北京市第四中2019年中考数学冲刺复习专题训练旋转第2讲中心对称与中心对称图形(无答案

方案设计与决策型问题例1.某区规划修建一个文化广场(平面图形如图所示),其中四边形ABCD是矩形，分别以AB、BC、CD、DA边为直径向外作半圆,若整个广场的周长为628米，矩形的边长AB=y米,BC=x米.(注:取π=3.14)(1)试用含x的代数式表示y；(2)现计划在矩形ABCD区域上种植花草和铺设鹅卵石等,平均每平方米造价为428元,在四个半圆的区域上种植草坪及铺设花岗岩,平均每平方米造价为400元；①设该工程的总造价为W元，求W关于x的函数关系式；②若该工程政府投入1千万元，问能否完成该工程的建设任务？若能，请列出设计方案，若不能，请说明理由.③若该工程在政府投入1千万元的基础上，又增加企业募捐资金64.82万元，但要求矩形的边BC的长不超过AB长的三分之二，且建设广场恰好用完所有资金，问:能否完成该工程的建设任务？若能，请列出所有可能的设计方案，若不能，请说明理由.例2.为了保护环境，某化工厂一期工程完成后购买了3台甲型和2台乙型污水处理设备，共花费资金54万元，且每台乙型设备的价格是每台甲型设备价格的75%，实际运行中发现，每台甲型设备每月能处理污水200吨，每台乙型设备每月能处理污水160吨，且每年用于每台甲型设备的各种维护费和电费为1万元，每年用于每台乙型设备的各种维护费和电费为1.5万元.今年该厂二期工程即将完成，产生的污水将大大增加，于是该厂决定再购买甲、乙两型设备共8台用于二期工程的污水处理，要求本次购买资金不超过．．．84万元，预计二期工程完成后每月将产生不少于．．．1300吨污水.（1）请你计算每台甲型设备和每台乙型设备的价格各是多少元？（2）请你求出用于二期工程的污水处理设备的所有购买方案；（3）若两种设备的使用年限都为10年，请你说明在（2）的所有方案中，哪种购买方案的总费用最少？（总费用＝设备购买费＋各种维护费和电费）例3.某园林部门决定利用现有的349盆甲种花卉和295盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个，摆放在迎宾大道两侧．已知搭配一个A种造型需甲种花卉8盆，乙种花卉4盆；搭配一个B 种造型需甲种花卉5盆，乙种花卉9盆．(l）某个课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来；(2）若搭配一个A种造型的成本是200元，搭配一个B种造型的成本是360元，试说明（1）中哪种方案成本最低，最低成本是多少元？例4.在△ABC中， BC＝a，BC边上的高h＝2a，沿图中线段DE、CF将△ABC剪开，分成的三块图形恰能拼成正方形CFHG，如图所示．请你解决如下问题:1．请已知:在锐角△A′B′C′中， B′C′＝a，B′C′边上的高h＝a2你设计两种不同的分割方法，将△A′B′C′沿分割线剪开后，所得的三块图形恰能拼成一个正方形，画出分割线及拼接后的图形．。

