利用坐标计算数量积

向量的数量积的坐标运算的推导
向量的数量积是两个向量之间的一种运算，它表示这两个向量之间的夹角和它们长度的乘积。

在向量的数量积中，有一种常见的运算方式是坐标运算，它可以将向量的数量积表示为各个坐标的乘积之和。

在进行向量的数量积的坐标运算之前，需要先了解向量的基本概念，包括向量的表示、向量的坐标、向量的长度和向量的夹角等。

向量的表示可以使用有向线段或箭头表示，向量的坐标则可以表示为一个有序数对(x,y)，其中x和y分别表示向量在x轴和y轴上的投影长度。

向量的长度可以通过勾股定理求出，而向量的夹角则可以使用余弦定理求解。

在进行向量的数量积的坐标运算时，需要将两个向量的坐标进行分别相乘，并将结果相加，即：
向量a·向量b = a1b1 + a2b2 + a3b3
其中，a1、a2、a3分别表示向量a在x、y、z轴上的投影长度，b1、b2、b3分别表示向量b在x、y、z轴上的投影长度。

在进行向量的数量积的坐标运算时，需要注意向量的顺序，即a在前，b 在后。

通过以上的推导，我们可以得出向量的数量积的坐标运算的公式，使得我们在进行向量的数量积运算时更加方便。

同时，这也是数学中一个重要的概念，在物理、工程等领域中经常使用到。

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数量积和向量积的公式
数量积AB=ac+bd
向量积要利用行列式
若向量a=(a1,b1,c1),向量b=(a2,b2,c2),
则向量a·向量b=a1a2+b1b2+c1c2
向量a×向量b= |i j k| |a1 b1 c1| |a2 b2 c2| =(b1c2-b2c1,c1a2-a1c2,a1b2-a2b1)
i、j、k分别为空间中相互垂直的三条坐标轴的单位向量【数量积】
也称为标量积、点积、点乘，是接受在实数R上的两个矢量并返回一个实数值标量的二元运算。

它是欧几里得空间的标准内积。

【坐标表示】
已知两个非零向量a=（x1，y1），b=（x2，y2），则有a·b=x1x2+y1y2，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。

