(完整)高一必修一基本初等函数知识点总结归纳,推荐文档

必修1 基本初等函数知识点整理一、指数与指数幂的运算（1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n=∈∈>，且n N+∈，那么x叫做a的n次方根．当n是奇数时，_______=x当n是偶数时，当_______,0=>xa；当=a0，_______=x；当0<a，_______=x．_____，这里n叫做_____，a叫做_______．当n为奇数时，a为_____；当n为偶数时，__a③根式的性质：n a=；当n a=；当n为偶数时，(0)||(0)a aaa a≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,mna a m n N+=>∈且1)n>．0的正分数指数幂等于________．②正数的负分数指数幂的意义是：1()0,,,m mn na a m n Na-+==>∈．0的负分数指数幂__________．（3）分数指数幂的运算性质①__________=⋅sr aa②__________=sraa③__________)(=sra练习：1.下列根式与分数指数幂的互化，正确的是（）(A)12()(0)x x=->13(0)y y=< (C)340)x x-=> (D)130)x x-=≠2.已知11223x x-+=，求22332223x xx x--+-+-的值；二、指数函数及其性质练习：1.设0x >，且1xxa b <<（0a >，0b >），则a 与b 的大小关系是 （ ）（A ）1b a << （B ）1a b << （C ）1b a << （D ）1a b << 2.函数xex f -=11)(的定义域是3.如图为指数函数xx x x d y c y b y a y ====)4(,)3(,)2(,)1(，则d c b a ,,,与1的大小关系为 （A ）d c b a <<<<1 （B ）c d a b <<<<1（C ）d c b a <<<<1 （D ）c d b a <<<<1 4.若函数m y x +=+-12的图象不经过第一象限，则m 的取值范围是 （ ） （A ）2-≤m （B ）2-≥m （C ）1-≤m （D ）1-≥m5. 已知f (x)＝2xxe e -+且x ∈[0, ＋∞ ）(1) 判断f (x)的奇偶性; (2) 判断f (x)的单调性，并用定义证明三、对数与对数运算（1）对数的定义：若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作______=x ，其中a 叫做____，N 叫做____(2)几个重要的对数恒等式: log 10a = ，log 1a a = ，log ba ab =．(3)常用对数: (以_____为底),记作：_________; 自然对数：(以_____为底), 记作：_________． (4)对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①________________)(log =MN a ②________________)(log =N Ma ③log log ()n aa n M M n R =∈ ④log a NaN =⑤log log (0,)b na a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b ab N N b b a =>≠且 练习：1.________,2log 6log 31log .2________,32log 63564==⋅⋅=x x 则若3.设,518,9log 18==b a ，求45log 36.4.已知35a bc ==，且112a b+=，求c 的值5.求方程22log (1)2log (1)x x -=-+的解6. 求函数22(log )(log )34x x y =在区间8]上的最值四、对数函数及其性质1.函数y =（ ）A [1,)+∞B 23(,)+∞ C 23[,1] D 23(,1]2.若函数)1,0)((log ≠>+=a a b x y a 的图象过两点(-1，0)和(0，1)，则 ( ) (A)a=2,b=2 (B)a= 2 ,b=2 (C)a=2,b=1 (D)a= 2 ,b= 23.已知7.01.17.01.1,8.0log ,8.0log ===c b a ，则c b a ,,的大小关系是（ ）（A ）c b a <<（B ）c a b << （C ）b ac <<（D ）a cb <<4.已知函数f （x ）=2log (0)3(0)x x x x >≤⎧⎨⎩，则f ［f （14）］的值是（ ）A ．9B ．19C ．－9D ．－195.函数y=|log 2x|的图象是（ ）6.如果log 5log 50a b >>，那么a 、b 间的关系是（ ）A 01a b <<<B 1a b <<C 01b a <<<D 1b a <<7．若0＜a ＜1，f(x)＝|log ax|，则下列各式中成立的是（ ） A ．f(2)＞f(13)＞f(14) B ．f(14)＞f(2)＞f(13) C ．f(13)＞f(2)＞f(14) D ．f(14)＞f(13)＞f(2)8.已知a>b ，函数f(x)＝(x －a)(x －b)的图象如图所示，则函数g(x)＝log a (x ＋b)的图象可能为( )9．已知：()lg()xxf x a b =-（a ＞1＞b ＞0）．（1）求)(x f 的定义域（2）判断)(x f 的单调性（3）若)(x f 在（1，＋∞）恒为正，比较a-b 与1的大小．五、幂函数（1）幂函数的定义：一般地，函数________________叫做幂函数，其中x 为_________，α是___________． （2）常见幂函数的图象（在同一坐标系中画出下列函数的图像）23232211--======x y xy x y x y xy xy（3）幂函数的性质①图象分布：在第______象限都有图像，在第 ____象限无图象． ②过定点：_____________．③单调性：如果0α>，在[0,)+∞上为___函数如果0α<，则在(0,)+∞上为____函数，并且无限接近_____ ④奇偶性：当α为奇数时，幂函数为__________函数，当α为偶数时，幂函数为_______函数．当qpα=（其中,p q 互质，p 和q Z ∈）， 若p 为奇数q 为奇数时，则qp y x =是_______函数，若p 为奇数q 为偶数时，则q p y x =是_______函数，若p 为偶数q 为奇数时，则q py x =是_______函数． 练习：1．函数y ＝（1－2x ）21－的定义域是_________ 2.幂函数的图象过点(2,14), 则它的单调递增区间是3.函数43-=xy 在区间上 是减函数4．下列命题中正确的是（ ）A ．当0α=时，函数y x α=的图象是一条直线 B ．幂函数的图象都经过（0，0），（1，1）两点 C ．幂函数的y x α= 图象不可能在第四象限内 D ．若幂函数y x α=为奇函数，则在定义域内是增函数 六、函数的零点：对于函数y=f(x)，我们把使___________的实数x 叫做函数y=f(x)的零点，函数的零点是一个______ 零点的存在性定理：如果函数y=f(x)在区间[a ，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有_____________，那么函数y=f(x)在区间（a,b ）内有零点，即存在c ∈ (a ，b)，使得f(c)=0，这个c 也就是方程f(x)=0的根.练习：1.已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≤1，1＋log 2x ，x>1，则函数f(x)的零点为( ) A.12，0 B.－2，0 C.12 D.02.在下列区间中，函数f(x)＝e x ＋4x －3的零点所在的区间为( )A ．(－14，0)B ．(0，14)C ．(14，12)D ．(12，34)3.函数f(x)＝(12)x －sinx 在区间[0,2π]上的零点个数为________．4.若函数f(x)＝x 3＋x 2－2x －2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下表那么方程x 3＋A.1.5 B.1.4 C.1.3 D.1.2七、一元二次方程的实根分布问题一元二次方程的根，其实质就是其相应二次函数的图象与x 轴交点的横坐标，因此，可以借助于二次函数及其图象，利用数形结合的方法来研究一元二次方程的实根分布问题，一元二次方程ax²+bx+c=0(a>0)的实根分布1.已知方程x ²+(m –3)x+m=0的两个根均小于1，求实数m 的取值范围。

