2015-2016年安徽省六安市舒城中学高二(上)期中数学试卷及参考答案(理科)

舒城中学2015~2016年高二年级期中考试化学试卷注意事项：1.本卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，满分100分；时间100分钟2.请将答案填在答题卡指定位置可能用到的相对原子质量：H 1 O 16 N 14 C 12第Ⅰ卷选择题（共54分）一、选择题（每小题只有一个选项符合题意，共18小题54分）1．将一定量的A、B混合于2 L的恒容密闭容器中，发生如下反应：2A(g)＋B(g) = x C(g)＋D(g)，经10 min后，测得D的物质的量为1 mol，C的平均反应速率是0.2mol·L－1·min－1。

则x的值为( )A．1 B．2 C．3 D．42．在一密闭容器中充入1molH2和1molⅠ2，压强为p（Pa），保持温度不变，使其发生反应：H 2（g）+I2（g）2HI（g）．一段时间后达平衡，下列关于该平衡的说法正确的是A．保持容器容积不变，向其中加入1molH2，平衡常数减小B．保持容器容积不变，向其中加入1molHe，正逆反应速率均增大C．保持容器内气体压强不变，向其中加入1molHe，反应速率均减小D．保持容器内气体压强不变，再向其中加入1molH2和1molⅠ2，重新达平衡，H2的体积分数减小3．在容积一定的密闭容器中发生可逆反应A(g)＋2B(g) 2C(g) ΔH>0，平衡移动关系如下图所示。

下列说法正确的是( )A．若p1<p2，纵坐标可指A的质量分数B．若p1>p2，纵坐标可指C的质量分数C．若p1<p2，纵坐标可指A的转化率D．若p1<p2，纵坐标可指混合气体的平均摩尔质量4.将2.0moLPCl3和1.0moLCl2充入体积不变的密闭容器中，在一定条件下发生下述反应：PCl 3+Cl2 PCl5．达平衡时，PCl5为0.40mol，如果此时移走1.0molPCl3和0.50molCl2，在相同温度下再达平衡时PCl5的物质的量是（）A．0.40mol B．0.20mol C．小于0.20mol D．大于0.20mol，小于0.40mol 5．某恒容密闭容器中充入一定量SO 2和O2进行反应：2SO2(g)＋O2(g) 2SO3(g) ΔH<0，反应速率(v)与温度(T)、SO2的体积分数[V(SO2)%]与压强(p)的关系分别如图甲、图乙所示。

1/212015-2016学年安徽省六安市舒城中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的．1．已知直线l 1：（k ﹣3）x +（4﹣k ）y +1=0与l 2：2（k ﹣3）x ﹣2y +3=0平行，则k 的值是（）A ．1或3B ．1或5C ．3或5D ．1或22．设0＜x＜，则“xsin 2x ＜1”是“xsinx ＜1”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知直线方程为（2+m ）x +（1﹣2m ）y +4﹣3m=0．这条直线恒过一定点，这个定点坐标为（）A ．（﹣2m ，﹣m ﹣4）B ．（5，1）C ．（﹣1，﹣2）D ．（2m ，m +4）4．一个四面体的顶点在空间直角坐标系O ﹣xyz 中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到正视图可以为（）A ．B．C．D ．5．设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中错误的是（）A ．若m ⊥α，m ∥n ，n ∥β，则α⊥βB ．若α⊥β，m ⊄α，m ⊥β，则m ∥αC ．若m ⊥β，m ⊂α，则α⊥βD ．若α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ⊥n6．设点C （2a +1，a +1，2）在点P （2，0，0），A （1，﹣3，2），B （8，﹣1，4）确定的平面上，则a 的值为（）A ．8B ．16C ．22D ．247．a ＜0是方程ax 2+2x +1=0至少有一个负数根的（）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知坐标原点O （0，0）关于直线L 对称的点是M （3，﹣3），则直线L 的方程是（）A ．x ﹣2y +1=0B ．2x ﹣y ﹣1=0C ．x ﹣y +3=0D ．x ﹣y ﹣3=02/219．已知点（1，﹣2）和在直线l ：ax ﹣y ﹣1=0（a ≠0）的两侧，则直线l 倾斜角的取值范围是（）A ．B．C．D ．10．直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA 1，则异面直线BA 1与AC 1所成的角等于（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°11．设不等式组表示的平面区域为D ，若指数函数y=a x 的图象上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是（）A ．（1，3]B ．[2，3]C ．（1，2]D ．[3，+∞]12．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体表面上与点A 距离是的点形成一条曲线，这条曲线的长度是（）A ．B．C．D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是______．14．已知点P （x ，y ）在直线x +y ﹣4=0上，O 是原点，则OP 的最小值是______．15．实数x ，y 满足，则的取值范围是______．3/2116．正三角形ABC 的边长为2，将它沿高AD 翻折，使点B 与点C 间的距离为1，此时四面体ABCD 外接球表面积为______．三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．设命题p ：f （x ）=在区间（1，+∞）上是减函数；命题q ；x 1x 2是方程x 2﹣ax ﹣2=0的两个实根，不等式m 2+5m ﹣3≥|x 1﹣x 2|对任意实数α∈[﹣1，1]恒成立；若￢p ∧q 为真，试求实数m 的取值范围．18．正三棱锥的高为1，底面边长为2，内有一个球与它的四个面都相切，求：（1）棱锥的表面积；（2）内切球的表面积与体积．19．已知有条光线从点A （﹣2，1）出发射向x 轴B ，经过x 轴反射后射向y 轴上的C 点，再经过y 轴反射后到达点D （﹣2，7）．（1）求直线BC 的方程．（2）求光线从A 点到达D 点所经过的路程．20．已知直线l 的方程为t （x ﹣1）+2x +y +1=0（t ∈R ）（1）若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程；（2）若直线l 不经过第二象限，求实数t 的取值范围．21．如图1，在直角梯形ABCD 中，∠ABC=∠DAB=90°，∠CAB=30°，BC=1，AD=CD ，把△DAC 沿对角线AC 折起后如图2所示（点D 记为点P ），点P 在平面ABC 上的正投影E 落在线段AB 上，连接PB ．（1）求直线PC 与平面PAB 所成的角的大小；（2）求二面角P ﹣AC ﹣B 的大小的余弦值．4/2122．已知定义在R 上的二次函数f （x ）满足：f （x ）=﹣x 2+bx +c ，且f （x ）=f （1﹣x ）．对于数列{a n }，若a 1=0，a n +1=f （a n ）（n ∈N *）（1）求数列{a n }是单调递减数列的充要条件；（2）求c 的取值范围，使数列{a n }是单调递增数列．5/212015-2016学年安徽省六安市舒城中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的．1．已知直线l 1：（k ﹣3）x +（4﹣k ）y +1=0与l 2：2（k ﹣3）x ﹣2y +3=0平行，则k 的值是（）A ．1或3B ．1或5C ．3或5D ．1或2【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】当k ﹣3=0时，求出两直线的方程，检验是否平行；当k ﹣3≠0时，由一次项系数之比相等且不等于常数项之比，求出k 的值．【解答】解：由两直线平行得，当k ﹣3=0时，两直线的方程分别为y=﹣1和y=，显然两直线平行．当k ﹣3≠0时，由=≠，可得k=5．综上，k 的值是3或5，故选C ．2．设0＜x＜，则“xsin 2x ＜1”是“xsinx ＜1”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【考点】不等关系与不等式；必要条件、充分条件与充要条件的判断；正弦函数的单调性．【分析】由x 的范围得到sinx 的范围，则由xsinx ＜1能得到xsin 2x ＜1，反之不成立．答案可求．【解答】解：∵0＜x ＜，∴0＜sinx ＜1，故xsin 2x ＜xsinx ，若“xsinx ＜1”，则“xsin 2x ＜1”若“xsin 2x ＜1”，则xsinx＜，＞1．此时xsinx ＜1可能不成立．例如x →，sinx →1，xsinx ＞1．由此可知，“xsin 2x ＜1”是“xsinx ＜1”的必要而不充分条故选B ．3．已知直线方程为（2+m ）x +（1﹣2m ）y +4﹣3m=0．这条直线恒过一定点，这个定点坐标为（）6/21A ．（﹣2m ，﹣m ﹣4）B ．（5，1）C ．（﹣1，﹣2）D ．（2m ，m +4）【考点】恒过定点的直线．【分析】由直线（2+m ）x +（1﹣2m ）y +4﹣3m=0变形为m （x ﹣2y ﹣3）+（2x +y +4）=0，令，即可求出定点坐标．【解答】解：由直线（2+m ）x +（1﹣2m ）y +4﹣3m=0变形为m （x ﹣2y ﹣3）+（2x +y +4）=0，令，解得，∴该直线过定点（﹣1，﹣2），故选：C ，4．一个四面体的顶点在空间直角坐标系O ﹣xyz 中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到正视图可以为（）A ．B．C．D ．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】由题意画出几何体的直观图，然后判断以zOx 平面为投影面，则得到正视图即可．【解答】解：因为一个四面体的顶点在空间直角坐标系O ﹣xyz 中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），几何体的直观图如图，是正方体的顶点为顶点的一个正四面体，所以以zOx 平面为投影面，则得到正视图为：故选A ．7/215．设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中错误的是（）A ．若m ⊥α，m ∥n ，n ∥β，则α⊥βB ．若α⊥β，m ⊄α，m ⊥β，则m ∥αC ．若m ⊥β，m ⊂α，则α⊥βD ．若α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ⊥n【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．【解答】解：若m ⊥α，m ∥n ，n ∥β，则由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β，故A 正确；若α⊥β，m ⊄α，m ⊥β，则由直线与平面平行的判定定理得m ∥α，故B 正确；若m ⊥β，m ⊂α，则由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β，故C 正确；若α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则m 与n 相交、平行或异面，故D 错误．故选：D ．6．设点C （2a +1，a +1，2）在点P （2，0，0），A （1，﹣3，2），B （8，﹣1，4）确定的平面上，则a 的值为（）A ．8B ．16C ．22D ．24【考点】共线向量与共面向量．【分析】与不共线，可设=λ+μ，利用平面向量基本定理即可得出．【解答】解：=（2a ﹣1，a +1，2），=（﹣1，﹣3，2），=（6，﹣1，4），与不共线，设=λ+μ，8/21则，解得a=16，故选：B ．7．a ＜0是方程ax 2+2x +1=0至少有一个负数根的（）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系．【分析】先求△＞0时a 的范围，结合韦达定理，以及特殊值a=1来判定即可．【解答】解：方程ax 2+2x +1=0有根，则△=22﹣4a ≥0，得a ≤1时方程有根，当a ＜0时，x 1x 2=＜0，方程有负根，又a=1时，方程根为x=﹣1，显然a ＜0⇒方程ax 2+2x +1=0至少有一个负数根；方程ax 2+2x +1=0至少有一个负数根，不一定a ＜0．a ＜0是方程ax 2+2x +1=0至少有一个负数根的充分不必要条件．故选B ．8．已知坐标原点O （0，0）关于直线L 对称的点是M （3，﹣3），则直线L 的方程是（）A ．x ﹣2y +1=0B ．2x ﹣y ﹣1=0C ．x ﹣y +3=0D ．x ﹣y ﹣3=0【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【分析】由中点坐标公式求得OM 的中点坐标，再求出OM 所在直线的斜率，得到OM 的垂直平分线的斜率，代入直线方程的点斜式得答案．【解答】解：由O （0，0），M （3，﹣3），可得OM 的中点坐标为（），又，∴OM 的垂直平分线的斜率为1，∴直线L 的方程为y +=1×（x ﹣），即x ﹣y ﹣3=0．故选：D ．9．已知点（1，﹣2）和在直线l ：ax ﹣y ﹣1=0（a ≠0）的两侧，则直线l 倾斜角的取值范围是（）A ．B．C．D ．9/21【考点】直线的斜率．【分析】因为点（1，﹣2）和在直线l ：ax ﹣y ﹣1=0（a ≠0）的两侧，那么把这两个点代入ax ﹣y ﹣1，它们的符号相反，乘积小于0，求出a 的范围，设直线l 倾斜角为θ，则a=tan θ，再根据正切函数的图象和性质即可求出范围．【解答】解：因为点（1，﹣2）和在直线l ：ax ﹣y ﹣1=0（a ≠0）的两侧，所以，（a +2﹣1）（a ﹣1）＜0，即：（a +1）（a ﹣）＜0，解得﹣1＜a ＜，设直线l 倾斜角为θ，∴a=tan θ，∴﹣1＜tan θ＜，∴0＜θ＜，或＜θ＜π，故选：C ．10．直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA 1，则异面直线BA 1与AC 1所成的角等于（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【考点】异面直线及其所成的角．【分析】延长CA 到D ，根据异面直线所成角的定义可知∠DA 1B 就是异面直线BA 1与AC 1所成的角，而三角形A 1DB 为等边三角形，可求得此角．【解答】解：延长CA 到D ，使得AD=AC ，则ADA 1C 1为平行四边形，∠DA 1B 就是异面直线BA 1与AC 1所成的角，又A 1D=A 1B=DB=AB ，则三角形A 1DB 为等边三角形，∴∠DA 1B=60°故选C ．11．设不等式组表示的平面区域为D ，若指数函数y=a x 的图象上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是（）10/21A ．（1，3]B ．[2，3]C ．（1，2]D ．[3，+∞]【考点】二元一次不等式（组）与平面区域；指数函数的图象与性质．【分析】先依据不等式组，结合二元一次不等式（组）与平面区域的关系画出其表示的平面区域，再利用指数函数y=a x 的图象特征，结合区域的角上的点即可解决问题．【解答】解：作出区域D 的图象，联系指数函数y=a x 的图象，由得到点C （2，9），当图象经过区域的边界点C （2，9）时，a 可以取到最大值3，而显然只要a 大于1，图象必然经过区域内的点．故选：A．12．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体表面上与点A 距离是的点形成一条曲线，这条曲线的长度是（）A ．B．C．D ．【考点】弧长公式；棱柱的结构特征．【分析】本题首先要弄清楚曲线的形状，再根据曲线的性质及解析几何知识即可求出长度．11/21【解答】解：由题意，此问题的实质是以A为球心、为半径的球在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1各个面上交线的长度计算，正方体的各个面根据与球心位置关系分成两类：ABCD 、AA 1DD 1、AA 1BB 1为过球心的截面，截痕为大圆弧，各弧圆心角为、A 1B 1C 1D 1、B 1BCC 1、D 1DCC 1为与球心距离为1的截面，截痕为小圆弧，由于截面圆半径为r=，故各段弧圆心角为．