【向量积】
数学中又称外积、叉积，物理中称矢积、叉乘，是一种在向量空间中向量的二元运算。

与点积不同，它的运算结果是一个向量而不是一个标量。

并且两个向量的叉积与这两个向量和垂直。

【性质】
叉积的长度| a×b| 可以解释成这两个叉乘向量a, b共起点时，所构成平行四边形的面积。

据此有：混合积[ a b c] = ( a×b)·c可以得到以a，b，c为棱的平行六面体的体积。

向量数量积的坐标运算与度量公式1．向量数量积及向量垂直的坐标表示设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)(1)数量积a·b＝a1b1＋a2b2.(2)若a，b为非零向量，a⊥b⇔a1b1＋a2b2＝0.[点睛]记忆口诀：数量积的坐标表示可简记为“对应相乘计算和”．2．三个重要公式(1)向量的长度公式：已知a＝(a1，a2)，则|a|＝a21＋a22.(2)两点间的距离公式：A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2.(3)向量的夹角公式：a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则cos〈a，b〉＝a1b1＋a2b2a21＋a22b21＋b22.[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)向量的模等于向量坐标的平方和．()(2)若a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a⊥b⇔a1b1＋a2b2＝0.()(3)若两个非零向量的夹角θ满足cos θ＜0，则两向量的夹角θ一定是钝角．()答案：(1)×(2)×(3)×2．已知a＝(－3,4)，b＝(5,2)，则a·b的值是() A．23B．7C．－23D．－7答案：D3．已知向量a ＝(x －5,3)，b ＝(2，x )，且a ⊥b ，则由x 的值构成的集合是( )A ．{2,3}B ．{－1,6}C ．{2}D ．{6} 答案：C4．已知a ＝(1，3)，b ＝(－2,0)，则|a ＋b |＝________. 答案：2[典例] (1)(全国卷Ⅱ)向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，则(2a ＋b )·a ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2(2)(广东高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB ＝(1，－2)，AD ＝(2,1)，则AD ·AC ＝( ) A ．5 B ．4 C ．3D ．2[解析] (1)a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)， ∴(2a ＋b )·a ＝(1,0)·(1，－1)＝1.(2)由AC ＝AB ＋AD ＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，得AD ·AC ＝(2,1)·(3，－1)＝5.[答案](1)C(2)A数量积坐标运算的两条途径进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．[活学活用]已知向量a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10.(1)求向量a的坐标；(2)若c＝(2，－1)，求(b·c)·a.解：(1)因为a与b同向，又b＝(1,2)，所以a＝λb＝(λ，2λ)．又a·b＝10，所以1·λ＋2·2λ＝10，解得λ＝2>0.因为λ＝2符合a与b同向的条件，所以a＝(2,4)．(2)因为b·c＝1×2＋2×(－1)＝0，所以(b·c)·a＝0·a＝0.向量的模的问题[典例](1))，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝()A. 5B.10 C ．2 5D ．10(2)已知点A (1，－2)，若向量 AB 与a ＝(2,3)同向，|AB |＝213，则点B 的坐标是________．[解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧ a ⊥c ，b ∥c ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －4＝0，2y ＋4＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2.∴a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，a ＋b ＝(3，－1)． ∴|a ＋b |＝10.(2)由题意可设AB ＝λa (λ＞0)， ∴ AB ＝(2λ，3λ)．又|AB |＝213，∴(2λ)2＋(3λ)2＝(213)2，解得λ＝2或－2(舍去)．∴AB ＝(4,6)．又A (1，－2)，∴B (5,4)．[答案] (1)B (2)(5,4)求向量的模的两种基本策略(1)字母表示下的运算：利用|a |2＝a 2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题．(2)坐标表示下的运算：若a ＝(x ，y )，则a ·a ＝a 2＝|a |2＝x 2＋y 2，于是有|a |＝x 2＋y 2.[活学活用]1．已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，向量b ＝(3，0)，则|2a －b |的最大值为________．解析：2a－b＝(2cos θ－3，2sin θ)，|2a－b|＝(2cos θ－3)2＋(2sin θ)2＝4cos2θ－43cos θ＋3＋4sin2θ＝7－43cos θ，当且仅当cos θ＝－1时，|2a－b|取最大值2＋ 3.答案：2＋ 32．已知平面向量a＝(2,4)，b＝(－1,2)，若c＝a－(a·b)b，则|c|＝________.解析：∵a＝(2,4)，b＝(－1,2)，∴a·b＝2×(－1)＋4×2＝6，∴c ＝a－(a·b)b＝(2,4)－6(－1,2)＝(2,4)－(－6,12)＝(8，－8)，∴|c|＝82＋(－8)2＝8 2.答案：8 2[典例](1)已知a＝(3,2)，b＝(－1,2)，(a＋λb)⊥b，则实数λ＝________.(2)已知a＝(2,1)，b＝(－1，－1)，c＝a＋kb，d＝a＋b，c与d的夹角为π4，则实数k的值为________．[解析](1)∵a＝(3,2)，b＝(－1,2)，∴a ＋λb ＝(3－λ，2＋2λ)． 又∵(a ＋λb )⊥b ， ∴(a ＋λb )·b ＝0，即(3－λ)×(－1)＋2×(2＋2λ)＝0， 解得λ＝－15.(2)c ＝a ＋kb ＝(2－k,1－k )，d ＝a ＋b ＝(1,0)， 由cos π4＝22得(2－k )×1＋(1－k )×0(2－k )2＋(1－k )2·12＋02＝22， ∴(2－k )2＝(k －1)2，∴k ＝32.[答案] (1)－15 (2)32解决向量夹角问题的方法及注意事项(1)先利用平面向量的坐标表示求出这两个向量的数量积a ·b 以及|a ||b |，再由cos θ＝a ·b|a ||b |求出cos θ，也可由坐标表示cos θ＝a 1b 1＋a 2b 2a 21＋a 22 b 21＋b 22直接求出cos θ.