基本初等函数第一讲 幂函数1、幂函数的定义一般地，形如y x α=（x ∈R ）的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数.如11234,,y x y x y x -===等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数.注意：y x α=中，前面的系数为1，且没有常数项2、幂函数的图像（1）y x = （2）12y x = （3）2y x = （4）1y x -= （5）3y x =3、幂函数的性质（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）（原因：11x=）；（2）0>α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数．特别地，当1>α时，幂函数的图象下凸；当10<<α时，幂函数的图象上凸；（3）0<α时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴．分数指数幂概念 有理指数幂运算性质(0,,)r s r s a a a a r s Q +=>∈；()(0,,)r s rs a a a r s Q =>∈(0,,*,1)a m n N n >∈>且 ()(0,0,)r r r ab a b a b r Q =>>∈第二讲 指数函数1、指数（1）n 次方根的定义若x n =a ，则称x 为a 的n 次方根，“n”是方根的记号.在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，0的奇次方根是0；正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数，0的偶次方根是0，负数没有偶次方根.（2）方根的性质①当n 为奇数时，n n a =a . ②当n 为偶数时，n n a =|a |=⎩⎨⎧<-≥).0(),0(a aa a（3）分数指数幂的意义①a nm =n m a （a ＞0，m 、n 都是正整数，n ＞1）. ②an m -=nm a1=nma1（a ＞0，m 、n 都是正整数，n ＞1）.2、指数函数的定义一般地，函数xy a =（a ＞0且a ≠1）叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R . 说明：因为a ＞0，x 是任意一个实数时，xa 是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R .n mnm a a=nmn m nm aa a1＝=-000,0xx a a x a ⎧>⎪=⎨≤⎪⎩x当时,等于若当时,无意义若a ＜0，如1(2),,8xy x x =-=1先时,对于=等等,6在实数范围内的函数值不存在. 若a =1, 11,xy == 是一个常量， 5,,3,31x x x a y x y y +===+1xx为常数,象y=2-3,y=2等等, 不符合(01)x y a a a =>≠且的形式,所以不是指数函数.3、 指数函数的图像及其性质（1）底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y 轴对称.（2）在[,]x a b f x a 上,()=（a ＞0且a ≠1）值域是[(),()][(),()];f a f b f b f a 或 （3）若0,x f x f x x ≠≠∈则()1;()取遍所有正数当且仅当R;（4）对于指数函数()xf x a =（a ＞0且a ≠1），总有(1);f a =（5）当a ＞1时，若1x ＜2x ，则1()f x ＜2()f x ；第三讲 对数函数1、 对数（1）对数的概念一般地，若(0,1)xa N a a =>≠且，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =a 叫做对数的底数，N 叫做真数.如：24416,2log 16==则，读作2是以4为底，16的对数. 1242=，则41log 22=，读作12是以4为底2的对数. （2）指数式与对数式的关系：a b =N ⇔log a N =b （a ＞0，a ≠1，N ＞0）.两个式子表示的a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的，并且可以互化.（3）对数运算性质:①log a （MN ）=log a M +log a N . ②log a NM =log a M －log a N . ③log a M n=n log a M .（M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1） ④对数换底公式：log b N =bNa a log log （a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1，N ＞0）. （4）两类对数① 以10为底的对数称为常用对数，10log N 常记为lg N .② 以无理数e=2.71828…为底的对数称为自然对数，log e N 常记为ln N .以后解题时，在没有指出对数的底的情况下，都是指常用对数，如100的对数等于2，即lg1002=.2、对数函数的概念一般地，我们把函数log a y x =（a ＞0且a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）． 3、对数函数的图象及其性质a <11))底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称.。

