2017年天津市大学生数学竞赛试题

2017年数学竞赛预赛（非数学类）试题评分标准及参考答案一 1. 已知可导函数满足, 则()f x解： 在方程两边求导得'()c o s +()s i n f x x f x x =,'()+()tan sec f x f x x x =.从而tan tan ()sec xdx xdx f x e xe dx c -⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰l n c o sl n c o s211==cos cos cos x x ee dx c x dx c x x --⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰ ()=c o s t a n =s i n c o sx x c x cx ++ 由于(0)1f =，故()sin cos f x x x =+。

2．求()n n n +∞→22sin lim π解 由于 ()=+n n 22sin π()ππn n n -+22sin=2sin 1⎛⎫→。

3. 设(,)w f u v =具有二阶连续偏导数，且==+u x cy v x cy -，，其中c 为非零常数。

则21xx yy w w c-=_________。

解: 12+x w f f =，1112222xx w f f f =++，21()y w c f f =-，()()()22111122122111222=2yy w cf f c cf cf cf cf c f f f y∂=-=--+-+∂。

所以1221=4xx yy w w f c-。

4. 设()f x 有二阶导数连续，且(0)'(0)0,"(0)6f f f ===，则24(s i n )l i m x f xx →=______解：21()(0)'(0)"()2f x f f x f x ξ=++，所以241(sin )"()sin 2f x f x ξ=。

这样244400(sin )"()sin lim=lim 32x x f x f xx x ξ→→=。

2001年天津市大学数学竞赛试题参考答案（理工类）一、填空：（本题15分，每空3分。

请将最终结果填在相应的横杠上面。

）1. 函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<-=，，；，0cos 01e )(22x x x a x xx f x 在（-∞，+∞）上连续，则a = 2 。

2. 设函数y = y (x ) 由方程0)cos(e=-+xy yx 所确定，则==0d x y x d - 。

3. 由曲线x x x y 223++-=与x 轴所围成的图形的面积A =1237。

4. 设E 为闭区间[0，4π]上使被积函数有定义的所有点的集合，则⎰=Ex x x d sin cos 38 。

5．设L 是顺时针方向的椭圆1422=+y x ，其周长为l ，则()=++⎰L s y x xy d 422 4l 。

二、选择题：（本题15分，每小题3分。

每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。

选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。

）1. 若0)(lim 0u x x x =→ϕ且A u f =→)(lim 0u u ，则（ D ）（A ） )]([lim 0x f x x ϕ→存在； （B ） A x f x x =→)]([lim 0ϕ（C ） )]([lim 0x f x x ϕ→不存在； （D ） A 、B 、C 均不正确。

2. 设⎰=xx x x f sin 02d )sin()(，43)(x x x g +=，则当0→x 时，（ A ）（A ）)(x f 与)(x g 为同阶但非等价无穷小； （B ）)(x f 与)(x g 为等价无穷小；（C ）)(x f 是比)(x g 更高阶的无穷小； （D ）)(x f 是比)(x g 更低阶的无穷小。

3. 设函数)(x f 对任意x 都满足)()1(x af x f =+，且b f =)0('，其中a 、b 均为非零常数，则)(x f 在x = 1处（ D ）（A ）不可导； （B ）可导，且a f =')1(； （C ）可导，且b f =')1(； （D ）可导，且ab f =')1(。

2005年天津市大学数学竞赛试题参考答案一、填空：（本题15分，每空3分。

请将最终结果填在相应的横线上面。

） 1．=+++-++∞→xx x x x sin 114lim22x 3 。

2．设函数)(x y y =由方程xyy x arctan22e =+所确定，则曲线)(x y y =在点)0,1(处的法线方程为01=-+y x 。

3．设函数)(x f 连续，则=-⎰xt t x tf x 022d )(d d )(2x xf 。

4．设函数f 和g 都可微，()x,xy f u =，()xy x g v +=，则=∂∂⋅∂∂xv x u ()g yf f y '⎪⎭⎫ ⎝⎛'+'+211 。

5．=-+⎰-21212d 1arcsin sin x x xx x π631-。

二、选择题：（本题15分，每小题3分。

每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。

选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。

）1． 函数)(x f 在闭区间[1,2]上具有二阶导数，0)2()1(==f f ，f(x)x x F 2)1()(-=，则)(x F ''在开区间(1,2)内 ( B ) （A ） 没有零点； （B ）至少有一个零点；（C ） 恰有两个零点； （D ）有且仅有一个零点。

2． 设函数)(x f 与)(x g 在开区间(a ,b )内可导，考虑如下的两个命题， ⑴ 若)()(x g x f >，则)()(x g x f '>'； ⑵ 若)()(x g x f '>'，则)()(x g x f >。