由三角函数值cos θ求角θ时，应注意角θ的取值范围是0≤θ≤π.(2)由于0≤θ≤π，利用cos θ＝a ·b|a ||b |来判断角θ时，要注意cos θ<0有两种情况：一是θ是钝角，二是θ＝π；cos θ>0也有两种情况：一是θ为锐角，二是θ＝0.[活学活用]已知平面向量a ＝(3,4)，b ＝(9，x )，c ＝(4，y )，且a ∥b ，a ⊥c . (1)求b 与c ；(2)若m ＝2a －b ，n ＝a ＋c ，求向量m ，n 的夹角的大小． 解：(1)∵a ∥b ，∴3x ＝4×9，∴x ＝12. ∵a ⊥c ，∴3×4＋4y ＝0，∴y ＝－3， ∴b ＝(9,12)，c ＝(4，－3)．(2)m ＝2a －b ＝(6,8)－(9,12)＝(－3，－4)， n ＝a ＋c ＝(3,4)＋(4，－3)＝(7,1)． 设m ，n 的夹角为θ，则cos θ＝m ·n|m ||n |＝－3×7＋(－4)×1(－3)2＋(－4)272＋12＝－25252＝－22.∵θ∈[0，π]，∴θ＝3π4，即m ，n 的夹角为3π4.[典例] 已知点A ，B ，C 满足|AB |＝3，| BC |＝4，| CA |＝5，求AB ·BC ＋ BC · CA ＋ CA ·AB 的值． [解] [法一 定义法]如图，根据题意可得△ABC 为直角三角形，且B ＝π2，cos A ＝35，cos C ＝45，∴ AB ·BC ＋ BC · CA ＋ CA ·AB ＝ BC · CA ＋ CA ·AB ＝4×5cos(π－C )＋5×3cos(π－A ) ＝－20cos C －15cos A ＝－20×45－15×35＝－25.[法二 坐标法]如图，建立平面直角坐标系， 则A (3,0)，B (0,0)，C (0,4)．∴AB ＝(－3,0)， BC ＝(0,4)， CA ＝(3，－4)．∴ AB · BC ＝－3×0＋0×4＝0， BC · CA ＝0×3＋4×(－4)＝－16， CA ·AB ＝3×(－3)＋(－4)×0＝－9. ∴ AB ·BC ＋ BC · CA ＋ CA · AB ＝0－16－9＝－25. [法三 转化法]∵|AB |＝3，| BC |＝4，| AC |＝5，∴AB ⊥BC ，∴ AB ·BC ＝0， ∴ AB · BC ＋ BC · CA ＋ CA · AB ＝ CA ·(AB ＋ BC )＝ CA ·AC ＝－| AC |＝－25.[活学活用]如果正方形OABC 的边长为1，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，那么cos ∠DOE 的值为________．解析：法一：以O 为坐标原点，OA ，OC 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则由已知条件，可得 OD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12， OE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.故cos ∠DOE ＝ OD · OE | OD |·| OE |＝1×12＋12×152×52＝45.法二：∵ OD ＝ OA ＋AD ＝ OA ＋12OC ，OE ＝ OC ＋ CE ＝ OC ＋12OA，∴| OD |＝52，| OE |＝52，OD · OE ＝12 OA 2＋12OC 2＝1，∴cos∠DOE＝ OD·OE|OD||OE|＝45.答案：4 5层级一学业水平达标1．已知向量a＝(0，－23)，b＝(1，3)，则向量a在b方向上的投影为()A.3B．3C．－ 3 D．－3解析：选D向量a在b方向上的投影为a·b|b|＝－62＝－3.选D.2．设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|＝() A. 5 B.10C．2 5 D．10解析：选B由a⊥b得a·b＝0，∴x×1＋1×(－2)＝0，即x＝2，∴a＋b＝(3，－1)，∴|a＋b|＝32＋(－1)2＝10.3．已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝() A．－12 B．－6C．6 D．12解析：选D2a－b＝(4,2)－(－1，k)＝(5,2－k)，由a·(2a－b)＝0，得(2,1)·(5,2－k )＝0，∴10＋2－k ＝0，解得k ＝12.4．a ，b 为平面向量，已知a ＝(4,3)，2a ＋b ＝(3,18)，则a ，b 夹角的余弦值等于( )A.865 B ．－865C.1665D ．－1665解析：选C 设b ＝(x ，y )，则2a ＋b ＝(8＋x,6＋y )＝(3,18)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 8＋x ＝3，6＋y ＝18，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝12，故b ＝(－5,12)，所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝1665. 5．已知A (－2,1)，B (6，－3)，C (0,5)，则△ABC 的形状是( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形D ．等边三角形解析：选A 由题设知AB ＝(8，－4)， AC ＝(2,4)， BC ＝(－6,8)，∴ AB ·AC ＝2×8＋(－4)×4＝0，即AB ⊥ AC . ∴∠BAC ＝90°， 故△ABC 是直角三角形．6．设向量a ＝(1,2m )，b ＝(m ＋1,1)，c ＝(2，m )．若(a ＋c )⊥b ，则|a|＝________.解析：a ＋c ＝(3,3m )，由(a ＋c )⊥b ，可得(a ＋c )·b ＝0，即3(m ＋1)＋3m ＝0，解得m ＝－12，则a ＝(1，－1)，故|a |＝ 2.答案： 2角为θ，则θ＝________.解析：∵a ＝(1，3)，2a ＋b ＝(－1，3)， ∴|a |＝2，|2a ＋b |＝2，a ·(2a ＋b )＝2， ∴cos θ＝a ·(2a ＋b )|a ||2a ＋b |＝12，∴θ＝π3.答案：π38．已知向量a ＝(3，1)，b 是不平行于x 轴的单位向量，且a·b ＝3，则向量b 的坐标为________．解析：设b ＝(x ，y )(y ≠0)，则依题意有⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，3x ＋y ＝3，解得⎩⎨⎧x ＝12，y ＝32，故b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，329．已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )，x ∈R. (1)若a ⊥b ，求x 的值； (2)若a ∥b ，求|a －b |. 解：(1)若a ⊥b ，则a ·b ＝(1，x )·(2x ＋3，－x ) ＝1×(2x ＋3)＋x (－x )＝0，即x－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.(2)若a∥b，则1×(－x)－x(2x＋3)＝0，即x(2x＋4)＝0，解得x＝0或x＝－2.当x＝0时，a＝(1,0)，b＝(3,0)，a－b＝(－2,0)，|a－b|＝2.