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邹见效第4章线性系统根轨迹法

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自动控制原理第第四章 线性系统的根轨迹法

自动控制原理第第四章 线性系统的根轨迹法

2
自动控制原理
§4.1 根轨迹的基本概念
例：开环传递函数
Gs
k1
ss
a
开环系统两个极点为：P1 0, P2 a R(s)
闭环传递函数为:
GB s
s2
k1 as
k1
-
k1
C(s)
ss a
闭环特征方程： s2 as k1 0
闭环特征根：s1,2
a 2
a 2
2
k1
（闭环极点）
3
自动控制原理
在p5附近取一实验点sd， 则∠sd-p5可以认为是p5点的出射角 Sd Z Sd P1 Sd P2 Sd P3 Sd P4 Sd P5 1800
近似为 P5 Z P5 P1 P5 P2 P5 P3 P5 P4 p 1800
p Sd P5 1800
法则4 实轴上存在根轨迹的条件——
这些段右边开环零极点个数之和为奇
数。
m
n
证明：根据相角条件 S Z j S Pi 18002q 1
j 1
i 1
p4
j s平面
例：sd为实验点
p3
z2 sd
p2 z1 p1
p5
① 实验点sd右侧实 轴上零极点提供 1800相角
③ 共轭复零点，复极点提供的相角和为 3600。
2
s1=-1.172，s2＝-6.828
33
自动控制原理
法则6 开环复数极点处根轨迹出射角为
p 1800
开环复数零点处根轨迹入射角为：
Z 1800
其中 z p（不包括本点）
34
自动控制原理
j p5
p5
p3 p3
p2

第四章 习题及参考答案.doc

第四章 习题及参考答案.doc

解⑴G(s)= 第四章线性系统的根轨迹法4-3单位反馈系统的开环传递函数如下，试概略绘出系统根轨迹。

⑴ G3)= s(0.2s + l)(0.5s +1)K 10Ks(0.2s + l)(0.5s +1) = s(s + 5)(s + 2)系统有三个开环极点：0 =0,P2 =-2,，3 =-5 实轴上的根轨迹：[—2,0]炊、己心0-2-5 7 (2k +1)71；■勿①渐近线：——= 一牙仁= -------；-- =±^，石%1分离点：j + £? + £ = °解得：％= 一°・88，d2 - 3.7863 (舍)%1与虚轴的交点：特征方程为D(s)= s 3 + 7s 2 + 10s + 10K = 0 J Re[D(jd))] = -7a)2 + 10K = 0 \(o = V10令[Im[D(ja))] = -a)3 + 10fi? = 0 解得[K = 7与虚轴的交点(0, +710j)o根轨迹如图解4-3 (1)所示。

图4-3 (1)K*(s + 2)⑴ G(s) =⑴(s + i + 〃)(s + l 一以)解:①实轴上的根轨迹：(-00-2]1 1 1②分离点：d + 1 + j2+ d + l-j2 = d + 2解之得：=-4.23③起始角：° PI = 180。

+ 63.435 -90 =153.43°,另一起始角由对称性得：-153.43°。

图4-4 (1)4-5已知单位反馈系统的开环传递函数G(s),要求：(2)确定G(s)= “EK：：、、产生纯虚根为±顶1的z值和K*值S十_LV八S 十)解(2)闭环特征方程：D(s) = $2 (s + 10)(s + 20) + K* (s + z)=s4 + 30s3 + 200s2 + K*s + K*Z = 0有：D(j(o) = 3 一200妒 + K*Z)+ - 30切3)=0刃4 -200妒+矿々=0令实、虚部分别等于零即：如•勿-30妒=0把刃=1 代入得：K*=30, z = 199/30。

