5.高三文数一轮复习总结学案-解析几何

高考数学一轮总复习空间解析几何解析几何是高中数学中的重要内容，也是高考数学试卷中的一大重点。

它主要涉及到点、线、面在空间中的几何性质和相互关系。

在高考数学一轮总复习中，理解和掌握空间解析几何的理论和方法是非常关键的。

本文将从基本概念、重要定理和解题方法三个方面进行论述。

一、基本概念1. 点：空间中的一个位置，用坐标(x, y, z)表示；2. 直线：由两点确定，可以用参数方程、对称方程或者一般式方程表示；3. 平面：由三点或者一点和法向量确定，可以用一般式方程、点法式方程或者截距式方程表示。

二、重要定理1. 两点间距离公式：设A(x₁, y₁, z₁)和B(x₂, y₂, z₂)是空间中两点，则AB的距离为√((x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²+(z₂-z₁)²)；2. 点到平面的距离公式：设点P(x₀, y₀, z₀)到平面Ax+By+Cz+D=0的距离为d，则有d=|Ax₀+By₀+Cz₀+D|/√(A²+B²+C²)；3. 直线与平面的位置关系：直线与平面相交时有以下三种可能情况：平面与直线相交，直线在平面上，直线与平面平行；4. 点线距离公式：设点P(x₀, y₀, z₀)到直线的距离为d，则有d=|(Ax₀+By₀+Cz₀+D)/√(A²+B²+C²)|；5. 直线的倾斜角公式：设直线的方向向量为(m, n, p)，则直线的倾斜角为θ=arctan(|mp|/√(m²+n²+p²))。

三、解题方法1. 确定坐标：对于给定的问题，需要通过条件和已知信息确定坐标系的选择，通常可以选择平行于坐标轴的坐标系，简化计算；2. 建立方程：根据题目所给条件，建立方程并化简，得到问题的解；3. 求解问题：通过解方程组、代入法等求解方法，得到问题的解；4. 检查答案：将求得的解代入原方程，并检查答案是否符合题意。

高考数学一轮复习知识点：解析几何解析几何是一种借助于解析式停止图形研讨的几何学分支。

以下是查字典数学网整理的16-17高考数学一轮温习知识点，请考生学习。

.在用点斜式、斜截式求直线的方程时，你能否留意到不存在的状况?.用到角公式时，易将直线l1、l2的斜率k1、k2的顺序弄颠倒。

.直线的倾斜角、到的角、与的夹角的取值范围依次是。

.定比分点的坐标公式是什么?(终点，中点，分点以及值可要搞清)，在应用定比分点解题时，你留意到了吗?.对不重合的两条直线(建议在解题时，讨论后应用斜率和截距).直线在两坐标轴上的截距相等，直线方程可以了解为，但不要遗忘事先，直线在两坐标轴上的截距都是0，亦为截距相等。

.处置线性规划效果的基本步骤是什么?请你留意解题格式和完整的文字表达。

(①设出变量，写出目的函数②写出线性约束条件③画出可行域④作出目的函数对应的系列平行线，找到并求出最优解⑦运用题一定要有答。

).三种圆锥曲线的定义、图形、规范方程、几何性质，椭圆与双曲线中的两个特征三角形你掌握了吗?.圆、和椭圆的参数方程是怎样的?常用参数方程的方法处置哪一些效果?.应用圆锥曲线第二定义解题时，你能否留意到定义中的定比前后项的顺序?如何应用第二定义推出圆锥曲线的焦半径公式?如何运用焦半径公式?.通径是抛物线的一切焦点弦中最短的弦。

(想一想在双曲线中的结论?).在用圆锥曲线与直线联立求解时，消元后失掉的方程中要留意：二次项的系数能否为零?椭圆，双曲线二次项系数为零时直线与其只要一个交点，判别式的限制。

(求交点，弦长，中点，斜率，对称，存在性效果都在下停止)。

.解析几何效果的求解中，平面几何知识应用了吗?标题中能否曾经有坐标系了，能否需求树立直角坐标系?16-17高考数学一轮温习知识点：解析几何的一切内容就是这些，查字典数学网预祝广阔考生可以取得更优秀的效果。

高中数学一轮总复习解析几何重点知识整理解析几何是高中数学中的一门重要的分支，它通过代数方法研究几何问题，是数学与几何相结合的产物。

在高中数学的学习中，解析几何占据着很重要的地位。

本文将为大家总结解析几何的重点知识，并进行整理。

一、直线与圆的方程在解析几何中，直线和圆是最基本的几何图形。

直线的方程可以通过点斜式、两点式、截距式等不同的表达方式来表示。

其中最常用的是点斜式，表示为 y - y₁ = k(x - x₁)。

其中 (x₁, y₁) 是直线上的一点，k 是直线的斜率。

圆的方程有两种形式，一是标准方程：(x - a)² + (y - b)² = r²，其中 (a,b) 是圆心坐标，r 是半径；二是一般方程：x² + y² + Dx + Ey + F= 0。