当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)，a－b＝(2，－4)，|a－b|＝4＋16＝2 5.综上，|a－b|＝2或2 5.10．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1,4)，B(－2,3)，C(2，－1)．(1)求AB·AC及|AB＋AC|；(2)设实数t满足(AB－tOC)⊥OC，求t的值．解：(1)∵AB＝(－3，－1)，AC＝(1，－5)，∴AB·AC＝－3×1＋(－1)×(－5)＝2.∵AB＋AC＝(－2，－6)，∴|AB＋AC|＝4＋36＝210.(2)∵AB－tOC＝(－3－2t，－1＋t)，OC＝(2，－1)，且(AB－tOC)⊥OC，∴(AB－tOC)·OC＝0，∴(－3－2t)×2＋(－1＋t)·(－1)＝0，∴t＝－1.层级二应试能力达标1．设向量a＝(1,0)，b＝⎝⎛⎭⎪⎫12，12，则下列结论中正确的是()C ．a －b 与b 垂直D ．a ∥b解析：选C 由题意知|a |＝12＋02＝1，|b |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝22，a ·b ＝1×12＋0×12＝12，(a －b )·b ＝a ·b －|b |2＝12－12＝0，故a －b 与b 垂直．2．已知向量 OA ＝(2,2)， OB ＝(4,1)，在x 轴上有一点P ，使 AP ·BP 有最小值，则点P 的坐标是( )A ．(－3,0)B ．(2,0)C ．(3,0)D ．(4,0)解析：选C 设P (x,0)，则 AP ＝(x －2，－2)，BP ＝(x －4，－1)，∴ AP ·BP ＝(x －2)(x －4)＋2＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1， 故当x ＝3时， AP ·BP 最小，此时点P 的坐标为(3,0)． 3．若a ＝(x,2)，b ＝(－3,5)，且a 与b 的夹角是钝角，则实数x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，103 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，103 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫103，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫103，＋∞ 解析：选C x 应满足(x,2)·(－3,5)＜0且a ，b 不共线，解得x ＞103，且x ≠－65，∴x ＞103. 4．已知 OA ＝(－3,1)， OB ＝(0,5)，且 AC ∥ OB ， BC ⊥AB (O 为坐标原点)，则点C 的坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－294B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，294C.⎝⎛⎭⎪⎫3，294 D.⎝⎛⎭⎪⎫3，－294 解析：选B 设C (x ，y )，则OC ＝(x ，y )． 又OA ＝(－3,1)， ∴ AC ＝ OC －OA ＝(x ＋3，y －1)． ∵ AC ∥ OB ，∴5(x ＋3)－0·(y －1)＝0， ∴x ＝－3.∵OB ＝(0,5)， ∴ BC ＝ OC － OB ＝(x ，y －5)，AB ＝ OB － OA ＝(3,4)． ∵ BC ⊥ AB ，∴3x ＋4(y －5)＝0，∴y ＝294，∴C 点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，294.5．平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝ma ＋b (m ∈R)，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________.解析：因为向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，所以c ＝ma ＋b ＝(m ＋4,2m ＋2)，所以a ·c ＝m ＋4＋2(2m ＋2)＝5m ＋8，b·c ＝4(m ＋4)＋2(2m ＋2)＝8m ＋20.因为c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，所以c·a |c|·|a|＝c·b |c|·|b|，即a·c|a |＝b·c|b |，所以5m ＋85＝8m ＋2025，解得m ＝2. 答案：26．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE · CB 的值为______； DE ·DC 的最大值为______．解析：以D 为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示．则D (0,0)，A (1,0)，B (1,1)，C (0,1)， 设E (1，a )(0≤a ≤1)．所以 DE ·CB ＝(1，a )·(1,0)＝1，DE · DC ＝(1，a )·(0,1)＝a ≤1， 故 DE · DC 的最大值为1.答案：1 17．已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1,2)． (1)若|c |＝25，且c ∥a ，求c 的坐标； (2)若|b |＝52，且a ＋2b 与2a －b 垂直，求a 与b 的夹角θ. 解：(1)设c ＝(x ，y )，∵|c |＝25，∴x 2＋y 2＝25， ∴x 2＋y 2＝20. 由c ∥a 和|c |＝25，可得⎩⎪⎨⎪⎧1·y －2·x ＝0，x 2＋y 2＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－4.故c ＝(2,4)或c ＝(－2，－4)．(2)∵(a ＋2b )⊥(2a －b )，∴(a ＋2b )·(2a －b )＝0， 即2a 2＋3a ·b －2b 2＝0，∴2×5＋3a ·b －2×54＝0，整理得a ·b ＝－52，∴cos θ＝a ·b|a ||b |＝－1. 又θ∈[0，π]，∴θ＝π.8．已知 OA ＝(4,0)， OB ＝(2,23)， OC ＝(1－λ) OA ＋λ OB (λ2≠λ)．(1)求 OA ·OB 及 OA 在OB 上的射影的数量； (2)证明A ，B ，C 三点共线，且当AB ＝ BC 时，求λ的值；(3)求|OC |的最小值．解：(1) OA · OB ＝8，设 OA 与OB 的夹角为θ，则cos θ＝ OA · OB | OA || OB |＝84×4＝12， ∴ OA 在 OB 上的射影的数量为| OA |cos θ＝4×12＝2.(2)AB ＝ OB － OA ＝(－2,23)， BC ＝ OC － OB ＝(1－λ)·OA －(1－λ) OB ＝(λ－1)AB ，所以A ，B ，C 三点共线．当AB ＝ BC 时，λ－1＝1，所以λ＝2.(3)| OC |2＝(1－λ)22OA ＋2λ(1－λ) OA ·OB ＋λ22 OB ＝16λ2－16λ＋16＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－122＋12， ∴当λ＝12时，| OC |取到最小值，为2 3.。