第4章线性系统的根轨迹法(4-1) 自动控制理论 课件

第4章线性系统的根轨迹法(4-1) 自动控制理论 课件
利用根轨迹法，可以：
分析系统的性能
确定系统的结构和参数
校正装置的综合
第四章 线性系统的根轨迹法
第四章 线性系统的根轨迹法
第四章 线性系统的根轨迹法
特征根为： s1,21 12K
[讨论]： ① 当K=0时，s1=0,s2=-2,
是开环传递函数的极点 ② 当K=0.32时，s1=-0.4,s2=-1.6 ③ 当K=0.5时，s1=-1,s2=-1 ④ 当K=1时，s1=-1+j,s2=-1-j
青海大学化工学院
第四章 线性系统的根轨迹法
Email：shi-yubao@
主讲：师玉宝
Tel：0971-5310424
第四章 线性系统的根轨迹法
第四章 线性系统的根轨迹法
本章主要内容
根轨迹的基本概念 根轨迹的绘制方法
第四章 线性系统的根轨迹法
4-1 根轨迹法的基本概念
我们知道，闭环系统的稳定性取决于闭环系统的极点分布， 其它性能取决于其零极点分布。因此，可以用系统的零极点分 布来间接地研究控制系统的性能。W.R.伊文思提出了一种在复 平面上由开环零极点确定闭环零极点的图解方法—根轨迹法。 将系统的某一个参数（比如开环放大系数）的全部值与闭环特 征根的关系表示在一张图上。
⑤ 当K=5时，s1=-1+3j,s2=-1-3j
⑥ 当K=∞时，s1=-1+∞j,s2=-1-∞j
K5
K1
j1
K0
1K0
2 0 j1
第四章 线性系统的根轨迹法
可见,开环增益K从零变到无穷，可以用解析方法求出 闭环极点的全部数值。
s1,21 12K
K0
K K2.5
K1 K0
2 1

《自动控制理论(第3版)》邹伯敏课件第04章

《自动控制理论(第3版)》邹伯敏课件第04章

19
例4-2 设某负反馈系统的开环传递函数为 K0 G( s) H ( s) s( s 1)(s 5) 试绘制系统根轨迹。 解（1）起点： p1= 0、p2= 1、p3= 5。 终点：终于无穷远处 （2） 实轴上的根轨迹分布：在(0，1)和(5， )的 实轴段上。 （3）分支数：系统的根轨迹有三条分支， （4）渐近线：有三条。 n m 实轴上的交点 p j zi 01 5 j 1 i 1 a 2 nm 30
-2
60
0

方法一： 令s=jω，则
s3 + 6s 2 + 5s + K0 = 0
(jω)3 + 6(jω)2 + 5 (jω) + K0 = 0
22
(jω)3 + 6(jω)2 + 5 (jω) + K0 = 0
ω3 + 5ω = 0
0, 5
6ω2 + K0= 0
K0= 0(起点，舍去)， K0= 30 5 K0
13
规则2．对称性和分支数 对称性：根轨迹必定对称于实轴。 根轨迹的分支数： n阶系统，其闭环特征方程有n个根。当K0 从0连
续变化时，n个根将绘出有n条轨迹分支。因此根轨迹的
条数或分支数等于其闭环特征根的个数，即系统的阶数。 规则3 实轴上的根轨迹分布 实轴上的某一区域，若其右边开环实数零、极点个数之和 为奇数，则该区域必是根轨迹。 “奇是偶不是”
方法二：
s3 + 6s 2 + 5s + K0= 0 s3 s2 s1 s0 1 6 (30 K0)/6 K0
劳斯表为
当K0=30时，s1行全零，劳斯表第一列不变号，系统 存在共轭虚根。共轭虚根可由s2行的辅助方程求出： 6s 2+ K0= 0

第4章 线性系统的根轨迹法(《自动控制原理》课件)

第4章 线性系统的根轨迹法(《自动控制原理》课件)