二、直线与圆的交点直线与圆的交点是解析几何的一个重要概念。

当直线与圆相交时，可以通过解方程的方法求得交点的坐标。

例如，已知直线 L: 2x + y - 3 = 0 和圆 C: x² + y² - 4x - 2y - 8 = 0，求直线 L 与圆 C 的交点坐标。

解：将直线的方程代入圆的方程中，得到 x² + (2x + 3)² - 4x - 2(2x + 3) - 8 = 0。

整理得到 5x² + 10x - 10 = 0，解得 x₁ = 1，x₂ = -2。

将 x 的值代入直线的方程中，得到 y₁ = 1，y₂ = 5。

所以直线 L 和圆 C 的交点坐标为 (1, 1) 和 (-2, 5)。

三、圆与圆的位置关系圆与圆之间的位置关系有三种情况：相离、相切、相交。

当两个圆相离时，它们的半径之和小于两圆之间的距离。

当两个圆相切时，它们的半径之和等于两圆之间的距离。

当两个圆相交时，它们的半径之和大于两圆之间的距离。

四、直线与平面的位置关系直线与平面之间的位置关系有两种情况：平行和相交。

2019 高考数学一轮复习攻略之分析几何(1)题型稳固：近几年来高考分析几何试题向来稳固在三(或二 )个选择题，一个填空题，一个解答题上，分值约为30 分左右，占总分值的 20%左右。

(2)整体均衡，要点突出：对直线、圆、圆锥曲线知识的考察几乎没有遗漏，经过对知识的从头组合，考察时既注意全面，更注意突出要点，对支撑数学科知识系统的骨干知识，考察时保证较高的比率并保持必需深度。

近四年新教材高考对分析几何内容的考察主要集中在以下几个种类：①求曲线方程 ( 种类确立、种类不决 ); ②直线与圆锥曲线的交点问题 (含切线问题 ); ③与曲线有关的最 (极)值问题 ;④与曲线有关的几何证明(对称性或求对称曲线、平行、垂直);教师范读的是阅读教课中不行缺乏的部分，我常采纳范读，让少儿学习、模拟。

如领读，我读一句，让少儿读一句，边读边记；第二通读，我高声读，我高声读，少儿小声读，边学边仿；第三赏读，我借用录好配朗诵磁带，一边放录音，一边少儿频频聆听，在频频聆听中体验、品尝。