平面向量数量积的坐标表示高中数学　1.掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算.2.能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题．导语　同学们，前面我们学习了平面向量数量积及其性质，我们也学会了用“坐标语言”去描述向量的加法、减法、数乘运算，那么，我们能否用坐标去表示两向量的数量积呢？一、平面向量数量积的坐标表示问题　在平面直角坐标系中，设i，j分别是与x轴和y轴方向相同的两个单位向量，你能计算出i·i，j·j，i·j的值吗？若设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，你能给出a·b的值吗？提示　i·i＝1，j·j＝1，i·j＝0.∵a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，∴a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2i2＋x1y2i·j＋x2y1j·i＋y1y2j2.又∵i·i＝1，j·j＝1，i·j＝j·i＝0，∴a·b＝x1x2＋y1y2.知识梳理　设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.例1　(1)已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)等于( )A．10 B．－10C．3 D．－3答案　B解析　a＋2b＝(4，－3)，a－3b＝(－1,2)，所以(a＋2b)·(a－3b)＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10.(2)已知a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，若(8a－b)·c＝30，则x等于( )A．6 B．5 C．4 D．3答案　C解析　由题意可得，8a－b＝(6,3)，又(8a－b)·c＝30，c＝(3，x)，∴18＋3x＝30，解得x＝4.反思感悟　进行数量积运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能灵活运用以下几个关系(1)|a|2＝a·a.(2)(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2.(3)(a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2.跟踪训练1　已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，点F 在AD 上，＝2，AF → FD → 则·＝________.BE → CF → 答案　23解析　建立平面直角坐标系如图所示，则A (0,2)，E (2,1)，D (2,2)，B (0,0)，C (2,0)，因为＝2，所以F .AF → FD → (43，2)所以＝(2,1)，＝－(2,0)＝，BE → CF → (43，2)(－23，2)所以·＝(2,1)·BE → CF → (－23，2)＝2×＋1×2＝.(－23)23二、平面向量的模知识梳理　1．若a ＝(x ，y )，则|a |2＝x 2＋y 2或|a |＝.x 2＋y 22．若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝.(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2例2　设平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，y )，若a ∥b ，则|3a ＋b |等于( )A. B.56C. D.1726答案　A解析　∵a ∥b ，∴1×y －2×(－2)＝0，解得y ＝－4，从而3a ＋b ＝(1,2)，|3a ＋b |＝.5反思感悟　求向量a ＝(x ，y )的模的常见思路及方法(1)求模问题一般转化为求模的平方，即a 2＝|a |2＝x 2＋y 2，求模时，勿忘记开方．(2)a ·a ＝a 2＝|a |2或|a |＝＝，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量a 2x 2＋y 2运算的相互转化．跟踪训练2　已知向量a ＝(2,1)，a·b ＝10，|a ＋b |＝5，则|b |等于( )2A. B. C ．5 D ．25510答案　C解析　∵a ＝(2,1)，∴a 2＝5，又|a ＋b |＝5，∴(a ＋b )2＝50，2即a 2＋2a ·b ＋b 2＝50，∴5＋2×10＋b 2＝50，∴b 2＝25，∴|b |＝5.三、平面向量的夹角、垂直问题知识梳理　设a ，b 都是非零向量，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ.1．cos θ＝＝.a·b |a||b|x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 2＋y 22．a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.注意点：(1)两向量垂直与两向量平行的坐标表示易混淆．(2)两向量夹角的余弦值大于0的夹角不一定是锐角．例3　已知a ＝(4,3)，b ＝(－1,2)．(1)求a 与b 夹角的余弦值；(2)若(a －λb )⊥(2a ＋b )，求实数λ的值．解　(1)因为a ·b ＝4×(－1)＋3×2＝2，|a |＝＝5，|b |＝＝，设a 与b 的夹角为θ，所以cos θ＝＝＝.42＋32(－1)2＋225a ·b |a ||b |2552525(2)因为a －λb ＝(4＋λ，3－2λ)，2a ＋b ＝(7,8)，又(a －λb )⊥(2a ＋b )，所以7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，解得λ＝.529反思感悟　解决向量夹角问题的方法及注意事项(1)求解方法：由cos θ＝＝直接求出cos θ.a ·b |a ||b |x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 2＋y 2(2)注意事项：利用三角函数值cos θ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.