∴这条曲线长度为3••+3••=故选D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是所有实数的绝对值不是正数．【考点】命题的否定．【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是：所有实数的绝对值不是正数．故答案为：所有实数的绝对值不是正数．14．已知点P （x ，y ）在直线x +y ﹣4=0上，O 是原点，则OP的最小值是．【考点】点到直线的距离公式．【分析】OP 的最小值，就是两点间的距离的最小值，转化为原点的直线的距离．【解答】解：因为点P （x ，y ）在直线x +y ﹣4=0上，O 是原点，则OP 的最小值，就是求原点O 到直线x +y ﹣4=0的距离，即|OP |=．故答案为：．15．实数x ，y 满足，则的取值范围是[2，]．【考点】简单线性规划．【分析】根据已知的约束条，画出满足约束条件的可行域，将式子进行变形，再分析目标函数的几何意义，结合图象即可给出目标函数的取值范围．【解答】解：约束条件对应的平面区域如下图示：12/21设k=，则z 表示可行域内的点（x ，y ）与点（0，0）连线的斜率，可得B （1，2），由可得A （1，2）由图可知k 的最大值为k OB =2，最小值为k OA =，的取值范围是[，2]，又=+=k +在[，1]上单调递减，在[1，2]上递增，则当t=1时，z=1+1=2，当t=时，z=+2=，∴的取值范围是[2，]．故答案为：[2，]16．正三角形ABC 的边长为2，将它沿高AD 翻折，使点B 与点C 间的距离为1，此时四面体ABCD外接球表面积为．13/21【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．【分析】三棱锥B ﹣ACD 的三条侧棱BD ⊥AD 、DC ⊥DA ，底面是正三角形，它的外接球就是它扩展为正三棱柱的外接球，求出正三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，然后求球的表面积即可．【解答】解：根据题意可知三棱锥B ﹣ACD 的三条侧棱BD ⊥AD 、DC ⊥DA ，底面是正三角形，它的外接球就是它扩展为正三棱柱的外接球，求出正三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的中，底面边长为1，棱柱的高为，由题意可得：三棱柱上下底面中点连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心，∴正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的外接球的球心为O ，外接球的半径为r ，表面积为：4πr 2．球心到底面的距离为1，底面中心到底面三角形的顶点的距离为：××1=，所以球的半径为r==．外接球的表面积为：4πr 2=π故答案为：π．三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．设命题p ：f （x ）=在区间（1，+∞）上是减函数；命题q ；x 1x 2是方程x 2﹣ax ﹣2=0的两个实根，不等式m 2+5m ﹣3≥|x 1﹣x 2|对任意实数α∈[﹣1，1]恒成立；若￢p ∧q 为真，试求实数m 的取值范围．【考点】函数恒成立问题；复合命题的真假．【分析】先根据分式函数的单调性求出命题p 为真时m 的取值范围，然后根据题意求出|x 1﹣x 2|的最大值，再解不等式，若﹣p ∧q 为真则命题p 假q 真，从而可求出m 的取值范围．【解答】解：∵f （x ）=在区间（﹣∞，m ），（m ，+∞）上是减函数，而已知在区间（1，+∞）上是减函数，∴m ≤1，即命题p 为真命题时m ≤1，命题p 为假命题时m ＞1，14/21∵x 1，x 2是方程x 2﹣ax ﹣2=0的两个实根∴∴|x 1﹣x 2|==∴当a ∈[﹣1，1]时，|x 1﹣x 2|max =3，由不等式m 2+5m ﹣3≥|x 1﹣x 2|对任意实数a ∈[﹣1，1]恒成立．可得：m 2+5m ﹣3≥3，∴m ≥1或m ≤﹣6，∴命题q 为真命题时m ≥1或m ≤﹣6，∵﹣p ∧q 为真，∴命题p 假q 真，即，∴实数m 的取值范围是m ＞1．18．正三棱锥的高为1，底面边长为2，内有一个球与它的四个面都相切，求：（1）棱锥的表面积；（2）内切球的表面积与体积．【考点】球的体积和表面积．【分析】（1）过点P 作PD ⊥平面ABC 于D ，连结并延长AD 交BC 于E ，连结PE ，△ABC 是正三角形，AE 是BC 边上的高和中线，D 为△ABC 的中心．由此能求出棱锥的全面积．（2）求出棱锥的体积，设球的半径为r ，以球心O 为顶点，棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥，由此能求出球的表面积．【解答】解：（1）如图，过点P 作PD ⊥平面ABC 于D ，连结并延长AD 交BC 于E ，连结PE ，△ABC 是正三角形，∴AE 是BC 边上的高和中线，D 为△ABC 的中心．∵AB=2，∴S △ABC =×（2）2=6，DE=AB=，PE=．S △P AB =S △PBC =S △PCA ==3．∴S 表=9+6；15/21（2）设球的半径为r ，以球心O 为顶点，棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥，∵PD=1，∴V P ﹣ABC =•6•1=2．则由等体积可得r==﹣2，∴S 球=4π（﹣2）2．体积V=π（﹣2）3．19．已知有条光线从点A （﹣2，1）出发射向x 轴B ，经过x 轴反射后射向y 轴上的C 点，再经过y 轴反射后到达点D （﹣2，7）．（1）求直线BC 的方程．（2）求光线从A 点到达D 点所经过的路程．【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【分析】（1）由题意画出图形，找出A 关于x 轴的对称点，D 关于y 轴的对称点，由直线方程的两点式求得直线BC 的方程；（2）直接由两点间的距离公式得答案．【解答】解：如图，（1）∵A （﹣2，1），∴A 点关于x 轴的对称点为A ′（﹣2，﹣1），∵D （﹣2，7），∴D 点关于y 轴的对称点D ′（2，7）．由对称性可得，A ′、D ′所在直线方程即为BC 所在直线方程，16/21∴BC ：，整理得2x ﹣y +3=0；（2）由图可得，光线从A 点到达D 点所经过的路程即为|A ′D ′|=．20．已知直线l 的方程为t （x ﹣1）+2x +y +1=0（t ∈R ）（1）若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程；（2）若直线l 不经过第二象限，求实数t 的取值范围．【考点】直线的一般式方程．【分析】（1）对直线的截距分类讨论即可得出；（2）将直线l 的方程化为y=﹣（t +2）x +t ﹣1，由于l不经过第二象限，可得或，解出即可．【解答】解：（1）当直线l 过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距为零，此时相等，∴t=1，直线l 的方程为3x +y=0．当直线l 不过原点时，由截距存在且均不为0，得=t ﹣1，即t +2=1，∴t=﹣1，直线l 的方程为x +y +2=0．故所求直线l 的方程为3x +y=0或x +y +2=0．（2）将直线l 的方程化为y=﹣（t +2）x +t ﹣1，∵l 不经过第二象限，∴或解得t ≤﹣2，∴t 的取值范围是（﹣∞，﹣2]．21．如图1，在直角梯形ABCD 中，∠ABC=∠DAB=90°，∠CAB=30°，BC=1，AD=CD ，把△DAC 沿对角线AC 折起后如图2所示（点D 记为点P ），点P 在平面ABC 上的正投影E 落在线段AB 上，连接PB ．（1）求直线PC 与平面PAB 所成的角的大小；（2）求二面角P ﹣AC ﹣B 的大小的余弦值．17/21【考点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面所成的角．【分析】（1）根据折起前后有些线段的长度和角度，根据线面所成角的定义可知∠CPB 为直线PC 与平面PAB 所成的角，在Rt △CBP 中，求出此角即可；（2）取AC 的中点F ，连接PF ，EF ，根据二面角平面角的定义可知∠PFE 为二面角P ﹣AC ﹣B 的平面角，在Rt △EFA 中，求出EF ，在Rt △PFA 中，求出PF ，最后在Rt △PEF 中，求出∠PFE 的余弦值即可．【解答】（1）解：在图4中，∵∠ABC=∠DAB=90°，∠CAB=30°，BC=1，∴，，∠DAC=60°．∵AD=CD ，∴△DAC 为等边三角形．∴AD=CD=AC=2．在图5中，∵点E 为点P 在平面ABC 上的正投影，∴PE ⊥平面ABC ．∵BC ⊂平面ABC ，∴PE ⊥BC ．∵∠CBA=90°，∴BC ⊥AB ．∵PE ∩AB=E ，PE ⊂平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，∴BC ⊥平面PAB ．∴∠CPB 为直线PC 与平面PAB 所成的角．18/21在Rt △CBP 中，BC=1，PC=DC=2，∴．∵0°＜∠CPB ＜90°，∴∠CPB=30°．∴直线PC 与平面PAB 所成的角为30°．（2）解：取AC 的中点F ，连接PF ，EF ．∵PA=PC ，∴PF ⊥AC ．∵PE ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，∴PE ⊥AC ．∵PF ∩PE=P ，PF ⊂平面PEF ，PE ⊂平面PEF ，∴AC ⊥平面PEF ．∵EF ⊂平面PEF ，∴EF ⊥AC ．∴∠PFE 为二面角P ﹣AC ﹣B 的平面角．在Rt △EFA 中，，∴EF=AF •tan30°=，．在Rt △PFA中，．在Rt △PEF 中，．∴二面角P ﹣AC ﹣B的大小的余弦值为．19/2122．已知定义在R 上的二次函数f （x ）满足：f （x ）=﹣x 2+bx +c ，且f （x ）=f （1﹣x ）．对于数列{a n }，若a 1=0，a n +1=f （a n ）（n ∈N *）（1）求数列{a n }是单调递减数列的充要条件；（2）求c 的取值范围，使数列{a n }是单调递增数列．【考点】数列与函数的综合；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】（1）由题意可得f （x ）的对称轴为x=，求得b=1，由数列{a n }是单调递减数列等价为a n +1＜a n ，即为a n +1﹣a n ＜0，即c ＜a n 2恒成立，求得a n 2的最小值，即可得到c 的范围；（2）由题意可得a n +1﹣a n ＞0，即c ＞a n 2恒成立，由二次函数的配方和单调性，可得a n≤时，数列递增，即可得到所求c 的范围．【解答】解：（1）f （x ）=f （1﹣x ），可得f （x ）的对称轴为x=，即有=，即b=1，对于数列{a n }，若a 1=0，a n +1=f （a n ）（n ∈N *），即有a n +1=﹣a n 2+a n +c ，则a n +1﹣a n =c ﹣a n 2，数列{a n }是单调递减数列等价为a n +1＜a n ，即为a n +1﹣a n ＜0，即c ＜a n 2恒成立，由a n 2≥0，且a 1=0，则c ＜0．故数列{a n }是单调递减数列的充要条件为c ＜0；20/21（2）数列{a n }是单调递增数列，a n +1＞a n ，即为a n +1﹣a n ＞0，即c ＞a n 2恒成立，由a n +1=﹣a n 2+a n +c=﹣（a n ﹣）2+c +，当a n ≤时，数列递增，即有a n 2≤．可得c＞．则c ＞，使数列{a n }是单调递增数列．21/212016年10月1日。

2015-2016学年安徽省六安市霍邱二中高二（上）期中数学试卷一、选择题：（60分）1．（5分）某公司现有职员160人，中级管理人员30人，高级管理人员10人，要从其中抽取20个人进行身体健康检查，如果采用分层抽样的方法，则职员、中级管理人员和高级管理人员各应该抽取多少（）A．8，5，17 B．16，2，2 C．16，3，1 D．12，3，52．（5分）对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是（A．46，45，56 B．46，45，53 C．47，45，56 D．45，47，533．（5分）棱长都是1的三棱锥的表面积为（）A．B．C．D．4．（5分）执行如图的程序框图，若p=9，则输出的S=（）A．B．C．D．5．（5分）一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．2π+2B．4π+2C．2π+D．4π+6．（5分）若l、m、n是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列结论正确的是（）A．α∥β，l⊂α，n⊂β⇒l∥n B．α∥β，l⊂α⇒l⊥βC．l⊥n，m⊥n⇒l∥m D．l⊥α，l∥β⇒α⊥β7．（5分）直线x+y+=0截圆x2+y2=4所得劣弧所对圆心角为（）A．B．C． D．8．（5分）已知P是△ABC所在平面内一点，，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是（）A．B．C．D．9．（5分）点A，B，C，D均在同一球面上，且AB，AC，AD两两垂直，且AB=1，AC=2，AD=3，则该球的表面积为（）A．7πB．14πC．D．10．（5分）已知点（1，﹣2）和在直线l：ax﹣y﹣1=0（a≠0）的两侧，则直线l倾斜角的取值范围是（）A．B．C．D．11．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成角的余弦值为（）A．B．C．D．12．（5分）平面上到定点A（l，2）距离为1且到定点B（5，5）距离为d的直线共有4条，则d的取值范是（）A．（0，4） B．（2，4） C．（2，6） D．（4，6）二、填空题：（20分）13．（5分）三条直线ax+2y+8=0，4x+3y=10，2x﹣y=10相交于一点，则实数a的值为．14．（5分）某校为了解高一学生寒假期间的阅读情况，抽查并统计了100名同学的某一周阅读时间，绘制了频率分布直方图（如图所示），那么这100名学生中阅读时间在[4，8）小时内的人数为．15．（5分）设x，y满足约束条件的取值范围是．16．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S．则下列命题正确的是（写出所有正确命题的编号）．①当时，S为四边形②当时，S为等腰梯形③当时，S与C1D1的交点R满足④当时，S为六边形⑤当CQ=1时，S的面积为．三、解答题（70分）17．（10分）已知直线l：x+y﹣1=0，（1）若直线l1过点（3，2）且l1∥l，求直线l1的方程；（2）若直线l2过l与直线2x﹣y+7=0的交点，且l2⊥l，求直线l2的方程．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，O是正方形ABCD 的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．求证：（Ⅰ）PA∥平面BDE；（Ⅱ）平面PAC⊥平面BDE．19．（12分）某校高一（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图．（Ⅰ）求分数在[50，60）的频率及全班人数；（Ⅱ）求分数在[80，90）之间的频数，并计算频率分布直方图中[80，90）间矩形的高；（Ⅲ）若要从分数在[80，100）之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在[90，100）之间的概率．20．（12分）已知关于x，y的方程C：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0．（1）当m为何值时，方程C表示圆．（2）若圆C与直线l：x+2y﹣4=0相交于M，N两点，且MN=，求m的值．21．（12分）如图1，已知⊙O的直径AB=4，点C、D为⊙O上两点，且∠CAB=45°，∠DAB=60°，F为弧BC的中点．将⊙O沿直径AB折起，使两个半圆所在平面互相垂直（如图2）．（Ⅰ）求证：OF∥AC；（Ⅱ）在弧BD上是否存在点G，使得FG∥平面ACD？若存在，试指出点G的位置；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）求二面角C﹣AD﹣B的正弦值．22．