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专题二 万能答题模板——助你解题得高分数学解答题题型解读数学解答题是高考数学试卷中的一类重要题型，通常是高考的把关题和压轴题，具有较好的区分层次和选拔功能．目前的高考解答题已经由单纯的知识综合型转化为知识、方法和能力的综合型解答题．要求考生具有一定的创新意识和创新能力等特点，解答题综合考查运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力和分析问题、解决问题的能力．针对不少同学答题格式不规范，出现“会而不对，对而不全”的问题，规范每种题型的万能答题模板，按照规范的解题程序和答题格式分步解答，实现答题步骤的最优化．万能答题模板以数学方法为载体，清晰梳理解题思路，完美展现解题程序，把所有零散的解题方法与技巧整合到不同的模块中，再把所有的题目归纳到不同的答题模板中，真正做到题题有方法，道道有模板，使学生从题海中上岸，知点通面，在高考中处于不败之地，解题得高分．模板1 三角函数的性质问题例1 已知函数f (x )＝cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π12，g (x )＝1＋12sin 2x . (1)设x ＝x 0是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴，求g (x 0)的值； (2)求函数h (x )＝f (x )＋g (x )的单调递增区间．审题破题 (1)由x ＝x 0是y ＝f (x )的对称轴可得g (x 0)取到f (x )的最值；(2)将h (x )化成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式．解 (1)f (x )＝12⎣⎡⎦⎤1＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 因为x ＝x 0是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴， 所以2x 0＋π6＝k π (k ∈Z )，即2x 0＝k π－π6(k ∈Z )．所以g (x 0)＝1＋12sin 2x 0＝1＋12sin ⎝⎛⎭⎫k π－π6，k ∈Z . 当k 为偶数时，g (x 0)＝1＋12sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝1－14＝34. 当k 为奇数时，g (x 0)＝1＋12sin π6＝1＋14＝54.(2)h (x )＝f (x )＋g (x )＝12[1＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6]＋1＋12sin 2x＝12⎝⎛⎭⎫32cos 2x ＋12sin 2x ＋32＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋32. 当2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2 (k ∈Z )，即k π－5π12≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )时，函数h (x )＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋32是增函数． 故函数h (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12 (k ∈Z )．第一步：三角函数式的化简，一般化成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋h 的形式，即化为“一角、 一次、一函数”的形式；第二步：由y ＝sin x 、y ＝cos x 的性质，将ωx ＋φ看做一个整体，解不等式，求角的 范围或函数值的范围；第三步：得到函数的单调性或者角、函数值的范围，规范写出结果； 第四步：反思回顾，检查公式使用是否有误，结果估算是否有误．跟踪训练1 已知函数f (x )＝2cos x ·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3sin 2x ＋sin x cos x ＋1. (1)求函数f (x )的最小正周期； (2)求函数f (x )的最大值及最小值；(3)写出函数f (x )的单调递增区间．解 f (x )＝2cos x ⎝⎛⎭⎫12sin x ＋32cos x －3sin 2x ＋sin x ·cos x ＋1＝2sin x cos x ＋3(cos 2x －sin 2x )＋1 ＝sin 2x ＋3cos 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1. (1)函数f (x )的最小正周期为2π2＝π. (2)∵－1≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤1， ∴－1≤2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1≤3. ∴当2x ＋π3＝π2＋2k π，k ∈Z ，即x ＝π12＋k π，k ∈Z 时，f (x )取得最大值3；当2x ＋π3＝－π2＋2k π，k ∈Z ，即x ＝－5π12＋k π，k ∈Z 时，f (x )取得最小值－1.