第二章 函数的概念与基本初等函数

由图象知不等式的解集是(－1,1].
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题组三 易错自纠
5.把函数f(x)＝ln x的图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，得到的图象的函数
解析式是
y＝ln12x

.
解析 根据伸缩变换方法可得，所求函数解析式为 y＝ln12x.
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6.(2018·太原调研)若关于x的方程|x|＝a－x只有一个实数解，则实数a的取值 范围是 (0，＋∞) . 解析 在同一个坐标系中画出函数y＝|x|与y＝a－x的图象，如图所示.
解析 小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越来越近，故排除①. 因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除④. 后来为了赶时间加快速度行驶，故排除②.故③正确.
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4.[P75A组T10]如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不 等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是 (－1,1] . 解析 在同一坐标系内作出y＝f(x)和y＝log2(x＋1)的图象(如图).
√
(2)已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可以是
√A.f(x)＝lnx|x|
B.f(x)＝exx
C.f(x)＝x12－1D.f(x Nhomakorabea＝x－1x
解析 由函数图象可知，函数f(x)为奇函数，应排除B，C.
若函数为 f(x)＝x－1x，则 x→＋∞时，f(x)→＋∞，排除 D，故选 A.
跟踪训练1
(1)函数f(x)＝1＋log2x与g(x)＝
1x 2
在同一直角坐标系下的图象大致是
解析
√
因为函数 g(x)＝12x 为减函数，且其图象必过点(0,1)，故排除 A，D.
因为f(x)＝1＋log2x的图象是由y＝log2x的图象上移1个单位得到的，

• 【答案】 B
• (等2)式若中lo正ga确(π的－是3)(<log)b(π－3)<0，a，b是不等于1的正数，则下列不
• A．b>a>1
B．a<b<1
• C．a>b>1
D．b<a<1
• 【解析】 ∵0<π－3<1，loga(π－3)<logb(π－3)<0，
• ∴a，b∈(1，＋∞)，且b>a，∴选A.
(2)log67，log76；
(3)m＝0.95.1，n＝5.10.9，p＝log0.95.1；
(4)若 0<a<b<1，试确定 logab，logba，log1a，log1b 的大
b
a
小关系．
【解析】
(1)log
1 2
0.34
＝
log20.34
－
1
＝
log2
100 34
<log23<log23.4. (2)∵log67>log66＝1，log76<log77＝1，
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• 1．对数
• (1)对数的定义．
• 如果a(a>0，a≠1)的b次幂等于N，即
底N的对数，记作
.
• •
(①2)a对log数aN恒＝等式(．a>0且a≠1，N>0)．logaN＝b
• ②logaab＝ (a>0且a≠1，b∈R)．
N
，那么数b叫做以a为
【答案】
(1)1
(2)－14
2＋a＋ab (3) 2a＋ab
• 探究1 在对数运算中，要注意以下几个问题：

第二章函数概念与基本初等函数第一节函数及其表示最新考纲：1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念；2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数；3.了解简单的分段函数，并能简单地应用．知识梳理1．函数与映射的概念提示：函数是特殊的映射，二者区别在于映射定义中的两个集合是非空集合，可以不是数集，而函数中的两个集合必须是非空数集．2．函数的相关概念(1)函数的三要素是定义域、值域和对应关系．(2)相等函数如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等．问题探究2：如果两个函数的定义域与值域相同，则它们是否为相等函数？提示：不一定，如函数f(x)＝x和函数g(x)＝－x的定义域和值域均为R，但两者显然不是同一函数．3．函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、列表法、图象法．4．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．基础自测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)函数f (x )＝x 2－2x 与函数f (t )＝t 2－2t 是同一个函数．( ) (2)函数y ＝1与函数y ＝x 0是相同函数．( )(3)若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数为相同函数．( ) (4)函数是特殊的映射．( )(5)分段函数的定义域等于各段函数定义域的并集，值域等于各段函数值域的并集．( ) 2．下列四组函数中，表示相等函数的一组是( )A ．f (x )＝x ＋1·x －1，g (x )＝x 2－1 B ．f (x )＝x 2，g (x )＝(x )2C ．f (x )＝x 2－1x －1，g (x )＝x ＋1 D ．f (x )＝|x |，g (t )＝t 23．(2015·江西重点中学一联)函数f (x )＝3xx －2＋lg(3－x )的定义域是( )A ．(3，＋∞)B ．(2,3)C ．[2,3)D ．(2，＋∞)4．(2016·沈阳二中阶段验收)已知函数f (x )＝5|x |，g (x )＝ax 2－x (a ∈R )．若f [g (1)]＝1，则a ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．－15．若函数f (x )在闭区间[－1,2]上的图象如图所示，则此函数的解析式为 ．考点一 函数的表示方法1．表示函数的常用方法有：解析法、列表法、图象法．2．解析法就是把变量x ，y 之间的关系，用一个关系式y ＝f (x )来表示，通过关系式可以由x 的值求出y 的值．列表法是将变量x ，y 的取值列成表格，由表格直接反映出二者的关系；图象法就是把x ，y 之间的关系绘制成图象，图象上每个点的坐标就是相应的变量x ，y 的值．提醒:用解析式表示函数的优点是简明扼要，规范准确；列表法的优点是能鲜明地显现出自变量与函数值之间的数量关系；用图象表示函数的优点是形象直观，能清晰呈现函数的增减变化，点的对称，最大(或最小)值等性质．例1:(1)(2016·河南洛阳期中)下列图形可以表示函数y＝f(x)图象的是( )(2)已知函数f(x)＝x－1，若f(a)＝3，则实数a＝ .点拨:集合A中任意一个x都有唯一确定的值f(x)与之对应，是判断函数的关键．对点训练1．下列函数中与函数y＝－2x3相同的是( )A．y＝x－2x B．y＝－x－2x C．y＝－2x3 D．y＝x2－2 x2．设函数f：x→－x2＋2x是实数集R到实数集R的映射，若对于实数t∈R，t不存在原象，则t的取值范围是 ( )A．(－∞，1) B．(1，＋∞) C．(－∞，1] D．[1，＋∞)3．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出，则f[g(1)]＝ .考点二求函数的定义域确定函数定义域的原则(1)当函数y＝f(x)用列表法给出时，函数的定义域是指表格中实数x的集合．(2)当函数y＝f(x)用图象法给出时，函数的定义域是指图象在x轴上的投影所覆盖的实数的集合．(3)当函数y＝f(x)用解析式给出时，函数的定义域是指使解析式有意义的实数的集合．(4)当函数y＝f(x)由实际问题给出时，函数的定义域由实际问题的意义确定．提醒:确定函数的定义域是解决函数问题的关键．例2: (1)(2015·郑州第二次模拟)函数f (x )＝12x2－1的定义域为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B ．(2，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞) D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[2，＋∞) (2)(2015·银川模拟)已知函数f (2x ＋1)的定义域为(0,1)，则f (x )的定义域是 ．点拨:(1)求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集；(2)已知f (x )的定义域是[a ，b ]，求f [g (x )]的定义域，是指满足a ≤g (x )≤b 的x 的取值范围，而已知f [g (x )]的定义域是[a ，b ]，指的是x ∈[a ，b ]．[拓展探究] (1)本例(2)改为f (x )的定义域为(0,1)，求f (2x ＋1)的定义域，又如何求呢？ (2)本例(2)的条件不变，求f (1－x )的定义域，如何求？考点三 分段函数对于分段函数给定自变量求函数值时，应根据自变量的范围，利用相应的解析式直接求解；若给定函数值求自变量，应根据函数每一段的解析式分别求解，但应注意检验该值是否在相应的自变量取值范围之内．提醒:分段函数是一个函数，而不是几个函数．处理分段函数问题时，首先要确定自变量的取值属于哪个区间段，再选取相应的对应关系，离开定义域讨论问题是产生错误的重要原因之一．例3:(1)(2015·新课标全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2－x ，x <1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12(2)(2016·银川一中月考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2，x ≥0.若f [f (a )]≤2，则实数a 的取值范围是 ．点拨:解决分段函数问题的关键是“对号入座”，即根据自变量取值的范围，准确确定相应的对应法则，代入相应的函数解析式，转化为一般的函数在指定区间上的问题，解完之后应注意检验自变量取值范围的应用．总之，解决分段函数的策略就是“分段函数，分段解决”，亦即应用分类讨论思想解决． 对点训练1．(2016·江西吉安一中上学期期中)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，2x，x ≤0，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝( )A ．4B ．14C ．－4D ．－142．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x，x ≤1，1－log 2x ，x >1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是( )A ．[－1,2]B ．[0,2]C ．[1，＋∞)D ．[0，＋∞)3．已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为 ．———————方法规律总结————————[方法技巧]1．判断对应是否为A 到B 的映射，即看A 中元素是否满足“每元有象”和“且象唯一”． 2．在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点：一是定义域相同；二是对应法则相同． 3．在求分段函数的值f (x 0)时，一定要首先判断x 0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集． [易错点睛]1．