（12分）已知圆O：x2+y2=1和直线l：x=3，在x轴上有一点Q（1，0），在圆O上有不与Q重合的两动点P、M，设直线MP斜率为k1，直线MQ斜率为k2，直线PQ斜率为k3．（1）若k1k2=﹣1①求出点P的坐标；②MP交l与P′，MQ交l与Q′．求证：以P′Q′为直径的圆，总过定点，并求出定点的坐标；（2）若k2k3=2，判断直线PM是否经过定点，若有，求出来；若没有，请说明理由．2015-2016学年安徽省六安市霍邱二中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（60分）1．（5分）某公司现有职员160人，中级管理人员30人，高级管理人员10人，要从其中抽取20个人进行身体健康检查，如果采用分层抽样的方法，则职员、中级管理人员和高级管理人员各应该抽取多少（）A．8，5，17 B．16，2，2 C．16，3，1 D．12，3，5【解答】解：∵公司现有职员160人，中级管理人员30人，高级管理人员10人∴公司共有160+30+10=200人，∵要从其中抽取20个人进行身体健康检查，∴每个个体被抽到的概率是，∴职员要抽取160×人，中级管理人员30×人，高级管理人员10×人，即抽取三个层次的人数分别是16，3，1故选：C．2．（5分）对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是（A．46，45，56 B．46，45，53 C．47，45，56 D．45，47，53【解答】解：由题意可知茎叶图共有30个数值，所以中位数为第15和16个数的平均值：=46．众数是45，极差为：68﹣12=56．故选：A．3．（5分）棱长都是1的三棱锥的表面积为（）A．B．C．D．【解答】解：因为四个面是全等的正三角形，则．故选：A．4．（5分）执行如图的程序框图，若p=9，则输出的S=（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，本程序框图为求和运算第1次循环：S=0+n=2第2次循环：S=+n=3…第8次循环：S═+…+n=9此时，n＜9，输出S=﹣=故选：D．5．（5分）一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．2π+2B．4π+2C．2π+D．4π+【解答】解：此几何体为一个上部是正四棱锥，下部是圆柱由于圆柱的底面半径为1，其高为2，故其体积为π×12×2=2π棱锥底面是对角线为2的正方形，故其边长为，其底面积为2，又母线长为2，故其高为由此知其体积为=故组合体的体积为2π+故选：C．6．（5分）若l、m、n是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列结论正确的是（）A．α∥β，l⊂α，n⊂β⇒l∥n B．α∥β，l⊂α⇒l⊥βC．l⊥n，m⊥n⇒l∥m D．l⊥α，l∥β⇒α⊥β【解答】解：对于A，α∥β，l⊂α，n⊂β，l，n平行或异面，所以错误；对于B，α∥β，l⊂α，l 与β 可能相交可能平行，所以错误；对于C，l⊥n，m⊥n，在空间，l与m还可能异面或相交，所以错误．故选：D．7．（5分）直线x+y+=0截圆x2+y2=4所得劣弧所对圆心角为（）A．B．C． D．【解答】解：设劣弧所对圆心角的一半为α，则因为圆到直线的距离为：=1，半径是2，所以cosα=0.5，∴α=60°，劣弧所对圆心角为120°．故选：C．8．（5分）已知P是△ABC所在平面内一点，，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：以PB、PC为邻边作平行四边形PBDC，则∵，∴，得=﹣2由此可得，P是△ABC边BC上的中线AO的中点，点P到BC的距离等于A到BC的距离的．∴S=S△ABC．△PBC将一粒黄豆随机撒在△ABC内，黄豆落在△PBC内的概率为P==故选：C．9．（5分）点A，B，C，D均在同一球面上，且AB，AC，AD两两垂直，且AB=1，AC=2，AD=3，则该球的表面积为（）A．7πB．14πC．D．【解答】解：三棱锥A﹣BCD的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，对角线的长为球的直径，d==，它的外接球半径是，外接球的表面积是4π（）2=14π故选：B．10．（5分）已知点（1，﹣2）和在直线l：ax﹣y﹣1=0（a≠0）的两侧，则直线l倾斜角的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：因为点（1，﹣2）和在直线l：ax﹣y﹣1=0（a≠0）的两侧，所以，（a+2﹣1）（a﹣1）＜0，即：（a+1）（a﹣）＜0，解得﹣1＜a＜，设直线l倾斜角为θ，∴a=tanθ，∴﹣1＜tanθ＜，∴0＜θ＜，或＜θ＜π，故选：C．11．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，如图：BC 的中点为O，连结ON，，则MN0B是平行四边形，BM与AN所成角就是∠ANO，∵BC=CA=CC1，设BC=CA=CC1=2，∴CO=1，AO=，AN=，MB===，在△ANO中，由余弦定理可得：cos∠ANO===．故选：C．12．（5分）平面上到定点A（l，2）距离为1且到定点B（5，5）距离为d的直线共有4条，则d的取值范是（）A．（0，4） B．（2，4） C．（2，6） D．（4，6）【解答】解：平面上到定点A（l，2）距离为1的点的轨迹为：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1．到定点B（5，5）距离为d的点的轨迹为：（x﹣5）2+（y﹣5）2=d2．∵平面上到定点A（1，2）距离为1且到定点B（5，5）距离为d的直线共有4条，∴上述两个圆外离，∴1＜1+d＜=5，解得0＜d＜4．则d的取值范是（0，4）．故选：A．二、填空题：（20分）13．（5分）三条直线ax+2y+8=0，4x+3y=10，2x﹣y=10相交于一点，则实数a的值为﹣1．【解答】解：联立，解得，把（4，﹣2）代入直线ax+2y+8=0，可得4a﹣4+8=0，解得a=﹣1．故答案为：﹣1．14．（5分）某校为了解高一学生寒假期间的阅读情况，抽查并统计了100名同学的某一周阅读时间，绘制了频率分布直方图（如图所示），那么这100名学生中阅读时间在[4，8）小时内的人数为54．【解答】解：∵这100名同学中阅读时间在[4，8）小时内的频率为（0.12+0.15）×2=0.54，∴这100名同学中阅读时间在[4，8）小时内的同学为100×0.54=54．故答案为：54．15．（5分）设x，y满足约束条件的取值范围是[，11] ．【解答】解：由z==1+2×=1+2×，考虑到斜率以及由x，y满足约束条件所确定的可行域．而z表示可行域内的点与（﹣1，﹣1）连线的斜率的2倍加1．数形结合可得，在可行域内取点A（0，4）时，z有最大值11，在可行域内取点B（3，0）时，z有最小值，所以≤z≤11．故答案为：[，11]．16．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S．则下列命题正确的是①②⑤（写出所有正确命题的编号）．①当时，S为四边形②当时，S为等腰梯形③当时，S与C1D1的交点R满足④当时，S为六边形⑤当CQ=1时，S的面积为．【解答】解：连接AP并延长交DC于M，再连接MQ，对于①，当0＜CQ＜时，MQ的延长线交线段D1D与点N，且N在D1与D之间，连接AN，则截面为四边形APQN；①正确；当CQ=时，即Q为CC1中点，此时可得PQ∥AD1，AP=QD1==，故可得截面APQD1为等腰梯形，故②正确；由上图当点Q向C移动时，满足0＜CQ＜，只需在DD1上取点M满足AM∥PQ，即可得截面为四边形APQM，故①正确；③当CQ=时，如图，延长DD1至N，使D1N=，连接AN交A1D1于S，连接NQ交C1D1于R，连接SR，可证AN∥PQ，由△NRD1∽△QRC1，可得C1R：D1R=C1Q：D1N=1：2，故可得C1R=，故③不正确；④由③可知当＜CQ＜1时，只需点Q上移即可，此时的截面形状仍然上图所示的APQRS，显然为五边形，故错误；⑤当CQ=1时，Q与C1重合，取A1D1的中点F，连接AF，可证PC1∥AF，且PC1=AF，可知截面为APC1F为菱形，故其面积为AC1•PF=••=，故正确．故答案为：①②⑤三、解答题（70分）17．（10分）已知直线l：x+y﹣1=0，（1）若直线l1过点（3，2）且l1∥l，求直线l1的方程；（2）若直线l2过l与直线2x﹣y+7=0的交点，且l2⊥l，求直线l2的方程．【解答】解：（1）由题意和平行关系设直线l1的方程为x+y+m=0，∵直线l1过点（3，2），∴3+2+m=0，解得m=﹣5，直线l1的方程为x+y﹣5=0；（2）解方程组可得，∴直线l与直线2x﹣y+7=0的交点为（﹣2，3）∵l2⊥l，∴直线l2的斜率k=1，∴直线方程为x﹣y+5=018．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，O是正方形ABCD 的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．求证：（Ⅰ）PA∥平面BDE；（Ⅱ）平面PAC⊥平面BDE．【解答】证明：（Ⅰ）连接OE．∵O是AC的中点，E是PC的中点，∴OE∥AP，又∵OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，∴PA∥平面BDE．（Ⅱ）∵PO⊥底面ABCD，PO⊥BD，又∵AC⊥BD，且AC∩PO=O，∴BD⊥平面PAC．∵BD⊂平面BDE，∴平面PAC⊥平面BDE．19．（12分）某校高一（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图．（Ⅰ）求分数在[50，60）的频率及全班人数；（Ⅱ）求分数在[80，90）之间的频数，并计算频率分布直方图中[80，90）间矩形的高；（Ⅲ）若要从分数在[80，100）之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在[90，100）之间的概率．【解答】解：（Ⅰ）分数在[50，60）的频率为0.008×10=0.08，由茎叶图知：分数在[50，60）之间的频数为2，∴全班人数为．（Ⅱ）分数在[80，90）之间的频数为25﹣22=3；频率分布直方图中[80，90）间的矩形的高为．（Ⅲ）将[80，90）之间的3个分数编号为a1，a2，a3，[90，100）之间的2个分数编号为b1，b2，在[80，100）之间的试卷中任取两份的基本事件为：（a1，a2），（a1，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）共10个，其中，至少有一个在[90，100）之间的基本事件有7个，故至少有一份分数在[90，100）之间的概率是．20．（12分）已知关于x，y的方程C：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0．（1）当m为何值时，方程C表示圆．（2）若圆C与直线l：x+2y﹣4=0相交于M，N两点，且MN=，求m的值．【解答】解：（1）方程C可化为：（x﹣1）2+（y﹣2）2=5﹣m，显然，当5﹣m＞0时，即m＜5时，方程C表示圆．（2）圆的方程化为（x﹣1）2+（y﹣2）2=5﹣m，圆心C（1，2），半径，则圆心C（1，2）到直线l：x+2y﹣4=0 的距离为，∵，有，∴，解得m=4．21．（12分）如图1，已知⊙O的直径AB=4，点C、D为⊙O上两点，且∠CAB=45°，∠DAB=60°，F为弧BC的中点．将⊙O沿直径AB折起，使两个半圆所在平面互相垂直（如图2）．（Ⅰ）求证：OF∥AC；（Ⅱ）在弧BD上是否存在点G，使得FG∥平面ACD？若存在，试指出点G的位置；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）求二面角C﹣AD﹣B的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：如图，因为∠CAB=45°，连结OC，则OC⊥AB．以AB所在的直线为y轴，以OC所在的直线为z轴，以O为原点，作空间直角坐标系O﹣xyz，则A（0，﹣2，0），C（0，0，2）．=（0，0，2）﹣（0，﹣2，0）=（0，2，2），∵点F为的中点，∴点F的坐标为（0，），．∴，∴OF∥AC．∵OF⊄平面ACD，AC⊂平面ACD，∴OF∥平面ACD．（Ⅱ）解：设在上存在点G，使得FG∥平面ACD，∵OF∥平面ACD，∴平面OFG∥平面ACD，则有OG∥AD．设=λ（λ＞0），∵=（，1，0），∴=（λ，λ，0）．又∵||=2，∴=2，解得λ=±1（舍去﹣1）．∴=（，1，0），则G为的中点．∴在上存在点G，使得FG∥平面ACD，且点G为的中点．（Ⅲ）解：∵∠DAB=60°，∴点D的坐标D（），=（）．设二面角C﹣AD﹣B的大小为θ，设为平面ACD的一个法向量．由，取x=1，解得y=﹣，z=．∴=（1，﹣，）．取平面ADB的一个法向量=（0，0，1），∴cosθ=|cos＜＞|=||=．∴sinθ===．∴二面角C﹣AD﹣B的正弦值为．22．（12分）已知圆O：x2+y2=1和直线l：x=3，在x轴上有一点Q（1，0），在圆O上有不与Q重合的两动点P、M，设直线MP斜率为k1，直线MQ斜率为k2，直线PQ斜率为k3．（1）若k1k2=﹣1①求出点P的坐标；②MP交l与P′，MQ交l与Q′．求证：以P′Q′为直径的圆，总过定点，并求出定点的坐标；（2）若k2k3=2，判断直线PM是否经过定点，若有，求出来；若没有，请说明理由．【解答】解：（1）①k1k2=﹣1，可得PM⊥MQ，即有PQ为直径，即P的坐标为（﹣1，0）；②证明：设M（m，n），P'（3，s），Q'（3，t），由P，M，P'共线，可得=，由Q，M，Q'共线，可得=，又m2+n2=1，即有n2=1﹣m2，即有==﹣1，即为st=﹣8，以P′Q′为直径的圆的方程为（x﹣3）2+（y﹣s）（y﹣t）=0，即有（x﹣3）2+y2+st﹣y（s+t）=0，即（x﹣3）2+y2﹣8﹣y（s+t）=0，不过s，t为何值，令y=0，（x﹣3）2+y2﹣8=0，解得y=0，x=3±2．则有以P′Q′为直径的圆，总过定点，定点的坐标为（3±2，0）；（2）k2k3=2，所以k2，k3同号．不妨设k2=1，则QM：y=x﹣1，与圆的方程联立，解得M（0，﹣1），k3=2，则QP：y=2（x﹣1），与圆的方程联立，解得P（，﹣），此时MP：x ﹣3y﹣3=0，同理由圆的对称性，当M（0，﹣1）时，k2=﹣1，k3=﹣2，此时P（（，），MP：x+3y﹣3=0，若MP过定点，联立直线MP的方程，求得交点为（3，0），验证：（3，0）是否为定点．可设MP：y=k（x﹣3），代入圆x2+y2=1，可得（1+k2）x2﹣6k2x+9k2﹣1=0，设M（x1，y1），P（x2，y2），即有x1+x2=，x1x2=，则k2k3=•==，代入韦达定理，化简可得k 2k3=2．则有直线PM经过定点（3，0）．。

舒城中学新课程自主学习系列训练（二）高二理数 2016.10.15一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共计32分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1、已知过球面上A 、B 、C 三点的平面和球心的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=2，则该球面面积为 （ ）A ．π916B ．π38 C ． π932D ．π9642、若某空间几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积是（ ）A.32B.34C. 2D. 6（第3题图） （第2题图） 3、如图所示，在棱长为1的正方体ABCD D C B A 1111-的面对角线B A 1上存在一点使得 P AP D 1+取得最小值，则此最小值为（ ）A ．B ．226+ C ． 22+ D ． 22+ 4、下图给出的是计算201......614121++++的值的一个程序框图，判断其中框内应填入的条件是（ ）A ．i>10B ．i<10C ．i>20D ．i<20（第4题图） 5、已知直线04)1()13(=--++y m x m 所过定点的横、纵坐标分别是等差数列}{a n的第一项与第二项，若aa bn nn11+=，数列b n 的前n 项和为T n ，则T10=（ ） A ．219 B ．2110C ．2111D ．2120 舒中高二理数 第1页 (共4页)6、设P 为直线0343=++y x 上的动点，过点P 作圆C012222=+--+y x yx 的两条切线，切点分别为A ，B ，则四边形PACB 的面积的最小值为（ ）A ．1B ．23C ．D ．7、给出一个如图所示的流程图, 若要使输入的x 值与输出的y 值相等, 则这样的x 值的个数是 A ．1 B ．2 （ ） C ．3 D ．4（第7题图） 8、设x 1、x2是关于x 的方程0122=+++m x mx 的两个不相等的实数根，那么过两点),(211x x A ，),(222x x B 的直线与圆122=+yx 的位置关系是（ ）A. 相切B. 相离C. 相交D. 随的变化而变化二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)9、平面上三条直线,012=+-y x ,01=-x 0=+ky x ，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数k 的取值集合为 ． 10、直线03=++y tx 与圆422=+yx 相交于A 、B 两点，若 ，则实数t的范围11、如图所示，程序框图的输出值s 等于 12、如图正方形BCDE 的边长为a ，已知AB ＝3BC ，将直角△ABE沿BE 边折起，A 点在面BCDE 上的射影为D 点，则翻折后的几何 体中有如下描述： （1）ADE 所成角的正切值是2；（2）V ACE B -的体积是a261； （3）AB ∥CD ； （4）平面EAB ⊥平面ADEB ； （第11题图） （5）直线PA 与平面ADE 所成角的正弦值为33。