如果用试凑的方法由相角条件来绘制根轨迹, 如果用试凑的方法由相角条件来绘制根轨迹 将会非常不方 人们利用前面介绍的几个式子, 便. 人们利用前面介绍的几个式子 导出一些绘制根轨迹的法则 利用导出的法则, 可方便地绘制出根轨迹的大至形状, 利用导出的法则 可方便地绘制出根轨迹的大至形状 叫概略根 轨迹, 轨迹 这在利用根轨迹对系统进行初步分析和设计时已基本可用 了.
(2) 当0<K<=0.25时, 一个根的绝对值随 的增大而增大 另 的增大而增大, 时 一个根的绝对值随K的增大而增大 一个根的绝对值随K的增大而减小 两根的变化轨迹如下图所示: 的增大而减小, 一个根的绝对值随 的增大而减小 两根的变化轨迹如下图所示 jω ω σ -2 -1.5 -1 0
当K=0.25时, 两根相等 均为 时 两根相等, 均为-1.5 (3) 0.25<K<+∞ 时, 两根为共軛复根 且其实部均为 两根为共軛复根, 且其实部均为-1.5 , 而 +∞ 虚部的绝对值随K的增大而增大 两根的变化轨迹如下图所示: 的增大而增大, 虚部的绝对值随 的增大而增大 两根的变化轨迹如下图所示 jω ω σ
4-2 根轨迹绘制的基本法则
本节通过一个例子, 介绍绘制根轨迹的七条法则, 本节通过一个例子 介绍绘制根轨迹的七条法则 但对法则 不予推导和证明. 不予推导和证明 需指出的是, 需指出的是 绘制根轨迹的前提是必须已知闭环系统的开环 传递函数的零点和极点的具体数值, 一般以K’为参变量 为参变量. 传递函数的零点和极点的具体数值 一般以 为参变量 某闭环系统的开环传递函数为: 例: 某闭环系统的开环传递函数为
阶数. 阶数 K叫开环系统的增益 K’叫开环系统的根轨迹增益 叫开环系统的增益, 叫开环系统的根轨迹增益, 叫开环系统的增益 叫开环系统的根轨迹增益 K与K’的本质相同 仅它们间的值有一系数关系, 即: 与 的本质相同, 仅它们间的值有一系数关系 的本质相同

第4章 线性系统的根轨迹法

第4章 线性系统的根轨迹法
根轨迹各分支连续且关于实轴对称
4.根轨迹的渐近线
渐近线与实轴的倾角： 例4-2 求下面闭环特征方程 式根轨迹的渐近线 解：
j
第
12 页
渐近线与实轴的交点：
4
5 3

1
0

第
5. 实轴上的根轨迹
实轴上某段区域右边的实数零点和实数极点总数为奇数时， 这段区域必为根轨迹的一部分
13 页
3 (k 1) 2 *
第
例2
15 页
K ( s 2) 已知系统的开环传递函数为： (s) H (s) 2 G s ( s 1)( s 4) 试绘出该系统根轨迹的渐近线
解：对于该系统有n=4，m=1，n-m=3； 三条渐近线与实轴交点位置为 1 4 2 a 1 它们与实轴正方向的交角分别是 5 0 0 60 (k 0), 180 (k 1), 600 (k 2) 3 3 我们绘出其渐近线。
K 0 5
°
0

K 35, 1.35
4-3 广义根轨迹
定义： 除根轨迹增益K*为变化参数的根轨迹 以外，其他情形下的根轨迹统称为广义根 轨迹。通常，将负反馈系统中K* 变化时的 根轨迹称为常规根轨迹。
第
25 页
参数根轨迹
第
26 页
以非开环增益为可变参数绘制的 根轨迹称为参数根轨迹。。 参数根轨迹的绘制法则与常规根 轨迹的法则完全相同。只是在绘制 参数根轨迹之前，需要引入等效单 位反馈系统和等效传递函数概念。
° z1
p3
0
p1

根轨迹的绘制过程为： （1）寻找平面上所有满足相角条件的s； （2）利用幅值条件确定各点的K*值。

自动控制原理-胡寿松-第四章-线性系统的根轨迹法.详解

自动控制原理-胡寿松-第四章-线性系统的根轨迹法.详解

系统的信号流图见图4-28，从信号流图中看出，系统中含有一个积分环节， 因此为1型系统，因此系统对阶跃输入信号的稳态误差为0。
K m 变化时系统的根轨迹， 2）为了绘制电动机传递系数（含放大器附加增益） 可将有关参数代入传递函数中，并将系统的特征方程进行整理，等价根轨迹增 益方程为：
1 K* P( s ) ( s 6.93 j 6.93)( s 6.93 j 6.93) 1 K * Q( s ) s 2 ( s 13.86)
当所有根轨迹分支都在左半平面时，系统稳定。 2) 稳态性能：
回忆：稳态性能主要取决于系统的开环增益和积分环节个数。
由根轨迹图不仅可以方便的确定开环增益和积分环节个数，而且可以根据给定系统 的稳态误差要求, 确定闭环极点位置的容许范围。
3)动态性能： 回忆：动态性能形态主要取决于系统的——闭环极点。 从根轨迹图上，可以直观地看到特征根随着参数的变化情况，从而，可以方便地 确定动态性能随着参数的变化情况。
K * lim
s