(3)由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π，k ∈Z .∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－5π12＋k π，π12＋k π (k ∈Z )． 模板2 三角函数与向量、三角形例2 在锐角△ABC 中，已知内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且3(tan A －tan B )＝1＋tan A ·tan B ，又已知向量m ＝(sin A ，cos A )，n ＝(cos B ，sin B )，求|3m －2n |的取值范围．审题破题 由已知A ，B 关系式化简，利用向量的数量积求出|3m －2n |并化简为一个角的三角函数形式．解 因为3(tan A －tan B )＝1＋tan A ·tan B ， 所以tan A －tan B1＋tan A ·tan B ＝33，即tan(A －B )＝33，又△ABC 为锐角三角形，则0<A <π2，0<B <π2，所以－π2<A －B <π2，所以A －B ＝π6.又|3m －2n |2＝9m 2＋4n 2－12m·n ＝13－12sin(A ＋B )＝13－12sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6. 又0<C ＝π－(A ＋B )<π2，0<A ＝π6＋B <π2，所以π6<B <π3，所以π2<2B ＋π6<5π6.所以sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6∈⎝⎛⎭⎫12，1，所以|3m －2n |2∈(1,7)． 故|3m －2n |的取值范围是(1，7)．第一步：进行三角变换，求出某个角的值或者范围；第二步：脱去向量的外衣，利用向量的运算将所求的式子转化为一个角的三角函数 问题；第三步：得到函数的单调性或者角、函数值的范围，规范写出结果； 第四步：反思回顾，检查公式使用是否有误，结果估算是否有误．跟踪训练2 已知a ＝(2cos x ＋23sin x,1)，b ＝(y ，cos x )，且a ∥b .(1)将y 表示成x 的函数f (x )，并求f (x )的最小正周期；(2)记f (x )的最大值为M ，a 、b 、c 分别为△ABC 的三个内角A 、B 、C 对应的边长，若f ⎝⎛⎭⎫A 2＝M ，且a ＝2，求bc 的最大值．解 (1)由a ∥b 得2cos 2x ＋23sin x cos x －y ＝0， 即y ＝2cos 2x ＋23sin x cos x ＝cos 2x ＋3sin 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1， 所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1， 又T ＝2πω＝2π2＝π.所以函数f (x )的最小正周期为π.(2)由(1)易得M ＝3，于是由f ⎝⎛⎭⎫A 2＝M ＝3，得2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＋1＝3⇒sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＝1， 因为A 为三角形的内角，故A ＝π3.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得4＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc ，解得bc ≤4. 于是当且仅当b ＝c ＝2时，bc 取得最大值4. 模板3 空间平行或垂直关系的证明例3 如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，E 、F 分别为PC 、 BD 的中点，侧面P AD ⊥底面ABCD ，且P A ＝PD ＝22AD .(1)求证：EF ∥平面P AD ； (2)求证：平面P AB ⊥平面PCD .审题破题 (1)根据中位线找线线平行关系，再利用线面平行的判定定理．(2)先利用线面垂直的判定定理，再利用性质定理．证明 (1)连接AC ，则F 是AC 的中点，又∵E 为PC 的中点， ∴在△CP A 中，EF ∥P A ，又∵P A ⊂平面P AD ，EF ⊄平面P AD ， ∴EF ∥平面P AD .(2)∵平面P AD ⊥平面ABCD ， 平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，又∵CD ⊥AD ，∴CD ⊥平面P AD ，∴CD ⊥P A . 又P A ＝PD ＝22AD ，∴△P AD 是等腰直角三角形， 且∠APD ＝90°，即P A ⊥PD .又∵CD ∩PD ＝D ，∴P A ⊥平面PCD ， 又∵P A ⊂平面P AB ，∴平面P AB ⊥平面PCD .