利用cos θ＝判断θ的值时，要注意cos θ<0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为a ·b|a ||b |180°；cos θ>0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°.跟踪训练3　(1)已知向量a ＝(1，)，b ＝(3，m )．若向量a ，b 的夹角为，则实数m 等于( )3π6A ．2 B. C ．0 D ．－333答案　B解析　因为a ＝(1，)，b ＝(3，m )．所以|a |＝2，|b |＝，a ·b ＝3＋m ，39＋m 23又a ，b 的夹角为，所以＝cos ，即＝，所以＋m ＝，解得m ＝.π6a ·b |a ||b |π63＋3m 29＋m 23239＋m 23(2)已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(m ，1)．若向量a ＋b 与a 垂直，则m ＝________.答案　7解析　∵a ＝(－1,2)，b ＝(m ，1)，∴a ＋b ＝(－1＋m，2＋1)＝(m －1,3)．又a ＋b 与a 垂直，∴(a ＋b )·a ＝0，即(m －1)×(－1)＋3×2＝0，解得m ＝7.1．知识清单：(1)平面向量数量积的坐标表示．(2)a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0(a ，b为非零向量)．(3)cos θ＝(θ为非零向量a ，b 的夹角)．x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 2＋y 22．方法归纳：化归与转化．3．常见误区：两向量夹角的余弦公式易记错．1．若向量a ＝(x ，2)，b ＝(－1,3)，a·b ＝3，则x 等于( )A ．3B ．－3 C. D ．－5353答案　A 解析　a·b ＝－x ＋6＝3，故x ＝3.2．已知a ＝(3,4)，b ＝(5,12)，则a 与b 夹角的余弦值为( )A.B. 636565C.D.13513答案　A解析　|a |＝＝5，|b |＝＝13.32＋4252＋122a·b ＝3×5＋4×12＝63.设a 与b 的夹角为θ，所以cos θ＝＝.635×1363653．已知向量a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )，若2a －b 与b 垂直，则|a |等于( )A ．1 B. 2C ．2D ．4答案　C解析　∵(2a －b )·b ＝2a ·b －|b |2＝2(－1＋n 2)－(1＋n 2)＝n 2－3＝0，∴n 2＝3，∴|a |＝＝2.12＋n 24．已知点A (0,1)，B (1，－2)．向量＝(4，－1)，则·＝________，||＝________.AC → AB → AC → BC → 答案　7　13解析　＝(1，－3)，AB → ∴·＝1×4＋(－3)×(－1)＝7，AB → AC → ＝－＝(4，－1)－(1，－3)＝(3,2)，BC → AC → AB → ∴||＝＝.BC → 32＋2213课时对点练1．(多选)设向量a ＝(2,0)，b ＝(1,1)，则下列结论中正确的是( )A ．|a |＝b 2B ．a ·b ＝0C ．a ∥bD ．(a －b )⊥b答案　AD解析　|a |＝b 2＝2，故A 正确，B ，C 显然错误，a －b ＝(1，－1)，所以(a －b )·b ＝1－1＝0，所以(a －b )⊥b .故D 正确．2．已知向量a ＝(x ,1)，b ＝(1，－2)，且a ⊥b ，则|a ＋b |等于( )A.B. 510C ．2D ．105答案　B解析　由题意可得a ·b ＝x ·1＋1×(－2)＝x －2＝0，解得x ＝2.再由a ＋b ＝(x ＋1，－1)＝(3，－1)，可得|a ＋b |＝.103．已知A (－2,1)，B (6，－3)，C (0,5)，则△ABC 的形状是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形答案　A解析　由题设知＝(8，－4)，＝(2,4)，＝(－6,8)，所以·＝2×8＋(－4)AB → AC → BC → AB → AC → ×4＝0，即⊥.所以∠BAC ＝90°，故△ABC 是直角三角形．AB → AC → 4．平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |等于( )A. B ．2 C ．4 D ．1233答案　B解析　a ＝(2,0)，|b |＝1，∴|a |＝2，a ·b ＝2×1×cos 60°＝1.∴|a ＋2b |＝＝2.a 2＋4a ·b ＋4b 235．设点A (4,2)，B (a ，8)，C (2，a )，O 为坐标原点，若四边形OABC 是平行四边形，则向量与的夹角为( )OA → OC → A. B. C. D.π3π4π6π2答案　B解析　∵四边形OABC 是平行四边形，∴＝，即(4－0,2－0)＝(a －2,8－a )，OA → CB → ∴a ＝6，∵＝(4,2)，＝(2,6)，OA → OC → 设向量与的夹角为θ，OA → OC → ∴cos θ＝＝＝，OA → ·OC → |OA → ||OC → |4×2＋2×642＋22×22＋6222又θ∈(0，π)，∴与的夹角为.OA → OC → π46．若平面向量a ＝(1，－2)与b 的夹角是180°，且|b |＝3，则b 等于( )5A ．(－3,6) B ．(3，－6)C ．(6，－3)D ．(－6,3)答案　A 解析　由题意，设b ＝λa ＝(λ，－2λ)(λ<0)，则|b |＝＝|λ|＝3，λ2＋(－2λ)255又λ<0，∴λ＝－3，故b ＝(－3,6)．7．已知a ＝(－1,1)，b ＝(1,2)，则a ·(a ＋2b )＝________.答案　4解析　∵a ＋2b ＝(1,5)，∴a ·(a ＋2b )＝4.8．