30第九章 连续时间：微分方程

微分方程笔记总结
一、微分方程的基本概念
微分方程是描述某一变量关于时间的导数或微分满足一定关系的方程。

它通常用于描述自然现象和社会现象的变化规律，如物理学、工程学、经济学等领域。

微分方程一般形式为：y' = f(x, y) 或 dy/dx = f(x, y)
其中，y 是未知函数，x 是自变量，f(x, y) 是已知函数。

二、微分方程的解
微分方程的解是指满足方程的函数。

对于给定的微分方程，我们需要找到满足该方程的函数，以便描述某一变量的变化规律。

三、微分方程的分类
根据微分方程中变量的个数和方程的形式，微分方程可以分为以下几类：
1. 常微分方程：只含有一个变量的微分方程。

2. 偏微分方程：含有两个或多个变量的微分方程。

3. 线性微分方程：方程中的未知函数和其导数是线性组合的微分方程。

4. 非线性微分方程：方程中的未知函数和其导数不是线性组合的微分方程。

四、微分方程的解法
对于不同类型的微分方程，解法也不同。

以下是一些常见的解法：
1. 分离变量法：将方程中的变量分离，转化为可求解的一阶常微分方程。

2. 积分因子法：通过引入积分因子，将高阶微分方程转化为可求解的一阶微分方程组。

3. 参数式解法：通过引入参数，将微分方程转化为参数方程组，从而求解未知函数。

4. 幂级数解法：将未知函数表示为幂级数形式，然后代入微分方程求解未知系数。

5. 数值解法：对于难以解析求解的微分方程，可以采用数值方法求解，如欧拉法、龙格-库塔法等。

第9章 偏微分方程的差分方法含有偏导数的微分方程称为偏微分方程。

由于变量的增多和区域的复杂性，求偏微分方程的精确解一般是不可能的，经常采用数值方法求方程的近似解。

偏微分方程的数值方法种类较多，最常用的方法是差分方法。

差分方法具有格式简单，程序易于实现，计算量小等优点，特别适合于规则区域上偏微分方程的近似求解。

本章将以一些典型的偏微分方程为例，介绍差分方法的基本原理和具体实现方法。

9.1椭圆型方程边值问题的差分方法9.1.1 差分方程的建立最典型的椭圆型方程是Poisson （泊松）方程G y x y x f yux u u ∈=∂∂+∂∂-≡∆-),(),,()(2222 （9.1）G 是x ,y 平面上的有界区域，其边界Γ为分段光滑的闭曲线。

当f (x ,y )≡0时，方程（9.1）称为Laplace(拉普拉斯）方程。

椭圆型方程的定解条件主要有如下三种边界条件第一边值条件 ),(y x u α=Γ （9.2） 第二边值条件),(y x nuβ=∂∂Γ （9.3） 第三边值条件 ),()(y x ku nuγ=+∂∂Γ （9.4） 这里，n 表示Γ上单位外法向，α(x,y ),β(x,y ),γ(x,y )和k (x,y )都是已知的函数，k (x,y )≥0。

满足方程（9.1）和上述三种边值条件之一的光滑函数u (x ,y )称为椭圆型方程边值问题的解。

用差分方法求解偏微分方程，就是要求出精确解u (x ,y )在区域G 的一些离散节点（x i ，y i ）上的近似值u i ,j ≈(x i ，y i ）。

差分方法的基本思想是，对求解区域G 做网格剖分，将偏微分方程在网格节点上离散化，导出精确解在网格节点上近似值所满足的差分方程，最终通过求解差分方程，通常为一个线性方程组，得到精确解在离散节点上的近似值。

设G ={0<x <a , 0<y <b }为矩形区域，在x ,y 平面上用两组平行直线x =ih 1, i =0,1,…,N 1, h 1=a /N 1 y =jh 2, j =0,1,…,N 2, h 2=b /N 2将G 剖分为网格区域，见图9-1。