第一部分基本初等函数知识点整理第二章 基本初等函数一、指数函数 （一）指数1、 指数与指数幂的运算：复习初中整数指数幂的运算性质： a m *a n =a m+n(a m )n=a mn(a*b)n =a n b n2、根式的概念：一般地，若a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *．当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数。

此时，a 的n 次方根用符号 表示。

当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数。

此时正数a 的正的n 次方根用符号 表示，负的n 的次方根用符号 表示。

正的n 次方根与负的n 次方根可以合并成 （a>0）。

注意：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n。

当n 是奇数时，a a n n =，当n 是偶数时，⎩⎨⎧<≥-==)0()0(||a a a a a a nn 式子n a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数。

3、 分数指数幂正数的分数指数幂的)1,,,0(*>∈>=n N n m a a an m nm ，)1,,,0(11*>∈>==-n N n m a a aanmnm nm0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义4、 有理数指数米的运算性质（1）r a ·s r ra a+=),,0(R s r a ∈>； （2）rss r a a =)( ),,0(R s r a ∈>；（3）s r r a a ab =)(),,0(R s r a ∈>．5、无理数指数幂一般的，无理数指数幂a a（a>0,a 是无理数）是一个确定的实数。

有理数指数幂的运算性质同样使用于无理数指数幂。

（二）、指数函数的性质及其特点1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ．注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．为什么？（1）在[a ，b]上，值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [；（2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈； （3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且，总有a )1(f =； （4）当a>1时，若X 1<X 2 ,则有f(X 1)<f(X 2)。

基本初等函数知识点总结1.多项式函数多项式函数是由常数和幂函数通过加减乘除运算得到的函数，它的一般形式是f(x)=anx^n+an-1x^(n-1)+...+a1x+a0，其中an,...,a0是常数，n是非负整数。