照本宣科是一种传统的教课方式 ,在我国有悠长的历史。

但跟着素质教育的展开 ,照本宣科被作为一种僵化的、阻挡学生能力发展的教课方式 ,逐渐为人们所摒弃 ;而另一方面 ,老师们又为提升学生的语文修养呕心沥血。

其实 ,只需应用适当 ,“照本宣科”与提升学生素质其实不矛盾。

相反 ,它正是提升学生语文水平的重要前提和基础。

⑤探究曲线方程中几何量及参数间的数目特点;(3)能力立意，浸透数学思想：一些虽是常有的基此题型，但假如借助于数形联合的思想，就能迅速正确的获得答案。

(4)题型新奇，地点不定：近几年分析几何试题的难度有所降落，选择题、填空题均属易中等题，且解答题未必处于压轴题的地点，计算量减少，思虑量增大。

加大与有关知识的联系 (如向量、函数、方程、不等式等 )，凸现教材中研究性学习的能力要求。

加大探究性题型的重量。

唐宋或更早以前，针对“经学”“律学”“算学”和“书学”各科目，其相应教授者称为“博士”，这与现在“博士”含义已经相去甚远。

高三数学解析几何知识点总结大全解析几何是高中数学中的一门重要学科，对于高三的学生来说尤为关键。

掌握解析几何的知识点，不仅可以帮助解决实际问题，还可以提高数学思维能力。

本文将对高三数学解析几何的知识点进行全面总结和归纳。

1. 坐标系在解析几何中，坐标系起到了重要的作用。

常见的坐标系有直角坐标系和极坐标系。

直角坐标系由两条互相垂直的坐标轴组成，分别为x轴和y轴。

点的位置可以通过坐标表示，比如(x, y)表示点在x轴和y轴上的坐标值。

极坐标系由极轴和极角组成，极轴是一条直线，极角是与极轴的夹角。

2. 点、直线和平面的方程在解析几何中，点、直线和平面可以通过方程来表示。

点的坐标可以通过坐标轴的交点得到。

直线的方程可以使用一般方程、点斜式方程和两点式方程来表示。

平面的方程可以使用一般方程和法向量方程来表示。

3. 距离和斜率在解析几何中，距离和斜率是常见的概念。

距离可以用两个点的坐标表示，可以用勾股定理求得。

斜率表示直线的倾斜程度，可以通过两点之间的坐标差值求得。

4. 直线和平面的交点直线和平面的交点可以通过直线的方程和平面的方程求得。

将直线的方程代入平面的方程，解方程组得到交点的坐标。

5. 直线与直线的关系两条直线可以相交、平行或重合。

可以通过斜率来判断直线的关系。

斜率相等的直线平行，斜率互为倒数的直线相交。

6. 直线与平面的关系直线与平面可以相交，平行或重合。

可以通过直线的方程和平面的方程来判断直线与平面的关系。

将直线的方程代入平面的方程，解方程组判断是否有解。

7. 圆的方程圆的方程可以通过圆心和半径来表示。

圆心的坐标可以通过坐标轴的交点得到。

半径可以通过圆上两点的距离来求得。

8. 镜面对称和轴对称镜面对称和轴对称是解析几何中的重要概念。

镜面对称是指图形对于一条直线左右对称，轴对称是指图形对于一点对称。

可以用坐标变换的方式来判断一个图形是否具有镜面对称或轴对称性。

9. 三角函数与向量三角函数和向量是解析几何中的重要内容。

第五编解析几何考纲要求： 1.直线与方程（1）在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素. （2）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式. （3）能根据两条直线的斜率之间的关系判定这两条直线平行或垂直.（4）掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的三种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系.（5）能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.（6）掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离. 2.圆与方程（1）掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.（2）能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.（3）会晒直线和圆的方程解决一些简单的问题. （4）初步了解用代数方法处理几何问题的思想. 3.空间直角坐标系（1）了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置. （2）会简单应用空间两点间的距离公式. 4.圆锥曲线与方程（1）了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作甩 （2）掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）.（3）了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心、率、渐近线）.（4）了解圆锥曲线与方程的对应关系. （5）理解数形结合的思想. （6）了解圆锥曲线的简单应用.第一讲直线的方程 知识能力解读知能解读：（一）直线的倾斜角和斜率 1直线的倾斜角当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向所成的角α叫做直线l 的倾斜角.