浅谈线性时不变系统的判断

线性时不变系统的稳定性分析稳定性是控制系统理论中的重要概念，对于线性时不变系统来说尤其重要。

稳定性分析可以帮助我们确定系统的输出是否会在输入变化或干扰的情况下产生不受控制的波动或发散。

本文将探讨线性时不变系统的稳定性分析方法。

一、线性时不变系统的定义线性时不变系统（Linear Time-Invariant System，LTI系统）是指满足叠加性和时移不变性两个性质的系统。

叠加性指系统对输入的响应是可加的，时移不变性指系统对延时输入的响应是不变的。

线性时不变系统可以用微分方程或差分方程来描述。

二、稳定性的定义在系统稳定性分析中，我们关注的是系统的零输入响应或者零状态响应。

稳定性可以分为BIBO稳定性和渐近稳定性两种类型。

1. BIBO稳定性BIBO稳定性（Bounded-Input Bounded-Output Stability）是指当输入有界时，系统的输出也是有界的。

如果对于任意有界的输入信号，系统的输出都有界，则系统是BIBO稳定的。

2. 渐近稳定性渐近稳定性是指当输入信号趋于稳定时，系统的输出也趋于稳定。

如果对于任意渐近稳定的输入信号，系统的输出也渐近稳定，则系统是渐近稳定的。

三、稳定性分析方法稳定性分析的常用方法包括传输函数法、状态空间法和频域法。

下面将分别介绍这三种方法。

1. 传输函数法传输函数法是用传输函数来描述系统的稳定性。

传输函数是输入和输出的关系，它是Laplace变换或Z变换的比值。

对于连续时间系统，传输函数可以表示为H(s)；对于离散时间系统，传输函数可以表示为H(z)。

通过分析传输函数的极点（Pole）可以判断系统的稳定性。

对于连续时间系统，如果传输函数的极点都位于左半平面，则系统是BIBO稳定的；如果传输函数的极点有位于右半平面的，则系统是不稳定的。

对于离散时间系统，如果传输函数的极点都位于单位圆内部，则系统是BIBO稳定的；如果传输函数的极点有位于单位圆外部的，则系统是不稳定的。

Linear Time-invariant System（线性时不变系统）2-1:Discrete-Time LTI System:The Convolution Sum（离散LTI系统：卷和）本节的关键在于：把任意离散信号x[n]表示为若干个脉冲信号的叠加。

这样，信号x[n]输入某一个系统的输出y[n]，便可以等效为把这些脉冲信号分别输入这个系统之后，再把它们的输出结果叠加。

当系统是LTI系统时，对应每个脉冲信号输入的输出函数都可以由对应单位冲激函数的响应δ[n]的输出h[n]进行时移和乘以系数得到。

把每个脉冲输入的输出叠加便得到了输入信号x[n]的输出y[n]。

用脉冲信号表示任意信号：可以把x[n]看作x[0].δ[n]+ δ[n-1].x[1]+ δ[n-2].x[2]……即P75 2－2式对一个系统LTI，当输入信号为δ[n]时的输出信号h[n]称为单位冲激响应（unit impulse response）卷和而对于每个x[k].δ[n-k]，输入系统后的输出为hk[n]=x[k].h[n-k],因此，x[n]输入后的输出y[n]便应当是全部hk[n]（k从负无穷取到正无穷）的累加。

换言之得到了P78 2-6式（公式请自己看啦，输入太麻烦了，呵呵呵呵）该公式称作x[n]和h[n]的卷和或卷积和（Convolution Sum）。

写作x[n]*h[n]。

是一种基本的运算方式，由两个函数卷和得到一个新函数。

对LTI系统而言，就是输入x[n]与单位冲激响应卷和，得到输出信号y[n]。

x[n]*h[n]=y[n]对于有限长序列卷和的运算：竖式法比较简单。

2－2：continuous-time LTI systems:the convolution integral（连续时间LTI系统：卷积）与离散系统类似，本节的核心也是把输入的一个连续时间信号从时间上拆分成无数个冲激信号的叠加，然后对于每个冲激信号去求它输入这个系统得到的输出，再把所有的这些输出叠加起来，从而得到原信号输入系统的输出。

如何分析判断系统是否为稳定系统、因果系统、线性
系统？
如何判断一个系统是否为线性系统，时不变系统以及稳定系统？
先线性运算再经过系统=先经过系统再线性运算是线性系统；
先时移再经过系统=先经过系统再时移为时不变系统；
时间趋于无穷大时系统值有界则为稳定的系统，或者对连续系统S 域变换，离散系统Z域变换，H（s）极点均在左半平面则稳定，H（z）极点均在单位圆内部则稳定；
一般的常微分差分方程都是LTI，输入输出有关于t的尺度变换则时变，微分差分方程的系数为关于时间t的函数也时变。