第一步：将题目条件和图形结合起来；第二步：根据条件寻找图形中的平行、垂直关系；第三步：和要证结论相结合，寻找已知的垂直、平行关系和要证关系的联系； 第四步：严格按照定理条件书写解题步骤.跟踪训练3 (2013·山东)如图，四棱锥P －ABCD 中，AB ⊥AC ，AB ⊥P A ，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，E ，F ，G ，M ，N 分别为PB ，AB ，BC ，PD ，PC 的中点．(1)求证：CE ∥平面P AD ； (2)求证：平面EFG ⊥平面EMN .证明 (1)方法一 取P A 的中点H ，连接EH ，DH . 又E 为PB 的中点，所以EH 綊12AB .又CD 綊12AB ，所以EH 綊CD .所以四边形DCEH 是平行四边形，所以CE ∥DH . 又DH ⊂平面P AD ，CE ⊄平面P AD . 所以CE ∥平面P AD . 方法二 连接CF .因为F 为AB 的中点，所以AF ＝12AB .又CD ＝12AB ，所以AF ＝CD .又AF ∥CD ，所以四边形AFCD 为平行四边形． 因此CF ∥AD ，又CF ⊄平面P AD ， 所以CF ∥平面P AD .因为E ，F 分别为PB ，AB 的中点，所以EF ∥P A . 又EF ⊄平面P AD ，所以EF ∥平面P AD . 因为CF ∩EF ＝F ，故平面CEF ∥平面P AD . 又CE ⊂平面CEF ，所以CE ∥平面P AD .(2)因为E 、F 分别为PB 、AB 的中点，所以EF ∥P A . 又因为AB ⊥P A ，所以EF ⊥AB ，同理可证AB ⊥FG .又因为EF ∩FG ＝F ，EF ⊂平面EFG ，FG ⊂平面EFG . 所以AB ⊥平面EFG .又因为M ，N 分别为PD ，PC 的中点，所以MN ∥CD ， 又AB ∥CD ，所以MN ∥AB ，所以MN ⊥平面EFG . 又因为MN ⊂平面EMN ，所以平面EFG ⊥平面EMN . 模板4 数列通项公式的求解问题例4 设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1，n ∈N *，且a 1，a 2＋5，a 3成等差数列． (1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式．审题破题 (1)可令n ＝1，n ＝2得关系式联立求a 1；(2)由已知可得n ≥2时，2S n －1＝a n －2n ＋1，两式相减．解 (1)当n ＝1时，2a 1＝a 2－4＋1＝a 2－3， ① 当n ＝2时，2(a 1＋a 2)＝a 3－8＋1＝a 3－7，② 又a 1，a 2＋5，a 3成等差数列，所以a 1＋a 3＝2(a 2＋5)，③由①②③解得a 1＝1. (2)∵2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1，∴当n ≥2时，有2S n －1＝a n －2n ＋1， 两式相减得a n ＋1－3a n ＝2n ，则a n ＋12n －32·a n 2n －1＝1，即a n ＋12n ＋2＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫a n 2n －1＋2.又a 120＋2＝3，知⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1＋2是首项为3，公比为32的等比数列， ∴a n 2n －1＋2＝3⎝⎛⎭⎫32n －1，即a n ＝3n －2n，n ＝1时也适合此式， ∴a n ＝3n －2n .第一步：令n ＝1，n ＝2得出a 1，a 2，a 3的两个方程，和已知a 1，a 2，a 3的关系 联立求a 1；第二步：令n ≥2得关系式后利用作差得a n ＋1，a n 的关系；第三步：构造等比数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n ＋1＋2，并求出通项； 第四步：求出数列{a n }的通项．跟踪训练4 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝2a n ＋(－1)n (n ∈N *)．(1)求数列{a n }的前三项a 1，a 2，a 3；(2)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋23(－1)n 为等比数列，并求出{a n }的通项公式．(1)解 在S n ＝2a n ＋(－1)n ，n ≥1中分别令n ＝1,2,3，得 ⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2a 1－1a 1＋a 2＝2a 2＋1a 1＋a 2＋a 3＝2a 3－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 2＝0，a 3＝2.(2)证明 由S n ＝2a n ＋(－1)n ，n ≥1得： S n －1＝2a n －1＋(－1)n －1，n ≥2.两式相减得a n ＝2a n －1－2(－1)n ，n ≥2.a n ＝2a n －1－43(－1)n －23(－1)n＝2a n －1＋43(－1)n －1－23(－1)n ，∴a n ＋23(－1)n ＝2⎣⎡⎦⎤a n －1＋23(－1)n －1(n ≥2)． 