安徽省六安市高二上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共8题；共16分)1. （2分） (2015高二下·营口期中) 已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2，3}，B={2，4}，则（∁UA）∪B为（）A . {4}B . {2，4，5}C . {1，2，3，4}D . {1，2，4，5}2. （2分） (2017高三上·涪城开学考) “p或q是假命题”是“非p为真命题”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分又不必要条件3. （2分） (2017高二上·西华期中) 已知a、b、c、d成等比数列，且曲线y=x2﹣4x+7的顶点是（b，c），则ad等于（）A . 5B . 6C . 7D . 124. （2分）(2017·临川模拟) 函数f（x）=x3+x，x∈R，当时，f（msinθ）+f（1﹣m）＞0恒成立，则实数m的取值范围是（）A . （0，1）B . （﹣∞，0）C .D . （﹣∞，1）5. （2分）变量x、y满足条件，则（x﹣2）2+y2的最小值为（）A .B .C .D . 56. （2分） (2015高二下·伊宁期中) 过点A（3，0）且与y轴相切的圆的圆心的轨迹为（）A . 圆B . 椭圆C . 直线D . 抛物线7. （2分）若直线和⊙O∶相离,则过点的直线与椭圆的交点个数为（）A . 至多一个B . 2个C . 1个D . 0个8. （2分）已知,则为函数的零点的充要条件是（）A . ,B . ,C . ,D . ,二、填空题： (共7题；共8分)9. （1分）已知a，b是常数，ab≠0，若函数f（x）=ax3+barcsinx+3的最大值为10，则f（x）的最小值为________10. （2分） (2017高二下·嘉兴期末) 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的4个面中，直角三角形的个数是________个，它的表面积是________．11. （1分） (2017高二上·太原期末) 双曲线x2﹣y2=1的离心率为________．12. （1分） (2016高一下·玉林期末) 已知向量，，其中| |= ，| |=2，且（﹣）⊥ ，则| ﹣ |=________．13. （1分）已知数列{an}满足，则该数列的前10项的和为________ ．14. （1分） (2016高二下·黄骅期中) 直线l过点M0（1，5），倾斜角是，且与直线交于M，则|MM0|的长为________．15. （1分）(2017·安徽模拟) 已知向量，与的夹角为30°，则最大值为________．三、解答题： (共5题；共50分)16. （10分）(2020·乌鲁木齐模拟) 已知的面积为3，边上的高是2， .（1）求外接圆的半径；（2）求和的长.17. （10分） (2016高一上·万全期中) 已知函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a＞0）在区间[2，4]上的最大值为9，最小值为1，记f（x）=g（|x|）．（1）求实数a，b的值；（2）若不等式f（log2k）＞f（2）成立，求实数k的取值范围．18. （5分）如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，侧面是正方形，∠DAB=60°，E是棱CB的延长线上一点，经过点A、C1、E的平面交棱BB1于点F，B1F=2BF．（1）求证：平面AC1E⊥平面BCC1B1；（2）求二面角E﹣AC1﹣C的平面角的余弦值．19. （10分）(2017·西宁模拟) 已知椭圆C： + =1（a＞b＞D）的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为．（1）求a、b的值；（2） C上是否存在点P，使得当l绕P转到某一位置时，有 = + 成立？若存在，求出所有的P 的坐标与l的方程；若不存在，说明理由．20. （15分） (2016高二上·船营期中) 已知数列{an}满足3（n+1）an=nan+1（n∈N*），且a1=3，（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{an}的前n项和Sn；（3）若 = ，求证：≤ + +…+ ＜1．参考答案一、选择题： (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题： (共7题；共8分)9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题： (共5题；共50分) 16-1、16-2、17-1、17-2、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、。

2014-2015学年安徽省六安市舒城中学高三（上）第一次统考数学试卷（理科） 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．若z=，则z的共轭复数的虚部为（ ） A． i B．﹣i C． 1 D．﹣1 2．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ） A． B． C． D． 3．已知命题p：?x∈R，使sinx＜x成立．则?p为（ ） A． ?x∈R，使sinx=x成立 B． ?x∈R，sinx＜x均成立 C． ?x∈R，使sinx≥x成立 D． ?x∈R，sin≥x均成立 4．函数y=cos2（x﹣）﹣cos2（x+）是（ ） A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 5．设a=dx，则二项式（ax﹣）8的展开式中x2项的系数是（ ） A．﹣1120 B． 1120 C．﹣1792 D． 1792 6．双曲线﹣=1的渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1相切，则双曲线离心率为（ ） A． B． C． 2 D． 3 7．已知等比数列{an}，a2?a5?a8=，则数列{log2an}的前9项和等于（ ） A．﹣9 B．﹣8 C．﹣7 D．﹣10 8．已知点M（x，y）为平面区域内的一个动点，则的最小值为（ ） A． 3 B． C． D． 9．已知三个互不重合的平面α，β，γ，且α∩β=a，α∩γ=b，β∩γ=c，给出下列命题： ①若a⊥b，a⊥c，则b⊥c； ②若a∩b=P，则a∩c=P； ③若a⊥b，a⊥c，则α⊥γ； ④若a∥b，则a∥c． 其中正确命题个数为（ ） A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个 10．在边长为1的正六边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、．若m、M分别为（++）?（++）的最小值、最大值，其中{i，j，k}?{1，2，3，4，5}，{r，s，t}?{1，2，3，4，5}，则m、M满足（ ） A． m=0，M＞0 B． m＜0，M＞0 C． m＜0，M=0 D． m＜0，M＜0 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上） 11．已知集合M={y|y=}，N={x|y=log2（2﹣x）}，则?R（M∩N）=． 12．已知△ABC的内角A、B、C所对应边分别为a、b、c，若3a2+2ab+3b2﹣3c2=0，则sinC=． 13．在极坐标系中，曲线ρ=cosθ+1与ρcosθ=1的公共点到极点的距离为 ． 14．设函数f（x）=|x2﹣2x﹣1|，若a，b＞1，且f（a）=f（b），则ab﹣a﹣b的取值范围为 ． 15．若直线l与曲线C满足下列两个条件：（i）直线l在点P（x0，y0）处与曲线C相切；（ii）曲线C在P附近位于直线l的两侧，则称直线l在点P处“切过”曲线C． 下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号） ①直线l：y=0在点P（0，0）处“切过”曲线C：y=x3 ②直线l：x=﹣1在点P（﹣1，0）处“切过”曲线C：y=（x+1）2 ③直线l：y=x在点P（0，0）处“切过”曲线C：y=sinx ④直线l：y=x﹣1在点P（1，0）处“切过”曲线C：y=lnx， ⑤若直线l在点P（x0，f（x0））处“切过”曲线C：f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），则x0=﹣． 三、解答题（本大题共6小题，共75分） 16．已知函数f（x）=2sin（ωx），其中常数ω＞0 （1）若y=f（x）在[﹣，]上单调递增，求ω的取值范围； （2）令ω=2，将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象，区间[a，b]（a，b∈R，且a＜b）满足：y=g（x）在[a，b]上至少含有30个零点．在所有满足上述条件的[a，b]中，求b﹣a的最小值． 17．一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为（5，15]，（15，25]，（25，35]，（35，45]，由此得到样本的重量频率分布直方图，如图． （1）求a的值； （2）根据样本数据，试估计盒子中小球重量的平均值； （注：设样本数据第i组的频率为pi，第i组区间的中点值为xi（i=1，2，3，…，n），则样本数据的平均值为=x1p1+x2p2+x3p3+…+xnpn．） （3）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在（5，15]内的小球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望． 18．已知矩形BCC1B1所在平面与平面ABB1N垂直，AN∥BB1，AB⊥BB1，且BB1=8，AN=AB=BC=4， （1）求证：BN⊥平面C1B1N； （2）设θ为直线C1N与平面CNB1所成的角，求sinθ； （3）设M为AB中点，在BC边上求一点P，使MP∥平面CNB1，求的值． 19．已知等差数列{an}的各项均为正数，且Sn=++…+，S2=，S3=．设[x]表示不大于x的最大整数（如[2.10]=2，[0.9]=0）． （1）试求数列{an}的通项； （2）求T=[log21]+[log22]+[log23]+…+[log2（2﹣1）]+[log2（2）]关于n的表达式． 20．已知点A（﹣2，0）和圆0：x2+y2=4，AB是圆O的直经，从左到右M、O和N依次是AB的四等分点，P（异于A、B）是圆0上的动点，PD⊥AB，交AB于D，=，直线PA与BE交于点C． （1）求点C的轨迹曲线E的方程； （2）若点Q、R是曲线E上不同的点，且PQ、PR与曲线E相切，求△OQR面积的最小值． 21．设g（x）=ex，f（x）=g[λx+（1﹣λ）a]﹣λg（x），其中a，λ是常数，且0＜λ＜1． （1）求函数f（x）的最值； （2）证明：对任意正数a，存在正数x，使不等式|﹣1|＜a成立； （3）设λ1＞0，λ2＞0，且λ1+λ2=1，证明：对任意正数a1a2都有a1a2≤λ1a1+λ2a2． 2014-2015学年安徽省六安市舒城中学高三（上）第一次统考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．若z=，则z的共轭复数的虚部为（ ） A． i B．﹣i C． 1 D．﹣1 考点：复数代数形式的乘除运算． 专题：数系的扩充和复数． 分析：利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出． 解答：解：∵z===﹣i+2， 则z的共轭复数=2+i的虚部为1． 故选：C． 点评：本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题． 2．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ） A． B． C． D． 考点：由三视图求面积、体积． 专题：计算题；空间位置关系与距离． 分析：根据三视图判断几何体是圆锥的一部分，再根据俯视图与左视图的数据可求得底面扇形的圆心角为120°，又由侧视图知几何体的高为4，底面圆的半径为2，把数据代入圆锥的体积公式计算． 解答：解：由三视图知几何体是圆锥的一部分，由俯视图与左视图可得：底面扇形的圆心角为120°， 又由侧视图知几何体的高为4，底面圆的半径为2， ∴几何体的体积V=××π×22×4=． 故选：D． 点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，解答的关键是判断几何体的形状及三视图的数据所对应的几何量． 3．已知命题p：?x∈R，使sinx＜x成立．则?p为（ ） A． ?x∈R，使sinx=x成立 B． ?x∈R，sinx＜x均成立 C． ?x∈R，使sinx≥x成立 D． ?x∈R，sin≥x均成立 考点：命题的否定． 专题：简易逻辑． 分析：根据特称命题的否定是全称命题，即可得到结论． 解答：解：原命题为特称命题，故其否定为全称命题， 即￢p：． 故选：D． 点评：本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础． 4．函数y=cos2（x﹣）﹣cos2（x+）是（ ） A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法． 专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质． 分析：首先把三角函数式通过恒等变换转化成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期，进一步判断函数的奇偶性． 解答：解：函数y=cos2（x﹣）﹣cos2（x+）===sin2x ∴y=sin2x的最小正周期为：T=f（﹣x）=sin（﹣2x）=﹣sin2x （x∈R） 函数为奇函数 故选：A 点评：本题考查的知识点：三角函数的恒等变换，正弦型函数的最小正周期，奇偶性的判断 5．设a=dx，则二项式（ax﹣）8的展开式中x2项的系数是（ ） A．﹣1120 B． 1120 C．﹣1792 D． 1792 考点：二项式定理的应用；定积分． 专题：二项式定理． 分析：先求定积分得到a=2，再求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于2，求得r的值，即可求得展开式中x2项的系数． 解答：解：∵a=dx=lnx=1﹣（﹣1）=2，则二项式（ax﹣）8的展开式的通项公式为Tr+1=?28﹣r?（﹣1）r?， 令8﹣=2，求得 r=4，可得展开式中x2项的系数?24=1120， 故选：B． 点评：本题主要考查求定积分，二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题． 6．双曲线﹣=1的渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1相切，则双曲线离心率为（ ） A． B． C． 2 D． 3 考点：双曲线的简单性质；直线与圆的位置关系． 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：利用圆心（0，2）到双曲线﹣=1的渐近线bx±ay=0的距离等于半径1，可求得a，b之间的关系，从而可求得双曲线离心率． 