判断A 到B 的函数时，A 中不同元素可有相同的象，即可以多对一，不可以一对多；B 中元素可以无原象，即B 中元素可以有剩余．2．函数定义域是研究函数的基础依据，对函数性质的讨论，必须在定义域上进行，坚持定义域优先的原则．课时跟踪训练(四)一、选择题1．(2015·苏州模拟)下列四组函数中，表示同一函数的是( ) A ．y ＝x －1与y ＝x －2B ．y ＝x －1与y ＝x －1x －1C ．y ＝4lg x 与y ＝2lg x 2D ．y ＝lg x －2与y ＝lgx1002．若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )3．如图，是张大爷晨练时所走的离家距离(y )与行走时间(x )之间的函数关系的图象．若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是 ( )4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋1，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f [f (0)]＝4a ，则实数a 等于( )A.12 B ．45C ．2D ．9 5．(2015·湖南岳阳质检(二))设函数f (x )＝lg 3＋x 3－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 的定义域为( )A ．(－9,0)∪(0,9)B ．(－9，－1)∪(1,9)C ．(－3，－1)∪(1,3)D ．(－9，－3)∪(3,9) 6．若函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，347.已知实数m ≠0,函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧3x －m ，x ≤2，－x －2m ，x >2，若f (2－m )=f (2＋m ),则实数m 的值为( )A ．－83B ．8C ．－83或8D ．－83或8或08．(2016·潍坊质检)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，0≤x <5，f x －，x ≥5，则f (2 014)＝( )A ．26B ．17C ．10D ．59．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ，x ≤0，2，x >0，若f (－2)＝f (0), f (－1)＝－3，则关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．410．已知[x ]表示不超过实数x 的最大整数(x ∈R )，如：[－1.3]＝－2，[0.8]＝0，[3.4]＝3.定义{x }＝x －[x ]，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫12 014＋⎩⎨⎧⎭⎬⎫22 014＋⎩⎨⎧⎭⎬⎫32 014＋…＋⎩⎨⎧⎭⎬⎫2 0142 014＝( ) A ．2 013 B ．2 0132 C ．1 007 D ．2 014二、填空题11．(2015·合肥二次质检)函数f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫1－1x －1的定义域是 ． 12．(2015·南京模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤0，f x －＋2，x >0，则f (9)＝ .13．若集合A ＝{1,2,3，k }，B ＝{4,7，a 4，a 2＋3a }，其中a ∈N *，k ∈N *，f ：x →y ＝3x ＋1，x ∈A ，y ∈B 是从定义域A 到值域B 的一个函数，则a ＋k ＝ . 三、解答题14．记f (x )＝lg(2x －3)的定义域为集合M ，函数g (x )＝1－2x －1的定义域为集合N ，求：(1)集合M 、N ；(2)集合M ∩N ，M ∪N .15．如图，点M 是边长为1的正方形ABCD 的边CD 的中点．当点P 在正方形的边上沿A —B —C 运动时，点P 经过的路程为x ，△APM 的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式．16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－6x ＋6， x ≥0，3x ＋4， x <0，若互不相等的实数x 1、x 2、x 3满足f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)，求x 1＋x 2＋x 3的取值范围．第二节 函数的值域与解析式最新考纲：1.了解求函数值域的方法，会求一些简单函数的值域；2.会求一些简单函数的解析式．知识梳理1．函数的值域(1)在函数y ＝f (x )中，与自变量x 的值相对应的y 的值叫函数值，函数值的集合叫函数的值域． (2)基本初等函数的值域 ①y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域是R .②y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的值域是：当a >0时，值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞；当a <0时，值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a .③y ＝kx(k ≠0)的值域是{y |y ∈R 且y ≠0}． ④y ＝a x(a >0且a ≠1)的值域是(0，＋∞)． ⑤y ＝log a x (a >0且a ≠1)的值域是R . ⑥y ＝sin x ，y ＝cos x 的值域是[－1,1]． ⑦y ＝tan x 的值域是R .问题探究：函数的值域由什么决定？ 提示：函数的值域由对应关系和定义域决定． 2．函数解析式的求法 (1)换元法：若已知f []gx的表达式，求f (x )的解析式，通常是令g (x )＝t ，从中解出x＝φ(t )，再将g (x )、x 代入已知解析式求得f (t )的解析式，即得函数f (x )的解析式，这种方法叫作换元法，需注意新设变量“t ”的范围．(2)待定系数法：若已知函数类型，可设出所求函数的解析式，然后利用已知条件列方程(组)，再求系数．(3)消去法：若所给解析式中含有f (x )、f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x或f (x )、f (－x )等形式，可构造另一个方程，通过解方程组得到f (x )．(4)配凑法或赋值法：依据题目特征，能够由一般到特殊或由特殊到一般寻求普遍规律，求出解析式．基础自测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)函数的解析式相同，定义域不同，值域也一定不同．( ) (2)同一函数的解析式是唯一确定的．( ) (3)函数y ＝1x 2＋1的值域为(－∞，1]．( ) (4)函数y ＝1－2xx ＋1的值域为{y |y ≠－2}．( )(5)若f (x )＝x ＋1，则f (x )＝x 2＋1，x ∈R .( ) 2．函数f (x )＝33x－3的值域为( ) A ．(－∞，－1) B ．(－1,0)∪(0，＋∞) C ．(－1，＋∞) D ．(－∞，－1)∪(0，＋∞) 3．若二次函数g (x )满足g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，则g (x )的解析式为( ) A ．g (x )＝2x 2－3x B ．g (x )＝3x 2－2x C ．g (x )＝3x 2＋2x D ．g (x )＝－3x 2－2x 4．(2016·西安质检(一))函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ≥1，2x ，x <1，的值域为( )A ．[－1,2]B ．(－∞，2)C ．(0，＋∞)D ．(－∞，－2)5．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x＋1＝lg x ，则f (x )＝ .考点一 求函数的值域求函数值域的常用方法：(1)观察法；(2)换元法；(3)配方法；(4)单调性法；(5)基本不等式法；(6)分离常数法；(7)数形结合法．提醒:(1)求函数值域，一定要注意到定义域的范围；(2)利用换元法时，要及时确定新变量的取值范围．例1:求下列函数的值域： (1)y ＝x 2＋2x (x ∈[0,3])； (2)y ＝x －3x ＋1；(3)y ＝x －1－2x ； (4)y ＝log 3x ＋log x 3－1.点拨:(1)当所给函数是分式的形式，且分子、分母是同次的，可考虑用分离常数法；(2)若与二次函数有关，可用配方法；(3)若函数解析式中含有根式，可考虑用换元法或单调性法；(4)当函数解析式结构与均值不等式有关，可考虑用均值不等式求解；(5)分段函数宜分段求解；(6)当函数的图象易画出时，还可借助于图象求解．[拓展探究] (1)本例中(2)变为y ＝x －3x ＋1，x ∈[1，＋∞)时，其值域如何求？ (2)本例中(2)变为y ＝x 2＋3x ＋1(x >－1)时，其值域如何求？考点二 求函数的解析式函数的解析式是表示函数的一种方法，对于不是y ＝f (x )的形式，可根据题目的条件转化为该形式．提醒:求函数解析式时要关注定义域．例2:(1)已知 f (x ＋1)＝x ＋2x ，求 f (x )；(2)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )的解析式；(3)已知 f (x )满足2 f (x )＋ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，求f (x )．点拨:求函数的解析式时要充分根据题目的类型选取相应的方法，同时要注意函数的定义域． 对点训练1．已知f (1－cos x )＝sin 2x ，求f (x )的解析式．2．已知f (x )是二次函数，若f (0)＝0，且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，试求f (x )的表达式．考点三 函数的定义域、值域及解析式的综合应用函数的定义域是使函数有意义的自变量取值的集合，它是函数不可缺少的部分，函数的值域是函数值的集合，它是由函数的定义域与对应关系确定，函数解析式是表示函数的一种方法，对于不是y ＝f (x )的形式，可根据题目的具体条件转化为该种形式．对于求出的解析式，一定要注意定义域的变化．提醒:解决函数的综合问题时，一般采取“定义域优先”的原则．例3:(1)(2015·山东卷)已知函数f (x )＝a x＋b (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a ＋b ＝ .(2)(2015·福建卷)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x >2，(a >0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是 ．点拨:(1)对定义域、值域的综合问题，要注意定义域对函数值域的限制作用．即在定义域内用相应方法求值域；(2)若解析式中含有参数，要注意参数对函数值域的影响，即要考虑分类讨论；(3)解题时要注意数形结合思想的应用，即借助图象确定函数的值域． 对点训练1．(2016·江西宜春期末统考)函数y ＝x 2－2x ＋3在定义域[m,3]上的值域为[2,6]，则m 的取值范围是( )A ．(0,3]B ．[0,3)C ．[－1,1]D ．[0,1]2．(2016·广东深圳第二次调研)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋a ，x >2，x ＋a 2，x ≤2.若f (x )的值域为R ，则常数a的取值范围是( )A ．(－∞，－1]∪[2，＋∞)B ．[－1,2]C ．(－∞，－2]∪[1，＋∞)D ．[－2,1] 3．