2018北京市第三十五中学高三(上)期中数 学(文)

北京市第三十五中学2017-2018年度第一学期期中试卷高三数学（文科）I卷一、选择题（共8个小题，每题5分，共40分）1. 已知集合，，则（）．A. B.C. D.【答案】D∴或，即，故选．2. 下列函数中，值域为的偶函数是（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：B，D不是偶函数，A是偶函数，但值域为，C是偶函数，值域也是．故选C．考点：函数的奇偶性与值域．3. 如图，正方形中，为的中点，若，则的值为（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：，又,所以,又,那么.故本题选A．考点：1.平面向量的线性运算；2.平面向量的基本定理.4. 已知，表示两条不同的直线，，表示两个不同的平面，且，，则下列说法正确的是（）．A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】B【解析】试题分析：A：，平行或异面，故A错误；B：根据面面垂直的判定可知B正确；C：根据面面平行判定可知C错误；D：根据面面垂直的性质可知D错误，故选B．考点：空间中直线平面的位置关系的判定与性质．5. 一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的表面是（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体是一个直四棱柱，底面是一个上下边长分别为，，高为的直角梯形，棱柱的高为，所以该几何体的表面积．故选．点睛：(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．6. 等比数列中，，则“”是“”的（）．A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若，∴，∴，若，则，∴不成立；若成立，则，又，∴，∴，∴成立，综合可知，“”是“”必要而不充分条件，故选B.7. 已知函数则下列结论正确的是（）．A. ，B. ，C. 函数在上单调递增D. 函数的值域是【答案】D【解析】作出函数的图象，由图可知函数是奇函数，即对，，故错误；当时，满足，此时，不成立，故项错误；函数在上是减函数，在上是增函数，在上是减函数，故项错误；函数的值域是，故项正确．故选．点睛：研究函数的奇偶性和单调性，可做出函数的图象，图象关于y轴对称时函数为偶函数的充要条件，图像关于原点对称是函数为奇函数的充要条件.对于正弦函数有.8. 如图：正方体中，为底面上的动点，于，且，则点的轨迹是A. 线段B. 圆弧C. 椭圆的一部分D. 抛物线的一部分【答案】A【解析】如图，过做，垂足为，连接.因为平面，平面，故.又因，故平面，而平面，所以.因为，故平面，则为直角三角形且，而，故，故，故为的角平分线，故为定点，又，故的轨迹为过且垂直于的线段.选A.点睛：题设中给出了，我们需要把这种垂直关系转化为平面中的的某种几何性质，故在平面中作，通过空间中垂直关系的转化得到为定点，从而在一条定线段上.II卷二、填空题（共6小题，每题5分，共30分）9. 已知复数满足，那么__________．【解析】试题分析：由z（1+i）=2﹣4i，得．故答案为：﹣1﹣3i．考点：复数代数形式的乘除运算．10. 已知平面向量，，与的夹角为，则__________．【答案】2【解析】因为，所以．故答案为：2.11. 在中，角，，所对的边分别为，，．若，，，则__________；的面积为__________．【答案】(1). (2).【解析】∵，，，∴，∴，，∴的面积．12. 以下茎叶图记录了甲、乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩．乙组记录了有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以表示．（）若甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，则__________．（）乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率为__________．【答案】(1). 1(2).【解析】（）若甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，则，解得．（）设“乙组平均成绩超过甲组平均成绩”为事件，依题意，，，共有种可能，由（）可知，当时甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，所以当，，时，乙组平均成绩超过甲组平均成绩，共有种可能，故乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率．13. 函数在区间上的最大值是__________．【答案】【解析】∵，，∴当时，，当，，∴函数在区间上单调递增，在上单调递减，∴当时，取最大值为．故答案为：.点睛：利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用或求单调区间；第二步：解得两个根；第三步：比较两根同区间端点的大小；第四步：求极值；第五步：比较极值同端点值的大小．14. 已知、两所大学的专业设置都相同（专业数均不小于），数据显示，大学的各专业的男女生比例均高于大学的相应专业的男女生比例（男女生比例是指男生人数与女生人数的比）．据此，甲同学说：“大学的男女生比例一定高于大学的男女生比例”；乙同学说：“大学的男女生比例不一定高于大学的男女生比例”；丙同学说：“两所大学的全体学生的男女生比例一定高于大学的男女生比例”．其中，说法正确的同学是__________．【答案】乙【解析】根据大学的各专业的男女比例均高于大学的各专业的男女比例，可知甲、丙不一定正确，所以大学的男女比例有可能等于大学的男女比例，即大学的男女生比例不一定高于大学的男女生比例，故说法正确的同学是乙．点睛：本题考查了合情推理，对于合情推理主要包括归纳推理和类比推理．数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向．合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确．而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下)．三、解答题（共6道题，共80分．每道题要写出必要的演算步骤和计算过程）15. 已知函数的最小正周期为．（）求的值及的单调递增区间．（）求在区间的最值．【答案】（1），单调递增区间是，；（2）最小值0，最大值.【解析】试题分析：（1）由题意利用三角恒等变换化简f（x）的解析式，再利用正弦函数的周期性，求得ω的值，由题意利用正弦函数的单调性，求得f（x）的单调递增区间．（Ⅲ）利用正弦函数的定义域，得，从而了利用正弦函数的性质求得函数f（x）的值最值. 试题解析：（）∵函数的最小正周期为，∴，，∴，令，，得，，∴函数的单调递增区间是，．（）∵，∴，∴当时，即时，取得最小值，，当时，即时，函数取得最大值，．16. 已知等比数列的前项的和，且，，成等差数列．（）求的通项公式．（）设是首项为，公差为的等差数列，其前项和为，求满足的最大正整数．【答案】（1）；（2）13.【解析】试题分析：（Ⅰ）根据题意得到等比数列的首相和公比的方程和，联立求得等比数列中的，的通项公式求得结论；（Ⅱ）根据（Ⅰ）得到的，进而求得，显然数列是等差数列，求得其前项和，解不等式，进而求得满足的最大正整数为．试题解析：（Ⅰ）设的公比为，因为成等差数列，所以．整理得，即，解得．又，解得．所以．（Ⅱ）由（Ⅰ）得,所以．．所以由，得，整理得，解得．故满足的最大正整数为．考点：1．等比数列的同项公式；2．等差数列的前项和公式；3．解不等式．17. 某学校为了解高三年级学生寒假期间的学习情况，抽取甲、乙两班，调查这两个班的学生在寒假期间每天平均学习的时间（单位：小时），统计结果绘成频率分布直方图（如图）．已知甲、乙两班学生人数相同，甲班学生每天平均学习时间在区间的有人．（）求直方图中的值及甲班学生每天平均学习时间在区间的人数．（）从甲、乙两个班每天平均学习时间大于小时的学生中任取人参加测试，则人中恰有人为甲班同学的概率．【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：（I）由频率分布直方图中频率之和即各小矩形面积之和为列出方程，可求的值；先由甲班学习时间在区间的有人，计算甲班的学生人数为，用甲班总人数乘以学习时间在区间的频率即可；（II）先计算乙班学习时间在区间的人数为人，由（I）知甲班学习时间在区间的人数为3人，两班中学习时间大于小时的同学共人，分别计算从这人中选取人甲班人数分别为时的概率，即可得到概率分布列及期望.试题解析：（I）由直方图知，，解得，因为甲班学习时间在区间的有8人，所以甲班的学生人数为.所以甲、乙两班人数均为40人，所以甲班学习时间在区间的人数为（人）.（II）乙班学习时间在区间的人数为（人）.由（I）知甲班学习时间在区间的人数为3人.在两班中学习时间大于10小时的同学共7人，的所有可能取值为0,1,2,3.，，，.所以随机变量的分布列为：.考点：1.频率分布直方图；2.用样本估计总体；3.离散型随机变量的概率分布列与期望.【名师点睛】本题考查频率分布直方图、用样本估计总体、离散型随机变量的概率分布列与期望，属中档题；离散型随机变量的均值与方差是高中数学的重要内容，也是高考命题的热点，高考对离散型随机变量的均值与方差的考查主要有以下几个命题角度：1.已知离散型随机变量符合条件，求均值与方差；2.已知离散型随机变量的均值与方差，求参数值；3.已知离散型随机变量满足两种（或两种以上）方案，试作出判断.18. 如图，在四棱锥中，底面，，，，为棱的中点．（）求证：．（）求证：平面平面．（）试判断与平面是否平行？并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）见解析（3）见解析.【解析】试题分析：（1）PD⊥底面ABCD，DC⊂底面ABCD⇒PD⊥DC．又AD⊥DC，AD∩PD=D故CD⊥平面PAD．又AE⊂平面PAD，得CD⊥AE．（2）由AB∥DC，CD⊥平面PAD，⇒AB⊥平面PAD．又由AB⊂平面PAB，得平面PAB⊥平面PAD．（3）PB与平面AEC不平行．假设PB∥平面AEC，由已知得到，这与矛盾.试题解析：（）证明：∵底面，底面，∴，又，，∴平面，∵平面，∴．（）证明：，平面，∴平面，又平面，∴平面平面．（）与平面不平行，假设平面，设，连结，则平面平面，又平面，∴，∴在中有，由是中点可得，即，∵，∴，这与矛盾，所以假设不成立，即与平面不平行．19. 设函数，，，记．（）求曲线在处的切线方程．（）求函数的单调区间．（）当时，若函数没有零点，求的取值范围．【答案】（1）；（2）见解析；（3）.【解析】试题分析：（1）求曲线在处的切线方程，由导数的几何意义得，对函数求导得，既得函数在处的切线的斜率为，又，得切点，由点斜式可得切线方程；（2）求函数的单调区间，由题意得，，求函数的单调区间，先确定函数的定义域为，由于含有对数函数，可对函数求导得，，由于含有参数，需对讨论，分，两种情况，从而得函数的单调区间；（3）当时，若函数没有零点，即无解，由（2）可知，当时，函数的最大值为，只要小于零即可，由此可得的取值范围．试题解析：(1)，则函数在处的切线的斜率为.又，所以函数在处的切线方程为,即4分（2），，（）.①当时，，在区间上单调递增；②当时，令，解得；令，解得.综上所述，当时，函数的增区间是；当时，函数的增区间是，减区间是. 9分（3）依题意，函数没有零点，即无解.由（2）知，当时，函数在区间上为增函数,区间上为减函数，由于，只需，解得.所以实数的取值范围为. 13分考点：函数与导数，导数的几何意义，函数的单调性，函数的零点．20. 已知函数，．（）当时，存在，使得，求的取值范围．（）当时，求证：在上为增函数．（）若在区间上有且只有一个极值点，求的取值范围．【答案】（1）；（2）见解析；（3）.【解析】试题分析：（1）存在，使得，等价于，求导利用函数单调性求最值即可；（3）设，则，分，和讨论即可.试题解析：（）存在，使得，等价于，当时，，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，又，，∴，故，即的取值范围为．（）证明：当时，，设，则，故在上是减函数，在上是增函数，所以，所以当时，恒成立，所以在上为增函数．（），设，则，①当时，恒成立，故在上为增函数，而，，故函数在上有且只有一个零点，故这个零点为函数在区间上的唯一的极小值点．②当时，时，，故在上为增函数，又，故在上为增函数，所以函数在区间上没有极值．③当时，，当时，总有成立，即在上为增函数，故函数在区间上没有极值．综上所述，．。