j 1 i 1 m
n
s pi s zj
lim s
s
nm
, 0 ,
nm nm
（无穷零点）
（无穷极点）
(n m 1)
（续）
且均为实数开环零、极点。
（续）
（续）
小结论： 由两个极点（实数极点或者复数极点）和一个有限零点组成的开环系 统，只要有限零点没有位于两个实数极点之间，当 K * 从零变化到无穷时， 闭环根轨迹的复数部分，是以有限零点为圆心，以有限零点到重根点的距 离为半径的一个圆，或圆的一部分。这在数学上是可以严格证明的。
例如，在上列程序之后增加语句： [k,p]=rlocfind(num,den)

自动控制原理第四章

自动控制原理第四章
问题在于逐点计算工作量大，若要更有效的绘 制根轨迹就必须找出绘根轨迹的规律…
. . .. . ..
-1
2 1
s
关系
R( s )
f
G( s)
H (s)
C ( s)
* 前向通路传函： G ( s) KG
(s z ) (s p )
i 1 i i 1 q i
根轨迹不会穿越虚轴进入右半s平面，则系 统稳定，如果根轨迹越过虚轴进入s右半平面， 此时根轨迹与虚轴交点处的K值，就是临界开 环增益。 2.稳态性能
开环传递函数在坐标 原点有一个极点，所 以属I型系统
jw
. . .. . ..
-1
2 1
s
由坐标原点处的极点数确定系统类型； 若给定系统的稳态误差要求，则可以确定 闭环极点位置的容许范围。
绘制根轨迹方法： 1.试探法：任选s1点看是否满足相角条件； 2.按基本规则(如下节讲述)手工绘制；
3.用计算机绘制。
4.2 根轨迹绘制的基本法则
一、绘制根轨迹的基本法则 法则1. 根轨迹的起点和终点 根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点，若n>m， 则有n-m条根轨迹终止于无穷远处。
K
n
m
j
nm
与实轴的夹角： a (2k 1)
nm
k 0,1,..., n m 1
180
sa n m 1

0
sa
nm 2

90
180
90
0
sa 0 n m 3 60

60
s a 45 0 nm 4

45
证明: G s H s K s zi

《自动控制理论(第版)》邹伯敏课件第4章

《自动控制理论(第版)》邹伯敏课件第4章

i1
n
n
s n pl s n1
pl
l 1
l 1
3、用分子除以分母得
GsH s
K0
s nm
n l 1
pl
m i 1
zi s nm1
2020/5/4
第四章 根轨迹法
14
自动控制理论
当s 时,
令某系统的开环传递函数为W s
s
K0
A
nm
K0
snm
n
m
s nm1
A
1 W s 0,有n m条根轨迹分支,它们是由实轴上s σA点出发的射线,
图4-4 一阶系统
2020/5/4
图4-5 图4-4系统的等增益轨迹和根轨迹
第四章 根轨迹法
6
自动控制理论
结论：
根轨迹就是s 平面上满足相角条件点的集合。由于相角条件是绘制根轨迹 的基础，因而绘制根轨迹的一般步骤是：
➢找出s 平面上满足相角条件的点，并把它们连成曲线 ➢根据实际需要，用幅值条件确定相关点对应的K值
例4-4
已知GsH s
ss
K0
4s 2
4s
20
求根的分离点
图4-12 例4-4的根轨迹
解：1）有4条根轨迹分支,它们的始点分别为0，-4，-2±j4
2） 渐近线与正实轴的夹角
2k 1 , 3 , 5 , 7 , k 0,1,2,3
4
44 4 4
渐近线与实轴的交点为
2020/5/4
-A
422 4 第四章
规则2：根轨迹的分支数及其起点和终点
闭环特征方程：
n
m
s pl K 0 s zi 0
l 1