多项式函数的最高次数决定了函数的增长速度，函数的图像通常是一个平滑的曲线。

2.指数函数指数函数的形式是f(x)=a^x，其中a是一个正实数且不等于1、指数函数的图像呈现出递增或递减的趋势，具有不断增长的特点。

指数函数的特点是：当a>1时，函数递增；当0<a<1时，函数递减；当a=1时，函数恒为1；当x=0时，函数的值为13.对数函数对数函数的形式是f(x)=log_a(x)，其中a是一个正实数且不等于1，x是一个正实数。

对数函数与指数函数是互逆的关系，即对数函数是指数函数的逆函数。

对数函数的特点是：当a>1时，函数递增；当0<a<1时，函数递减；当a=1时，函数恒为0；当x=1时，函数的值为0。

4.三角函数三角函数包括正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)、正切函数tan(x)等。

它们的图像是周期性的，周期为2π。

三角函数是以圆上的点的坐标来定义的，它们与三角关系密切相关，具有很多重要的应用，如波动、振动、旋转等。

5.反三角函数反三角函数是三角函数的逆函数，如反正弦函数arcsin(x)，反余弦函数arccos(x)，反正切函数arctan(x)等。

它们的定义域是[-1,1]，值域是[-π/2,π/2]。

反三角函数可以用来解三角方程和求解三角函数的值，也在三角函数应用中起到重要作用。

6.指数对数函数指数对数函数是指数函数和对数函数的组合，如指数函数的反函数指数对数函数f(x)=log_a(x)，对数函数的反函数指数对数函数f(x)=a^x。

指数对数函数具有特定的增长速度和性质，广泛应用于科学、金融、工程等领域。

总结起来，基本初等函数是初等函数的基础知识，包括多项式函数、指数函数、对数函数和三角函数等。

精品文档高一必修一函数知识点〔 〕 〖〗指数函数 〔1〕根式的概念①na 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．②当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，a 0．③根式的性质：(n a)n a ；当n 为奇数时，na n a ；当n 为偶数时， n a n|a|a(a 0) ．a(a0)〔2〕分数指数幂的概念m n a m(a①正数的正分数指数幂的意义是：a n0,m,nN,且n1) ．0的正分数指数幂等于 0．mmn (1)m(a0,m,n②正数的负分数指数幂的意义是：a n ( 1)nN ,且n 1)．0的负分数指数幂没有意a a义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．〔3〕分数指数幂的运算性质①a r a sa rs (a0,r,s R) ② (a r )sa rs (a0,r,s R) ③(ab)r a r b r(a 0,b 0,rR)〔4〕指数函数函数名称指数函数定义函数y a x (a 0且a 1)叫做指数函数a 1a1yy a xy a xy图象y1y1(0,1)(0,1)OxOx定义域 R值域 〔0,+∞〕过定点图象过定点〔0,1〕，即当x=0时，y=1．奇偶性 非奇非偶单调性 在R 上是增函数在R 上是减函数函数值的＜y ＜1(x ＜0)y ＞1(x ＜0),y=1(x=0),0＜y ＜1(x ＞0)y ＞1(x ＞0),y=1(x=0),0变化情况a 变化对a 越大图象越高，越靠近 y 轴；在第一象限内， a 越小图象越高，越靠近 y 轴； 在第一象限内， 图象的影 a 越大图象越低，越靠近x 轴．a 越小图象越低，越靠近x 轴．在第二象限内，在第二象限内，响例：比较.精品文档〖〗对数函数〔1〕数的定①假设a x N(a0,且a 1)，x 叫做以a 底N 的数，作x log a N ，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②数式与指数式的互化：xlog a N a x N(a0,a 1, N0)．〔2〕常用数与自然数：常用数： lgN，即log 10 N ；自然数：lnN ，即log e N 〔其中e⋯〕．〔3〕几个重要的数恒等式:log a 1 0，log a a1，log a a b b ．〔4〕数的运算性如果a0,a1,M0,N0 ，那么①加法：log a Mlog a Nlog a (MN)②减法：log a Mlog a Nlog a MN ③数乘：nlog a Mlog a M n(nR) ④alog a NN⑤lognlog(0,)log b N (b 0,且b1)b M nanR ⑥底公式：log a NabMblog b a〔5〕数函数函数名称数函数定函数ylog a x(a 0且a 1)叫做数函数a 10 a 1yx1y x1log a xy log a xy象(1,0)O(1,0)xOx定域 (0,)域R定点 象定点(1,0)，即当x1，y0．奇偶性非奇非偶性在(0, )上是增函数在(0, )上是减函数.精品文档log a x0(x1)log a x0(x1)函数值的log a x0(x1)log a x0(x1)变化情况log a x0(0x1)log a x0(0x1) a变化对图在第一象限内，a越大图象越靠低，越靠近x轴在第一象限内，a越小图象越靠低，越靠近x轴象的影响在第四象限内，a越大图象越靠高，越靠近y轴在第四象限内，a越小图象越靠高，越靠近y轴反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式y f(x)中反解出x f1(y)；③将xf1(y)改写成y f1(x)，并注明反函数的定义域．〔7〕反函数的性质①原函数y f(x)与反函数y f1(x)的图象关于直线y x对称．即，假设P(a,b)在原函数y f(x)的图象上，那么P'(b,a)在反函数y f1(x)的图象上．②函数y f(x)的定义域、值域分别是其反函数yf1(x)的值域、定义域．〖〗幂函数〔1〕幂函数的图象(需要知道x=,1,2,3与y=的图像)〔2〕幂函数的性质①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．②过定点：图象都通过点(1,1)．〖〗二次函数1〕二次函数解析式的三种形式①一般式：②顶点式：③两根式：2〕求二次函数解析式的方法①三个点坐标时，宜用一般式．②抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大〔小〕值有关时，常使用顶点式．③假设抛物线与x轴有两个交点，且横线坐标时，选用两根式求f(x)更方便．〔3〕二次函数图象的性质①二次函数f(x)ax2bxc(a0)的图象是一条抛物线，对称轴方程为，顶点坐标是。