北京市第三十五中学2017-2018年度第一学期期中试卷高一数学一、选择题（共12个小题，每题4分，共48分．每小题只有一个正确选项，请选择正确答案填在机读卡相应的题号处）1. 设集合，集合，那么（）．A. B. C. D.2. 已知集合到的映射，那么集合中元素的原象是（）．A. B. C. D.3. 下列四个图形中，不是．．以为自变量的函数的图象是（）．A. B.C. D.4. 下列函数中，是偶函数的是（）．A. B. C. D.5. 已知函数，那么的值（）．A. B. C. D.6. 在同一坐标系中，函数与的图象之间的关系是（）．A. 关于轴对称B. 关于轴对称C. 关于原点对称D. 关于直线对称7. 三个数，，的大小顺序是（）．A. B. C. D.8. 的值是（）．A. B. C. D.9. 函数一定存在零点的区间是（）．A. B. C. D.10. 满足的实数的取值范围是（）．A. B. C. D.11. 二次函数的最小值为，则，，的大小关系是（）．A. B.C. D.12. 如图给出了某种豆类生长枝数（枝）与时间（月）的散点图，那么此种豆类生长枝数与时间的关系用下列函数模型近似刻画最好的是（）．A. B. C. D.二、填空题（共6个小题，每题4分，共24分．请将正确答案填在答题纸相应的题号处）13. 集合，写出的所有子集__________．14. 计算__________．15. 函数单调减区间是__________．16. 实数，满足，则的最大值是__________．17. 有长的篱笆材料，如果利用已有的一面墙（设长度够用）作为一边，围成一块矩形菜地，则这块菜地面积的最大值为_____．18. 年之前，人们普遍认为函数是用数学符合和运算组成的表达式，德国数学家狄利克雷放弃了这个观点，他抓住了函数概念的本质——“对应规律”，提出了是和之间的一种对应的现代数学观点．他还创造了著名的狄利克雷函数，即，它的值域是__________，它的奇偶性是__________．三、解答题（共3个小题，共28分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请将正确答案填在答题纸相应的题号处）19. 集合，集合．（）求，．（）若全集，求．20. 已知函数，回答下列问题．（）定义域：__________，值域：__________．（）奇偶性：__________．（）证明：函数在上是减函数．（）画出草图（直接画在答题纸相应处，尽量规范精确）．21. 已知定义域为的函数是奇函数．（）求的值．（）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围．22. 如图，函数的图象是折线段，其中，，的坐标分别为，，，则__________；不等式的解集为__________．23. 定义在上的奇函数是增函数，且，则的取值范围为__________．24. 若函数①当时，若，则__________．②若的值域为，则的取值范围是__________．25. 已知函数由下表给出：其中等于在，，，，中所出现的次数，则__________；__________．26. 已知函数对于任意实数，都有成立．（）求函数的零点，写出满足条件的的集合．（）求函数在区间上的值域．27. 已知函数．（）求函数的定义域．（）判断函数的奇偶性，并证明．28. 对于函数，若，则称为的“不动点”；若，则称为的“稳定点”．函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和，即，．（）设函数，求集合和．（）求证：．（）设函数，且，求证：．。