若函数f (x )＝|log 3x |在区间[a ，b ]上的值域为[0,1]，则b －a 的最小值为 ．———————方法规律总结————————[方法技巧]1．函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质的基础，要树立函数定义域优先意识．2．函数值域的几何意义是对应函数图象上点的纵坐标的变化范围．利用函数几何意义，数形结合可求某些函数的值域． [易错点睛]1．利用配方法、判别式法、基本不等式求值域时，一定注意等号是否成立，必要时注明“＝”成立的条件．2．利用换元法求函数解析式时，切记新元的范围即为函数的定义域．课时跟踪训练(五)一、选择题1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0，f x －，x >0，则f (5)等于( )A ．32B ．16 C.12 D ．1322．(2016·济南质检)函数y ＝2x －1的定义域是(－∞，1)∪[2,5)，则其值域是( ) A ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2 B ．(－∞，2] C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12∪[2，＋∞) D ．(0，＋∞) 3．下列函数中，不满足f (2x )＝2f (x )的是( )A ．f (x )＝|x |B ．f (x )＝x －|x |C ．f (x )＝x ＋1D ．f (x )＝－x4．(2016·北京东城第一学期联考)若函数f (sin x )＝3－cos 2x ，则f (cos x )＝( ) A ．3－cos 2x B ．3－sin 2x C ．3＋cos 2x D ．3＋sin 2x 5．(2015·河北唐山期中)下列函数中，值域是(0，＋∞)的是( ) A ．y ＝15－x＋1B ．y ＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1C ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫131－x D ．y ＝1－2x6．已知函数f (x )＝4|x |＋2－1的定义域是[a ，b ](a ，b ∈Z )，值域是[0,1]，则满足条件的整数数对(a ，b )共有( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个7．(2015·湖南衡阳六校联考)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x ＋1x ，则f (x )＝( )A ．(x ＋1)2B ．(x －1)2C ．x 2－x ＋1 D ．x 2＋x ＋18．已知函数f (x )＝e x－1，g (x )＝－x 2＋4x －3.若存在实数a 使f (a )＝g (b )，则b 的取值范围为( )A ．[2－2，2＋2]B ．(2－2，2＋2)C ．[1,3]D ．(1,3) 9．(2015·浙江十二校二联)函数f (x )＝sin x 2－cos x 的值域是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 B ．[－1,1] C ．[－2,2] D ．[－3，3] 10．(2015·浙江温州十校联考)设函数g (x )是二次函数，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，|x |≥1，x ，|x |<1，若函数f [g (x )]的值域是[0，＋∞)，则函数g (x )的值域是( )A ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[0，＋∞)D ．[1，＋∞) 二、填空题11．(2015·合肥模拟)函数y ＝1－x2x ＋5的值域为 ．12．若函数y ＝log 2(ax 2＋2x ＋1)的值域为R ，则a 的取值范围为 ．13．定义在区间(－1,1)上的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，则函数f (x )的解析式为 ． 三、解答题14．求下列函数的值域： (1)y ＝1－x 21＋x 2；(2)y ＝－2x 2＋x ＋3； (3)y ＝x ＋1x＋1；(4)y＝x＋4－x2.15．已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)＝2bxax－1(a≠0), f(1)＝1，且使f(x)＝2x成立的实数x只有一个，求函数f(x)的解析式．16．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx(a、b是常数，且a≠0)满足条件：f(2)＝0，且方程f(x)＝x 有两个相等实根．(1)求f(x)的解析式；(2)是否存在实数m、n(m<n)，使f(x)的定义域和值域分别为[m，n]和[2m,2n]？如存在，求出m、n的值；如不存在，说明理由．第三节函数的单调性与最值最新考纲：1.理解函数的单调性及其几何意义，会运用基本初等函数的图象分析函数的性质；2.理解函数最大值、最小值及其几何意义，会运用函数图象理解和研究函数的最值．知识梳理1．函数的单调性(1)单调函数的定义(2)若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫作f(x)的单调区间．问题探究1：函数f(x)在区间[a，b]上单调递增与函数f(x)的单调递增区间为[a，b]含义相同吗？提示：含义不同．f(x)在区间[a，b]上单调递增并不能排除f(x)在其他区间单调递增，而f(x)的单调递增区间为[a，b]意味着f(x)在其他区间不可能单调递增．2．函数的最值问题探究2：函数的单调性、最大(小)值反映在其函数图象上有什么特征？提示：函数单调性反映在图象上是上升或下降的，而最大(小)值反映在图象上为其最高(低)点的纵坐标的值．基础自测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)函数y ＝1x在定义域上为减函数．( )(2)对于函数f (x )，x ∈D ，若x 1，x 2∈D ，且(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]>0，则函数f (x )在D 上是增函数．( )(3)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．( ) (4)函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是(0，＋∞)．( ) (5)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到．( ) 2．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是 ( )A ．y ＝ln(x ＋2)B ．y ＝－x ＋1C ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xD ．y ＝x ＋1x3．函数y ＝log 12(x 2－2x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，0)4．如果二次函数f (x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋b 在区间(－∞，1)上是减函数，则( ) A ．a ＝－2 B ．a ＝2 C ．a ≤－2 D ．a ≥2 5．已知函数f (x )＝2|x －a |(a 为常数)，若f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是 ．考点一 函数单调性的判断与证明1．定义法用定义证明函数单调性的一般步骤(1)取值：即设x 1，x 2是该区间内的任意两个值，且x 1<x 2.(2)作差：即f (x 2)－f (x 1)(或f (x 1)－f (x 2))，并通过通分、配方、因式分解等方法，向有利于判断差的符号的方向变形．(3)定号：根据给定的区间和x 2－x 1的符号，确定差f (x 2)－f (x 1)(或f (x 1)－f (x 2))的符号．当符号不确定，可以进行分类讨论． (4)判断：根据定义得出结论．2．导数法f ′(x )≥0(x ∈A )⇔f (x )在A 上为增函数，(使f ′(x )＝0的x 仅是个别值)； f ′(x )≤0(x ∈A )⇔f (x )在A 上为减函数，(使f ′(x )＝0的x 仅是个别值)．提醒:应熟记常用函数的单调性，为函数的应用提供依据．例1:判断函数f (x )＝x ＋ax(a >0)在(0，＋∞)上的单调性，并给出证明．点拨:判断函数单调性的方法(1)对于给出具体解析式的函数，证明或判断其在某区间上的单调性有两种方法：①可以利用定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、定号、下结论)求解；②可导函数则可以利用导数解之；(2)复合函数y ＝f [g (x )]的单调性规律是“同则增，异则减”，即y ＝f (u )与u ＝g (x )若具有相同的单调性，则y ＝f [g (x )]为增函数；若具有不同的单调性，则y ＝f [g (x )]为减函数． 对点训练1．(2016·太原质检)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝(x －1)2C ．y ＝2－xD ．y ＝log 0.5(x ＋1) 2．试讨论函数f (x )＝axx 2－1，x ∈(－1,1)的单调性(其中a ≠0)．考点二 求函数的单调区间1．求函数的单调区间 (1)利用已知函数的单调性．(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义．(3)图象法：如果f (x )是以图象给出的，或者f (x )的图象易作出，可直接由图象的直观性写出它的单调区间．(4)导数法：利用导函数取值的正负确定原函数的单调区间． 2．求复合函数 y ＝f [g (x )]的单调区间的步骤 (1)确定定义域．(2)将复合函数分解成基本初等函数：y ＝f (u )，u ＝g (x )． (3)分别确定这两个函数的单调区间．(4)若这两个函数同增或同减，则 y ＝f [g (x )]为增函数；若一增一减，则 y ＝f [g (x )]为减函数，即“同增异减”．提醒:函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制．例如函数y ＝1x分别在(－∞，0)，(0，＋∞)内都是单调递减的，但不能说它在(－∞，0)∪(0，＋∞)内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)，不能用“∪”连接．例2: (1)(2015·合肥第二次质检)函数y ＝|x 2－4x ＋3|的单调递增区间是 ．(2)(2015·洛阳第二次模拟)函数y ＝f (x )(x ∈R )的图象如图所示，则函数g (x )＝f (log a x )(0<a <1)的单调减区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 B ．[a ，1] C ．(－∞，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ D ．[a ，a ＋1]点拨:带有绝对值的函数实质上就是分段函数，对于分段函数的单调性，有两种基本的判断方法：一是在各个段上根据函数的解析式所表示的函数的单调性求出单调区间，最后对各个段上的单调区间进行整合；二是画出这个分段函数图象，结合函数的图象、性质进行直观的判断．[拓展探究] (1)若将本例(1)中的函数变为“y ＝x 2－4|x |＋3”，则结果如何？ (2)若将本例(2)中的“0<a <1”改为“a >1”，则函数g (x )的单调递减区间如何？考点三 利用单调性求最值若函数在闭区间[a ，b ]上是减函数，则f (x )在[a ，b ]上的最大值为f (a )，最小值为f (b )； 若函数在闭区间[a ，b ]上是增函数，则f (x )在[a ，b ]上的最大值为f (b )，最小值为f (a )．