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CG-曲线与曲⾯-学习笔记⼀、连续性1. 参数连续性0阶参数连续性（C0）：是指曲线的⼏何位置连接，即第⼀个曲线段的终点与第⼆个曲线段的起点x,y,z值相等；1阶参数连续性（C1）：在C0的基础上，该始末点的导数相等；2阶参数连续性（C2）：在C1的基础上，该始末点的⼆阶导相等；2. ⼏何连续性（条件不太苛刻）0阶⼏何连续性（G0）：同0阶参数连续性；1阶⼏何连续性（G1）：在满⾜G0条件下，两曲线结合处有公共切⽮（⽅向相同，⼤⼩成⽐例）；2阶⼏何连续性（G2）：在满⾜G1条件下，两曲线结合处有公共曲率；⼆、Bezier曲线与曲⾯1. 曲线段拟合函数可以把曲线表⽰为许多⼩线段Φi（x）之和，其中Φi（x）称为基（混合）函数；2. Bezier曲线定义其中系数⽮量ai（i=0,1,...,n）顺序⾸尾相接；3. 贝塞尔基函数的替换->伯恩斯坦（Bernstain）基函数1972年，剑桥⼤学的博⼠⽣Forrest在《Computer Aided Design》发表了他⼀⽣中最著名的论⽂。
Forrest证明了Bezier曲线的基函数可以简化成伯恩斯坦基函数：⼀个连续函数y=f(x)，任何⼀个ξ>0，总能找到⼀个多项式和这个函数⾜够逼近。
伯恩斯坦这套逼近的理论的形式是：4. Bezier曲线的再定义针对Bezier曲线，给定空间n+1个点的位置⽮量Pi（i=0,1,2,...,n），则Bezier曲线段的参数⽅程表⽰如下：其中：⼆项式定理，⼜称⽜顿⼆项式定理。
5. Bezier曲线分类：1）⼀次Bezier曲线这恰好是连接起点P0和终点P1的直线段！2）⼆次Bezier曲线⼆次Bezier曲线曲线为抛物线，其矩阵形式为：3）三次Bezier曲线把Bezier三次曲线多项式写成矩阵形式：6. Bezier曲线性质1）端点性质：P0和Pn分别位于实际曲线段的起点和终点上；2）⼀阶导数：Bezier曲线的起点和终点处的切线⽅向和特征多边形的第⼀条边及最后⼀条边的⾛向⼀致；3）⼏何不变性：Bezier曲线的形状仅与控制多边形各定点的相对位置有关，⽽与坐标系的选择⽆关；4）变差缩减性：若Bezier曲线的特征多边形是⼀个平⾯图形，则平⾯内任意直线与p（t）的交点个数不多于该直线与其特征多边形的交点个数。
G n 表示两个几何对象间的实际连续程度。
例如，G0 意味着两个对象相连或两个对象的位置是连续的；G1意味着两个对象光顺连接，一阶微分连续，或者是相切连续的。
G2 意味着两个对象光顺连接，二阶微分连续，或者两个对象的曲率是连续的；G3 意味着两个对象光顺连接，三阶微分连续等。
G n 的连续性是独立于表示（参数化）的。
下图显示的曲率梳状线图示了这些差异。
ICAD 曲面设计人员参考”手册中这样描述：“C0 连续性意味着两个相邻段间存在一个公共点（即两个段相连）。
C1 意味着有一个公共点，并且多项式的一阶导数（即切向矢量）是相同的。
C2 意味着一阶导数和二阶导数都相同。
几何连续性没有数学连续性严格。
G0 和C0 的意思相同，即段在位置上连续。
G1意味着切向矢量的方向相同，但模量不同。
G2 意味着曲率相同，但二阶导数不同。
”n 表示NURB 表达中的 b 曲线或 b 曲面的两个段间的连续程度。
一般说来，C0 意味着两个段是G0 连接的。
C1 意味着两个段是G1连接的等等。
但是，C0 并不意味着两个段只是G0 连接的- 实际上它们可以是G1或G2 等连接的。
关键的一点是G n 用于表示实际物理连续性，而Cn 是实际物理连续性的数学表达，这种用法并不可靠。
因为NURB 是自由曲面几何的行业标准，所以，Unigraphics 使用它。