创新、开放与研究型问题例1. 如图，飞机沿水平方向（ A，B 两点所在直线）飞翔，前面有一座高峰，为了防止飞机飞翔过低，就一定丈量山顶 M到飞翔路线AB的距离 MN．飞机可以丈量的数占有俯角和飞翔距离（因安全要素，飞机不可以飞到山顶的正上方 N处才测飞翔距离），请设计一个求距离 MN的方案，要求 :（1）指出需要丈量的数据（用字母表示，并在图中标出）；（2）用测出的数据写出求距离MN的步骤．例 2. 数学课上，李老师出示了这样一道题目 : 如图1，正方形ABCD的边长为 12 ，P为边BC延伸线上的一点，E为DP的中点，DP的垂直均分线交边DC于 M，交边 AB的延伸线于 N. 当 CP=6时， EM 与 EN的比值是多少？经过思虑，小明展现了一种正确的解题思路: 过 E 作直线平行AB2，则可得 :DF DE，由于DE EP，于 BC交 DC，分别于 F，G，如图FC EP因此DF FC.可求出EF和EG的值，从而可求得EM与EN的比值.(1)请依据小明的思路写出求解过程 .(2)小东又对本题作了进一步研究，得出了DP MN 的结论.你以为小东的这个结论正确吗？假如正确，请赐予证明；如果不正确，请说明理由.例 3. 如图， ABCD是一张矩形纸片， AD=BC=1,AB=CD=5．在矩形ABCD的边 AB上取一点 M，在 CD上取一点 N，将纸片沿 MN折叠，使 MB与 DN交于点 K，获得△ MNK．（1）若∠ 1=70°，求∠ MNK的度数．（2）△MNK的面积可否小于1？若能，求出此时∠ 1 的度数；若2不可以，试说明原因．（3）怎样折叠可以使△ MNK的面积最大？请你利用备用图研究可能出现的状况，求出最大值．（备用图）例4. 如图，点 D，E 在△ ABC的边 BC上，连结 AD，AE. ①AB＝AC；② AD＝AE；③ BD＝CE.以此三个等式中的两个作为命题的题设，另一个作为命题的结论，组成三个命题 : ①②③；①③②；②③①.（1）以上三个命题是真命题的为（直接作答）；（2）请选择一个真命题进行证明（先写出所选命题，而后证明） .AB D E C例5．在△ ABC中，∠ B=∠C=30°. 请你设计两种不一样的分法，将△ABC切割成四个小三角形，使得此中两个是全等三角形，．．而此外两个是相像但不全等的直角三角形．请画出切割线．．．．．段，并在两个全等三角形中标出一对相等的内角的度数（画图工具不限，不要求证明，不要求写出画法）．。

第三讲：《旋转》全章复习与巩固引例：1、如图，C 为BD 上一点，分别以BC 和CD 为边向同侧作等边ABC ECD ∆∆、，AD 和BE 相交于点M ．①探究线段BE 和AD 的数量关系和位置关系．在图中你还发现了什么结论？②当ECD ∆绕点C 在平面内顺时针转动到如图所示的位置时，线段BE 和AD 有何关系？在转动的过程中，特别是在一些特殊的位置，你还会发现什么结论？有哪些结论是不随图形位置的变化而改变的呢？③如图，当转动到A 、D 、E 在一条直线上时，若BE=15cm ，AE=6cm ，求CD 的长度及∠AEB 的度数。

思考：在当ECD ∆绕点C 在平面内顺时针转动时，你能求出线段BE 的取值范围吗？当D 在等边△A BC 内部运动时，DA+DB+DC 有无最值？教育（一）2、如图，D 是等边△ABC 内一点，将△ADC 绕C 点逆时针旋转，使得A 、D 两点的对应点分别为B 、E ，则旋转角为______，图中除△ABC 外，还有等边三角形是_____．3、已知E 为正△ABC 内任意一点．求证：以AE 、BE 、CE 为边可以构成一个三角形．若∠BEC=113°，∠AEC=123°， 求构成的三角形各角的度数.例1、已知D 是等边△ABC 外一点,∠BDC=120º.求证：AD=BD+DC例2:如图，在四边形ABCD 中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=D C ． 求证：BD 2=AB 2+BC 2．ABCDABCD例3、正方形ABCD和正方形AEFG有一个公共点A，点G、E分别在线段AD、AB上（1）如图连结DF、BF，试问：当正方形AEFG绕点A旋转时，DF、BF的长度是否始终相等？若相等请证明；若不相等请举出反例。