设向量a ＝(1,0)，b ＝(－1，m )．若a ⊥(m a －b )，则m ＝________.答案　－1解析　由题意得m a －b ＝(m ＋1，－m )，根据向量垂直的充要条件可得1×(m ＋1)＋0×(－m )＝0，所以m ＝－1.9．已知向量a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1，－1)．(1)若|c |＝3，且c ∥a ，求向量c 的坐标；2(2)若b 是单位向量，且a ⊥(a －2b )，求a 与b 的夹角θ.解　(1)设c ＝(x ，y )，由|c |＝3，c ∥a 可得2Error!所以Error!或Error!故c ＝(－3,3)或c ＝(3，－3)．(2)因为|a |＝，且a ⊥(a －2b )，所以a ·(a －2b )＝0，2即a 2－2a ·b ＝0，所以a ·b ＝1，故cos θ＝＝，a ·b |a |·|b |22因为θ∈[0，π]，所以θ＝.π410．已知向量a ＝(1，)，b ＝(－2,0)．3(1)求a －b 的坐标以及a －b 与a 之间的夹角；(2)当t ∈[－1,1]时，求|a －t b |的取值范围．解　(1)因为向量a ＝(1，)，b ＝(－2,0)，3所以a －b ＝(1，)－(－2,0)＝(3，)，33设a －b 与a 之间的夹角为θ，所以cos θ＝＝＝.(a －b )·a |a －b |·|a |64332因为θ∈[0，π]，所以向量a －b 与a 的夹角为.π6(2)|a －t b |2＝a 2－2t a ·b ＋t 2b 2＝4t 2＋4t ＋4＝42＋3.易知当t ∈[－1,1]时，|a －t b |2∈[3,12]，(t ＋12)所以|a －t b |的取值范围是[，2 ]．3311．已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ等于( )A ．－4B ．－3C ．－2D ．－1答案　B解析　由m ＋n ＝(2λ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1)，(m ＋n )⊥(m －n )，可得(m ＋n )·(m －n )＝(2λ＋3,3)·(－1，－1)＝－2λ－6＝0，解得λ＝－3.12．(多选)在△ABC 中，＝(2,3)，＝(1，k )，若△ABC 是直角三角形，则k 的值可能为AB → AC → ( )A ．－B.23113C. D.3±13223答案　ABC解析　∵＝(2,3)，＝(1，k )，AB → AC → ∴＝－＝(－1，k －3)．BC → AC → AB → 若∠A ＝90°，则·＝2×1＋3×k ＝0，∴k ＝－；AB → AC → 23若∠B ＝90°，则·＝2×(－1)＋3(k －3)＝0，AB → BC → ∴k ＝；113若∠C ＝90°，则·＝1×(－1)＋k (k －3)＝0，AC → BC → ∴k ＝.3±132故所求k 的值为－或或.231133±13213．已知O 为坐标原点，向量＝(2,2)，＝(4,1)，在x 轴上有一点P 使得·有最小OA → OB → AP → BP → 值，则点P 的坐标是( )A ．(－3,0)B ．(2,0)C ．(3,0)D ．(4,0)答案　C解析　设点P 的坐标为(x ，0)，则＝(x －2，－2)，AP → ＝(x －4，－1)．BP → ·＝(x －2)(x －4)＋(－2)×(－1)AP → BP → ＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1，所以当x ＝3时，·有最小值1.AP → BP → 此时点P 的坐标为(3,0)．14.如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝，BC ＝2，点E 在边CD 上，且＝2，则·2DE → EC → AE → 的值是________．BE →答案　329解析　以A 为原点，AB 所在直线为x 轴、AD 所在直线为y 轴建立如图所示平面直角坐标系．∵AB ＝，BC ＝2，2∴A (0,0)，B (，0)，C (，2)，D (0,2)，22∵点E 在边CD 上，且＝2，DE → EC → ∴E .∴＝，＝，(223，2)AE → (223，2)BE → (－23，2)∴·＝－＋4＝.AE → BE → 4932915．已知A ，B ，C 是锐角三角形ABC 的三个内角，向量p ＝(sin A ，1)，q ＝(1，－cos B )，则p 与q 的夹角是( )A ．锐角B ．钝角C ．直角D ．不确定答案　A解析　因为△ABC 是锐角三角形，所以A ＋B >，π2即＞A ＞－B ＞0，π2π2又因为函数y ＝sin x 在上单调递增，(0，π2)所以sin A >sin ＝cos B ，(π2－B )所以p ·q ＝sin A －cos B >0，设p 与q 的夹角为θ，所以cos θ＝＞0，p ·q|p ||q |又因为p 与q 不共线，所以p 与q 的夹角是锐角．16．已知向量＝(6,1)，＝(x ，y )，＝(－2，－3)．AB → BC → CD → (1)若∥，求x 与y 之间的关系式；BC → DA → (2)在(1)的条件下，若⊥，求x ，y 的值及四边形ABCD 的面积．AC → BD → 解　(1)∵＝＋＋＝(x ＋4，y －2)，AD → AB → BC → CD → ∴＝－＝(－x －4,2－y )．DA → AD → 又∥，且＝(x ，y )，BC → DA → BC → ∴x (2－y )－y (－x －4)＝0，即x ＋2y ＝0.(2)＝＋＝(x ＋6，y ＋1)，AC → AB → BC → ＝＋＝(x －2，y －3)．BD → BC → CD → ∵⊥，∴·＝0，AC → BD → AC → BD → 即(x ＋6)(x －2)＋(y ＋1)(y －3)＝0.由(1)知x ＋2y ＝0，与上式联立，化简得y 2－2y －3＝0，解得y ＝3或y ＝－1.当y ＝3时，x ＝－6，此时＝(0,4)，＝(－8,0)；AC → BD → 当y ＝－1时，x ＝2，此时＝(8,0)，＝(0，－4)；AC → BD → ∴S 四边形ABCD ＝||·||＝16.12AC → BD →。