自动控制原理_第4章_线性系统的根轨迹法

自动控制原理_第4章_线性系统的根轨迹法

4.2 绘制根轨迹的依据--根轨迹方程
R(s)
G ( s) H ( s)
C(s)
一、闭环零极点与开环零极点的关系
* KG
* KH d
G( s)
Π ( s z j )
j 1
a
( s pi ) Π i 1
* a
b

* KG A( s)
B( s)
c
H ( s)
Π ( s zl )
K* G( s) s( s 1)(s 2)
试绘制系统的概略根轨迹。 解：开环极点 p1=0， p2=-1， p3=-2，无开环零点。
实轴上的根轨迹 (-∞，-2]， [-1，0]。 渐进线 n=3，m=0，有三条渐进线。
0 1 2 1 交点 a nm 3
i 1
pi
1/4<K<∞时，s1,s2为一对共轭复根； K=1/2时，s1,2=－1/2±j0.5。
注意：一组根对应同一个K；K 一变，一组根变；K一停， 一组根停；
K=0.5 K=0 -1
jω
j0.5 0
σ
-j0.5 根轨迹：简称根迹，它是指系统中某一 K=0.1875 K=0.25
参数在可能的取值范围内连续变化时， 闭环系统特征根在s平面上的变化轨迹。
a
pi z j
i 1 j 1
n
m
nm
a
(2k 1) nm
k 0,1,2,, 直到获得(n m)个夹角为止 .
开环传递函数
G ( s) H (s) K * Π ( s z j )
j 1 m
( s pi ) Π i 1
n
K*

第4章 线性系统的根轨迹法

第4章 线性系统的根轨迹法

1.绘制根轨迹的基本法则 法则1 根轨迹的起点和终点。根轨迹起始于开环 极点，终止于开环零点。 对于实际的物理系统，开环零点数m一般小于 或等于开环极点数n。 法则2 根轨迹的分支数、对称性和连续性。根轨 迹的分支数与开环有限零点数和有限极点数中的 大者相等，它们是连续的并且对称于实轴。
第4章 线性系统的根轨迹法
第4章 线性系统的根轨迹法
2.附加开环零点的作用 在控制系统设计中，常用附加位置适当 的开环零点来改善系统性能。 研究附加开环零点的作用的方法，就是 将开环零点取不同的值绘制K变化时的根轨 迹。由此可分析和设计附加零点对改善系统 性能的影响。
第4章 线性系统的根轨迹法
3.零度根轨迹 非最小相位系统——指在s右半平面具有 开环零极点的控制系统。此其根轨迹相角遵 循00+2kπ，称之为零度根轨迹。 零度根轨迹的绘制方法，与常规根轨迹 的绘制方法不同。其中正反馈的根轨迹绘制 如前所述。
第4章 线性系统的根轨迹法
4. 根轨迹方程
根轨迹是系统所有闭环极点的集合。 设系统的闭环传递函数为:
C ( s) G(s) Φ( s) = R( s) 1+G ( s) H ( s)
令闭环传递函数表达式的分母为零，得:
1 + G( s ) H ( s ) 0
第4章 线性系统的根轨迹法
或
G(s) H (s) 1
LOGO
自动控制原理 教学课件 2009年淮南师范学院 校级精品课程
电气信息工程系 自动控制原理课程教学组
第4章 线性系统的根轨迹法
第4章 线性系统的根轨迹法
主要内容:
•4-1 根轨迹法的基本概念
•4-2 根轨迹绘制的基本原则 •4-3 广义根轨迹 •4-4 系统性能的分析 •4-5 用MATLAB绘制根轨迹

