概率发展中的经典例子

概率中的几道历史经典趣题
下面是几道历史经典的概率趣题：
1.彩票问题：假设你有一张彩票，其中一个数字是正确的
彩票号码。

你买了另外 50
张彩票，其中一张有正确的号码。

求你中奖的概率。

2.杠杆转轮转动问题：假设有一个杠杆转轮，其中一半是
红色，另一半是黑色。

如果你转动转轮 5
次，求出现至少一次红色的概率。

3.蒙哥马利红球问题：假设有若干个红球和黑球混杂在一
起，你不知道具体有多少个红球。

你可以任意挑选若干个球，每次挑选时，如果球是红色就记为 1
分，否则不记分。

求你取到至少一个红球的概率。

概率论经典实例概率论的研究问题大多与现实世界联系十分密切，有的甚至引人入胜，非常值得我们探讨以便激发我们对概率论学习的兴趣，同时引导我们对生活的思考，这对我们每一个大学生思维能力的培养有着重要的意义。

下面我列举几个典型的概率实例加以说明其重要意义。

1990 年9 月9 日，美国一家报纸检阅提出一个有趣的概率问题：电视主持人指着三扇关着的门说，其中一扇后是汽车，另两扇后各有一只山羊。

你可随意打开一扇，后面的东西就归你了。

你当然想得到汽车。

当你选定一扇门，如1 号门(但未打开) ，这时主持人打开有山羊的另一个扇门，不妨说是3号门( 主持人清楚哪扇门后是汽车) ，并对你说：现在再给你一次机会，允许你改变原来的选择。

你为了得到汽车是坚持1号门还是改选2号门？问题及答案公诸于众后引发了出乎意料的轰动，编辑部收到了上万封从小学二年级的学生到大学教授的来信，给出了不尽相同的答案（当然正确的答案是唯一的），热烈讨论持续两年之久。

此时，无论是一号门还是二号门都有可能门后是汽车，看上去好像每一个都是一半的几率。

但从主持人的角度看，他不会让你轻易就得到汽车，于是打开三号门来迷惑你的思想，让你放弃一号门。

由此看出，可能一号门的几率会大一点。

若从主持人的话语中判断出他没有那种想法，则可以这样思考这个问题。

将一号门看成一部分，里面有汽车的概率为0.33，将二号门和三号门看成另一部分，里面有汽车的概率为0.67。

当发现三号门里没有汽车时，则一号门和二号门有汽车的概率分别为0.33和0.67。

因此，选择二号门比较理智。

稍加留意就会发现若利用概率统计提供的科学思维方法就会大大提高获胜的几率。

比如抛两颗均匀骰子，规定如下规则：总数之和小于6为出现小点，大于6为大点，则每局可押大点或小点，若押对了，以出现的点数为对应的奖品数目，若押不中则同样以出现的点数为惩罚品的数目。

可以这样思考，当假设骰子理论意义上是均匀的，则六面中点数少的面较重，在抛出后点数多的面朝上的可能性较大，从而抛出点数大的情况的概率应大一些，这样，即可作如下观察：(1)随机抛2颗骰子若干次，观察出现的点数，若点数大于6的次数占多数，则初步判断骰子是均匀的。

