第一章 作业题 答案############################################################################### 1.2一个采样周期为T 的采样器，开关导通时间为()0T ττ<<，若采样器的输入信号为()a x t ，求采样器的输出信号()()()a a x t x t p t ∧=的频谱结构。
式中()()01,()0,n p t r t n t r t ττ∞=-∞=-≤≤⎧=⎨⎩∑其他解：实际的采样脉冲信号为：()()n p t r t n τ∞=-∞=-∑其傅里叶级数表达式为：()000()jk tn p t Sa k T eTωωτω∞=-∞=∑采样后的信号可以表示为：()()()ˆa a xt x t p t δ= 因此，对采样后的信号频谱有如下推导：()()()()()()()()()()()()()0000000000000ˆˆsin 1j t a a jk t j t a n jk t j t a k j k ta k ak a k X j x t e dtx t Sa k T e e dtTSa k T x t e e dtTSa k T x t edtTSa k T X j jk Tk T X j jk T kωωωωωωωωτωωτωωτωωτωωωωωω∞--∞∞∞--∞=-∞∞∞--∞=-∞∞∞---∞=-∞∞=-∞∞=-∞Ω=====-=-⎰∑⎰∑⎰∑⎰∑∑%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 1.5有一个理想采样系统，对连续时间信号()a x t 进行等间隔T 采样，采样频率8s πΩ=rad/s ，采样后所得采样信号()a x t ∧经理想低通滤波器()G j Ω进行恢复，已知()41/4,,4G j ππ⎧Ω≤⎪Ω=⎨Ω>⎪⎩今有两个输入信号12()cos(2)()cos(5)a a x t t x t t ππ==和，对应的输出信号分别为12()()a a y t y t 和，如题1.5图所示，问12()()a a y t y t 、有没有失真，为什么？题1.5图 理想采样系统与恢复理想低通滤波器解：因为是理想采样系统，因此采样后的信号频谱可以表示为：()()1ˆa a s k X j X j jk T ∞=-∞Ω=Ω-Ω∑8s πΩ=，12πΩ=，25πΩ=，折叠频率为2s Ω，而滤波器对4πΩ≤的信号通过，因此有如下图：结论：1）1()a y t 不失真、2()a y t 失真。
2）输出信号中存在两种频率：2π、3π%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 1.6已知连续时间信号()a x t 是频率为300Hz 、400Hz 、1.3KHz 和4.3KHz 的正弦信号的线性组合。
现以2KHz 的采样频率对()a x t 进行采样。
若恢复滤波器是一截止频率为900Hz 的理想低通滤波器，试确定通过恢复滤波器后的输出信号()a y t 中的各频率分量。
解：因为是理想采样系统，因此采样后的信号频谱可以表示为：()()1ˆa a s k X j X j jk T ∞=-∞Ω=Ω-Ω∑滤波后信号中的频率分量为：300Hz 、400Hz 、700Hz 。
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%1.7已知一模拟恢复信号()a x t 的频谱如题1.7图所示。
对其等间隔T 采样所得离散时间信号（序列）为()()a x n x nT =。
(1)当采样间隔()0/3T π=Ω时，画出序列()x n 的频谱图形。
(2)试确定采样信号频谱不混叠的最低采样频率，并画出此时()x n 的频谱图形。
(3)画出由(3)中的序列()x n 恢复()a x t 的框图（可用复理想低通滤波器）。
1Ω题1.7图()a x t 的频谱图形解：采样间隔为()0/3T π=Ω，因此采样频率为026Tπ=Ω。
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%第二章 作业题 答案%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%2.1将序列1,01,1()0,22,30,n n x n n n =⎧⎪-=⎪⎪==⎨⎪=⎪⎪⎩其他表示为()u n 及()u n 延迟的和。
解：首先将()x n 表示为单位脉冲序列的形式：()()()()=123x n n n n δδδ--+-对于单位脉冲函数()n δ，用单位阶跃序列()u n 表示，可得：()()()1n u n u n δ=--将上式带入到()x n 的单位脉冲序列表达式中，可得：()()()()()()()()()()()()()()()1231122342122324x n n n n u n u n u n u n u n u n u n u n u n u n u n δδδ=--+-=------+---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=--+-+--- %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%2.5判断下列序列中，哪一个是周期序列，如果是周期序列，求出它的周期。
