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自动控制原理第三章3.1-3.2

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自动控制原理 第三章答案

自动控制原理 第三章答案

3-1 解 该线圈的微分方程为 u =+diiR L dt对上式两边取拉氏变换，并令初始条件为零，可得传递函数为()1=()(+)+1I s RU s L R 时间常数+0.005T L R s ==，过渡时间=30.015s t T s =。

3-2 解 如图2-3-2所示系统的闭环传递函数为010()=(s)0.2+1+10+1H K C s KR S K Ts =其中0101+10H K K K =,0.21+10HT K =原系统的时间常数为0.2s ，放大系数为10，为了满足题目的要求，令0.02T s =和10K =,有0.9H K =和010K =。

3-3 解 设为温度计的输入，表示实际水温，设为温度计的输出，表示温度计的指示值，若实际水温为R （常值），则输入为幅值为R 的阶跃函数，输出为(t)=R(1-e )T c τ根据所给条件，有则时间常数。

3-4 解：所给传递函数的闭环极点为21,2=-1-n n s j ζωωζ±根据上式表达式，可以确定图2-3-3中的阴影部分为闭环极点可能位于的区域（考虑到对称性，只绘出s 平面的上半平面）。

图2-3-3 闭环极点可能位于的区域3-5解：典型二阶系统的传递函数为由如图2-3-4所示的响应曲线，可知峰值时间，超调量，根据二阶系统的性能指标计算公式和可以确定和，根据如图2-3-4所示曲线的终值，可以确定。

3-6 解：如图2-3-5所示系统的传递函数为是一个典型的二阶系统，其自然振荡频率为，令阻尼比可以确定，性能指标及分别为3-7 解：系统为典型二阶系统，自然振荡频率，阻尼比。

单位阶跃响应的表达式为(t>0)单位斜坡响应的表达式为3-8 解：当时，系统的闭环传递函数为其中，无阻尼自然振荡频率，阻尼比，单位阶跃响应的超调量峰值时间和过度过程时间分别为16.3%、0,36s和0.7s当,时系统的闭环传递函数为其中，无阻尼自然振荡频率，阻尼比，单位阶跃响应的超调量、峰值时间和过渡过程时间分别为30.9%、0.24s和0.7s。

自动控制原理第三章

自动控制原理第三章

➢ 0 1 特征根： s1,2 n jn 1 2
Xc (s)
1 s
s2
n2 2ns n2
1 s
s2
s 2n 2ns n2
1
s 2n
s (s n )2 (n 1 2 )2
其阶跃输入下的暂态响应：
xc (t) 1
e nt
1 2
sin(n
1 2 t ) , arctan
WB (s)
X c (s) X r (s)
(1
1 K)s
1
1 Ts 1
式中：T 1 k , 称为时间常数。
3.2.2 单位阶跃响应函数：
X r (s) 1 s
11
Xc
(s)
Ts
1
s
,
xc (t)
L1[ 1 Ts 1
1] s
L1[ 1 s
s
1
1
]
1
t
eT
T
xc (t ) xss xtt
2
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6 0.4 0.2
0 0
246
nt
8 10 12
⒊ 当 1时，特征方程有一对相等的负实根，称为临界阻尼
系统，系统的阶跃响应为非振荡过程。
➢当 1 时，
阶跃响应曲线为：
xc
(s)
1 s
s2
n2 2n s
n2
n2 s(s n )2
1 1 n s s n (s n )2
1 )( s
T1
1 T2
)
式中
T1
1 a
n (
1
2
1)