但是，我们总是试图让Cn 与Gn 表示相同的连续程度，以避免出现曲线是G1，而有C0 连接点的情况。
Cn 表示NURB 表达中的 b 曲线或 b 曲面的两个段间的连续程度。
一般说来，C0 意味着两个段是G0 连接的。
C1 意味着两个段是G1连接的等等。
但是，C0 并不意味着两个段只是G0 连接的- 实际上它们可以是G1或G2 等连接的。
关键的一点是G n 用于表示实际物理连续性，而Cn 是实际物理连续性的数学表达，这种用法并不可靠。
因为NURB 是自由曲面几何的行业标准，所以，Unigraphics 使用它。
c a t i a连续性分析catia连续性分析发表时间:2013-06-22 10:08 来源:mfcad 作者:daomi 点击:215次斑马线斑马线实际上是模拟一组平行的光源照射到索要检测的表面上所观察到的反光效果。
G0的斑马线在连接处毫不相关，各走各的，线和线之间不连续，通常是错开的。
G1的斑马线虽然在相接处是相连的，但是从一个表面到另一个表面就会发生很大的变形，通常会在相接的地方产生尖锐的拐角。
G2的斑马线则是相连，且在连接处也有一个过渡，通常不会产生尖锐的拐角，也不会错位。
G3,G4的斑马线很难和G2的区分开。
CATIA 斑马线G0 点连续表示曲面连接（仅连接）在一起，斑马纹在中间有断开层。
表现在模型上为尖角等情况G1 相切连续斑马纹在转折处为突变的情况，表示曲面相切连续表现在模型上为倒圆角等情况G2 曲率连续斑马纹平滑连续，表示曲率连续，反看上去很舒服的那种一般为外观产品，如消费类电子产品等外观均作此要求这5中连续性的名称分别叫做：G0-位置连续，G1-切线连续，G2-曲率连续，G3-曲率变化率连续，G4-曲率变化率的变化率连续曲面连续性可以理解为相互连接的曲面之间过渡的光滑程度。
提高连续性级别可以使表面看起来更加光滑、流畅G0-位置连续图中所示的两组线都是位置连续，他们只是端点重合，而连接处的切线方向和曲率均不一致。
这种连续性的表面看起来会有一个很尖锐的接缝，属于连续性中级别最低的一种G1-切线连续图中所示的两组曲线属于切线连续，他们不仅在连接处端点重合，而且切线方向一致(可以看到相连的两条线段梳子图的刺在接触点位置是在一条直线上的)。
这种连续性的表面不会有尖锐的连接接缝，但是由于两种表面在连接处曲率突变，所以在视觉效果上仍然会有很明显的差异。
会有一种表面中断的感觉通常用倒角工具生成的过渡面都属于这种连续级别。
因为这些工具通常使用圆周与两个表面切点间的一部分作为倒角面的轮廓线，圆的曲率是固定的，所以结果会产生一个G1连续的表面。
G0、G1、G2、G3曲面
首先：G0、G1、G2、G3是描述曲面、曲线的连续方式，平滑程度的，一般常用于判断修补曲面时的曲面质量。
G0——点连续：是指曲面或曲线点点连续。
曲线无断点，曲面相接处无裂缝。
判定方法：曲线不断，但是有角；曲面没有窟窿或裂缝，但是有楞。
数学解释：曲线或任意平面与该曲面的交线处处连续。
G1——相切连续：是指曲面或曲线点点连续，并且所有连接的线段、曲面片之间都是相切关系。
判定方法：曲线不断，平滑无尖角；曲面连续，没有楞角。
数学解释：曲线或任意平面与该曲面的交线处处连续，且一阶导数连续。
G2——曲率连续：是指曲面或曲线点点连续，并且其曲率分
析结果为连续变化。
判定方法：对曲线做曲率分析，曲率曲线连续无断点。
对平面做斑马线分析，所有斑马线平滑，没有尖角。
数学解释：曲线或任意平面与该曲面的交线处处连续，且二阶导数连续。
G3——曲率相切连续：是指曲面或曲线点点连续，并且其曲率曲线或曲率曲面分析结果为相切连续。
判定方法：对曲线做曲率分析，曲率曲线连续，且平滑无尖角。
因为对G3连续用到的比较少，目前笨笨还不知道什么更好的G3曲面判定方法，请高手补充。