自动控制原理第四章汇总

自动控制原理第四章汇总

规则3 根轨迹的渐近线(与实轴的交点和夹角)
当开环极点数 n 大于开环零点数 m 时，有n-m条趋向无 限零点的根轨迹的走向。
（1）渐近线与实轴的倾角
a
(2k 1)
nm
;
k 0,1, 2,
（2）渐近线与实轴的交点
n
m
p j zi
a
j 1
i 1
nm
,n m 1
式中，zi , p分j 别为开环系统的零点和极点。 注：只有在(n m) 2时，需要计算渐近线与实轴的交点和 夹角。
1.76
交角：
(2k 1) nm
60
,
k 0
(2k 1) nm
180
,
k 1
(2k 1) nm
300
,
k2
G(s)
K *(s 1)
s(s 4)(s2 2s 2)
规则4 根轨迹在实轴上的分布 实轴上的某一区域，若其右边开环实数零、极点个数
之和为奇数，则该区域必是根轨迹。 jω
×
×
×
×σ
j 1
nm
汇合于a点，然后分离，分别沿90º， －90º的渐近线趋向无穷远。
0 (0.5) 0 0.25 20
规则5 根轨迹的分离点与分离角
两条或两条以上根轨迹分支在s平面上相遇又立即分开 的点，称为根轨迹的分离点（或会合点），它对应于特征 方程中的二重根。分离角定义为根轨迹进入分离点的切线 方向与离开分离点的切线方向的夹角。
K1 K1 0
K1 0
K1
K1
分分离离点点
K1 0 K1
分离? 点? ?
K1 0
分离点坐标d：
m
1
n

第四章线性系统的根轨迹法

第四章线性系统的根轨迹法

第四章 线性系统的根轨迹法知识点：1. 根轨迹的概念，2. 绘制根轨迹的法则，3. 其他形式的根轨迹，4. 参数变化时对系统性能的影响。

1. 根轨迹的概念：根轨迹指的是开环传递函数中某一参数变化时，闭环特征根所走过的路径。

注：根：闭环特征方程的根。

1）.开环放大系数与根轨迹增益。

时间常数表达式：()()()()210.210.51k k s s s s G +=++ 尾“1”时，K 叫放大系数零极点表达式：()()()1252g ks s s s k G ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=++ 首“1” g k 叫根轨迹增益。

根轨迹：0→+∞所走过的根轨迹增益。

2）.试探法绘制根轨迹。

例子：试求g k 从0→+∞变化时，系统的根轨迹的变化。

解：()()()()()1=0()1kkks C s s s R s s G G G Φ==⇒++2g +0s s k +=1,21s =-±注：,,,%.g k βξσ↑↑↓↑绘制根轨迹使用“X ”表示开环极点，用”o ”表示开环零点，根轨迹用粗实线表示，根轨迹上标有箭头表示g k 增大时，根轨迹移动的方向。

3）.闭环零极点与开环零极点之间的关系。

()()()kS G S H S G =()()1()()G s s G s H s Φ=+令()()()()()()','GHM S M S G S H S N S N S KK==()()()()()()()()'1()()1'GGHM S N S G s s M S M S G s H s N S N S KKKΦ==++()()()()()()'()''GGHM S N S s N S N S M S M S KK KΦ=+①． 闭环零极点由前向通道的零点和反馈通道的极点构成，对于单位负反馈系统的闭环零点就是开环零点。

②． 闭环极点与开环极点，开环零极点及根轨迹都有关系。

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确定下列根轨迹图中实轴上的根轨迹
j j j
0

0

0

j
j
j
0

0

0

例 试确定负反馈系统
K G (s)H (s) s ( s 1)( s 2 )
的根轨迹在实轴上的组成部分
已知系统的开环传递函数，试确定实轴上的根轨迹。
K ( s 1)( s 4)( s 6) G( s ) s 2 ( s 2)( s 3)2
近线。
解：K时，有3条根轨迹趋向无穷远处 渐近线的倾角为：
a
2 k 1 nm
60 ,180 , 300 ( 60 )
渐近线与实轴的交点坐标为
a
p z
i 1 i j 1
n
m
j
nm
0 ( 1) ( 2) 0 1 30
k (s a )
nm
1