故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋23(－1)n 是以a 1－23＝13为首项，公比为2的等比数列．所以a n ＋23(－1)n ＝13×2n －1，∴a n ＝13×2n －1－23×(－1)n .模板5 数列求和问题例5 (2012·江西)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－12n 2＋kn (其中k ∈N ＋)，且S n 的最大值为8.(1)确定常数k ，并求a n ；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫9－2a n 2n 的前n 项和T n .审题破题 (1)由S n 的最大值，可据二次函数性质求k ，因而确定a n ；(2)利用错位相减法求和．解 (1)当n ＝k ∈N ＋时，S n ＝－12n 2＋kn 取最大值，即8＝S k ＝－12k 2＋k 2＝12k 2，故k 2＝16，因此k ＝4，从而a n ＝S n －S n －1＝92－n (n ≥2)．又a 1＝S 1＝72，所以a n ＝92－n .(2)因为b n ＝9－2a n 2n ＝n2n －1，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝1＋22＋322＋…＋n －12n －2＋n2n －1，所以T n＝2T n－T n＝2＋1＋12＋…＋12n－2－n2n－1＝4－12n－2－n2n－1＝4－n＋22n－1.第一步：利用条件求数列{b n}的通项公式；第二步：写出T n＝b1＋b2＋…＋b n的表达式；第三步：分析表达式的结构特征、确定求和方法.(例如：公式法、裂项法，本题用错位相减法)；第四步：明确规范表述结论；第五步：反思回顾.查看关键点，易错点及解题规范.如本题中在求a n时，易忽视对n＝1，n≥2时的讨论.跟踪训练5已知点⎝⎛⎭⎫1，13是函数f(x)＝ax (a>0，且a≠1)的图象上的一点．等比数列{a n}的前n项和为f(n)－c.数列{b n} (b n>0)的首项为c，且前n项和S n满足S n－S n－1＝S n＋S n－1 (n≥2)．(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式；(2)若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n＋1的前n项和为T n，问满足T n>1 0012 012的最小正整数n是多少？解(1)∵f(1)＝a＝13，∴f(x)＝⎝⎛⎭⎫13x.由题意知，a1＝f(1)－c＝13－c，a2＝[f(2)－c]－[f(1)－c]＝－29，a3＝[f(3)－c]－[f(2)－c]＝－227.又数列{a n}是等比数列，∴a1＝a22a3＝481－227＝－23＝13－c，∴c＝1.又公比q＝a2a1＝13，∴a n＝－23·⎝⎛⎭⎫13n－1＝－2·⎝⎛⎭⎫13n (n∈N*)．∵S n－S n－1＝(S n－S n－1)(S n＋S n－1)＝S n＋S n－1(n≥2)．又b n>0，S n>0，∴S n－S n－1＝1.∴数列{S n}构成一个首项为1、公差为1的等差数列，S n ＝1＋(n －1)×1＝n ，即S n ＝n 2.当n ≥2时，b n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1， 当n ＝1时，b 1＝1也适合此通项公式． ∴b n ＝2n －1 (n ∈N *)．(2)T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋1b 3b 4＋…＋1b n b n ＋1＝11×3＋13×5＋15×7＋…＋1(2n －1)×(2n ＋1)＝12×⎝⎛⎭⎫1－13＋12×⎝⎛⎭⎫13－15＋12×⎝⎛⎭⎫15－17＋…＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1 ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1. 由T n ＝n 2n ＋1>1 0012 012，得n >1 00110，∴满足T n >1 0012 012的最小正整数n 的值为101.模板6 概率与统计问题例6 某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y (单位：万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X (单位：毫米)有关．据统计，当X ＝70时，Y ＝460；X 每增加10，Y 增加5.已知近20年X 的值为：140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200, 140,110,160,220,140,160. (1)完成下列频率分布表： 近20降雨量 70 110 140 160 200 220 频率120420220(2)假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率． 