2018北京市第三十五中学高三（上）期中数 学（文）出题人:傅红缨 审核人:钟竺 2018.11班级 姓名 学号题号I 卷II 卷 总分 一 二 15 16 17 18 19 20得分试卷说明：试卷分值 150，考试时间 120分钟，I 卷为选择题，包括一个大题，共8个小题，II 卷为填空题和解答题，包括第9至第20题.I 卷一．选择题（共8个小题，每题5分，共40分）1．已知集合{|24}xA x =>，{|(1)(3)0}B x x x =--<，则AB =（ ）（A ）{}|1x x > （B ）{}|23x x << （C ）{}|13x x << （D ）{}|21x x x ><或 2．下列函数在∞∞（-,0）(0,+)上既是偶函数，又在∞(0,+)上单调递增的是（ ） （A ）2y x =- （B ）1y x -= （C ）2log y x = （D ）2xy =-3．如图, 正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，若AE AB AC λμ=+，则λμ+的值为（ ） （A ）1- （B ）1 （C ）12-（D ）124．已知,m n 表示两条不同的直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） （A ）若//m α，//n α，则//m n （B ）若//m α，m n ⊥，则n α⊥ （C ）若m α⊥，m n ⊥，则//n α （D ）若m α⊥，//m n ，则n α⊥ 5．.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） （A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）86．已知非零平面向量,a b ，则“+=+a b a b ”是“存在非零实数λ，使λb =a ”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件7．已知函数, 1,()πsin , 1,2x x f x x x ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩ 则下列结论正确的是（ ） EABCDII 卷二．填空题（共6道小题，每题5分，共30分）9．设向量(1,0),(1,)a b m ==-，若()a ma b ⊥-，则m = .10. 已知数列{}n a 为等比数列，11a =，48a =，则{}n a 的前5项和5S = . 11. 在等腰∆ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若3a =，2c =，7cos 9C =，则b = ；∆ABC 的面积为 .12．如图：茎叶图记录了甲、乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩． 已知甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，则a = ； 甲、乙两组的成绩方差较大的是 组. 13. 若函数()cos2sin f x x a x =+在区间(,)62ππ上是减函数，则a 的取值范围是 . 14. 对于数列{}n a ，若*,()m n m n ∀∈≠N ，均有m na a t m n-≥-（t 为常数），则称数列{}n a 具有性质()P t . （i ）若数列{}n a 的通项公式为2n a n =，且具有性质()P t ，则t 的最大值为______； （ii ）若数列{}n a 的通项公式为2n aa n n=-，且具有性质(7)P ，则实数a 的取值范围是______.（A ）000,()()x f x f x ∃∈-≠-R （B ）,()()x f x f x ∀∈-≠R （C ）函数()f x 的值域是[1,1]- （D ）函数()f x 在ππ[,]22-上单调递增8．地铁某换乘站设有编号为 A ，B ，C ，D ，E 的五个安全出口．若同时开放其中的两个安 全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下：安全出口编号 A ，B B ，C C ，D D ，E A ，E 疏散乘客时间（s ）120220160140200则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是 （A ）A（B ）B （C ）D（D ）E甲组乙组 890 1 a922 21 1正视图 侧视图俯视图1 1成绩（分）频率组距y0.0100.040x 0.0161009080706050O三．解答题（共6道题，共80分.每道题要写出必要的演算步骤和计算过程）15. （本小题共13分）已知{}n a 是等差数列，满足143,12a a ==，数列{}n b 满足144,20b b ==，且{}n n b a -为 等比数列．（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n b 的前n 项和．16. （本小题共13分）已知函数2π()2sin cos(2)3f x x x =-+．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期及单调增区间；（Ⅱ）求证：当π[0,]2x ∈时，1()2f x -≥．17．（本小题共13分）为普及宪法知识，某中学举行了首届“宪法知识大赛”活动.为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n ）进行统计.按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50,60)，[90,100]的数据）．（Ⅰ）求样本容量n 和频率分布直方图中的x ，y 的值；（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取两名学生参加“全民宪法知识大赛”，求所抽取的两名学生中至少有一人得分在[90,100]内的概率．5 1 2 3 4 5678 6 7 89 3 418. （本小题满分14分）如图，在四棱锥S-ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠BAD =60°，平面SAD ⊥平面ABCD ，SA=SD ，E ，P ，Q 分别是棱AD ，SC ，AB 的中点．（Ⅰ）求证：PQ ∥平面SAD ； （Ⅱ）求证：AC ⊥平面SEQ ；（Ⅲ）如果SA=AB=2，求三棱锥S -ABC 的体积．19. （本小题满分13分） 已知函数()ln f x x x =（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间和极值；（Ⅱ）若()(1)f x a x x≤-在区间[]1,e 上恒成立，求a 的取值范围.20. （本小题满分14分）已知函数2()222xf x ax x =---e（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）当0a ≤时，求证：函数()f x 有且只有一个零点；（Ⅲ）当0a >时，写出函数()f x 的零点的个数.（只需写出结论）CABDSQE P。

北京市第三十五中学2017-2018年度第一学期期中试卷高二数学2017.11班级姓名学号试卷说明：试卷分值150，考试时间120分钟，请用铅笔作图。

I 卷有三个大题，共19个小题，II 卷有两个大题，共8个小题。

I 卷（必修二模块考试．．．．．．．）一．选择题（共10个小题，每题4分，共40分。

每小题只有一个正确选项，请选择正确答案填在机读卡相应的题号处）1．圆()1122=+-y x 的圆心和半径分别为（）A ．1),1,0( B.1),1,0( - C.1),0,1( - D.()1,0,1 2．棱长都是1的三棱锥的表面积为（）A.3 B.23 C.33D.33．平行线20x y -=与250x y --=之间的距离为（）A ．5B 3C 5D ．24．已知直线⊥l 平面α，直线⊂m 平面β，下列四个命题中正确的是（）（1）m l ⊥⇒βα//（2）m l //⇒⊥βα（3）βα⊥⇒m l //（4）βα//⇒⊥m l A ．（1）与（2）B ．（3）与（4）C ．（2）与（4）D ．（1）与（3）5．圆221:4470C x y x y ++-+=与圆222:410130C x y x y +--+=的位置关系是（）A ．外离B ．相交C ．外切D ．内切6．一个三棱锥的三视图如图所示，则三棱锥的体积为（）A.53B.103C.203D.2537．已知线段AB 的中垂线方程为10x y --=且(1,1)A -，则B 点坐标为()A ．(2,2)-B ．(2,2)-C ．(2,2)--D ．(2,2)8．若过点(3，1)总可以作两条直线和圆22(2)()(0)x k y k k k -+-=>相切，则k 的取值范围是（）A ．（0，2）B ．（1，2）C ．（2，+∞）D ．(0，1)∪(2，+∞)9．正方体的内切球和外接球的半径之比为（）A.3:1 B.3:2 C.2:3D.3:310.如图，设P 为正四面体A BCD -表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P 到四个顶点的距离组成的集合记为M ，如果集合M 中有且只有2个元素，那么符合条件的点P 有（）BADC .P（A ）4个（B ）6个（C ）10个（D ）14个二．填空题（共6个小题，每题4分，共24分。

2018北京市第三十五中学高三（上）期中数 学(理)出题人: 钟竺 审核人: 刘静 2018.11班级 姓名 学号试卷说明：试卷分值 150 ，考试时间 120分钟。

