苏教版数学高一必修四 作业 2.4平面向量数量积的坐标表示(第二课时)

第2课时平面向量数量积的坐标运算学习目标 1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算.2.能根据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的距离公式.3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直．知识点一平面向量数量积的坐标表示ijxy轴的正半轴同向的单位向量．设，轴、是两个互相垂直且分别与iijjij分别是多少？·思考1 ··，，ijaxybxyabij，(，取思考2 ，，，试将为坐标平面内的一组基底，设)＝(，用)，＝2112ab. 表示，并计算·abab坐标间有何关系？若⊥，，则思考3axybxy).＝＝((，)，，梳理若向量2112ab＝·数量积____________________________向量垂直平面向量的模知识点二ayxa |(1 思考若＝，)，试将向量的模|用坐标表示．1→ABBxyxAy (，如何计算向量，，思考2 若(的模？，))2211梳理向量的模及两点间的距离→AB＝||→AxyBxyAB 为端点的向量(以，()，，)211222yyxx＋－－1122向量的夹角知识点三a·b ba xy b y baa x＝θ的夹角，则)，都是非零向量，θ＝(，是)，cos ＝(，与设，2121|a||b|xxyy＋2112. ＝2222yyxx＋·＋1221类型一平面向量数量积的坐标运算abb a·b＝10. 已知(1,2)与，同向，＝例1a的坐标；求(1)ca b·ca·b c. )，求(及)(1)(2(2)若＝，－2此类题目是有关向量数量积的坐标运算，灵活应用基本公式是前提，设向量一反思与感悟般有两种方法：一是直接设坐标，二是利用共线或垂直的关系设向量，还可以验证一般情况cbbcaa )··≠，即向量运算结合律一般不成立．(下·(·)ababa________. )·1,2)，则(2向量＋＝(1，－1)，＝＝(－1 跟踪训练向量的模、夹角问题类型二BAxOyO．－(16,12)，在平面直角坐标系5,15)中，是原点(如图)．已知点(例2→→ABOA ||，|(1)求|；OAB. 求∠(2)利用向量的数量积求两向量夹角的一般步骤：反思与感悟 (1)利用向量的坐标求出这两个向量的数量积．22yax|＋|＝求两向量的模．(2)利用θ的值．θ代入夹角公式求cos ，并根据θ的范围确定(3)baba的取值范λ的夹角α＝(λ，1)，若与为钝角，求2 跟踪训练已知(1＝，－1)，围．向量垂直的坐标形式类型三baabab的值为垂直，则实数λλ1,0)(3,2)((1)例3 已知＝－，＝－，若向量＋与－2 _____． 3→→kABCABABCACk是直角三角形，求(2,3)，，若△＝(1，的值．(2)在△中，)＝利用向量数量积的坐标表示解决垂直问题的实质是把垂直条件代数化，若在关反思与感悟于三角形的问题中，未明确哪个角是直角时，要分类讨论．→→→OCtOCBCABxOyA，－－1)，在平面直角坐标系若中，已知((1,4)，)⊥(－2,3)，，(2跟踪训练3t________.则实数＝baba的夹角为，－2)，则________1．已知与＝(3，－1)，．＝(1????1331→→??ABCBABC＝，________.2．已知向量＝＝，则∠，????2222mnmnmn)，则λ－2,2)，若(＋＝)⊥(________. 3．已知向量＝(λ＋1,1)，＝(λ＋abab a·b b＝____________. ＝5|＝14．已知平面向量，且，，若，则向量＝(4，－3)，|ab＝(－1,2)＝(4,3)，．5．已知ab的夹角的余弦值；与(1)求abab)，求实数λ(的值．－λ )⊥(2＋(2)若1．平面向量数量积的定义及其坐标表示，提供了数量积运算的两种不同的途径．准确地把握这两种途径，根据不同的条件选择不同的途径，可以优化解题过程．同时，平面向量数量积的两种形式沟通了“数”与“形”转化的桥梁，成为解决距离、角度、垂直等有关问题的有力工具．2．应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力．a x，(若可以对比学习、注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，3．二者不能混淆，记忆．＝1 4 yb xy ab xyxy ab xxyy＝－＝0，⊥＋?0.，则，，)＝()∥?221112112224．事实上应用平面向量的数量积公式解答某些平面向量问题时，向量夹角问题却隐藏了许多陷阱与误区，常常会出现因模糊“两向量的夹角的概念”和忽视“两向量夹角”的范围，稍不注意就会带来失误与错误．5答案精析 问题导学 知识点一jjiiij 0. ＝1×1×cos 0＝1·，思考1 ·＝＝1×1×cos 0＝1，·jyxaxiyjbi ＝，＋＋＝，思考2 ∵221122yyjyyjxxxyjxiyjxixyxyabxii . ()·(＋＝＋＋)∴＝··＝(＋)＋＋2121122222121111ybabxxya 0. ?＝·＋思考3 ＝⊥0?2112yxxy ＋梳理2112yabxxy 0⊥＋?＝2211 知识点二yxiyjxa ＋，∈∵，＝R ，思考122222222jiyyjxyxaxiyji ·jxixyi ·j . )＋＋((＝)∴2＝(＋2＋ ＋)＝22i ·jji 1，0＝1，又∵，＝＝222222yaxyxa ＝|＋＋＝∴，∴|，22yax .∴||＋＝→→→yyyOAxyxxABOBx －，，)－(，，思考2 ∵)＝＝(－)－＝(11221221→22yxABxy.－|＋－＝∴|1212题型探究ba λλ)(>0)＝λ，＝(λ，21 例解 (1)设a ·b λ＝10则有，＝λ＋4a ＝(2,4)λ∴＝2，∴．a ·bb ·c 10，＝1×2－2×1＝0，(2)∵＝aab ·c 0)＝0，∴＝(ca ·b ．＝(20，－(10))1)＝10(2，－11 跟踪训练→OA ＝(16,12)例2 解 (1)由，→AB ，＝－12)(－21,3)－＝(－516,15→22OA ＝|20|＝1612＋，得→22AB 152.|－|＝＋3＝ 6→→ABAO ·→→ABOABAO. ＝(2)cos ∠cos ＝， →→ABAO ||||→→→→ABABAOOA 300. ＝－＝－[16×(－其中21,3)··21)＋12×3]＝＝－(16,12)·(－2300OAB .故cos ∠＝＝2220×15OAB ∴∠＝45°.ba ，1)∵，＝(1，－1)，＝(λ 跟踪训练2 解2baab 1. ＝|＝1＋λλ，∴|－|＝2|，·ba 为钝角，又∵的夹角，α ，1<0λ－?? ∴2?，2·1＋λλ≠1－ ，λ<1?? 即?2＋1≠0.λλ＋2??1. λ≠－<1∴λ且 1,1)．∴λ的取值范围是(－∞，－1)∪(－1 (1)例3 － 7133±211. －(2)或或 2331 －跟踪训练3当堂训练π3 3.－1. 2.30° 434????，－ 4. ??552552 (2)(1)5． 925 720XX —019学年度第一学期生物教研组工作计划指导思想以新一轮课程改革为抓手，更新教育理念，积极推进教学改革。