提醒:运用函数单调性求最值是求函数最值的重要方法，特别是当函数图象不易作出时，单调性法成为首选方法．例3:已知f (x )＝x 2＋2x ＋a x ，x ∈[1，＋∞)．(1)当a ＝12时，求函数f (x )的最小值；(2)若对任意x ∈[1，＋∞), f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围．点拨:利用函数的性质求恒成立问题，主要的解题步骤是研究函数的性质，确定函数在所给区间上的单调性，得到区间上对应的函数最值．对点训练已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.(1)求f (1)的值；(2)证明：f (x )为单调递减函数；(3)若f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值．考点四 函数单调性的应用函数的单调性主要应用在以下几方面 (1)求函数的值域或最值；(2)比较两个函数值或两个自变量的大小； (3)解函数不等式；(4)利用单调性求参数的取值范围或值．提醒:熟练掌握基本初等函数的单调性是解决这类问题的关键．例4:(1)已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x，若x 1∈(1,2)，x 2∈(2，＋∞)，则( )A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0 (2)已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋2，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，则a 的取值范围是 ．点拨:已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间[a ，b ]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．对点训练1．(2015·沈阳模拟)若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0,1)D ．(0,1]2．(2016·衡水中学月考)函数f (x )＝log a (2－ax 2)在(0,1)上为减函数，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 B ．(1,2) C ．(1,2] D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 3．当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是 ．———————方法规律总结————————[方法技巧]1．利用定义判断或证明函数的单调性注意定义的如下两种等价形式：设任意x 1，x 2∈[a ，b ]，那么 (1)f x 1－f x 2x 1－x 2>0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数；f x 1－f x 2x 1－x 2<0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．(2)(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数； (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数． 2．求函数的单调区间首先应注意函数的定义域，函数的单调区间都是其定义域的子集；其次掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间．常用方法：根据定义、利用图象和单调函数的性质、利用导函数．3．复合函数的单调性对于复合函数y ＝f [g (x )]，若t ＝g (x )在区间(a ，b )上是单调函数，且y ＝f (t )在区间(g (a )，g (b ))或者(g (b )，g (a ))上是单调函数，若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相同(同时为增或减)，则y ＝f [g (x )]为增函数；若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相反，则y ＝f [g (x )]为减函数． 简称：同增异减．4．函数的最值与函数的值域有着密切的联系．事实上，若在函数的值域中存在最大数(最小数)，则这个数就是函数的最大值(最小值)，因此可借助函数值域的求法确定最值． [易错点睛]1．函数的单调性是通过任意两点的变化趋势来刻画整体的变化趋势，“任意”两个字是必不可少的．如果只用其中两点的函数值(比如说端点值)进行大小比较是不能确定函数的单调性的． 2．讨论函数单调性必须在其定义域内进行，函数的单调区间是其定义域的子集，因此，讨论函数的单调性时，应先确定函数的定义域．3．函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减．单调区间要分开写，即使在两个区间上的单调性相同，也不能用并集表示．课时跟踪训练(六)一、选择题1．下列函数中，在区间(1，＋∞)上是增函数的是( ) A ．y ＝－x ＋1 B ．y ＝11－xC ．y ＝－(x －1)2D ．y ＝31－x2．(2016·安徽宿州一检)下列函数f (x )中，满足“对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)时，均有(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0”的是( )A ．f (x )＝12B ．f (x )＝x 2－4x ＋4C ．f (x )＝2xD ．f (x )＝log 12x3．函数f (x )＝11－x－x的最大值是( )A.45 B ．54 C.34 D ．434．已知函数y ＝x 2－2x ＋3在区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B ．[0,2] C ．(－∞，2] D ．[1,2].5．(2016·东北三校联考(一))设函数f (x )＝x 2＋(a －2)x －1在区间[2，＋∞)上是增函数，则实数a 的最小值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．26．设函数f (x )＝log a |x |在(－∞，0)上单调递增，则f (a ＋1)与f (2)的大小关系是( ) A ．f (a ＋1)＝f (2) B ．f (a ＋1)>f (2) C ．f (a ＋1)<f (2) D ．不能确定7．(15郑州第二次质检)已知函数f (x )＝ln x ＋2x，若f (x 2－4)<2，则实数x 的取值范围是( ) A ．(－2,2) B ．(2，5) C ．(－5，－2) D ．(－5，－2)∪(2，5)8．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －x ＋4a ，x ≤1，log a x ，x >1.是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，13 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，1 9．已知函数f (x )＝4－mxm －1(m ≠1)在区间(0,1]上是减函数，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，4) C ．(1,4] D ．(－∞，0)∪(1,4]10．(2016·浙江嘉兴测试一)偶函数f (x )在[0，＋∞)上为增函数，若不等式f (ax －1)<f (2＋x 2)恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－23，2)B ．(－2,2)C ．(－23，23)D ．(－2,23) 二、填空题11．函数y ＝log 12|x －3|的单调递减区间是 ．12．(2015·东北三校联考)若函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在区间(－2，＋∞)上是单调递增函数，则实数a 的取值范围是 ．13．对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b .设函数f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是 ． 三、解答题14．(2016·重庆诊断测试)已知函数f (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 的图象与函数h (x )＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋2的图象关于点A (0,1)对称．(1)求m 的值；(2)若g (x )＝f (x )＋a4x在区间(0,2]上为减函数，求实数a 的取值范围．15．(2016·江苏徐州期中)已知a ∈R ，函数f (x )＝x |x －a |.(1)当a ＝2时，写出函数y ＝f (x )的单调递增区间；(2)当a >2时，求函数y ＝f (x )在区间[1,2]上的最小值．16．已知函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋ax－2，其中a 是大于0的常数．(1)求函数f (x )的定义域；(2)当a ∈(1,4)时，求函数f (x )在[2，＋∞)上的最小值；(3)若对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，试确定a 的取值范围．。

第二章函数的概念及基本初等函数(Ⅰ)全国卷5年考情图解高考命题规律把握1.高考对本章的考查一般为1～3道小题．2.从考查内容上看主要涉及函数的图象，多为给出具体函数解析式判断函数的图象；函数的性质及函数性质的综合问题；指数、对数、幂函数的图象与性质；分段函数，既有求函数值，也有解不等式，常与指数、对数函数，零点相结合．3.本章一般不单独涉及解答题，在解答题中多与导数、不等式结合命题，试题难度较大.第一节函数及其表示1．函数与映射函数映射两集合A ，B设A ，B 是非空的数集设A ，B 是非空的集合对应关系f ：A →B如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应名称称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B的一个映射记法y ＝f (x )，x ∈A对应f ：A →B 是一个映射2．函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域❶；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域❷.显然，值域是集合B 的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．(4)函数的表示法：解析法、图象法、列表法．3．分段函数❸若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．,(1)确定函数的定义域常从解析式本身有意义，或从实际出发．(2)如果函数y＝f(x)用表格给出，则表格中x的集合即为定义域．(3)如果函数y＝f(x)用图象给出，则图象在x轴上的投影所覆盖的x的集合即为定义域.值域是一个数集，由函数的定义域和对应关系共同确定．(1)分段函数虽由几个部分构成，但它表示同一个函数．(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．(3)各段函数的定义域不可以相交.[熟记常用结论](1)若f(x)为整式，则函数的定义域为R；(2)若f(x)为分式，则要求分母不为0；(3)若f(x)为对数式，则要求真数大于0；(4)若f(x)为根指数是偶数的根式，则要求被开方式非负；(5)若f(x)描述实际问题，则要求使实际问题有意义．