审题破题 (1)直接根据已知数据计算频率填表；(2)将频率视为概率，将所求事件写成几个互斥事件的和，然后根据概率加法公式计算．解 (1)在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，160毫米的有7个，200毫米的有3个．故近20年六月份降雨量频率分布表为降雨量 70 110 140 160 200 220 频率120320420720320220(2)由题意知，当X ＝70时，Y ＝460； X 每增加10，Y 增加5， 故Y ＝460＋5×X －7010＝X2＋425.P(“发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时”) ＝P(Y<490或Y>530)＝P(X<130或X>210)＝P(X＝70)＋P(X＝110)＋P(X＝220)＝120＋320＋220＝310.故今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率为310.第一步：理解题目中的数据和变量的意义，完成频率分布表； 第二步：利用互斥事件的概率公式求概率、作答.跟踪训练6 (2013·陕西)有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次，根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下：组别 A B C D E 人数5010015015050(1)为了调查评委对7位歌手的支持情况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B 组中抽取了6人．请将其余各组抽取的人数填入下表．组别 A B C D E 人数 50 100 150 150 50 抽取人数6(2)在(1)中，若A ，B 两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评 委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率．解 (1)由题设知，分层抽样的抽取比例为6%，所以各组抽取的人数如下表：组别 A B C D E 人数 50 100 150 150 50 抽取人数36993(2)记从A 组抽到的3个评委为a 1，a 2，a 3，其中a 1，a 2支持1号歌手；从B 组抽到的6个评委为b 1，b 2，b 3，b 4，b 5，b 6，其中b 1，b 2支持1号歌手．从{a 1，a 2，a 3}和{b 1，b 2，b 3，b 4，b 5，b 6}中各抽取1人的所有结果为：由以上树状图知所有结果共18种，其中2人都支持1号歌手的有a 1b 1，a 1b 2，a 2b 1，a 2b 2共4种，故所求概率P ＝418＝29.模板7 圆锥曲线的定点问题例7 已知椭圆E 的中心在原点，焦点在x 轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为2－1，离心率为e ＝22.(1)求椭圆E 的方程；(2)过点(1,0)作直线l 交E 于P 、Q 两点，试问：在x 轴上是否存在一个定点M ，使MP →·MQ →为定值？若存在，求出这个定点M 的坐标；若不存在，请说明理由．审题破题 (1)利用待定系数法求E 的方程；(2)探求定点可以先根据特殊情况找出点，再对一般情况进行证明．解 (1)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由已知得解得所以b 2＝a 2－c 2＝1.所以椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)假设存在符合条件的点M (m,0)，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 则MP →＝(x 1－m ，y 1)，MQ →＝(x 2－m ，y 2)，MP →·MQ →＝(x 1－m )(x 2－m )＋y 1y 2＝x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2＋y 1y 2.①当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，由得x 2＋2k 2(x －1)2－2＝0，即(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0， 则x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1，y 1y 2＝k 2(x 1－1)(x 2－1)＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝－k 22k 2＋1，所以MP →·MQ →＝2k 2－22k 2＋1－m ·4k 22k 2＋1＋m 2－k 22k 2＋1＝(2m 2－4m ＋1)k 2＋(m 2－2)2k 2＋1.因为对于任意的k 值，MP →·MQ →为定值，所以2m 2－4m ＋1＝2(m 2－2)，得m ＝54.