2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角一、基础过关1．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k )，a ·(2a －b )＝0，则k 等于( )A ．－12B ．－6C ．6D ．12[答案] D[解析] 由已知得a ·(2a －b )＝2a 2－a·b＝2(4＋1)－(－2＋k )＝0，∴k ＝12.2．已知a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ的值为() A ．－17 B.17C ．－16 D.16[答案] A[解析] 由a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，知λa ＋b ＝(－3λ－1,2λ)，a －2b ＝(－1,2)．又(λa ＋b )·(a －2b )＝0，∴3λ＋1＋4λ＝0，∴λ＝－17.3．平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |等于( ) A. 3B ．2 3C ．4D ．12[答案] B[解析] a ＝(2,0)，|b |＝1，∴|a |＝2，a ·b ＝2×1×cos 60°＝1.∴|a ＋2b |＝a 2＋4×a ·b ＋4b 2＝2 3. 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( )A.⎝⎛⎭⎫79，73B.⎝⎛⎭⎫－73，－79C.⎝⎛⎭⎫73，79D.⎝⎛⎭⎫－79，－73 [答案] D[解析] 设c ＝(x ，y )，则c ＋a ＝(x ＋1，y ＋2)，又(c ＋a )∥b ，∴2(y ＋2)＋3(x ＋1)＝0.①又c ⊥(a ＋b )，∴(x ，y )·(3，－1)＝3x －y ＝0.②由①②解得x ＝－79，y ＝－73. 5．若向量a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于( )A ．－π4B.π6C.π4D.3π4[答案] C[解析] 2a ＋b ＝2(1,2)＋(1，－1)＝(3,3)，a －b ＝(1,2)－(1，－1)＝(0,3)，(2a ＋b )·(a －b )＝9，|2a ＋b |＝32，|a －b |＝3.设所求两向量夹角为α，则cos α＝932×3＝22，∵0≤α≤π，∴α＝π4. 6．已知a ＝(3，3)，b ＝(1,0)，则(a －2b )·b ＝________.[答案] 1[解析] a －2b ＝(1，3)，(a －2b )·b ＝1×1＋3×0＝1.7．已知a ＝(4,3)，b ＝(－1,2)．(1)求a 与b 的夹角的余弦；(2)若(a －λb )⊥(2a ＋b )，求实数λ的值．解 (1)∵a ·b ＝4×(－1)＋3×2＝2，|a |＝42＋32＝5，|b |＝(－1)2＋22＝5，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝255＝2525. (2)∵a －λb ＝(4＋λ，3－2λ)，2a ＋b ＝(7,8)，又(a －λb )⊥(2a ＋b )，∴(a －λb )·(2a ＋b )＝7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，∴λ＝529. 二、能力提升已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ等于( )A ．－4B ．－3C ．－2D ．－1[答案] B[解析] 因为m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)．所以m ＋n ＝(2λ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1)．因为(m ＋n )⊥(m －n )，所以(m ＋n )·(m －n )＝0，所以－(2λ＋3)－3＝0，解得λ＝－3. 已知点A (－1,1)、B (1,2)、C (－2，－1)、D (3,4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为( )A.322B.3152C. －322D ．－3152[答案] A[解析] AB →＝(2,1)，CD →＝(5,5)，∴AB →在CD →方向上的投影为AB →·CD →|CD →|＝2×5＋1×552＋52 ＝1552＝322. 10．若平面向量a ＝(1，－2)与b 的夹角是180°，且|b |＝45，则b ＝________.[答案] (－4,8)[解析] 由题意可设b ＝λa ＝(λ，－2λ)，λ<0，则|b |2＝λ2＋4λ2＝5λ2＝80，∴λ＝－4，∴b ＝－4a ＝(－4,8)．11．在△ABC 中，AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )，若△ABC 是直角三角形，求k 的值．解 ∵AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )，∴BC →＝AC →－AB →＝(－1，k －3)．若∠A ＝90°，则AB →·AC →＝2×1＋3×k ＝0，∴k ＝－23； 若∠B ＝90°，则AB →·BC →＝2×(－1)＋3(k －3)＝0，∴k ＝113； 若∠C ＝90°，则AC →·BC →＝1×(－1)＋k (k －3)＝0， ∴k ＝3±132. 故所求k 的值为－23或113或3±132.12．设a＝(1,2)，b＝(－2，－3)，又c＝2a＋b，d＝a＋m b，若c与d的夹角为45°，求实数m的值．解∵a＝(1,2)，b＝(－2，－3)，∴c＝2a＋b＝2(1,2)＋(－2，－3)＝(0,1)，d＝a＋m b＝(1,2)＋m(－2，－3)＝(1－2m,2－3m)，∴c·d＝0×(1－2m)＋1×(2－3m)＝2－3m.又∵|c|＝1，|d|＝(1－2m)2＋(2－3m)2，∴cos 45°＝c·d|c||d|＝2－3m(1－2m)2＋(2－3m)2＝22.化简得5m2－8m＋3＝0，解得m＝1或m＝35.三、探究与拓展已知三个点A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)．(1)求证：AB ⊥AD ；(2)要使四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标并求矩形ABCD 两对角线所成的锐角的余弦值．(1)证明 ∵A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)，∴AB →＝(1,1)，AD →＝(－3,3)，又∵AB →·AD →＝1×(－3)＋1×3＝0，∴AB →⊥AD →，即AB ⊥AD .(2)解 AB →⊥AD →，四边形ABCD 为矩形，∴AB →＝DC →.设C 点坐标为(x ，y )，则AB →＝(1,1)，DC →＝(x ＋1，y －4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝1，y －4＝1， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝5.∴C 点坐标为(0,5)．由于AC →＝(－2,4)，BD →＝(－4,2)，所以AC →·BD →＝8＋8＝16>0，|AC →|＝2 5，|BD →|＝2 5.设AC →与BD →的夹角为θ，则cos θ＝AC →·BD →|AC →|·|BD →|＝1620＝45>0， ∴矩形的两条对角线所成的锐角的余弦值为45.。