规定当直线和x 轴平行或重合时，其倾斜角为0，所以直线的倾斜角α的范围是0180α<（或0απ<）.2.直线的斜率倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，即()tan 90k αα=≠.（1）斜率计算公式：设经过()11A ,x y 和()22B ,x y 两点的直线的斜率为k ，则当12x x ≠时，2121tan y y k x x α-==-（0απ<且2πα≠）.当12x x =时，直线与y 轴平行，倾斜角2πα=，而2π的正切值不存在，所以直线的斜率不存在. （2）每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率（直线垂直于x 轴时，其斜率不存在），这就决定了我们在研究直线的有关问题时，应考虑斜率存在与不存在这两种情况，否则会产生漏解.（3）倾斜角和斜率都是反映直线相对于x 轴正方向的倾斜程度. 知能解读：（二）直线方程的几种形式1点斜式过已知点()00,x y ，且斜率为k 的直线方程可以写成点斜式：()00y y k x x -=-. （1）因为y y k x x -=-是表求不含()000P ,x y 的两条射线的方程，必须将其化为()00y y k x x -=-才是整条直线的方程.（2）当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时直线方程为0x x =.2斜截式若已知直线在y 轴上的截距为b ，斜率为k ，则直线方程可以写成斜截式：y =kx +b .说明：对于过（0，b ）且垂直于x 轴的直线，即y 轴，可以不用斜截式，而直接写成x =0. 3两点式若已知直线经过()11,x y 和()22,x y 两点，且12x x ≠，12y y ≠，则直线的方程可以写成两点式：112121y y x x y y x x --=--.（1）两点式方程的条件是12x x ≠，12y y ≠，即不包括平行于x 轴（或与x 轴重合）和平行于y 轴（或与y 轴重合）的直线.（2）当两点式方程写成的()()()()211211x x y y y y x x --=--形式时，方程可以表示任何一条直线. 4截距式若已知直线在x 轴、y 轴上的截距分别是a ，b （0a ≠，0b ≠），则直线方程可以写成截距式：1x ya b+=. （1）直线的截距式就是直线过（a ，0），（0，b ）（0a ≠，0b ≠）两点的两点式. （2）对于平行于坐标轴或过原点的直线方程，不能用截距式. （3）“截距”并非指“距离”，而是直线（或曲线）与坐标轴交点的横（纵）坐标，“截距”可正可负，也可为0. 5特殊位置的直线方程y 轴所在直线的方程为x =0；平行于y 轴的直线方程为()0x a a =≠；x 轴所在直线的方程为y =0；平行于x 轴的直线方程为()0y b b =≠.6一般式任何一条直线的方程均可写成一般式A B C 0x y ++=（A ，B 不同时为零）的形式.反之，任何一个二元一次方程都表示一条直线.直线方程的四种特殊形式系可以化为直线方程的一般式，但一般式不一定都能化为四种特殊形式，还要看系数A ，B ，C 是否为0才能确定.存在，另一条直线的斜率为0，则两条直线垂直.（2）对于1212A A +B B 0=来说，无论两条垂直直线的斜率存在与否，该式都成立.因此，此公式使用起来更方便. 知能解读：（四）两条直线的交点设两条直线的方程分别为1111:A B C 0lx y ++=；2222:A B C 0l x y ++=，两条直线的交点坐标就是方程组111222A B C 0,A B C 0x y x y ++=⎧⎨++=⎩的解，若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行.反之，亦成立.知能解读：（五）三个距离公式 1两点间的距离平面上的两点()11A ,x y ，()22B ,x y 间的距离公式：()A,B AB d ==2点到直线的距离点()11P ,x y 到直线:A B C 0l x y ++=的距离d =3两条平行线间的距离两条平行线1A B C 0x y ++=与2A B C 0x y ++=间的距离d =.点拨：在使用点到直线的距离公式或两条平行线间的距离公式时，直钱方程必须先化为A B C 0x y ++=的形式，否则会出错.特别地，在应用两条平行线间的距离公式时，必须使两直线方程中x ，y 的系数相同. 知能解读：（六）直线系方程具有某一个共同性质的一簇直线称为直线系，它的方程称为直线系方程.直线系方程通常只含有一个独立参数，常见的直线系有如下三类：（1）与直线:A B C 0l x y ++=平行的直线可表示为()11A B C 0C C x y ++=≠； （2）与直线:A B C 0l x y ++=垂直的直线可表示为1B A C 0x y -+=；（3）过直线1111:A B C 0l x y ++=和直线2222:A B C 0l x y ++=交点的直线系方程：()()111222A B C A B C 0x y x y R λλ+++++=∈，但不包括2l .解题方法荟萃 Ⅰ.数学思想方法思想方法：（一）数形结合思想 思想方法：（二）待定系数法说明：与A B C 0x y ++=平行的直线可设为()11A B 0C x y λλ++=≠，与A B C 0x y ++=垂直的直线可设为2B A 0x y λ-+=.