生活中的概率概率与现实生活联系密切，利用它可以对生活中的许多事情作出合理的解释和科学的预测.一、汽车大赛在汽车大赛中，有“美洲豹〞、“福特〞、“吉田〞“福特〞获得第一与得不到第一的可能性之比为1:1，“美洲豹〞获第一与得不到第一的可能性之比为1:5，那么“吉田〞获第一与得不到第一的可能性之比是多少？解：“福特〞获第一的概率是：11:(11)1:22+==，“美洲豹〞获第一的概率是：1 1:(15)6+=．所以“福特〞或者“美洲豹〞获第一的概率是112 263+=．这正是“吉田〞得不到第一的概率，所以“吉田〞获第一的概率是：21133-=．所以“吉田〞获第一与得不到第一的可能性之比为1:2．二、交通事故深夜，一辆出租车被牵涉进一起交通事故，该市有两家出租车公司———蓝色出租车公司和红色出租车公司，其中蓝色出租车公司和红色出租车公司分别占整个城市出租车的85％和15％.据现场目击证人说，事故现场出租车是红色，并对证人的区分能力作了测试，测得证人识别的正确率为80％，于是警察的认定是红色出租车.问这样的认定公平吗？试说明理由.解：不妨设该城市有出租车100辆，那么依题意可得如下信息：从表中可以看出，当证人说出租车是红色时，且它确实是红色的概率为120.4129≈，而它为蓝色的概率为170.5929≈．在这种情况下，以证人的证词作为推断的依据对红色出租车显然是不公平的．三、寿命长短 兄弟2人，兄现在30岁，弟现在25岁，利用下表解答以下各题．（1） 从现在起，兄、弟哪个活到55岁的可能性较大？（2） 从现在起10年内，哪一个人更容易死亡？解：〔1〕设12P P ，分别为兄、弟活到55岁的概率，那么185********P =，28561998069P =． 显然12P P >，即兄活到55岁的可能性较大；〔2〕从30岁到40岁的10年间死亡人数为97024945582466-=，那么兄在10年内死亡的概率为24660.02597024≈． 从25岁到35岁10年间死亡人数为98069958942175-=，那么弟在10年内死亡的概率为21750.02298069≈． 故10年内兄更容易死亡．。

概率生活例子
普遍认为，人们对将要发生的机率总有一种不好的感觉，或者说不安全感，俗称「点背」，下面列出的几个例子可以形象描述人们有时对机率存在的错误的认识：
1. 六合彩：在六合彩（49选6）中，一共有13983816种可能性（参阅组合数学），普遍认为，如果每周都买一个不相同的号，最晚可以在13983816/52（周）=268919年後获得头等奖。

事实上这种理解是错误的，因为每次中奖的机率是相等的，中奖的可能性并不会因为时间的推移而变大。

2. 生日悖论：在一个足球场上有23个人（2×11个运动员和1个裁判员），不可思议的是，在这23人当中至少有两个人的生日是在同一天的机率要大於50％。

3. 轮盘游戏：在游戏中玩家普遍认为，在连续出现多次红色後，出现黑色的机率会越来越大。

这种判断也是错误的，即出现黑色的机率每次是相等的，因为球本身并没有「记忆」，它不会意识到以前都发生了什麼，其机率始终是18/37。

4. 三门问题：在电视台举办的猜隐藏在门後面的汽车的游戏节目中，在参赛者的对面有三扇关闭的门，其中只有一扇门的後面有一辆汽车，其它两扇门後是山羊。

游戏规则是，参赛者先选择一扇他认为其後面有汽车的门，但是这扇门仍保持关闭状态，紧接著主持人打开没有被参赛者选择的另外两扇门中後面有山羊的一扇门，这时主持人问参赛者，要不要改变主意，选择另一扇门，以使得赢得汽车的机率更大一些？正确结果是，如果此时参赛者改变主意而选择另一扇关闭著的门，他赢得汽车的机率会增加一倍。

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日常生活中概率论的例子
1. 你知道吗，彩票就是日常生活中概率论的一个典型例子呀！每次买彩票的时候，我们都在赌那微乎其微的中奖概率，那种期待和紧张的心情，哎呀，真的是难以言喻！就好像在黑暗中寻找那一丝光芒一样。

2. 还有啊，天气预报其实也运用了概率论呢！它说今天有 80%的概率会下雨，这不就是在告诉我们有比较大的可能要带伞嘛！我们可不就根据这个来决定要不要带伞出门，这多重要呀！
3. 咱去超市抽奖也是一样的道理呀！你抽到大奖的概率可能很小很小，但还是会满心期待呢，万一自己就是那个幸运儿呢？这就跟从一堆糖果里找到那颗特别口味的一样，不试试咋知道呢！
4. 打篮球比赛的时候，投进三分球也有概率的问题呢！有时候手感好，那进三分球的概率就感觉大大增加了，这难道不是很神奇嘛！就好像突然有了魔力一样。