I 卷为选择题，共8个小题，考生务必将答案答在机读卡上,在试卷上作答无效。

II 卷为填空题和解答题，包括第9至第20题，考生务必将答案答在答题纸上,在试卷上作答无效。

考试结束后，将机读卡和答题纸一并交回。

I 卷一．选择题（共8个小题，每题5分，共40分.每小题只有一个正确选项.） 1. 已知集合{}2|20P x x x =−−≤，{}1,0,3,4M =−，则集合PM 中元素的个数为A.1B.2C. 3D.4 2. 下列函数中为偶函数的是 A.1y x=B. lg y x =C. ()21y x =− D.2x y = 3. 在ABC ∆中,60A ∠=︒, 2,1AB AC ==, 则AB AC ⋅的值为 A. 1 B. 1− C. 12 D.12− 4. 给出下列命题：①若给定命题p ：x ∃∈R ，使得210x x +−<，则p ⌝：,x ∀∈R 均有012≥−+x x ； ②若q p ∧为假命题，则q p ,均为假命题；③命题“若0232=+−x x ，则2=x ”的否命题为“若 ,0232=+−x x 则2≠x ，其中正确的命题序号是（ ）A.①B.①②C.①②③D.②③ 5. 已知函数44()cos sin f x x x =−，下列结论中错误．．的是 A.()cos2f x x = B.函数()f x 的图象关于直线0x =对称 C.()f x 的最小正周期为π D.()f x 的值域为[2,2]− 6. “0x >”是“+sin 0x x >”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7. 如图，点O 为坐标原点，点(1,1)A . 若函数x y a =（0a >，且1a ≠） 及log b y x =（0b >，且1b ≠）的图象与线段OA 分别交于点M ，N ， 且M ，N 恰好是线段OA 的两个三等分点，则,a b 满足1yx1ONMAA.1a b <<B.1b a <<C.1b a >>D.1a b >>8. 已知函数1, 1(), 111, 1x f x x x x −≤−⎧⎪=−<<⎨⎪≥⎩，函数2()1g x ax x =−+. 若函数()()y f x g x =−恰好有2个不同零点，则实数a 的取值范围是A.(0,)+∞B.(,0)(2+)−∞∞， C.1(,)(1,+)2−∞−∞ D.(,0)(0,1)−∞II 卷二、填空题(共6小题，每小题5分，共30分) 9.212d ______.x x =⎰10. 在ABC ∆中，角A ,B ,C 的对边分别为,,a b c . 若4c =，sin 2sin C A =，15sin 4B =，则=a _____,_____.ABC S ∆=11. 在极坐标系中，A 为曲线2ρ=上的点，B 为曲线cos 4ρθ=上的点，则线段AB 长度的 最小值是______．12. 能够说明“设x 是实数．若1x >，则131x x +>−”是假命题的一个实数x 的值为 ． 13. 已知函数()sin()f x x ωϕ=+(0ω>) 若()f x 的图象向左平移π3个单位所得的图象与()f x 的图象向右平移π6个单位所得的图象重合，则ω的最小值为______. 14. 对于数列{}n a ，若,*()m n m n ∀∈≠N ，都有m na a t m n−≥−（t 为常数）成立，则称数列{}n a 具有性质()P t . （i ） 若数列{}n a 的通项公式为2n n a =，且具有性质()P t ，则t 的最大值为______, （ii ）若数列{}n a 的通项公式为2n aa n n=−，且具有性质(10)P ，则实数a 的取值范围 是______.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分13分）已知函数()π2sin cos sin 22f x x x x ⎛⎫=+−⎪⎝⎭. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期及单调递增区间； （Ⅱ）求()f x 在区间π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值和最小值．16．（本题满分13分） 已知函数2()(1)2xa f x x e x =−−[]0,1a ∈． (Ⅰ)当0a =时，求()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；(Ⅱ)求函数()f x 的极值点． 17．（本题满分14分）如图，在∆ABC 中，点D 在AC 边上，且3AD BD =，7AB =，3ADB π∠=，=6C π∠.（Ⅰ）求BD 的值；（Ⅱ）求tan ABC ∠的值.18．（本题满分14分） 已知函数()sin cos f x ax x b x =+在点(,())22f ππ处的切线为y x π=−+．(Ⅰ)求实数,a b 的值； (Ⅱ)求函数()f x 在区间[0,]2π上的值域．19．（本题满分13分）已知()ln(1)f x x =−−，23()23x x g x x =++． (Ⅰ)设()()()h x f x g x =−.求函数()h x 的零点.(Ⅱ)若()()k f x g x ≥在(,1)x ∈−∞上恒成立，求证：1k =．A BCD20（本小题满分13分）给定正整数()3n n ≥，集合{}1,2,,n U n =. 若存在集合,,A B C ，同时满足下列三个条件：①n U AB C =, A B B C A C ===∅;②集合A 中的元素都为奇数，集合B 中的元素都为偶数，所有能被3整除的数都在集合C 中 （集合C 中还可以包含其它数）；③集合,,A B C 中各元素之和分别为,,A B C S S S ，有A B C S S S ==; 则称集合n U 为可分集合.（I ） 已知8U 为可分集合，写出相应的一组满足条件的集合,,A B C ； （II ）证明：若n 是3的倍数，则n U 不是．．可分集合； （III ）若n U 为可分集合且n 为奇数，求n 的最小值．数学试题答案一.选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BBAADCAD二.填空题（每题5分，共30分.两空前3分后2分.）9. 3 10. 211. 2 12. 2 13. 4 14. 2 三．解答题 15．（本题满分13分）已知函数()π2sin cos sin 22f x x x x ⎛⎫=+−⎪⎝⎭. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期及单调递增区间； （Ⅱ）求()f x 在区间π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值和最小值． 15. 解：（Ⅰ）因为()2sin cos cos 2f x x x x =+sin 2cos 2x x =+2sin 2+4x π⎛⎫= ⎪⎝⎭． …………………… 4分所以()f x 的最小正周期2.2T ππ==…………………… 5分 由222242k x k πππππ−+≤+≤+，得3.88k x k ππππ−+≤≤+ 所以()f x 的单调递增区间是3,.88k k k Z ππππ⎡⎤−++∈⎢⎥⎣⎦，…………………… 7分 （Ⅱ）因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以52+,444x πππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 所以当242x ππ+=，即8x π=时，函数)(x f 取得最大值是2.当5244x ππ+=，即2x π=时，函数)(x f 取得最小值52sin1.4π=−．所以()f x 在区间π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值和最小值分别为2和1−． ……………… 13分 16、(本题13分)已知函数2()(1)2xa f x x e x =−−．(Ⅰ)当0a =时，求()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程； (Ⅱ)求函数()f x 的极值点． 16解：(Ⅰ)当0a =时，()xf x xe '=，切线斜率(1)k f e '==，切点为(1,0)，切线方程为(1)y e x =−．…………………………………………………………4分 (Ⅱ)()()xf x x e a '=−因为0a >，令()0f x '=，得10x =，2ln x a =．………………………………6分 (1)当01a <<时，ln 0a <，列表：x(,ln )a −∞ ln a (ln ,0)a 0 (0,)+∞()f x '+0 −0 +()f x()f x 极大值点为ln x a =，极小值点为0x =；…………………………………8分(2) 当1a =时，ln 0a =，列表：x(,0)−∞ 0 (0,)+∞()f x '+0 +()f x()f x 无极值点； …………………………………………………………10分(3) 当0a =时，列表：x(,0)−∞ 0 (0,)+∞()f x ' −0 +()f x()f x 极小值点为0x =，无极大值点；……………………………………12分综上：当01a <<时，()f x 极大值点为ln x a =，极小值点为0x =；当1a =时，()f x 无极值点；当0a =时，()f x 极小值点为0x =，无极大值点；………………13分 （17）（本小题14分） 17. （本小题14分）解：（Ⅰ）如图所示，366DBC ADB C πππ∠=∠−∠=−=，…………………….1分故DBC C ∠=∠，DB DC = ……………………….2分ABCD设DC x =，则DB x =，3DA x =. 在ADB ∆中，由余弦定理2222cos AB DA DB DA DB ADB =+−⋅⋅∠ ……………………….3分即22217(3)2372x x x x x =+−⋅⋅⋅=， ……………………….4分解得1x =，即1DC =. ……………………….6分（Ⅱ）在ADB ∆中，由AD AB >，得60ABD ADB ∠>∠=︒，故362ABC ABD DBC πππ∠=∠+∠>+=……………………….8分在ABC ∆中，由正弦定理sin sin AC ABABC ACB=∠∠即471sin 2ABC =∠，故2sin 7ABC ∠=， ……………………….11分 由(,)2ABC ππ∠∈，得3cos 7ABC ∠=−， ……………………….12分 22tan 333ABC ∠=−=− ………………………14分18.(本题14分)已知函数()sin cos f x ax x b x =+在点(,())22f ππ处的切线为y x π=−+．(Ⅰ)求实数,a b 的值； (Ⅱ)求函数()f x 在区间[0,]2π上的值域．18.解：(Ⅰ)由已知，可得切点为(,)22ππ，则()22f ππ=，得1a =． ……………………2分()sin cos sin f x x x b x '=+−，由()12f π'=−，得2b =．……………………5分所以1,2a b ==． (Ⅱ)()cos sin f x x x x '=−，令()cos sin g x x x x =−，()sin g x x x '=−， ……………………7分 因为(0,)2x π∈，所以()sin 0g x x x '=−<，()g x 为(0,)2π上的减函数，………9分 所以(0,)2x π∈时，()(0)0g x g <=，即()0f x '<在(0,)2x π∈上恒成立，所以()f x 为(0,)2π上的减函数． ……… 11分所以min ()22y f ππ==，max (0)2y f ==．所以函数()f x 的值域为[,2]2π． ………14分19证明：(1)令23()()()ln(1)()23x x h x f x g x x x =−=−−−++， 3()1x h x x'=−(1)x < ……………………2分(,0),()0,()x h x h x '∈−∞<，(0,1),()0,()x h x h x '∈>，……………………4分所以，当(,1)x ∈−∞，()(0)0h x h ≥=，即x=0为h(x)的零点． ………………… 5分(2)令23()()()ln(1)()23x x F x kf x g x k x x =−=−−−++， ()0F x ≥在(,1)x ∈−∞上恒成立．3(1)()1x k F x x−−'=−，(0)0F =． ……………………7分①若1k >，当3(1,0)x k ∈−时，()0F x '>，()F x ，则3(1,0)x k ∈−时，()(0)0F x F <=，这与()0F x ≥在(,1)x ∈−∞上恒成立相矛盾，1k ∴≤． ……………………10分②若1k <，取1和31k −中的较小者，记为m ， 当(0,)x m ∈时，()0F x '<，()F x ，则(0,)x m ∈时，()(0)0F x F <=，这与()0F x ≥在(,1)x ∈−∞上恒成立相矛盾，1k ∴≥． ……………………13分 综合①②知，1k =成立．20. 给定正整数()3n n ≥，集合{}1,2,,n U n =. 若存在集合,,A B C ，同时满足下列三个条件：①n U AB C =, A B B C A C ===∅;②集合A 中的元素都为奇数，集合B 中的元素都为偶数，所有能被3整除的数都在集合C 中 （集合C 中还可以包含其它数）；③集合,,A B C 中各元素之和分别为,,A B C S S S ，有A B C S S S ==; 则称集合n U 为可分集合.（I ） 已知8U 为可分集合，写出相应的一组满足条件的集合,,A B C ； （II ）证明：若n 是3的倍数，则n U 不是．．可分集合； （III ）若n U 为可分集合且n 为奇数，求n 的最小值．20解：（I ）依照题意，可以取{}5,7A =，{}4,8B =，{}1,2,3,6C = ……………3分（II ）假设存在n 是3的倍数且n U 是可分集合. 设3n k =，则依照题意{3,6,,3}k C ⋅⋅⋅⊆，故C S ≥2333632k kk +++⋅⋅⋅+=，而这n 个数的和为(1)2n n +，故21(1)3322C n n k k S ++=⋅=2332k k+<, 矛盾，所以n 是3的倍数时，n U 一定不是可分集合 …………………7分 (Ⅲ)n =35. …………………8分 因为所有元素和为(1)2n n +，又B S 中元素是偶数，所以(1)32B n n S +==6m (m 为正整数) 所以(1)12n n m +=，因为,1n n +为连续整数，故这两个数一个为奇数，另一个为偶数 由（Ⅱ）知道，n 不是3的倍数，所以一定有1n +是3的倍数. 当n 为奇数时，1n +为偶数，而(1)12n n m +=，所以一定有1n +既是3的倍数，又是4的倍数，所以112n k +=,所以*121,n k k =−∈N . …………………10分 定义集合{1,5,7,11,...}D =，即集合D 由集合n U 中所有不是3的倍数的奇数组成， 定义集合{2,4,8,10,...}E =，即集合E 由集合n U 中所有不是3的倍数的偶数组成， 根据集合,,A B C 的性质知道，集合,A D B E ⊆⊆， 此时集合,D E 中的元素之和都是224k ，而21(1)24232A B C n n S S S k k +====−，此时n U 中所有3的倍数的和为2(3123)(41)2462k k k k +−−=−，2224(242)2k k k k −−=,22(242)(246)4k k k k k −−−=显然必须从集合,D E 中各取出一些元素，这些元素的和都是2k ，所以从集合{1,5,7,11,...}D =中必须取偶数个元素放到集合C 中，所以26k ≥, 所以3k ≥，此时35n ≥而令集合{7,11,13,17,19,23,25,29,31,35}A =，集合{8,10,14,16,20,22,26,28,32,34}B =， 集合{3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,1,5,2,4}C =，检验可知，此时35U 是可分集合, 所以n 的最小值为35. …………………13分 word 下载地址。