怎幺判断出系统是因果系统还是非因果系统的？。

劳斯-赫尔维茨定理：描述稳定性的性质和判断方法第一章：引言劳斯-赫尔维茨定理是控制理论中的重要定理之一，它描述了线性时不变系统的稳定性的性质和判断方法。

稳定性是系统控制中一个非常重要的概念，它涉及到系统在输入变化时的响应能力。

本章将介绍劳斯-赫尔维茨定理的背景和重要性，为后续章节的讨论奠定基础。

第二章：劳斯-赫尔维茨定理的基本概念2.1 动力系统在开始介绍劳斯-赫尔维茨定理之前，我们首先需要了解动力系统的基本概念。

动力系统是指由动态方程和初始条件所描述的一种数学模型，在控制理论中被广泛应用。

动力系统可以是线性的或非线性的，可以是时不变的或时变的。

理解动力系统的特性对于理解劳斯-赫尔维茨定理至关重要。

2.2 稳定性的定义稳定性是对系统响应的一种性质描述。

一个稳定的系统在输入变化时，其响应不会无限增长或震荡，而是趋于有限的范围内。

稳定性可以分为渐进稳定和有界稳定两种形式。

渐进稳定是指系统的响应趋于零或某个有限的值，而有界稳定是指系统的响应保持在有限的范围内。

第三章：劳斯准则3.1 劳斯定理的基本原理劳斯定理是劳斯-赫尔维茨定理的基本原理，它是通过对系统特征方程的根进行判断来确定系统的稳定性。

具体而言，劳斯定理使用代数方法来判断系统特征方程的根的位置，从而得出系统的稳定性判据。

3.2 劳斯准则的推导劳斯准则的推导是建立在特征方程的根与稳定性之间的关系上。

通过对特征方程进行变换和整理，可以得到劳斯准则的具体表达式。

劳斯准则的推导过程是相对复杂的，但是它为后续的稳定性判断提供了重要的理论基础。

第四章：劳斯-赫尔维茨定理的应用4.1 劳斯-赫尔维茨定理的基本应用劳斯-赫尔维茨定理的基本应用是判断系统的稳定性。

通过计算特征方程的根，并根据劳斯准则进行判断，可以得出系统的稳定性结论。

这在系统控制和工程实践中具有重要的意义，可以帮助工程师们设计和优化控制系统，提高系统的稳定性和性能。

4.2 劳斯-赫尔维茨定理的拓展应用除了稳定性的判断，劳斯-赫尔维茨定理还可以应用于其他领域。

数 码 设 计 PEAK DATA SCIENCE基金项目：贵阳学院科研项目；信号与信息处理（编号：GYU-KYZ[2018]05-05）；贵州省科技厅联合基金项目（黔科合J 字LKG[2013]36号）作者简介：张涛（1976-），男，教授，研究方向为信号与信息处理，通信技术，E-mail ：2209282216@·39·工程科技研究DOI ：10.19551/ki.issn1672-9129.2019.04.014浅谈线性时不变系统的判断张涛（贵阳学院 电子与通信工程学院，贵州贵阳，550005）摘要：对线性时不变系统的认识和掌握是学好《信号与系统》这门核心专业的基础和关键。

本文探讨如何判断一个系统是否为线性时不变系统。

关键词：线性；时不变；系统；判断中图分类号：TP13 文献标识码：A 文章编号：1672-9129(2019)04-0039-02On the Judgment of Linear Time-invariant SystemZhang Tao（School of Electronic & Communication Engineering of Guiyang University, Guiyang 550005）Anstract: Understanding and mastering linear time-invariant systems is the foundation and key to learn the core specialty of Signal and Systems. This paper discusses how to judge whether a system is a linear time-invariant system.Key words: linear; time-invariant; system; judgment引言：线性系统是指具有线性特性的系统。

信号与系统实验报告连续线性时不变系统的分析专业：电子信息工程（实验班）姓名：曾雄学号：14122222203班级：电实12-1BF目录一、实验原理与目的 (3)二、实验过程及结果测试 (3)三、思考题 (10)四、实验总结 (10)五、参考文献 (11)一、实验原理与目的深刻理解连续时间系统的系统函数在分析连续系统的时域特性、频域特性及稳定性中的重要作用及意义。