5. 考试蒙对题不也是概率论嘛！有时候瞎蒙也能蒙对，那可真是让人惊喜呀！但可不能完全靠蒙哦，还是要好好学呀！
6. 等公交车的时候，等很久都不来，这也是概率在作祟呀！有时候运气好，一出门车就来了，有时候就得等好久好久，真让人无奈呀！
总之，概率论在我们日常生活中无处不在呀，就像一个调皮的小精灵，一会儿给我们惊喜，一会儿让我们无奈，真是有意思极了！。

《有关概率的趣味小故事》嘿，朋友！今天来给你讲几个有关概率的趣味小故事，可有意思啦。

有这么一个事儿，有个小镇上举办抽奖活动。

一等奖是一辆超级酷炫的汽车。

好多人都去参加，那场面可热闹了。

有个小伙子也去凑凑热闹，他心里想着，说不定自己运气好，能把汽车开回家呢。

抽奖开始了，大家都紧张得不行。

这个小伙子也在心里默默祈祷。

结果呢，他没中一等奖，不过也别灰心嘛。

这抽奖啊，概率可不大，那么多人参加，能中一等奖的那可真是幸运儿。

就像在大海里捞针一样难。

但是呢，大家还是愿意去试试，为啥？因为有那个万一呀，万一自己就是那个幸运的人呢。

还有一个故事。

有个学校要选学生代表去参加一个重要的活动。

从全校学生里选，每个班都有机会。

有个班级的同学们都很期待，大家都觉得自己有可能被选上。

这就像玩游戏，不知道幸运会降临到谁头上。

其实啊，这也是个概率问题。

全校那么多学生，能被选上的毕竟是少数。

但是大家还是充满希望，都在努力表现自己，说不定自己就是那个幸运的代表呢。

最后，虽然不是每个人都能被选上，但是大家在这个过程中也学到了很多，变得更加优秀了。

再讲一个。

有个老爷爷喜欢买彩票，他每周都去买。

他的家人就说他，别浪费钱啦，哪有那么容易中奖。

老爷爷可不这么想，他觉得自己总有一天会中奖的。

虽然中奖的概率很低，但是他享受这个期待的过程。

有一次，老爷爷真的中了个小奖，高兴得像个孩子一样。

这概率啊，有时候就是这么神奇，说不定什么时候就给你一个惊喜。

你看，概率这东西，在我们生活中到处都有。

有时候它让我们充满期待，有时候又让我们有点小失落。

但是不管怎样，这些小故事都让我们感受到了生活的趣味。

著名的概率故事
著名的概率故事之一是“蒙提霍尔问题”，也被称为“三门问题”。

这个问题首次由美国数学家蒙提霍尔于1975年提出，并在电视游戏
节目《Let's Make a Deal》中引起了巨大的争议和讨论。

故事背景是：参赛者面对三扇门，其中一扇后面有一辆汽车，另外两扇门后面是山羊。

参赛者首先选择其中一扇门，然后主持人打开另外两扇门中的一扇，露出其中一只山羊。

接着，主持人询问参赛者是否要改变他的选择。

问题是，如果参赛者改变选择，他将有更高的几率选到汽车吗？
这个问题的答案是：是的，参赛者应该改变他的选择。

这个结果令人困惑的原因是，直觉上认为改变选择和不改变选择应该是一样的。

然而，通过概率计算，可以证明改变选择的几率为2/3，而不改变选择的几率仅为1/3。

这个问题的解释可以通过排除法来理解。

在最开始，参赛者选择任意一扇门的概率为1/3。

一旦主持人打开一扇门露出山羊，参赛者改变选择的概率就变成了剩下两扇门中有一扇是汽车的情况，即2/3。

因此，参赛者改变选择可以增加他选到汽车的几率。

蒙提霍尔问题引发了广泛的争议和讨论，许多人难以接受这个结果，甚至有些人坚持认为答案是错误的。