2018北京师大附中高三（上）期中数 学（文）班级： 姓名： 学号：考 生须知 1． 本试卷有三道大题，共4页。

考试时长120分钟，满分150分。

2． 考生务必将答案填写在机读卡和答题纸上，在试卷上作答无效。

3． 考试结束后，考生应将机读卡和答题纸交回。

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．若集合{|40}=-<A x x ，{|1}xB x =>e ，则AB =（）（A ）R （B ）(,4)-∞（C ）(0,4)（D ）(4,)+∞2．在平面直角坐标系中，角α的顶点在原点，始边在x 轴的正半轴上，角α的终边经过 点M （1-，2），则sin2α=（）（A ）52- （B ）52（C ）54 （D ）54-3．已知数列{}n a 满足10351=+=+S a a n n ,，则7a 为 （ ） （A ）14 （B ）12 （C ）15 （D ）224．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点(1,0)A ,(1,1)B ，设OP OA kOB =+()k ∈R ，且OP OB ⊥，则OP =（）（A ）2（B ）2（C ）22（D ）125. 已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）（A ）若//,//,m n αα则//m n （B ）若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥ （C ）若m α⊥，m n ⊥，则//n α（D ）若//m α，m n ⊥，则n α⊥6.若,x y 满足3,2,,x x y y x ⎧⎪+⎨⎪⎩≤≤≥则x y 2-的最大值为（）（A ）-6 （B ）-1 （C ）-4（D ）87．在ABC ∆中，“2a =,b=7,60B =︒”是“772=A cos ”的（） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件8．已知在直角三角形ABC 中，A 为直角，1AB =，2BC =，若AM 是BC 边上的高，4正（主）视侧（左）视俯视图53点P 在△ABC 内部或边界上运动，则AM BP ⋅的取值范围是（）（A ）[1,0]-（B ）1[,0]2-（C ）31[,]42-（D ）3[,0]4-二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

北京市海淀区2017-2018学年高三上学期期中考试数学试题（文科）1. 若集合，集合,则A. B. C. D.【答案】C【解析】，由交集的定义得到：故答案选择C.2. 命题“”的否定是A. B.C. D.【答案】D【解析】命题“”的否定是:;根据换量词否结论，不变条件的原则得到结论即可。

故答案为D。

3. 下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是A. B. C. D.【答案】C【解析】A：是偶函数，在上是减函数。