数学解释：曲线或任意平面与该曲面的交线处处连续，且三阶导数连续。
曲线的连续情况及其分析
这是不同连续情况的曲面
斑马线分析
曲率分析。
关于连续的几种方式，以下是我个人的一点看法：G0连续又叫——点连续。
是指曲线或曲面与任意平面交线是连续曲线，没有断点，既曲线方程连续。
对曲面来说,说白了就是没有裂缝。
G1连续又叫——相切连续。
是指曲线或曲面与任意平面交线平滑无折点（相切），既曲线方程一阶导数连续。
对曲面来说,说白了就是处处圆滑相切，没有楞，显示曲率时颜色有突变。
G2连续又叫——曲率连续。
是指曲线或曲面与任意平面交线的各点曲率连续，作曲率分析的曲线是连续曲线，无断点。
既曲线方程一阶导数曲线平滑，二阶导数曲线连续。
对曲面，最简单的判断方法就是斑马线圆滑无折点，显示曲率时颜色是渐变的。
G3连续又叫——？（我的叫它曲率变化连续）。
是指曲线或曲面与任意平面交线的各点曲率变化率连续，作曲率分析的曲线是平滑曲线，无折点。
既曲线方程一阶导数曲线平滑，二阶导数曲线平滑，三阶导数曲线连续。
小弟才疏学浅，除了用曲率分析外不知其他的判断方法，请各位大侠指教。
由上，我个人拙见：所谓G1、G2、G3是指曲线方程最高导数曲线连续的阶次，例如G2连续曲线1、2阶导数曲线都连续。
好像记得高等数学有这样一个定理：如果一个曲线方程一阶、二阶、三阶导数连续，则其n阶导数曲线连续（n为自然数）。
我想这也许是将G3连续称作完美曲线的原因吧，也许也是没有什么G4、G5连续的原因。
严重声明：本人是菜鸟一个，以上只是个人在这个论坛混了几个月的一点思考。
肯定有错误，请大侠不吝指教，我尽快改正，以免扰己误人。
另：本人作图说明各种连续，但是没有更简单明确的方式说明G3连续，请大侠门帮忙赐我一个例子。
各种连续的曲线说明：以下是简单曲面的说明：以下是班马线说明：曲面曲率分析说明：。
汽车A级曲面在整个汽车开发的流程中，有一工程段称为Class A Engineering，重点是在确定曲面的品质可以符合A级曲面的要求。
所谓A级曲面的定义，是必须满足相邻曲面间之间隙在0.005mm 以下（有些汽车厂甚至要求到0.001mm），切率改变( tangency Change ) 在0.16度以下，曲率改变(curvature change) 在0.005 度以下，符合这样的标准才能确保钣件的环境反射不会有问题。
a-class包括多方面评测标准,比如说反射是不是好看、顺眼等等。
当然，G2可以说是一个基本要求,因为g2以上才有光顺的反射效果。
但是,即使G3了，也未必是a-class,也就是说有时虽然连续，但是面之间出现褶皱，此时就不是a-class通俗一点说，class-A就必须是G2以上连接。
G3连续的面不一定是CLASS-A曲面。
汽车业界对于a class要求也有不同的标准，GM要求比TOYOTA ，BMW等等要低一些，也就是说gap和angle要求要松一些。
关于A-class surfaces，涉及曲面的类型的二个基本观点是位置和质量。
位置——所有消费者可见的表面按A-Surface考虑。
汽车的console（副仪表台）属于A-surf，内部结构件则是B-surf。
质量——涉及曲面拓扑关系、位置、切线、曲面边界处的曲率和曲面内部的patch结构。
有一些意见认为“点连续”是C类，切线连续是B类，曲率连续是A类。
而我想更加适当地定义为C0、C1和C2，对应于B样条曲线方程和它的1阶导数（相切=C1）和它2阶导数（曲率=C2）。
因此一个A-surf有可能是曲率不连续的，如果那是设计的意图，甚至有可能切线不连续,如果设计意图是一处折痕或锐边,（而通常注塑或冲压不能有锐边，因此A-suuf一定是切线连续(C1)的）。