课下能力提升(十八) 平面向量的坐标表示及运算一、填空题1．已知平面向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，则向量12a －32b ＝________. 2．若A (2,3)，B (x,4)，C (3，y )，且AB ＝2AC ，则BC ＝________.3．已知平行四边形ABCD 中，A (0,0)，B (5,0)，D (2,4)，对角线AC 、BD 相交于点M ，则DM 的坐标是________．4．已知A (－1,2)，B (2,8)．若AC ＝13AB ，DA ＝－23AB ，则CD 的坐标为________． 5．设向量a ＝(m ，n )，b ＝(s ，t )，定义两个向量a ，b 之间的运算“⊕”为a ⊕b ＝(ms ，nt )．若向量p ＝(1,2)，p ⊕q ＝(－3，－4)，则向量q 的坐标为________．二、解答题6．已知三点A (2，－1)、B (3,4)、C (－2,0)，求：(1)3AB ＋12CA ；(2)BC －2AB .7．如图，已知A (－1,2)，B (3,4)，连结A ，B 并延长至P ，使AP＝3BP ，求P 点的坐标．8.如图，在△ABC 中，已知A (7,8)，B (3,5)，C (4,3)，M ，N ，D 分别是AB ，AC ，BC 的中点，且MN 与AD 交于点F ，求DF 的坐标．答 案1．解析：12a －32b ＝12(2,1)－32(1，－2)＝⎝⎛⎭⎫1，12－⎝⎛⎭⎫32，－3＝⎝⎛⎭⎫1－32，12＋3＝⎝⎛⎭⎫－12，72.答案：⎝⎛⎭⎫－12，722．解析：∵A (2,3)，B (x,4)，C (3，y )，∴AB ＝(x －2,1)，AC ＝(1，y －3)又AB ＝2AC ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝2，1＝2(y －3)，解之得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，y ＝72.∴BC ＝(3－x ，y －4)＝⎝⎛⎭⎫－1，－12 答案：⎝⎛⎭⎫－1，－12 3．解析：DM ＝12DB ＝12[(5,0)－(2,4)]＝12(3，－4) ＝⎝⎛⎭⎫32，－2.答案：⎝⎛⎭⎫32，－24．解析：∵AB ＝(2,8)－(－1,2)＝(3,6)，∴AC ＝13AB ＝(1,2)，DA ＝－23AB ＝(－2，－4)， ∴DC ＝DA ＋AC ＝(－2，－4)＋(1,2)＝(－1，－2)，∴CD ＝－DC ＝(1,2)．答案：(1,2)5．解析：设向量q ＝(x ，y )，p ⊕q ＝(x,2y )＝(－3，－4)，∴x ＝－3，y ＝－2，故向量q ＝(－3，－2)．答案：(－3，－2)6．解：AB ＝(3－2,4＋1)＝(1,5)， BC ＝(－2－3，－4)＝(－5，－4)． CA ＝(2＋2，－1－0)＝(4，－1)．(1)3AB ＋12CA ＝3(1,5)＋12(4，－1)＝⎝⎛⎭⎫5，292. (2)BC －2AB ＝(－5，－4)－2(1,5)＝(－7，－14)．7．解：设P 点坐标为(x ，y )，则AP ＝(x ＋1，y －2)，BP ＝(x －3，y －4)． 由AP 、BP 同向共线，得AP ＝3BP ，即(x ＋1，y －2)＝3(x －3，y －4)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝3x －9，y －2＝3y －12，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝5. ∴点P 的坐标为(5,5)．8．解：∵A (7,8)，B (3,5)，C (4,3)，∴AB ＝(3－7,5－8)＝(－4，－3)， AC ＝(4－7,3－8)＝(－3，－5)．∵D 是BC 的中点，∴AD ＝12(AB ＋AC )＝12(－4－3，－3－5) ＝12(－7，－8)＝⎝⎛⎭⎫－72，－4. ∵M ，N 分别为AB ，AC 的中点，∴F 为AD 的中点．∴DF ＝－FD ＝－12AD ＝－12⎝⎛⎭⎫－72，－4＝⎝⎛⎭⎫74，2.。