第三章自动控制原理

第三章自动控制原理

K0
K
T02s2 2 0T0s (1 K0 ) T 2s2 2Ts 1
自己做！
T T0 1 K0
K K0 1 K0
0
1 K0
R(s) ＋ －
K 01 T01s 1
K02 C(s)
T02s 1
(s)
T
2s2
1
2Ts
1
s2
n2 2 n s
n2
n
1 T
C(s)
(s)
1 s
s2
n2 2 n s
N (s) b0sm b1sm1 bm1s bm
系统的响应为C(s)的拉氏反变换
c(t)
L1
N(s) D(s)
R(s)
L1
1 D(s)
Nr0
(s)
Nc0
(s)
由输入信号引起
由初始状态引起
C(s) N(s) R(s) N(s) P(s)
D(s)
D(s) Q(s)
R(s) P(s) Q(s)
n
展成部分分式： C(s)
Ai
l
Bk
i1 s si k1 s sk
si—D(s)=0的根，即系统传递函数的极点。
sk—Q(s)=0的根，和系统输入信号的形式有关。
得到系统的零状态响应为：
n
l
C(s) Aiesit Bkeskt
i1
k 1
零状态响应的暂态分量 零状态响应的稳态分量
给定输入是单位阶跃函数，系统输出即为单位阶跃响应
t
1 L[t] s2 0
1
t
三、抛物线函数（加速度阶跃函数）
r
(t
)
1 2
t
2

自动控制原理——第3章

自动控制原理——第3章

第三章 时域分析法
系统的特征方程
Js + Fs + K = 0
2
F 称为实际阻尼系数。 称为实际阻尼系数。 当
F = 4JK
2
特征方程有一对相等的负实根， 时 ， 特征方程有一对相等的负实根 ， 系统 处于临界阻尼状态。 处于临界阻尼状态。 为临界阻尼系数， 令Fc为临界阻尼系数，则
Fc = 2 JK
解： (1) 由结构图写出闭环传递函数
100 / s 10 C ( s) Φ( s ) = = = R( s ) 1 + 100 × 0.1 0.1s + 1 s
自动控制原理
第三章 时域分析法
的分母多项式看出时间常数T=0.1 s， 从Φ(s)的分母多项式看出时间常数 的分母多项式看出时间常数 ， 故调节时间 ts = 3T = 3 × 0.1 s = 0.3 s (2) 计算 s＝0.1 s的反馈系数值 计算t 的反馈系数值 设反馈系数为Kh，则系统闭环传递函数 设反馈系数为
1/K h 100 / s Φ( s ) = = 100 0.01 1+ s +1 × Kh s Kh 0.01 T= Kh
故
自动控制原理
第三章 时域分析法
调节时间
0.03 ts =3T = Kh
要求t 要求 s=0.1 s，代入上式得 ，
0.03 0.1= Kh
所以
K h =0.3
自动控制原理
第三章 时域分析法
实际阻尼系数 临界阻尼系数
ξ=
F F = = Fc 2 JK
闭环传递函数写成如下一般形式
2 ωn Φ( s ) = 2 2 s + 2ξωn s + ωn

自动控制原理 第三章课后答案

自动控制原理 第三章课后答案

3-1设温度计需要在一分钟内指示出响应值的98%，并且假设温度计为一阶系统，求时间常数T 。

如果将温度计放在澡盆内，澡盆的温度以10C/min 的速度线性变化。

求温度计的误差。

解：c(t)=c(∞)98%t=4T=1 min r(t)=10te(t)=r(t)-c(t)c(t)=10(t-T+e )-t/T =10(T-e )-t/T =10T =2.5T=0.253-2电路系统如图所示，其中F C k R k R μ5.2,200,20110=Ω=Ω=。

设系统初始状态为零，试求：系统的单位阶跃响应8)()(1=t u t u c c 以及时的1t 值；解:R 1Cs+1R 1/R 0G (s )= u c (t)=K(1–e t T -)KTs +1=T=R 1C=0.5 K=R 1/R 0=10=10(1–e -2t )8=10(1–e -2t)0.8=1–e-2te -2t =0.2 t=0.8g(t)=e -t/T T Kt 1=0.8=4u c (t)=K(t-T+T e -t/T )=4R(s)=1s 2R(s)=1R(s)=1s 3T 2=K(s s+1/T+T s 2-1s 3-T 2)=1.2Ts 1s 3K +1U c (s)= -0.5t+0.25-0.25e -2t )12t 2u c (t)=10(3-3已知单位反馈系统的开环传递函数为)5(4)(+=s s s G 试求该系统的单位阶跃响应。

解:C(s)=s 2+5s+4R(s)4s(s+1)(s+4)C(s)=4R(s)=s1s+41+1/3s =4/3s +1-c(t)=1+ 4e 13-4t -t 3-e3-4已知单位负反馈系统的开环传递函数为 )1(1)(+=s s s G 试求该系统的上升时间r t 。