微分动力系统原理
微分动力系统是一种描述连续时间系统演化的数学工具。

它的核心思想是利用微分方程来描述系统随时间变化的规律。

微分方程描述了系统的状态随时间的变化率，而微分动力学系统则通过对微分方程的求解，可以得到系统在不同时间点的状态。

微分动力系统的基本原理是，通过考察系统的状态变化率来研究系统的特征和演化规律。

系统的状态可以由状态变量来描述，而状态变量的变化率可以由微分方程来表示。

例如，对于一个简单的一阶微分方程，可以表示为：dx/dt = f(x)，其中x表示
系统的状态变量，t表示时间，f(x)表示状态变量变化率关于状态变量的函数。

对于给定的初始状态x0，通过求解微分方程，可以得到系统
在不同时间点的状态。

这个求解过程可以是解析的，也可以是数值的。

通过研究系统在不同初始状态下的演化规律，可以揭示系统的特征和行为，进而深入理解系统的动力学特性。

微分动力系统的研究可以涉及到多个方面，包括稳定性分析、周期解的存在和性质、边界吸引子、混沌现象等。

通过对微分方程的定性分析和数值模拟，可以得到系统的演化图像，以及系统可能具有的特殊性质和行为。

总之，微分动力系统是一种描述连续时间系统演化的数学工具，通过对微分方程的求解和分析，可以揭示系统的动力学特征和规律。

它在多个科学领域中都有广泛的应用，包括物理学、生物学、化学等。

《生物建模仿真》学习指南一、学习目的《生物建模仿真》是生物医学工程本科的专业基础课程，也是现代生物科学、医学、医学等相关专业教育教学的重要内容之一。

建模与仿真是分析、研究和设计各类系统，特别是诸如生命系统这类复杂系统的重要知识结构。

本课程的学习目的：1. 学习系统建模与计算机仿真的基本理论和方法。

2. 通过学习生物建模仿真的典型实例，学习和培养解决生物建模仿真实际问题的创新能力和实践能力。

二、课程理论部分学习指南课程理论学习分两个部分：第一部分包括第1章到第6章，内容是数学模型建模的基本理论和方法，计算机仿真的基本理论和方法，以及建模与仿真的校核、验证和确认（VV A）技术。

第二部分从第7章到第10章，通过学习生物系统建模仿真的4个典型范例，以点带面，培养应用建模仿真的基本理论与方法，解决生物系统实际问题的能力。

以下是理论课每个知识结构的主要内容、知识点、重点难点和学习质量的自我监测指标。

第1章生物建模仿真概论1. 学习目的了解建模仿真基本概念及生物建模仿真的研究与应用进展动态。

2. 学习内容(1)系统模型的定义、分类。

(2)系统仿真的基本概念、基本步骤、分类和计算机仿真。

(3)生物建模与仿真的研究与应用进展动态。

3. 知识点系统模型，计算机仿真4. 重点与难点系统建模的基本原理：模型与系统的相似性，根据建模要求定义相似性。

第2章系统的数学模型和建模方法2.1 数学模型的分类1. 学习目的学习数学模型的状态集合分类和时间集合分类。

2. 学习内容(1)数学模型的状态集合分类和时间集合分类。

(2)连续状态模型：连续时间模型，离散时间模型。

3. 知识点连续状态模型与离散事件模型，连续时间与离散时间模型4. 重点与难点连续状态模型中的连续时间模型，及其对应的时间离散计算机仿真模型。

5. 学习质量的自我监测标准：本章节自测与评估。

2.2 连续状态系统模型1. 学习目的学习连续状态系统中连续时间数学模型基本概念及其4类模型的数学表达式，了解对应的离散时间模型基本概念。

连续时间信号与系统是信号处理和通信系统领域的重要基础知识。

以下是关于连续时间信号与系统的一些核心知识点总结：
1. 信号的基本概念：包括信号的定义、分类（连续、离散、确定、随机）、信号的表示方法（波形图、时域表达式、频域表示等）。