如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，求定义域常常等价于解不等式(组)．[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)对于函数f：A→B，其值域是集合B.()(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．()(3)函数是一种特殊的映射．()(4)若A＝R，B＝(0，＋∞)，f：x→y＝|x|，则对应f可看作从A到B的映射．()(5)分段函数是由两个或几个函数组成的．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)×(5)×二、选填题1．下列图形中可以表示为以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，以N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的是()解析：选C A 选项，函数定义域为M ，但值域不是N ，B 选项，函数定义域不是M ，值域为N ，D 选项，集合M 中存在x 与集合N 中的两个y 对应，不能构成函数关系．故选C.2．下列函数中，与函数y ＝x ＋1是相等函数的是()A ．y ＝(x ＋1)2B ．y ＝3x 3＋1C ．y ＝x 2x ＋1D ．y ＝x 2＋1解析：选B对于A ，函数y ＝(x ＋1)2的定义域为{x |x ≥－1}，与函数y ＝x ＋1的定义域不同，不是相等函数；对于B ，定义域和对应关系都相同，是相等函数；对于C ，函数y ＝x 2x ＋1的定义域为{x |x ≠0}，与函数y ＝x ＋1的定义域不同，不是相等函数；对于D ，定义域相同，但对应关系不同，不是相等函数，故选B.3．函数f (x )＝2x －1＋1x －2的定义域为________．解析：x －1≥0，－2≠0，解得x ≥0且x ≠2.答案：[0,2)∪(2，＋∞)4．若函数f (x )x －1，x ≤1，－x 2，x >1，则f (f (2))＝________.解析：由题意知，f (2)＝5－4＝1，f (1)＝e 0＝1，所以f (f (2))＝1.答案：15．已知函数f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1,4)，则f (2)＝________.解析：∵函数f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1,4)∴4＝－a ＋2，∴a ＝－2，即f (x )＝－2x 3－2x ，∴f (2)＝－2×23－2×2＝－20.答案：－20考点一求函数的解析式[师生共研过关][典例精析](1)已知lg x ，求f (x )的解析式．(2)已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )的解析式．(3)已知函数f (x )满足f (－x )＋2f (x )＝2x ，求f (x )的解析式．[解](1)(换元法)令2x＋1＝t，得x＝2t－1，代入得f(t)＝lg2t－1，又x>0，所以t>1，故f(x)的解析式是f(x)＝lg2x－1，x∈(1，＋∞)．(2)(待定系数法)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝0，知c＝0，f(x)＝ax2＋bx，又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，a＋b＝b＋1，＋b＝1，解得a＝b＝12.所以f(x)＝12x2＋12x，x∈R.(3)(解方程组法)由f(－x)＋2f(x)＝2x，①得f(x)＋2f(－x)＝2－x，②①×2－②，得3f(x)＝2x＋1－2－x.即f(x)＝2x＋1－2－x3.故f(x)的解析式是f(x)＝2x＋1－2－x3，x∈R.[解题技法]求函数解析式的3种方法及口诀记忆待定系数法当函数的特征已经确定时，一般用待定系数法来确定函数解析式换元法如果给定复合函数的解析式，求外函数的解析式，通常用换元法将内函数先换元，然后求出外函数的解析式解方程组法如果给定两个函数的关系式，可以通过变量代换建立方程组，再通过方程组求出函数解析式口诀记忆解析式，如何定，待定换元解方程；已知函数有特征，待定系数来确定；复合函数问根源，内函数，先换元；两个函数有关系，方程组中破玄机.[过关训练]1．[口诀第3句]已知函数f (x －1)＝xx ＋1，则函数f (x )的解析式为()A ．f (x )＝x ＋1x ＋2B ．f (x )＝x x ＋1C ．f (x )＝x －1xD ．f (x )＝1x ＋2解析：选A 令x －1＝t ，则x ＝t ＋1，∴f (t )＝t ＋1t ＋2，即f (x )＝x ＋1x ＋2.故选A.2．[口诀第2句]若二次函数g (x )满足g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，则g (x )＝________.解析：设g (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，∵g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，＋b ＋c ＝1，－b ＋c ＝5，＝0，＝3，＝－2，＝0，∴g (x )＝3x 2－2x .答案：3x 2－2x3．[口诀第4句]已知f (x )满足2f (x )＋3x ，则f (x )＝________.解析：∵2f (x )＋3x ，①把①中的x 换成1x ，得2f (x )＝3x.②f (x )＋3x ，f (x )＝3x，解此方程组可得f (x )＝2x －1x (x ≠0)．答案：2x －1x (x ≠0)考点二函数的定义域[全析考法过关][考法全析]考法(一)已知函数解析式求定义域[例1]求下列函数的定义域：(1)f (x )＝|x －2|－1log 2(x －1)；(2)f (x )＝ln (x ＋1)－x 2－3x ＋4.[解](1)要使函数f(x)－2|－1≥0，－1>0，－1≠1，解不等式组得x≥3.因此函数f(x)的定义域为[3，＋∞)．(2)要使函数f(x)＋1>0，x2－3x＋4>0，>－1，＋4)(x－1)＜0，解不等式组得－1＜x＜1.因此函数f(x)的定义域为(－1,1)．考法(二)求抽象函数的定义域[例2]已知函数f(x)的定义域为(－1,1)，则函数g(x)＝f(x－1)的定义域为() A．(－2,0)B．(－2,2)C．(0,2)－12，[解析]1＜x2＜1，1＜x－1＜1，2＜x＜2，＜x＜2，∴0＜x＜2，∴函数g(x)＝f(x－1)的定义域为(0,2)，故选C.[答案]C考法(三)已知函数的定义域求参数的值(范围)[例3](1)若函数y＝mx－1mx2＋4mx＋3的定义域为R，则实数m的取值范围是()，34C.0，34 D.(2)若函数f(x)＝ax2＋abx＋b的定义域为{x|1≤x≤2}，则a＋b的值为________．[解析](1)∵函数y＝mx－1mx2＋4mx＋3的定义域为R，∴mx2＋4mx＋3≠0，∴m＝0≠0，＝16m2－12m＜0，即m＝0或0＜m＜34，∴实数m的取值范围是0(2)∵函数f(x)＝ax2＋abx＋b的定义域为{x|1≤x≤2}，＜0，1)＝0，2)＝0，＝－32，＝－3，∴a＋b＝－92.[答案](1)D(2)－92[规律探求]看个性考法(一)是根据具体的函数解析式求定义域，已知解析式的函数，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求解时只要根据函数解析式列出自变量满足的不等式(组)，得出不等式(组)的解集即可．考法(二)是求抽象函数的定义域，有如下解法：(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域．考法(三)是考法(一)的逆运用，通常是转化为含参数的不等式求解找共性1.谨记函数定义域的有关口诀定义域，是何意，自变量，有意义；分式分母不为零，对数真数只取正；偶次根式要非负，三者结合生万物；和差积商定义域，不等式组求交集.2.函数定义域问题注意事项(1)函数f(g(x))的定义域指的是x的取值范围，而不是g(x)的取值范围；(2)求函数的定义域时，对函数解析式先不要化简；(3)求出函数的定义域后，一定要将其写成集合或区间的形式；(4)函数f(x)±g(x)的定义域是函数f(x)，g(x)的定义域的交集[过关训练]1．[口诀第1、2、3、4句]y＝x－12x log2(4－x2)的定义域是()A．(－2,0)∪(1,2)B．(－2,0]∪(1,2)C．(－2,0)∪[1,2)D．[－2,0]∪[1,2]解析：选C0，>0，解得x∈(－2,0)∪[1,2)，即函数的定义域是(－2,0)∪[1,2)．2．[口诀第1句]已知函数y＝f(x2－1)的定义域为[－3，3]，则函数y＝f(x)的定义域为________．解析：因为y＝f(x2－1)的定义域为[－3，3]，所以x∈[－3，3]，x2－1∈[－1,2]，所以y＝f(x)的定义域为[－1，2]．答案：[－1,2]3．[口诀第1、3句]若函数f(x)＝x2＋ax＋1的定义域为实数集R，则实数a的取值范围为________________．解析：若函数f(x)＝x2＋ax＋1的定义域为实数集R，则x2＋ax＋1≥0恒成立，即Δ＝a2－4≤0，解得－2≤a≤2，即实数a的取值范围是[－2,2]．答案：[－2,2]考点三分段函数[全析考法过关][考法全析]考法(一)分段函数求值[例1](1)(2019·石家庄模拟)已知f(x)，x≤0，x，x>0，则________.(2)已知f(x)－3，x≥9，(f(x＋4))，x＜9，则f(7)＝__________________________________.[解析](1)∵log319＝－2，∴f(－2)2＝9.(2)∵7＜9，∴f(7)＝f(f(7＋4))＝f(f(11))＝f(11－3)＝f(8)．又∵8＜9，∴f(8)＝f(f(12))＝f(9)＝9－3＝6.即f(7)＝6.[答案](1)9(2)6考法(二)求参数或自变量的值(范围)[例2](1)(2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )－x ，x ≤0，，x >0，则满足f (x ＋1)＜f (2x )的x 的取值范围是()A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，0)(2)(2019·长春模拟)已知函数f (x )＝x ，x >0，＋1，x ≤0.若f (a )＋f (1)＝0，则实数a ＝________.[解析](1)∵f (x )－x ，x ≤0，，x >0，∴函数f (x )的图象如图所示．结合图象知，要使f (x ＋1)＜f (2x )，＋1＜0，x ＜0，x ＜x ＋1＋1≥0，x ＜0，∴x ＜0，故选D.(2)当a >0时，由f (a )＋f (1)＝0得2a ＋2＝0，无实数解；当a ≤0时，由f (a )＋f (1)＝0得a ＋1＋2＝0，解得a ＝－3，满足条件．[答案](1)D(2)－3[规律探求]看个性考法(一)是求分段函数的函数值．在求分段函数的函数值时，一定要先判断自变量属于定义域的哪个子集，再代入相应的关系式．若涉及复合函数求值，则从内到外逐层计算，当自变量的值不确定时，要分类讨论．考法(二)是在考法(一)的基础上迁移考查分段函数中，已知函数值或不等关系求参数或自变量的值或范围．解与分段函数有关的方程或不等式，从而求得自变量或参数的取值(范围)时，应根据每一段的解析式分别求解．解得值(范围)后一定要检验其是否符合相应段的自变量的取值范围找共性(1)无论考法(一)还是考法(二)都要根据自变量或参数所在区间来解决问题，搞清参数或自变量所在区间是解决问题的先决条件；(2)解决分段函数有关问题的关键是“分段归类”，即自变量的取值属于哪一段范围，就用哪一段的解析式来解决问题[过关训练]1．已知函数f (x )，x ≥4，1)，x ＜4，则f (1＋log 25)＝________.解析：因为2＜log 25＜3，所以3＜1＋log 25＜4，则4＜2＋log 25＜5，则f (1＋log 25)＝f (1＋1＋log 25)＝f (2＋log 25)22+log 5＝14×15＝120.