、峰值时间p t 、超调量%σ和调整时间s t 。

1s(s+1)G(s)=t p =d ωπ 3.140.866= =3.63t s = ζ3ωn=6t s = ζ4ωn =8解:C(s)=s 2+s+1R(s)12= 1ωn 2ωn ζ=1ζ=0.5=1ωn =0.866d ω= ωn 2 ζ1-=60o -1ζ=tg β21-ζt r =d ωπβ-= 3.14-3.14/30.866=2.42σ%=100%e -ζζπ1-2=16%e -1.83-6已知系统的单位阶跃响应为t te et c 10602.12.01)(---+= ，试求：（1）系统的闭环传递函数；（2）系统的阻尼比ζ和无阻尼自然震荡频率n ω；解:s+60+C(s)=0.21s 1.2s +10-s(s+60)(s+10)=600=s 2+70s+600C(s)R(s)600R(s)=s 12=600ωn2ωn ζ=70ζ=1.43=24.5ωn3-7设二阶控制系统的单位阶跃响应曲线如图所示，如果该系统为单位负反馈系统，试确定其开环传递函数。

自动控制原理及应用课件(第三章)

自动控制原理及应用课件(第三章)

即 s1,2=- n 临界阻尼情况的单位阶跃响应为
C(s) n2 1 (s n )2 s
设部分分式为
C(s) A1 A2 A3
s s n (s n )2
式中，待定系数分别为A1=1，A2=-1，A3=-n
于是有
C(s) 1 1 n s s n (s n )2
取C(s)的拉普拉斯逆变换，则有
R(s) A0 s2
3．抛物线信号 抛物线信号的数学表达式为
0
r(t)
1 2
A0t
2
(t 0) (t ≥ 0)
式中，A0为常数。
当A0=1时，称为单位抛物线信 号，也称为单位加速度信号。
抛物线信号如图所示，它表示
随时间以等加速度增长的信号。
图3-3 抛物线信号
抛物线信号在零初始条件下的拉普拉斯变换为
R(s) A0 s3
4．脉冲信号 脉冲信号是一个脉宽极短的信号，其数学表达式为
0 t < 0；t >
r
(t
)
A0
0<t <
脉冲信号如图3-4（a）所示，
当A0=1时，若令脉宽 →0，则
称为单位理想脉冲函数，记作
(t)，单位脉冲函数如图3-4（
b）所示， (t)函数满足
(t)
0
(t 0) (t 0)
闭环传递函数为 系统特征根为
(s) n2 s2 n2
s1,2 jn
无阻尼情况的单位阶跃响应为
C(s) n2 1 1 s s2 n2 s s s2 n2
取C(s)的拉普拉斯逆变换，则有
c(t) 1 cosnt (t ≥ 0)
系统阶跃响应曲线为等幅振荡，超调量为100％，振荡频率为 自然振荡角频率 n 。由于曲线不收敛，系统处于临界稳定状 态。

自动控制原理第3章


arctan 9 3
1.25rad
则响应为 y(t) 1 2 e 3t 0.95e j1.25e (1 j)t 0.95e j1.25e (1 j)t 5
1 2 e 3t 0.95e t e j(t1.25) e j(t1.25) 5 1 2 e 3t 1.9e t cos(t 1.25)
平衡位置：力学系统中，当系统外的作 D
用力为零时，位移保持不变的位置。
此时位移对时间的各阶导数为零。 A点和D点是平衡位置， B点和C点不是平衡位置。
O
B
C
A
稳定的平衡位置：若在外力作用下，系统偏离了平衡位置，但 当外力去掉后，系统仍能回到原来的平衡位置，则称这一个平 衡位置是稳定的平衡位置。
所以A点是稳定的平衡位置，而D点不是稳定的平衡位置。
注意：输入信号为非单位阶跃信号时，依齐次性，响应 只是沿纵轴拉伸或压缩，基本形状不变。所以ts 、 tr、 tp 、 σ并不发生变化。
当t < ts时，称系统处于动态；当t > ts时，称系统处于稳态。
3.2 一阶系统的单位阶跃响应
一阶系统（惯性环节）
G(s) 1 Ts 1
单位阶跃响应为
t
y(t) 1 e T
设零初始状态，y(0)=0 r (t)=1(t)时，y(t)的响应曲线为
y(t)
1.05 y(∞)
ym
y(∞)
0.95 y(∞)
tr tp
ts
ym：单位阶跃响应的最大偏离量。 y(∞)：单位阶跃响应的稳态值。并非期望值。 ts：调节时间。y(t)进入0.5*y(∞)或0.2* y(∞)构成的误差带 后不再超出的时间。 tr：上升时间。 y(t) 第一次达到 y(∞)的时间。