解答：解：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线为bx±ay=0， 依题意，直线bx±ay=0与圆x2+（y﹣2）2=1相切， 设圆心（0，2）到直线bx±ay=0的距离为d， 则d===1， ∴双曲线离心率e==2． 故选C． 点评：本题考查双曲线的简单性质，考查点到直线间的距离，考查分析、运算能力，属于中档题． 7．已知等比数列{an}，a2?a5?a8=，则数列{log2an}的前9项和等于（ ） A．﹣9 B．﹣8 C．﹣7 D．﹣10 考点：等比数列的性质． 专题：计算题；等差数列与等比数列． 分析：利用等比数列的性质，求出a5=，再求出数列{log2an}的前9项和． 解答：解：∵数列{an}是等比数列， ∴a2?a8=a52， 又a2?a5?a8=， ∴a5=． ∴数列{log2an}的前9项和等于log2a1?a2?…?a9=log2a59=﹣9． 故选：A． 点评：本题考查了等比数列的性质与前n项和，考查对数运算，是基础题． 8．已知点M（x，y）为平面区域内的一个动点，则的最小值为（ ） A． 3 B． C． D． 考点：简单线性规划． 专题：数形结合；不等式的解法及应用． 分析：由约束条件作出可行域，然后由的几何意义得答案． 解答：解：由约束条件作出可行域如图， 的几何意义为可行域内的动点到定点（﹣1，0）的距离． 由图可知，的最小值为（﹣1，0）到直线x+y=2的距离． 等于． 故选：C． 点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题． 9．已知三个互不重合的平面α，β，γ，且α∩β=a，α∩γ=b，β∩γ=c，给出下列命题： ①若a⊥b，a⊥c，则b⊥c； ②若a∩b=P，则a∩c=P； ③若a⊥b，a⊥c，则α⊥γ； ④若a∥b，则a∥c． 其中正确命题个数为（ ） A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个 考点：平面的基本性质及推论． 分析：三个平面两两相交，交线平行或交于一点，故②④正确，当三条交线交于一点时，若a⊥b，a⊥c，则b，c夹角不确定，若a⊥b，a⊥c，则a⊥γ，又a?α，得到α⊥γ，得到结论． 解答：解：三个平面两两相交，交线平行或交于一点，故②④正确， 当三条交线交于一点时，若a⊥b，a⊥c，则b，c夹角不确定，故①不正确， 若a⊥b，a⊥c，则a⊥γ，又a?α，得到α⊥γ，故③正确， 综上可知三个命题正确， 故选C． 点评：本题考查平面的基本性质即推论，本题解题的关键是正确理解线面之间的位置关系，不要漏掉某种位置关系． 10．在边长为1的正六边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、．若m、M分别为（++）?（++）的最小值、最大值，其中{i，j，k}?{1，2，3，4，5}，{r，s，t}?{1，2，3，4，5}，则m、M满足（ ） A． m=0，M＞0 B． m＜0，M＞0 C． m＜0，M=0 D． m＜0，M＜0 考点：平面向量数量积的运算；进行简单的合情推理． 专题：压轴题；平面向量及应用． 分析：利用向量的数量积公式，可知只有，其余数量积均小于等于0，从而可结论． 解答：解：由题意，以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、， ∴利用向量的数量积公式，可知只有，其余数量积均小于等于0， ∵m、M分别为（++）?（++）的最小值、最大值， ∴m＜0，M＜0 故选D． 点评：本题考查向量的数量积运算，考查学生分析解决问题的能力，分析出向量数量积的正负是关键． 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上） 11．已知集合M={y|y=}，N={x|y=log2（2﹣x）}，则?R（M∩N）=（﹣∞，0）∪[2，+∞）　． 考点：交、并、补集的混合运算． 专题：集合． 分析：求出M中y的范围确定出M，求出N中x的范围确定出N，求出M与N交集的补集即可． 解答：解：由M中y=≥0，即M=[0，+∞）， 由N中y=log2（2﹣x），得到2﹣x＞0，即x＜2， ∴N=（﹣∞，2）， ∴M∩N=[0，2）， 则?R（M∩N）=（﹣∞，0）∪[2，+∞）． 故答案为：（﹣∞，0）∪[2，+∞） 点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 12．已知△ABC的内角A、B、C所对应边分别为a、b、c，若3a2+2ab+3b2﹣3c2=0，则sinC=． 考点：余弦定理． 专题：解三角形． 分析：根据题意，由已知得a2+b2﹣c2=﹣ab，由余弦定理求出cosC，即可求出sinC． 解答：解：在△ABC中，∵3a2+2ab+3b2﹣3c2=0， ∴a2+b2﹣c2=﹣ab； 又由余弦定理得， cosC===﹣， ∴sinC===． 故答案为：． 点评：本题考查了解三角形的有关知识，解题时应灵活应用余弦定理解答问题，是基础题． 13．在极坐标系中，曲线ρ=cosθ+1与ρcosθ=1的公共点到极点的距离为 ． 考点：点的极坐标和直角坐标的互化；两点间的距离公式． 专题：计算题． 分析：联立ρ=cosθ+1与ρcosθ=1消掉θ即可求得ρ，即为答案． 解答：解：由ρ=cosθ+1得，cosθ=ρ﹣1，代入ρcosθ=1得ρ（ρ﹣1）=1， 解得ρ=或ρ=（舍）， 所以曲线ρ=cosθ+1与ρcosθ=1的公共点到极点的距离为， 故答案为：． 点评：本题考查两点间距离公式、极坐标与直角坐标的互化，属基础题． 14．设函数f（x）=|x2﹣2x﹣1|，若a，b＞1，且f（a）=f（b），则ab﹣a﹣b的取值范围为　（﹣1，1）　． 考点：二次函数的性质． 专题：函数的性质及应用． 分析： f（x）是一个对称轴为 x=1 抛物线，然后把 x轴下方的图形关于x轴翻折上去，设这个图形与x轴交点分别为x1，x2，那么必然有﹣1＜a＜x1＜b＜3，可求出b﹣a的范围，而ab﹣a﹣b=ab﹣=，即可求出所求． 解答：解：f（x）=|x2﹣2x﹣1|=|（x﹣1）2﹣2|， 如图示： ， 设这个图形与x轴交点分别为x1，x2（x1＜x2）， 那么在x1＜x＜x2，f（x）有最大值，在x=1时取得，f（1）=2， 解方程 f（x）=|x2﹣2x﹣1|=2，可以算出x=3或者﹣1， 那么必然有﹣1＜a＜x1＜b＜3， 若1＜a＜b，且f（a）=f（b），此时a2﹣2a﹣1＜0，b2﹣2b﹣1＞0， 那么有a2﹣2a﹣1=﹣（b2﹣2b﹣1） 解得：a+b=， ab﹣a﹣b=ab﹣=， 判断b﹣a的取值范围，显然，0＜b﹣a＜（﹣1）﹣（﹣3）=2， 那么：0＜（b﹣a）2＜4， 于是：﹣1＜＜1， 即：﹣1＜ab﹣a﹣b＜1． 故答案为：（﹣1，1）． 点评：本题主要考查了二次函数的性质，同时考查了分析问题的能力，计算能力，讨论的数学思想，属于中档题． 15．若直线l与曲线C满足下列两个条件：（i）直线l在点P（x0，y0）处与曲线C相切；（ii）曲线C在P附近位于直线l的两侧，则称直线l在点P处“切过”曲线C． 下列命题正确的是　①③⑤　（写出所有正确命题的编号） ①直线l：y=0在点P（0，0）处“切过”曲线C：y=x3 ②直线l：x=﹣1在点P（﹣1，0）处“切过”曲线C：y=（x+1）2 ③直线l：y=x在点P（0，0）处“切过”曲线C：y=sinx ④直线l：y=x﹣1在点P（1，0）处“切过”曲线C：y=lnx， ⑤若直线l在点P（x0，f（x0））处“切过”曲线C：f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），则x0=﹣． 考点：利用导数研究曲线上某点切线方程． 专题：新定义；导数的概念及应用． 分析：分别求出每一个命题中曲线C的导数，得到曲线在点P处的导数值，求出曲线在点P处的切线方程，再由曲线在点P两侧的函数值与对应直线上点的值的大小判断是否满足（ii），则可判断①③正确；②④错， 而⑤，求出f（x）的导数，说明切线的斜率存在，由曲线C在P附近位于直线l的两侧，则曲线C关于点P对称， 运用f（x）满足f（m+x）+f（m﹣x）=2n，则f（x）关于点（m，n）对称，求出m即可判断正确． 解答：解：对于①，由y=x3，得y′=3x2，则y′|x=0=0，直线y=0是过点P（0，0）的曲线C的切线， 又当x＞0时y＞0，当x＜0时y＜0，满足曲线C在P（0，0）附近位于直线y=0两侧，故命题①正确； 对于②，由y=（x+1）2，得y′=2（x+1），则y′|x=﹣1=0， 而直线l：x=﹣1的斜率不存在，在点P（﹣1，0）处不与曲线C相切，故命题②错误； 对于③，由y=sinx，得y′=cosx，则y′|x=0=1，直线y=x是过点P（0，0）的曲线的切线， 又x∈（﹣，0）时x＜sinx，x∈（0，）时x＞sinx，满足曲线C在P（0，0）附近位于直线y=x两侧， 故命题③正确； 对于④，由y=lnx，得y′=，则y′|x=1=1，曲线在P（1，0）处的切线为y=x﹣1， 由g（x）=x﹣1﹣lnx，得g′（x）=1﹣，当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时， g′（x）＞0．则g（x）在（0，+∞）上有极小值也是最小值，为g（1）=0． 即y=x﹣1恒在y=lnx的上方，不满足曲线C在点P附近位于直线l的两侧，故命题④错误； 对于⑤，f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），得f′（x）=3ax2+2bx+c， 则切线的斜率为f′（x0）=3ax02+2bx0+c存在，又曲线C在P附近位于直线l的两侧，则曲线C关于点P对称， 设对称点为（m，n），则f（m+x）+f（m﹣x）=2n，化简得（3ma+b）x2+am3+bm2+cm+d﹣n=0，上式对x∈R恒成立， 则3ma+b=0，即m=﹣，则有x0=﹣，故命题⑤正确． 故答案为：①③⑤ 点评：本题考查新定义的理解和运用，考查了利用导数研究在曲线上某点处的切线方程，训练了利用导数求函数的单调区间和极值、最值，同时考查三次函数的对称中心，该题是中档题． 三、解答题（本大题共6小题，共75分） 16．已知函数f（x）=2sin（ωx），其中常数ω＞0 （1）若y=f（x）在[﹣，]上单调递增，求ω的取值范围； （2）令ω=2，将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象，区间[a，b]（a，b∈R，且a＜b）满足：y=g（x）在[a，b]上至少含有30个零点．在所有满足上述条件的[a，b]中，求b﹣a的最小值． 考点：正弦函数的单调性；根的存在性及根的个数判断；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 专题：三角函数的图像与性质． 分析：（1）已知函数y=f（x）在上单调递增，且ω＞0，利用正弦函数的单调性可得，且，解出即可； （2）利用变换法则“左加右减，上加下减”即可得到g（x）=2．令g（x）=0，即可解出零点的坐标，可得相邻两个零点之间的距离．若b﹣a最小，则a和b都是零点，此时在区间[a，mπ+a]（m∈N*）恰有2m+1个零点，所以在区间[a，14π+a]是恰有29个零点，从而在区间（14π+a，b]至少有一个零点，即可得到a，b满足的条件．进一步即可得出b﹣a的最小值． 解答：解：（1）∵函数y=f（x）在上单调递增，且ω＞0， ∴，且， 解得． （2）f（x）=2sin2x，∴把y=f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到， ∴函数y=g（x）=， 令g（x）=0，得，或x=（k∈Z）． ∴相邻两个零点之间的距离为或． 若b﹣a最小，则a和b都是零点，此时在区间[a，π+a]，[a，2π+a]，…，[a，mπ+a]（m ∈N*）分别恰有3，5，…，2m+1个零点， 所以在区间[a，14π+a]是恰有29个零点，从而在区间（14π+a，b]至少有一个零点， ∴． 另一方面，在区间恰有30个零点， 因此b﹣a的最小值为． 点评：本题综合考查了三角函数的单调性、周期性、函数的零点等基础知识与基本技能，考查了分析问题和解决问题的能力、推理能力和计算能力． 17．一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为（5，15]，（15，25]，（25，35]，（35，45]，由此得到样本的重量频率分布直方图，如图． （1）求a的值； （2）根据样本数据，试估计盒子中小球重量的平均值； （注：设样本数据第i组的频率为pi，第i组区间的中点值为xi（i=1，2，3，…，n），则样本数据的平均值为=x1p1+x2p2+x3p3+…+xnpn．） （3）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在（5，15]内的小球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望． 考点：离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图． 专题：概率与统计． 分析：（1）由频率分布直方图所给的数据能求出a． （2）先由频率直方图的数据求出50个样本小球重量的平均值，由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值． （3）利用样本估计总体，该盒子中小球重量在（5，15]内的概率为0.2，且ξ～B（3，）．ξ的取值为0，1，2，3，由此能求出ξ的分布列和数学期望． 解答：解：（1）由题意，得（0.02+0.032+a+0.018）×10=1，…（1分） 解得a=0.03．…（2分） （2）50个样本小球重量的平均值为=24.6（克）．…（3分） 由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克．…（4分） （3）利用样本估计总体，该盒子中小球重量在（5，15]内的概率为0.2， 则ξ～B（3，）．…（5分） ξ的取值为0，1，2，3，…（6分） P（ξ=0）=（）3=， P（ξ=1）=（）（）2=， P（ξ=2）=（）2（）=， P（ξ=3）=（）3=．…（10分） ∴ξ的分布列为： ξ 0 1 2 3 P …（11分） ∴Eξ==．…（12分） 点评：本题考查频率分布直方图的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型之一． 18．已知矩形BCC1B1所在平面与平面ABB1N垂直，AN∥BB1，AB⊥BB1，且BB1=8，AN=AB=BC=4， （1）求证：BN⊥平面C1B1N； （2）设θ为直线C1N与平面CNB1所成的角，求sinθ； （3）设M为AB中点，在BC边上求一点P，使MP∥平面CNB1，求的值． 考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定． 专题：综合题；空间位置关系与距离． 分析：（1）BA，BC，BB1两两垂直．以B为坐标原点，分别以BA，BC，BB1所在直线别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，证出?=0，=0后即可证明BN⊥平面C1B1N； （2）求出平面NCB1的一个法向量，利用与此法向量的夹角求出直线C1N与平面CNB1所成的角 （3）设P（0，0，a）为BC上一点，由MP∥平面CNB1，得知?=0，利用向量数量积为0求出a的值，并求出的值． 解答：（1）证明：∵BA，BC，BB1两两垂直．…（2分） 以B为坐标原点，分别以BA，BC，BB1所在直线别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则N（4，4，0），B1（0，8，0），C1（0，8，4），C（0，0，4） ∵?=（4，4，0）?（﹣4，4，0）=﹣16+16=0=（4，4，0）?（0，0，4）=0 ∴BN⊥NB1，BN⊥B1C1且NB1与B1C1相交于B1， ∴BN⊥平面C1B1N；…（4分） （2）解：设=（x，y，z）为平面NCB1的一个法向量， 则，取=（1，1，2）， ∵=（4，﹣4，﹣4）， ∴sinθ=；…（8分） （3）解：∵M（2，0，0）．设P（0，0，a）为BC上一点，则=（﹣2，0，a）， ∵MP∥平面CNB1， ∴?=0 ∴（﹣2，0，a）?（1，1，2）=0， ∴a=1． 又PM?平面CNB1，∴MP∥平面CNB1， ∴当PB=1时，MP∥平面CNB1 ∴=…（12分） 点评：本题主要考查了直线与平面之间的位置关系及判断，线面角求解，利用空间向量的方法，能够降低思维难度，但要注意有关的运算要准确． 19．已知等差数列{an}的各项均为正数，且Sn=++…+，S2=，S3=．