答案：1202．(2018·衡阳模拟)已知函数f (x )·2x ，x ≥0，－x，x ＜0(a ∈R)，若f (f (－1))＝1，则a ＝________.解析：∵f (－1)＝2－(－1)＝2，∴f (f (－1))＝f (2)＝4a ＝1，解得a ＝14.答案：14[课时跟踪检测]一、题点全面练1．(2019·重庆调研)函数y ＝log 2(2x －4)＋1x －3的定义域是()A ．(2,3)B ．(2，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．(2,3)∪(3，＋∞)解析：选D由题意，x －4>0，－3≠0，解得x >2且x ≠3，所以函数y ＝log 2(2x －4)＋1x －3的定义域为(2,3)∪(3，＋∞)，故选D.2．(2018·合肥质量检测)已知函数f (x )＋1x －2，x >2，2＋2，x ≤2，则f (f (1))＝()A ．－12B ．2C ．4D ．11解析：选C∵f (1)＝12＋2＝3，∴f (f (1))＝f (3)＝3＋13－2＝4.故选C.3．已知函数f (x )＝5|x |，g (x )＝ax 2－x (a ∈R)．若f (g (1))＝1，则a ＝()A ．1B ．2C ．3D ．－1解析：选A 由已知条件可知f (g (1))＝f (a －1)＝5|a －1|＝1，∴|a －1|＝0，得a ＝1.故选A.4．(2018·荆州联考)若函数f (x )的定义域是[1,2019]，则函数g (x )＝f (x ＋1)x －1的定义域是()A ．[0,2018]B ．[0,1)∪(1,2018]C ．(1,2019]D ．[－1,1)∪(1,2018]解析：选B由题知，1≤x ＋1≤2019，解得0≤x ≤2018，又x ≠1，所以函数g (x )＝f (x ＋1)x －1的定义域是[0,1)∪(1，2018]．5．已知－2x －5，且f (a )＝6，则a 等于()A.74B ．－74C.43D ．－43解析：选A令t ＝12x －1，则x ＝2t ＋2，f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1，故f (x )＝4x －1，则f (a )＝4a －1＝6，解得a ＝74.6．(2019·石家庄模拟)已知f (x )3x ，x >0，x ＋b ，x ≤0(0＜a ＜1)，且f (－2)＝5，f (－1)＝3，则f (f (－3))＝()A ．－2B ．2C ．3D ．－3解析：选B由题意得，f (－2)＝a －2＋b ＝5，①f (－1)＝a －1＋b ＝3，②联立①②，结合0＜a ＜1，得a ＝12，b ＝1，所以f (x )x ，x >0，＋1，x ≤0，则f (－3)3＋1＝9，f (f (－3))＝f (9)＝log 39＝2.7．(2018·福州二模)已知函数f (x )2x ＋a ，x >0，x －2－1，x ≤0.若f (a )＝3，则f (a －2)＝()A ．－1516B ．3C ．－6364或3D ．－1516或3解析：选A当a >0时，若f (a )＝3，则log 2a ＋a ＝3，解得a ＝2(满足a >0)；当a ≤0时，若f (a )＝3，则4a －2－1＝3，解得a ＝3，不满足a ≤0，舍去．于是，可得a ＝2.故f (a －2)＝f (0)＝4－2－1＝－1516.故选A.8．(2019·合肥质检)已知函数f (x )满足f (2x )＝2f (x )，且当1≤x ＜2时，f (x )＝x 2，则f (3)＝()A.98 B.94C.92D ．9解析：选C∵f (2x )＝2f (x )，且当1≤x ＜2时，f (x )＝x 2，∴f (3)＝22＝92.9．(2019·合肥模拟)已知f (x )的定义域为{x |x ≠0}，且3f (x )＋53x ＋1，则函数f (x )的解析式为________________________．解析：用1x 代替3f (x )＋5＝3x ＋1中的x ，得35f (x )＝3x ＋1，f (x )＋5＝3x ＋1，①5f (x )＝3x ＋1，②①×3－②×5得f (x )＝1516x －916x ＋18(x ≠0)．答案：f (x )＝1516x －916x ＋18(x ≠0)10．设函数f (x )(－x )，x ＜0，ln x ，x >0，若f (m )>f (－m )，则实数m 的取值范围是________．解析：函数f (x )(－x )，x ＜0，ln x ，x >0，当m >0时，f (m )>f (－m )，即－ln m >ln m ，即ln m＜0，解得0＜m ＜1；当m ＜0时，f (m )>f (－m )，即ln(－m )>－ln(－m )，即ln(－m )>0，解得m ＜－1.综上可得，m ＜－1或0＜m ＜1.答案：(－∞，－1)∪(0,1)二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1．若函数y ＝f (x ＋1)的值域为[－1,1]，则函数y ＝f (3x ＋2)的值域为()A ．[－1,1]B ．[－1,0]C ．[0,1]D ．[2,8]解析：选A函数y ＝f (x ＋1)的值域为[－1,1]，由于函数中的自变量取定义域内的任意数时，函数的值域都为[－1,1]，故函数y ＝f (3x ＋2)的值域为[－1,1]．故选A.2．(2018·山西名校联考)设函数f (x )＝lg(1－x )，则函数f [f (x )]的定义域为()A ．(－9，＋∞)B ．(－9,1)C ．[－9，＋∞)D ．[－9,1)解析：选Bf [f (x )]＝f [lg(1－x )]＝lg [1－lg(1－x )]，－x >0，－lg (1－x )>0的解集，解得－9＜x ＜1，所以f [f (x )]的定义域为(－9,1)．故选B.3．(2018·安阳三校联考)若函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域为一切实数，则实数m 的取值范围是()A ．[0,4)B ．(0,4)C ．[4，＋∞)D ．[0,4]解析：选D由题意可得mx 2＋mx ＋1≥0恒成立．当m ＝0时，1≥0恒成立；当m ≠0>0，2－4m ≤0，解得0＜m ≤4.综上可得，0≤m ≤4.4．(2019·珠海质检)已知函数f (x )－2a )x ＋3a ，x ＜1，x ，x ≥1的值域为R ，则实数a 的取值范围是()A ．(－∞，－1]1C.－1解析：选C 由题意知y ＝ln x (x ≥1)的值域为[0，＋∞)，故要使f (x )的值域为R ，则必有y ＝(1－2a )x ＋3a 为增函数，且1－2a ＋3a ≥0，所以1－2a >0，且a ≥－1，解得－1≤a ＜12.5．(2018·合肥质检)已知函数f (x )＝mx 2＋(m －3)x ＋1的值域是[0，＋∞)，则实数m 的取值范围是________．解析：当m ＝0时，函数f (x )＝－3x ＋1的值域是[0，＋∞)，显然成立；当m >0时，Δ＝(m －3)2－4m ≥0，解得0＜m ≤1或m ≥9.显然m ＜0时不合题意．综上可知，实数m 的取值范围是[0,1]∪[9，＋∞)．答案：[0,1]∪[9，＋∞)(二)技法专练——活用快得分6．[排除法]设x ∈R ，定义符号函数sgn x ，x >0，，x ＝0，1，x ＜0，则()A ．|x |＝x |sgn x |B ．|x |＝x sgn|x |C ．|x |＝|x |sgn xD ．|x |＝x sgn x解析：选D当x ＜0时，|x |＝－x ，x |sgn x |＝x ，x sgn|x |＝x ，|x |sgn x ＝(－x )·(－1)＝x ，排除A 、B 、C ，故选D.7．[特殊值法]函数y ＝a －a x (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则log a 56＋log a485＝()A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C当x ＝1时，y ＝0，则函数y ＝a －a x 在[0,1]上为减函数，故a >1.∴当x＝0时，y ＝1，则a －1＝1，∴a ＝2.∴log 256＋log 2485＝log log 28＝3.8．[数形结合法]设函数f (x )＋1，x ≤0，x，x >0，则满足f (x )＋f (x －1)>1的x 的取值范围是________．解析：画出函数f (x )的大致图象如图，易知函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增．又因为x >x －1，且x －(x －1)＝1，f (0)＝1，所以要使f (x )＋f (x －1)>1成立，则结合函数f (x )的图象知只需x －1>－1，解得x >0.故所求x 的取值范围是(0，＋∞)．答案：(0，＋∞)(三)素养专练——学会更学通9．[逻辑推理]具有性质f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，给出下列函数：①f(x)＝x－1x；②f(x)＝x＋1x；③f(x)，0＜x＜1，，x＝1，－1x，x>1.其中满足“倒负”变换的函数是()A．①③B．②③C．①②③D．①②解析：选A对于①，＝1x－x＝－f(x)，满足题意；对于②，＝1x＋x＝f(x)，不满足题意；0＜1x＜1，，1x＝1，x，1x>1，即x>1，x＝1，x，0＜x＜1，故f(x)，满足题意．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.故选A.10．[数学运算]已知函数f(x)2－1，x≤0，－1，x>0，g(x)＝2x－1，则f(g(2))＝__________，f(g(x))的值域为________．解析：g(2)＝22－1＝3，∴f(g(2))＝f(3)＝2.易得g(x)的值域为(－1，＋∞)，∴若－1＜g(x)≤0，f(g(x))＝[g(x)]2－1∈[－1,0)；若g(x)>0，f(g(x))＝g(x)－1∈(－1，＋∞)，∴f(g(x))的值域是[－1，＋∞)．答案：2[－1，＋∞)11．[数学抽象]设函数f：R→R，满足f(0)＝1，且对任意x，y∈R都有f(xy＋1)＝f(x)f(y)－f(y)－x＋2，则f(2018)＝________.解析：令x＝y＝0，则f(1)＝f(0)·f(0)－f(0)－0＋2＝1×1－1－0＋2＝2.令y＝0，则f(1)＝f(x)f(0)－f(0)－x＋2，将f(0)＝1，f(1)＝2代入，可得f(x)＝1＋x，所以f(2018)＝2019.答案：2019第二节函数的单调性与最值❶函数在给定区间上的单调性，反映了函数在区间上的函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质.❸对于∀x 1，x 2∈D ，都有(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]>0或f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0.❻若函数f (x )的值域是开区间，则函数无最值；若函数f (x )的值域是闭区间，则闭区间上的端点值就是最值.1．函数的单调性❶(1)增函数、减函数增函数减函数定义一般地，设函数f (x )的定义域为I ：如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x ❷2当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＜f (x 2)❸，那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数当x 1＜x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)❹，那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数图象描述(2)单调区间的定义如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数y ＝f (x )的单调区间❺.2．