向量的点乘和叉乘以及几何意义一、向量的点乘1.定义：向量的点乘，又称为数量积或内积，是两个向量之间的一种乘法运算。

对于两个n维向量a和b，它们的点乘定义为a·b = ，a，b，cosθ，其中，a，和，b，分别表示向量a和b的模的大小，θ表示a和b之间的夹角。

2.计算方法：（1）向量坐标表示计算方法：如果a=(a₁,a₂,...,aₙ)和b=(b₁,b₂,...,bₙ)是两个n维向量，它们的点乘可以用下面的公式来计算：a·b=a₁b₁+a₂b₂+...+aₙbₙ。

（2）向量模和夹角计算方法：如果，a，和，b，分别是向量a和b的模的大小，θ是向量a和b之间的夹角，则向量的点乘可以用下面的公式来计算：a·b = ，a，b，cosθ。

3.几何意义：（1）判断两个向量是否相互垂直：如果两个向量的点乘结果为0，即a·b=0，那么这两个向量相互垂直。

（2）计算向量在一些方向上的投影：如果向量a的模为，a，θ是a与b之间的夹角，那么向量a在向量b的方向上的投影长度为，a，cosθ。

（3）计算两个向量之间的夹角：如果向量a和b的点乘为a·b = ，a，b，cosθ，那么两个向量之间的夹角θ可以通过反余弦函数计算：θ = arccos(a·b / ，a，b，)。

二、向量的叉乘1.定义：向量的叉乘，又称为向量积或外积，是两个三维向量之间的一种乘法运算。

对于两个三维向量a和b，它们的叉乘定义为a×b = ，a，b，sinθn，其中，a，和，b，分别表示向量a和b的模的大小，θ表示a和b之间的夹角，n表示与a和b所在平面垂直的单位向量。

2.计算方法：向量的叉乘的计算可以利用行列式的方法进行计算：a×b=，ijk，，a₁a₂a₃，，b₁b₂b₃，其中，ijk，表示三个单位向量i、j、k所组成的行列式，a₁、a₂、a₃和b₁、b₂、b₃分别表示向量a和b的坐标。

在二维或三维坐标系中，向量的数量积（也称为点积或内积）是一个标量，它表示两个向量的“相似度”或“夹角”的余弦值。

假设有两个向量 和 ，则它们的数量积定义为：
这个公式在二维坐标系（即 ）下也适用，此时公式简化为：
数量积的一个重要性质是，它等于两个向量模长的乘积与它们之间夹角的余弦值的乘积，即：其中， 和 分别是向量 和 的模长， 是它们之间的夹角。

数量积还有另一个重要的性质，即当两个向量垂直（即夹角为 ）时，它们的数量积为零。

这是因为 。

以上就是在坐标下向量数量积的公式和性质。

=A (A ,A ,A )x y z =B (B ,B ,B )x y z ⋅A =B A ×x B +x A ×y B +y A ×z B z
z =0⋅A =B A ×x B +x A ×y B y
⋅A =B ∣∣×A ∣∣×B cos(θ)
∣∣A ∣∣B A B θ90∘cos(90)=∘0。