设[x]表示不大于x的最大整数（如[2.10]=2，[0.9]=0）． （1）试求数列{an}的通项； （2）求T=[log21]+[log22]+[log23]+…+[log2（2﹣1）]+[log2（2）]关于n的表达式． 考点：数列的应用． 专题：综合题；等差数列与等比数列． 分析：（1）利用裂项法求和，结合S2=，S3=，即可求数列{an}的通项； （2）先化简，再利用错位相减法，即可得出结论． 解答：解：（1）Sn=++…+=（﹣）， ∵S2=，S3=， ∴（﹣）=，（﹣）=， ∴a1=1，d=1， ∴an=n； （2）T=[log21]+[log22]+[log23]+…+[log2（2﹣1）]+[log2（2）]=[log21]+[log22]+[log23]+…+[log2（2n﹣1）]+[log2（2n）] ∵[log21]=0， [log22]=[log23]=1， … [log22m]=[log2（m+1）]=…=[log2（m+1﹣1）]=m． ∴[log21]+[log22]+[log23]+…+[log2（2n﹣1）]+[log2（2n）]=0+1×2+2×22+…+（n﹣1）?2n﹣1+n， 由S=1×2+2×22+…+（n﹣1）?2n﹣1， 则2S=1×22+2×23+…+（n﹣1）?2n， ∴﹣S=1×2+1×22+…+2n﹣1﹣（n﹣1）?2n=﹣（n﹣1）?2n， ∴S=（2﹣n）?2n﹣2 ∴T=（2﹣n）?2n﹣2+n． 点评：本题考查数列的应用，考查错位相减法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 20．已知点A（﹣2，0）和圆0：x2+y2=4，AB是圆O的直经，从左到右M、O和N依次是AB 的四等分点，P（异于A、B）是圆0上的动点，PD⊥AB，交AB于D，=，直线PA与BE交于点C． （1）求点C的轨迹曲线E的方程； （2）若点Q、R是曲线E上不同的点，且PQ、PR与曲线E相切，求△OQR面积的最小值． 考点：直线和圆的方程的应用． 专题：综合题；直线与圆． 分析：（1）由已知得B（2，0），M（﹣1，0），N（1，0），设P（x0，y0），C（x，y），则E（x0，y0），由直线PA与BE交于C，故x≠±2，，①且，②，①②相乘得点C的轨迹曲线E的方程． （2）设Q（x1，y1），R（x2，y2），设直线QR的方程为y=kx+m，直线QR的方程为，由y=kx+m 与椭圆联立，得（4k2+3）x2﹣8kmx+4m2﹣12=0，由此利用韦达定理、点到直线距离公式结合已知条件能求出△OQR面积的最小值． 解答：解：（1）∵点A（﹣2，0）和圆O：x2+y2=4，AB是圆O的直经， ∴B（2，0），∵从左到右M、O和N依次是AB的四等分点，∴M（﹣1，0），N（1，0）， 设P（x0，y0），C（x，y），则E（x0，y0）， 直线PA与BE交于C，故x≠±2，，①且，② ①②相乘得点C的轨迹曲线E的方程为．…（5分） （2）设Q（x1，y1），R（x2，y2），又因为点P（异于A，B）是圆O上的动点， 故直线QR斜率存在，设直线QR的方程为y=kx+m， 则PQ、PR的方程分别为， 所以直线QR的方程为， 比较系数，得k=﹣，m=， 即y0=，x0=﹣y0=， ∴4m2=16k2+9，③…（7分） 另一方面，由y=kx+m与椭圆联立， 得（4k2+3）x2﹣8kmx+4m2﹣12=0， 于是得x1+x2=，④，x1x2=，⑤…（9分） 因为O到QR的距离为d=， 所以△OQR的面积：S=|QR|d=|x1﹣x2|， 将③④⑤代入消去k，得S==，其中|m|=||∈[，+∞）．…（11分） ∴f（m）=在[，+∞）是减函数，于是当t=|m|=时， Smin=[f（t）]min=f（）=．…（13分） 点评：本题考查点的轨迹方程的求法，考查三角形面积的最小值的求法，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用． 21．设g（x）=ex，f（x）=g[λx+（1﹣λ）a]﹣λg（x），其中a，λ是常数，且0＜λ＜1． （1）求函数f（x）的最值； （2）证明：对任意正数a，存在正数x，使不等式|﹣1|＜a成立； （3）设λ1＞0，λ2＞0，且λ1+λ2=1，证明：对任意正数a1a2都有a1a2≤λ1a1+λ2a2． 考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性． 专题：导数的概念及应用． 分析：（1）首先对函数求导并令导数等于0，解出x的值，研究单调性，求出最值． （2）由，当x＞0时为正，可将原不等式化为ex﹣（1+a）x﹣1＜0，令g（x）=ex﹣（1+a）x﹣1，利用导数研究此函数的极值，从而得出存在正数x=ln（a+1），使原不等式成立． （3）主要还是借助于指数运算的知识构造出能够利用（1）的结论，变成两个函数（值）间的大小比较，从而最终化为函数的单调性问题． 解答：解：（1）∵f′（x）=λg[λx+（1﹣λ）a]﹣λg′（x）， 由f′（x）＞0得，g[λx+（1﹣λ）a]＞g′（x）， ∴λx+（1﹣λ）a＞x，即（1﹣λ）（x﹣a）＜0，又因为0＜λ＜1，所以x＜a， 故当x＜a时，f′（x）＞0；当x＞a时，f′（x）＜0；所以原函数在（﹣∞，a）递增，在（a，+∞）递减 ∴当x=a时，f（x）取最大值f（a）=ea． （2）∵|﹣1|=||， 又当x＞0时，令h（x）=ex﹣x﹣1，则h′（x）=ex﹣1＞0， 故h（x）＞h（0）=0， 因此原不等式化为＜a，即ex﹣（1+a）x﹣1＜0， 令g（x）=ex﹣（1+a）x﹣1，则g′（x）=ex﹣（1+a）， 由g′（x）=0得：ex=（1+a），解得x=ln（a+1）， 当0＜x＜ln（a+1）时，g′（x）＜0；当x＞ln（a+1）时，g′（x）＞0． 故当x=ln（a+1）时，g（x）取最小值g[ln（a+1）]=a﹣（1+a）ln（a+1）， 令s（a）=﹣ln（1+a），则s′（a）=． 故s（a）＜s（0）=0，即g[ln（a+1）]=a﹣（1+a）ln（a+1）＜0． 因此，存在正数x=ln（a+1），使原不等式成立． （3）对任意正数a1，a2，一定存在实数x1，x2使a1=，a2=， 则?a2=e?e，， 原不等式 ?a2≤λ1a1+λ2a2?e+≤λ1ex1+λ2ex2， ?g（λ1x1+λ2x2）≤λ1g（x1）+λ2g（x2） 由（1）f（x）≤（1﹣λ）g（a） 故g[λa+（1﹣λ）a]≤λg（x）+（1﹣λ）g（a） 令x=x1，a=x2，λ=λ1，1﹣λ=λ2 从而g（λ1x1+λ2x2）≤λ1g（x1）+λ2g（x2） 故e≤λ1ex1+λ2ex2成立， 即对任意正数a1a2都有a1a2≤λ1a1+λ2a2． 原式得证． 点评：本题主要考查学生对函数的单调性与导数的关系，函数的最值与导数的关系等知识点的理解，有一定难度，属能力题．。

舒城中学2016—2017学年度第一学期期中考试高二理数（总分：150分 时间：120分钟）命题人： 审题人：一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合要求的,请你将符合要求的项的序号填在括号内)1. 某学校为了了解高一、高二、高三这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级学生中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是 ( )(A)抽签法 (B)系统抽样法 (C)分层抽样法 (D)随机数法2. 我市去年各月的平均气温（C）数据的茎叶图如图，则这组数据的中位数 是（ ）(A)20(B)21（C ）21.5(D)223. 我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为 （ ） （A ）134石 (B)169石 （C ）338石 (D)1365石4. 若样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，10x 的方差为8，则数据121x -，221x -，⋅⋅⋅，1021x -的方差为 （ ）（A ）8 （B ）15 （C ）16 （D ）325. 已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线与直线210x y +-=平行，则m 的值为 （ ）（A ）0 (B) 8- （C ）2 (D)10 6．圆0144:221=---+y x y x C 与圆0882:222=-+++y x y x C 位置关系为( )（A ）外切 (B)相离 （C ）相交 (D)内切 7.过点(P 的直线l 与圆122=+y x 有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ）（A ）]60π，（ （B ）]30π，（ （C ）]60[π， （D ）]30[π， 8. 动点P ()b a ,在不等式组2000x y x y y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩表示的平面区域内部及边界上运动，则21b w a -=-的取值范围是（ ） （A ）),2[+∞ (B)]2,(--∞ （C）]2,2[-(D)),2[]2,(+∞⋃--∞9. 已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是 （ ）（A ）若m ∥α，n ∥α，则m ∥n （B ）若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥n0891579212268334第2题图第11题图（C ）若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α （D ）若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α10. 已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC为球O 的直径，且SC ＝2，则此三棱锥的体积为( )11.如图，已知六棱锥P ﹣ABCDEF 的底面是正六边形，PA ⊥平面ABC且12PA AB =，则下列结论不正确的是 （ ） （A ）PE ⊥AB（B ）直线PD 与平面ABC 所成的角为45° （C ）直线BC ∥平面PAD（D ）平面PBC 与平面PEF 所成二面角为120°12.设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点M ，则||||MA MB +的取值范围是（ ）（A） （B） （C） （D ） 二.填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,请你将正确的答案填在空格处)13．抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下表所示. 则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的标准差为________. 14. 执行如图的程序框图，则输出S 的值为 .15. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .16. 已知AB 为圆221x y +=的一条直径，点P 为直线20x y -+=上任意一点，则PA PB ⋅的最小值为 .三.解答题(本大题共6小题,共70分.请你注意解答本题时,一定要详细地写出文字说明、证第15题图第18题图第20题图明过程及演算步骤等)17.（本大题满分10分）已知△ABC 三个顶点坐标为(11),(22)(8,0)A B C ，-，，， （Ⅰ）过点B 作边AC 的垂线，垂足为D ，求△ABD 的面积； （Ⅱ）求ABC ∆的外接圆方程.18.(本大题满分12分) 如图，四棱锥CD P -AB ，侧面D PA 是正三角形，底面CD AB 是C 60∠AB =的菱形，M 为C P 的中点． （Ⅰ）求证：AD ‖平面PBC（Ⅱ）求证：平面PBC ⊥平面MAD ．19.(本大题满分12分)某城市居民月生活用水收费标准为2,024,2 3.510,3.5 4.5t t Wt t t t t ≤<⎧⎪≤<⎨⎪≤≤⎩（）=（t 为用水量，单位：吨；W 为水费，单位：元），从该市抽取的100户居民的月均用水量的频率分布直方图如图所示.（Ⅰ）请用频率分布直方图估计该市居民月均用水量的中位数；（Ⅱ）试估计该市居民平均水费；（Ⅲ）求样本中用水量在1.8~2.8吨之间大约有多少户居民.20.(本大题满分12分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费i x 和年销售量i y （i =1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.根据散点图判断，y a =+y 关于年宣传费x 的回归方程类型，以下是相关数据的预处理.表中i w = ，w =1881i i w =∑.第19题图 第19题图题图（Ⅰ）根据表中数据，建立y关于x的回归方程；（Ⅱ）已知这种产品的年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x.根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：(ⅰ)年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？(ⅱ)年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？附：对于一组数据11(,)u v,22(,)u v，……，(,)n nu v,其回归直线v uαβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：121()()=()ni iiniiu u v vu uβ==---∑∑，=v uαβ-.21.(本大题满分12分)如图，直三棱柱111C CAB-A B中，D，E分别是AB，1BB的中点，1C C2AA=A=B=AB．（Ⅰ）求异面直线1CB和1DA所成角的大小；（Ⅱ）求二面角1E A C D--的正弦值．22.(本大题满分12分)已知过点D(1,的动直线l与圆C：22(3)(25x y-+-=相交于,M N两点，线段MN的中点为P．（Ⅰ）求点P的轨迹E方程；（Ⅱ）点Q在函数2y x=图像上，O是坐标原点，过点(1,0)作OQ的平行线交曲线E于点,A B，求ABC∆面积的取值范围.。