掌握利用MATLAB 分析连续系统的时域响应、频响特性和零极点的基本方法。

二、实验过程及结果测试1．描述某线性时不变系统的微分方程为： ''()3'()2()'()y t y t y t f t f t++=+ 且f(t)=t 2，y(0-)=1，y ’(0-)=1；试求系统的单位冲激响应、单位阶跃响应、全响应、零状态响应、零输入响应、自由响应和强迫响应。

编写相应MATLAB 程序，画出各波形图。

（1）单位冲激响应： 程序如下：%求单位冲激响应a=[1,3,2]; b=[1,2]; sys=tf(b,a); t=0:0.01:10; h=impulse(sys,t);%用画图函数plot( )画单位冲激响应的波形plot(h); %单位冲激响应曲线 xlabel('t'); ylabel('h');title('单位冲激响应h(t)') 程序运行所得波形如图一：200400600800100012000.10.20.30.40.50.60.70.80.91th单位冲激响应h(t )图一 单位冲激响应的波形（2）单位阶跃响应： 程序如下：%求单位阶跃响应a=[1,3,2]; b=[1,2]; sys=tf(b,a); t=0:0.01:10; G=step(sys,t);%用画图函数plot( )画单位阶跃响应的波形plot(G); %单位阶跃响应曲线 xlabel('t'); ylabel('g');title('单位阶跃响应g(t)') 程序运行所得波形如图二：2004006008001000120000.10.20.30.40.50.60.70.80.91tg单位阶跃响应g(t )图二 单位阶跃响应的波形 （3）零状态响应： 程序如下：%求零状态响应yzs=dsolve('D2y+3*Dy+2*y=2*t+2*t^2','y(0)=0,Dy(0)=0') %用符号画图函数ezplot( )画各种响应的波形 t=0:0.01:3;ezplot(yzs,t); %零状态响应曲线 axis([0,3,-1 5]);title('零状态响应曲线yzs'); ylabel('yzs');程序运行所得波形如图三：00.511.522.53-112345t零状态响应曲线yzsy z s图三 零状态响应的波形（4）零输入响应： 程序如下：%求零输入响应yzi=dsolve('D2y+3*Dy+2*y=0','y(0)=1,Dy(0)=1') %用符号画图函数ezplot( )画零输入响应的波形 t=0:0.01:3;ezplot(yzi,t);%零输入响应曲线 axis([0,3,-1,2]); title('零输入响应yzi'); ylabel('yzi');程序运行所得波形如图四：图四 零输入响应的波形（5）全响应：程序如下：%求全响应y=dsolve('D2y+3*Dy+2*y=2*t+2*t^2','y(0)=1,Dy(0)=1') %用符号画图函数ezplot( )画全响应响应的波形00.511.522.53-1-0.50.511.52t零输入响应yziy z it=0:0.01:3;ezplot(y,t); %全响应曲线 axis([0,3,-1,5]); title('全响应y'); ylabel('y');程序运行所得波形如图五：00.511.522.53-112345t全响应yy图五 全响应的波形（6）自由响应：程序如下：%自由响应y=dsolve('D2y+3*Dy+2*y=2*t+2*t^2','y(0)=1,Dy(0)=1'); %全响应 yht=dsolve('D2y+3*Dy+2*y=0','y(0)=1,Dy(0)=1'); % 求齐次通解yt=dsolve('D2y+3*Dy+2*y=2*t+2*t^2','y(0)=0,Dy(0)=0'); % 求非齐次通解 yp=yt-yht;yh=y-yp; % 求齐次解，即自由响应 t=0:0.01:3; ezplot(yh,t); title('自由响应yh'); ylabel('yh');程序运行所得波形如图六：0.511.522.530.511.52t自由响应yhy h图六 自由响应的波形（7）强迫响应： 程序如下：%强迫响应yht=dsolve('D2y+3*Dy+2*y=0','y(0)=1,Dy(0)=1'); % 求齐次通解yt=dsolve('D2y+3*Dy+2*y=2*t+2*t^2','y(0)=0,Dy(0)=0'); % 求非齐次通解 yp=yt-yht; % 求特解，即强迫响应 t=0:0.01:3; ezplot(yp,t); title('强迫响应yp'); ylabel('yp');程序运行所得波形如图七：0.511.522.53-112345t强迫响应ypy p图七 强迫响应的波形2．给定一个连续线性时不变系统，描述其输入输出之间关系的微分方程为：编写MATLAB 程序，绘制系统的幅频响应、相频响应、频率响应的实部和频率响应的虚部的波形，确定滤波器的类型。