2. 连续时间信号的运算：包括信号的加、减、乘、卷积等基本运算，以及信号的平移、反转、尺度变换等变换。

3. 系统的基本概念：包括系统的定义、分类（线性时不变、线性时变、非线性等）、系统的描述方法（微分方程、差分方程、传递函数等）。

4. 线性时不变系统的分析：包括系统的响应（零状态响应和零输入响应）、系统的稳定性、系统的频率响应等。

5. 连续时间傅里叶分析：包括傅里叶级数、傅里叶变换及其性质、频率域的信号分析等。

6. 系统函数的性质和表示方法：包括系统函数的极点、零点，以及它们对系统特性的影响。

7. 信号通过线性时不变系统的分析：包括冲激响应和阶跃响应的分析，以及信号的频谱分析和系统对不同类型信号的响应。

8. 滤波器设计：包括低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器和带阻滤波器的设计，以及滤波器的频率响应和群时延特性。

9. 采样定理与信号重建：包括采样定理的理解，以及由采样信号重建原始信号的方法。

10. 连续时间系统的模拟与实现：包括模拟电路和数字电路实
现连续时间系统的方法，以及模拟与数字系统之间的转换。

以上知识点为连续时间信号与系统的基础内容，掌握这些知识点有助于理解实际通信系统和信号处理应用的原理。

如需更深入的学习，建议参考相关的教材或专业课程。

第九章 微分方程一、教学目标与根本要求（1） 了解微分方程与其解、通解、初始条件和特解的概念。

（2） 掌握变量可别离的方程和一阶线性方程的解法，会解齐次方程。

（3） 会用降阶法解以下方程：),(),,(),()(y y f y y x f y x f y n '='''=''=。

（4） 理解二阶线性微分方程解的性质以与解的结构定理。

（5） 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。

（6） 会求自由项多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以与它们的和与二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解。

（7） 会用微分方程解决一些简单的应用问题。

二、本章教学容的重点和难点1、理解和熟悉微分方程的一些根本概念；2、掌握一阶和高阶微分方程的各种初等积分法；3、熟悉线性方程的根底理论，掌握常系数二阶线性齐次与非齐次方程的解法；4、会列微分方程与其始值问题去解决实际问题。

三、本章教学容的深化和拓宽：1、别离变量法的理论根据；2、常用的变量代换；3、怎样列微分方程解应用题；4、黎卡提方程；5、全微分方程的推广；6、二阶齐次方程；7、高阶微分方程的补充；8、求线性齐次方程的另一个线性无关的解；9、求线性非齐次方程的一个特解；10、常数变易法。

本章的思考题和习题解以下方程〔第1-6题〕1、2)0(,)1(==+'+y x y y x2、()[]f dx x f e e x f xx x ,)(02⎰+=可微 3、21222sin 22sin 1X e y x y y x ++='•+ 4、0)3(24=+-xydx dy x y5、21)0(,1)0(,022-='=='+''y y y x y 6、2y y y x y '-'+'=7、可微函数)(x f 满足⎰-=+x x f f x f x x f dx x f 12)()1(,1)()()(和求； 8、)(,,1)(21)(10x f f x f da ax f 求可微+=⎰； 9、求与曲线族C y x =+2232相交成 45角的曲线； 10、一容器的容积为100L ，盛满盐水，含10kg 的盐，现以每分钟3L 的速度向容器注入淡水冲淡盐水，又以同样的速度将盐水抽入原先盛满淡水的同样大小的另一容器，多余的水便沉着器流出，问经过多少时间，两容器的含盐量相等？§9.1微分方程的根本概念一、容要点：先从实例引入建立几个微分方程的模型，引入微分方程的一系列概念；常微分方程：常微分方程的阶数、解、通解、全部解、特解、积分曲线族的定义；二、教学要求和注意点了解微分方程与微分方程的阶、解、通解、初始条件和特解以与积分曲线说明1：一个微分方程加上初始条件和初值问题的解是对某实际问题两种等价的描述形式。