思想方法：（三）参数法 说明：本题引入ADAB的比值为参数，简化了求解过程.在用参数法解决问题时，一般有以下三步：第一步，设参.即引入参数，这个参数可能是点、斜率或截距等. 第二步，用参.即用引入的参数找等量关系.第三步，消参.一般地，如果只含有一个参数，通过加减消参、代入消参，都可达到目的；如果含有两个参数，往往反解代入消参.Ⅱ.解题规律技巧规律技巧：（一）求解直线的倾斜角和斜率 说明：求斜率一般有两种方法：其一，已知直线上两点，根据2121y y k x x -=-（当12x x ≠时）求斜率；其二，已知倾斜角α或α的三角函数值，根据tan k α=求斜率2πα⎛⎫≠⎪⎝⎭.此类问题常与三角函数知识联系在一起. 规律技巧：（二）求直线方程的方法求直线方程的方法主要有两种：①直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程；②待定系数法：先设出直线方程，再根据已知条件求出待定系数，最后代入求出直线方程. 规律技巧：（三）含参直线过定点问题的解法说明：不论m 为何实数，直线恒过定点，因此，这个定点一定是直线系中任意两直线的交点.规律技巧：（四）对称问题的解法 1点关于点的对称点()00P ,x y 关于()A ,a b 的对称点为()00P 2,2a x b y '--. 2点关于直线的对称设点()00P ,x y 关于直线：y =kx +b 的对称点为()P ,x y '''，则有0001,,22y y k x x y y x x k b '-⎧⋅=-⎪'-⎪⎨''++⎪=⋅+⎪⎩可求出x '，y '.3（1）若已知直线1l 与对称轴l 相交，则交点必在与1l 对称的直线2l 上，然后再求出1l 上任意一个已知点1P 关于对称轴l 的对称点2P ，那么经过交点及点2P 的直线就是2l .（2）若已知直线1l 与对称轴l 平行，则与1l 对称的直线到直线l 的距离和1l 到直线l 的距离相等，由平行直线系和两条平行线间的距离即可求出1l 的对称直线.规律技巧：（五）定直线上的点到两定点距离和（差）最值问题的解法 （1）在直线l 上求一点P ，使P 到两定点的距离之和最小.①当两定点A ，B 在直线l 的异侧时，由两点之间线段最短及三角形中任意两边之和大于第三边可知，点P 为AB 连线与l 的交点.点P 到两定点距高之和的最小值为AB 的长度，如图所示，P A +P BAB +PB ''，当且仅当点P '与点P 重合时等号成立.②当两定点A ，B 在直线l 的同侧时，作点A 关于直线l 的对称点A '，连接A B '交l 于点P ，则点P 到两定点A ，B 的距离之和最小.（2）在直线l 上求一点P ，使点P 到两定点的距离之差的绝对值最大. ①当两定点A ，B 在直线l 的同侧时（AB 连线与l 不平行），连接BA 并延长，交直线l 于点P.如图所示，在l 上任取一点P '，则P B -P AAB =PB -PA ''.当P '与P 两点重合时，等号成立，最大值为AB .②当两定点A ，B 在直线l 的异侧时，作点A 关于直线l 的对称点A '，连接BA '并延长，交l 于点P ，如图所示，此时PB -PA =A B ''达到最大.规律技巧：（六）妙用直线系求直线方程运用直线系方程，有时会给解题带来方便，常见的直线系方程有：（1）与直线0Ax+By +C =平行的直线系方程是Ax+By +m =0（R m ∈且m C ≠）； （2）与直线0Ax+By +C =垂直的直线系方程是Bx Ay +m =0-（R m ∈）； （3）过直线11101l :A x +B y +C =与2222:A B C 0l x y ++=的交点的直线系方程是()()111222A B C A B C 0x y x y R λλ+++++=∈，但不包括2l .由于确定一条直线需要两个独立的条件，因而在求直线方程的过程中，要先根据一个条件写出所求的直线系方程，再根据另一个条件确定其中的参数.Ⅲ易混易错辨析易混易错：（一）忽视直线斜率不存在的情况而致误说明：在用点斜式设直线方程时，必须考虑斜率是否存在，否则容易漏解. 易混易错：（二）对直线域中的定义理解有误致错说明：求与截距有关的直线方程时易忽视截距为零的情形.如本例中的截距互为相反数，当直线在x 轴与y 轴上的截距为零时也满足.当出现“截距相等”“截距互为相反数”“一截距是另一截距的几倍”等条件时，首先考虑截距为零的情形，注意分类讨论思想的运用.高考命题研究直线的方程是解析几何的基础内容，是高考的必考内容之一.在高考的试题内容中有如下两种形式：一种为独立试题，多出现在客观题中，以考查直线方程的确定与直线位置关系为主，且每年不超过一题，难度不大；另一种是出现在解析几何的综合题中，作为工具，解决直线与圆锥曲线的位置关系问题. 高考热点：（一）直线的倾斜角与斜率 高考热点：（二）直线的方程与两直线的位置关系 用所给条件，选取合适的方程形式来确定直线方程，并结合两条直线的位置关系来确定相应字母取值是近年来高考命题的热点，也是重点. 高考热点：（三）距离公式的应用 高考热点：（四）对称问题 高考热点：（五）与圆锥曲线结合考查直线与圆锥曲线的位置关系 附录：常用公式定理 1常用概念 （1）倾斜角当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴正向与直线，向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角.