第二课时平面向量数量积的坐标运算预习课本P86～88，思考并完成下列问题1．平面向量数量积的坐标表示是什么？2．如何用坐标表示向量的模？3．如何用坐标来求两向量的夹角？4．两向量垂直时的坐标公式是什么？[新知初探]1．平面向量数量积的坐标表示若两个向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. 2．与向量的模、夹角相关的公式 (1)向量的模若a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2. (2)向量的夹角设两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，它们的夹角为θ，则cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.(3)两向量垂直的条件两非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若a ⊥b ，则x 1x 2＋y 1y 2＝0.反之，若x 1x 2＋y 1y 2＝0，则a ⊥b .[点睛] 两个向量垂直的等价条件是它们的相应坐标乘积的和为0.公式x 1x 2＋y 1y 2＝0是判定两个非零向量垂直的非常有用的条件．[小试身手]1．向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，则(2a ＋b )·a ＝________. ★答案★：12．已知点A (1,2)，B (2,3)，C (－2,5)，则AB ·AC 等于________． ★答案★：03．已知a ＝(－1,3)，b ＝(2，－1)，则a 与b 的夹角为________． ★答案★：3π44．平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0), |b |＝1，则|a ＋2b |＝_______. ★答案★：2 3平面向量数量积的坐标运算[典例] (1)已知|a |＝2，|b |＝3，a 与b 的夹角为120°，求(2a －b )·(a ＋3b )； (2)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(3,4)，求 (a －b )·(2a ＋3b )．[解] (1) (2a －b )·(a ＋3b )＝2a 2＋5a ·b －3b 2＝2|a |2＋5|a ||b |cos 120°－3|b |2＝8－15－27＝－34.(2)法一：因为a ＝(1,2)，b ＝(3,4)， 所以a ·b ＝(1,2)·(3,4)＝1×3＋2×4＝11， 所以(a －b )·(2a ＋3b )＝2a 2＋a ·b －3b 2 ＝2|a |2＋a ·b －3|b |2＝2(12＋22)＋11－3(32＋42)＝－54.法二：因为a＝(1,2)，b＝(3,4)，所以a－b＝(1,2)－(3,4)＝(－2，－2)，2a＋3b＝2(1,2)＋3(3,4)＝(2×1＋3×3,2×2＋3×4)＝(11,16)，所以(a－b)·(2a＋3b)＝(－2，－2)·(11,16)＝－2×11＋(－2)×16＝－54.数量积坐标运算的两种方法(1)先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；(2)先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．(1)已知向量a＝(－1,2)，b＝(3,2)，求a·b和a·(a－b)．(2)若a＝(2，－3)，b＝(x,2x)，且a·b＝4，求x的值．解：(1)a·b＝(－1,2)·(3,2)＝(－1)×3＋2×2＝1，a·(a－b)＝(－1,2)·[(－1,2)－(3,2)]＝(－1,2)·(－4,0)＝4.(2)∵a·b＝(2，－3)·(x,2x)＝2x－6x＝4，∴x＝－1.平面向量的夹角1．已知A(16,12)、B(－5,15)，O为坐标原点，求∠OAB的大小．解：由已知得到：AO＝－OA＝－(16,12)＝(－16，－12)，AB＝OB－OA＝(－5,15)－(16,12)＝(－21,3)，∴|AO|＝(－16)2＋(－12)2＝20，|AB|＝(－21)2＋32＝152，AO·AB＝(－16，－12)·(－21,3)＝(－16)×(－21)＋(－12)×3＝300，cos ∠OAB＝AO·AB|AO||AB|＝30020×152＝22，∵0°≤∠OAB≤180°，∴∠OAB＝45°.题点二：向量垂直的应用2．已知a ＝(3，－1)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，32，且存在实数k 和t ，使得x ＝a ＋(t 2－3)b ，y ＝－ka ＋tb ，且x ⊥y ，试求k ＋t 2t 的最小值．解：因为a ＝(3，－1)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，32，所以|a |＝(3)2＋(－1)2＝2， |b |＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫322＝1. 又因为a ·b ＝3×12＋(－1)×32＝0，所以a ⊥b .由x ⊥y 得[a ＋(t 2－3)b ]·(－ka ＋tb )＝0， 即－ka 2＋(t 3－3t )b 2＋(t －kt 2＋3k )a ·b ＝0， 所以－k |a |2＋(t 3－3t )|b |2＝0. 将|a |＝2，|b |＝1代入上式， 得－4k ＋t 3－3t ＝0， 解得k ＝t 3－3t4.所以k ＋t 2t ＝14(t 2＋4t －3)＝14(t ＋2)2－74.故当t ＝－2时，k ＋t 2t 取得最小值，为－74.题点三：由角的范围求参数范围3．已知向量a ＝(－2，－1)，b ＝(t,1)，且a 与b 的夹角为钝角，则实数t 的取值范围是________．解析：因为a 与b 的夹角为钝角，所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |＜0，即a ·b ＝(－2，－1)·(t,1)＝－2t －1＜0，所以t ＞－12.若a ∥b ，可设a ＝λb ，则(－2，－1)＝λ(t,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2＝λt ，－1＝λ.解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，t ＝2.此时a ＝－b ，a 与b 反向，所成角为180°，故t ＝2不合题意．所以t 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－12，2∪(2，＋∞)． ★答案★：⎝⎛⎭⎫－12，2∪(2，＋∞)向量垂直的坐标表示[典例] －π2<θ<π2. (1)若a ⊥b ，求θ；(2)若(a ＋b )⊥(a －b )，求θ. [解] (1)因为a ·b ＝0， 所以sin θ＋cos θ＝0. 即tan θ＝－1.又－π2<θ<π2，所以θ＝－π4.(2)因为(a ＋b )·(a －b )＝0， 所以a 2－b 2＝0.即a 2＝b 2，从而1＋sin 2θ＝1＋cos 2θ， 所以sin θ＝±cos θ，从而tan θ＝±1. 又－π2<θ<π2，所以θ＝π4或θ＝－π4.(1)向量的数量积是否为零，是判断相应的两条线段或直线是否垂直的重要方法．(2)已知向量垂直求参数问题，由向量的数量积为0建立关于参数的方程，求解即可． 1．设向量a ＝(1,2m )，b ＝(m ＋1,1)，c ＝(2，m )．若(a ＋c )⊥b ，则|a|＝________. 解析：a ＋c ＝(3,3m )，由(a ＋c )⊥b ，可得(a ＋c )·b ＝0，即3(m ＋1)＋3m ＝0，解得m ＝－12，则a ＝(1，－1)， 故|a |＝ 2. ★答案★： 22．已知在△ABC 中，A (2,4)，B (－1，－2)，C (4,3)，BC 边上的高为AD . (1)求证：AB ⊥AC ；(2)求点D 和向量AD 的坐标； (3)设∠ABC ＝θ，求cos θ.解：(1)证明：AB ＝(－1，－2)－(2,4)＝(－3，－6)，AC ＝(4,3)－(2,4)＝(2，－1)．∵AB ·AC ＝－3×2＋(－1)×(－6)＝0， ∴AB ⊥AC .(2)设D 点的坐标为(x ，y )，则AD ＝(x －2，y －4)，BC ＝(5,5)，∵AD ⊥BC ，∴AD ·BC ＝5(x －2)＋5(y －4)＝0.① 又BD ＝(x ＋1，y ＋2)， 而BD 与BC 共线， ∴5(x ＋1)－5(y ＋2)＝0.② 联立①②，解得x ＝72，y ＝52，故D 点坐标为⎝⎛⎭⎫72，52，∴AD ＝⎝⎛⎭⎫72－2，52－4＝⎝⎛⎭⎫32，－32. (3)cos θ＝BA ·BC | BA ||BC |＝3×5＋6×532＋62·52＋52＝31010.层级一 学业水平达标1．已知a ＝(1,2)，2a －b ＝(3,1)，则a ·b ＝________.解析：因为a ＝(1,2)，2a －b ＝(3,1)，所以b ＝2a －(3,1)＝2(1,2)－(3,1)＝(－1,3)．所以a ·b ＝(1,2)·(－1,3)＝－1＋2×3＝5.★答案★：52．设向量a ＝(x,1)，b ＝(4，x ), a ·b ＝－1, 则实数x 的值是______________． 解析：因为向量a ＝(x,1)，b ＝(4，x ), a ·b ＝－1，则a ·b ＝(x,1)·(4，x )＝4x ＋x ＝－1，解得x ＝－15.★答案★：－153. 已知平面向量a ＝(3,1)，b ＝(x ，－3)，且a ⊥b ，则x ＝________. 解析：由3x ＋1×(－3)＝0得x ＝1.★答案★：14．已知a ＝(2,3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1,2)，则a ·(b ＋c )＝________. 解析：原式＝(2,3)·(－3,6)＝－6＋18＝12. ★答案★：125．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(0，－1)．若(a ＋λb )⊥a ，则实数λ＝________.解析：因为(a ＋λb )⊥a ，所以(a ＋λb )·a ＝0，即a 2＋λa ·b ＝0，所以5－λ＝0，解得λ＝5. ★答案★：56．已知向量a ＝(2,1)，a·b ＝10，︱a ＋b ︱＝52，则︱b ︱＝________. 解析：由|a ＋b |＝52，知(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝50.故|b |＝5. ★答案★：57．定义一种新运算a ※b ＝|a ||b |sin θ，其中θ为a 与b 的夹角，已知a ＝(－3，1)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，0，则a ※b ＝________.解析：因为cos θ＝a ·b|a |·|b |＝(－3，1)×⎝⎛⎭⎫12，0(－3)2＋12·⎝⎛⎭⎫122＋02＝－322×12＝－32，又因为0°≤θ≤180°， 所以θ＝150°，所以a ※b ＝|a |·|b |sin θ＝2×12·sin 150°＝12.★答案★：128．已知向量OA ＝(2,2)，OB ＝(4,1)，在x 轴上存在一点P 使AP ·BP 有最小值，则P 点的坐标是______．解析：设P 点坐标为(x,0)，则AP ＝(x －2，－2)，BP ＝(x －4，－1)．AP ·BP ＝(x －2)(x －4)＋(－2)×(－1)＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1.当x ＝3时，AP ·BP 有最小值1.所以点P 坐标为(3,0)．★答案★：(3,0)9．已知a ＝(1,2)，b ＝(－2，n )，a 与b 的夹角是45°. (1)求b ；(2)若c 与b 同向，且a 与c －a 垂直，求c . 解：(1)因为a ·b ＝2n －2，|a |＝5，|b |＝n 2＋4，所以cos 45°＝2n －25·n 2＋4＝22， 所以3n 2－16n －12＝0(n >1)． 所以n ＝6或n ＝－23(舍去)，所以b ＝(－2,6)．(2)由(1)知，a·b ＝10，|a |2＝5.又因为c 与b 同向，故可设c ＝λb (λ>0)． 因为 (c －a )·a ＝0，所以λb·a －|a |2＝0， 所以λ＝|a |2b·a ＝510＝12.所以c ＝12b ＝(－1,3)．10．已知a ＝(4，－3)，b ＝(2,1)，若a ＋tb 与b 的夹角为45°，求实数t 的值． 解：由已知a ＋tb ＝(4，－3)＋t (2,1)＝(2t ＋4，t －3)． 所以(a ＋tb )·b ＝2(2t ＋4)＋(t －3)＝5t ＋5. |a ＋tb |＝(2t ＋4)2＋(t －3)2＝5t 2＋10t ＋25， 又|b |＝22＋12＝ 5.因为(a ＋tb )·b ＝|a ＋tb ||b |cos 45°， 所以5t ＋5＝5t 2＋10t ＋25×5×22. 即2(t ＋1)＝t 2＋2t ＋5. 两边平方整理，得t 2＋2t －3＝0. 解得t ＝1或t ＝－3.经检验t ＝－3是增根，舍去，故t ＝1.层级二 应试能力达标1．已知a ＝(4,2)，与a 垂直的单位向量b ＝________.解析：设b ＝(x ，y )，则由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，4x ＋2y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝55，y ＝－255 或⎩⎨⎧x ＝－55，y ＝255.★答案★：⎝⎛⎭⎫55，－255或⎝⎛⎭⎫－55，255 2．已知a ＝(2,3)，b ＝(－1,4)，c ＝(5,6)，那么(a ·b )·c ＝________，a ·(b ·c )＝________. 解析：因为a ·b ＝(2,3)·(－1,4)＝－2＋12＝10, 所以(a ·b )·c ＝10(5,6)＝(50,60). 因为b ·c ＝(－1,4)·(5,6)＝－5＋24＝19, 所以a ·(b ·c )＝(2,3)·19＝(38,57)．★答案★：(50,60) (38,57)3．设向量a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)，如果向量a ＋2b 与2a －b 平行，那么a 与b 的数量积等于_____．解析：a ＋2b ＝(－1＋2m,4)，2a －b ＝(－2－m,3)，由题意得3(－1＋2m )－4(－2－m )＝0，则m ＝－12，所以a·b ＝－1×⎝⎛⎭⎫－12＋2×1＝52. ★答案★：524．若e 1，e 2是两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝5e 1＋4e 2，且a ⊥b ，则e 1、e 2的夹角为________．解析：因为a ⊥b ，所以a ·b ＝0，即(e 1－2e 2)·(5e 1＋4e 2)＝0，所以5e 21－6e 1·e 2－8e 22＝0，设e 1、e 2的夹角为θ，所以 5－6cos θ－8＝0，即cos θ＝－12.因为 θ∈[0，π]，所以 θ＝23π.★答案★：23π5．已知点A (1，－2)，若向量AB 与a ＝(2,3)同向，|AB |＝213，则点B 的坐标是________．解析：由题意可设AB ＝λa (λ＞0)，所以AB ＝(2λ，3λ)．又|AB |＝213，所以(2λ)2＋(3λ)2＝(213)2，解得λ＝2或－2(舍去)．所以AB ＝(4,6)．又A (1，－2)，所以B (5,4)．★答案★：(5,4)6．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)，设向量c 满足(2a －c )·(3b －c )＝0，则||c 的最大值为________．解析：因为(2a －c )·(3b －c )＝0，所以6a ·b ＋c 2－(2a ＋3b )·c ＝0.又因为a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)，所以a ·b ＝0，所以||c 2＝||2a ＋3b ·||c ·cos θ(θ为2a ＋3b 与c 夹角)，所以||c ＝||2a ＋3b ·cosθ≤||2a ＋3b ＝(－1)2＋52＝26.★答案★：267．已知a ＝(1,2)，b ＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：(1)a 与b 的夹角为直角；(2)a 与b 的夹角为钝角； (3)a 与b 的夹角为锐角．解：设a 与b 的夹角为θ，|a |＝12＋22＝5， |b |＝1＋λ2，a·b ＝(1,2)·(1，λ)＝1＋2λ.(1)因为a 与b 的夹角为直角， 所以a·b ＝0，所以1＋2λ＝0，所以λ＝－12.(2)因为a 与b 的夹角为钝角， 所以cos θ＜0且cos θ≠－1， 即a·b ＜0且a 与b 不反向． 由a·b ＜0得1＋2λ＜0，故λ<－12，由a 与b 共线得λ＝2，故a 与b 不可能反向． 所以λ的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－12. (3)因为a 与b 的夹角为锐角， 所以cos θ＞0，且cos θ≠1， 即a·b ＞0且a ，b 不同向． 由a·b ＞0，得λ＞－12，由a 与b 同向得λ＝2.所以λ的取值范围为⎝⎛⎭⎫－12，2∪(2，＋∞)．8．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a ＝(－1,2)，又点A (8,0)，B (n ，t )，C (k sin θ，t )⎝⎛⎭⎫0≤θ≤π2. (1)若AB ⊥a 且|AB |＝5|OA |，求向量OB ；(2)若向量AC 与向量a 共线，当k >4且t sin θ取最大值4时，求OA ·OC . 解：(1)由题设知AB ＝(n －8，t )， 因为AB ⊥a ，所以8－n ＋2t ＝0. 又5|OA |＝|AB |，所以5×64＝(n －8)2＋t 2＝5t 2，得t ＝±8. 当t ＝8时，n ＝24；t ＝－8时，n ＝－8， 所以OB ＝(24,8)或OB ＝(－8，－8)． (2)由题设知AC ＝(k sin θ－8，t )， 因为AC 与a 共线， 所以t ＝－2k sin θ＋16， t sin θ＝(－2k sin θ＋16)sin θ＝－2k ⎝⎛⎭⎫sin θ－4k 2＋32k. 因为k ＞4，所以0<4k<1. 所以当sin θ＝4k 时，t sin θ取得最大值32k. 由32k＝4，得k ＝8， 此时θ＝π6，OC ＝(4,8)． 所以OA ·OC ＝(8,0)·(4,8)＝32.。