第二种思想以汽车公司和白车身制造方面的经验为基础，做出对A-surf更深刻的理解。
浅谈曲率的连续性在设计中的应用作者：曾凡虎来源：《文艺生活·文艺理论》2015年第11期摘 ; 要：随着设计的进步与发展，设计背后的数学关系，越来越受到相关人士的关注，从公元前6世纪古希腊毕达哥拉斯学派发现的黄金比例到公元12世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契发现的斐波那契数，越来越多的数学原则被应用到设计之中，这不仅是功能的需求，更是审美的需求，正是因为这些数学原则的应用，设计越发地符合人类视觉审美，而且背后蕴含的理性之美也令人观止。
本文意在阐释曲率的连续性这一种数学概念在当今设计中的应用及发展，让更多的人来关注其在设计中的重要作用。
关键词：曲率的连续性;设计;字体中图分类号：TP391.72 ; ; ; ;文献标识码：A ; ; ; ;文章编号：1005-5312（2015）32-0274-01一、曲率的连续性概述曲线的曲率（curvature）就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，通过微分来定义，表明曲线偏离直线的程度。
曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大。
而曲率的连续性就是按照其相互连接的曲线之间过渡的光滑程度，分别分为四个级别：G0、G1、G2、G3、G4，G0-位置连续：这只是端点重合，而连接处的切线方向和曲率均不一致，这种连续性的表面看起来会有各很尖锐的接缝，属于连续性种级别最低的一种;G1-切线连续，不仅再连接处端点，而且切线方向一致（可以看到连接的两条线段梳子图的刺在接触点位置是在一条直线上的）这种连续性的表面不会有尖锐的连续性接缝，但是由于两种表面在连接处曲率突变，所以在视觉效果上依然会有很明显的差异，会有一种表面中断的感觉。
G2-曲率连续：顾名思义，他们不但符和上述两种连续性的特征，而且在接点处的曲率也是相同的。
这种连续性的曲面没有尖锐接缝，也没有曲率的突变，视觉效果光滑流畅，没有突然中断的感觉，这通常是制作光滑表面的最低要求。
G3-曲率变化率连续：这种连续级别不仅具有上述连续级别的特征之外，在接点处曲率的变化率也是连续的，这使得曲率的变化更加平滑。
A级曲面全面介绍！在整个汽车开发的流程中，有一工程段称为ClassAEngineering，重点是在确定曲面的品质可以符合A级曲面的要求。
所谓A级曲面的定义，是必须满足相邻曲面间之间隙在0.005mm以下（有些汽车厂甚至要求到0.001mm），切率改变(tangencyChange)在0.16度以下，曲率改变(curvaturechange)在0.005度以下，符合这样的标准才能确保钣件的环境反射不会有问题。
a-class包括多方面评测标准,比如说反射是不是好看、顺眼等等。
当然，G2可以说是一个基本要求,因为g2以上才有光顺的反射效果。
但是,即使G3了，也未必是a-class,也就是说有时虽然连续，但是面之间出现褶皱，此时就不是a-class通俗一点说，class-A就必须是G2以上连接。
G3连续的面不一定是CLASS-A曲面。
汽车业界对于aclass要求也有不同的标准，GM要求比TOYOTA，BMW等等要低一些，也就是说gap和angle要求要松一些。
关于A-classsurfaces，涉及曲面的类型的二个基本观点是位置和质量。
位置——所有消费者可见的表面按A-Surface考虑。
汽车的console（副仪表台）属于A-surf，内部结构件则是B-surf。
质量——涉及曲面拓扑关系、位置、切线、曲面边界处的曲率和曲面内部的patch结构。