第9章微分方程初步§9.1 微分方程的基本概念§9.2 一阶微分方程§9.3 二阶常系数线性微分方程§9.4 微分方程在经济学中的应用§9.1 微分方程的基本概念一、问题的提出例1 一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点),(y x M 处的切线的斜率为x 2,求这曲线的方程.解)(x y y =设所求曲线为x dxdy 2=∫=xdx y 2(1)2y =且,2C x y +=,1=C 求得.12+=x y 所求曲线方程为(1)2y =由条件⇒⇒⇒#例2 列车在平直的线路上以20米/秒的速度行驶,当制动时列车获得加速度4.0−米/秒2,问开始制动后多少时间列车才能停住？以及列车在这段时间内行驶了多少路程？解)(,t s s s t =米秒钟行驶设制动后4.022−=dtsd ,20,0,0====dt ds v s t 时14.0C t dtdsv +−==2122.0C t C t s ++−=代入条件v(0)=20120C ⇒=,202.02t t s +−=,204.0+−==t dtdsv ),(504.020秒==t 列车在这段时间内行驶了).(5005020502.02米=×+×−=s 开始制动到列车完全停住共需代入条件s(0)=020C ⇒=#含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程。

例,xy y =′,0)(2=++xdx dt x t ,32x e y y y =−′+′′,y x xz+=∂∂二、微分方程的定义联系自变量、未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)的关系式：()(,,,,)0n F x y y y ′= 微分方程的实质：微分方程的阶:分类1: 常微分方程& 偏微分方程。

,0),,(=′y y x F );,(y x f y =′,0),,,,()(=′n y y y x F ).,,,,()1()(−′=n n y y y x f y 分类2: 一阶微分方程& 高阶(n阶)微分方程。

连续时间代数riccati方程全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：连续时间代数Riccati方程是一类重要的微分代数方程，广泛应用于控制理论、动力系统、信号处理等领域。

它可以描述系统状态随时间演化的动态过程，并在实际应用中发挥着重要作用。

本文将介绍连续时间代数Riccati方程的基本概念、求解方法和应用领域。

一、基本概念连续时间代数Riccati方程是一种特殊的矩阵微分方程，定义如下：\dot{P}(t) = -A^T P(t) - P(t)A - P(t)B R^{-1} B^T P(t) + QP(t)是一个对称矩阵，称为Riccati方程的解；A、B、R、Q分别是给定的矩阵，分别代表系统的状态矩阵、输入矩阵、状态-输入权重矩阵和状态-状态权重矩阵。

连续时间代数Riccati方程的特点在于，它不仅包含了状态矩阵的演化动态，还考虑了系统输入和权重矩阵对系统状态的影响。

Riccati 方程可以描述系统在连续时间下的状态演化规律，是控制理论中的重要工具。

二、求解方法对于一般的连续时间代数Riccati方程，其解并不容易求解。

针对特定情况下的Riccati方程，可以采用不同的方法进行求解。

常用的求解方法包括：1. Lyapunov方程法：将Riccati方程转化为Lyapunov方程进行求解；2. 反应敏感性法：通过求解线性化的Riccati方程，然后利用反应敏感性理论进行逼近求解；3. 近似法：将Riccati方程展开成级数，通过截断级数求解近似解。

这些方法在实际应用中都有其适用范围，可以根据具体问题的特点选择合适的方法进行求解。

三、应用领域连续时间代数Riccati方程在控制理论、动力系统、信号处理等领域有着广泛的应用。

一些典型的应用包括：1. 线性二次型控制：Riccati方程是线性二次型控制理论的核心工具，用于设计最优控制器，实现控制系统的性能优化；2. 动态系统稳定性分析：通过求解Riccati方程，可以分析系统的稳定性和受控性，评估系统的运动特性；3. 鲁棒控制设计：Riccati方程在鲁棒控制设计中起着重要作用，可以设计具有鲁棒性能的控制器。