函数的最值❻前提设函数y＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足条件①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M ；②存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M①对于任意x ∈I ，都有f (x )≥M ；②存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M结论M 为函数y ＝f (x )的最大值M 为函数y ＝f (x )的最小值x 1，x 2的特征：(1)任意性；(2)有大小，即x 1＜x 2(x 1>x 2)；(3)属于同一个单调区间.对于∀x1，x2∈D，都有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]＜0或f(x1)－f(x2)x1－x2＜0.(1)求函数单调区间或讨论函数单调性必须先求函数的定义域．(2)一个函数的同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．(3)函数在某个区间上是单调函数，但在整个定义域上不一定是单调函数，如函数y＝1x在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数，但在定义域上不具有单调性．(4)“函数的单调区间是M”与“函数在区间N上单调”是两个不同的概念，显然N⊆M.[熟记常用结论]1．若函数f(x)，g(x)在区间I上具有单调性，则在区间I上具有以下性质：(1)f(x)与a·f(x)在a>0时具有相同的单调性，在a＜0时具有相反的单调性．(2)当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)＋g(x)是增(减)函数．(3)当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，若两者都恒大于零，则f(x)·g(x)也是增(减)函数；若两者都恒小于零，则f(x)·g(x)是减(增)函数．2．复合函数的单调性对于复合函数y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上是单调函数，若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同，则y＝f[g(x)]为增函数；若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．简称“同增异减”．3．开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(最小值)．[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)函数y＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．()(2)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．()(3)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数．()(4)所有的单调函数都有最值．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×二、选填题1．下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是()A．y＝|x|B．y＝3－xC．y＝1xD．y＝－x2＋4解析：选A y ＝3－x 在R 上递减，y ＝1x在(0，＋∞)上递减，y ＝－x 2＋4在(0，＋∞)上递减，故选A.2．函数f (x )＝－x ＋1x 在区间－2，－13上的最大值是()A.32B ．－83C ．－2D ．2解析：选A∵函数y ＝－x 与y ＝1x在x ∈－2，－13上都是减函数，∴函数f (x )＝－x＋1x 在－2，－13上是减函数，故f (x )的最大值为f (－2)＝2－12＝32.3．设定义在[－1,7]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的增区间为________．解析：由图可知函数的增区间为[－1,1]和[5,7]．答案：[－1,1]和[5,7]4．若函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在R 上是减函数，则k 的取值范围是________．解析：因为函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在R 上是减函数，所以2k ＋1＜0，即k ＜－12.5．若函数f (x )满足“对任意的x 1，x 2∈R ，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”，则满足f (2x －1)＜f (1)的实数x 的取值范围为________．解析：由题意知，函数f (x )在定义域内为减函数，∵f (2x －1)＜f (1)，∴2x －1>1，即x >1，∴x 的取值范围为(1，＋∞)．答案：(1，＋∞)考点一确定函数的单调性(区间)[全析考法过关][考法全析]考法(一)确定不含参函数的单调性(区间)[例1](1)函数f (x )＝|x 2－3x ＋2|的单调递增区间是()A.32，＋∞ B.1，32和[2，＋∞)C ．(－∞，1]和32，2－∞，32和[2，＋∞)(2)函数y ＝x 2＋x －6的单调递增区间为__________，单调递减区间为____________．[解析](1)y ＝|x 2－3x ＋2|2－3x ＋2，x ≤1或x ≥2，(x 2－3x ＋2)，1＜x ＜2.如图所示，函数的单调递增区间是1，32和[2，＋∞)．(2)令u ＝x 2＋x －6，则y ＝x 2＋x －6可以看作是由y ＝u 与u ＝x 2＋x －6复合而成的函数．令u ＝x 2＋x －6≥0，得x ≤－3或x ≥2.易知u ＝x 2＋x －6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，而y ＝u 在[0，＋∞)上是增函数，∴y ＝x 2＋x －6的单调递减区间为(－∞，－3]，单调递增区间为[2，＋∞)．[答案](1)B(2)[2，＋∞)(－∞，－3]考法(二)确定含参函数的单调性(区间)[例2]试讨论函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性．[解]法一：(定义法)设－1＜x 1＜x 2＜1，f (x )＝则f (x 1)－f (x 2)＝＝a (x 2－x 1)(x 1－1)(x 2－1).由于－1＜x 1＜x 2＜1，所以x 2－x 1>0，x 1－1＜0，x 2－1＜0，故当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，函数f (x )在(－1,1)上单调递减；当a ＜0时，f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，函数f (x )在(－1,1)上单调递增．法二：(导数法)f ′(x )＝(ax )′(x －1)－ax (x －1)′(x －1)2＝a (x －1)－ax (x －1)2＝－a(x －1)2.当a >0时，f ′(x )＜0，函数f (x )在(－1,1)上单调递减；当a ＜0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－1,1)上单调递增．[规律探求]看个性考法(一)中的函数不含有参数．解决此类问题时，首先确定定义域，然后利用单调性的定义或借助图象求解即可．考法(二)是在考法(一)的基础上增加了参数，解决此类问题除利用定义外，导数法是一种非常有效的方法．注意分类讨论思想的应用找共性无论考法(一)还是考法(二)，判断函数单调性常用以下几种方法：(1)定义法：一般步骤为设元→作差→变形→判断符号→得出结论．(2)图象法：如果f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性．(3)导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间．(4)性质法：①对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及f (x )±g (x )增减性质进行判断；②对于复合函数，先将函数y ＝f (g (x ))分解成y ＝f (t )和t ＝g (x )，再讨论(判断)这两个函数的单调性，最后根据复合函数“同增异减”的规则进行判断[过关训练]1．函数f (x )()－∞，12B.0，12C.12，＋∞ D.12，1解析：选D令t ＝x －x 2，由x －x 2≥0，得0≤x ≤1，故函数的定义域为[0,1]．因为g (t )是减函数，所以f (x )的单调递增区间即t ＝x－x 2的单调递减区间．利用二次函数的性质，得t ＝x －x 2的单调递减区间为12，1，即原函数的单调递增区间为12，1.故选D.2．判断函数f (x )＝x ＋ax (a >0)在(0，＋∞)上的单调性．解：设x 1，x 2是任意两个正数，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)12＝x 1－x 2x 1x 2(x 1x 2－a )．当0＜x 1＜x 2≤a 时，0＜x 1x 2＜a ，x 1－x 2＜0，所以f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，所以函数f (x )在(0，a ]上是减函数；当a ≤x 1＜x 2时，x 1x 2>a ，x 1－x 2＜0，所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，所以函数f (x )在[a ，＋∞)上是增函数．综上可知，函数f (x )＝x ＋ax (a >0)在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数．考点二函数单调性的应用[全析考法过关][考法全析]考法(一)比较函数值的大小[例1]已知函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)＜0恒成立，设a ＝b ＝f (2)，c ＝f (e)，则a ，b ，c 的大小关系为()A ．c >a >bB ．c >b >aC ．a >c >bD ．b >a >c[解析]由f (x )的图象关于直线x ＝1对称，可得由x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)＜0恒成立，知f (x )在(1，＋∞)上单调递减．∵1＜2＜52＜e ，∴f (2)>f (e)，∴b >a >c .[答案]D考法(二)解函数不等式[例2](1)已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f (1)的实数x 的取值范围是()A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(－1,0)∪(0,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)(2)定义在[－2,2]上的函数f (x )满足(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0，x 1≠x 2，且f (a 2－a )>f (2a －2)，则实数a 的取值范围为________．[解析](1)由f(x)为R上的减函数且f(1)，|1x|>1，≠0，|＜1，≠0.所以－1＜x＜0或0＜x＜1.故选C.(2)因为函数f(x)满足(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，x1≠x2，所以函数在[－2,2]上单调递增，所以－2≤2a－2＜a2－a≤2，解得0≤a＜1.[答案](1)C(2)[0,1)考法(三)利用函数的单调性求参数[例3]若f(x)a－1)x＋4a，x＜1，ax，x≥1是定义在R上的减函数，则a的取值范围为________．