互动课堂疏导引导 从数学角度考虑，我们希望向量的数量积也能像数量乘法那样满足某些运算律.由数量积定义a ·b =|a |·|b |·cos 〈a ·b 〉=|b |·|a |cos 〈b ，a 〉=b ·a ,知数量积运算满足交换律.我们知道一个向量与一个轴上单位向量的数量积等于这个向量在轴上正投影的数量，如果将分配律（a +b ）·c =a ·c +b ·c 中的向量c 换成它的单位向量c 0，则分配律变为（a +b ）·c 0=a ·c 0+b ·c 0（*）.证明分配律就变为证明：两个向量和在一个方向上的正投影的数量等于各个向量在这个方向上投影的数量和.为此，我们画出（*）式两边的几何图形进行推导.作轴l 与向量c 的单位向量c 0平行，作=a , =b ,作=a +b .设点O 、A 、B 在轴l 上的射影为O 、A′、B′，根据向量的数量积定义有OA ='·c 0=a ·c 0 A′B′=·c 0=b ·c 0OB′=·c 0=（a +b ）·c 0但对轴上任意三点O 、A′、B′，都有''''B A OA OB +=,于是（*）式成立.（*）式两边同乘以|c |，得（a +b ）·c =a ·c +b ·c .容易验证数乘以向量的数量积，可以与任一向量交换结合，即对任意实数λ,有λ(a ·b )=（λa ）·b =a ·（λb ）.规律总结 （1）数量积是由向量的长度和夹角来确定的，它对于这两个向量是对称的，即与次序无关，因而有交换律.（2）从力做功的情况看，若力增大几倍，则功也增大几倍，而当力反转方向时，功要变号，于是有（λa ）·b =λ(a ·b ).（3）两个力在同一物体上所做的功等于合力所做的功，于是有分配律：（a +b ）·c =a ·c +b ·c .(4)平面向量的数量积不满足结合律a ·（b ·c ）=(a ·b )·c 是错误的，这是因为a ·b 与b ·c 都是数量，所以a ·（b ·c ）代表的是与a 共线的向量；（a ·b ）·c 代表的是与c 共线的向量，向量a 与c 不一定共线，当然就不一定相等.活学巧用【例1】 下列等式中，其中正确的是（ ）①|a |2=a 2;②a b ab a =•2;③（a ·b ）2=a 2·b 2;④（a +b ）2=a 2+2a ·b +b 2.A.1个B.2个C.3个D.4个解析：①|a |2=a 2是向量数量积的性质，在求模计算中常用； ②a b a b a b a a b a ≠=•=•θθcos ||||||cos ||||22. ③（a ·b ）2=（|a |·|b |cosθ）2=|a |2·|b |2cos 2θ④(a +b )2=(a +b )·（a +b ）=a 2+a ·b +b ·a +b 2=a 2+2a ·b +b 2.答案：B【例2】 已知|a |=6，|b |=8，〈a ,b 〉=120°，求|a +b |2，|a +b |.解析：可以利用运算律结合性质处理.由题有|a +b |2=（a +b ）2=a 2+2a ·b +b 2=62+2×6×8·cos120°+82=52，∴|a +b |=132.【例3】运用内积证明矩形对角线相等.解析：设AB =a , AD =b ,且a ⊥b ，则AC =a +b ，BD =AD -AB =b -a .于是|AC |2=2AC =（a +b ）2=a 2+2a ·b +b 2；|BD |2=2BD =（b -a ）2=b 2-2a ·b +b 2.又a ⊥b ，即a ·b =0，∴|AC |2=|BD |2，即|AC |=|BD |，故矩形的两对角线长相等.【例4】 求证：直径上的圆周角为直角.已知：AC 为⊙O 的直径，∠ABC 是直径AC 上的圆周角，如图所示.求证：∠ABC=90°.分析：欲证∠ABC=90°,只须证⊥.证明：设=a ，=b ，有=a .∵=a +b ,BC =a -b ，且|a |=|b |，∴AB ·BC =（a +b ）·（a -b ）=0，∴⊥，即∠ABC=90°.【例5】设e 1,e 2是夹角为45°的两个单位向量，且a =e 1+2e 2,b =2e 1+e 2,求|a +b |的值. 解：因a +b =3e 1+3e 2，所以|a +b |2=|3e 1+3e 2|2=9(e 1+e 2)2=9(e 12+2e 1e 2+e 22)=9(1+2×1×1×cos45°+1) =9(2+2)，∴|a +b |=223 .。