所以M ⎝⎛⎭⎫54，0，此时，MP →·MQ →＝－716. ②当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝1，则x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝1，y 1y 2＝－12，由m ＝54，得MP →·MQ →＝－716.综上，符合条件的点M 存在，且坐标为⎝⎛⎭⎫54，0.第一步：引进参数.从目标对应的关系式出发，引进相关参数.一般地，引进的参数是 直线的夹角、直线的斜率或直线的截距等；第二步：列出关系式.根据题设条件，表达出对应的动态直线或曲线方程； 第三步：探求直线过定点.若是动态的直线方程，将动态的直线方程转化成y －y 0＝ k (x －x 0)的形式，则k ∈R 时直线恒过定点(x 0，y 0)；若是动态的曲线方程，将动态的 曲线方程转化成f (x ，y )＋λg (x ，y )＝0的形式，则λ∈R 时曲线恒过的定点即是f (x ， y )＝0与g (x ，y )＝0的交点； 第四步：下结论；第五步：回顾反思.在解决圆锥曲线问题中的定点、定值问题时，引进参数的目的是 以这个参数为中介，通过证明目标关系式与参数无关，达到解决问题的目的.跟踪训练7 已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 过点M (4,0)．(1)若点F 到直线l 的距离为3，求直线l 的斜率；(2)设A ，B 为抛物线上的两点，且直线AB 不与x 轴垂直，若线段AB 的垂直平分线恰过点M ，求证：线段AB 中点的横坐标为定值．(1)解 由已知得直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －4)，由题意知抛物线的焦点坐标为(1,0)，因为点F 到直线l 的距离为3，所以|3k |1＋k 2＝3，解得k ＝±22，所以直线l 的斜率为±22.(2)证明 设线段AB 中点的坐标为N (x 0，y 0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为直线AB 不与x 轴垂直，所以AB 斜率存在，所以直线MN 的斜率为y 0x 0－4，直线AB 的斜率为4－x 0y 0，直线AB 的方程为y －y 0＝4－x 0y 0(x －x 0)，联立方程得消去x ，得⎝⎛⎭⎫1－x 04y 2－y 0y ＋y 20＋x 0(x 0－4)＝0， 所以y 1＋y 2＝4y 04－x 0，因为N 为线段AB 的中点，所以y 1＋y 22＝y 0，即2y 04－x 0＝y 0，所以x 0＝2.即线段AB 中点的横坐标为定值2.模板8 圆锥曲线中的范围、最值问题例8 已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >1，b >0)的焦距为2c ，直线l 过点(a,0)和(0，b )，且点(1,0)到直线l 的距离与点(－1,0)到直线l 的距离之和s ≥45c ，求双曲线的离心率e 的取值范围．审题破题 用a ，b 表示s 可得关于a ，b ，c 的不等式，进而转化成关于e 的不等式，求e 的范围．解 设直线l 的方程为x a ＋yb＝1，即bx ＋ay －ab ＝0.由点到直线的距离公式，且a >1，得到点(1,0)到直线l 的距离d 1＝b (a －1)a 2＋b 2，同理可得点(－1,0)到直线l 的距离为d 2＝b (a ＋1)a 2＋b 2，于是s ＝d 1＋d 2＝2aba 2＋b 2＝2ab c. 由s ≥45c ，得2ab c ≥45c ，即5ac 2－a 2≥2c 2，可得5e 2－1≥2e 2，即4e 4－25e 2＋25≤0， 解得54≤e 2≤5.由于e >1，故所求e 的取值范围是⎣⎡⎦⎤52，5.第一步：提取.从题设条件中提取不等关系式；第二步：解不等式.求解含有目标参数的不等式，得到不等式的解集；第三步：下结论.根据不等式的解集，并结合圆锥曲线中几何量的范围，得到所求参 数的取值范围；第四步：回顾反思.根据题设条件给出的不等关系求参数的取值范围，要考虑圆锥曲 线自身的一些几何意义，如离心率的范围，圆锥曲线的定义中的a ，b ，c 的大小关 系等.跟踪训练8 椭圆C 的中心为坐标原点O ，焦点在y 轴上，短轴长为2，离心率为22，直线l 与y 轴交于点P (0，m )，与椭圆C 交于相异两点A ，B ，且AP →＝3PB →. (1)求椭圆C 的方程； (2)求m 的取值范围．解 (1)设椭圆C 的方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，设c >0，c 2＝a 2－b 2，由题意，知2b ＝2，c a ＝22，所以a ＝1，b ＝c ＝22.故椭圆C 的方程为y 2＋x 212＝1，即y 2＋2x 2＝1. (2)设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，l 与椭圆C 的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由得(k 2＋2)x 2＋2kmx ＋(m 2－1)＝0，Δ＝(2km )2－4(k 2＋2)(m 2－1)＝4(k 2－2m 2＋2)>0，(*) x 1＋x 2＝－2km k 2＋2，x 1x 2＝m 2－1k 2＋2.