故不正确。

B：是非奇非偶函数，在上是减函数。

故不正确。

C：函数是偶函数，在上是增函数，故正确。

D：是奇函数，在R上是增函数。

故不正确。

故答案为C。

4. 已知数列满足，则A. B. C. D.【答案】D【解析】根据条件得到：可设，，故两式做差得到：，故数列的每一项都为0，故D是正确的。

A，B，C，都是不正确的。

故答案为D。

5. 在平面直角坐标系中，点的纵坐标为，点在轴的正半轴上. 在△中，若，则点的横坐标为A. B. C. D.【答案】A【解析】设点C的坐标为，点A的坐标为，则，由，以及，得到故得到故答案选A。

6. 已知向量是两个单位向量，则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由条件得到，即两边平方得到：得到即两个向量的夹角是0，又因为长度相等，故；反之也能推得结论。

故答案为C。

7. 已知函数（）的部分图象如图所示，则的值分别为A. B. C. D.【答案】B【解析】由条件知道：均是函数的对称中心，故这两个值应该是原式子分母的根，故得到，由图像知道周期是，故，故，再根据三角函数的对称中心得到，故如果，根据，得到故答案为B。

点睛：根据函数的图像求解析式，一般要考虑的是图像中的特殊点，代入原式子；再就是一些常见的规律，分式型的图像一般是有渐近线的，且渐近线是分母没有意义的点；还有常用的是函数的极限值等等方法。

8. 若函数的值域为，则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】D【解析】当时，，故函数在上单调递减，在上单调递增，且过原点，最小值为；当时，若a<0，则原函数开口向下，值域小到负无穷，故一定有a>0,此时图像是开口向上的二次函数图像，最小值在对称轴处取得，故最小值为故答案为：D。

年度第一学期期中试卷120分钟. I 卷为选择题，包括一个大题，共10个题.I 卷40分。

每小题只有一个正确选项，请选择正确答1{}42≥∈=x x R ，则=B A I {}322<≤-≤x x x 或 D. R 2; ”的否定. 3*n N ∈，都有1n n a a +>，则实数k 的取值．k >1 D ．k >04x x cos sin 22=，则下列结论正确的是 成中心对称 4π成轴对称 5(1)(1)f x f x -=+成立，则()y f x = x =1对称 2的周期函数 6A B C D7．,a r b r 为非零向量，“函数2()()f x ax b =+r r 为偶函数”是“a b ⊥r r ”的A. 充分但不必要条件B. 必要但不充分条件C.充要条件D. 既不充分也不必要条件8．函数()cos x f x e x =的图象在点(0, f (0))处的切线的倾斜角为 A ．0 B ．4πC ．1 D ．2π 9．若0,04a b a b >>+=，且，则下列不等式恒成立的是 A ．114ab≤B ．1114a b +≤ C ．2ab ≥D ．228a b +≥10．对于定义域和值域均为[0，1]的函数f (x )，定义1()()f x f x =，21()(())f x f f x =，…，1()(())n n f x f f x -=，n =1，2，3，…．满足()n f x x =的点x ∈[0，1]称为f 的n 阶周期点．设12,0,2()122,1,2x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩则f 的n 阶周期点的个数是 A. 2n B. 2(2n -1) C. 2nD. 2n2II 卷二、选择题（共6个小题，每题5分，共30分。

请将正确答案填在答题纸相应的题号处） 11．如右图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A ，点A 的纵坐标为45，则cos α=12．已知点P (1,- 2)及其关于原点对称点均在不等式210x by -+>表示的平面区域内，则实数b13．已知平面向量a ，b 的夹角为60°，=a ，||1=b ，则⋅a b =1，|2|+=ab 14．函数3()2x f x e x =+-在区间(0,1)内的零点个数是 __________.115．已知函数221,0()2,0x x f x x x x -⎧-≤⎪=⎨-->⎪⎩，若2(2)()f a f a ->，则实数a 的取值范围是12a -<< Aαxy O16．已知函数：①，②，③.对如下两个命题：命题甲：在区间上是增函数； 命题乙：在区间上恰有两个零点，且.能使甲、乙两个命题均为真的函数的序号是____________.○1○2三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．） 17.（本小题共12分）设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知前6项和为36，最后6项和为180，S n =324（n >6） （Ⅰ）求数列的项数n ；（Ⅱ）求910a a +的值及数列的通项公式解：（1）依题意得：1261516()36180(())n n n n a a a a a a a a --=+=++++++++L L ………3分136n a a ⇒+=………1分1()3242n n n a a S +==⇒18n =………2分（2）118910a a a a ++==36………2分11181613(25)362,1217a S a d d a a a d =+=⇒==+=+且………3分所以21n a n =-………1分 18．（本小题满分13分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且b 2+c 2-a 2=bc ． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）设函数2cos2cos 2sin 3)(2xx x x f +=, 求()f B 的最大值，并判断此时△ABC 的形状． 解：（Ⅰ）在△ABC 中，因为b 2+c 2-a 2=bc ，由余弦定理a 2= b 2+c 2-2bc cos A 可得cos A =12． (余弦定理或公式必须有一个，否则扣1分)……3分∵ 0<A <π，（或写成A 是三角形内角）……………………4分5分2cos 2cos 2sin 3)(2x x x x f +=311sin cos 222x x =++……………………7分 1sin()62x π=++，……………………9分∵3A π=∴2(0,)3B π∈∴5666B πππ<+<（没讨论，扣1分）…………………10分∴当62B ππ+=即3B π=时()f B 有最大值是23．……………………11分 又∵3A π=，∴3C π=∴△ABC 为等边三角形．……………13分19．（本小题满分13分）某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y （万元）与年产量x （吨）之间的函数关系式可以近似地表示为，已知此生产线年产量最大为210吨。

北京十五中高三数学理科期中考试试卷2017.11考生注意：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

全卷满分150分,考试时间为120分钟。

请将第Ⅰ卷的答案填涂在机读卡上，第Ⅱ卷的答案作答在答题纸上。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分；把答案．．．填涂在机读卡上．．．．．．．）1．设集合A＝｛x|－12＜x＜2｝，B＝｛x|x2≤1｝，则A∪B＝( ）A．{x|－1≤x＜2} B．｛x｜－错误!＜x≤1｝C．{x|x＜2} D．{x｜1≤x＜2｝2．复数1－i1－2i的虚部为( )A．15B．错误!C．－错误!D．－错误!3．函数f(x)＝错误!的定义域是( ）A．1|2x x⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭B．1|2x x⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭C．1|12x x x⎧⎫≠-≠⎨⎬⎩⎭且D．1|12x x x⎧⎫>-≠⎨⎬⎩⎭且4．在平面直角坐标系xoy中,已知(0,0)O，(0,1)A,3)B，则OA AB⋅的值为( ） A ．1B 1C D 15．已知数列{}n a 的前n项和122n n S +=-，则3a =( ) A ．1- B ．2-C ．4-D ．8-6．sin15cos15︒+︒的值为( )A ．12BCD7．“0t ≥"是“函数2()f x x tx t =+-在(,)-∞+∞内存在零点”的 （ )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．一张报纸,其厚度为a ，现将报纸对折（即沿对边中点连线折叠)7次，这时，报纸的厚度为 （ ）A ．8aB ．64aC ．128aD ．256a9．直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为（ )A ．2错误!B ．4错误!C ．2D ．410．若a ，b 均为大于1的正数,且ab ＝100，则lg a ·lg b 的最大值是( ）A ．0B ．1C ．2D ．错误! 12．某地某年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下若用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况，则根据表中数据,就业形势一定是( )（A)计算机行业好于化工行业. (B ） 建筑行业好于物流行业。