课堂导学三点剖析1.平面向量数量积的概念及其运算律【例1】 已知|a |=4，|b |=3，若：（1）a ∥b ；（2）a ⊥b ；（3）a 与b 的夹角为60°，分别求a ·b .思路分析：本题运用数量积的定义求数量积.已知|a |与|b |，a 与b 的夹角，由定义可求a ·b . 解：(1)当a ∥b 时，若a 与b 同向，则它们的夹角θ=0°,a ·b =|a ||b |cos0°=4×3×1=12;若a 与b 反向，则a 与b 的夹角θ=180°,a ·b =|a ||b |cos180°=4×3×(-1)=-12.(2)当a ⊥b 时,a 与b 的夹角为90°,a ·b =|a |·|b |cos90°=0,(3)当a 与b 的夹角θ=60°时，a ·b =|a ||b |cos60°=4×3×21=6.温馨提示利用定义计算a 与b 的数量积，关键是确定两向量的夹角.当a ∥b 时，a 与b 的夹角可能是0°，也可能为180°，解题时容易遗漏180°的情形.2．平面向量数量积的应用【例2】已知|a |=2,|b |=3，a 与b 的夹角为45°,求使向量a +λb 与λa +b 的夹角为锐角时，λ的取值范围.解：设a +λb 与λa +b 的夹角为θ.则cosθ=||||)()(b a b a b a b a +++•+λλλλ＞0, 即(a +λb )·(λa +b )＞0,展开得，λa 2+(λ2+1)a ·b +λb 2＞0.∵|a |=2,|b |=3,a ·b =|a ||b |cos45°=3,∴2λ+3(λ2+1)+9λ＞0,即3λ2+11λ+3＞0.λ＜68511--或λ＞68511+-. 另外θ=0°时，λ=1.故λ≠1.∴λ∈(-∞,68511--)∪(68511+-,1)∪(1,+∞). 温馨提示求夹角时，注意与三角函数、不等式等知识相结合，但要注意角的范围.3.平面向量数量积的运算律同实数的运算律的比较【例3】 已知|a |=5，|b |=4，a 与b 的夹角为120°，求：（1）a ·b ；（2）（a +b ）2；（3）a 2-b 2；（4）（2a -b ）·（a +3b ）.思路分析：由于向量的数量积满足乘法对加法的分配律，因此向量的数量积运算可类似于多项式的乘法运算，如（a +b ）2=（a +b ）·（a +b ）=（a +b ）·a +（a +b ）·b =a ·a +b ·a +a ·b +b ·b =a 2+2a ·b +b 2.解：（1）a ·b =|a ||b |cos120° =5×4×(-21)=-10; (2)(a +b )2=a 2+2a ·b +b 2=|a |2+2a ·b +|b |2=25-2×10+16=21;(3)a 2-b 2=|a |2-|b |2=25-16=9;(4)(2a -b )·（a +3b ）=2a 2+5a ·b -3b 2=2|a |2+5a ·b -3|b |2=2×25+5×(-10)-3×16=-48.温馨提示(1)在进行向量数量积运算时，应严格按运算律进行；（2）由于向量数量积满足乘法对加法的分配律，故向量数量积中也有类似多项式乘法的公式：（a ±b ）2=a 2±2a ·b +b 2，（a +b ）·（a -b ）=a 2-b 2，（a +b +c ）=a 2+b 2+c 2+2a ·b +2b ·c +2a ·c .因此，有的同学会相当然的用（a ·b ）·c =a ·（b ·c ）,这是错误的.各个击破类题演练1已知|a |=2，|b |=5，且<a ,b >=45°,求a ·b .解：由数量积的定义，a 、b =|a ||b |cos<a ,b >=2×5×cos45°=25.变式提升1已知△ABC 中，a =5,b =8，∠C=60°,求BC ·CA .解：因为||=a =5,||=b =8,<,>=180°-∠C=180°-60°=120°,所以BC ·CA =|BC ||CA |·cos<BC ,CA >=5×8cos120°=-20.类题演练2已知a =(m+1,3),b =(1,m-1)，且a 与b 的夹角为钝角.若（2a +b ）与(a -3b )垂直，求a 与b 夹角的余弦.解析：∵(2a +b )⊥(a -3b ),∴2a 2-5a ·b -3b 2=0.即2［(m+1)2+9］-5［m+1+3(m-1)］-3［1+(m-1)2］=0,整理得m 2+10m-24=0,m=2或m=-12.∵a 与b 的夹角为钝角，∴m=2舍去.设a 与b 夹角为θ,则cosθ=2212215||||-=•b a b a . 变式提升2(2006全国高考Ⅰ,文1)已知向量a 、b 满足|a |=1，|b |=4，且a ·b =2，则a 与b 的夹角为（ ） A.6π B.4π C.3π D.2π 解析：cos<a ·b >=21412||||=⨯-=•b a b a . ∴a 与b 的夹角为3π，故选C. 答案：C类题演练3 已知|a |=|b |=5，<a ,b >=3π,求|a +b |，|a -b |. 解：因为a 2=|a |2=25，b 2=|b |2=25，a ·b =|a ||b |cos<a ,b >=5×5cos 3π=225. 所以|a +b |=（a +b ）2=.352525252)(222=++=•-+=+b a b a b a 同样可求|a -b |=.52525252)(222=-+=•-+=-b a b a b a变式提升3 （1）若向量a 与b 夹角为30°，且|a |=3，|b |=1，则向量p=a +b 与q=a -b 的夹角的余弦为______________.思路分析：本题可利用cosθ=||||b a b a •，由两向量的数量积和模求夹角余弦值. 解：∵p ·q =（a +b ）·（a -b ）=a 2-b 2=3-1=2，又∵|p |=|a +b |=7130cos 323222=+︒+=+•+b b a a , |q |=|a -b |=,1130cos 323222=+︒-=+-b ab a ∴cosθ=77272||||==•q p q p . 答案：772 （2）若非零向量α、β满足|α+β|=|α-β|，求α与β所成的角.思路分析：涉及模与夹角的问题，一般考虑向量的数量积，也可以从向量的线性运算入手，结合模的几何意义解答.解：∵|α+β|=|α-β|,∴|α2|+2α·β+|β|2=|α|2-2α·β+|β|2，即4α·β=0，∴α·β=0，∴α⊥β. ∴α与β所成的角为90°.。