连续时域分析方法什么是连续时域分析方法？连续时域分析方法是指对连续时间信号在时域上进行分析的方法。

通常采用微积分及微分方程的方法来处理信号的变化和传递，可以用来处理线性信号和非线性信号。

连续时域分析方法是信号处理领域中的基础，其应用广泛，如在信号源编码和数字信号处理方面等。

连续时域分析方法常见的技术1. 微分方程方法通过利用微分方程来描述信号的传递和变化，来获得信号的时域特征。

该方法以微分方程为基础，通过对微分方程的求解，得到信号的时域响应。

比如我们可以用一阶微分方程来描述电路中的电压变化：V(t)=RC（dv(t)/dt）+i(t)，其中R，C为电阻和电容，i(t)是电路中的电流。

通过对这个微分方程求解，可以得到信号的时域响应。

2. 傅里叶分析法傅里叶分析法是指把信号分解成若干个基本频率的正弦信号或余弦信号，来描述信号的时域特征。

傅里叶分析法将信号沿时间轴上的变化分解成不同频率的正弦波，用频域中的谱图表示信号。

其基本思想是将信号分解成一系列基本频率的正弦波，使得每个波形的能量都可以在频谱中表示出来，而且可以对每个基频的信号进行进一步的处理。

3. 差分方程法差分方程法是指通过对信号采样和量化，然后应用差分方程求解来处理信号的时域响应。

差分方程法可以把连续时间信号通过采样与量化处理后得到离散时间信号，对这个离散化的信号应用差分方程来得到其时域响应。

差分方程法常用于数字信号处理中，比如数字滤波和数字控制等领域。

4. 拉普拉斯变换法拉普拉斯变换法是指将时域信号转换成在复平面上的拉普拉斯变量表示，然后对其进行变换操作，得到在拉普拉斯空间中的响应，并通过反变换将其转换回时域。

拉普拉斯变换法的基本思想是将时域信号转换为复平面上的拉普拉斯变量表示，再对其进行变换操作，将其变换为在拉普拉斯空间中所代表的信号的响应。

这种方法可以用于线性和非线性信号处理，广泛应用于线性系统和控制理论等领域。

5. 各种传输函数模型在连续时域分析方法中，还有一些常见的模型用于表示信号的传递和变化。

连续系统模型表示方法连续系统模型是指用数学表达式来描述物理系统或控制系统的行为。

在实际应用中，我们通常使用微分方程或差分方程来表示连续系统模型。

1.微分方程表示方法微分方程是用导数表示的方程，它可以描述物理系统或控制系统的状态变化过程。

对于连续系统模型，我们通常使用常微分方程或偏微分方程来表示。

常微分方程的形式为：dy(t)/dt = f(y(t), u(t))其中，y(t)表示系统的状态变量，u(t)表示输入信号或控制信号，f 是系统的状态方程。

这种表示方法适用于连续时间域下的系统，可以通过数值解法或解析解法求解系统的行为。

2.差分方程表示方法差分方程是用差分运算符表示的方程，它可以描述离散时间域下的系统行为。

对于连续系统模型，我们可以将微分方程离散化得到差分方程。

差分方程的形式为：y(k+1) = f(y(k), u(k))其中，y(k)表示系统的状态变量，u(k)表示输入信号或控制信号，f 是系统的状态方程。

这种表示方法适用于数字控制系统或数字信号处理系统，可以通过离散化的数值方法求解系统的行为。

3.传递函数表示方法传递函数是一种将输入输出关系表示为函数的方法，它可以用来分析系统的稳定性、频率响应等特性。

对于连续系统模型，我们可以使用拉普拉斯变换将微分方程转换为传递函数。

传递函数的形式为：G(s) = Y(s) / U(s) = N(s) / D(s)其中，Y(s)和U(s)分别表示系统的输出和输入的拉普拉斯变换，N(s)和D(s)分别表示系统的分子和分母多项式。

这种表示方法适用于分析连续系统的频率特性和控制系统的设计。

总之，连续系统模型的表示方法有微分方程、差分方程和传递函数三种，不同的表示方法适用于不同的系统分析和设计需求。