自动控制原理第三章


(1)延迟时间 t d ：曲线第一次达到终值一半 所需的时间。 (2)上升时间 t ：响应曲线从终值10％上 升到90％所需的时间；对于欠阻尼系统 可定义为响应从零第一次上升到终值所 需的时间。 (3)峰值时间 t p ：响应超过终值到达第一个 峰值所需的时间。 ) (4)超调量M ：响应的最大偏离量c(t 与终值 c (∞ ) 之差的百分比，即
图3-10
0 < ζ < 1 时的单位阶跃响应
0 < ζ < 1情况下二阶系统单位阶跃响应的暂态
性能的各项指标。 ①上升时间 tr ：是指在暂态过程中第一次达 到稳态值的时间。
π − arctan
tr = 1−ζ 2
ζ
2
ωn 1 − ζ
=
1
ωd
(π − arctan
1− ζ 2
ζ
)
tp
②峰值时间t p ：是指响应由零上升到第一个峰 值所需的时间。
3.3.2 单位阶跃响应
对于单位阶跃输入r(t)=1(t)，R(s)=1/s，得到系统 的输出为
2 ωn s + 2ζωn 1 C ( s) = Φ( s) R( s) = = − 2 2 2 2 s ( s + 2ζωn s + ωn ) s s + 2ζωn s + ωn
当 ζ 为不同值时，所对应的响应具有不同 的形式。 （1）当 ζ = 0时，为零阻尼情况，系统的输出 为 ω 1 s
(t ≥ 0)
1 − t T
e(t ) = r (t ) − c(t ) = Tt − T (1 − e
2
)
表3-1 一阶系统对典型输入信号的响应
传递函数 输入信号 输出响应

方晓柯自动控制原理电子教案第三章时域分析法


12 n
若取=2%得ts: ≥
12 n
当阻尼比 <0.8时，近似取为:
ts
3
n
ts
4
n
(=5 %)
( =2%)
当 一定时，以为自变量，对 求极值，可得当 =0.707时，
取得极小值，即系统的响应速度最快。
设计二阶系统时，一般取＝0.707作为最佳阻尼比。
5.振荡次数 N
振荡次数N是在0≤t≤ts时间间隔内，系统的单位阶跃曲线c(t)
(5)控制系统中各元件的参数在系统工作过程中可能产生变化。
因此，对于一个实际系统，只知道系统是稳定的还不够，还要了 了解系统的稳定程度，即系统必须具有稳定性储备。系统离开临 界稳定状态的程度，反映了系统稳定的程度。
3.4.2 稳定的条件
线性定常系统的微分方程：
a0
d nct
dt n
a1
d n1c t
d
1 2 (s n )2 d 2
c(t) 1 ent
1
1 2
s in(d t
arctg
1 2
)
系 统 的 响 应 由 稳 C(t) 态分量和动态分 量两部分组成， 稳态分量的值等 于1，动态分量是
一个随时间t的增
长而衰减的振荡 过程。
c(t) 1 ent
1
1 2
s in(d t
arctg
1 2
)
2.临界阻尼状态（=1）
Cs
n 2
n 2
s(s 2 2n s n 2 ) s(s 2 2n s n 2 )
n 2 s(s n )2
A1 s
A2
s n
(s
A3
n
)2