2015-2016学年安徽省六安市舒城县晓天中学高二（上）期中数学试卷一.选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1．某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点．公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为②．则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是( )A．分层抽样法，系统抽样法B．分层抽样法，简单随机抽样法C．系统抽样法，分层抽样法D．简单随机抽样法，分层抽样法2．已知点A（1，2），B（3，1），则线段AB的垂直平分线的方程是( )A．4x+2y=5 B．4x﹣2y=5 C．x+2y=5 D．x﹣2y=53．在10件同类产品中，其中8件为正品，2件为次品．从中任意抽出3件的必然事件是( ) A．3件都是正品B．至少有1件是次品C．3件都是次品D．至少有1件是正品4．某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用下面的条形图表示．根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为( )A．0.6小时B．0.9小时C．1.0小时D．1.5小时5．直线xcosθ+ysinθ+a=0与xsinθ﹣ycosθ+b=0的位置关系是( )A．平行 B．垂直C．斜交 D．与a，b，θ的值有关6．阅读右边程序：如果输入x=﹣2，则输出结果y为( )A．3+π B．3﹣πC．π﹣5 D．﹣π﹣57．某单位业务人员、管理人员、后勤服务人员人数之比依次为15：3：2．为了了解该单位职员的某种情况，采用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中业务人员人数为30，则此样本的容量n为( )A．20 B．30 C．40 D．808．阅读如图所示的程序框图，若输入的a，b，c分别为21，32，75，则输出的a，b，c分别是( )A．75，21，32 B．21，32，75 C．32，21，75 D．75，32，219．已知x与y之间的一组数据：x 1 2 3 4y 1 3 5 7则y与x的线性回归方程=bx+a必过( )A．（2，3） B．（2.5，3.5） C．（3，5） D．（2.5，4）10．已知直线y=x+b的横截距在范围内，则直线在y轴上的截距b大于1的概率是( ) A．B．C．D．11．如果实数x，y满足等式（x﹣2）2+y2=3，那么的最大值是( )A．B．C．D．12．已知ab＜0，bc＜0，则直线ax+by=c通过( )A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限二．填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分）13．某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆、6000辆和2000辆，为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取__________辆、__________辆、__________辆．14．已知点A（2，3），B（﹣3，﹣2），若直线l过点P（1，1）与线段AB相交，则直线l 的斜率k的取值范围是__________．15．已知算法如下：若输入变量n的值为3，则输出变量s的值为__________；若输出变量s的值为30，则输入变量n的值为__________．16．已知圆x2+y2=r2在曲线|x|+|y|=4的内部（含边界），则半径r的范围是__________．17．下列四个有关算法的说法中，正确的是__________．（要求只填写序号）（1）算法的各个步骤是可逆的；（2）算法执行后一定得到确定的结果；（3）解决某类问题的算法不是唯一的；（4）算法一定在有限多步内结束．三．解答题（本大题共5小题）18．（13分）从1，2，3，4，5，6这6个数字中，任取2个数字相加，其和为偶数的概率是多少？19．（13分）某高校在2011年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如图所示．（Ⅰ）请先求出频率分布表中①、②位置相应的数据，完成频率分布直方图；（Ⅱ）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？组号分组频数频率第1组[160，165） 5 0.050第2组[165，170）①0.350第3组[170，175）30 ②第4组[175，180）20 0.200第5组10 0.100合计100 1.0020．（13分）一个袋子中有红、白、蓝三种颜色的球共24个，除颜色外其他特征完全相同，已知蓝色球3个．若从袋子中随机取出1个球，取到红色球的概率是．（1）求红色球的个数；（2）若将这三种颜色的球分别进行编号，并将1号红色球，1号白色球，2号蓝色球和3号蓝色球这四个球装入另一个袋子中，甲乙两人先后从这个袋子中各取一个球（甲先取，取出的球不放回），求甲取出的球的编号比乙大的概率．21．（13分）设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1，在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线l：x﹣2y=0的距离最小的圆的方程．22．（13分）已知直线l：（a﹣2）y=（3a﹣1）x﹣1（1）求证：不论实数a取何值，直线l总经过一定点．（2）为使直线不经过第二象限，求实数a取值范围．（3）若直线l与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最大，求l的方程．2015-2016学年安徽省六安市舒城县晓天中学高二（上）期中数学试卷一.选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1．某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点．公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为②．则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是( )A．分层抽样法，系统抽样法B．分层抽样法，简单随机抽样法C．系统抽样法，分层抽样法D．简单随机抽样法，分层抽样法【考点】分层抽样方法；系统抽样方法．【专题】应用题．【分析】此题为抽样方法的选取问题．当总体中个体较少时宜采用简单随机抽样法；当总体中的个体差异较大时，宜采用分层抽样；当总体中个体较多时，宜采用系统抽样．【解答】解：依据题意，第①项调查中，总体中的个体差异较大，应采用分层抽样法；第②项调查总体中个体较少，应采用简单随机抽样法．故选B．【点评】本题考查随机抽样知识，属基本题型、基本概念的考查．2．已知点A（1，2），B（3，1），则线段AB的垂直平分线的方程是( )A．4x+2y=5 B．4x﹣2y=5 C．x+2y=5 D．x﹣2y=5【考点】直线的点斜式方程；两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系；中点坐标公式．【专题】计算题．【分析】先求出中点的坐标，再求出垂直平分线的斜率，点斜式写出线段AB的垂直平分线的方程，再化为一般式．【解答】解：线段AB的中点为，k AB==﹣，∴垂直平分线的斜率 k==2，∴线段AB的垂直平分线的方程是 y﹣=2（x﹣2）⇒4x﹣2y﹣5=0，故选B．【点评】本题考查两直线垂直的性质，线段的中点坐标公式，以及用直线方程的点斜式求直线方程的求法．3．在10件同类产品中，其中8件为正品，2件为次品．从中任意抽出3件的必然事件是( ) A．3件都是正品B．至少有1件是次品C．3件都是次品D．至少有1件是正品【考点】随机事件．【分析】本题主要考查事件的分类，随机事件、必然事件、不可能事件是事件的分类，抓住事件的特征，就可以分析清楚．【解答】解：因次品共2件，而要抽三件产品，故抽出的3件中至少有1件为正品．故选D【点评】必然事件是一定会发生的事件，在题目答案中A和B答案是随机事件，C是不可能事件，分析事件是解决概率问题的关键．4．某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用下面的条形图表示．根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为( )A．0.6小时B．0.9小时C．1.0小时D．1.5小时【考点】频率分布直方图．【专题】计算题．【分析】根据样本的条形图可知，将所有人的学习时间进行求和，再除以总人数即可．【解答】解：==0.9，故选B．【点评】本小题主要考查样本的条形图的知识和分析问题以及解决问题的能力，属于基础题．5．直线xcosθ+ysinθ+a=0与xsinθ﹣yco sθ+b=0的位置关系是( )A．平行 B．垂直C．斜交 D．与a，b，θ的值有关【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．【专题】分类讨论．【分析】当这两条直线中有一条斜率不存在时，检验他们的位置关系式垂直关系．当它们的斜率都存在时，求出他们的斜率，发现斜率之积等于﹣1，两条直线垂直．【解答】解：当cosθ=0或sinθ=0时，这两条直线中，有一条斜率为0，另一条斜率不存在，两条直线垂直．当cosθ和sinθ都不等于0时，这两条直线的斜率分别为﹣和tanθ，显然，斜率之积等于﹣1，故两直线垂直．综上，两条直线一定是垂直的关系，故选 B．【点评】本题考查两条直线垂直的条件是斜率之积等于﹣1，或者它们的斜率中一个等于0，而另一个不存在．体现了分类讨论的数学思想．6．阅读右边程序：如果输入x=﹣2，则输出结果y为( )A．3+π B．3﹣πC．π﹣5 D．﹣π﹣5【考点】伪代码．【专题】图表型．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出分段函数 y=的函数值．结合题中条件：输入x=﹣2，求出输出结果即可．【解答】解：当x=﹣2时，满足判断框中的条件x＞0，执行：y==3﹣π，输出3﹣π故选B．【点评】本题考查解决程序框图的选择结构时，关键是判断出输入的值是否满足判断框中的条件．7．某单位业务人员、管理人员、后勤服务人员人数之比依次为15：3：2．为了了解该单位职员的某种情况，采用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中业务人员人数为30，则此样本的容量n为( )A．20 B．30 C．40 D．80【考点】分层抽样方法．【专题】概率与统计．【分析】根据分层抽样的定义，建立比例关系即可得到结论．【解答】解：∵业务人员、管理人员、后勤服务人员人数之比依次为15：3：2，∵样本中业务人员人数为30，∴，解得n=40，故选：C．【点评】本题主要考查分层抽样的定义，建立比例关系是解决本题的关键．8．阅读如图所示的程序框图，若输入的a，b，c分别为21，32，75，则输出的a，b，c分别是( )A．75，21，32 B．21，32，75 C．32，21，75 D．75，32，21【考点】设计程序框图解决实际问题．【专题】操作型．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是按顺序交换变量a，b，c的值．模拟程序的执行过程，易得答案．【解答】解：由流程图知，a赋给x，x赋给b，所以a的值赋给b，即输出b为21，c的值赋给a，即输出a为75．b的值赋给a，即输出c为32．故输出的a，b，c的值为75，21，32故选A【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．9．已知x与y之间的一组数据：x 1 2 3 4y 1 3 5 7则y与x的线性回归方程=bx+a必过( )A．（2，3） B．（2.5，3.5） C．（3，5） D．（2.5，4）【考点】线性回归方程．【专题】计算题；概率与统计．【分析】先利用数据平均值的公式求出x，y的平均值，以平均值为横、纵坐标的点在回归直线上．【解答】解：∵=（1+2+3+4）=2.5，=（1+3+5+7）=4，∴线性回归方程=a+bx所表示的直线必经过点（2.5，4）故选：D【点评】解决线性回归直线的方程，应该利用最小二乘法推得的公式求出直线的截距和斜率，注意由公式判断出回归直线一定过样本中心点．10．已知直线y=x+b的横截距在范围内，则直线在y轴上的截距b大于1的概率是( ) A．B．C．D．【考点】几何概型．【专题】计算题．【分析】求出所有的基本事件构成的区间长度；再求出“直线在y轴上的截距大于1”构成的区间长度，利用几何概型概率公式求出事件的概率．【解答】解：所有的基本事件构成的区间长度为 3﹣（﹣2）=5，∵直线在y轴上的截距b大于1，∴直线横截距小于﹣1，∴“直线在y轴上的截距b大于1”包含的基本事件构成的区间长度为﹣1﹣（﹣2）=1，由几何概型概率公式得直线在y轴上的截距b大于1的概率为P=故选A．【点评】几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据P=求解．11．如果实数x，y满足等式（x﹣2）2+y2=3，那么的最大值是( )A．B．C．D．【考点】简单线性规划．【专题】转化思想．【分析】表示圆上动点与原点O连线的斜率，画出满足等式（x﹣2）2+y2=3的图形，由数形结合，我们易求出的最大值．【解答】解：满足等式（x﹣2）2+y2=3的图形如图所示：表示圆上动点与原点O连线的斜率，由图可得动点与B重合时，此时OB与圆相切，取最大值，连接BC，在Rt△OBC中，BC=，OC=2易得∠BOC=60°此时=故选D【点评】本题考查的知识点是简单线性规划，分析出表示圆上动点与原点O连线的斜率，是解答本题的关键．12．已知ab＜0，bc＜0，则直线ax+by=c通过( )A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限【考点】确定直线位置的几何要素．【专题】计算题．【分析】把直线的方程化为斜截式，判断斜率及在y轴上的截距的符号，从而确定直线在坐标系中的位置．【解答】解：直线ax+by=c 即 y=﹣ x+，∵ab＜0，bc＜0，∴斜率 k=﹣＞0，直线在y轴上的截距＜0，故直线第一、三、四象限，故选C．【点评】本题考查直线方程的斜截式，由斜率和在y轴上的截距确定直线在坐标系中的位置的方法．二．填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分）13．某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆、6000辆和2000辆，为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取6辆、30辆、10辆．【考点】分层抽样方法．【专题】计算题．【分析】由题意先求出抽样比例即为，再由此比例计算出在三种型号的轿车抽取的数目．【解答】解：因总轿车数为9200辆，而抽取46辆进行检验，抽样比例为=，而三种型号的轿车有显著区别，根据分层抽样分为三层按比例，故分别从这三种型号的轿车依次应抽取6辆、30辆、10辆．故答案为：6，30，10．【点评】本题的考点是分层抽样，即保证样本的结构和总体的结构保持一致，按照一定的比例样本容量和总体容量的比值，在各层中进行抽取．14．已知点A（2，3），B（﹣3，﹣2），若直线l过点P（1，1）与线段AB相交，则直线l 的斜率k的取值范围是k≤，或k≥2．【考点】直线的斜率．【专题】直线与圆．【分析】画出图形，由题意得所求直线l的斜率k满足k≥k PB或k≤k PA，用直线的斜率公式求出k PB和k PA的值，求出直线l的斜率k的取值范围．【解答】解：如图所示：由题意得，所求直线l的斜率k满足k≥k PB或k≤k PA，即k≥=，或k≤=2，∴k≤，或k≥2，即直线的斜率的取值范围是k≤，或k≥2．故答案为：k≤，或k≥2．【点评】本题考查直线的斜率公式的应用，体现了数形结合的数学思想，解题的关键是利用了数形结合的思想，解题过程较为直观，本题类似的题目比较多．可以移动一个点的坐标，变式出其他的题目．15．已知算法如下：若输入变量n的值为3，则输出变量s的值为12；若输出变量s的值为30，则输入变量n的值为5．【考点】循环语句．【专题】图表型．【分析】根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是累加并输出S=0+2×1+2×2+2×3+…+2n的值【解答】解：根据流程图所示的顺序，该程序的作用是累加并输出S=0+2×1+2×2+2×3+…+2n，若输入变量n的值为3，则输出变量s的值为S=0+2×1+2×2+2×3=12；若输出变量s的值为30，由于0+2×1+2×2+2×3+…+2n=30，得到n=5，则输入变量n的值为5故答案为：12；5．【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．16．已知圆x2+y2=r2在曲线|x|+|y|=4的内部（含边界），则半径r的范围是（0，2]．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；数形结合；转化思想；直线与圆．【分析】画出图形，利用已知条件列出关系式，求解即可．【解答】解：如图，曲线C：|x|+|y|=4为正方形ABCD，∵圆x2+y2=r2在曲线C的内部（含边界）．直线BC方程为：x﹣y=4，|OM|==．∴0＜r≤|OM|=2．故答案为：（0，2]．【点评】本题考查圆的方程的应用，直线与圆的位置关系，考查计算能力．17．下列四个有关算法的说法中，正确的是（2）（3）（4）．（要求只填写序号）（1）算法的各个步骤是可逆的；（2）算法执行后一定得到确定的结果；（3）解决某类问题的算法不是唯一的；（4）算法一定在有限多步内结束．【考点】算法的概念．【专题】阅读型；分析法；算法和程序框图．【分析】由算法的概念可知：算法是不唯一的，有限步，结果明确性，每一步操作明确的，即可判断①②③④是正误．【解答】解：由算法的概念可知：求解某一类问题的算法不是唯一的，算法的各个步骤是不可逆的，所以①不正确．算法的概念可知：算法是不唯一的，有限步，结果明确性，②③④是正确的．故答案为：（2）（3）（4）．【点评】本题考查了算法的概念，解决问题最直接的方法就是明确概念，是个基础题．三．解答题（本大题共5小题）18．（13分）从1，2，3，4，5，6这6个数字中，任取2个数字相加，其和为偶数的概率是多少？【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】概率与统计．【分析】从1，2，3，4，5，6这6个数字中，任取2个数字相加，先求出基本事件总数，再求出其和为偶数包含的基本事件的个数，由此能求出其和为偶数的概率．【解答】解：从1，2，3，4，5，6这6个数字中，任取2个数字相加，基本事件总数=15，其和为偶数包含的基本事件的个数：m=+=6，∴其和为偶数的概率p===．