(1)()sin1.2x n n = (2)()sin9.7x n n π= (5)()sin()cos()47nnx n ππ=-解：理论分析详见P18性质7）周期序列题中设计到的是正弦信号，对于正弦信号()0()sin x n A n ωϕ=+，分析其周期性，则需判断：02πω1）为整数，则周期；2）为有理数，则周期；3）为无理数则非周期。
观察（1）、（2）、（5），0ω依次为：0 1.2ω=、09.7ωπ=、12,47ππωω==，从而可知（1）为非周期，（2）、（5）为周期序列。
（2）中，022209.797ππωπ==，因此周期20N =。
（5）中，第一部分周期为1028N πω==，第二部分周期为20214N πω==，因此序列周期为56N =。
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%2.9试确定下列系统是否为线性时不变系统？(1) ()()()sin y n x n n ω=。
(2) ()()0nm y n x m ==∑， m 为正整数。
解：利用线性时不变系统定义、性质分析。
（1）()()()sin y n x n n ω= 线性分析：()()()()()()()()()()()()12121212sin sin sin y n T ax n bx n ax n bx n n ax n n bx n n aT x n bT x n ωωω'=+⎡⎤⎣⎦=+⎡⎤⎣⎦=+=+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦因此为线性系统。
时不变分析：()()()000sin y n n x n n n n ω-=--⎡⎤⎣⎦而系统输入为()0x n n -时，()()()()00sin y n T x n n x n n n ω'=-=-⎡⎤⎣⎦得：()()0y n y n n '≠-，因此为时变系统。
综上，()()()sin y n x n n ω=为线性时变系统。
（2）()()0nm y n x m ==∑线性分析：()()()()()()()()()1212012012nm n nm m y n T ax n bx n ax m bx m ax m bx m aT x m bT x m ==='=+⎡⎤⎣⎦=+⎡⎤⎣⎦=+=+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦∑∑∑因此为线性系统。
时不变分析：()()()()()()()()()()()0000001012+01+n n m y n n x m x x x x x x x x x n n -=-==++++++++-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑……而系统输入为()0x n n -时，()()()()()()()()()000000000=++1++1nm y n T x n n x m n x n x n x n x n x n x n n ='=-=-⎡⎤⎣⎦-----++-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦∑...+...得：()()0y n y n n '≠-，因此为时变系统。
综上，()()0nm y n x m ==∑为线性时变系统。
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 2.11试求题2.11图所示线性时不变系统的单位脉冲响应()h n ，图中[]1()40.5()(3)n h n u n u n =⨯--23()()(1)()h n h n n u n ==+4()(1)h n n δ=- 5()()4(3)h n n n δδ=--题2.11图 线性时不变系统如果输入序列()()(1)x n n n δδ=--，求该系统的输出序列()y n 。
解：此题涉及到了线性时不变系统的输入、输出关系，即：()()()*y n x n h n =以及线性卷积的性质：交换律、结合律、分配律。
系统的输入输出关系可表示为：()()()()()(){}()()12345****y n x n h n h n h n h n x n h n =-+⎡⎤⎣⎦将()()1,2,3,4,5i h n i =进行变形，尽量表示为单位脉冲序列的形式，以方便运算，则：()()()()()()()()()140.5340.5124212n n h n u n u n n n n n n n δδδδδδ=⨯--⎡⎤⎣⎦=⨯+-+-⎡⎤⎣⎦=+-+- ()()()()231h n h n n u n ==+ ()()41h n n δ=- ()()()543h n n n δδ=--此时注意：()()()()()()()()()()()()()()()()234*111111h n h n h n n u n n u n n n u n nu n nu n nu n u n n n u n δδ-=+-+-=+--=--+=+()()()()()()()()()()()()()()()1234**4212*42124212h n h n h n h n n n n n n u n n n n n n n u n u n u n δδδδδδδ-⎡⎤⎣⎦=+-+-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=+-+-++-+-()()()1x n n n δδ=--，与之卷积实质是序列本身与序列右移一个单位所得新序列的差。