当直线与x 轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0，因此，直线的倾斜角α的取值范围为0180α<. （2）斜率倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率，常用k 表示，即tan k α=，常用斜率表示倾斜角不等于90的直线相对于x 轴的倾斜程度. 2常用公式 （1）斜率公式①若()111P ,x y ，()222P ,x y ，则()1212P P 1212y y k x x x x -=≠-.②若直线l 的倾斜角为α，则tan 2k παα⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭（2）点到直线的距离公式点点()00P ,x y 到直线:A B C 0l x y ++=的距离d =（3）两平行线间的距离公式两条平行线1A B C 0x y ++=与2A B C 0x y ++=间的距离d =.3常用性质知识能力解读知能解读（一）曲线和方程 曲线的方程和方程的曲线一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C （看做适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程(,)0f x y =的实数解建立了如下关系： （1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线. 说明：（1）曲线的方程和方程的曲线是同一关系下的两种不同表现形式.曲线的性质完全反映在它的方程上，方程的性质完全反映在它的曲线上.因此，我们可以利用方程研究曲线. （2）曲线与方程应满足的两个条件，前者是说曲线上没有坐标不满足方程的点，即曲线上的点都适合这个条件而无例外，这也就是曲线的纯粹性.后者是说适合条件的所有点都在曲线上，毫无遗漏，也就是说曲线具有完备性.（3）当曲线与方程满足上述两个关系时，我们就说曲线C 上的点的集合与二元方程(,)0f x y =的实数解的集合建立了元素间的一一对应关系. 知能解读：（二）圆 1圆的定义及其方程（1）圆的定义：平面内与定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆.定点叫做圆心，定长就是半径.（2）圆的标准方程：()()222x a y b r -+-=（r>0），圆心C （a ，b ），半径为r .特别地，圆心在坐标原点，半径为r 的圆的方程222x y r +=.（3）圆的一般方程：()2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+->， 圆心,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，半径r =. 圆的一般方程形式上的特点： ①2x 和2y 的系数相同，且不等于零；②没有xy 这样的二次项.以上两点是二元二次方程220x y Dx Ey F ++++=表示圆的必要非充分条件. 说明：（1）在圆的标准方程和一般方程中都有三个参变量.前者是a ，b ，r ，后者是D ，E ，F ，它们是确定圆的方程的三个独立条件，只要求出这三个参变量，圆的方程就被确定，其中圆心是圆的定位条件，半径是圆的定形条件.（2）2240D E F +->在使用标准式和一般式求圆的方程时，若已知圆心或圆的半径，设标准式较好；若已知圆经：过三定点，设一般式较简单.（3）在圆的一般式方程220x y Dx Ey F ++++=中，只有当2240D E F +->时，方程才表示圆，而当2240D E F +-=时，方程表示点,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，当2240D E F +-<时，方程不表示任何图形.拓展：二元二次方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示圆的条件有三个：一是0A C =≠；二是B=0；三是2240D E A F +-⋅>.第三个条件很容易被忽略，学习时要引起足够重视.2点与圆的位置关系（仅以标准方程为例） 设()00P ,x y 与圆C ：()()222x a y b r -+-=.（1）若P 到圆心的距离为d ，则有 d r >⇔点P 在圆C 外； d r =⇔点P 在圆C 上； d r <⇔点P 在圆C 内.（2）点P 在圆上()()22200x a y b r ⇔-+-=；点P 在圆内()()22200x a y b r ⇔-+-<；点j P 在圆外()()22200x a y b r ⇔-+->.说明：若点P 是圆C 外一定点，则该点与圆上的点的最大距离d PC r =+，最小距离d PC r =-；若点P 是圆C 内一点，则该点与圆上的点的最大距离为d PC r =+，最小距离为d r PC =-. 3直线与圆的位置关系设直线:A B C 0l x y ++=和圆C ：()()222x a y b r -+-=，圆心C 到直线l 的距离为d ，由直线l 和圆C 联立方程组消去x （或y ）后，所得一元二次方程的判别式为∆，则它们的位置关系如下：相离d r ⇔>（或0∆<）；相切d r ⇔=（或0∆=）；相交d r ⇔<（或0∆>）.