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．19．（13分）某高校在2011年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如图所示．（Ⅰ）请先求出频率分布表中①、②位置相应的数据，完成频率分布直方图；（Ⅱ）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？组号分组频数频率第1组[160，165） 5 0.050第2组[165，170）①0.350第3组[170，175）30 ②第4组[175，180）20 0.200第5组10 0.100合计100 1.00【考点】频率分布直方图；分层抽样方法．【专题】概率与统计．【分析】（Ⅰ）根据频率分布表计算相应的人数和频率即可完成频率分布直方图；（Ⅱ）根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）由题可知，第2组的频数为0.35×100=35人，第3组的频率为，频率分布直方图如图所示：（Ⅱ）因为第3、4、5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组分别为：第3组：×6=3人，第4组×6=2人，第5组：×6=1人，所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人．【点评】本题主要考查分层抽样和频率分布直方图的应用，根据条件建立比例关系是解决此类问题的基本方法，比较基础．20．（13分）一个袋子中有红、白、蓝三种颜色的球共24个，除颜色外其他特征完全相同，已知蓝色球3个．若从袋子中随机取出1个球，取到红色球的概率是．（1）求红色球的个数；（2）若将这三种颜色的球分别进行编号，并将1号红色球，1号白色球，2号蓝色球和3号蓝色球这四个球装入另一个袋子中，甲乙两人先后从这个袋子中各取一个球（甲先取，取出的球不放回），求甲取出的球的编号比乙大的概率．【考点】概率的意义；古典概型及其概率计算公式．【专题】计算题．【分析】（1）首先设出红色球的个数，根据从袋子中随机取出1个球，取到红色球的概率是，列出关于x的关系式，使它等于取到红球的概率，解出x的值．（2）本题是一个古典概型，试验发生包含的所有的基本事件和满足条件的事件，都可以通过列举法得到结果数，再根据古典概型概率公式得到结果．【解答】解：（1）设红色球有x个，依题意得=，解得x=4，∴红色球有4个．（2）由题意知本题是一个古典概型试验发生包含的所有的基本事件有（红1，白1），（红1，蓝2），（红1，蓝3），（白1，红1），（白1，蓝2），（白1，蓝3），（蓝2，红1），（蓝2，白1），（蓝2，蓝3），（蓝3，红1），（蓝3，白1），（蓝3，蓝2），共有12个．满足条件的事件包含的基本事件有（蓝2，红1），（蓝2，白1），（蓝3，红1），（蓝3，白1），（蓝3，蓝2）共5个，∴P（A）=．【点评】本题考查概率的应用，考查古典概型的概率公式，考查利用列举法得到试验发生包含的事件和满足条件的事件数，本题是一个典型题目．21．（13分）设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1，在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线l：x﹣2y=0的距离最小的圆的方程．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】压轴题．【分析】圆被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1，劣弧所对的圆心角为90°，设圆的圆心为P（a，b），圆P截X轴所得的弦长为，截y轴所得弦长为2；可得圆心轨迹方程，圆心到直线l：x﹣2y=0的距离最小，利用基本不等式，求得圆的方程．【解答】解法一：设圆的圆心为P（a，b），半径为r，则点P到x轴，y轴的距离分别为|b|，|a|．由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90°，知圆P截X轴所得的弦长为，故r2=2b2，又圆P截y轴所得的弦长为2，所以有r2=a2+1．从而得2b2﹣a2=1．又点P（a，b）到直线x﹣2y=0的距离为，所以5d2=|a﹣2b|2=a2+4b2﹣4ab≥a2+4b2﹣2（a2+b2）=2b2﹣a2=1，当且仅当a=b时上式等号成立，此时5d2=1，从而d取得最小值．由此有解此方程组得或由于r2=2b2知．于是，所求圆的方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，或（x+1）2+（y+1）2=2．解法二：同解法一，得∴得①将a2=2b2﹣1代入①式，整理得②把它看作b的二次方程，由于方程有实根，故判别式非负，即△=8（5d2﹣1）≥0，得5d2≥1．∴5d2有最小值1，从而d有最小值．将其代入②式得2b2±4b+2=0．解得b=±1．将b=±1代入r2=2b2，得r2=2．由r2=a2+1得a=±1．综上a=±1，b=±1，r2=2．由|a﹣2b|=1知a，b同号．于是，所求圆的方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，或（x+1）2+（y+1）2=2．【点评】本小题主要考查轨迹的思想，求最小值的方法，考查综合运用知识建立曲线方程的能力．易错的地方，P到x轴，y轴的距离，不能正确利用基本不等式．22．（13分）已知直线l：（a﹣2）y=（3a﹣1）x﹣1（1）求证：不论实数a取何值，直线l总经过一定点．（2）为使直线不经过第二象限，求实数a取值范围．（3）若直线l与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最大，求l的方程．【考点】直线的一般式方程．【专题】综合题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】（1）直线l方程可整理为：a（3x﹣y）+（﹣x+2y﹣1）=0，由直线系的知识联立方程组，解方程组可得定点；（2）把直线转化为y=x﹣，由直线不经过第二象限，得到x的系数不小于0，且常数不大于0，由此能求出实数m的取值范围，（3）由题意可得a的范围，分别令x=0，y=0可得相应的截距，可表示面积，由二次函数的知识可得结论．【解答】解：（1）直线l方程可整理为：a（3x﹣y）+（﹣x+2y﹣1）=0，联立，解得，∴直线恒过定点（，）；（2）∵（a﹣2）y=（3a﹣1）x﹣1，∴y=x﹣，∵直线不经过第二象限，∴，解得a＞2．∴实数m的取值范围是（a，+∞）；（3）由题意可知直线的斜率k=＜0，解得＜a＜2，令y=0可得x=，令x=0可得y=．∴S△=•|•|=||，由二次函数的知识可知，当时a=，三角形面积最大，此时l的方程为：5y+15x﹣6=0．【点评】本题考查直线方程过定点的证明，考查直线不过第二象限时参数的取值范围的求法涉及函数最值的求解，属中档题．。

安徽省舒城中学09－1上学期高二期中考试（数学文）一、 单项选择题（每题5分，计60分）1.命题“若,12<x 则11<<-x ”的逆否命题是A.若,12≥x 则,1≥x 或1-≤x B.若.11<<-x 则12<xC.若1,112>-<>x x x 或D.1,112≥-≤≥x x x 则或若2.有下列命题：①面积相等的三角形是全等三角形.②."0||||,0"的逆命题则若=+=y x xy ③”的否命题则“若c b c a b a +>+>,.④ “矩形的对角线互相垂直”的逆否命题.其中真命题的个数有A.1个B. 2个C.3个D.4个 3．"tan α=是4πα=“”的 A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 4.若函数a ax x f 213)(-+=在)1,1(-上存在零点，则a 的取值范围是A.511<<-a B.51>a C. 1-<a D.511>-<a a 或5.已知正三角形ABC 的边长为a ，那么ABC ∆的直观图（斜二测画法）'''C B A ∆的面积是A.2166aB. 286aC. 283aD. 243a 6.若一个长方体有相同顶点的三个面的面积分别是632、、.则这个长方体的对角线长是 A.32 B.23 C.6 D.67.如图是一个几何体的三视图.根据图中的数据，可得该几何体的表面积是A. π9B. π10C. π11D. π12 8. 下列命题中正确的个数是① 若直线l 上有无数个点不在平面α内，则α//l .② 若直线l 与平面α平行，则直线l 与平面α内的任意一条直线都平行.③ 如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行. ④ 若直线l 与平面α平行，则直线l 与平面α内的任意一条直线都没有交点. A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 9. 平面α与平面β平行的条件可以是A.α内有无穷多条直线都与β平行B.直线βα//,//a a ，且直线a 不在α与β内C.直线,α⊂a 直线,//,//b b a βαβ⊂且D. α内的任何直线都与β平行. 10.下列命题错误的是A.如果平面⊥α平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β正视图侧视图俯视图B.如果平面⊥α平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βC.如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD.如果平面⊥α平面γ，平面⊥γ平面β，,l =⋂βα那么γ⊥l11.已知n m ,是两条不同直线，βα,是两个不同平面，下列命题中的真命题是A.若.//.//,,βαβα则n m n m ⊂⊂B.若.//.//,,n m n m 则βαβα⊂⊂C.若.//,,//,,n m n m n m 共面，则且βαβα⊂⊂D.若.,,,//βαβα⊥⊥⊥则n m n m12.若正方体的棱长为2，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积是A.62 B. 32 C. 33 D. 32 二.填空题（每题4分，计16分）13.命题“对01,23≤+-∈∀x x R x ”的否定是 .14.过ABC ∆所在平面α外一点P ，作α⊥PO 于O .连接PC PB PA 、、.若PC PB PA ==,则点O 是ABC ∆的 心.15.设命题P ：1|34|≤-x ，命题Q ：0)1()12(2≤+++-a a x a x .若P ⌝是Q ⌝的必要非充分条件，则实数a 的取值范围是 .16.若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的体积是 . 三.解答题（第17-21，每题12分.第22题14分）17.已知关于x 的方程R a x a x a ∈=-++-,04)2()1(2.求方程有两个正根的充要条件.18.设p ：关于x 的不等式1>xa 的解集是),0(+∞.q ：函数)lg(2a x ax y +-=的定义域是R.如果“p 或q ”是真命题，“p 且q ”是假命题，求实数a 的取值范围.19.如图是一个棱长为1的无盖正方体盒子的平面展开图.A 、B 、C 、D 为其上四个点.求以A 、B 、C 、D 为顶点的三棱锥的体积.图所示，已知正方体''''D C B A ABCD -C A'（Ⅰ）哪些棱所在直线与直线'AA 垂直； （Ⅱ）求直线AC 与'DC 所成角的大小；（Ⅲ）求直线'AC 与底面ABCD 所成角的正切值.21.如图所示，P CD ,=⋂βα为二面角内部一点.βα⊥⊥PB PA ,,垂足分别为A 、B. （Ⅰ）判断直线AB 与CD 的位置关系，并证明你的结论； （Ⅱ）若PAB ∆为等边三角形，求二面角βα--CD 的大小；22.如图所示，⊥PA 矩形ABCD 所在平面.22,2===CD PA AD ,E 、F 分别是AB 、PD 的中点。

舒城中学2015——2016学年度第一学期期中考试高二文科数学一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）．１．空间可以确定一个平面的条件是( )A ．两条直线B ．一点和一直线C ．一个三角形D ．三个点２．直线5x-2y-10=0在x 轴上的截距为a,在y 轴上的截距为b,则（ ）A ．a=2，b=5B ．a=2，b=－5C ．a=－2，b=5D ．a=－2，b=－5 ３．点(0，0)和点(-1，1)在直线2x+y+m=0的同侧，则m 的取值范围是( )A ．m ＞1或m ＜0B ．m ＞2或m ＜1C ．0＜m ＜1D ．1＜m ＜2 ４．满足||||2x y ≤的整点（横、纵坐标为整数）的个数是（ ）Ａ．11Ｂ．12 Ｃ．13 Ｄ．14 ５．圆x 2＋y 2－2x ＝0与圆x 2＋y 2－2x －6y －6＝0的位置关系是( ) A ．相交 B ．相离 C ．外切 D ．内切６．在空间直角坐标系中，点B 是A (1,2,3)在yOz 坐标平面内的射影，O 为坐标原点，则|OB |等于 ( )A ．14B ．13C ．2 3D ．11 ７．已知两条直线m ，n ，两个平面α，β，下面四个命题中不正确的是( )A ．n ⊥α，α∥β，m ⊂β⇒n ⊥mB ．α∥β，m ∥n ，m ⊥α⇒n ⊥βC ．m ⊥α，m ⊥n ，n ⊥β⇒α⊥βD ．m ∥n ，m ∥α⇒n ∥α８．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．2π＋2 3B ．4π＋2 3C ．2π＋233D ．4π＋23310．若a 2＋b 2＝2c 2(c ≠0)，则直线ax ＋by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝1所截得的弦长为( )11．已知,x y 满足约束条件,03440x x y y ≥⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩则222x y x ++的最小值是（ ）A ．25B 1C ．2425D ．1 12．若曲线C 1：x 2＋y 2－2x ＝0与曲线C 2：y (y －mx －m )＝0有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，33 C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞ 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共20分）．13．已知A(3，2，1),B(1，－2，5),则线段AB 中点坐标为 ．14．若直线ax+（1﹣a ）y=3与（a ﹣1）x+（2a+3）y=2互相垂直，则a 等于 ．15．已知两点A(-1,0),B(0,2),点C 是圆22(1)1x y -+=上任意一点，则△ABC 面积的最小值是__________ ．三．解答题(本大题共6小题，共70分，)17．（本小题满分10分）叙述并用坐标法证明余弦定理18．（本小题满分12分）一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个三棱柱的表面积和体积.19．（本小题满分12分）如图，直角梯形ABCD 中，1,2AB CD AB CD =P ,AB BC ⊥,平面ABCD ⊥平面BCE ,BCE ∆为等边三角形，,M F 分别是,BE BC 的中点，14DN DC =点N 在线段CD 上,. (1)证明：MN P 平面ADE ;(2)若1,2AB BC ==,求几何体ABCDE 的体积.20．（本小题满分12分）已知圆心为C 的圆经过A （1，1）和B （2，﹣2），且圆心C 在直线l ：x ﹣y+1=0上（1）求圆心为C 的圆的标准方程；（2）线段PQ 的端点P 的坐标是（5，0），端点Q 在圆C 上运动，求线段PQ 中点M 的轨迹方程．,21．（本小题满分12分）某家具厂有方木料90 m 3，五合板600 m 2，准备加工成书桌和书橱出售.已知生产每张书桌需要方木料0.1 m 3、五合板2 m 2；生产每个书橱需要方木料0.2 m 3、五合板1 m 2.出售一张书桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元. 怎样安排生产可使所得利润最大22．（本小题满分12分）已知圆C 的方程为066222=--++y x y x ，O 为坐标原点.（1）若圆C 上有两点Q P 、关于直线04=++my x 对称，并且满足7-=⋅OQ OP ，求m 的值和直线PQ 的方程；（2）过点)3,2(N 作直线与圆C 交于B A 、两点，求ABC ∆的最大面积以及此时直线AB 的斜率.。