因为AP →＝3PB →，所以－x 1＝3x 2，所以所以3(x 1＋x 2)2＋4x 1x 2＝0.所以3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2km k 2＋22＋4·m 2－1k 2＋2＝0.整理得4k 2m 2＋2m 2－k 2－2＝0， 即k 2(4m 2－1)＋(2m 2－2)＝0.当m 2＝14时，上式不成立；当m 2≠14时，k 2＝2－2m 24m 2－1，由(*)式，得k 2>2m 2－2， 又k ≠0，所以k 2＝2－2m 24m 2－1>0.解得－1<m <－12或12<m <1.即所求m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎭⎫12，1. 模板9 函数的单调性、极值、最值问题 例9 已知函数f (x )＝2ax －a 2＋1x 2＋1(x ∈R )．其中a ∈R .(1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)当a ≠0时，求函数f (x )的单调区间与极值．审题破题 (1)直接求f ′(x )，得f ′(2)后写出切线方程；(2)求导函数f ′(x )后要对a 进行讨论，可以列表观察函数f (x )的单调性，极值．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝2x x 2＋1，f (2)＝45，又f ′(x )＝2(x 2＋1)－2x ·2x (x 2＋1)2＝2－2x 2(x 2＋1)2，f ′(2)＝－625.所以，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －45＝－625(x －2)，即6x ＋25y －32＝0. (2)f ′(x )＝2a (x 2＋1)－2x (2ax －a 2＋1)(x 2＋1)2＝－2(x －a )(ax ＋1)(x 2＋1)2.由于a ≠0，以下分两种情况讨论．①当a ＞0，令f ′(x )＝0，得到x 1＝－1a ，x 2＝a .当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－∞，－1a ，(a ，＋∞)内为减函数， 在区间⎝⎛⎭⎫－1a ，a 内为增函数． 函数f (x )在x 1＝－1a处取得极小值f ⎝⎛⎭⎫－1a ， 且f ⎝⎛⎭⎫－1a ＝－a 2. 函数f (x )在x 2＝a 处取得极大值f (a )，且f (a )＝1. ②当a ＜0时，令f ′(x )＝0，得到x 1＝a ，x 2＝－1a ，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以f (x )在区间(－∞，a )，⎝⎛⎭⎫－1a ，＋∞内为增函数，在区间⎝⎛⎭⎫a ，－1a 内为减函数． 函数f (x )在x 1＝a 处取得极大值f (a )，且f (a )＝1.函数f (x )在x 2＝－1a 处取得极小值f (－1a)，且f ⎝⎛⎭⎫－1a ＝－a 2.第一步：确定函数的定义域．如本题函数的定义域为R . 第二步：求f (x )的导数f ′(x )． 第三步：求方程f ′(x )＝0的根．第四步：利用f ′(x )＝0的根和不可导点的x 的值从小到大顺次将定义域分成若干 个小开区间，并列出表格．第五步：由f ′(x )在小开区间内的正、负值判断f (x )在小开区间内的单调性． 第六步：明确规范地表述结论．第七步：反思回顾．查看关键点、易错点及解题规范．如本题中f ′(x )＝0的根为x 1＝－1a ，x 2＝a .要确定x 1，x 2的大小，就必须对a 的正、负进行分类讨论．这就是本题的关键点和易错点．跟踪训练9 已知函数f (x )＝a ln x ＋2a 2x＋x (a ≠0)．(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线x －2y ＝0垂直，求实数a 的值； (2)讨论函数f (x )的单调性； (1)解 f (x )的定义域为{x |x >0}．f ′(x )＝a x －2a 2x2＋1 (x >0)．根据题意，有f ′(1)＝－2，所以2a 2－a －3＝0，解得a ＝－1或a ＝32.(2)解 f ′(x )＝a x －2a 2x 2＋1＝x 2＋ax －2a 2x 2＝(x －a )(x ＋2a )x 2 (x >0)．①当a >0时，因为x >0，由f ′(x )>0得(x －a )(x ＋2a )>0，解得x >a ； 由f ′(x )<0得(x －a )(x ＋2a )<0，解得0<x <a .所以函数f (x )在(a ，＋∞)上单调递增，在(0，a )上单调递减． ②当a <0时，因为x >0，由f ′(x )>0得(x －a )(x ＋2a )>0，解得x >－2a ； 由f ′(x )<0得(x －a )(x ＋2a )<0，解得0<x <－2a .所以函数f (x )在(0，－2a )上单调递减，在(－2a ，＋∞)上单调递增． 模板10 导数与不等式问题例10 设函数f (x )定义在(0，＋∞)上，f (1)＝0，导函数f ′(x )＝1x，g (x )＝f (x )＋f ′(x )．