平面向量数量积的坐标表示（知识讲解与典型例题）本周重点：平面向量数量积的坐标表示；两个向量垂直的充要条件。

本周难点：利用向量的数量积解决具体问题。

本周内容：上一节我们学习了平面向量的数量积及运算律，而向量是可以用坐标来表示的，那么向量数量积是如何用坐标表示呢？下面我们来学习这部分知识。

我们给出两个非零向量（用坐标给出），我们知道坐标是与从原点出发的向量一一对应。

如图不妨设：则有A、B两点坐标为(x1, y1),(x2,y2)，又设x,y轴上的单位向量为，则有，∵是互相垂直的单位向量，∴，，则也就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和（结果是数量），即，若则，∵，∴∴，上图中A(x1,y1),B(x2,y2),则则。

这就是我们已经使用过的平面内两点间的距离公式（不用向量你会推导吗）。

上图中若设∠AOB=α，则，即。

由此可得到两个向量的夹角。

特别地，当α=90°时，cosα=0，即x1x2+y1y2=0。

由此知：垂直的充要条件是x1x2+y1y2=0。

这个充要条件在今后解决问题中十分重要。

下面我们通过例题用坐标的形式再一次验证。

例1．已知：。

（1）求：；（2）求：；（3）求：，（4）求：解：（1）由此可见证。

（严格证明需要把的坐标一般化，但方法是一样的。

）（2）（3）。

由此可证：（4）由此可验证：向量的数量积不满足结合律，即不一定相等。

例2．试判断满足下列条件的三角形的形状。

（1）ΔABC中，A（1，-2），B（-3，-1），C（5，-1）（2）ΔABC中，A（1，2），B（2，3），C（-2，5）（3）ΔABC中，A（0，3），B（4，0），C（7，4）解：（1）由此可知ΔABC为等腰三角形。