( s a ) n m k
是渐近线应满足的方程。
渐近线角度：
(n m)( s a ) (2k 1) ( s a ) (2k 1) nm
(k 0, 1, 2, ) n m 1)
(k 0,1, 2,
规则2：根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点
起始点： 终止点： 起始点为 终止点为
m i 1 n
K=0 时的系统特征根 K 时的系统特征根
1 K ( s p )
i 1 i
( s zi )
(1)当K=0时,特征根等于开环极点Pi，即根轨迹起始于开环极点 (2)当K时，特征根等于开环零点Zi，即根轨迹终止于开环零 点，即有m条分支趋向开环零点； (3)另外n-m条分支趋向无穷远处,需要确定其方位和走向。
( s1 4 ) s1 ( s1 2 ) ( s1 6 .6 )
( 2 .5 j 2 .5 ) ( 1 .5 j 2 .5 ) ( 0 .5 j 2 .5 ) (5 .1 j 2 .5 ) 45 121 79 25 180
n
由(1),(2) s
nm
(n m j
nm
a
p z
i 1 i j 1
n m nm1 z j pi s i 1 j 1
nm
规则4:根轨迹的渐近线
如果m<n,k→∞时，根轨迹有渐近线n-m条。这些渐近线 在实轴上交于一点。
i 1 i 1
满足相角条件的点，一定可以找到对应参数的值使幅值条件成立！ 故相角条件是某点在系统根轨迹上的充要条件。
例4-1 单位负反馈系统的开环传递函数为:
K (s 4) G (s) s ( s 2 )( s 6 .6 )
试检验S1=-1.5+j2.5是否为该系统根轨迹上的点； 如果是，则确定与它相对应的K值是多少。 解: （1）确定开环零、极点。P1=0,P2=-2,P3=-6.6, Z1=-4 （2）将s1坐标带入相角条件：
n m
（1）渐近线与实轴的交点坐标为：
a
p z
i i 1 j 1
j
nm
2k 1 (k 0,1, 2,...n m 1) （2）渐近线与实轴的倾角为：a nm
K 例 试确定负反馈系统 G ( s ) H ( s ) 根轨迹的渐 s ( s 1)( s 2 )
根轨迹的渐近线
当n>m时，(n-m)条根轨迹沿什么方向趋于[s]平面 无穷远处。渐近线可认为是 k , s 时的根轨迹。 ( s z1 )( s z2 ) ( s zm ) k 1 ( s p1 )( s p2 ) ( s pn ) 当s 时，设 s z1 s z2 s zm s p1 s pn s a ，其中 a 是实数。
如系统开环传函可写成如下形式：
G (s) H (s)
K ( s zi )
i 1
m
(s p )
j 1 j
n
则负反馈系统根轨迹的幅值条件和相角条件分别为
G (s) H (s) 1
m
K | s zi |
i 1
m
| s p
j 1
n
n
1
j
|
G( s) H ( s) ( s zi ) ( s pi ) (2k 1) (k 0, 1, 2 )
规则1：根轨迹的分支数和连续性与对称性
根轨迹的分支数等于特征方程的阶数n(闭环极 点的数目)；
根轨迹是连续的且对称于实轴。
证明：(1)
| k || s z1 | | s z2 | | s zm | 1 | s p1 | | s p2 | | s pn |
绘制系统根轨迹时,选择的可变参量可以是系统的 任意参量。
本章内容
第一节 第二节 第三节 第四节
根轨迹的基本概念 1800根轨迹绘制方法 00根轨迹绘制方法 参量根轨迹绘制方法
第一节 根轨迹的基本概念
R( s )