则（ A ）（A ）两个命题均不正确； （B ）两个命题均正确；（C ）命题⑴正确，命题⑵不正确； （D ）命题⑴不正确，命题⑵正确。

3． 设常数0>δ，在开区间()δδ,-内，恒有0)(，)(2>''≤x f x x f ，记⎰-=δδx x f I d )(，则（ C ）(A ) I < 0； (B ) I = 0； (C ) I > 0； (D ) I 非零，且其符号不确定。

)1en +++12121211nnnne e ee e e en nn n n n+++++≤+++≤++++1111110()limlim (1)(1)t t t nn n t n t nee et e e e n e +=+→∞→+++--==--0(1)lim 1t t te e e t→+-==-- 12lim111nnn e n e e ee n n→∞+++++==-+两边夹法则，即得. ln(1)1cos x x+=- 2 .2111cos ),024x x x -→（ 200sin ln(1)4lim 4lim x x x x x→→-+==2(1)21n n -+++2(1)2)(21n x x x n -++++()0(n n f x o x n +++（）！(50)0=49f （）50！250!=49⋅）. =⎰-0()xtf t dt显然()xf t dt ⎰为T 周期函数⇔()=0Tf t dt ⎰，故选（D ）.2. 设函数()y f x =满足方程()(1)210()()'()()0n n n ya x y a x y a x y a x -++++=，若1)000'()=()=()0n f x f x f x -''==（，10000()(()V a x f x a x =+）, 则正确的是（ ）（A ）若n 为奇数且0V ≠，则0x 点为极值点; （B ）若n 为奇数且0V =，则0x 点为极小点； （C ）若n 为偶数且0V ≠，则0x 点为极值点; （D ）若n 为偶数且0V >，则0x 点为极小值点. 解:选（C ）.由条件可得：当n 为偶数，且()0()V 0n f x =-≠时，()f x 在0x 点取得极值，特别地，()0()V 0n fx =-<，()f x 在0x 点取得极大值.3. 设()f x 在[0,)+∞上连续，且单调非增，对0b a >>，则一定有（ ）(A)00()()baa f x dxb f x dx ≥⎰⎰(C)0()()baaf x dx b f x dx ≤⎰⎰(B) 00()()baa f x dxb f x dx >⎰⎰(D) 0()()baaf x dx b f x dx <⎰⎰解：选（C ）设0()(),0xf x dx F x x x=>⎰.因为()f x 在[0,)+∞上连续且单调非增,则由积分中值定理，有02()()()()()0,(0,)xxf x f x dxf x f F x x xxξξ--'==≤∈⎰. 当0b a >>时，()()F a F b ≥,即0()()ba af x dx b f x dx ≤⎰⎰，故（C ）成立.4. 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上可导，且()()0f a f b <，'()'()0f a f b <，则（A ）存在1(,),a b ξ∈ 使1()0f ξ=；不一定存在2(,),a b ξ∈使2'()0f ξ=. （B ）不一定存在1(,),a b ξ∈ 使1()0f ξ=；存在2(,),a b ξ∈使2'()0f ξ=. （C ）不存在1(,),a b ξ∈ 使1()0f ξ=；存在2(,),a b ξ∈使2'()0f ξ=. （D ）存在1(,),a b ξ∈ 使1()0f ξ=；存在2(,),a b ξ∈使2'()0f ξ=.解：选（D ）由连续函数的零点定理以及导函数的零点定理即得.5. 设210sin x I dx xπ=⎰，220sin xI dx x π=⎰，则正确的是（ ）(A) 121I I >> ； （B ）211I I >>；（C ）211I I >>；（D ）121I I >>. 解： 选（B ）显然当(0,)2x π∈时，2sin x x x π<<, 2sin 1xx π<<，210sin 1x I dx xπ=>⎰sin ,x x <则22sin x x <，从而sin sin x xx x<，则221200sin sin x x I dx I dx x xππ=<=⎰⎰，即有211I I >>，选（B)三. (6分) 求极限0arcsin(arcsin )arctan(arctan )limarcsin arctan x x x x x→--.解：331arcsin ()6x x x o x =++ ，331arctan ()3x x x o x =-+ 331arcsin(arcsin )()3x x x o x =++， 332arctan(arctan )()3x x x o x =-+ （4分）330033arcsin(arcsin )arctan(arctan )()lim lim 1arcsin arctan ()2x x x x x o x x x x o x →→-+=-+=2 （6分） 四. (6分)求常数,a b 之值，使得函数cos , 0()12(1)lim (1cos cos cos ),0n ax b x x f x x x n xnx x nn n n →∞+≤⎧⎪=-⎨++++->⎪⎩在=0x 处可导. 解：因为12(1)lim(1cos cos cos)n x xn xnx n n nn→∞-++++- 11001sin =lim cos()cos()n n i i xx x tx dt x x nn x -→∞=-=-=-∑⎰ (2分)此时cos , 0()sin ,0ax b x x f x x x x x+≤⎧⎪=⎨->⎪⎩.函数()f x 在0x =处连续，则有1b =.。