信道编码IV-卷积码

卷积码中，习惯是从左到右对应多项式的次数从低到高 例：1101如是循环码生成多项式,则g(x)=x3+x2+1
如是卷积码的第i个生成多项式,则gi(x)=1+x+x3
例:码多项式法
(2,1,3)卷积码（图9.5.2）
u = (10111) ↔ u ( x ) = 1+ x2 + x3 + x4 g1 = (1011) ↔ g1 ( x ) = 1+ x2 + x3 g2 = (1111) ↔ g2 ( x ) = 1+ x + x2 + x3 c1 ( x) = u( x) g1 ( x) = 1+ x7 ↔ c1 = (10000001) c2 ( x) = u( x) g2 ( x) =1+ x + x3 + x4 + x5 + x7
=
⎜ ⎜
⎜
G0 G1 G2 G3 G0 G1 G2 G3
⎟ ⎟ ⎟ ⎟
⎝
⎠
(n,k,m)生成矩阵法
生成矩阵
⎛ ⎜
G0
G
=
⎜ ⎜
⎜
G1 G0
G1 G0
Gm G1
Gm
Gm
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟
⎝
⎠
Gl
⎛
⎜
=
⎜ ⎜
g1,1 l
g 2,1 l
g1,2 l
g2,2 l
⎜⎜⎝ glk,1
gk,2 l
g1,n l
性能
在编码结构相当的情况下，卷积码的性能优于分组 码，因而是作为前向纠错码的好的选择之一。
研究成熟度
分组码有好的代数工具，研究比较成熟透彻； 卷积码没有好的代数工具，研究不是很透彻。
卷积码的表示方法
解析表示法
离散卷积法 生成矩阵法 码多项式法
图形表示法
状态图法 树图法 格图法
g 2,n l
⎞ ⎟ ⎟
⎟
glk,n ⎟⎟⎠
生成矩阵法
(n,k,m)卷积码的生成序列一般表示式为
g (i, j) = (g0 (i, j) , ,gl (i, j) , ,gm (i, j))
i = 1, ,k ; j = 1, ,n;l = 1, ,m
g0 (k,1)
( ) ut = ut,1, ut,2 , , ut,k
( ) c = c10c02c11c12c12c22
例：离散卷积法
(2,1,3)卷积码（图9.5.2）
u = (10111) g1 = (1011), g2 = (1111) c1 = u * g1 = (10000001) c2 = u * g2 = (11011101) c = (1101000101010011)
离散卷积法
输入到输出的每个分支所构成的系统都是线 性时不变系统，用冲激响应来表征线性时不 变系统，输出是输入与冲激响应的卷积
u = (u0u1u2 )
( ) ( ) g1 = g10 g11 g1m , g2 = g02 g12 gm2
c1 = u ⊗ g1, c2 = u ⊗ g2
( ) ( ) c1 = c10c11c12 , c2 = c02c12c22
卷积码与分组码的区别
编码
分组码的当前的一组输出（n个码元）只与当前的一组 输入（k个输入信息位）有关（无记忆性）
卷积码的当前的一组输出（n个码元）不仅与当前的一 组输入（k个输入信息位）有关，还与前面的m组输入 （记忆性）。即卷积码的当前一组输出（n个码元）共 与(m+1)k个输入信息位有关
相应的冲激响应也叫生成序列
码多项式法
将输入序列、生成序列和输出序列分别用码多项式 表示，容易验证，输出码多项式等于输入码多项式 和生成序列码多项式的乘积
u ↔ u(x),g ↔ g(x),c ↔ c(x) c(x) = u(x)g(x)
注意：
线性分组码中，约定从左到右是MSB (Most Significant Bit) 到LSB (Least Significant Bit)，对应多项式的高次到低次
例: (7，5) CC码
输入{ui}={1011000…} 冲激响应{gi}={111,101} 输出{ci}?
(n,k,m)/(n,k,K)卷积码
n×k
k input
n output
(n,k,m)卷积码：k个输入信息比特, n个输出编码比特, m=K-1组移位寄存器, 每组k个寄存器单元
m: 约束长度; 一般n,k取值小, m大 可看成(n×k)个FIR构成的MIMO网络 约束长度越大,一般码字纠错性能越好 编码的效率: k/n
生成矩阵法
以(2,1,3)卷积码为例推导
⎛ ⎜
g10
g02
⎜
g11 g12 g10 g02
g12 g22 g11 g12
g31 g32 g12 g22
g31 g32
⎞ ⎟ ⎟
G =⎜ ⎜
g10 g02 g11g12 g12 g22 g31 g32
⎟ ⎟
⎜
⎟
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
⎜⎝
⎟⎠
⎛ G0 G1 G2 G3
⎞
⎜
第9章 信道编码 —卷积码
信息与通信工程学院 无线信号处理与网络实验室
彭岳星 yxpeng@bupt.edu.cn
6228 2245
9.5 卷积码
卷积
序列{ui}通过冲激响应为{gi}的线性系统,输出ci是 卷积的结果
∑ ∑ ci = ui ⊗ gi = um gi−m = gmui−m
卷积的三种计算方法m
g0 (1,1)
g1 (k ,1)
g1 (1,1)
gm (k,1) gm (1,1)
ct (1)
g0 (k, i) g0 (1, i)
g1(k, i) g1(1, i)
gm (k, i) gm (1, i)
ct (i ), i = 1, , n
例: (n,k,m)卷积码生成矩阵法
↔ c2 = (11011101)
例: 生成矩阵法
(2,1,3)卷积码
u = (10111)
⎛11 01 11 11
⎞
⎜ ⎜
11 01 11 11
⎟ ⎟
G =⎜
11 01 11 11
⎟
⎜
⎟
⎜
11 01 11 11 ⎟
⎜⎝
11 01 11 11⎟⎠
c = uiG = (1101000101010011)
m
离散卷积；生成矩阵；码多项式
例: {gi}={1,1,0,1}, 输出ci为:
ci = g0ui + g1ui−1 + g2ui−2 + g3ui−3 = ui + ui−1 + ui−3
卷积码
卷积编码
信息序列{ui}通过冲激响应为{gi}的线性系统,输 出ci是编码序列
码率为1,不存在冗余注 增加冗余