自动控制原理-第3章


响应曲线如图3-2所示。图中
为输出的稳态值。
第三章 线性系统的时域分析 法
图 3-2 动态性能指标
第三章 线性系统的时域分析 法
动态性能指标通常有以下几种:
延迟时间td: 指响应曲线第一次达到稳态值的一半所需的时间
上升时间tr: 若阶跃响应不超过稳态值, 上升时间指响应曲线从 稳态值的10%上升到90%所需的时间; 对于有振荡的系统, 上升时 间定义为响应从零第一次上升到稳态值所需的时间。上升时间越 短, 响应速度越快。
可由下式确定: (3.8)
振荡次数N: 在0≤t≤ts内, 阶跃响应曲线穿越稳态值c(∞)次 一半称为振荡次数。
上述动态性能指标中, 常用的指标有tr、ts和σp。上升时间tr 价系统的响应速度; σp评价系统的运行平稳性或阻尼程度; ts是同
时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。 应当指出, 除简单的一 、二阶系统外, 要精确给出这些指标的解析表达式是很困难的。
中可以看出, 随着阻尼比ζ的减小, 阶跃响应的振荡程度加剧。 ζ =0时是等幅振荡, ζ≥1时是无振荡的单调上升曲线, 其中临界阻尼 对应的过渡过程时间最短。 在欠阻尼的状态下, 当0.4＜ζ＜0.8时过
渡过程时间比临界阻尼时更短, 而且振荡也不严重。 因此在 控制工程中, 除了那些不允许产生超调和振荡的情况外, 通常都希
第三章 线性系统的时域分析法 4. 脉冲函数 脉冲函数(见图3-1(d))的时域表达式为
(3.4)
式中,h称为脉冲宽度, 脉冲的面积为1。若对脉冲的宽度取趋于 零的极限, 则有
(3.5) 及
(3.6)
称此函数为理想脉冲函数, 又称δ函数(见图3-1(e))。
第三章 线性系统的时域分析 法
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(s)
C (s) R (s)

75 s 7 s 75
2
r ( t ) 1( t )
R (s)
1 s
75
C ( s ) R ( s ) ( s )
s ( s 7 s 75 )
2
c ( t ) 1 1 . 1e
3 .5 t
sin( 7 . 9 t 66 )
r(t)
∞
t=0
R ( s ) L [ r ( t )] 1
0
t
正弦信号
0 r(t)=
A sin t
2
t<0 t≥0
A s
2
r(t)
0
t
R ( s ) L [ r ( t )]
二、控制系统的性能指标
系统的性能指标分为动态性能指标和稳态性 能指标。 阶跃输入对系统来说
1、动态性能指标 是描述稳定的系统在单位阶跃函数作用下， 动态过程随时间变化的指标。 控制系统
0
v0t
t<0
t≥0
v0 s
2
r(t)
v0
R ( s ) L [ r ( t )]
0
1
t
抛物线信号 当a0=1 时，称为单位抛物线信号。
r(t)= 0 t<0 1 a t2 t≥0 2 0
a0 s
3
r(t)
a0/2 0
1
R ( s ) L [ r ( t )]
t
单位脉冲信号
δ(t) = 0 t≠0
单位脉冲响应
,T
时间常数
k (t )
1 T