然而，通过数学推理和模拟实验，这个问题的答案已经被充分证明。

蒙提霍尔问题成为了概率学中一个经典的教学案例，也被广泛用于讲解概率和统计的课程中。

它揭示了我们常常受到直觉的影响而做
出错误的概率判断，强调了概率计算的重要性和奇妙性。

古典概型例子
1. 比如说掷骰子，这多经典啊！你想想，骰子那六个面，掷出每个点数的机会不就是均等的嘛，这就是典型的古典概型呀！
2. 抽奖的时候也一样呀！那一堆奖券放在箱子里，你随手一抽，和别人抽到大奖的概率理论上是一样的。

哎呀，想想都有点小紧张呢！
3. 抛硬币算吧，正面和反面出现的概率相等，这就好像人生的选择，有时候真不知道会抛出个啥结果来！
4. 从一副牌里抽一张牌，每种牌被抽到的概率也符合古典概型呢。

嘿，可别小瞧这抽牌，有时候能决定游戏的胜负哦！
5. 选彩票号码也是哦，每个号码出现的可能性都一样，虽然中大奖很难，但也是古典概型的体现呀，说不定哪天好运就砸到你头上了呢！
6. 还记得小时候玩的转转盘游戏不？转到不同区域的概率，那也是古典概型呀，当时玩得多开心啊！
7. 抓阄决定顺序也类似呀，大家机会均等，真公平呀，就看谁运气好了！
8. 把不同颜色的球放在一个袋子里，伸手去摸一个球，摸到特定颜色球的概率不就是古典概型嘛，你说神奇不神奇！
9. 猜硬币正反的游戏，多简单但又多能说明古典概型啊。

天哪，生活中到处都是古典概型的例子呀！
我的观点结论就是：古典概型在我们生活中无处不在，很多看似平常的事情都蕴含着它的原理。

著名的概率故事引言概率是数学中一个重要的分支，广泛应用于各个领域，包括金融、科学、工程等。

它是描述随机事件发生的可能性的科学，通过数学统计方法来研究不确定性。

在概率的世界中，有许多著名的故事，这些故事向我们展示了概率的奇妙和普遍性。

在本文中，我们将探讨几个有关概率的著名故事，并深入剖析其中的数学原理。

蒙提霍尔问题背景蒙提霍尔问题是一个经典的概率问题。

问题的背景是：有三扇门，其中一扇门后面有一辆汽车，另外两扇门后面是山羊。

参赛者在选中一扇门后，主持人会打开其中一扇后面是山羊的门，然后问参赛者是否要更换选择。

问题分析这个问题看似简单，但其答案却常常让人为之惊讶。

直觉上，很多人会认为更换选择和不更换选择的概率都是一样的。

然而，数学却告诉我们，更换选择的概率更高。

答案解析我们可以通过概率的计算来解决这个问题。

假设参赛者一开始选择了门A，那么汽车在门A后面的概率是1/3，而在另外两扇门后面的概率是2/3。

当主持人打开一扇后面是山羊的门后，参赛者更换选项的话，他将会得到另一扇门后面的汽车的概率是2/3。

因此，更换选择的概率更高。

生日悖论背景生日悖论是一个关于概率的有趣问题。

假设有一群人，人数为n，那么至少有两个人生日相同的概率是多少？问题分析直观上，人数越多，两个人生日相同的概率应该越低。

然而，生日悖论告诉我们，实际的情况并非如此。

答案解析我们可以通过排列组合的方法来解决这个问题。

假设一共有365个可能的生日，在n个人中至少有两个人生日相同的概率可以表示为1减去没有人生日相同的概率。

没有人生日相同的概率为：365/365 * 364/365 * 363/365 * ... * (365-n+1)/365因此，至少有两个人生日相同的概率为1减去上述概率。