北京市第三十五中学2017-2018年度第一学期 期中试卷高三数学（文科）I 卷一、选择题（共8个小题，每题5分，共40分）1．已知集合{}|01A x x =∈<<R ，{}|(21)(1)0B x x x =∈-+>R ，则A B =（ ）．A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．(1,1)-C ．1(,1),2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭D ．(,1)(0,)-∞-+∞【答案】D【解析】∵集合{}|01A x x =<<，集合{}{|(21)(1)0|1B x x x x x =-+>=<-或12x ⎫>⎬⎭，∴{|1AB x x =<-或}0(,1)(0,)x >=-∞-+∞．故选D ．2．下列函数中，值域为[0,)+∞的偶函数是（ ）． A ．21y x =+B ．lg y x =C ．||y x =D ．cos y x x =【答案】C【解析】A 项，21y x =+是偶函数，值域是[1,)+∞，故A 项不符合题意；B 项，lg y x =是非奇非偶函数，值域是R ，故B 项不符合题意；C 项，||y x =是偶函数且值域是[1,)+∞，故C 项符合题意；D 项，cos y x x =是奇函数，故D 项符合题意．故选C ．3．如图，正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，若AE AB AC λμ=+，则λμ+的值为（ ）．A ．12B ．12-C ．1D ．1-【答案】A【解析】设正方形的边长为2，以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴建立直角坐标系， 则(0,0)A ，(2,0)B ，(2,2)C ，(1,2)E ，(1,2)AE =，(2,0)AB =，(2,2)AC =， 由于AE AB AC λμ=+，所以12222λμμ=+⎧⎨=⎩，解得12λ=-，1μ=，所以12λμ+=．故选A ．4．已知m ，n 表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，且m α⊂，n β⊂，则下列说法正确的是（ ）．A ．若αβ∥，则m n ∥B ．若m β⊥，则αβ⊥C ．若m β∥，则αβ∥D ．若αβ⊥，则m n ⊥【答案】B【解析】A 项，若αβ∥，m α⊂，n β⊂，则m n ∥或m ，n 异面，故A 项错误； B 项，由线面垂直的判定定理可知，若m α⊂，m β⊥，则αβ⊥，故B 项正确；C 项，若m β∥，m α⊂，αβ∥则α，β相交都有可能，故C 项错误；D 项，若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ∥，m ，n 相交，异面都有可能，故D 项错误．故选B ．5．一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的表面是（ ）．A．20+B．20+C．16+D．16+【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体是一个直四棱柱，底面是一个上下边长分别为2，4，高为2的直角梯形，棱柱的高为2，所以该几何体的表面积2211222(12)222162S =⨯++⨯⨯+⨯++=+故选C ．6．等比数列{}n a 中，10a >，则“13a a <”是“36a a <”的（ ）．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若13a a <，则211a a q <，因为10a >，所以21q >，即1q <-或1q >； 若36a a <，则2511a q a q <，因为10a >，20q >，所以31q >，即1q >， ∴“13a a <”是“36a a <”的必要而不充分条件． 故选B ．7．已知函数,||1,()πsin ,||1,2x x f x x x ⎧⎪=⎨>⎪⎩≤则下列结论正确的是（ ）．A ．0x ∃∈R ，00()()f x f x -≠-B ．x ∀∈R ，()()f x f x -≠C ．函数()f x 在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．函数()f x 的值域是[1,1]-【答案】D【解析】作出函数()f x 的图象，由图可知函数()f x 是奇函数，即对 x ∀∈R ，()()f x f x -=-，故A 错误；当2x =时，满足(2)(2)0f f -=-=，此时x ∀∈R ，()()f x f x -≠不成立，故B 项错误；函数()f x 在π,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上是减函数，在(1,1)-上是增函数，在π1,2⎛⎤⎥⎝⎦上是减函数，故C 项错误；函数()f x 的值域是[1,1]-，故D 项正确． 故选D ．8．如图，：正方体1111ABCD A B C D -中，P 为底面ABCD 上的动点，1PE AC ⊥于E ，且P A P E =，则点P 的轨迹是（ ）．A ．线段B ．圆弧C ．椭圆的一部分D ．抛物线的一部分【答案】A【解析】连结1A P ，由题意知1A A AP ⊥， ∵1PE AC ⊥，且PA PE =， ∴1A AP △≌1A EP △， ∴11A A A E =，即E 为定点， ∵PA PE =，∴点P 位于线段AE 的中垂面上， 又点P 在底面上，∴点P 的轨迹为两平面的交线，即点P 的轨迹是线段． 故选A ．II 卷二、填空题（共6小题，每题5分，共30分）9．已知复数z 满足(1i)24i z +=-，那么||z = __________．【解析】由(1i)24i z +=-，得24i (24i)(1i)26i13i 1i (1i)(1i)2z -----====--++-，故||z =．10．已知平面向量||1a =，||2b =，a 与b 的夹角为120°，则|2|a b += __________． 【答案】2【解析】因为2221|2|4||||4||||cos1204441242a b a b a b ⎛⎫+=++⋅︒=++⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭， 所以|2|2a b +=．11．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若πsin cos 2A B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，3a =，2c =，则cos C = __________；ABC △的面积为__________．【答案】79；【解析】∵πsin cos sin 2A B B ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，3a =，2c =，∴3b a ==，∴222994147cos 2233189a b c C ab +-+-====⨯⨯，sin C =∴ABC △的面积11sin 3322S ab C ==⨯⨯=12．以下茎叶图记录了甲、乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩．乙组记录了有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以a 表示． （1）若甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，则a =__________． （2）乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率为__________．【答案】（1）1（2）45【解析】（1）若甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，则11(889292)[9091(90)]33a ++=++++，解得1a =． （2）设“乙组平均成绩超过甲组平均成绩”为事件A ，依题意0a =，1，29，共有10种可能，由（1）可知，当1a =时甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，所以当2a =，3，49时，乙组平均成绩超过甲组平均成绩，共有8种可能，故乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率84()105P A ==． 13．函数()2cos f x x x =+在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是__________．【答案】π6【解析】∵()12sin f x x '=-，π02x ≤≤， ∴当()0f x '>时，π06x <≤，当()0f x '<，ππ62x <≤， ∴函数()2cos f x x x =+在区间π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在ππ,62⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，∴当π6x =时，()2cos f x x x =+取最大值为π6．14．已知A 、B 两所大学的专业设置都相同（专业数均不小于2），数据显示，A 大学的各专业的男女生比例均高于B 大学的相应专业的男女生比例（男女生比例是指男生人数与女生人数的比）． 据此， 甲同学说：“A 大学的男女生比例一定高于B 大学的男女生比例”； 乙同学说：“A 大学的男女生比例不一定高于B 大学的男女生比例”；丙同学说：“两所大学的全体学生的男女生比例一定高于B 大学的男女生比例”． 其中，说法正确的同学是__________． 【答案】乙【解析】根据A 大学的各专业男女比例均高于B 大学的相应专业的男女比例可知甲、丙不一定正确，A 大学的男女生比例可能等于B 大学的男女生比例，即A 大学的男女比例不一定高于B 大学的男女生比例，故说法正确的同学是乙．三、解答题（共6道题，共80分．每道题要写出必要的演算步骤和计算过程） 15．（本小题满分13分）已知函数2()2sin cos 2cos (0)f x x x x ωωωω=+>的最小正周期为π． （1）求ω的值及()f x 的单调递增区间．（2）求()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最值．