（2）或：，∴ΔABC为直角三角形。

（3）∵，∴AB⊥BC，∵，∴ΔABC为等腰直角三角形。

例3．已知：向量满足，求：向量与向量的夹角α。

解：设，则即∴，，则：，∵0≤α≤π，∴。

例4．求证：非零向量垂直的充要条件是。

2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角考试标准课标要点学考要求高考要求数量积的坐标表示c c两个向量夹角的坐标运算b b平面向量模的坐标运算b b知识导图学法指导1.学习了本节后，我们在用向量处理平面图形问题时就有了两种方法，通过一题两解，体会基底法和坐标法的优劣及选择依据．2．通过数形结合，对向量平行与垂直条件的坐标表示的类比，培养学生联想的记忆方法.1.两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.数量积两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即a·b＝x1x2＋y1y2两个向量垂直a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0状元随笔对数量积的坐标表示的理解(1)两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和；(2)引入坐标运算后，使得平面向量数量积的运算和两个向量的坐标运算联系起来，从而使得向量的工具性作用更强；(3)平面向量的坐标可以把几何问题转化为代数问题，用向量的坐标运算来实现几何问题的求解，数形结合的思想在数量积的应用中将体现更多．解析：由题意，a ·b ＝(－2,1)·(x ，－2)＝－2x －2＝0，解得x ＝－1. 答案：A4．已知a ＝(1，3)，b ＝(－2,0)，则|a ＋b |＝________.解析：因为a ＋b ＝(－1, 3)，所以|a ＋b |＝(－1)2＋(3)2＝2. 答案：2类型一 数量积的坐标运算例1 (1)设向量a ＝(1，－2)，向量b ＝(－3,4)，向量c ＝(3,2)，则向量(a ＋2b )·c ＝( )A ．(－15,12)B ．0C ．－3D ．－11(2)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，x )，且a ·b ＝－1，则x 的值等于( ) A.12B ．－12 C.32D ．－32【解析】 (1)依题意可知，a ＋2b ＝(1，－2)＋2(－3,4)＝(－5,6)，所以(a ＋2b )·c ＝(－5,6)·(3,2)＝－5×3＋6×2＝－3.(2)因为a ＝(1,2)，b ＝(2，x )，所以a ·b ＝(1,2)·(2，x )＝1×2＋2x ＝－1，解得x ＝－32.【答案】 (1)C (2)D(1)先求出a →＋2b →，然后利用平面向量的数量积求出(a →＋2b →)·c →.(2)利用平面向量的数量积运算求出a →·b →，由a →·b →＝－1得出关于x 的方程求解．方法归纳数量积坐标运算的两个途径一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．λ等于________．【解析】 (1)由a ·b ＝－10，得(c －b )·a ＝c ·a －b ·a ＝c ·a ＋10＝152，∴c ·a ＝－52.设a 与c 的夹角为θ，则cos θ＝a ·c |a ||c |＝－525×5＝－12.又θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°.(2)方法一 λa －2b ＝(λ，λ)－2(2，－3)＝(λ－4，λ＋6)． ∵(λa －2b )⊥a ，∴(λa －2b )·a ＝0，∴(λ－4)＋(λ＋6)＝0， ∴λ＝－1.方法二 ∵(λa －2b )⊥a ，∴(λa －2b )·a ＝0，即λa 2＝2a ·b ， ∴λ(1＋1)＝2(1,1)·(2，－3)，即2λ＝－2，∴λ＝－1. 【答案】 (1)C (2)－1(1)先求a →·b →，再由已知求c →·a →最后利用cos θ＝a →·c→|a →||c →|，求夹角．(2)已知向量垂直求参数，由相应向量的数量积为零建立关于参数的方程，求解即可．方法归纳利用数量积求两向量夹角的步骤数量积:利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积.模:利用|a |＝计算出这两个向量的模. 余弦值:由公式cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22直接求出cos θ的值.角:在0≤θ≤π内，由cos θ的值求角θ.跟踪训练3 已知平面向量a ＝(3,4)，b ＝(9，x )，c ＝(4，y )，且a ∥b ，a ⊥c .(1)求b 与c ；(2)若m ＝2a －b ，n ＝a ＋c ，求向量m ，n 的夹角的大小． 解析：(1)因为a ∥b ，所以3x ＝4×9，所以x ＝12.因为a ⊥c ，所以3×4＋4y ＝0，所以y ＝－3，所以b ＝(9,12)，c ＝(4，－3)．(2)m ＝2a －b ＝(6,8)－(9,12)＝(－3，－4)，n ＝a ＋c ＝(3,4)＋(4，－3)＝(7,1)．设m 、n 的夹角为θ，则cos θ＝m ·n|m ||n |＝－3×7＋(－4)×1(－3)2＋(－4)2×72＋12＝－25252＝－22. 因为θ∈[0，π]，所以θ＝3π4，即m ，n 的夹角为3π4.(1)由a →∥b →求x ，由a →⊥c →求y.(2)利用cos θ＝m →·n→|m →||n →|，求夹角．2.4.2[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分) 1．若向量a ＝(3，m )，b ＝(2，－1)，a ·b ＝0，则实数m 的值为( )A ．－32 B.32 C ．2 D ．6解析：依题意得6－m ＝0，m ＝6，选D. 答案：D2．向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，则(2a ＋b )·a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2解析：a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)， ∴(2a ＋b )·a ＝(1,0)·(1，－1)＝1. 答案：C3．已知a ，b 为平面向量，且a ＝(4,3)，2a ＋b ＝(3,18)，则a ，b 夹角的余弦值等于( )∵θ∈[0，π]，∴θ＝π4. [能力提升](20分钟，40分)11．已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则P A →·(PB →＋PC →)的最小值是( )A ．－2B ．－32C ．－43 D ．－1解析：以AB 所在直线为x 轴，AB 的中点为原点建立平面直角坐标系，如图，则A (－1,0)，B (1,0)，C (0，3)，设P (x ，y )，取BC 的中点D ，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.P A →·(PB →＋PC →)＝2P A →·PD →＝2(－1－x ，－y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ，32－y ＝2[(x ＋1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＋y ·⎝⎛⎭⎪⎫y －32]＝2[⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋142＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －342－34]. 因此，当x ＝－14，y ＝34时，P A →·(PB →＋PC →)取得最小值，为2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝－32，故选B.答案：B12．已知a ＝(4，－3)，b ＝(2,1)，若a ＋t b 与b 的夹角为45°，则实数t ＝________.解析：因为a ＝(4，－3)，b ＝(2,1)， 所以a ＋t b ＝(2t ＋4，t －3)， 所以(a ＋t b )·b ＝5t ＋5.又|a ＋t b |＝(2t ＋4)2＋(t －3)2 ＝5t 2＋10t ＋25， |b |＝5，(a ＋t b )·b ＝|a ＋t b ||b |cos 45°，又由θ∈[0，π]，得θ＝π，即a与b的夹角为π.。