[解析]由题意知，a－1＜0，3a－1)×1＋4a≥－a，>0，＜1 3，≥1 8，>0，所以a∈1 8，[答案]18，[规律探求]看个性考法(一)是比较函数值的大小．解决此类问题时，应根据函数的性质(如对称性等)将自变量转化到函数的同一个单调区间上，利用单调性比较大小．考法(二)是求解与函数单调性有关的抽象函数不等式．求解此类问题，主要是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域以及函数奇偶性质的应用．考法(三)是在考法(一)和考法(二)基础上的更深一步的拓展，根据函数单调性把问题转化为单调区间关系的比较找共性对于求解此类有关函数单调性应用的题目，其通用的方法是利用转化思想解题，其思维流程是：[过关训练]1．已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x，若x 1∈(1,2)，x 2∈(2，＋∞)，则()A ．f (x 1)＜0，f (x 2)＜0B ．f (x 1)＜0，f (x 2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)＜0D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0解析：选B因为函数f (x )＝log 2x ＋11－x在(1，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，所以当x 1∈(1,2)时，f (x 1)＜f (2)＝0，当x 2∈(2，＋∞)时，f (x 2)>f (2)＝0，即f (x 1)＜0，f (x 2)>0.故选B.2．设函数f (x )x 2＋4x ，x ≤4，2x ，x >4.若函数f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a 的取值范围是()A ．(－∞，1]B ．[1,4]C ．[4，＋∞)D ．(－∞，1]∪[4，＋∞)解析：选D作出函数f (x )的图象如图所示，由图象可知，若f (x )在(a ，a ＋1)上单调递增，需满足a ≥4或a ＋1≤2，即a ≤1或a ≥4，故选D.3．已知定义在R 上的奇函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上单调递增，且0，则不等式f (log 19x )>0的解集为________．解析：∵y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且y ＝f (x )在(0，＋∞)上单调递增．∴y ＝f (x )在(－∞，0)上也是增函数，又0，知0.故原不等式f (log 19x )>0可化为f (log 19x )>f f (log 19x )＜f (0)，∴log 19x >12或－12＜log 19x ＜0，解得0＜x ＜13或1＜x ＜3.0＜x ＜13或1＜x ＜答案0＜x ＜13或1＜x ＜考点三函数的最值[师生共研过关][典例精析](1)已知函数y＝1－x＋x＋3的最大值为M，最小值为m，则mM的值为()A.1 4B.1 2C.2 2D.3 2(2)函数f(x)x≥1，x2＋2，x＜1的最大值为________．[解析](1)－x≥0，＋3≥0得函数的定义域是{x|－3≤x≤1}，y2＝4＋21－x·x＋3＝4＋2－(x＋1)2＋4，当x＝－1时，y取得最大值M＝22；当x＝－3或1时，y取得最小值m＝2，所以mM＝2 2 .(2)当x≥1时，函数f(x)＝1x为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；当x＜1时，易知函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2.故函数f(x)的最大值为2.[答案](1)C(2)2[解题技法]求函数最值(值域)的常用方法单调性法易确定单调性的函数，利用单调性法研究函数最值(值域)图象法能作出图象的函数，用图象法，观察其图象最高点、最低点，求出最值(值域)基本不等式法分子、分母其中一个为一次，一个为二次的函数结构以及两个变量(如x，y)的函数，一般通过变形使之具备“一正、二定、三相等”的条件，用基本不等式法求最值(值域)[过关训练]1．函数f(x)＝1x－1在区间[a，b]上的最大值是1，最小值是13，则a＋b＝________.解析：易知f(x)在[a，b]上为减函数，a)＝1，b)＝13，1，＝1 3，＝2，＝4.所以a＋b＝6.答案：62．函数y＝x－x(x≥0)的最大值为________．解析：令t＝x，则t≥0，所以y＝t－t2＋14，当t＝12，即x＝14时，y max＝14.答案：143．设0＜x＜32，则函数y＝4x(3－2x)的最大值为________．解析：y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤22x＋(3－2x)22＝92，当且仅当2x＝3－2x，即x ＝34时，等号成立．∵34∈∴函数y＝4x(3－2x＜x的最大值为92.答案：92[课时跟踪检测]一、题点全面练1．下列函数中，在区间(－1,1)上为减函数的是()A．y＝11－xB．y＝cos xC．y＝ln(x＋1)D．y＝2－x解析：选D函数y＝2－x在(－1,1)上为减函数．2．(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是()A．(－∞，－2)B．(－∞，1)C．(1，＋∞)D．(4，＋∞)解析：选D由x2－2x－8＞0，得x＞4或x＜－2.因此，函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的定义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)．注意到函数y＝x2－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(4，＋∞)．3．若函数f(x)＝x2－2x＋m在[3，＋∞)上的最小值为1，则实数m的值为()A．－3B．－2C．－1D．1解析：选B因为f(x)＝(x－1)2＋m－1在[3，＋∞)上为增函数，且f(x)在[3，＋∞)上的最小值为1，所以f(3)＝1，即22＋m－1＝1，m＝－2.故选B.4．函数f(x)＝x1－x的单调递增区间是()A．(－∞，1)B．(1，＋∞)C．(－∞，1)，(1，＋∞)D．(－∞，－1)，(1，＋∞)解析：选C因为f(x)＝－(1－x)＋11－x＝－1＋11－x，所以f(x)的图象是由y＝－1x的图象沿x轴向右平移1个单位，然后沿y轴向下平移一个单位得到，而y＝－1x的单调递增区间为(－∞，0)，(0，＋∞)；所以f(x)的单调递增区间是(－∞，1)，(1，＋∞)．故选C.5．(2019·赣州模拟)设函数f(x)，x>0，，x＝0，1，x＜0，g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的单调递减区间是()A．(－∞，0]B．[0,1)C．[1，＋∞)D．[－1,0]解析：选B由题知，g(x)2，x>1，，x＝1，x2，x＜1，可得函数g(x)的单调递减区间为[0,1)．6．若函数f(x)＝x2＋a|x|＋2，x∈R在区间[3，＋∞)和[－2，－1]上均为增函数，则实数a的取值范围是()A.－113，－3B．[－6，－4]C.[－3，－22]D.[－4，－3]解析：选B由于f(x)为R上的偶函数，因此只需考虑函数f(x)在(0，＋∞)上的单调性即可．由题意知函数f(x)在[3，＋∞)上为增函数，在[1,2]上为减函数，故－a2∈[2,3]，即a∈[－6，－4]．7．函数y＝2－xx＋1，x∈(m，n]的最小值为0，则m的取值范围是() A．(1,2)B．(－1,2)C．[1,2)D．[－1,2)解析：选D 函数y ＝2－x x ＋1＝3－x －1x ＋1＝3x ＋1－1，且在x ∈(－1，＋∞)时单调递减，在x ＝2时，y ＝0；根据题意x ∈(m ，n ]时y 的最小值为0，所以－1≤m ＜2.8．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g (x )＝f (x )x在区间(1，＋∞)上一定()A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数解析：选D由题意知a ＜1，又函数g (x )＝x ＋ax－2a 在[|a |，＋∞)上为增函数，故选D.9．(2019·湖南四校联考)若函数f (x )＝x 2＋a |x －2|在(0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是________．解析：∵f (x )＝x 2＋a |x －2|，∴f (x )2＋ax －2a ，x ≥2，2－ax ＋2a ，x ＜2.又∵f (x )在(0，＋∞)上单调递增，－a2≤2，0，∴－4≤a ≤0，∴实数a 的取值范围是[－4,0]．答案：[－4,0]10．已知函数f (x )的值域为38，49，则函数g (x )＝f (x )＋1－2f (x )的值域为________．解析：∵38≤f (x )≤49，∴13≤1－2f (x )≤12.令t ＝1－2f (x )，则f (x )＝12(1－t 2t 令y ＝g (x )，则y ＝12(1－t 2)＋t ，即y ＝－12(t －1)2＋t∴当t＝13时，y有最小值79；当t＝12时，y有最大值78.∴g(x)的值域为7 9，78.答案：79，78二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1．函数y＝log13(－x2＋2x＋3)的单调递增区间是()A．(－1,1]B．(－∞，1)C．[1,3)D．(1，＋∞)解析：选C令t＝－x2＋2x＋3，由－x2＋2x＋3>0，得－1＜x＜3.函数t＝－x2＋2x＋3的对称轴方程为x＝1，则函数t＝－x2＋2x＋3在[1,3)上为减函数，而函数y＝log13t为定义域内的减函数，所以函数y＝log13(－x2＋2x＋3)的单调递增区间是[1,3)．2．(2019·西安模拟)已知函数y＝log2(ax－1)在(1,2)上单调递增，则实数a的取值范围是()A．(0,1]B．[1,2]C．[1，＋∞)D．[2，＋∞)解析：选C要使y＝log2(ax－1)在(1,2)上单调递增，则a>0且a－1≥0，∴a≥1.故选C.3．已知函数f(x)2－x－14，x≤1，a x－1，x>1是R上的单调函数，则实数a的取值范围是()A.14， B.14，12，12 D.12，解析：选B由对数函数的定义可得a>0，且a≠1.又函数f(x)在R上单调，则二次函数y＝ax2－x－14的图象开口向上，所以函数f(x)在R上单调递减，a＜1，1，12－1－14≥log a1－1，＜a＜1，＜a≤12，≥14.所以a∈14，12.4．已知函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，若f(a2－a)>f(a＋3)，则实数a的取值范围为________．解析：2－a>0，＋3>0，2－a>a＋3，解得－3＜a＜－1或a>3，所以实数a的取值范围为(－3，－1)∪(3，＋∞)．答案：(－3，－1)∪(3，＋∞)(二)技法专练——活用快得分5．[构造法]已知减函数f(x)的定义域是实数集R，m，n都是实数．如果不等式f(m)－f(n)>f(－m)－f(－n)成立，那么下列不等式成立的是()A．m－n＜0B．m－n>0C．m＋n＜0D．m＋n>0解析：选A设F(x)＝f(x)－f(－x)，由于f(x)是R上的减函数，∴f(－x)是R上的增函数，－f(－x)是R上的减函数，∴F(x)是R上的减函数，∴当m＜n时，有F(m)>F(n)，即f(m)－f(－m)>f(n)－f(－n)成立．因此，当f(m)－f(n)>f(－m)－f(－n)成立时，不等式m－n＜0一定成立，故选A.6．[三角换元法]函数y＝x＋－x2＋10x－23的最小值为________．解析：原函数可化为：y＝x＋2－(x－5)2.由2－(x－5)2≥0⇒|x－5|≤2，令x－5＝2cosα，那么|2cosα|≤2⇒|cosα|≤1⇒0≤α≤π，于是y＝2cosα＋5＋2sinα＝5.。