这里用d 与r 的关系来判定，称为几何法，只有对圆才适用，也是最简便的方法；利用∆判定称为代数法，对讨论直线和二次曲线的位置关系都适用.说明：当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大矩离为d +r ，最小距离为d -r ；当直线和圆相交时，圆上的点到直线的最大距离为d +r ，最小距离为0（d 为圆心到直线的距离）. 4两圆的位置关系（1）代数法：解两个圆的方程所组成的二元二次方程组.若方程组有两组不同的实数解，则两圆相交；若方程组有且只有一组实数解，则两圆相切；若方程组无实数解，则两圆相离.（2）几何法：设圆1O 的半径为1r ，圆2O 的半径为2r ， ①两圆外离1212OO r r ⇔>+. ②两圆外切1212OO r r ⇔=+. ③两圆相交121212r r OO r r ⇔-<<+. ④两圆内切1212OO r r ⇔=-. ⑤两圆内含1212OO r r ⇔<-. 5圆的切线的求法（1）若点()00P ,x y 在圆222x y r +=上，则过点P 的切线方程为200x x y y r +=；若点()00P ,x y 在圆()()222x a y b r -+-=上，则过点P的切线方程为()()()()200x a x a y b y b r --+--=；若点()00P ,x y 在圆220x y Dx Ey F ++++=上，则过点P的切线方程为0000022x x y y x x y y D E F ++++⋅+⋅+=.（2）当点()00P ,x y 在圆外时，可设切线方程为()00y y k x x -=-，利用圆心到直线的距离等于半径即d =r ，求出k 即可，或利用0∆=求出k .若求得是只有一值，则还应该有一条斜率不存在的直线0x x =，此时应补上. 6圆的弦长的求法几何法：当直线和圆相交时，设弦长为l ，弦心距为d ，半径为r ，则有2222l d r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.代数法：设直线l 的斜率为k ，l 与圆的交点分别()A ,A A x y ，()B ,B B x y ，则弦长A B AB x x =-；A B AB y y =-. 其中A B x x -，A B y y -的求法是将直线和圆的方程联立消去y 或x ，利用一元二次方程根与系数的关系求解. 7圆系方程经过两个定点A ，B 的圆有无数个，那么表示这无数个圆的方程称为圆系方程. （1）经过直线A B C 0x y ++=与圆220x y Dx Ey F ++++=的交点的圆系方程为()22A B C 0x y Dx Ey F x y λ+++++++=，其中R λ∈.（2）经过圆221111:0C x y D x E y F ++++=与圆222222:0C x y D x E y F ++++=的交点的圆系方程为()22221112220x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=，其中R λ∈且1λ≠-，同时不包括圆2C .当1λ=-时，方程变为()()1212120D D x E E y F F -+-+-=，若两圆相交，则其表示两圆的公共弦所在直线方程.解题方法荟萃Ⅰ数学思想方法思想方法：（一）数形结合思想 思想方法：（二）转化与化归思想 思想方法：（三）函数与方程思想说明：本题巧用一元二次方程根与系数的关系，列出12120x x y y +=，进而求得方程.另外，在设方程时，设过（3，0）的直线方程为x +ay -3=0（0a ≠）可避免讨论. 说明：在涉及直线被圆截得的弦长时，要巧妙利用圆的有关几何性质，如本题中的Rt BOC ，其中OB 为圆半径，BC 为弦长的一半.思想方法：（四）待定系数法求解圆的方程时可根据条件设出圆的标准方程或一般方程，再用待定系数法确定其中字母的取值.其步骤如下：①“设”：根据题意，选择标准方程或一般方程；②“列”：根据条件列出关于a ，b ，r 或D ，E ，F 的方程组；③“求”：解出a ，b ，r 或D ，E ，F 并写出方程. 说明：已知三个独立条件求圆的方程，一般是用待定系数法，解法1是求出a ，b ，r ；解法2是求出D ，E ，F ；而解法3是应用“圆的弦的垂直平分线一定经过圆心”求得. 思想方法：（五）对称法运用镜面反射的特点来转化圆的切线的求法往往利于寻求思路和简化运算.说明：本题是一道能力要求较强的题目，其难度不大，但涉及知识面比较广，如入射光线和反射光线的关系、设点坐标、求斜率、点到直线的距离以及有关的平面几何知识等.Ⅱ解题规律技巧规律技巧：（一）圆的方程的求解说明：在涉及求圆的方程的题目中，若已知圆心和半径之一，设标准式较简便，有些题尽管求标准式，但不知圆心和半径时也应先设一般式，最后化为标准式.规律技巧：（二）求曲线方程的步骤（1）建系设点：建立适当的直角坐标系，用(),x y 表示曲线上任意一点M 的坐标； （2）列式：写出适合条件p 的点M 的集合(){}M p M ， （3）代入：用坐标表示出条件()p M ，列出方程(,)0f x y =；（4）化简：化方程(,)0f x y =为最简形式；（5）证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 上述求曲线方程的方法常称为直接法（或一般法）. 