（2）若将正方形AEFG绕点A顺时针方向旋转，连结DG，在旋转过程中，能否找到一条线段的长度与线段DG的长度相等，并画图加以说明。

二次函数 y=a(x-h) 2（a≠0）与 y=a(x-h) 2 +k(a≠0)的图象与性质一、二次函数 y = a(x - h) 2的图象和性质12、y 12的图象，并考虑1．画出二次函数y x 1x 122它们的图象的性质．解: 列表抛物线 y1x 12的张口向下，对称轴是直线 x1，2极点（1，0）是最高点；当x 1 时，y随x增大而减小．当x 1 时，y随x增大而增大．当x 1 时，y最大 0 ．2．抛物线y1 x 1 2，y1x 1 2与抛物线 y 1 x2有什222么关系？由此概括二次函数y a(x h)2与 y ax2的关系．它们的形状都 ________，把抛物线y 1 x2向_____平移1个单位，2就获得抛物线y 1 x 1 2；2把抛物线 y1 x2向______平移1个单位，2就获得抛物线 y1x12．23．概括 : 二次函数y a(x h)2的图象及其性质（1）二次函数y a( x h)2与 y ax2的最值同样，都是；______（2）抛物线y a(x h)2与抛物线y ax2形状同样，张口方向同样，最高点（或最低点）的 ______坐标同样；抛物线 y a( x h) 2的极点（h，0）能够由抛物线 y ax 2的极点（ 0，0）向左（或向右）平移 ______个单位获得，抛物线和对称轴也随之改变．（3）张口看a；平移看极点， _____加_____减．二、猜想并考证二次函数y = a(x -h) 2 +k 的图象和性质1．画出函数y 1( x 1)2 2 的图象，指出它的张口方向、对称2轴和极点坐标．解: 用平移的方法画出图象，把抛物线y 1x2向左平移1个单2位，获得抛物线 y 1( x1)2，2再向下平移 2 个单位，获得抛物线 y 1( x 1)2 2 ．2张口向下，对称轴是直线x 1 ，极点是（ 1， 2 ）．y1O-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 x-1-2-3-4-5-6-7-8-92．概括 :（1）抛物线y a( x h)2k 和 y ax2形状同样，把抛物线y ax2向上（下）平移_____个单位向左（右）平移______个单位，获得抛物线 y a( x h)2 k ．____加___减，___加___减．（2）当a 0时，张口向 _____；极点坐标是 _________；对称轴是直线 _______；当 x h 时，y有最小值_____；当 x h 时，y随x的增大而________；当x h 时，y随x的增大而________．（3）当 a 0时，张口向_____；极点坐标是 ________；对称轴是直线 ________；当 x h 时，y有最大值______；当 x h 时，y随x的增大而________；当x h 时，y随x的增大而________．【小结】以前三种二次函数的分析式形式实质都是极点式．练习 :1、填写下表2.(1) 将抛物线y3x2向右平移2个单位，再向上平移5个单位，获得的抛物线分析式为．(2) 二次函数y 1( x3)2 4 的图象能够看作是二次函数 y 1 x2 22的图象向平移 4 个单位，再向平移 3 个单位获得的．3. 把二次函数y a(x h)2k 的图象先向左平移 2 个单位，再向上平移 4 个单位，获得二次函数y 1(x 1)2 1 的图象．2①试确立 a、h、k 的值；②画出抛物线y a(x h)2k 的表示图，指出二次函数y a(x h)2 k 的张口方向，对称轴和极点坐标，剖析函数的增减性．。

整式的加减（二）去括号与添括号一、 基本概念1、去括号法则去括号法则1．括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里的各项都不变符号。