t T
e
(画图时取T=0.5)
2
k (0) 1 T
k ( 0 )
1 T
2
0.5
单位阶跃响应
无零点的一阶系统 ( s)
1 Ts 1
r(t)=1
1 0.5
h(t)=1-e-t/T
时间 常数 T越 小， 调节 时间 越短
0.632
h(T ) 0.632h() h(2T ) 0.865h() h(3T ) 0.95h() h(4T ) 0.982h()
反应系统反应输入信号的准确性。
第二节 一阶系统性能分析
一、一阶系统的数学模型
微分方程
令 RC T
R + + i ur uc -
RC
du c
T
du
dt
c
uc ur
C
dt
uc ur
用一阶微分方程描述的系统 闭环传递函数分母 s最高次为1次的系统
闭环传递函数
( s) C ( s) R( s ) 1 Ts 1
当t趋于无穷时输出的表现方式。表征输出量复 现输入量的程度。
3.1
阶跃信号
r(t)=
系统性能指标
r(t)
一、典型输入信号
R0
0
R0
t<0
t≥0
R0 s
0
t
R ( s ) L [ r ( t )]
当 R0 =1 时，单位阶跃信号:ε(t)或者1(t)
斜坡信号
r(t)=
当 v0=1 时，称为单位斜坡信号。0Biblioteka 0.511.5
单位斜坡响应
(s) 1 Ts 1
T
t / T
r (t ) t
c(t ) t T Te
0
0.5
达到稳态时，c(t)和r(t)具有相同的斜率，在时间上滞后 T，存在稳态误差 ess T
结论
一阶系统能跟踪斜坡输入信号。稳态时，输入和输 出信号的变化率完全相同；
k
H H
R (s)
K s
k
C (s)
KH
r (t ) t
e
c(t ) t T Te
t / T
1 、3个图各如何求T？ 3 、r(t)=vt时，ess=？
2 、调节时间ts=？ 5 、k≠1时
4、求导关系
K 例 一阶系统的结构如图， 100 ，K 0 . 1,试求 系统的调节时间 t s ( 5 %) ；如果要求 t s 0 . 1 s ， 求反馈系数 K 。
但是，稳态时输出信号在数值上要滞后于输入信号 一个时间常数T，即稳态误差。 减小时间常数T，不仅可以提高响应速度，而且还 可以减少稳态误差。
小 结
(s)
1 Ts 1
r (t ) (t )
k (t ) 1 T
t T
r (t ) 1(t )
h(t ) 1 e
t T
T——时间常数
“尾一”
闭环传递函数
R(s)
( s) C ( s) R( s ) 1 Ts 1
E(s)
_
1 2s+3
C(s)
开环传递函数
G ( s) 1 Ts
闭环传递函数为
( s) C ( s) R( s ) 1 2s 4
R(s)
_
1 Ts
C(s)
时间常数T 闭环极点

响应表达式
c(t )
r (t ) 1(t )
响应曲线
t
时间响应反映了在典型输入信号作用 下，系统从初态到终态的响应过程。
典型信号作用下，任何一个控制系统的时间响应都应 由动态过程和稳态过程两部分组成。
（1）动态过程（过渡过程、瞬态过程）
输出量从初态到终态的响应过程。可能衰减、发 散或等幅震荡。只有衰减的系统才是稳定的。 （2）稳态过程
tt
（1）上升时间 （2）峰值时间 （3）调节时间
tr
t r , t p , t s 反应系统的快速性
输出响应从零第一次上升到稳态值 h ( ) 所用的时间。
tp
输出响应第一次到达最大值所用的时间。
ts
在稳态值附近取一误差带，响应曲线开始进入并保持在 误差带内所需的最小时间。 5 % h ( ) 或 2 % h ( )
（4）超调量
%
% 反应系统的平稳性
响应曲线超出稳态值的最大偏差与稳态值之比。
%
h (t p ) h ( ) h ( ) 100 %
动态性能指标定义2
h(t)
0.95 0.05
调节时间 ts 上升时间tr
t
2、稳态性能指标
e 稳态误差（ ）：输出的终值与输入终值之差。
ss
通常在阶跃函数、斜坡函数和加速度函数作用下 进行测量，若时间趋于无穷时，系统不等于输入 或者输入的确定函数，则系统存在稳态误差。
例:已知如图所示的一阶系统结构图，求系 统的调节时间ts.
R (s)
2
C (s)
2
-
s
求时间常数T 时，把闭环传 递函数的分母 写成“尾一” 形式
例：已知某一阶系统的极点分布图如图所示， 试求时间常数T
j
-4
一阶系统时域分析
无零点的一阶系统 ( s )
r (t ) (t )
1 Ts 1
具有阻尼振荡的阶跃响应的系统 （多数实际系统为此类）
是最严峻的工作状态
没有阻尼振荡的阶跃响应的系统
动态性能指标定义1
h(t) h(t)
A A 超调量σ% = 超调量σ% = A 100% A 100% B B
+0.05 -0.05
峰值时间tpp B 峰值时间t B 上 升 上 升 时间tr r 时间t 调节时间t 调节时间ts s
第三章 时域分析法
3.1 系统性能指标 3.2 一阶系统性能分析 3.3 二阶系统性能分析 3.5 控制系统的稳定性分析 3.6 控制系统的稳态误差分析
时域分析法——在时间域内研究系统控制性能 的方法。
通过拉氏变换，直接求解系统的微分方程，得到系统
的时间响应，然后根据响应表达式和响应曲线分析系
统动态性能和稳态性能。 时间响应反应了在典型输入信号作用下，系统从初态 到终态的响应过程。