高一数学必修一基本初等函数知识点总结标准化工作室编码[XX968T-XX89628-XJ668-XT689N]第二章基本初等函数知识点整理〖〗指数函数指数与指数幂的运算（1）根式的概念 ①如果,,,1nxa a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n次方根用符号n 是偶数时，正数a 的正的nn次方根用符号表示；0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：n a =；当na =；当n 为偶数时，(0)|| (0) a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m naa m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,mm nn aa m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rs r s aa a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈指数函数及其性质（4）指数函数〖〗对数函数【】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xaN a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a xN =，其中a 叫做底数，N叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>．（2）几个重要的对数恒等式: log 10a =，log 1aa =，logb a a b =．（3）常用对数与自然对数：常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）．（4）对数的运算性质 如果0,1,0,0aa M N >≠>>，那么①加法：log log log ()aa a M N MN += ②减法：log log log a a aM M N N-=③数乘：log log ()naa n M Mn R =∈ ④log a N a N = ⑤log log (0,)b na a n M Mb n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b ab N N b b a =>≠且【】对数函数及其性质（5）对数函数(6)反函数的概念设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ϕ=．如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()x y ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数，函数()xy ϕ=叫做函数()y f x =的反函数，记作1()x f y -=，习惯上改写成1()y f x -=．（7）反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式()y f x =中反解出1()x f y -=；③将1()xf y -=改写成1()y f x -=，并注明反函数的定义域．（8）反函数的性质①原函数()y f x =与反函数1()y f x -=的图象关于直线y x =对称．②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y f x -=的值域、定义域．③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上．④一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数．〖〗幂函数（1）幂函数的定义 一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数．（2）幂函数的图象（3）幂函数的性质①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．②过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)． ③单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴．④奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当q pα=（其中,p q 互质，p 和q Z ∈），若p 为奇数q 为奇数时，则q py x=是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则q py x=是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则q py x=是非奇非偶函数．⑤图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x =上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方．〖补充知识〗二次函数（1）二次函数解析式的三种形式 ①一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠②顶点式：2()()(0)f x a x h k a =-+≠ ③两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠（2）求二次函数解析式的方法 ①已知三个点坐标时，宜用一般式．②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便．（3）二次函数图象的性质①二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2bx a=-顶点坐标是24(,)24b ac b a a --②当0a >时，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞-上递减，在[,)2ba-+∞上递增，当2b x a =-时，2min 4()4ac b f x a-=；当0a <时，抛物线开口向下，函数在(,]2b a -∞-上递增，在[,)2ba-+∞上递减，当2bx a=-时，2max 4()4ac b f x a -=．③二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠当240b ac ∆=->时，图象与x 轴有两个交点11221212(,0),(,0),||||||M x M x M M x x a =-=． （4）一元二次方程20(0)axbx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)axbx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． （5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上）①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2bm f a=- ③若2b q a ->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②0x ->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2bM f a=- ③若2b q a ->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．xxxx0x x (q) 0x xfxfx xx。