(1)求g (x )的单调区间和最小值；(2)讨论g (x )与g ⎝⎛⎭⎫1x 的大小关系；(3)是否存在x 0>0，使得|g (x )－g (x 0)|<1x 对任意x >0成立？若存在，求出x 0的取值范围；若不存在，请说明理由．审题破题 (1)先求出f (x )，再求g (x )，然后讨论g (x )的单调区间，最值；(2)可构造函数h (x )＝g (x )－g ⎝⎛⎭⎫1x ，通过g (x )的单调性比较g (x )，g ⎝⎛⎭⎫1x 的大小；(3)对任意x >0若不存在x 0，只需取一特殊值即可；若存在x 0，一般利用最值解决． 解 (1)由题设易知f (x )＝ln x ，g (x )＝ln x ＋1x ，∴g ′(x )＝x －1x 2，令g ′(x )＝0，得x ＝1，当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0， 故(0,1)是g (x )的单调减区间， 当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0. 故(1，＋∞)是g (x )的单调增区间，因此，x ＝1是g (x )的唯一极值点，且为极小值点， 从而是最小值点，所以最小值为g (1)＝1. (2)g ⎝⎛⎭⎫1x ＝－ln x ＋x ，设h (x )＝g (x )－g ⎝⎛⎭⎫1x ＝2ln x －x ＋1x ， 则h ′(x )＝－(x －1)2x 2，当x ＝1时，h (1)＝0，即g (x )＝g ⎝⎛⎭⎫1x ，当x ∈(0,1)∪(1，＋∞)时，h ′(x )<0，h ′(1)＝0， 因此，h (x )在(0，＋∞)内单调递减， 当0<x <1时，h (x )>h (1)＝0，即g (x )>g ⎝⎛⎭⎫1x ， 当x >1时，h (x )<h (1)＝0，即g (x )<g ⎝⎛⎭⎫1x . (3)满足条件的x 0不存在． 证明如下：假设存在x 0>0，使|g (x )－g (x 0)|<1x对任意x >0成立，即对任意x >0，有ln x <g (x 0)<ln x ＋2x ，(*)但对上述x 0，取x 1＝eg (x 0)时，有ln x 1＝g (x 0)，这与(*)左边不等式矛盾，因此，不存在x 0>0，使|g (x )－g (x 0)|<1x对任意x >0成立．第一步：构造函数h (x )＝g (x )－g ⎝⎛⎭⎫1x ；第二步：根据求单调性、极值的步骤探求函数h (x )的单调性； 第三步：根据h (x )的单调性比较h (x )和0的大小； 第四步：下结论，反思回顾.跟踪训练10 已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ＋ln x .(1)当a ＝b 时，若函数f (x )在定义域上是单调函数，求实数a 的取值范围；(2)设函数f (x )在x ＝12，x ＝1处取得极值，且f (1)＝－1，若对任意的x ∈⎣⎡⎦⎤14，2，f (x )≤m 恒成立，求m 的取值范围．(参考数据：e ≈2.7) 解 (1)∵a ＝b 时，f (x )＝ax 2＋ax ＋c ＋ln x ，∴f ′(x )＝2ax ＋a ＋1x ＝2ax 2＋ax ＋1x (x >0)．当a ＝0时，f ′(x )＝1x >0，此时f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，∵x >0，∴2ax 2＋ax ＋1>0，∴f ′(x )>0， ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a <0时，设g (x )＝2ax 2＋ax ＋1，函数g (x )在⎣⎡⎭⎫－14，＋∞上单调递减，且g (0)＝1>0，故在(0，＋∞)上，函数g (x )的符号不确定，即此时f ′(x )的符号不确定，∴函数f (x )在 (0，＋ ∞)上不单调．综上可知，a 的取值范围是[0，＋∞)．(2)∵f (x )在x ＝12，x ＝1处取得极值，∴f ′(1)＝f ′⎝⎛⎭⎫12＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋b ＋1＝0a ＋b ＋2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－3， 即f ′(x )＝2x 2－3x ＋1x ＝(2x －1)(x －1)x ，且f (x )＝x 2－3x ＋c ＋ln x .又∵f (1)＝－1，∴1－3＋c ＝－1，得c ＝1， ∴f (x )＝x 2－3x ＋1＋ln x . ∵当x ∈⎣⎡⎭⎫14，12时，f ′(x )>0，∴函数f (x )在⎣⎡⎭⎫14，12上单调递增； ∵当x ∈⎝⎛⎭⎫12，1时，f ′(x )<0， ∴函数f (x )在⎝⎛⎭⎫12，1上单调递减； ∵当x ∈(1,2]时，f ′(x )>0，∴函数f (x )在(1,2]上单调递增．∴f (x )极大值＝f ⎝⎛⎭⎫12＝14－32＋1＋ln 12＝－14－ln 2， 而f (2)＝－1＋ln 2，f (2)－f ⎝⎛⎭⎫12＝－34＋ln 4 ＝ln 4－ln e ，由于4>e>e，故f (2)>f ⎝⎛⎭⎫12， ∴f (x )max ＝－1＋ln 2，∴m ≥－1＋ln 2.3434。