有一些意见认为“点连续”是C类，切线连续是B类，曲率连续是A类。
而我想更加适当地定义为C0、C1和C2，对应于B样条曲线方程和它的1阶导数（相切=C1）和它2阶导数（曲率=C2）。
因此一个A-surf有可能是曲率不连续的，如果那是设计的意图，甚至有可能切线不连续,如果设计意图是一处折痕或锐边,（而通常注塑或冲压不能有锐边，因此A-suuf一定是切线连续(C1)的）。
第二种思想以汽车公司和白车身制造方面的经验为基础，做出对A-surf更深刻的理解。
他们按独立分类做出了同样的定义。
A级曲面全面介绍在整个汽车开发的流程中，有一工程段称为Class A Engineering，重点是在确定曲面的品质可以符合A级曲面的要求。
所谓A级曲面的定义，是必须满足相邻曲面间之间隙在0.005mm 以下（有些汽车厂甚至要求到0.001mm），切率改变( tangency Change ) 在0.16度以下，曲率改变(curvature change) 在0.005 度以下，符合这样的标准才能确保钣件的环境反射不会有问题。
a-class包括多方面评测标准,比如说反射是不是好看、顺眼等等。
当然，G2可以说是一个基本要求,因为g2以上才有光顺的反射效果。
但是,即使G3了，也未必是a-class,也就是说有时虽然连续，但是面之间出现褶皱，此时就不是a-class通俗一点说，class-A就必须是G2以上连接。
G3连续的面不一定是CLASS-A曲面。
汽车业界对于a class要求也有不同的标准，GM要求比TOYOTA ，BMW等等要低一些，也就是说gap和angle要求要松一些。
关于A-class surfaces，涉及曲面的类型的二个基本观点是位置和质量。
位置－－所有消费者可见的表面按A-Surface考虑。
汽车的console（副仪表台）属于A-surf，内部结构件则是B-surf。
质量－－涉及曲面拓扑关系、位置、切线、曲面边界处的曲率和曲面内部的patch结构。
有一些意见认为“点连续”是C类，切线连续是B类，曲率连续是A类。
而我想更加适当地定义为C0、C1和C2，对应于B样条曲线方程和它的1阶导数（相切=C1）和它2阶导数（曲率=C2）。
因此一个A-surf有可能是曲率不连续的，如果那是设计的意图，甚至有可能切线不连续,如果设计意图是一处折痕或锐边,（而通常注塑或冲压不能有锐边，因此A-suuf一定是切线连续(C1)的）。
第二种思想以汽车公司和白车身制造方面的经验为基础，做出对A-surf更深刻的理解。
一. G0、G1、G2、G3是描述曲面、曲线的连续方式，平滑程度的，一般常用于判断修补曲面时的曲面质
量。
国际模具网
G0——点连续：是指曲面或曲线点点连续。
曲线无断点，曲面相接处无裂缝。
判定方法：曲线不断，但是有角；曲面没有窟窿或裂缝，但是有楞。
数学解释：曲线或任意平面与该曲面的交线处处连续。
G1——相切连续：是指曲面或曲线点点连续，并且所有连接的线段、曲面片之间都是相切关系。
判定方法：曲线不断，平滑无尖角；曲面连续，没有楞角。
数学解释：曲线或任意平面与该曲面的交线处处连续，且一阶导数连续。
G2——曲率连续：是指曲面或曲线点点连续，并且其曲率分析结果为连续变化。
判定方法：对曲线做曲率分析，曲率曲线连续无断点。
对平面做斑马线分析，所有斑马线平滑，
没有尖角。
数学解释：曲线或任意平面与该曲面的交线处处连续，且二阶导数连续。
G3——曲率相切连续：是指曲面或曲线点点连续，并且其曲率曲线或曲率曲面分析结果为相切连续。
判定方法：对曲线做曲率分析，曲率曲线连续，且平滑无尖角。
因为对G3连续用到的比较少，目
前还不知道什么更好的G3曲面判定方法，请高手补充。
数学解释：曲线或任意平面与该曲面的交线处处连续，且三阶导数连续。
二.