K s (0.5s 1)
C (s)
K 2K 开环传函G ( S ) S (0.5S 1) S ( S 2) C (S ) 2K 系统闭环函数为： 2 R( S ) S 2S 2 K 特征根 : S1,2 1 1 2 K
用代数定理可证明，上式参数k连续变化，特征方程的根便 连续变化，这便说明了根轨迹线是连续的。 （2）由于反馈系统特征方程的系数仅与系统参数有关，而实际物 理系统参数又都是实数，从而特征方程的系数也必然都是实数。 具有实系数的代数方程的根如为复数，则必为共轭复数，所以 实际物理系统的根轨迹必然是对称于实轴的曲线。
二、绘制1800根轨迹的基本规则
系统特征方程 1＋G(s)H(S)=0可知 G(s)H(S)=-1 如系统开环传函可写成如下形式: m K ( s zi ) G ( s ) H ( s ) n i 1 (s p j ) 则系统根轨迹的幅值条件和相角条件分别为 j 1
G (s) H (s) 1
m
K | s zi |
i 1
m
| s p
j 1
n
n
1
j
|
G( s) H ( s) ( s zi ) ( s pi ) 1800 k 3600 (k 0, 1, )
i 1 i 1
满足上述方程的根轨迹称为1800根轨迹
画根轨迹之前，需根据闭环特征方程将开环传递函数变换成 如下标准形式：
规则3: 实轴上的根轨迹
实轴上的某一区域，若其右边开环实数零、极点 个数之和为奇数，则该区域是根轨迹。
证明：设系统含有一个零点，三个极点， G(s) H (s) (s1 z1 ) (s1 p1 ) (s1 p2 ) (s1 p3 ) 则 s1左边每个开环极点或零点提供的相角 为0， s1右边每个开环极点或零点提供的 相角为180º， 每对共轭极点和零点提供的相角之和为 0º，互相抵消。 故，只有其右边开环实零点、极点的总 数为奇数的实轴线段才满足相角条件。
分离点坐标d： 方法一：
m 1 1 i 1 d pi j 1 d z j n
满足相角条件,S1=-1.5+j2.5是该系统根轨迹上的点。
（3）利用幅值条件求得与S1相对应的K值
K ( s1 4) 由 1 s1 ( s1 2) ( s1 6.6) s1 ( s1 2) ( s1 6.6) K ( s1 4)
1.5 j 2.5 0.5 j 2.5 5.1 j 2.5 2.5 j 2.5 11.94
例2
设某负反馈系统的开环传递函数为
K G (s)H (s) s ( s 1)( s 2 )
试绘制该系统的根轨迹图。
解
上式为标准形式，开环极点:P1=0,P2=-1及P3=-2 从基本规则一知，系统有三条随变量k由0变向∞对称于实轴的 连续根轨迹曲线。 又从基本规则二知，三条根轨迹分别起始于s平面上的点 (0，j0) ,(一1，j0),及(-2 j0)，并随参变量k—>∞，三条根 轨迹都将趋向于s平面上的无穷远处
根轨迹与系统性能
（1）稳定性； （2）稳态性能; 判断系统的“型”，从而计算系统稳 态特性；也可根据系统稳态误差要求来得 到K的范围，从而得出闭环极点位置容许范 围。
（3）动态性能; 判断该系统在K取值在何范围时处于过 阻尼、 临界阻尼和欠阻尼状态（特别对二 阶系统）；
第二节 绘制根轨迹的基本方法
第四章 线性系统的根轨迹法
1948年,伊万斯（W.R.Evans）根据反馈系统开、闭环传递 函数之间的内在联系,提出了直接由开环传递函数寻求闭环特 征根移动轨迹的方法,即根轨迹法。
当闭环系统没有零点与极点相消时，闭环特征方程式的根 就是闭环传递函数的极点。
根轨迹定义
当系统中某一参数由零变到正无穷大时，闭环系统 特征方程的根在s平面上形成的轨迹称系统的根轨迹。
K (s z1 )(s z2 ) ( s zm ) G( s) H ( s) ( s p1 )(s p2 ) (s pn )
其中，K是绘制根轨迹的可变参数，称开环根轨迹增益
开环增益？
开环传递函数的标准形式必须具有下列特征： 1)参变量K必须是G(S)H(S)分子连乘因子中的一个 2)G(S)H(S)的分子和分母通过其极点与零点来表示 3)构成G(S)H(S)分子分母的每个因子中s项的系数必须是+1
求渐近线与实轴交点 a
n n 1 s pi s ( s p1 )( s p2 ) ( s pn ) i 1 nm k ( s a ) ( s z1 )( s z2 ) ( s zm ) m m 1 m s zj s j 1 m n n m 1 nm s z j pi s i 1 j 1 而由二项式定理， k ( s a ) n m s n m (n m) a s n m 1