说明：（1）在化简的过程中，若能保证化简过程都是同解变形，则步骤（5）可以省略不写，如有特殊情况（如特殊点不满足条件等），可适当给予说明.另外，根据情况，也可以省略步骤（2），直接列出曲线的方程.（2）由于建的坐标系不同，同一曲线的方程一般也不相同.因此，在建立坐标系时，应建立适当的坐标系.坐标系适当，可使运算简化，求得方程的形式也较简单.如果坐标系的建立不当，则会大大增加运算的繁琐程度.（3）一般地，求哪个点的轨迹方程，就设哪个点的坐标为(),x y ，而不要设成()11,x y 或(),x y ''等.（4）在根据条件列方程时，应先认真分析题设的条件，综合利用平面几何的知识，列出几何等式，再利用解析几何的一些基本概念、公式、定理等将几何等式坐标化，便可得到方程. （5）求轨迹方程与求轨迹是有区别的，求轨迹方程得出方程即可，而求轨迹在得出方程后还要指出方程的曲线是什么形状.下结论时要注意满足方程的解是否都在曲线上，以免多解或漏解.说明：求动点轨迹方程常用方法有：①直接法：直接由题目条件列出方程；②定义法：根据某特殊曲线的定义求方程；③代入法（相关点法）：找到所求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解.规律技巧：I （三）两圆公共弦长的求解方法点拨：当两圆相交求其公共弦所在的直线方程或公共弦长时，把两圆方程相减消去二次项，所得方程就是公共弦所在的直线方程，再根据其中一个圆的方程和这条直线方程就可以求出公共弦长. 规律技巧：（四）圆的中点弦问题的解法 说明：解法1利用根与系数的关系求解，是一种通法，但运算量很大；解法2用的是点差法，利用弦端点坐标满足曲线方程得到两个关系式，把两个等式相减直接得出弦的中点坐标和斜率的关系，也是一种常用的方法；解法3充分运用圆这种特殊曲线的几何性质解题，从而使解题过程大大简化，在解答解析几何问题中，如能恰当运用几何图形的几何性质，常常可以简化解题过程. 规律技巧：（五）与圆有关的最值问题的解题策略 点拨：与圆上点(),x y 有关的最值问题的常见类型及解法：（1）形如y bt x a-=-的最值转化为过点(),a b 和(),x y 的直线的斜率的最值. （2）形如t ax by =+的最值，转化为动直线截距的最值.（3）形如()()22t x a y b =-+-的最值，转化为点(),x y 与(),a b 的距离的平方的最值. Ⅲ易混易错辨析易混易错：（一）忽视圆的半径大于0而致误 易混易错：（二）求圆的切线方程时漏解说明：过已知点求圆的切线方程首先判断点与圆的位置关系，再判断切线条数，以免漏解.求与直线斜率有关的问题时，要注意判断斜率是否存在. 易混易错：（三）两圆相切时，漏掉内切的情况而致误高考命题研究圆是高考的重点和热点，题型主要是选择题或填空题，有时也与其它知识综合考查，考查知识点涉及圆的方程的确定、直线与圆相切的条件、相交所得弦长、圆与圆的位置关系的判断与应用等，题目难度中等，数形结合思想在此类题目中体现比较多.高考热点：（一）圆的方程的确定结合题目条件，确定圆的圆心和半径，或者设出圆的方程利用待定系数法求解.高考热点：（二）直线与圆的位置关系及应用说明：本题亦可以从另一个角度去解，对于（1）也可证明圆心C到l的距离5d=<对任意实数m均成立；对于（2）可求d==.高考热点：（三）圆与圆的位置关系及应用例高考热点：（四）与直线和圆有关的轨迹问题根据曲线的几何特征寻求曲线的方程，这是解析几何的主要内容，在后面“圆锥曲线”这一节中我们还要更加详尽地讨论.求轨迹方程的基本方法有：直接法、定义法、代入法.高考热点：（五）与圆有关的综合题结合圆的性质考查圆的方程，并与其它圆锥曲线相结合，是圆的综合题考查的主要方向.附录：常用公式定理常用结论（1）曲线的方程、方程的曲线在平面直角坐标系中，如果某曲线C（看做适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程(,)0f x y=的实数解建立了如下的关系：①曲线上的点的坐标都是这个方程的解；②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线.（2）圆的标准方程方程()()222x a y b r-+-=就是圆心为(),a b，半径为r的圆的标准方程.（3）圆的一般方程方程220x y Dx Ey F++++=，当2240D E F+->0时，称为圆的一般方程.（4）圆的参数方程设圆心为(),C a b，半径为R，则其参数方程为cos,sinx a Ry b Rθθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数，02θπ<）. （5）直线与圆的位置关系设直线:A B C0l x y++=，圆()()222:C x a y b r-+-=（A，B不同时为0）.圆心(),C a b到l的距离为d=，则：d r>⇔l与圆C相离；d r=⇔l 与圆C相切；d r<⇔l与圆C相交.（6）圆与圆的位置关系设圆()()222111:C x a y b r-+-=，圆()()222222:C x a y b R-+-=.设两圆的圆心距为d，则当d>R+r时，两圆外离；当d=R+r时，两圆外切；当R r d R r-<<+时，两圆相交；当d R r=-时，两圆内切；当d R r<-时，两圆内含.第三讲椭圆知识能力解读知能解读：（一）椭圆的定义平面内与两个定点1F，2F的距离的和等于常数（大于12F F）的点的轨迹叫做椭圆，这两。