即：().a b c a b c ++=++去括号法则2．括号前面是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉，括号里的各项都改变符号．即： 练习：去括号练习：（1）()a b c +-=（2）()a b c --=（3）()a b c +-+=（4）()a b c --+=把上面四个式子反过来，你能发现什么规律?（1）()a b c a b c +-=+-（2）()a b c a b c -+=--（3）()a b c a b c -+=+-+（4）()a b c a b c +-=--+2、添括号法则：1、添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都 ．2、添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都 ． 练习：下列各式，等号右边添的括号正确吗?若不正确，可怎样改正? (l)2x 2-3x +6= +(2x 2+3x -6)；(2)4x 2-3x +6= - (4x 2+3x -6)；(3)a -2b -3c = a - (2b -3c )；().a b c a b c -+=--(4)m -n +a -b = m + (n +a +b )．注：我们添括号时，一定要细心，括号内的各项“变”还是“不变”取决 于括号前添“+”号还是“-”号，“变”是括到括号里的各项都变，“不变” 是括到括号里的各项都不变．二、典型例题例1、先去括号，再合并同类项.()()()15433a b a a b +---+()()()()22222532241a a a -+----()()222213844x y xy x y xy ⎛⎫--- ⎪⎝⎭例2、化简求值()()()222222133222,11,.3x y xy x y xy x y xy x y -++--==其中()()()2222255223,2a a a a a a a ⎡⎤++---=⎣⎦其中例3、请说明代数式 (){}168936m m m m +-----⎡⎤⎣⎦的值与m 无关.3224243,26,22.A x x xB x x x A B =-++=+-=-例、设求当时，的值32432545348.x x x x x x -+--+-例、一个多项式加上得，求这个多项式226352265.x x x x +---+例、若代数式的值为，试求的值练习：1、多项式3x 2+5x +2与另一个多项式B 的和是x 2-2x -4， 求多项式B.()()222232,23,1;223.M x xy y N x xy y M N M N =-+=+---2、已知求：()()222223235926735x xy y x xy xy x y ++=-++-+--、若，求的值.4、先化简，再求各式的值：()221312212,2,;22333x x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+-+--=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭其中()()222229723,;3a a a a a a ⎡⎤+---=-⎣⎦其中()(){}1323225,, 1.2x y x x y x y x y --+-++==-⎡⎤⎣⎦其中。