这个问题的答案非常出人意料，当人数n达到23时，概率已经超过50%。

当人数增加到57时，概率达到99%。

塔科洛格问题背景塔科洛格问题是一个关于概率和信息论的经典问题。

概率小故事四则——专家的信、基金的广告、扔硬币锦标赛、猩猩掷飞镖专家的信一位“专家”第一周向800个人发出800封信，其中400封说某只股票涨，400封说跌；第二周，他向其中说对的400人再发一封信，其中200封说某只股票涨，200封说某只股票跌；第三周他再向说对的200人发信，其中100封说某只股票会涨，100封说某只股票会跌．最后有100人，发现这位专家连续3次说对某只股票的涨跌，简直神奇，就信了这位“专家”，把钱交给他投资，当然如果挣钱了是要分成的．有了钱后这位“专家”会做什么呢？他会给这一百个不同的账户各买一只股票，最好这些股票各不相同．一段时间过后，股票有的涨，有的跌．如果一个人的账户买了一只涨的股票，他对这个专家就会更加信赖，甚至还会追加投资．如果一个人的账户买了一只下跌的股票，这位专家是不会负责赔偿的，更多的时候只是消失而已．而如果碰巧遇到单边的牛市，大部分时间里股票上涨概率大大超过下跌，因此，这种商业模式在大部分时间里也是可以比较顺畅运行的．基金的广告华尔街有一个非常牛的基金公司，他们管理的每一只基金都是晨星的五星级基金，当然这些基金投资了大量的科技股．于是有一天他们在报纸上做了一个广告，内容是：一只基金是晨星的五星级基金并不稀罕，但如果每一只基金都是五星级基金，那就是绝对稀罕．两年后，美国NASDQ崩盘，这个公司的每一只基金都沦为了最低等级．据说有好事者在同一份报纸同样的位置又做了一个广告，内容是：一只基金晨星评级最低并不稀罕，但如果每一只基金都是晨星最低的评级，那就是绝对稀罕．扔硬币锦标赛举办一次全国性的扔硬币锦标赛，一周赛一场．假如2亿人报名参加这项赛事，那么6个月过后将有32名常胜将军脱颖而出，他们中的每一个人差不多已连续扔对硬币25次．想想媒体会煽起多大的热潮吧，有人成了杂志采访的草根英雄，被很多人奉为“掷币之神”；有人在电视上大谈如何能让硬币听从自己的意志；还有一些人争先出书，书名诸如《扔硬币扔成百万富翁》《上帝如何让我赢》．这时，华尔街的教授们终于拍案而起，他们在华尔街日报上大谈“有效市场”“零和游戏”等理论，当然这32名常胜将军一定会挺身反击，如果是有效市场，为什么我们能做到，而别人做不到？据说这些获胜选手，对异性的吸引力显著提高，还成为房地产商推销的重点对象．猩猩掷飞镖如果猩猩世界举行掷飞镖大赛，大赛的获奖者中总是有一群猩猩，他们具有相同的特点，比如都来自一个地方，掷飞镖的方式也相同，那么这群猩猩获得好成绩可能就不是偶然的了．其实对投资也是这样，如果总是有一群人，他们能够长期获得好的收益，而他们投资的方式是相似的，比如都是遵循价值投资，那么他们很可能就是那群经常获胜的猩猩．所以经过一些失败的试验后，公司研究员和基金经理终于接受了这样一个买入原则，那就是：股票将要上涨绝对不能成为买入一只股票的理由，既使事后这只股票真的在上涨．只有在公司理念的框架下，分析出了上涨原因，才是研究员推荐某只股票或基金经理买入某只股票的必要条件，其实我们和猩猩没有区别．。