Gn表示两个几何对象间的实际连续程度。
1.G0两个对象相连或两个对象的位置是连续的。
G0连续（也称为点连续）在每个表面上产生一次反
射，这种连续仅仅保证曲面间没有缝隙而是完全接触。
2.G1两个对象光顺连续，一阶微分连续，或者是相切连续的。
G1连续（也称为切线连续）将产生一
次完整的表面反射，反射线连续但是扭曲壮，这种连续仅是方向的连续而没有半径连续。
我们通常的倒圆角就是这种情况。
3.G2两个对象光顺连续，二阶微分连续，或者两个对象的曲率是连续的。
G2连续（也称为曲率连续）
将产生横过所以边界的完整的和光滑的反射纹。
曲率连续意味着在任何曲面上的任一“点”中沿着边界有相同的曲率半径。
外观质量要求高的产品需要曲率做到G2连续，其实曲面做到这一点难度是很大发。
在我们一般的产品设计中G1连续就能满足大部分产品开发需要。
4.G3两的对象光顺连续，三阶微分连续等。
三. Gn的连续性是独立于表示（参数化）的。
a.G1意味着切向矢量的方向相同，但模量不同。
b.G2意味着曲率相同，但二阶导数不同。
如何分析出一个曲面是G1还是G2？用高斯曲率分析两个
面之间公共线左右如果颜色有分界线就是G1 如果没有分界线就是G2 用加亮曲线分析如果加亮曲线条纹在公共线左右断开就是G1 如果没有分界线就是G2
G0-位置连续，G1-切线连续，G2-曲率连续，G3-曲率变化率连续，G4-曲率变化率的变化率连续这些术语用来描述曲面的连续性。
曲面连续性可以理解为相互连接的曲面之间过渡的光滑程度。
提高连续性级别可以使表面看起来更加光滑、流畅
c.G3-曲率变化率连续这种连续级别不仅具有上述连续级别的特征之外，在接点处曲率的变化率也是连
续的，这使得曲率的变化更加平滑。
曲率的变化率可以用一个一次方程表示为一条直线。
这种连续级别的表面有比G2更流畅的视觉效果。
但是由于需要用到高阶曲线或需要更多的曲线片断所以通常只用于汽车设计。
d.G4-曲率变化率的变化率连续“变化率的变化率”似乎听起来比较深奥，实际上可以这样理解，它使曲
率的变化率开始缓慢，然后加快，然后再慢慢的结束。
这使得G4连续级别能够提供更加平滑的连续效果。
但是这种连续级别将比G3计算起来更复杂，所以几乎不会在小家电一类的产品设计中出现。
实际上，就算出现了，我们也未必看得出来。
总结一下这几种连续级别总结一下这几种连续级别:
G0由于使模型产生了锐利的边缘，所以平时都极力避免，甚至想尽办法摆脱这种效果。
不常用。
G1由于制作简单，成功率高，而且在某些地方及其实用，比如手机的两个面的相交处就用这种连续级别。
比较常用。
G2由于视觉效果非常好，是大家追求的目标，但是这种连续级别的表面并不容易制作（一些高手们出的题目基本上就是和这种连续级别表面的制作方法拼命的），这也是Nurbs建模中
的一个难点。
这种连续性的表面主要用于制作模型的主面和主要的过渡面。
G3,G4这两种连续级别通常不使用，因为他们的视觉效果和G2几乎相差无几，而且消耗更多的计算资源。
这两种连续级别的优点只有在制作像汽车车体这种大面积、为了得到完美的
反光效果而要求表面曲率变化非常平滑的时候才会体现出来。
四.
G0-位置连续
两组线都是位置连续，他们只是端点重合，而连接处的切线方向和曲率均不一致。
这种连续性的表
面看起来会有一个很尖锐的接缝，属于连续性中级别最低的一种。
G1-切线连续
两组曲线属于切线连续，他们不仅在连接处端点重合，而且切线方向一致(可以看到相连的两条线
段梳子图的刺在接触点位置是在一条直线上的)。
用过其他PC插图软件的用户，比如CorelDraw，实际上通常得到的都是这种连续性的曲线。