必修1第二章基本初等函数(Ⅰ)知识点整理〖2.1〗指数函数2.1.1指数与指数幂的运算（1）根式的概念 ①如果,,,1nxa a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n表示；当n 是偶数时，正数a 的正的nn次方根用符号表示；0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：n a =；当na =；当n 为偶数时，(0)|| (0) a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,mnaa m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m nn aa m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rs r s aa a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈2.1.2指数函数及其性质（4）指数函数〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xaN a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>．（2）几个重要的对数恒等式: log 10a =，log 1aa =，logb a a b =．（3）常用对数与自然对数：常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）．（4）对数的运算性质 如果0,1,0,0aa M N >≠>>，那么①加法：log log log ()aa a M N MN += ②减法：log log log a a aMM N N-=③数乘：log log ()naa n M M n R =∈ ④log a NaN =⑤log log (0,)b na a n M Mb n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b N N b b a =>≠且 【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数(6)反函数的概念设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ϕ=．如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()x y ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数，函数()xy ϕ=叫做函数()y f x =的反函数，记作1()x f y -=，习惯上改写成1()y f x -=．（7）反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式()y f x =中反解出1()x f y -=；③将1()xf y -=改写成1()y f x -=，并注明反函数的定义域．（8）反函数的性质①原函数()y f x =与反函数1()y f x -=的图象关于直线y x =对称．②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y f x -=的值域、定义域．③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上．④一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数．〖2.3〗幂函数（1）幂函数的定义 一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数．（2）幂函数的图象（3）幂函数的性质①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．②过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)． ③单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴．④奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当qpα=（其中,p q 互质，p 和q Z ∈），若p 为奇数q 为奇数时，则qpy x=是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则qpy x =是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则q py x=是非奇非偶函数．⑤图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x =上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方．〖补充知识〗二次函数（1）二次函数解析式的三种形式 ①一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠②顶点式：2()()(0)f x a x h k a =-+≠ ③两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠（2）求二次函数解析式的方法 ①已知三个点坐标时，宜用一般式．②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便．（3）二次函数图象的性质①二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2bx a=-顶点坐标是24(,)24b ac b a a --②当0a >时，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞-上递减，在[,)2b a -+∞上递增，当2bx a=-时，2min 4()4ac b f x a-=；当0a <时，抛物线开口向下，函数在(,]2b a -∞-上递增，在[,)2ba-+∞上递减，当2bx a=-时，2max 4()4ac b f x a -=．③二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠当240b ac ∆=->时，图象与x轴有两个交点11221212(,0),(,0),||||M x M x M M x x =-． （4）一元二次方程20(0)axbx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布． 设一元二次方程20(0)axbx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=- ③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2＜k ⇔③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出． （5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上）①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②0x ->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．xxxxx x(q)0x xfxfx xx。