第一讲：图形的旋转一、旋转的有关概念：把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，点O叫做__________，转动的角叫做__________，如果图形上的点P经过旋转变为点'P，那么这两个点叫做这个旋转的__________．(如图)注意：⑴研究旋转问题应把握三个元素：__________与__________、__________．⑵每一组对应点所构成的旋转角__________．例1如图，把四边形AOBC绕点O旋转得到四边形DOEF. 在这个旋转过程中：（1）旋转中心是谁?（2）旋转方向如何?（3）经过旋转,点A、B的对应点分别是谁？（4）图中哪个角是旋转角？（5）四边形AOBC与四边形DOEF的形状、大小有何关系？（6） AO与DO的长度有什么关系？ BO与EO呢？（7）∠AOD与∠BOE的大小有什么关系？二、旋转的性质：①旋转后的图形与原图形是__________的；(进而得到相等的线段、相等的角)②旋转前后两个图形对应点到旋转中心的距离__________；(进而得到等腰三角形)③对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于__________；(若特殊角则得到等边三角形、等腰直角三角形)例题2：(1)如图，△ABC是等边三角形，D是BC边上一点，△ABD 经过旋转后到达△ACE的位置．①试说出旋转中心、旋转方向及旋转角度.②∠DAE等于多少度？③△DAE是什么三角形？④如果M是AB的中点，那么经过上述旋转后，点M转到了什么位置？(2)如图，△ABC为等边三角形，D是△ABC内一点，若将△ABD经过旋转后到△ACP位置，已知AD=3,BD=4,CD=5,则∠ADB为多少度？例题3 如图，已知点O和点P ，请按要求作图：（1）画出点P绕点O顺时针旋转45°后的对应点P1；（2）画出点P绕点O顺时针旋转60°后的对应点P2；（3）画出点P绕点O逆时针旋转45°后的对应点P3 .例4 线段的旋转图形如图，已知线段AB ，请按要求作图：（1）画出线段AB绕点A顺时针旋转30°后的图形；（2）画出线段AB绕点B顺时针旋转30°后的图形；（3）画出线段AB绕AB中点M顺时针旋转30°后的图形；（4）如图，画出线段AB绕AB外一点O顺时针旋转30°后的图形 .∆绕点O顺时针旋转100︒所得到的图例5 如图，画出ABC形．【练习】如图，作出ABC ∆绕旋转中心A ，逆时针旋转75︒，得到的图形．例6 如图，已知ABC ∆绕某一点逆时针转动一个角度．得到旋转后的'''A B C ∆，其中A 、B 、C 的对应点分别是'A 、'B 、'C ．试确定旋转中心O ．三、旋转作图的基本步骤： 由旋转的性质可知，旋转作图必须具备三个重要条件： ⑴__________；⑵旋转方向 （3）__________． 具体步骤分以下几步：连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心．转：即把连线按要求绕旋转中心转过一定角度(作旋转角) 截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点．连：即连接所得到的各点．例7：请在下列网格图中画出所给图形绕点O 顺时针依次旋转90︒、180︒、270︒后所成的图形．(注意：有阴影部分图形旋转后的对应图形要涂上阴影．不要求写画法)例8：正方形网格中，ABC ∆为格点三角形(顶点都是格点)，将ABC ∆绕点A 按逆时针方向旋转90︒得到11AB C ∆． ⑴在正方形网格中，作出11AB C ∆；(不要求写作法)⑵设网格小正方形的边长为1cm ，用阴影表示出旋转过程中线段BC 所扫过的图形，然后求出它的面积．(结果保留π)例9 在下图的网格中按要求画出图象，并回答问题． ⑴先画出ABC ∆向下平移5格后的111A B C ∆，再画出ABC ∆以O 点为旋转中心，沿顺时针方向旋转90︒后的222A B C ∆； ⑵在与同学交流时，你打算如何描述⑴中所画的222A B C ∆的位置？例10：如图，O 是边长为a 的正方形ABCD 的中心，将一块半径足够长、圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在O 点处，并将纸板绕O 点旋转，其半径分别交AB 、AD 于点M N 、，求证：正方形ABCD 的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a321B MC D N O A【变式1】如图，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为a 的正三角形或边长为a 的正五边形的中心O 点处，并将纸板绕O 点旋转．当扇形纸板圆心角为多少度时，正三角形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a ？当扇形纸板的圆心角为多少度时，正五边形的边被纸板覆盖部分的总长度也为定值a ？AC BABE C D【变式2】将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为a 的正n 边形的中心O 点处，并将纸板绕O 点旋转，当扇形纸板的圆心角为多少度时，正n 边形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值口？这时正n 边形被纸板覆盖部分的面积是否也为定值？若为定值，写出它与正n边形面积S之间的关系(不需证明)，若不是定值，请说明理由．。

整式的加减
一、知识重点
二、典型例题
例 1、已知多项式( 2mx2x 23x 1) (5x 2 4 y23x) 能否存在
m ，使此多项式与x 没关？若不存在，说明原因；若存在，求出m 的值 .例2、有理数 a,b 在数轴上的地点如下图，化简 |1-3b|-2|2+b|+|2-3b|.
例3、从一个多项式中减去 2ab-3 bc+4，因为误以为加上这个式子，获得
2bc-2 ab-1. 试求正确答案
例 4、已知 : ax22xy x 与 2x 23bxy 3y 的差中不含2次项，
求: a215ab 9b 2的值.
例 5、设A 2x23xy y 2x 2 y, B 4x2 6 xy 2 y 23x y
若| x-2 a|+(y+3)2=0 ，且 B-2A=0，求a.
例 6、已知 : a 、b 互为相反数， c 、d 互为倒数， x =3(a -1)-( a -2 b ),
y c 2 d
d 2 ( d c 2) c
求: 2x y
3x 2 y 的值. 3 6
例 7、已知 -m+2n=5，求 5( m 2n) 2 6n 3m 60 的值 .
y = c 2 d+d 2 -( d
+c-2)
c 例 8、已知当 x =-2 时，代数式 ax 3 +bx +1 的值为 6，求当 x =2 时代数式
ax 3 +bx +1 的值 .
例 9、已知对于 x 的二次多项式 a x 3 -x 2 +3 x+b 2x 2 +x +x 3 -5 当 x =2 时
的值为 -17 ，求当 x =-2 时，该多项式的值 .。