【答案】见解析．【解析】（1）2π()2sin cos 2cos sin 2cos21214f x x x x x x x ωωωωωω⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭∵函数()f x 的最小正周期为π，∴2ππ2T ω==，1ω=，∴π()214f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，令ππππ22π242k x k -+++≤≤，k ∈Z ，得3ππππ88k x k -++≤≤，k ∈Z ， ∴函数()f x 的单调递增区间是3πππ,π88k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ．（2）∵π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴ππ5π2,444x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，∴当π5π244x +=时，即π2x =时，()f x 取得最小值，min π()02f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 当ππ242x +=时，即π8x =时，函数()f x取得最小值，man π()18f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．16．（本小题满分13分）已知等比数列{}n a 的前4项的和45S =，且14a ，232a ，2a 成等差数列．（1）求{}n a 的通项公式．（2）设{}n b 是首项为2，公差为1a -的等差数列，其前n 项和为n T ，求满足10n T ->的最大正整数n ． 【答案】见解析．【解析】（1）根据题意，设{}n a 的公比为q ，∵14a ，232a ，2a 成等差数列，∴12243a a a +=，整理得122a a =，故2q =，又414(12)512a S -==-，解得113a =， 故{}n a 的通项公式为：1123n n a -=⨯．（2）由（1）得113a -=-，∴172(1)33n nb n -⎛⎫=+--= ⎪⎝⎭，∴72(13)3026nnn n T n -+-=⨯=>， 又∵10n T ->， ∴[13(1)](1)06n n --->，整理得(1)(4)0n n --<，解得114n <<， 故满足10n T ->的最大正整数为13． 17．（本小题满分13分）某学校为了解高三年级学生寒假期间的学习情况，抽取甲、乙两班，调查这两个班的学生在寒假期间每天平均学习的时间（单位：小时），统计结果绘成频率分布直方图（如图）．已知甲、乙两班学生人数相同，甲班学生每天平均学习时间在区间[2,4]的有8人．（1）求直方图中a 的值及甲班学生每天平均学习时间在区间(10,12]的人数．（2）从甲、乙两个班每天平均学习时间大于10小时的学生中任取4人参加测试，则4人中恰有2人为甲班同学的概率．【答案】见解析．【解析】（1）由频率分布直方图知，(0.1500.1250.1000.100)21a ++++⨯=， 解得0.025a =，因为甲班学习时间在区间[2,4]的有8人，所以甲班的学生人数为8400.2=人， 所以甲、乙两班人数均为40人，故甲班学习时间在区间(10,12]的人数为400.2522⨯⨯=（人）， 乙班学习时间在区间(10,12]的人数为400.0524⨯⨯=（人）．（2）由第（1）知甲班学习时间在区间(10,12]的人数为2人，甲班的2人记为1X ，2X ，乙班的4人记为1Y ，2Y ，3Y ，4Y ，设“四人中恰有2人为甲班同学”为事件A ，从两个班学习时间大于10小时的6名同学中抽取四人的所有可能情况为：1212(,,,)X X Y Y ，1213(,,,)X X Y Y ，1214(,,,)X X Y Y ，1223(,,,)X X Y Y ，1224(,,,)X X Y Y ，1234(,,,)X X Y Y ，1123(,,,)X Y Y Y ，1124(,,,)X Y Y Y ，1134(,,,)X Y Y Y ，1234(,,,)X Y Y Y ，2123(,,,)X Y Y Y ，2124(,,,)X Y Y Y ，2134(,,,)X Y Y Y ，2234(,,,)X Y Y Y ，1234(,,,)Y Y Y Y 共15种，其中四人中恰有2人为甲班同学的所有可能为6种， 故62()155P A ==． 18．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，AD DC ∥，2CD AB =，AD CD ⊥，E 为棱PD 的中点．（1）求证：CD AE ⊥．（2）求证：平面PAB ⊥平面PAD ．（3）试判断PB 与平面AEC 是否平行？并说明理由．【答案】见解析．【解析】（1）证明：∵PD ⊥底面ABCD ，DC ⊂底面ABCD ， ∴PD DC ⊥，又AD DC ⊥，AD PD D =， ∴CD ⊥平面PAD ， ∵AE ⊂平面PAD ， ∴CD AE ⊥．（2）证明：AB DC ∥，CD ⊥平面PAD ， ∴AB ⊥平面PAD ， 又AB ⊂平面PAB ， ∴平面PAB ⊥平面PAD ． （3）PB 与平面AEC 不平行， 假设PB ∥平面AEC ，设BD AC D =，连结OE ，则平面EAC 平面PDB OE =，又PB ⊂平面PDB ， ∴PB DE ∥，∴在PDB △中有OB PEOD ED =， 由E 是PD 中点可得1OB PEOD ED==，即OB OD =， ∵AB DC ∥，∴12AB OB CD OD ==，这与OB OD =矛盾， 所以假设不成立，即PB 与平面AEC 不平行．19．（本小题满分13分）设函数()ln f x x =，()1g x ax =+，a ∈R ，记()()()F x f x g x =-．（1）求曲线()y f x =在e x =处的切线方程． （2）求函数()F x 的单调区间．（3）当0a >时，若函数()F x 没有零点，求a 的取值范围． 【答案】见解析．【解析】（1）1()f x x '=，1(e)e f '=，∴函数()f x 在e x =处的切线的斜率1ek =，又(e)1f =，∴函数()f x 在e x =处的切线方程为11(e)e y x -=-，即1ey x =．（2）()()()ln 1F x f x g x x ax =-=--，11()axF x a x x-'=-=，(0)x >， ①当0a ≤时，()0F x '>，()F x 在区间(0,)+∞上单调递增；②当0a >时，令()0F x '<，解得1x a>；令()0F x '>，解得10x a <<，综上所述，当0a ≤时，函数()F x 的增区间是(0,)+∞，当0a >时，函数()F x 的增区间是10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，减区间是1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．（3）依题意，函数()F x 没有零点，即()()g()ln 10F x f x x x ax =-=--=无解，由（2）知，当0a >时，函数()F x 在区间10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数，区间1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是减函数，由(1)10F a =--<，只需111ln 1ln 20F a a a a a ⎛⎫=-⋅-=--< ⎪⎝⎭，解得2e a ->，所以实数a 的取值范围为21,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．20．（本小题满分14分）已知函数()e x a f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，a ∈R ．（1）当0a =时，存在[2,0]x ∈-，使得()f x M ≥，求M 的取值范围． （2）当1a =-时，求证：()f x 在(0,)+∞上为增函数．（3）若()f x 在区间(0,1)上有且只有一个极值点，求a 的取值范围． 【答案】见解析．【解析】（1）存在[2,0]x ∈-，使得()f x M ≥，等价于max ()f x M ≥， 当0a =时，()e x f x x =，()(1)e x f x x '=+， 当[2,1)x ∈--时，()0f x '<，()f x 单调递减， 当[1,0]x ∈-时，()0f x '>，()f x 单调递增， 又2(2)2e f --=-，(0)0f =，∴max ()0f x =， 故0M ≤，即M 的取值范围为(,0]-∞．（2）证明：当1a =-时，3221()e xx x x f x x+-+'=， 设32()1g x x x x =+-+，则2()321(31)(1)g x x x x x '=+-=-+， 故()g x 在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数，在1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是增函数，所以122()0327g x g ⎛⎫=> ⎪⎝⎭≥， 所以当(0,)x ∈+∞时，3221()e 0xx x x f x x +-+'=>恒成立， 所以()f x 在(0,)+∞上为增函数．（3）322()e xx x ax a f x x ++-'=， 设32()h x x x ax a =++-，则2()32h x x x a '=++，①当0a >时，()0h x '>恒成立，故()h x 在(0,)+∞上为增函数， 而(0)0h a =-<，(1)20h =>，故函数()h x 在(0,1)上有且只有一个零点，故这个零点为函数()f x 在区间(0,1)上的唯一的极小值点．②当0a =时，(0,1)x ∈时，2()320h x x x '=+>，故()h x 在(0,1)上为增函数， 又(0)0h =，故()f x 在(0,1)上为增函数， 所以函数()f x 在区间(0,1)上没有极值． ③当0a <时，32()(1)h x x x a x =++-，当(0,1)x ∈时，总有()0h x >成立，即()f x 在(0,1)上为增函数， 故函数()f x 在区间(0,1)上没有极值． 综上所述，0a >．。