第二章基本初等函数知识点整理K2.13指数函数2. 1. 1指数与指数幕的运算(1)根式的概念①如果x n = a,a且nw N±,那么尤叫做d的兀次方根.当〃是奇数时，d的“次方根用符号丽表示；当〃是偶数时，正数a的正的〃次方根用符号亦表示，负的〃次方根用符号一丽表示；0的斤次方根是0；负数Q没有几次方根.②式子丽叫做根式，这里/?•叫做根指数，d叫做被开方数.当斤为奇数时，a为任意实数；当斤为偶数时，tz >0.③根式的性质：(砺)"=a；当兀为奇数吋，历 =a；当兀为偶数吋，=| a \=(2)分数指数幕的概念=^cT(a>0,m,neN+，且n > 1). o的正分数指数幕等于o.②正数的负分数(d>(),〃2,〃wN+，且刃>1). 0的负分数指数幕没有意义. 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数.(3)分数指数幕的运算性质①=a ks(a>0. r.s eR)②(</)" =a rs(a>0, r.s ^R)③(ab\ = ab r(a >O.b>O.r e R)2. 1. 2指数函数及其性质(4)指数函数函数名称指数函数定义函数y =ax(a> 0且a工1)叫做指数函数a>\0<a < 1k x /\ X \\ y = 4k J图彖J = 1z(0,1)(0,1)0X0X定义域R值域(0, +8)过定点图象过定点(0,1),即当x=0时,y=l.奇偶性非奇非偶a (a>0)-a (a < 0)①正数的正分数指数幕的意义是:m指数幕的意义是：a nK2.23对数函数[2. 2.1]对数与对数运算 (1) 对数的定义① 若/=N(Q >0,^MH 1),则兀叫做以a 为底N 的对数，记作x = log“N,英中d 叫做底数，N 叫做真数. ② 负数和零没冇对数.③对数式与指数式的互化：x = log“Noa” = N(a>0,aHl,N>0).(2) 几个重要的对数恒等式： log" 1 =0, log“Q = l , log aa h= b.(3) 常用对数与自然对数：常用对数:IgN,即log i0 N ；自然对数:InN,即log°N (其中£ = 2.71828…). (4) 对数的运算性质如果a>0,QHl,M >0,N>0,那么①加法：log“M+log“ N = log“(MV)②减法：log" M —loga N = loga 譬③数乘：n\og u M = log" M n{n e R)函数值的 变化情况y>l(x>0), y=l(x=O), 0<y<l(x<0)y>l(x<0), y=l(x=O), 0<y<l(x>0)a 变化对图象的影 响在第-•象限内，Q 越大图彖越高，越靠近y 轴: 在第二象限内，d 越大图象越低，越靠近％轴・在第i 象限内，Q 越小图象越高，越靠近y 轴; 在第二象限内，a 越小图象越低，越靠近％轴・n⑤log b M" =-\og a M(b^0,neR)log N⑥最小皿初[2. 2.2]对数函数及其性质(5)对数函数反函数的概念设函数y = /(x)的定义域为值域为C,从式子y = f(x)中解出x,得式子x =(p(y).如果对于y在C中的任何一个值，通过式子x =(p(y),兀在A屮都冇唯一确定的值和它对应，那么式子x =(p(y)表示兀是y的函数，函数x = (ply)叫做两数歹=/(x)的反函数，记作x = 习惯上改写成y =广"(x).(7)反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式= /(%)中反解出x = /T(y)；③将兀=/-1 (y)改写成y = /-1(X),并注明反函数的定义域.(8)反函数的性质①原函数y = /(x)与反函数y =厂'(X)的图象关于直线y = x对称.②函数y = /(%)的定义域、值域分别是其反函数y = 的值域、定义域.③若P(a9b)在原函数y = f(x)的图象上，则P@,a)在反函数y =厂(%)的图象上.④一般地，函数y = /(x)要有反函数则它必须为单调函数.K2.33幕函数(1)幕函数的定义一般地，函数y = x a叫做需函数，其中尢为口变量，Q是常数.(2)幕函数的图彖(3)幕函数的性质①图象分布：幕函数图象分布在第一、二、三彖限，第四彖限无图象.幕函数是偶函数时，图彖分布在第一、二彖限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限.②过定点：所有的幕函数在(0,+8)都有定义，并且图象都通过点(1,1).③单调性：如果o>0,则幕两数的图象过原点，并且在［0,+8)上为增两数.如果a<0,则幕两数的图象在(0,+力)上为减函数，在第一象限内，图象无限接近兀轴与y轴.④奇偶性：当a为奇数时，幕函数为奇函数，当a为偶数时，幕函数为偶函数.当a =—(英川互质，。