点】:准确理解底数、指数和幂三个概念,并能进行求幂的运算.【教学过程】:(一)创设情境,导入新课提问并引导学生回答:在小学里我们学过一个数的平方和立方是如何定义的?怎样表示?a·a记作a2,读作a的平方(或a的2次方),即a2=a·a;a·a·a记作a3,读作a的立方(或a的3次方),即a3=a·a·a.(分别是边长为a的正方形的面积与棱长为a的正方体的体积)(多媒体演示细胞分裂过程)某种细胞,每过30分钟便由1个分裂成2个,经过5小时,这种细胞由1个分裂成多少个?1个细胞30分钟分裂成2个,1个小时后分裂成2×2个,1.5小时后分裂成2×2×2个,…,5小时后要分裂10次,分裂成个,为了简便可将记作210.(二)合作交流,解读探究一般地,n个相同的因数a相乘,即,记作a n,读作a的n次方.求n个相同因数的积的运算,叫做乘方,乘方的结果叫做幂.在a n中,a叫做底数,n叫做指数,当a n看作a的n次方的结果时,也可读作a的n次幂.说明:(1)举例94来说明概念及读法.(2)一个数可以看作这个数本身的一次方,通常省略指数1不写.(3)因为a n就是n个a相乘,所以可以利用有理数的乘法运算来进行有理数的乘方运算.(4)乘方是一种运算,幂是乘方运算的结果.(三)应用迁移,巩固提高【例1】(1)(-4)3;(2)(-2)4;(3)-24.点拨:(1)计算时仍然是要先确定符号,再确定绝对值.(2)注意(-2)4与-24的区别.根据有理数的乘法法则得出有理数乘方的符号规律:负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数;正数的任何次幂都是正数,0的任何正整数次幂都是0.【例2】计算:(1)()3; (2)(-)3;(3)(-)4; (4)-;(5)-22×(-3)2; (6)-22+(-3)2.(四)总结反思,拓展升华1.引导学生作知识小结:理解有理数乘方的意义,运用有理数乘方运算法则进行有理数乘方的运算,熟知底数、指数和幂三个基本概念.2.教师扩展:有理数的乘方就是几个相同因数积的运算,可以运用有理数乘方法则进行符号的确定和幂的求值.乘方的含义:(1)表示一种运算;(2)表示运算的结果.乘方的读法:(1)当a n表示运算时,读作a的n次方;(2)当a n表示运算结果时,读作a的n次幂.乘方的符号法则:(1)正数的任何次幂都是正数;(2)零的任何正整数次幂都是零;(3)负数的偶次幂是正数,奇次幂是负数.注意(-a)n与-a n及()n与的区别和联系.(五)课堂跟踪反馈1.课本P42练习第1、2题.2.补充练习(1)在(-2)6中,指数为,底数为.(2)在-26中,指数为,底数为.(3)若a 2=16,则a= . (4)平方等于本身的数是 ,立方等于本身的数是 .(5)下列说法中正确的是( ) A.平方得9的数是3B.平方得-9的数是-3C.一个数的平方只能是正数D.一个数的平方不能是负数(6)下列各组数中,不相等的是( )A.(-3)2与-32B.(-3)2与32C.(-2)3与-23D.|2|3与|-23|(7)下列各式中计算不正确的是( )A.(-1)2003=-1B.-12002=1C.(-1)2n =1(n 为正整数)D.(-1)2n+1=-1(n 为正整数)(8)下列各数表示正数的是( )A.|a+1|B.(a-1)2C.-(-a)D.||1.5.1乘方《第1课时 乘方》同步练习1、填空：（1）2)3(-的底数是 ，指数是 ，结果是 ；（2）2)3(--的底数是 ，指数是 ，结果是 ；（3）33-的底数是 ，指数是 ，结果是 。

1.5.1有理数的乘方（1）【教学内容】有理数乘方的意义，有理数的乘方运算.【教学目标】1. 理解并掌握有理数的乘方、幂、底数、指数的概念及意义；2. 能够正确进行有理数的乘方运算，经历探索乘方的有关规律的过程；3. 通过对乘方意义的理解，培养学生观察、比较、分析、归纳、概括的能力，渗透转化思想.【重点难点】重点：1.幂、底数、指数的概念及其表示；2.乘方的运算.难点：有理数的乘方法则.【教学设计】1.知识回顾，导入新课.(1)背景引入，提高兴趣.你想知道拉面师傅第10次拦扣后有多少根面条吗？(2) 知识回顾.<1> 边长为的正方形的面积为 ________；<2> 棱长为的正方体的体积为 ________；<3> ________；<4> ________；<5> ________. (学生一时难以算出，为新课的学习的做铺垫.)(3)学生观察，给出概念.<1>以上五个式子，每个式子中的因数都相同，符合以下特点：________.我们已经知道 ；那么, 的积该如何表示？<2>一般的，个相同的因数相乘，即，记作，读作“的次方”，如：读作“的平方”(或“的二次方”)，读作“的立方”(或“的三次方”),读作“的四次方” ，读作的四次方。

<3>求个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。

在中，叫做底数，叫做指数，当看做的次方的结果时，也读作“的次幂”。

因数为正数结果为正数负因数的个数为偶数结果为正数负因数的个数为奇数结果为负数2.说出下列乘方的底数、指数并计算：(1) ； (2) ； (3) ； (4) .3.填表.底数指数幂关注：当底数是负数和分数时，要用括号表示幂。

4.判断对错.(1) ；（ ） (2) ；（ ） (3) ；（ ）(4) ； （ ） (5)； （ ）提出问题：由上题的和，你有什么发现？小结：负数的乘方在书写时一定要把整个负数(连同括号)用小括号括起来，这也是辨认底数的方法；分数的乘方在书写时一定要把整个分数用小括号括起来。